obrti

Vrste problemov teorije elastičnosti. Osnovne enačbe teorije elastičnosti. Vrste problemov v teoriji elastičnosti Kaj je predmet študija klasične teorije elastičnosti

Ruska državna univerza

nafte in plina poimen. I.M.Gubkina

Oddelek za tehnično mehaniko

POVZETEK

"Teorija elastičnosti"

Izpolnil: Polyakov A. A.

Preveril: Evdokimov A.P.

Moskva 2011

teorija elastične enačbe

1. Uvod

Teorija napetostno-deformacijskega stanja v točki telesa

2.1 Teorija napetosti

2 Deformacijska teorija

3 Povezava med napetostjo in deformacijo za prožna telesa

Osnovne enačbe teorije elastičnosti. Vrste problemov v teoriji elastičnosti

1 Osnovne enačbe teorije elastičnosti

2 Vrste problemov v teoriji elastičnosti

4 Enačbe teorije elastičnosti v pomikih (Lameove enačbe)

Variacijski principi teorije elastičnosti

1 Načelo možnih gibanj (Lagrangeovo načelo)

2 Načelo možnih stanj (Castillanovo načelo)

3 Razmerje med natančno rešitvijo in rešitvami, dobljenimi na podlagi Lagrangeovih in Castiglianovih načel

Seznam uporabljene literature

1. Uvod

Teoriji napetosti in deformacije je ustvaril O. Cauchy. Določeni so v dokumentu, predstavljenem pariški akademiji znanosti leta 1822, povzetek ki je izšel leta 1823 in številni poznejši članki. O. Cauchy je izpeljal tri ravnotežne enačbe za elementarni tetraeder, dokazal zakon združevanja tangencialnih napetosti, uvedel koncepta glavnih osi in glavnih napetosti ter izpeljal diferencialne enačbe ravnovesja (običajno se ne pokažejo pri uporu materialov). Uvedel je tudi površino normalnih napetosti (Cauchyjev kvadrik), na kateri se nahajajo konci radijskih vektorjev, katerih smeri sovpadajo s smerjo normal na ploščine, vrednost pa je obratno sorazmerna s kvadratnim korenom iz absolutna vrednost normalne napetosti v tem območju in dokazano je, da je ta površina površina drugega reda s središčem v izvoru. Možnost preoblikovanja površine normalnih napetosti na glavne osi kaže na obstoj v vsaki točki treh medsebojno glavnih pravokotnih področij.

Podobno površino tangencialnih napetosti je uvedel ruski mehanik G.V. Kolosov leta 1933

Geometrično interpretacijo napetostnega stanja v prostoru v obliki napetostnega elipsoida sta podala G. Lame in B. Clapeyron v svojih spominih, ki so jih leta 1828 predložili Pariški akademiji znanosti in objavili leta 1833.

Geometrično predstavitev stanja napetosti na ravnini za eno vrsto območij, ki poteka skozi glavno os v obliki kroga napetosti, je predlagal K. Kuhlmann v svoji knjigi leta 1866.

Za splošni primer stresnega stanja je zelo jasno geometrijska interpretacija na ravnini ga je podal O. Mohr (tako imenovani Mohrov krožni diagram) leta 1882. Iz njega je mogoče potegniti številne pomembne sklepe o skrajnostih glavnih napetosti, položaju območij, v katerih tangencialne napetosti največje in velikosti teh največjih tangencialnih napetosti.

O. Cauchy je dal definicijo deformacij, izpeljal njihovo odvisnost od premikov v posebnem primeru majhnih deformacij (te odvisnosti praviloma niso izpeljane pri tečaju o trdnosti materialov), definiral koncepte glavnih napetosti in glavnih deformacij. , in pridobil odvisnosti komponent napetosti od komponent deformacije, tako za izotropno kot za anizotropno elastično telo. Pri trdnosti materialov se običajno ugotavljajo odvisnosti deformacijskih komponent od napetostnih komponent za izotropno telo. Imenujejo se Hookov posplošeni zakon, čeprav je seveda to ime pogojno, saj R. Hooke ni poznal pojma napetosti.

V teh odvisnostih je Cauchy najprej uvedel dve konstanti in zapisal odvisnosti napetosti od deformacije v obliki

m, ,

Kasneje pa je O. Cauchy sprejel koncept L. Navierja. Po njej so prožna telesa sestavljena iz molekul, med katerimi pri deformaciji nastanejo sile, ki delujejo v smereh premic, ki povezujejo molekule in so sorazmerne s spremembo razdalj med molekulami. Potem je število elastičnih konstant za splošni primer anizotropnega telesa 15, za izotropno telo pa dobimo eno elastično konstanto. Tej hipotezi je sledil S. Poisson, sprva pa G. Lamé in B. Clapeyron. Na podlagi tega je Poisson ugotovil, da je koeficient prečne deformacije 1/4.

D. Green je leta 1839 izpeljal razmerje med deformacijami in napetostmi brez uporabe hipoteze o molekularni zgradbi elastičnih teles. Dobil jih je na podlagi načela ohranitve energije, uvedel koncept elastičnega potenciala in pokazal, da je pri uporabi linearnih odvisnosti šestih komponent deformacij od šestih komponent napetosti od 36 koeficientov 21 neodvisnih, tj. anizotropno telo je število elastičnih konstant 21. Za izotropno telo se število elastičnih konstant zmanjša na dve. Teorijo, v kateri je število elastičnih konstant za anizotropno telo enako 15, za izotropno telo pa 1, so včasih imenovali "redkokonstantna" ali "enokonstantna", in teorijo, v kateri je število elastičnih konstant za anizotropno telo je enako 21, za izotropno telo pa 2 - "multikonstantno" .

Spor med zagovorniki teh teorij je fizike spodbudil k eksperimentalnim raziskavam.

G. Wertheim je na podlagi meritev notranjih prostornin steklenih in kovinskih cevi pod aksialno napetostjo leta 1848 ugotovil, da koeficient prečne deformacije ni enak 1/4. Menil je, da je različno za različne materiale, vendar za veliko materialov blizu 1/3.

IN JAZ. Kupfer, ki je leta 1853 testiral kovinske palice na napetost in torzijo, je tudi ugotovil, da razmerje med moduloma striga in napetosti ne ustreza vrednosti prečne deformacije, ki je enaka 1/4.

Leta 1855 je F. Neumann preizkusil vzorce pravokotnega prereza za upogibanje in izmeril kota vrtenja obeh ploskev žarka (prerez ima trapezoidno obliko). Posledično je pokazal, da koeficient prečne deformacije ni enak 1/4. G. Kirchhoff, učenec F. Neumanna, je prišel do istega zaključka na podlagi poskusov, opravljenih leta 1859 pri kombiniranem upogibanju in zvijanju okroglih medeninastih palic, vdelanih na enem koncu in obremenjenih na drugem s koncentrirano silo, ki meri kot zasuka palice in kot zasuka odseka .

Veliko eksperimentalno študijo koeficientov prečne deformacije za različne vrste jekla je izvedel eden od študentov G. Kirchhoffa M.F. Okatov v letih 1865-1866 Rezultate je predstavil v svoji doktorski disertaciji Torzijske in upogibne teste tankih prizem, izrezanih iz monokristalov, ter teste stisljivosti kristalov pri enakomernem stiskanju je izvedel W. Voigt in jih opisal v svojih številnih člankih, pozneje zbranih v knjiga, izdana leta 1910 Potrdili so pravilnost teorije večkonstant.

Poglobljeno študijo matematične strukture Hookovega zakona za anizotropna telesa je izvedel mehanik in inženir Jan Rychlewski leta 1984 na podlagi koncepta elastičnega stanja, ki ga je predstavil. Zlasti je pokazal, da 21 elastičnih konstant predstavlja šest pravih modulov togosti, 12 razdelilcev togosti in tri kote.

2. Teorija napetostno-deformacijskega stanja v točki telesa

1 Teorija stresa

Notranji dejavniki sile, ki nastanejo pri obremenitvi elastičnega telesa, označujejo stanje določenega dela telesa, vendar ne odgovarjajo na vprašanje, katera točka prečnega prereza je najbolj obremenjena ali, kot pravijo, nevarna točka. Zato je treba upoštevati še dodatno količino, ki označuje stanje telesa v dani točki.

Če je telo, na katerega delujejo zunanje sile, v ravnotežju, se v katerem koli njegovem delu pojavijo notranje sile upora. Označimo z notranjo silo, ki deluje na elementarno ploskev, in normalo na to ploskev takrat količino

imenovana skupna napetost.

V splošnem primeru skupna napetost ne sovpada v smeri z normalo na osnovno območje, zato je bolj priročno delovati s svojimi komponentami vzdolž koordinatnih osi -

Če zunanja normala sovpada s katero koli koordinatno osjo, na primer z osjo X, bodo komponente napetosti dobile obliko: komponenta se izkaže za pravokotno na odsek in se imenuje normalna napetost, komponente pa bodo ležale v presečne ravnine in se imenujejo tangencialne napetosti.

Za lažje razlikovanje med normalnimi in tangencialnimi napetostmi se običajno uporabljajo druge oznake: - normalna napetost, - tangencialna napetost.

Izberimo iz telesa pod delovanjem zunanjih sil infinitezimalni paralelepiped, katerega robovi so vzporedni s koordinatnimi ravninami, robovi pa imajo dolžino . Na vsaki ploskvi takega elementarnega paralelopipeda so tri komponente napetosti, vzporedne s koordinatnimi osemi. Skupaj dobimo 18 komponent stresa na šestih obrazih.

Normalne napetosti so označene v obliki , kjer indeks označuje normalo na ustrezno ploskev (tj. Lahko sprejme vrednosti). Tangencialne napetosti imajo obliko ; tukaj prvi indeks ustreza normali na območje, na katerem deluje ta strižna napetost, drugi pa označuje vzporedno os, na katero je ta napetost usmerjena (slika 1).

Slika 1. Normalne in strižne napetosti

Za te napetosti je sprejeto naslednje pravilo znaka. Normalna napetost se šteje za pozitivno pri napetosti ali, kar je enako, ko sovpada s smerjo zunanje normale na območje, na katerega deluje. Tangencialna napetost se šteje za pozitivno, če je na območju, katerega normala sovpada s smerjo koordinatne osi, ki je vzporedna z njo, usmerjena proti pozitivni koordinatni osi, ki ustreza tej napetosti.

Komponente napetosti so funkcije treh koordinat. Na primer, normalno napetost v točki je mogoče označiti s koordinatami

Na točki, ki je na neskončno majhni razdalji od obravnavane točke, lahko napetost razširimo v Taylorjev niz z natančnostjo do infinitezimalij prvega reda:

Za območja, ki so vzporedna z ravnino, se spremeni samo koordinata x in prirastki. Zato bo na strani paralelopipeda, ki sovpada z ravnino, normalna napetost , in na vzporedni strani, ki se nahaja na neskončno majhni razdalji, - Napetosti na preostalih vzporednih ploskvah paralelopipeda so povezane na podoben način. Zato je od 18 komponent napetosti le devet neznanih.

V teoriji elastičnosti je dokazan zakon združevanja tangencialnih napetosti, po katerem so na dveh medsebojno pravokotnih območjih komponente tangencialnih napetosti, pravokotne na presečišče teh območij, med seboj enake:

Enačbe (2) vodijo do dejstva, da od devetih komponent napetosti, ki označujejo napetostno stanje na točki telesa, ostane samo šest:

Lahko se pokaže, da stres (3) ne označuje le obremenjenega stanja telesa na dani točki, ampak ga enolično definira. Kombinacija teh napetosti tvori simetrično matriko, ki se imenuje tenzor napetosti:

(4)

Ko tenzor pomnožimo s skalarno količino, dobimo nov tenzor, katerega vse komponente so krat večje od komponent prvotnega tenzorja.

2 Deformacijska teorija

Prožno telo pod vplivom zunanjih obremenitev spremeni svojo obliko in se deformira. V tem primeru točke telesa zavzamejo nov položaj. Za določitev deformacije prožnega telesa primerjamo položaje točk telesa pred in po delovanju obremenitve.

Razmislimo o točki neobremenjenega telesa in njegovem novem položaju po uporabi obremenitve. Vektor se imenuje vektor premika točke (slika 2).

Slika 2. Vektor gibanja točke

Možni sta dve vrsti gibanja: gibanje celotnega telesa kot enotne celote brez deformacije - taka gibanja preučuje teoretična mehanika kot gibanja absolutno togega telesa in gibanje, povezano z deformacijo telesa - taka gibanja preučuje teorija elastičnosti.

Projekcije vektorja premika točke na koordinatne osi označimo z oz. Enake so razliki med ustreznimi koordinatami točk in :

in sta funkciji koordinat:

Deformacijo telesa povzročijo razlike v gibanju njegovih različnih točk. Infinitezimalni paralelepiped z robovi, ki so izrezani iz prožnega telesa v bližini poljubne točke, se zaradi različnih premikov njegovih točk deformira tako, da se spremeni dolžina njegovih robov in popačijo prvotni pravi koti med ploskvami.

Slika 3.3 prikazuje dva robova tega paralelepipeda: in dolžina roba je enaka in dolžina roba je

Po deformaciji točke zavzamejo položaj.V tem primeru bo točka deležna premika, katerega komponente v risalni ravnini so enake, točka, ki se nahaja na neskončno majhni razdalji od točke, pa bo deležna premika, komponente ki se bo zaradi spremembe koordinate razlikovala od komponent premika točke za neskončno majhno količino

Slika 3. Linearne in kotne deformacije

Komponente gibanja točke se bodo zaradi spremembe koordinate razlikovale od komponent gibanja točke za neskončno malo.

Dolžina projekcije rebra na os po deformaciji:

Projekcija absolutnega raztezka rebra na os

Relativni raztezek vzdolž osi

(6)

imenujemo linearna deformacija v smeri osi.

Linearne deformacije vzdolž smeri osi in

(7)

Oglejmo si spremembo kotov med robovi paralelopipeda (slika 3). Tangens kota zasuka rebra v ravnini

Zaradi majhnosti deformacij a lahko linearno deformacijo zaradi majhnosti v primerjavi z enoto zanemarimo in potem

Na podoben način lahko določite kot zasuka roba v isti ravnini:

Popačenje pod pravim kotom se imenuje kotna deformacija in je opredeljeno kot vsota kotov vrtenja reber in:

(8)

Na enak način se določijo kotne deformacije v dveh drugih koordinatnih ravninah:

(9)

Formule (6)-(9) dajejo šest glavnih odvisnosti za linearne in kotne deformacije od komponent premika. Te odvisnosti se imenujejo Cauchyjeve enačbe:

(10)

V meji, ko dolžine robov paralelepipeda težijo k nič, določajo Cauchyjeve relacije linearne in kotne deformacije v okolici točke

Pozitivne linearne deformacije ustrezajo raztezkom, negativne linearne deformacije pa krajšanju. Kot premika se šteje za pozitiven, ko se kot med pozitivnima smerema ustreznih koordinatnih osi zmanjša, drugače pa za negativnega.

Podobno kot tenzor napetosti opisuje deformirano stanje telesa na dani točki tenzor deformacij

(11)

Tako kot tenzor napetosti je tudi tenzor deformacij simetrična matrika, ki vsebuje devet komponent, od katerih je šest različnih.

2.3 Povezava med napetostjo in deformacijo za prožna telesa

Razmerja med napetostmi in obremenitvami so fizične narave. Če se omejimo na majhne deformacije, lahko razmerje med napetostjo in deformacijo štejemo za linearno.

Pri preskušanju napetosti palice (približno mehanski testi materiali bodo podrobno obravnavani v naslednjem razdelku), je bilo vzpostavljeno sorazmerno razmerje med normalno napetostjo in linearno deformacijo v eni smeri, ki se imenuje Hookov zakon:

kjer se elastična konstanta imenuje vzdolžni elastični modul.

Z isto eksperimentalno metodo je bila ugotovljena povezava med linearnimi deformacijami v vzdolžni in prečni smeri:

kjer je linearna deformacija v prečni smeri, je druga elastična konstanta, imenovana Poissonovo razmerje.

Pri mehanskih preskusih za čisti strig je bila ugotovljena premosorazmerna povezava med strižno napetostjo in kotno deformacijo v ravnini delovanja te napetosti, ki so jo pri strigu poimenovali Hookov zakon:

kjer je količina tretja elastična konstanta in se imenuje strižni modul. Vendar ta elastična konstanta ni neodvisna, ker povezanih s prvima dvema odvisnostima

Da bi ugotovili razmerje med deformacijami in napetostmi, izberemo infinitezimalni paralelepiped iz telesa (slika 1) in upoštevamo učinek samo normalnih napetosti.Razliko napetosti na nasprotnih ploskvah paralelepipeda lahko zanemarimo, ker vodi do deformacij višjega reda majhnosti.

Določimo raztezek rebra vzporedno z napetostjo.Pod delovanjem te napetosti bo po Hookovem zakonu (3.12) prišlo do relativnega raztezka rebra

Napetost povzroči podoben raztezek v smeri, ki je pravokotna na rebro

in v smeri roba - skrajšanje, ki je po (13).

ali ob upoštevanju izraza deformacije

Podobno se določi relativno skrajšanje rebra pod vplivom napetosti

Na podlagi načela neodvisnosti delovanja sil lahko skupni relativni raztezek rebra določimo kot vsoto raztezkov zaradi delovanja vsake napetosti:

Podobno lahko določimo linearne deformacije v smereh drugih dveh osi:

V skladu s Hookeovim zakonom v strigu (14) lahko razmerje med kotnimi deformacijami in strižnimi napetostmi predstavimo neodvisno za vsako od treh ravnin, vzporednih s koordinatnimi ravninami:

Tako je bilo pridobljenih šest formul, ki izražajo linearno razmerje med komponentami deformacije in napetosti v izotropnem elastičnem telesu in se imenujejo posplošeni Hookov zakon:

(16)

3. Osnovne enačbe teorije elastičnosti. Vrste problemov v teoriji elastičnosti

Glavna naloga teorije elastičnosti je določitev napetostno-deformacijskega stanja glede na dane pogoje obremenitve in pritrjevanja telesa.

Napetostno-deformacijsko stanje se določi, če se najdejo komponente napetostnega tenzorja (-ov) in vektorja premika, devet funkcij.

3.1 Osnovne enačbe teorije elastičnosti

Da bi našli teh devet funkcij, morate zapisati osnovne enačbe teorije elastičnosti ali:

Diferencialni Cauchies

(17)

kjer so komponente tenzorja linearnega dela Cauchyjevih deformacij;

komponente tenzorja odvoda pomika vzdolž polmera.

Diferencialne ravnotežne enačbe

kje so komponente tenzorja napetosti; - projekcija sile telesa na j os.

Hookov zakon za linearno prožno izotropno telo

kje so Lameove konstante; za izotropno telo. Tukaj so normalne in strižne napetosti; deformacije oziroma strižni koti.

Zgornje enačbe morajo izpolnjevati Saint-Venantove odvisnosti

V teoriji elastičnosti je problem rešen, če so izpolnjene vse osnovne enačbe.

2 Vrste problemov v teoriji elastičnosti

Zadoščeni morajo biti robni pogoji na površini telesa in glede na vrsto robnih pogojev ločimo tri vrste problemov v teoriji elastičnosti.

Prva vrsta. Sile so podane na površino telesa. Mejni pogoji

Druga vrsta. Težave, pri katerih je določen premik na površini telesa. Mejni pogoji

Tretja vrsta. Mešani problemi teorije elastičnosti. Sile so podane na delu površine telesa, premik pa na delu površine telesa. Mejni pogoji

Problemi, pri katerih so sile ali pomiki podani na površini telesa in je treba ugotoviti napetostno-deformacijsko stanje znotraj telesa in tisto, kar ni določeno na površini, se imenujejo neposredni problemi. Če so znotraj telesa določene napetosti, deformacije, premiki itd., In morate ugotoviti, kaj ni določeno znotraj telesa, pa tudi premike in napetosti na površini telesa (to je, poiščite razloge, ki so povzročili takšne napetostno-deformacijsko stanje)), potem se takšni problemi imenujejo inverzni.

4 Enačbe teorije elastičnosti v pomikih (Lameove enačbe)

Za določitev enačb teorije elastičnosti v pomikih zapišemo: diferencialne ravnotežne enačbe (18) Hookov zakon za linearno prožno izotropno telo (19)

Če upoštevamo, da so deformacije izražene s pomiki (17), zapišemo:

Prav tako je treba spomniti, da je strižni kot povezan s premiki z naslednjim razmerjem (17):

(23)

Z zamenjavo izraza (22) v prvo enačbo enačb (19) dobimo normalne napetosti

(24)

Upoštevajte, da pisanje itz v tem primeru ne pomeni seštevanja nad i.

Z zamenjavo izraza (23) v drugo enačbo enačb (19) dobimo te strižne napetosti

(25)

Zapišimo ravnotežne enačbe (18) v razširjeni obliki za j = 1

(26)

Če nadomestimo izraze za normalne (24) in tangencialne (25) napetosti v enačbo (26), dobimo

kjer je λ Lamejeva konstanta, ki je določena z izrazom:

Zamenjajmo izraz (28) v enačbo (27) in zapišimo,

kjer je določeno z izrazom (22), ali v razširjeni obliki

Izraz (29) delimo z G in dodamo podobne člene ter dobimo prvo Lamejevo enačbo:

(30)

kjer je Laplaceov operator (harmonični operator), ki je definiran kot

(31)

Podobno lahko dobite:

(32)

Enačbi (30) in (32) lahko zapišemo na naslednji način:

(33)

Enačbe (33) ali (30) in (32) so Laméjeve enačbe. Če so prostorninske sile nič ali stalne, potem

(34)

Poleg tega zapis v tem primeru ne implicira seštevanja čez i. Tukaj

Lahko se pokaže, da takšna predstavitev pomikov preko harmonične funkcije pretvori Lamejevo enačbo (33) v identiteto. Pogosto jih imenujemo pogoji Popkovich-Grodskega. Štiri harmonične funkcije niso potrebne, ker je φ0 mogoče nastaviti na nič.

4. Variacijski principi teorije elastičnosti.

1 Načelo možnih gibanj (Lagrangeovo načelo)

Lagrangeovo načelo. Za telo v ravnotežju je delo zunanjih in notranjih sil pri vseh možnih infinitezimalnih prirastkih premika enako nič.

Z uporabo Clapeyronovega izreka, ki za elastično deformirano telo s spreminjanjem pomika dobimo Lagrangeov princip

V mehaniki deformabilnih teles so možna gibanja tista, ki zadovoljujejo zunanje in notranje omejitve, ki so naložene telesu.

Zunanje povezave so pogoj pritrditve, notranje povezave so pogoj kontinuitete.

Za zadostitev notranjim povezavam je potrebno, da so prirastki pomikov zvezne enovrednostne funkcije koordinat.

V tej obliki Lagrangeov princip velja za vsa deformabilna telesa.

Za elastična telesa je bilo ugotovljeno, da

(41)

Potem bo (40), ob upoštevanju (41), zapisano kot

(42)

kjer je W specifična napetost in

Tukaj je U variacija celotne potencialne energije telesa.

Zamenjajmo izraz (43) v (42) in ker se sile ne spreminjajo, zapišemo, da

(44)

Enačba (44) je Lagrangeova variacijska enačba.

Če so sile konzervativne, potem prva dva integrala predstavljata spremembo potenciala zunanjih sil pri prehodu iz nedeformiranega stanja v deformirano.

Potencial zunanjih sil

(45)

kjer je - možno delo zunanjih sil pri prehodu iz nedeformiranega v deformirano stanje izračunano ob predpostavki, da zunanje sile ostanejo nespremenjene. Skupna energija sistema

Potem bo ob upoštevanju izrazov (44) - (46) Lagrangeovo načelo zapisano:

to pomeni, da je sprememba celotne energije sistema v ravnotežnem položaju glede na možne premike enaka nič. Izraz (47) je Lagrangeova variacijska enačba v primeru delovanja samo konzervativnih sil.

V stabilnem ravnotežnem položaju je celotna energija P minimalna,

Lagrangeovo načelo je načelo minimalne energije.

2 Načelo možnih stanj (Castillanovo načelo)

Možna stanja bomo imenovali tista, ki so v skladu z zunanjimi in notranjimi silami, torej tista, ki zadoščajo ravnotežnim enačbam.

Enačba (57) piše Castiglianov princip. Pri morebitnih spremembah napetega stanja telesa je variacija enaka integralu po tistem delu površine telesa, na katerem so podani pomiki iz produktov možnih površinskih sil in pomikov.

3 Razmerje med natančno rešitvijo in rešitvami, dobljenimi na podlagi Lagrangeovih in Castiglianovih načel

Na podlagi Lagrangeovega principa z izbiro nekaterih funkcij ali njihovega nabora in ker je nabor funkcij omejen, dobimo manjše število prostostnih stopenj sistema in s tem zmanjšamo prostostne stopnje zasnove. Se pravi, v energetskem smislu se rešitev izkaže za težjo od prave.

Če vzamemo integralne karakteristike, potem je približna rešitev bolj tog integral.

Pri reševanju problema obremenjevanja preprosto podprtega nosilca s prečno silo na sredini razpona (slika 1) bo približna rešitev dala manjši pomik pod silo kot pri natančni rešitvi.

natančna rešitev

Pri reševanju istega problema z uporabo Castiglianovega variacijskega principa, ker pogoj kontinuitete ni izpolnjen, dobi sistem večjo svobodo kot v resnici.

Natančna rešitev je med tema dvema približnima metodama (Lagrange in Castigliano). Včasih je razlika med dobljenimi rešitvami majhna.

5. Seznam uporabljene literature

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Osnove teorije elastičnosti in plastičnosti. 400 str Višja šola 1990.

2. Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti I. del Teorija napetosti Metodološki priročnik za predmet "Osnove teorije elastičnosti in plastičnosti." 2005.-37s.

Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti II.del Teorija deformacij. Razmerje med napetimi in deformiranimi stanji.Metodološki priročnik za predmet “Osnove teorije elastičnosti in plastičnosti”, 2005.-53 str.

Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti. Del III. Osnovne enačbe teorije elastičnosti. Vrste problemov v teoriji elastičnosti. Metodološki priročnik za predmet "Osnove teorije elastičnosti in plastičnosti", 2005.-45 str.

Pri telesih, ki mirujejo ali se gibljejo pod vplivom obremenitev.

1. Problem teorije elastičnosti

Naloga te teorije je zapisati matematične enačbe, katerih rešitev nam omogoča odgovoriti na naslednja vprašanja:

Kakšne bodo deformacije določenega telesa, če nanj deluje obremenitev določene velikosti na znanih točkah obremenitve?
Kakšna bo napetost v telesu?

Vprašanje, ali se bo telo zrušilo ali vzdržalo te obremenitve, je tesno povezano s teorijo elastičnosti, vendar strogo gledano ni v njeni pristojnosti.

Primerov je veliko - od določanja deformacij in napetosti v obremenjenem nosilcu na nosilcih do izračuna istih parametrov v telesu letala, rakete, podmornice, v kolesu kočije, v oklepu letala. tank, ko ga zadene izstrelek, v gorovju pri polaganju adita, v okvirju stolpnice itd.

V primeru inženirskih problemov so napetosti in deformacije v konstrukcijah izračunane z uporabo poenostavljenih teorij, ki logično temeljijo na teoriji elastičnosti. Takšne teorije vključujejo: trdnost materialov, katerega naloga je izračunati palice in nosilce ter oceniti napetosti, ki nastanejo v conah kontaktne interakcije trdne snovi; gradbena mehanika- izračun jedrnih sistemov (na primer mostov) in teorija lupine- samostojna in dobro razvita veja znanosti o deformacijah in napetostih, katere predmet raziskovanja so tankostenske lupine - cilindrične, stožčaste, sferične in kompleksne oblike.

2. Osnovni pojmi teorije elastičnosti

Osnovni koncepti teorije elastičnosti so napetost, ki deluje na majhne ravnine, ki jih lahko v telesu v mislih narišemo skozi dano točko P, deformacije majhne okolice točke P in premik same točke P. Natančneje, mehanska napetost uvedeni so tenzor, tenzor malih deformacij in vektor pomikov u i. Kratek zapis, kje so indeksi jaz, j vzemite vrednosti 1, 2, 3 (oz x, y, z) je treba razumeti kot matriko v obliki:

Kratek zapis za tenzor je treba razumeti podobno.

Če je fizična točka telesa M zaradi deformacije zavzela nov položaj v prostoru P", potem je vektor premika vektor s komponentami (u x, u y, u z), ali na kratko, u i. V teoriji majhnih deformacij komponente u i in veljajo za majhne količine (strogo gledano neskončno majhne). Komponente tenzorja, ki se imenuje tudi tenzor deformacij Cauchy oz tenzor linearne deformacije in vektor u i povezani z odvisnostmi:

Iz zadnjega vnosa je jasno, da , Zato je tenzor deformacij simetričen po definiciji.

Če je prožno telo pod delovanjem zunanjih sil v ravnovesju (tj. hitrosti vseh njegovih točk so enake nič), potem je v ravnovesju tudi vsak del telesa, ki ga lahko miselno ločimo od njega. Iz telesa izstopa neskončno majhen pravokotni paralelopiped, katerega robovi so vzporedni s koordinatnimi ravninami kartezičnega sistema. Iz pogoja ravnovesja paralelepipeda z dimenzijami robov dx, dy, dz, Ob upoštevanju pogojev za ravnotežje sil v projekcijah lahko dobimo:

Podobno dobimo ravnotežne enačbe, ki izražajo enakost na nič glavnega momenta vseh sil, ki delujejo na paralelepiped, zmanjšane na obliko:

Ta enakost pomeni, da je tenzor napetosti simetričen tenzor in je število neznanih komponent tenzorja napetosti zmanjšano na 6. Ravnotežne enačbe so samo tri, tj. enačbe statike niso dovolj za rešitev problema. Rešitev je izraziti napetosti v smislu deformacij z uporabo enačb Hookovega zakona in nato izraziti deformacije v smislu premikov u i z uporabo Cauchyjevih formul in rezultat nadomestite v enačbo ravnotežja. To ustvari tri diferencialne ravnotežne enačbe za tri neznane funkcije u x u y u z, tiste. število neznank bo ustrezalo številu enačb. Te enačbe imenujemo Navier-Cauchyjeve enačbe.

3. Robni pogoji

Reševanje problemov v teoriji elastičnosti se zmanjša na integracijo sistema parcialnih diferencialnih enačb, ki določajo obnašanje elastičnega telesa v notranjih točkah. Tem enačbam so dodani pogoji na površini, ki omejuje telo. Ti pogoji določajo dodelitev zunanjih površinskih sil ali premikov točk na površini telesa. Glede na to se običajno oblikuje ena od treh vrst problemov mejnih vrednosti.

Prvi robni problem- kinematična. Komponente premika se nahajajo v prostornini telesa in pridobijo določene vrednosti na površini. V stanju na površini telesa so tako določene enačbe površine in vrednosti komponent pomikov na njej.

Drugi robni problem- statična. V tem primeru na površini telesa niso naložene nobene omejitve gibanja in določene so površinske enačbe, kosinusi smeri normale na površino in vrednosti komponent površinskih obremenitev.

V primeru, ko površina telesa sovpada s koordinatnimi ravninami, lahko robne pogoje formuliramo neposredno v napetostih. Nato je dovolj, da navedete enačbo površine in na njej določite vrednosti komponent napetosti.

Tretji problem mejne vrednosti- mešano. V tem primeru so na enem delu telesne površine nastavljeni kinematični pogoji, na drugem pa statični pogoji.

Te tri naloge ne izčrpajo raznolikosti robnih pogojev. Na primer, na določeni površini morda niso navedene vse tri komponente pomika ali komponente površinske obremenitve.

4. Glej tudi

Viri

Timošenko S. P., Goodyear J. Teorija elastičnosti. M.: Nauka, 1979. 560 str.

TEORIJA ELASTIČNOSTI– veja mehanike kontinuuma, ki preučuje premike, deformacije in napetosti teles v mirovanju ali gibanju pod vplivom obremenitev. Namen te teorije je izpeljati matematične enačbe, katerih rešitev nam omogoča odgovoriti na naslednja vprašanja: kakšne bodo deformacije tega določenega telesa, če nanj na znanih mestih deluje obremenitev določene velikosti? Kakšna bo napetost v telesu? Vprašanje, ali se bo telo sesedlo ali zdržalo te obremenitve, je tesno povezano s teorijo elastičnosti, vendar strogo gledano ni v njeni pristojnosti.

Število možnih primerov je neomejeno - od določanja deformacij in napetosti v nosilcu, ki leži na nosilcih in je obremenjen s silami, do izračuna enakih vrednosti v konstrukciji letala, ladje, podmornice, v kolesu vozička, v oklepu. ob udarcu izstrelka, v gorskem območju pri prehodu skozi adit, v okvirju stolpnice itd. Tukaj je potrebno opozorilo: strukture, sestavljene iz tankostenskih elementov, so izračunane z uporabo poenostavljenih teorij, ki logično temeljijo na teoriji elastičnosti; takšne teorije vključujejo: teorijo odpornosti materialov na obremenitve (slavni "odporni material"), katere naloga je predvsem izračunati palice in nosilce; gradbena mehanika – izračun paličnih sistemov (npr. mostov); in končno, teorija lupin je v bistvu samostojno in zelo razvito področje znanosti o deformacijah in napetostih, katerega predmet raziskovanja so najpomembnejši strukturni elementi - tankostenske lupine - cilindrične, stožčaste, sferoidne in imajo bolj zapletene oblike. Zato se v teoriji elastičnosti običajno obravnavajo telesa, katerih bistvene mere se ne razlikujejo preveč. Obravnavamo torej prožno telo dane oblike, na katerega delujejo znane sile.

Osnovni pojmi teorije elastičnosti so napetosti, ki delujejo na majhnih površinah, ki jih lahko v telesu miselno narišemo skozi dano točko. M, deformacije majhne okolice točke M in premikanje same točke M. Natančneje, uvedeni so tenzorji napetosti s ij, tenzor majhnih deformacij e ij in vektor premika u i.

Kratka oznaka s ij, kjer so indeksi jaz, j vzemite vrednosti 1, 2, 3 je treba razumeti kot matriko oblike:

Podobno je treba razumeti kratek zapis za tenzor e ij.

Če fizična točka telesa M zaradi deformacije zavzel novo lego v prostoru M´, potem je vektor premika vektor s komponentami ( u x u y u z), ali na kratko, u i. V teoriji majhnih deformacij komponente u i in e jazštejejo za majhne količine (strogo gledano neskončno majhne). Komponente tenzorja e ij in vektor u ij so povezani s Cauchyjevimi formulami, ki imajo obliko:

Jasno je, da e xy= e yx, in na splošno e ij= e ji, zato je tenzor deformacij po definiciji simetričen.

Če je prožno telo pod delovanjem zunanjih sil v ravnovesju (tj. hitrosti vseh njegovih točk so enake nič), potem je v ravnovesju tudi vsak del telesa, ki ga lahko miselno ločimo od njega. Iz telesa izstopa majhen (strogo gledano neskončno majhen) pravokoten paralelepiped, katerega robovi so vzporedni s koordinatnimi ravninami kartezičnega sistema. Oxyz(slika 1).

Naj imajo robovi paralelepipeda dolžine dx, dy, dz v skladu s tem (tukaj, kot običajno dx obstaja razlika x itd.). Po teoriji napetosti delujejo komponente tenzorja napetosti na ploskvah paralelepipeda, ki jih označujemo:

na robu OADG:s xx, s xy, s xz

na robu OABC:s yx, s yy, s yz

na robu DABE:s zx, s zy, s zz

v tem primeru komponente z enakimi indeksi (na primer s xx) delujejo pravokotno na obraz in z različnimi indeksi - v ravnini mesta.

Na nasprotnih ploskvah so vrednosti istih komponent tenzorja napetosti nekoliko drugačne, to je posledica dejstva, da so funkcije koordinat in se spreminjajo od točke do točke (vedno, razen v znanih najpreprostejših primerih) in majhnost spremembe je povezana z majhnimi dimenzijami paralelepipeda, zato lahko domnevamo, da če je na robu OABC uporabljena je napetost s yy, nato na meji GDEF uporabljena je napetost s yy+ds yy in majhno vrednost ds yy prav zaradi svoje majhnosti ga lahko določimo z razširitvijo v Taylorjev niz:

(tu uporabljamo parcialne odvode, saj so komponente tenzorja napetosti odvisne od x, l, z).

Podobno lahko poudarke na vseh obrazih izrazimo s s ij in ds ij. Nato, če želite preiti od napetosti k silam, morate velikost napetosti pomnožiti s površino območja, na katero deluje (na primer s yy+ds yy pomnožite z dx dz). Ko so določene vse sile, ki delujejo na paralelepiped, je mogoče, kot je to storjeno v statiki, zapisati ravnotežno enačbo telesa, medtem ko bodo v vseh enačbah za glavni vektor ostali samo členi z odpeljankami, saj napetosti sami izničijo drug drugega in dejavniki dx dy dz se zmanjšajo in posledično

Podobno dobimo ravnotežne enačbe, ki izražajo enakost na nič glavnega momenta vseh sil, ki delujejo na paralelopiped, ki se zmanjšajo na obliko:

Te enakosti pomenijo, da je tenzor napetosti simetričen tenzor. Tako je za 6 neznanih komponent s ij obstajajo tri ravnotežne enačbe, tj. enačbe statike niso dovolj za rešitev problema. Izhod je izraziti napetosti s ij skozi deformacije e ij z uporabo enačb Hookovega zakona in nato deformacijo e ij izražajo z gibi u i z uporabo Cauchyjevih formul in rezultat nadomestite v enačbe ravnotežja. To ustvari tri diferencialne ravnotežne enačbe za tri neznane funkcije u x u y u z, tj. število neznank je enako številu enačb. Te enačbe imenujemo Laméjeve enačbe

masne sile (teža itd.) niso upoštevane

D – Laplaceov operator, tj

Sedaj morate nastaviti mejne pogoje na površini telesa;

Glavne vrste teh stanj so naslednje:

1. Na znanem delu površine telesa S 1 so določeni premiki, tj. vektor premika je enak znanemu vektorju s komponentami ( f x; f y; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– znane koordinatne funkcije)

2. Na preostali površini S Določeni sta 2 površinski sili. To pomeni, da je porazdelitev napetosti znotraj telesa taka, da vrednosti napetosti v neposredni bližini površine in v meji, na površini na vsakem elementarnem območju, ustvarijo vektor napetosti, ki je enak znanemu vektorju zunanje obremenitve z komponente ( Fx ;Fy ; F z) površinske sile. Matematično je to zapisano takole: če v točki A površina, ima enotski normalni vektor na to površino komponente n x, n y, n z potem morajo biti na tej točki izpolnjene enakosti glede na (neznane) komponente s ij: e ij, potem za tri neznanke dobimo šest enačb, torej predopredeljen sistem. Ta sistem bo imel rešitev le, če bodo izpolnjeni dodatni pogoji glede e ij. Ti pogoji so združljivostne enačbe.

Te enačbe pogosto imenujemo pogoji kontinuitete, kar pomeni, da zagotavljajo kontinuiteto telesa po deformaciji. Ta izraz je figurativen, vendar nenatančen: ti pogoji zagotavljajo obstoj zveznega polja pomikov, če vzamemo komponente deformacij (ali napetosti) kot neznanke. Neizpolnjevanje teh pogojev ne vodi v kršitev kontinuitete, temveč v odsotnost rešitve problema.

Tako teorija elastičnosti zagotavlja diferencialne enačbe in robne pogoje, ki omogočajo oblikovanje robnih problemov, katerih rešitev daje popolne informacije o porazdelitvi napetosti, deformacij in premikov v obravnavanih telesih. Metode za reševanje tovrstnih problemov so zelo kompleksne in najboljše rezultate dobimo s kombiniranjem analitičnih metod z numeričnimi z uporabo zmogljivih računalnikov.

Vladimir Kuznjecov

OSNOVE TEORIJE ELASTIČNOSTI

OSOSIMETRIČNI PROBLEMI TEORIJE ELASTIČNOSTI

OSNOVE TEORIJE ELASTIČNOSTI

Osnovna določila, predpostavke in zapisi. Enačbe ravnotežja za elementarni paralelopiped in elementarni tetraeder. Normalne in strižne napetosti vzdolž nagnjene ploščadi

Določanje glavnih in največjih tangencialnih napetosti v točki. Napetosti vzdolž oktaedrskih območij Pojem pomikov. Odvisnosti med deformacijami in pomiki. Sorodnik

linearna deformacija v poljubni smeri Enačbe združljivosti deformacij. Hookov zakon za izotropno telo Ravninski problem v pravokotne koordinate Ravninski problem v polarnih koordinatah

Možne rešitve problemov v teoriji elastičnosti. Rešitve problemov pri pomikih in napetostih. Prisotnost temperaturnega polja. Kratki zaključki o razdelku PREPROSTI OSOSIMETRIČNI PROBLEMI Enačbe v cilindričnih koordinatah Enačbe v cilindričnih koordinatah (nadaljevanje)

Deformacija kroglaste posode z debelimi stenami Zgoščena sila, ki deluje na ravnino

Posebni primeri obremenitve elastičnega polprostora: enakomerna obremenitev po površini kroga, obremenitev po površini kroga nad "polkroglo", inverzni problem pritiskanja absolutno toge krogle v elastično polovičko. prostora. Problem elastičnega zrušitve kroglic DEBELOSTENE CEVI

Splošne informacije. Ravnotežna enačba cevnega elementa Študija napetosti pod tlakom na enem od tokokrogov. Trdnostni pogoji pri elastični deformaciji Napetosti v kompozitnih ceveh. Koncept izračuna večslojnih cevi. Primeri izračunov

PLOŠČE, MEMBRANE Osnovne definicije in hipoteze

Diferencialna enačba ukrivljene srednje površine plošče v pravokotnih koordinatah Cilindrični in sferični upogib plošče

Upogibni momenti pri osnosimetričnem upogibanju okrogle plošče. Diferencialna enačba ukrivljene srednje ploskve krožne plošče Robni pogoji v krožni plošči. Največje napetosti in upogibi. Pogoji trdnosti. Temperaturne napetosti v ploščah

Določanje sil v membranah. Verižne sile in napetosti. Približno določanje upogibov in napetosti v okroglih membranah Primeri izračunov Primeri izračunov (nadaljevanje)

1.1 Osnove, predpostavke in zapisi

Teorija elastičnosti je namenjena analitičnemu preučevanju napetostno-deformacijskega stanja elastičnega telesa. Rešitve, dobljene z uporabo predpostavk o odpornosti, je mogoče preveriti z uporabo teorije elastičnosti

materialov in določene so meje uporabnosti teh rešitev. Včasih se razdelki teorije elastičnosti, v katerih se, tako kot pri trdnosti materialov, obravnava vprašanje primernosti dela, vendar z uporabo precej zapletenega matematičnega aparata (izračun plošč, lupin, nizov), imenujejo uporabna teorija elastičnosti.

V tem poglavju so predstavljeni osnovni koncepti matematične linearne teorije elastičnosti. Uporaba matematike pri opisovanju fizikalni pojavi zahteva njihovo shematizacijo. V matematični teoriji elastičnosti se problemi rešujejo s čim manj predpostavkami, kar zaplete matematične tehnike, ki se uporabljajo za rešitev. V linearni teoriji elastičnosti je obstoj linearna odvisnost med komponentami napetosti in deformacije. Za številne materiale (guma, nekatere vrste litega železa) takšne odvisnosti ni mogoče sprejeti niti pri majhnih deformacijah: diagram σ - ε v območju elastičnosti ima enak obris tako pri obremenitvi kot pri razbremenitvi, vendar v obeh primerih je ukrivljena. Pri proučevanju takih materialov je treba uporabiti odvisnosti nelinearne teorije elastičnosti.

IN Matematična linearna teorija elastičnosti temelji na naslednjih predpostavkah:

1. O kontinuiteti (kontinuiteti) okolja. V tem primeru atomska zgradba snovi oziroma prisotnost morebitne praznine se ne upoštevajo.

2. O naravnem stanju, na podlagi katerega se ne upošteva začetno napeto (deformirano) stanje telesa, ki je nastalo pred delovanjem silnih vplivov, tj. predpostavlja se, da v trenutku obremenitve telesa deformacije in napetosti na kateri koli točki so enake nič. Ob prisotnosti začetnih napetosti bo ta predpostavka veljavna, če se lahko na nastale napetosti (vsota začetnih in tistih, ki izhajajo iz vplivov) uporabijo le odvisnosti linearne teorije elastičnosti.

3. O homogenosti, na podlagi katere se domneva, da je sestava telesa v vseh točkah enaka. Če v zvezi s kovinami ta predpostavka ne daje velikih napak, potem lahko v zvezi z betonom pri majhnih količinah povzroči znatne napake.

4. O sferični izotropiji, podlagi katere se domneva, da Mehanske lastnosti materiala so v vseh smereh enake. Kovinski kristali nimajo te lastnosti, ampak za kovino kot celoto, sestavljeno iz veliko število majhnih kristalov, lahko domnevamo, da je ta hipoteza veljavna. Za materiale, ki imajo različne mehanske lastnosti v različnih smereh, kot je laminirana plastika, je bila razvita teorija elastičnosti ortotropnih in anizotropnih materialov.

5. Na idealni elastičnosti, na podlagi katere se predpostavlja popolno izginotje deformacije po odstranitvi obremenitve. Kot je znano, se pri resničnih telesih pod kakršno koli obremenitvijo pojavijo preostale deformacije. Zato predpostavka

6. O linearni zvezi med komponentami deformacij in napetosti.

7. O majhnosti deformacij, na podlagi česar se predpostavlja, da so relativne linearne in kotne deformacije majhne v primerjavi z enoto. Za materiale, kot je guma, ali elemente, kot so vijačne vzmeti, je bila razvita teorija velikih elastičnih deformacij.

Pri reševanju nalog iz teorije elastičnosti uporabljamo izrek o edinstvenosti rešitve: če so dane zunanje površine in volumetrične sile v ravnovesju, ustrezajo enemu samemu sistemu napetosti in premikov. Trditev o edinstvenosti rešitve velja le, če velja predpostavka o naravnem stanju telesa (sicer je možnih neskončno število rešitev) in predpostavka o linearni povezavi med deformacijami in zunanjimi silami.

Pri reševanju problemov v teoriji elastičnosti se pogosto uporablja princip Saint-Venant: Če zunanje sile, ki delujejo na majhno površino elastičnega telesa, nadomestimo s statično enakovrednim sistemom sil, ki delujejo na isto površino (z enakim glavnim vektorjem in enakim glavnim trenutkom), bo ta zamenjava povzročila samo spremembo lokalne deformacije.

Na točkah, ki so dovolj oddaljene od krajev, kjer delujejo zunanje obremenitve, so napetosti malo odvisne od načina njihove uporabe. Obremenitev, ki je bila pri uporu materialov shematsko izražena na podlagi Saint-Venantovega principa v obliki sile ali zgoščenega momenta, dejansko predstavlja normalne in tangencialne napetosti, tako ali drugače porazdeljene na določeno površino. površine telesa. V tem primeru lahko ista sila ali par sil ustreza različnim porazdelitvam napetosti. Na podlagi načela Saint-Venant lahko domnevamo, da sprememba sil na odseku površine telesa skoraj ne vpliva na napetosti v točkah, ki se nahajajo na dovolj veliki razdalji od mesta, kjer te sile delujejo (v primerjavi z linearne mere obremenjenega odseka).

Položaj proučevanega območja, izbranega v telesu (slika 1), je določen s smernimi kosinusi normale N na območje v izbranem sistemu pravokotnih koordinatnih osi x, y in z.

Če je P rezultanta notranjih sil, ki delujejo vzdolž osnovnega območja, izoliranega v točki A, potem je celotna napetost p N na tej točki vzdolž območja z normalnim N definirana kot meja razmerja v

naslednji obrazec:

Vektor p N lahko v prostoru razčlenimo na tri med seboj pravokotne komponente.

2. Na komponente σ N , τ N s in τ N t v smereh, ki so normalne na mesto (normalna napetost) in dve medsebojno pravokotni osi s in t (sl. 1, b), ki ležita v ravnini mesta (tangencialna stresi). Glede na sliko 1, b

Če je odsek ali območje telesa vzporedno z eno od koordinatnih ravnin, na primer y0z (slika 2), bo normala na to območje tretja koordinatna os x, komponente napetosti pa bodo označene s σ x, τ xy in τ xz.

Normalna napetost je pozitivna, če je natezna, in negativna, če je tlačna. Predznak strižne napetosti se določi po naslednjem pravilu: če pozitivna (natezna) normalna napetost vzdolž mesta daje pozitivno projekcijo, potem tangencialna

napetost vzdolž istega območja velja za pozitivno, če daje tudi pozitivno projekcijo na ustrezno os; če natezna normalna napetost daje negativno projekcijo, potem mora pozitivna strižna napetost prav tako dati negativno projekcijo na ustrezno os.

Na sl. 3, na primer, so vse komponente napetosti, ki delujejo vzdolž ploskev elementarnega paralelopipeda, ki sovpadajo s koordinatnimi ravninami, pozitivne.

Za določitev napetostnega stanja v točki elastičnega telesa je potrebno poznati skupno napetost p N na treh medsebojno pravokotnih področjih, ki potekajo skozi to točko. Ker je mogoče vsako skupno napetost razstaviti na tri komponente, bo napetostno stanje določeno, če je znanih devet komponent napetosti. Te komponente lahko zapišemo kot matriko

imenovana matrika komponent tenzorja napetosti v točki.

Vsaka vodoravna črta matrike vsebuje tri komponente napetosti, ki delujejo na eno področje, saj so prve ikone (ime normale) enake. Vsak navpični stolpec tenzorja vsebuje tri napetosti, vzporedne z isto osjo, saj so njihove druge ikone (ime osi, vzporedne s katero deluje napetost) enake.

1.2 Ravnotežne enačbe za elementarni paralelepiped

in elementarni tetraeder

Izberimo elementarni paralelepiped z merami robov dx, dy in dz v proučevani točki A (s koordinatami x, y in z) napetega prožnega telesa s tremi medsebojno pravokotnimi pari ravnin (slika 2). Vzdolž vsake od treh medsebojno pravokotnih ploskev, ki mejijo na točko A (najbližje koordinatnim ravninam), bodo delovale tri komponente napetosti - normalna in dve tangencialni. Predpostavimo, da so vzdolž ploskev, ki mejijo na točko A, pozitivne.

Pri premikanju od ploskve, ki poteka skozi točko A, do vzporedne ploskve se napetosti spremenijo in povečajo. Na primer, če vzdolž ploskve CAD, ki poteka skozi točko A, komponente napetosti σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), potem bo vzdolž vzporedne ploskve zaradi prirastka samo ene koordinate x pri prehodu z ene ploskve na drugo delovala

komponente napetosti Možno je določiti napetosti na vseh ploskvah elementarnega paralelopipeda, kot je prikazano na sl. 3.

Poleg napetosti, ki delujejo na obraze elementarnega paralelepipeda, nanj delujejo volumetrične sile: sile teže, vztrajnostne sile. Označimo projekcije teh sil na enoto prostornine na koordinatne osi z X, Y in Z. Če enačimo z nič vsoto projekcij na os x vseh normalnih, tangencialnih in prostorninskih sil,

deluje na elementarni paralelepiped, potem po redukciji za produkt dxdydz dobimo enačbo

Ko smo sestavili podobne enačbe za projekcije sil na osi y in z, bomo zapisali tri diferencialne enačbe za ravnovesje elementarnega paralelepipeda, ki jih je dobil Cauchy,

Ko se dimenzije paralelepipeda zmanjšajo na nič, se ta spremeni v točko, σ in τ pa predstavljata komponenti napetosti vzdolž treh med seboj pravokotnih območij, ki potekajo skozi točko A.

Če izenačimo z nič vsoto momentov vseh sil, ki delujejo na elementarni paralelepiped glede na os x c, ki je vzporedna z osjo x in poteka skozi njegovo težišče, dobimo enačbo

ali ob upoštevanju dejstva, da sta drugi in četrti člen enačbe višjega reda malo v primerjavi z drugimi, po zmanjšanju za dxdydz

τ yz - τ zy = 0 ali τ yz = τ zy.

Po sestavi podobnih enačb momentov glede na središčne osi y c in z c dobimo tri enačbe za zakon združevanja tangencialnih napetosti

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1,3)

Ta zakon je oblikovan na naslednji način: tangencialne napetosti, ki delujejo vzdolž medsebojno pravokotnih območij in so usmerjene pravokotno na presečišče območij, so enake velikosti in enakega znaka.

Tako je od devetih komponent napetosti matrike tenzorja T σ šest med seboj po parih enakih in za določitev napetostnega stanja v točki je dovolj, da najdemo le naslednjih šest komponent napetosti:

Toda sestavljeni ravnotežni pogoji so nam dali le tri enačbe (1.2), od katerih šestih neznank ni mogoče najti. Tako je neposredni problem določanja napetostnega stanja v točki v splošnem primeru statično nedoločljiv. Da bi razkrili to statično nedoločenost, so potrebne dodatne geometrijske in fizične odvisnosti.

Razrežemo osnovni paralelepiped v točki A z ravnino, nagnjeno na njegove ploskve; naj ima normala N na to ravnino smerne kosinuse l, m in n. Dobljeni geometrijski lik (slika 4) je piramida s trikotno osnovo - elementarni tetraeder. Predpostavili bomo, da točka A sovpada z izhodiščem koordinat, tri medsebojno pravokotne ploskve tetraedra pa sovpadajo s koordinatnimi ravninami.

Upoštevane bodo komponente napetosti, ki delujejo vzdolž teh ploskev tetraedra

pozitivno. Prikazane so na sl. 4. Označimo z in projekcije skupne napetosti p N, ki deluje vzdolž nagnjene ploskve tetraedra BCD na osi x, y in z. Označimo površino nagnjene ploskve BCD kot dF. Potem bo območje obraza AВС dFп, območje obraza ACD - dFl in obraz ADV - dFт.

Ustvarimo enačbo ravnotežja za tetraeder tako, da projiciramo vse sile, ki delujejo vzdolž njegovih ploskev, na os x; projekcija sile telesa ni vključena v enačbo projekcije, torej

saj predstavlja količino višjega reda majhnosti v primerjavi s projekcijami površinskih sil:

Ko sestavimo enačbe za projekcijo sil, ki delujejo na tetraeder na osi y in z, dobimo še dve podobni enačbi. Kot rezultat bomo imeli tri ravnotežne enačbe za elementarni tetraeder

Medsebojno razdelimo prostorsko telo poljubne oblike s sistemom pravokotne ravnine xOy, yOz in xOz (slika 5) v nekaj elementarnih paralelepipedov. Hkrati se na površini telesa oblikujejo elementarni elementi.

tetraedri (krivočrtne odseke površja zaradi svoje majhnosti lahko nadomestimo z ravninami). V tem primeru bo p N predstavljal obremenitev površine, enačbe (1.4) pa bodo to obremenitev povezale z napetostima σ in τ v telesu, torej bodo predstavljale robne pogoje problema teorije elastičnosti. Pogoji, ki jih določajo te enačbe, se imenujejo razmere na površini.

Treba je opozoriti, da so v teoriji elastičnosti zunanje obremenitve predstavljene z normalnimi in tangencialnimi napetostmi, ki se po nekem zakonu uporabljajo na področjih, ki sovpadajo s površino telesa.

1.3 Normalne in strižne napetosti vzdolž nagnjenega pobočja

mesto

Oglejmo si elementarni tetraeder ABCD, katerega tri ploskve so vzporedne s koordinatnimi ravninami, normala N na četrto ploskev pa s koordinatnimi osemi sklepa kote, katerih kosinusi so enaki l, m in n (slika 6). ). Predpostavili bomo, da sta normalni in tangencialni komponenti napetosti, ki delujeta vzdolž območij, ki ležijo v koordinatnih ravninah, podani, in določili bomo napetosti na območju BCD. Izberimo nov sistem pravokotnih koordinatnih osi x 1, y 1 in z 1, tako da os x 1 sovpada z normalo N,

Glavna naloga teorije elastičnosti je določitev napetostno-deformacijskega stanja glede na dane pogoje obremenitve in pritrjevanja telesa.

Stanje napetosti in deformacije se določi, če se najdejo komponente tenzorja napetosti () in vektorja premika, devet funkcij.

Osnovne enačbe teorije elastičnosti