Splošna rešitev heterogenega sistema. Homogeni sistemi linearnih enačb Rešitev homogenih sistemov 0
Linearna enačba se imenuje homogena, če je njegov prosti člen enak nič, sicer pa nehomogen. Sistem, sestavljen iz homogenih enačb, se imenuje homogen in ima splošno obliko:
Očitno je, da je vsak homogen sistem konsistenten in ima ničelno (trivialno) rešitev. Zato je treba pri uporabi za homogene sisteme linearnih enačb pogosto iskati odgovor na vprašanje obstoja neničelnih rešitev. Odgovor na to vprašanje je mogoče formulirati kot naslednji izrek.
Izrek . Homogen sistem linearnih enačb ima neničelno rešitev, če in samo če je njegov rang manjši od števila neznank .
Dokaz: Predpostavimo, da ima sistem, katerega rang je enak, različno rešitev. Očitno ne presega. V primeru, da ima sistem edinstveno rešitev. Ker ima sistem homogenih linearnih enačb vedno ničelno rešitev, bo ničelna rešitev ta edinstvena rešitev. Tako so neničelne rešitve možne samo za .
Posledica 1 : Homogen sistem enačb, v katerem je število enačb manjše od števila neznank, ima vedno rešitev različno od nič.
Dokaz: Če ima sistem enačb , potem rang sistema ne presega števila enačb, tj. . Tako je pogoj izpolnjen in zato ima sistem različno rešitev.
Posledica 2 : Homogen sistem enačb z neznankami ima različno rešitev takrat in samo, če je njegova determinanta nič.
Dokaz: Predpostavimo, da ima sistem linearnih homogenih enačb, katerih matrika z determinanto , različno rešitev. Potem, v skladu z dokazanim izrekom in to pomeni, da je matrika singularna, tj. .
Kronecker-Capellijev izrek: SLU je konsistenten, če in samo če je rang sistemske matrike enak rangu razširjene matrike tega sistema. Sistem se imenuje konsistenten, če ima vsaj eno rešitev.Homogeni sistem linearnih algebrskih enačb.
Sistem m linearnih enačb z n spremenljivkami imenujemo sistem linearnih homogenih enačb, če so vsi prosti členi enaki 0. Sistem linearnih homogenih enačb je vedno konsistenten, ker vedno ima vsaj ničelno rešitev. Sistem linearnih homogenih enačb ima različno rešitev, če in samo če je rang njegove matrike koeficientov za spremenljivke manjši od števila spremenljivk, tj. za rang A (n. Katera koli linearna kombinacija
Lin sistemske rešitve. homogena. ur-ii je tudi rešitev tega sistema.
Sistem linearnih neodvisnih rešitev e1, e2,...,еk imenujemo fundamentalen, če je vsaka rešitev sistema linearna kombinacija rešitev. Izrek: če je rang r matrike koeficientov za spremenljivke sistema linearnih homogenih enačb manjši od števila spremenljivk n, potem je vsak temeljni sistem rešitev sistema sestavljen iz n-r rešitev. Zato je splošna rešitev linearnega sistema. nekega dne ur-th ima obliko: c1e1+c2e2+...+skek, kjer je e1, e2,..., ek poljuben temeljni sistem rešitev, c1, c2,...,ck poljubna števila in k=n-r. Splošna rešitev sistema m linearnih enačb z n spremenljivkami je enaka vsoti
splošne rešitve sistema, ki ji ustreza, je homogena. linearne enačbe in poljubna partikularna rešitev tega sistema.
7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna lupina. Linearni prostor se imenuje n-dimenzionalen, če je v njem sistem linearno neodvisnih vektorjev, vsak sistem večjega števila vektorjev pa je linearno odvisen. Številka je poklicana dimenzija (število dimenzij) linearni prostor in je označen z . Z drugimi besedami, dimenzija prostora je največje število linearno neodvisnih vektorjev tega prostora. Če takšno število obstaja, se prostor imenuje končnodimenzionalen. Če za poljubno naravno število n obstaja sistem v prostoru, sestavljen iz linearno neodvisnih vektorjev, potem se tak prostor imenuje neskončnodimenzionalen (zapisano: ). Če ni navedeno drugače, bodo v nadaljevanju obravnavani končnodimenzionalni prostori.
Osnova n-dimenzionalnega linearnega prostora je urejena zbirka linearno neodvisnih vektorjev ( bazni vektorji).
Izrek 8.1 o razširitvi vektorja v smislu baze. Če je osnova n-dimenzionalnega linearnega prostora, potem lahko vsak vektor predstavimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
in poleg tega na edini način, tj. koeficienti so določeni enolično. Z drugimi besedami, vsak vektor prostora je mogoče razširiti v osnovo in poleg tega na edinstven način.
Dejansko je dimenzija prostora . Sistem vektorjev je linearno neodvisen (to je baza). Ko bazi dodamo poljubni vektor, dobimo linearno odvisen sistem (saj je ta sistem sestavljen iz vektorjev n-dimenzionalnega prostora). Z uporabo lastnosti 7 linearno odvisnih in linearno neodvisnih vektorjev dobimo sklep izreka.
Kaluga podružnica zvezne državne proračunske izobraževalne ustanove višjega strokovnega izobraževanja
"Moskovska državna tehnična univerza po imenu N.E. Bauman"
(Harkovska podružnica Moskovske državne tehnične univerze po imenu N.E. Bauman)
Vlaykov N.D.
Rešitev homogenih SLAE
Navodila za izvajanje vaj
na tečaju analitične geometrije
Kaluga 2011
Cilji lekcije stran 4
Načrt lekcije, stran 4
Potrebne teoretične informacije str.5
Praktični del str.10
Spremljanje obvladovanja obravnavane snovi 13. stran
Domača naloga str.14
Število ur: 2
Cilji lekcije:
Sistematizirati pridobljeno teoretično znanje o vrstah SLAE in metodah za njihovo reševanje.
Pridobite veščine reševanja homogenih SLAE.
Učni načrt:
Na kratko opišite teoretično snov.
Rešite homogeno SLAE.
Poiščite temeljni sistem rešitev homogene SLAE.
Poiščite partikularno rešitev homogenega SLAE.
Oblikujte algoritem za reševanje homogenega SLAE.
Preverite svojo trenutno domačo nalogo.
Izvedite preverjanje.
Predstavite temo naslednjega seminarja.
Oddaj trenutno domačo nalogo.
Potrebne teoretične informacije.
Matrični rang.
Def. Rang matrike je število, ki je enako največjemu vrstnemu redu med njenimi ničelnimi manjšimi. Rang matrike je označen z .
Če kvadratna matrika ni singularna, potem je njen rang enak njenemu vrstnemu redu. Če je kvadratna matrika singularna, potem je njen rang manjši od njenega vrstnega reda.
Rang diagonalne matrike je enak številu njenih neničelnih diagonalnih elementov.
Teor. Ko je matrika transponirana, se njen rang ne spremeni, tj. 
.
Teor. Rang matrike se ne spremeni z elementarnimi transformacijami njenih vrstic in stolpcev.
Izrek o bazičnem minorju.
Def. Minor 
matrice 
se imenuje osnovna, če sta izpolnjena dva pogoja:
a) ni enaka nič;
b) njen vrstni red je enak rangu matrike 
.
Matrix 
ima lahko več manjših baz.
Matrične vrstice in stolpci 
, v katerih se nahaja izbrani osnovni minor, imenujemo osnovne.
Teor. Izrek o bazičnem minorju. Osnovne vrstice (stolpci) matrike 
, ki ustreza kateremu koli njegovemu osnovnemu minoru 
, so linearno neodvisni. Poljubne vrstice (stolpci) matrike 
, ni vključeno v 
, so linearne kombinacije osnovnih vrstic (stolpcev).
Teor. Za vsako matriko je njen rang enak največjemu številu njenih linearno neodvisnih vrstic (stolpcev).
Izračun ranga matrike. Metoda elementarnih transformacij.
Z uporabo elementarnih transformacij vrstic lahko katero koli matriko reduciramo na obliko ešalona. Rang matrike korakov je enak številu neničelnih vrstic. Osnova v njem je pomol, ki se nahaja na presečišču neničelnih vrstic s stolpci, ki ustrezajo prvim neničelnim elementom z leve v vsaki od vrstic.
SLAU. Osnovne definicije.
Def. Sistem 
(15.1)
Številke 
se imenujejo koeficienti SLAE. Številke 
imenujemo prosti členi enačb.
Vnos SLAE v obliki (15.1) se imenuje koordinata.
Def. SLAE se imenuje homogen, če 
. V nasprotnem primeru se imenuje heterogena.
Def. Rešitev SLAE je niz neznanih vrednosti, tako da se po zamenjavi vsaka enačba sistema spremeni v identiteto. Vsaka posebna rešitev SLAE se imenuje tudi njegova posebna rešitev.
Reševanje SLAE pomeni reševanje dveh težav:
Ugotovite, ali ima SLAE rešitve;
Poiščite vse rešitve, če obstajajo.
Def. SLAE se imenuje spoj, če ima vsaj eno rešitev. V nasprotnem primeru se imenuje nezdružljivo.
Def.Če ima SLAE (15.1) rešitev, in to edinstveno, se imenuje določena, če pa rešitev ni edinstvena, se imenuje nedoločena.
Def.Če je v enačbi (15.1) 
,SLAE se imenuje kvadrat.
Evidenčni obrazci SLAU.
Poleg koordinatne oblike (15.1) se zapisi SLAE pogosto uporabljajo v drugih njenih predstavitvah.
(15.2)
Relacija se imenuje vektorska oblika zapisa SLAE.
Če za osnovo vzamemo produkt matrik, lahko SLAE (15.1) zapišemo na naslednji način:
(15.3)
oz 
.
Zapis SLAE (15.1) v obliki (15.3) se imenuje matrika.
Homogene SLAE.
Homogen sistem 
linearne algebrske enačbe z 
neznanke je sistem oblike
Homogene SLAE so vedno skladne, saj vedno obstaja ničelna rešitev.
Kriterij obstoja neničelne rešitve. Da obstaja neničelna rešitev za homogeno kvadratno SLAE, je potrebno in zadostuje, da je njegova matrika singularna.
Teor.Če stebri 
,
,
…,
so rešitve homogenega SLAE, potem je vsaka njihova linearna kombinacija tudi rešitev tega sistema.
Posledica. Če ima homogena SLAE rešitev, ki ni nič, potem ima neskončno število rešitev.
Naravno je, da poskušamo najti takšne rešitve 
,
,
…,
sistemov, tako da je vsaka druga rešitev predstavljena kot linearna kombinacija le-teh in poleg tega na edinstven način.
Def. Vsak niz 
linearno neodvisni stolpci 
,
,
…,
, ki so rešitve homogene SLAE 
, Kje 
- število neznank in 
- rang njegove matrike 
, se imenuje temeljni sistem rešitev te homogene SLAE.
Pri proučevanju in reševanju homogenih sistemov linearnih enačb bomo določili bazni minor v matriki sistema. Bazni minor bo ustrezal baznim stolpcem in s tem baznim neznankam. Preostale neznanke bomo poklicali brezplačno.
Teor. O strukturi splošne rešitve homogene SLAE. če 
,
,
…,
- poljuben temeljni sistem rešitev homogene SLAE 
, potem lahko katero koli njegovo rešitev predstavimo v obliki
Kje 
,
…,
- nekateri so trajni.
to. splošna rešitev homogene SLAE ima obliko
Praktični del.
Razmislite o možnih nizih rešitev naslednjih tipov SLAE in njihovi grafični interpretaciji.
;
;
.
Razmislite o možnosti reševanja teh sistemov z uporabo Cramerjevih formul in matrične metode.
Razložite bistvo Gaussove metode.
Rešite naslednje težave.
Primer 1. Rešite homogeno SLAE. Poiščite FSR.
.
Zapišimo matriko sistema in jo reduciramo na stopenjsko obliko.
.
sistem bo imel neskončno veliko rešitev. FSR bo sestavljen iz 
stolpce.
Zavrzimo ničelne vrstice in znova zapišimo sistem:
.
Za osnovni minor bomo menili, da je v zgornjem levem kotu. to. 
- osnovne neznanke in 
- prost. Izrazimo se 
prek brezplačnega 
:
;
Postavimo 
.
Končno imamo:
- koordinirano obliko odgovora, oz
- matrična oblika odgovora, oz
- vektorska oblika odgovora (vektorski - stolpci so stolpci FSR).
Algoritem za reševanje homogenega SLAE.
Poiščite FSR in splošno rešitev naslednjih sistemov:
№2.225(4.39)
. odgovor: 
№2.223(2.37)
. odgovor:
№2.227(2.41)
. odgovor: 
Rešite homogeno SLAE:
. odgovor: 
Rešite homogeno SLAE:
. odgovor: 
Predstavitev teme naslednjega seminarja.
Reševanje sistemov linearnih nehomogenih enačb.
Spremljanje obvladovanja obravnavane snovi.
Testno delo 3 - 5 minut. 4 učenci sodelujejo z lihimi številkami v dnevniku, od št. 10
|
Sledite tem korakom:
|
Sledite tem korakom:
|
|
|
Izračunaj determinanto:
|
;
;
|
Sledite tem korakom:
|
Sledite tem korakom:
|
|
Poiščite inverzno matriko tega:
|
Izračunaj determinanto:
|
nedoločeno
Domača naloga:
1. Rešite težave:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2. Delo skozi predavanja o naslednjih temah:
Sistemi linearnih algebrskih enačb (SLAE). Koordinatne, matrične in vektorske oblike zapisa. Kronecker-Capellijev kriterij za združljivost SLAE. Heterogene SLAE. Kriterij za obstoj neničelne rešitve homogene SLAE. Lastnosti raztopin homogene SLAE. Osnovni sistem rešitev homogene SLAE, izrek o njegovem obstoju. Normalni temeljni sistem rešitev. Izrek o strukturi splošne rešitve homogene SLAE. Izrek o zgradbi splošne rešitve nehomogene SLAE.
Imenuje se sistem linearnih enačb, v katerem so vsi prosti členi enaki nič homogena :
Vsak homogen sistem je vedno konsistenten, saj je vedno bil nič (trivialno ) rešitev. Postavlja se vprašanje, pod katerimi pogoji bo imel homogen sistem netrivialno rešitev.
Izrek 5.2.Homogen sistem ima netrivialno rešitev, če in samo če je rang osnovne matrike manjši od števila njegovih neznank.
Posledica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivialno rešitev, če in samo če determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič.
Primer 5.6. Določite vrednosti parametra l, pri katerih ima sistem netrivialne rešitve, in poiščite te rešitve:
rešitev. Ta sistem bo imel netrivialno rešitev, ko je determinanta glavne matrike enaka nič:
Tako je sistem netrivialen, ko je l=3 ali l=2. Za l=3 je rang glavne matrike sistema 1. Potem pustimo samo eno enačbo in predpostavimo, da l=a in z=b, dobimo x=b-a, tj.
Za l=2 je rang glavne matrike sistema 2. Nato izberemo pomožno za osnovo:
dobimo poenostavljen sistem
Od tod to ugotovimo x=z/4, y=z/2. Verjeti z=4a, dobimo
Množica vseh rešitev homogenega sistema ima zelo pomembno vlogo linearna lastnost : če stolpci X 1 in X 2 - rešitve homogenega sistema AX = 0, potem katera koli njihova linearna kombinacija a X 1 + b X 2 bo tudi rešitev tega sistema. Dejansko, saj SEKIRA 1 = 0 in SEKIRA 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a SEKIRA 1 + b SEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zaradi te lastnosti, če ima linearni sistem več kot eno rešitev, bo teh rešitev neskončno veliko.
Linearno neodvisni stolpci E 1 , E 2 , E k, ki so rešitve homogenega sistema, imenujemo temeljni sistem rešitev homogen sistem linearnih enačb, če lahko splošno rešitev tega sistema zapišemo kot linearno kombinacijo teh stolpcev:
Če ima homogen sistem n spremenljivk, rang glavne matrike sistema pa je enak r, To k = n-r.
Primer 5.7. Poiščite temeljni sistem rešitev naslednjega sistema linearnih enačb:
rešitev. Poiščimo rang glavne matrike sistema:
Tako množica rešitev tega sistema enačb tvori linearni podprostor dimenzije n-r= 5 - 2 = 3. Za osnovo izberimo minor
Potem, če pustimo le osnovne enačbe (ostalo bo linearna kombinacija teh enačb) in osnovne spremenljivke (preostale, tako imenovane proste spremenljivke premaknemo na desno), dobimo poenostavljen sistem enačb:
Verjeti x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, najdemo
Verjeti a= 1, b = c= 0, dobimo prvo osnovno rešitev; verjeti b= 1, a = c= 0, dobimo drugo osnovno rešitev; verjeti c= 1, a = b= 0, dobimo tretjo osnovno rešitev. Posledično bo normalen temeljni sistem rešitev dobil obliko
Z uporabo temeljnega sistema lahko splošno rešitev homogenega sistema zapišemo kot
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Opozorimo na nekatere lastnosti rešitev nehomogenega sistema linearnih enačb AX=B in njihov odnos z ustreznim homogenim sistemom enačb AX = 0.
Splošna rešitev nehomogenega sistemaje enaka vsoti splošne rešitve ustreznega homogenega sistema AX = 0 in poljubne partikularne rešitve nehomogenega sistema. Res, naj Y 0 je poljubna partikularna rešitev nehomogenega sistema, tj. AY 0 = B, In Y- splošna rešitev heterogenega sistema, tj. AY=B. Če odštejemo eno enakost od druge, dobimo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema SEKIRA=0. torej Y-Y 0 = X, oz Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Naj ima nehomogen sistem obliko AX = B 1 + B 2 . Potem lahko splošno rešitev takega sistema zapišemo kot X = X 1 + X 2 , kjer je AX 1 = B 1 in AX 2 = B 2. Ta lastnost izraža univerzalno lastnost vseh linearnih sistemov na splošno (algebraičnih, diferencialnih, funkcionalnih itd.). V fiziki se ta lastnost imenuje princip superpozicije, v elektro in radijski tehniki - princip superpozicije. Na primer, v teoriji linearnih električnih tokokrogov lahko tok v katerem koli tokokrogu dobimo kot algebraično vsoto tokov, ki jih povzroča vsak vir energije posebej.
Homogeni sistem linearnih enačb AX = 0 vedno skupaj. Ima netrivialne (neničelne) rešitve, če r= rang A< n .
Za homogene sisteme so osnovne spremenljivke (katerih koeficienti tvorijo osnovni minor) izražene preko prostih spremenljivk z relacijami oblike:
Potem n-r Linearno neodvisne vektorske rešitve bodo:
vsaka druga rešitev pa je njihova linearna kombinacija. Vektorske rešitve 
tvorijo normaliziran temeljni sistem.
V linearnem prostoru množica rešitev homogenega sistema linearnih enačb tvori podprostor dimenzije n-r; 
- osnova tega podprostora.
Sistem m linearne enačbe z n neznano(ali, linearni sistem
 |
Tukaj x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficienti - in b 1 , b 2 , … b m a ijjaz) in neznano ( j
Sistem (1) se imenuje homogenab 1 = b 2 = … = b m= 0), drugače - heterogena.
Sistem (1) se imenuje kvadrat, če št m enačbe enake številu n neznano.
rešitev sistemi (1) - komplet nštevilke c 1 , c 2 , …, c n, tako da zamenjava vsakega c i namesto x i v sistem (1) spremeni vse svoje enačbe v identitete.
Sistem (1) se imenuje sklep neskupni
Rešitve c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) in c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n različno
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
določene negotova. Če je enačb več kot neznank, se imenuje na novo definiran.
Reševanje sistemov linearnih enačb
Reševanje matričnih enačb ~ Gaussova metoda
Metode za reševanje sistemov linearnih enačb delimo v dve skupini:
1. natančne metode, ki so končni algoritmi za izračun korenin sistema (reševanje sistemov z uporabo inverzne matrike, Cramerjevega pravila, Gaussove metode itd.),
2. iterativne metode, ki omogočajo pridobitev rešitve sistema z dano natančnostjo s konvergentnimi iterativnimi procesi (iteracijska metoda, Seidelova metoda itd.).
Zaradi neizogibnega zaokroževanja so rezultati tudi eksaktnih metod približni. Pri uporabi iterativnih metod se doda še napaka metode.
Učinkovita uporaba iterativnih metod je bistveno odvisna od uspešne izbire začetnega približka in hitrosti konvergence procesa.
Reševanje matričnih enačb
Razmislite o sistemu n linearne algebrske enačbe glede na n neznano X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrix A, katerega stolpci so koeficienti za ustrezne neznanke, vrstice pa so koeficienti za neznanke v ustrezni enačbi, se imenuje matriko sistema; matrični stolpec b, katerega elementi so desne strani enačb sistema, se imenuje desna stranska matrika ali preprosto desni strani sistema. Matrika stolpcev X, katerega elementi so neznane neznanke, se imenuje sistemska rešitev.
Če matriko A- neposeben, to je det A n e je enak 0, potem ima sistem (13) ali njemu enaka matrična enačba (14) edinstveno rešitev.
Dejansko pod pogojem, det A ni enako 0 obstaja inverzna matrika A-1 . Množenje obeh strani enačbe (14) z matriko A-1 dobimo:
| (16) |
Formula (16) daje rešitev enačbe (14) in je edinstvena.
S funkcijo je priročno reševati sisteme linearnih enačb lsolve.
lsolve( A, b)
Vektor rešitve je vrnjen x tako da Oh= b.
Argumenti:
A- kvadratna, nesingularna matrika.
b- vektor, ki ima enako število vrstic, kot je vrstic v matriki A .
Slika 8 prikazuje rešitev sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami.
Gaussova metoda
Gaussova metoda, imenovana tudi Gaussova eliminacijska metoda, je sestavljena iz dejstva, da se sistem (13) reducira z zaporedno eliminacijo neznank na enakovredni sistem s trikotno matriko:
V matričnem zapisu to pomeni, da se najprej (neposredni pristop Gaussove metode) z elementarnimi operacijami nad vrsticami razširjena matrika sistema reducira na stopenjsko obliko:
in nato (obratno od Gaussove metode) se ta matrika korakov preoblikuje tako, da v prvem n stolpcev dobimo enotsko matriko:
.
Nazadnje, ( n+ 1) stolpec te matrike vsebuje rešitev sistema (13).
V Mathcadu premike naprej in nazaj po Gaussovi metodi izvaja funkcija ref(A).
Slika 9 prikazuje rešitev sistema linearnih enačb z Gaussovo metodo, ki uporablja naslednje funkcije:
rref( A)
Vrne se stopničasta oblika matrike A.
povečati ( A, IN)
Vrne matriko, ki jo tvori lokacija A in IN drug ob drugem. Nizi A in IN mora imeti enako število vrstic.
podmatrika( A, ir, jr, ic, jc)
Vrne podmatriko, sestavljeno iz vseh elementov z ir Avtor: jr in stolpce z ic Avtor: jc. Poskrbi da ir jr in
ic jc, drugače bo vrstni red vrstic in/ali stolpcev obrnjen.
Slika 9.
Opis metode
Za sistem n linearnih enačb z n neznankami (nad poljubnim poljem)
pri čemer je determinanta sistemske matrike Δ različna od nič, je rešitev zapisana v obliki
(i-ti stolpec sistemske matrike se nadomesti s stolpcem prostih členov).
V drugi obliki je Cramerjevo pravilo formulirano takole: za poljubne koeficiente c1, c2, ..., cn velja naslednja enakost:
V tej obliki je Cramerjeva formula veljavna brez predpostavke, da je Δ različen od nič; sploh ni nujno, da so koeficienti sistema elementi integralnega obroča (determinanta sistema je lahko celo delitelj ničle v koeficientni obroč). Predpostavimo lahko tudi, da množice b1,b2,...,bn in x1,x2,...,xn ali množica c1,c2,...,cn niso sestavljene iz elementov koeficientnega obroča sistema, ampak kakšen modul nad tem obročem. V tej obliki se Cramerjeva formula uporablja na primer pri dokazu formule za determinanto Grama in Nakajamine leme.
| 35) Kronecker-Capellijev izrek |
Da bi bil sistem m nehomogenih linearnih enačb z n neznankami konsistenten, je potrebno in zadostno, da je Dokaz nujnosti. Naj bo sistem (1.13) konsistenten, to pomeni, da takšna števila obstajajo X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n, Kaj  (1.15) Od zadnjega stolpca razširjene matrike odštejmo njen prvi stolpec, pomnožen z α 1, drugi - z α 2, ..., nth - pomnožen z α n, to je od zadnjega stolpca matrike. (1.14) bi morali odšteti leve strani enačb ( 1.15). Nato dobimo matrico  katerih rang se ne bo spremenil zaradi elementarnih transformacij in . Vendar je očitno in zato dokaz zadostnosti. Naj in za določenost naj se v zgornjem levem kotu matrike nahaja neničelni minor reda r:  To pomeni, da lahko preostale vrstice matrike dobimo kot linearne kombinacije prvih r vrstic, kar pomeni, da lahko m-r vrstic matrike predstavimo kot vsote prvih r vrstic, pomnožene z nekaterimi števili. Toda tedaj so prve r enačb sistema (1.13) neodvisne, ostale pa so njihove posledice, to pomeni, da je rešitev sistema prvih r enačb samodejno rešitev preostalih enačb. Možna sta dva primera. 1. r=n. Potem ima sistem, sestavljen iz prvih r enačb, enako število enačb in neznank in je konsistenten, njegova rešitev pa je edinstvena. 2.r |
36) gotovost, negotovost
Sistem m linearne enačbe z n neznano(ali, linearni sistem) v linearni algebri je sistem enačb oblike
 |
Tukaj x 1 , x 2 , …, x n- neznanke, ki jih je treba določiti. a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficienti - in b 1 , b 2 , … b m- prosti člani - se domneva, da so znani. Indeksi koeficientov ( a ij) sistemi označujejo številke enačb ( jaz) in neznano ( j), pri katerih ta koeficient stoji.
Sistem (1) se imenuje homogena, če so vsi njegovi prosti členi enaki nič ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), drugače - heterogena.
Sistem (1) se imenuje sklep, če ima vsaj eno rešitev, in neskupni, če nima ene same rešitve.
Spojni sistem tipa (1) ima lahko eno ali več rešitev.
Rešitve c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) in c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) imenujemo sklepne sisteme oblike (1). različno, če je kršena vsaj ena od enakosti:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Zgibni sistem oblike (1) se imenuje določene, če ima edinstveno rešitev; če ima vsaj dve različni rešitvi, se imenuje negotova
37) Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo
Naj izvirni sistem izgleda takole
Matrix A se imenuje glavna matrika sistema, b- stolpec brezplačnih članov.
Nato lahko glede na lastnost elementarnih transformacij nad vrsticami glavno matriko tega sistema reduciramo na stopničasto obliko (enake transformacije je treba uporabiti za stolpec prostih členov):
Nato se pokličejo spremenljivke glavne spremenljivke. Vsi drugi so poklicani prost.
[uredi]Pogoj združljivosti
Zgornji pogoj za vse lahko formuliramo kot nujen in zadosten pogoj za združljivost:
Spomnimo se, da je rang skupnega sistema rang njegove glavne matrike (ali razširjene matrike, ker sta enaka).
Algoritem
Opis
Algoritem za reševanje SLAE z uporabo Gaussove metode je razdeljen na dve stopnji.
§ Na prvi stopnji se izvede tako imenovana direktna poteza, ko se z elementarnimi transformacijami nad vrstami sistem privede do stopničaste ali trikotne oblike ali pa se ugotovi, da je sistem nekompatibilen. Med elementi prvega stolpca matrike namreč izberemo neničelnega, ga s preurejanjem vrstic premaknemo na skrajno zgornjo lego in od preostalih vrstic po prerazporeditvi odštejemo nastalo prvo vrstico in jo pomnožimo z vrednostjo enaka razmerju med prvim elementom vsake od teh vrstic in prvim elementom prve vrstice, s čimer je stolpec pod njim ničel. Ko so te transformacije končane, sta prva vrstica in prvi stolpec mentalno prečrtana in se nadaljuje, dokler ne ostane matrika ničelne velikosti. Če pri kateri koli ponovitvi med elementi prvega stolpca ni neničelnega elementa, pojdite na naslednji stolpec in izvedite podobno operacijo.
§ Na drugi stopnji se izvede tako imenovana obratna poteza, katere bistvo je izraziti vse nastale osnovne spremenljivke v smislu nebazičnih in zgraditi temeljni sistem rešitev ali, če so vse spremenljivke osnovno, nato numerično izrazite edino rešitev sistema linearnih enačb. Ta postopek se začne z zadnjo enačbo, iz katere je izražena ustrezna osnovna spremenljivka (in je samo ena) in nadomeščena v prejšnjih enačbah, in tako naprej po "stopnicah". Vsaka vrstica ustreza natanko eni bazični spremenljivki, tako da na vsakem koraku, razen na zadnjem (najvišjem), situacija natančno ponavlja primer zadnje vrstice.
Gaussova metoda zahteva red O(n 3) dejanja.
Ta metoda temelji na:
38)Kronecker-Capellijev izrek.
Sistem je konsistenten, če in samo če je rang njegove glavne matrike enak rangu njegove razširjene matrike.
Namen storitve. Spletni kalkulator je zasnovan tako, da najde netrivialno in temeljno rešitev za SLAE. Nastala rešitev se shrani v Wordovo datoteko (glejte primer rešitve).
Navodila. Izberite dimenzijo matrice:
Lastnosti sistemov linearnih homogenih enačb
Da bi sistem imel netrivialne rešitve, je nujno in zadostno, da je rang njegove matrike manjši od števila neznank.Izrek. Sistem v primeru m=n ima netrivialno rešitev takrat in samo, če je determinanta tega sistema enaka nič.
Izrek. Vsaka linearna kombinacija rešitev sistema je tudi rešitev tega sistema.
Opredelitev. Množica rešitev sistema linearnih homogenih enačb se imenuje temeljni sistem rešitev, če je ta niz sestavljen iz linearno neodvisnih rešitev in je katera koli rešitev sistema linearna kombinacija teh rešitev.
Izrek. Če je rang r sistemske matrike manjši od števila neznank n, potem obstaja temeljni sistem rešitev, sestavljen iz (n-r) rešitev.
Algoritem za reševanje sistemov linearnih homogenih enačb
- Iskanje ranga matrike.
- Izberemo osnovni mol. Ločimo odvisne (osnovne) in proste neznanke.
- Prečrtamo tiste enačbe sistema, katerih koeficienti niso vključeni v bazični minor, saj so posledice ostalih (po izreku o bazičnem minoru).
- Člene enačb, ki vsebujejo proste neznanke, premaknemo na desno stran. Kot rezultat dobimo sistem r enačb z r neznankami, ki je enak dani, katere determinanta je različna od nič.
- Nastali sistem rešimo z izločanjem neznank. Najdemo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke skozi proste.
- Če rang matrike ni enak številu spremenljivk, potem najdemo temeljno rešitev sistema.
- V primeru rang = n imamo trivialno rešitev.
Primer. Poiščite osnovo sistema vektorjev (a 1, a 2,...,a m), rangirajte in izrazite vektorje na podlagi baze. Če je 1 =(0,0,1,-1) in 2 =(1,1,2,0) in 3 =(1,1,1,1) in 4 =(3,2,1 ,4) in 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavno matriko sistema:
Pomnožite 3. vrstico z (-3). Dodajmo 4. vrstico tretji:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnožite 4. vrstico z (-2). Pomnožimo 5. vrstico s (3). Dodajmo 5. vrstico četrti:
Dodajmo 2. vrstico prvi:
Poiščimo rang matrike.
Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Z metodo izločanja neznank najdemo netrivialno rešitev:
Dobili smo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke x 1 , x 2 , x 3 skozi proste x 4 , torej smo našli splošno rešitev:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
