Určenie čísla jeho logaritmom. Vlastnosti logaritmov a príklady ich riešenia. Vyčerpávajúci sprievodca (2020). Psychológia a biológia

Uvádzajú sa hlavné vlastnosti logaritmu, graf logaritmu, oblasť definície, množina hodnôt, základné vzorce, nárast a pokles. Zvažuje sa nájdenie derivácie logaritmu. Rovnako ako integrál, rozširovanie mocninného radu a reprezentácia pomocou komplexných čísel.

Obsah

Doména, množina hodnôt, vzostupná, zostupná

Logaritmus je monotónna funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti logaritmu sú uvedené v tabuľke.

doména	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rozsah hodnôt	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotónne	zvyšuje monotónne	klesá monotónne
Nuly, y= 0	x= 1	x= 1
Priesečníky s osou y, x = 0	Nie	Nie
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Súkromné ​​hodnoty

Volá sa základný 10 logaritmus desiatkový logaritmus a je označený takto:

základný logaritmus e volal prirodzený logaritmus:

Základné logaritmické vzorce

Vlastnosti logaritmu vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmovaní sa súčin faktorov prevedie na súčty členov.
Potenciácia je matematická operácia inverzná k logaritmu. Pri potenciácii sa daný základ pozdvihne na silu výrazu, na ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov prevedú na súčin faktorov.

Dôkaz základných vzorcov pre logaritmy

Vzorce súvisiace s logaritmami vyplývajú zo vzorcov pre exponenciálne funkcie az definície inverznej funkcie.

Zvážte vlastnosť exponenciálnej funkcie
.
Potom
.
Použite vlastnosť exponenciálnej funkcie
:
.

Dokážme vzorec zmeny bázy.
;
.
Pri nastavení c = b máme:

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota logaritmu základu a je exponenciálna funkcia s exponentom a.

Ak potom

Ak potom

Derivácia logaritmu

Derivácia logaritmu modulo x :
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu, musíte ho zredukovať na základňu e.
;
.

Integrálne

Integrál logaritmu sa vypočíta integráciou po častiach : .
takže,

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
.
Vyjadrime komplexné číslo z cez modul r a argument φ :
.
Potom pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo

Avšak, argument φ nie je jasne definovaný. Ak dáme
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Pre rozšírenie sa uskutoční:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Pozri tiež:

Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o výpočet logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov podľa definície. Ďalej zvážte, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať tabuľky logaritmov. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobným riešením.

Navigácia na stránke.

Výpočet logaritmov podľa definície

V najjednoduchších prípadoch je možné rýchlo a jednoducho vykonať nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.

Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c , odkiaľ podľa definície logaritmu je číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že nájdenie logaritmu podľa definície zodpovedá nasledujúcemu reťazcu rovnosti: log a b=log a a c =c .

Výpočet logaritmu teda podľa definície spočíva v nájdení takého čísla c, že ​​a c \u003d b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Vzhľadom na informácie z predchádzajúcich odsekov, keď je číslo pod znamienkom logaritmu dané určitým stupňom základne logaritmu, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - rovná sa exponentu. Ukážme si príklady.

Príklad.

Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus e 5,3.

Riešenie.

Definícia logaritmu nám umožňuje hneď povedať, že log 2 2 −3 = −3 . V skutočnosti sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu 2 až -3.

Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.

odpoveď:

log 2 2 −3 = −3 a lne 5.3 = 5.3.

Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je uvedené ako mocnina základu logaritmu, potom musíte dôkladne zvážiť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Toto znázornenie je často celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu na mocninu 1, alebo 2, alebo 3, ...

Príklad.

Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .

Riešenie.

Je ľahké vidieť, že 25=5 2 , to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Prejdeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: (pozri v prípade potreby). teda .

Prepíšme tretí logaritmus do nasledujúceho tvaru. Teraz to môžete vidieť , z čoho sme dospeli k záveru, že . Preto podľa definície logaritmu .

Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto:

odpoveď:

log 5 25=2 , A .

Keď je dostatočne veľké prirodzené číslo pod znamienkom logaritmu, nezaškodí ho rozložiť na prvočísla. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.

Príklad.

Nájdite hodnotu logaritmu.

Riešenie.

Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednotky a vlastnosť logaritmu čísla rovného základu: log 1 1=log a a 0 =0 a log a a=log a a 1 =1 . To znamená, že keď číslo 1 alebo číslo a je pod znamienkom logaritmu, ktoré sa rovná základu logaritmu, potom sú v týchto prípadoch logaritmy 0 a 1.

Príklad.

Aké sú logaritmy a lg10?

Riešenie.

Od , vyplýva z definície logaritmu .

V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1 .

odpoveď:

A lg10=1.

Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p , čo je jedna z vlastností logaritmov.

V praxi, keď je číslo pod znamienkom logaritmu a základ logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina nejakého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec , čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Zvážte príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus .

Riešenie.

odpoveď:

.

Pri výpočte sa využívajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odstavcoch.

Hľadanie logaritmov z hľadiska iných známych logaritmov

Informácie v tomto odseku pokračujú v téme využitia vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre objasnenie si uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963 , potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6=log 2 (2 3)= log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie však musíte použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby ste vypočítali pôvodný logaritmus z hľadiska daných.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus 27 k základu 60, ak je známe, že log 60 2=a a log 60 5=b .

Riešenie.

Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27=3 3 a pôvodný logaritmus, vďaka vlastnosti logaritmu stupňa, možno prepísať ako 3·log 60 3 .

Teraz sa pozrime, ako možno log 60 3 vyjadriť pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu vám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1 . Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . teda 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. teda log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b) = 3-6 a-3 b.

odpoveď:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca pre prechod na nový základ logaritmu formulára . Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne z pôvodného logaritmu podľa prechodového vzorca prechádzajú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú ich výpočet s určitým stupňom presnosti. V ďalšej časti si ukážeme, ako sa to robí.

Logaritmické tabuľky, ich použitie

Na približný výpočet hodnôt logaritmov je možné použiť logaritmické tabuľky. Najbežnejšie používané sú základná 2 logaritmická tabuľka, prirodzená logaritmická tabuľka a desiatková logaritmická tabuľka. Pri práci v desiatkovej číselnej sústave je vhodné použiť tabuľku logaritmov so základom desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.

Predložená tabuľka umožňuje s presnosťou na jednu desaťtisícinu nájsť hodnoty dekadických logaritmov čísel od 1,000 do 9,999 (s tromi desatinnými miestami). Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov rozoberieme na konkrétnom príklade - je to jasnejšie. Poďme nájsť lg1,256 .

V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, čiže nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslo 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslo 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou farbou). Teraz nájdeme čísla v bunkách tabuľky logaritmov na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžovou farbou). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desiatkového logaritmu až po štvrté desatinné miesto, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, a tiež prekročiť limity od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.

Vypočítajme lg102,76332 . Najprv musíte napísať číslo v štandardnom tvare: 102,76332=1,0276332 10 2 . Potom by sa mantisa mala zaokrúhliť na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, pričom pôvodný dekadický logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Teraz použite vlastnosti logaritmu: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2. Nakoniec zistíme hodnotu logaritmu lg1,028 podľa tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.

Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky dekadických logaritmov nájdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. Teda, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä - rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš? Dobre. Teraz na 10 - 20 minút:

1. Pochopte čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálnych rovníc. Aj keď ste o nich ešte nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Okrem toho budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a ako sa číslo zvýši na mocninu ...

Cítim, že pochybuješ... No, nechaj si čas! Choď!

Najprv si v duchu vyriešte nasledujúcu rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

S rozvojom spoločnosti, zložitosťou výroby sa rozvíjala aj matematika. Pohyb od jednoduchého k zložitému. Od zaužívaného účtovného spôsobu sčítania a odčítania sa ich opakovaným opakovaním dostali k pojmu násobenie a delenie. Zníženie viacnásobne opakovanej operácie sa stalo pojmom umocňovanie. Prvé tabuľky závislosti čísel od základne a počtu umocnení zostavil už v 8. storočí indický matematik Varasena. Z nich môžete spočítať čas výskytu logaritmov.

Historický náčrt

Oživenie Európy v 16. storočí podnietilo aj rozvoj mechaniky. T vyžadovalo veľké množstvo výpočtov súvisiace s násobením a delením viacciferných čísel. Staroveké stoly urobili skvelú službu. Umožnili nahradiť zložité operácie jednoduchšími – sčítanie a odčítanie. Veľkým krokom vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej realizoval myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo použiť tabuľky nielen pre stupne vo forme prvočísel, ale aj pre ľubovoľné racionálne.

V roku 1614 Škót John Napier, rozvíjajúc tieto myšlienky, prvýkrát predstavil nový termín „logaritmus čísla“. Boli zostavené nové komplexné tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínusov, ako aj dotyčníc. To značne znížilo prácu astronómov.

Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali už tri storočia. Uplynulo veľa času, kým nová operácia v algebre nadobudla svoju hotovú podobu. Bol definovaný logaritmus a boli študované jeho vlastnosti.

Až v 20. storočí, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staroveké tabuľky, ktoré úspešne fungovali počas 13. storočia.

Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, čo je mocnina a, aby sme dostali číslo b. Toto je napísané ako vzorec: x = log a(b).

Napríklad log 3(9) sa bude rovnať 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak zvýšime 3 na 2, dostaneme 9.

Formulovaná definícia teda kladie len jedno obmedzenie, čísla a a b musia byť reálne.

Odrody logaritmov

Klasická definícia sa nazýva reálny logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x = b. Možnosť a = 1 je hraničná a nie je zaujímavá. Poznámka: 1 na akúkoľvek mocninu je 1.

Skutočná hodnota logaritmu definované iba v prípade, že základ a argument sú väčšie ako 0 a základ sa nesmie rovnať 1.

Osobitné miesto v oblasti matematiky hrať logaritmy, ktoré budú pomenované v závislosti od hodnoty ich základne:

Pravidlá a obmedzenia

Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus súčinu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp = log a(b) + log a(p).

Ako variant tohto tvrdenia to bude: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocientová funkcia sa rovná rozdielu funkcií.

Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je ľahké vidieť, že: log a(b p) = p * log a(b).

Medzi ďalšie vlastnosti patrí:

Komentujte. Nerobte bežnú chybu - logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.

Po mnoho storočí bola operácia hľadania logaritmu pomerne časovo náročná úloha. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie expanzie do polynómu:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kde n je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré určuje presnosť výpočtu.

Logaritmy s inými bázami boli vypočítané pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu súčinu.

Keďže táto metóda je veľmi prácna a pri riešení praktických problémov náročné na implementáciu, použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, čo značne urýchlilo celú prácu.

V niektorých prípadoch boli použité špeciálne zostavené grafy logaritmov, ktoré poskytli menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili hľadanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y = log a(x), postavená na niekoľkých bodoch, umožňuje pomocou obvyklého pravítka nájsť hodnoty funkcie v akomkoľvek inom bode. Inžinieri na tieto účely dlho používali takzvaný milimetrový papier.

V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré v 19. storočí nadobudli hotovú podobu. Najúspešnejšie zariadenie sa nazývalo posuvné pravítko. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých inžinierskych výpočtov, čo je ťažké preceňovať. V súčasnosti pozná toto zariadenie len málo ľudí.

Nástup kalkulačiek a počítačov spôsobil, že používanie akýchkoľvek iných zariadení bolo zbytočné.

Rovnice a nerovnice

Nasledujúce vzorce sa používajú na riešenie rôznych rovníc a nerovníc pomocou logaritmov:

• Prechod z jednej bázy na druhú: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• V dôsledku predchádzajúcej verzie: log a(b) = 1 / log b(a).

Na riešenie nerovností je užitočné vedieť:

• Hodnota logaritmu bude kladná iba vtedy, ak základ aj argument sú väčšie alebo menšie ako jedna; ak je porušená aspoň jedna podmienka, hodnota logaritmu bude záporná.
• Ak je logaritmická funkcia aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základňa logaritmu je väčšia ako jedna, potom sa znamienko nerovnosti zachová; inak sa to zmení.

Príklady úloh

Zvážte niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady riešenia rovníc:

Zvážte možnosť umiestniť logaritmus do stupňa:

• Úloha 3. Vypočítajte 25^log 5(3). Riešenie: v podmienkach úlohy je zápis podobný nasledujúcim (5^2)^log5(3) alebo 5^(2 * log 5(3)). Napíšme to inak: 5^log 5(3*2), alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie možno zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5^log 5(3))^2. Použitím vlastností logaritmov je tento výraz 3^2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.

Praktické využitie

Keďže ide o čisto matematický nástroj, zdá sa, že je ďaleko od skutočného života, že logaritmus sa zrazu stal veľmi dôležitým pri opise objektov v skutočnom svete. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. V plnej miere to platí nielen pre prírodné, ale aj humanitné oblasti poznania.

Logaritmické závislosti

Tu je niekoľko príkladov numerických závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky sa mechanika a fyzika vždy rozvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uvádzame len dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.

Problém výpočtu takého zložitého množstva, ako je rýchlosť rakety, je možné vyriešiť pomocou vzorca Tsiolkovského, ktorý položil základ pre teóriu prieskumu vesmíru:

V = I * ln (M1/M2), kde

• V je konečná rýchlosť lietadla.
• I je špecifický impulz motora.
• M 1 je počiatočná hmotnosť rakety.
• M 2 - výsledná hmotnosť.

Ďalší dôležitý príklad- to je použitie vo vzorci ďalšieho veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na vyhodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.

S = k * ln (Ω), kde

• S je termodynamická vlastnosť.
• k je Boltzmannova konštanta.
• Ω je štatistická váha rôznych stavov.

Chémia

Menej zrejmé by bolo použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Tu sú len dva príklady:

• Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu prostredia vo vzťahu k aktivite látok a rovnovážnej konštante.
• Výpočet takých konštánt, ako je index autoprolýzy a kyslosť roztoku, tiež nie je úplný bez našej funkcie.

Psychológia a biológia

A je úplne nepochopiteľné, čo s tým má psychológia spoločné. Ukazuje sa, že silu vnemu táto funkcia dobre popisuje ako inverzný pomer hodnoty intenzity stimulu k nižšej hodnote intenzity.

Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov je široko používaná aj v biológii. O biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam možno písať celé zväzky.

Ostatné oblasti

Zdá sa, že bez spojenia s touto funkciou je existencia sveta nemožná a riadi sa ňou všetky zákony. Najmä vtedy, keď sú prírodné zákony spojené s geometrickým postupom. Stojí za to odkázať na webovú stránku MatProfi a existuje veľa takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:

Zoznam by mohol byť nekonečný. Po zvládnutí základných zákonov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.

logaritmus kladné číslo N k základni(b> 0, b 1 ) sa nazýva exponent X , na ktorú potrebujete zvýšiť b získať N .

Logaritmický zápis:

Tento záznam je ekvivalentný nasledujúcemu:b x = N .

PRÍKLADY: denník 3 81 \u003d 4, od 3 4 \u003d 81;

Log 1/3 27 = – 3, pretože (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Vyššie uvedená definícia logaritmu môže byť napísaná ako identita:

Základné vlastnosti logaritmov.

1) log b= 1 , pretože b 1 = b.

b

2) denník 1 = 0 , pretože b 0 = 1 .

b

3) Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov:

log( ab) = log a+ denník b.

4) Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa:

log( a/b) = log a– log b.

5) Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základne:

log (b k ) = k log b.

Dôsledkom tejto vlastnosti je nasledovné:log root rovná sa logaritmu čísla odmocniny vydeleného mocninou odmocniny:

6) Ak je základom logaritmu stupeň, potom hodnota prevrátená hodnota exponentu môže byť vyňatá zo znamienka log rým:

Posledné dve vlastnosti je možné spojiť do jednej:

7) Vzorec prechodového modulu (tj. e . prechod z jednej základnelogaritmus na inú základňu):

V konkrétnom prípade, kedy N = a máme:

Desatinný logaritmus volal základný logaritmus 10. Je určený lg, t.j. denník 10 N = lg N. Logaritmy čísel 10, 100, 1000, ... p sú 1, 2, 3, ...,tie. mať veľa pozitívnych

jednotiek, koľko núl je v logaritmickom čísle po jednotke. Logaritmy čísel 0,1, 0,01, 0,001, ... p avny, respektíve –1, –2, –3, …, t.j. mať toľko záporných jednotiek, koľko je núl v logaritmickom čísle pred jednotkou ( počítanie a nula celých čísel). Logaritmy ostatné čísla majú nazývanú zlomkovú časť mantisa. Celýčasť logaritmu sa nazýva charakteristický. Pre praktickédesiatkové logaritmy sú najvhodnejšie.

prirodzený logaritmus volal základný logaritmus e. Označuje sa ln, t.j. log eN = ln N. číslo eje iracionálne,približná hodnota je 2,718281828. to je hranica, ku ktorej číslo smeruje(1 + 1 / n) n s neobmedzeným nárastomn(cm. prvá úžasná limitka ).
Aj keď sa to môže zdať zvláštne, prirodzené logaritmy sa ukázali ako veľmi vhodné pri vykonávaní rôznych operácií súvisiacich s analýzou funkcií.Výpočet základných logaritmoveoveľa rýchlejšie ako akýkoľvek iný základ.