Komplexná kresba monge. Mongeova metóda, viacnásobné kreslenie Bodové premietanie, viacnásobné kreslenie

Prednáška

Predmet "Technická grafika"

kapitola. 1 Deskriptívna geometria

Zostavil: Shagvaleeva.G.N.

Úvod.

Deskriptívna geometria sa nazýva aj teória obrazov. Predmetom deskriptívnej geometrie je prezentácia a zdôvodnenie metód zobrazovania priestorových útvarov na plošnom výkrese a metód riešenia priestorových geometrických úloh na plošnom výkrese. Stereometrické (trojrozmerné) objekty sa v ňom rozoberajú pomocou planimetrických (dvojrozmerných) obrazov týchto objektov, projekcií.

Hovorí sa, že kresba je jazykom technológie a deskriptívna geometria je gramatikou tohto jazyka. Deskriptívna geometria je teoretickým základom pre konštrukciu technických výkresov, ktoré sú úplnými grafickými modelmi konkrétnych strojárskych výrobkov.

Pravidlá pre vytváranie obrázkov uvedené v deskriptívnej geometrii sú založené na projekčná metóda.

Štúdium deskriptívnej geometrie prispieva k rozvoju priestorovej reprezentácie a predstavivosti, konštruktívneho geometrického myslenia, k rozvoju schopností analýzy a syntézy priestorových foriem a vzťahov medzi nimi. Zvládnutie metód konštrukcie rôznych geometrických priestorových objektov, metód získavania ich výkresov na úrovni grafických modelov a schopnosť riešiť na týchto výkresoch problémy súvisiace s priestorovými objektmi a ich geometrickými charakteristikami.

Základ deskriptívnej geometrie ako vedy položil francúzsky vedec a inžinier Gaspard Monge (1746-1818) vo svojom diele „Deskriptívna geometria“, Paríž, 1795. Gaspard Monge podal všeobecnú metódu riešenia stereometrických problémov geometrickými konštrukciami na rovine, teda vo výkrese, s použitím nástrojov na kreslenie.

Akceptované označenia.

A, B, C, D, -body sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy;

a, b, c, d - riadky - malými písmenami latinskej abecedy;

p 1 - horizontálna rovina projekcií,

p 2 - čelná rovina projekcií,

p 3 - profilová rovina výčnelkov,

p 4 , p 5 , ... - ďalšie projekčné roviny.

lietadlá

Projekčné osi - malými písmenami latinskej abecedy: x, y a z. Počiatok súradníc je číslo 0.

Projekcie bodov, čiar, rovín sú označené: na p 1 jedným ťahom, na p 2 dvoma, na p 3 - tromi ťahmi.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Tvorba projekcií.

1 Stredová projekcia.

Centrálny premietací aparát pozostáva z premietacieho stredu S, premietacej roviny π, premietacích lúčov.

π 1 - premietacia rovina

S - premietacie centrum

A, B, C - body v priestore

A", B", C" - projekcie bodov do roviny π"

Projekcia je priesečník premietaného lúča s rovinou premietania.

2. Paralelná projekcia.

Vyčnievajúce lúče sú vedené rovnobežne s S a navzájom. Rovnobežné projekcie sú rozdelené na šikmé a pravouhlé. Pri šikmej projekcii sú lúče umiestnené pod uhlom k premietacej rovine.

Pri pravouhlom premietaní sú premietané lúče kolmé na rovinu premietania (obr. 1.3). Pravouhlá projekcia je hlavnou metódou premietania používanou pri konštrukcii technických výkresov.

Základné vlastnosti ortogonálneho premietania

1. Projekcia bodu - existuje bod;

2. Priemet priamky (vo všeobecnom prípade) - existuje priamka alebo bod (priamka je kolmá na rovinu premietania);

3. Ak bod leží na priamke, potom priemet tohto bodu bude patriť k priemetu priamky: А l ® A "l";

4. Ak sú dve priamky v priestore rovnobežné, potom sú rovnobežné aj ich projekcie s rovnakým názvom: a || b ® a` || b";

5. Ak sa v určitom bode pretínajú dve priamky, potom sa ich rovnomenné priemety pretínajú v zodpovedajúcom priemete tohto bodu: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Proporcionalita segmentov ležiacich na jednej priamke alebo na dvoch rovnobežných čiarach je zachovaná aj na ich projekciách (obr. 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Ak je jedna z dvoch navzájom kolmých priamok rovnobežná s rovinou premietania, potom sa pravý uhol premietne do tejto roviny o pravý uhol (obr. 1.4).

Komplexné kreslenie bodu alebo Mongeových grafov.

Najbežnejšiu metódu deskriptívnej geometrie v praxi navrhol Gaspard Monge. Táto metóda je založená na ortogonálnom dizajne.

Ortogonálny (alebo pravouhlý) priemet bodu A do roviny π 1 sa nazýva základňa kolmice spadnutej z bodu A do roviny π 1 (obr. 1.5).

Kresba získaná v tomto prípade na rovine π 1 je nevratná, zhoda medzi originálom A a projekciou A "je jedinečná iba v jednom smere: od originálu k projekcii. Originál zodpovedá jedinej projekcii, pôvodný výkres je jednoznačne definovaná, ale pre projekciu A" existuje nespočetné množstvo originálov, ktoré jej zodpovedajú, a to všetky body premietacej čiary AA". Presný preklad z jazyka kresby do jazyka prírody je nemožný. Preto Monge uvádza druhá projekčná rovina.

Ryža. 1.6. Obr.1. 7.

Na obr. 6. znázorňuje pravouhlý súradnicový systém.

Ak teraz skombinujeme roviny π 1 a π 2 s projekciami v nich vytvorenými otočením π 1 okolo osi X o 90 0 tak, aby sa predná polrovina π 1 zhodovala so spodnou polrovinou π 2, získame komplexná bodová kresba alebo Mongeov diagram. (obr. 1.7).

Postavené podľa týchto pravidiel kresba pozostávajúca z dvojice výstupkov umiestnených v projekčnom vzťahu je reverzibilná, to znamená, že súlad medzi originálom a kresbou je jednoznačný v oboch smeroch. Alebo inými slovami, kresba poskytuje komplexné informácie o origináli. Dešifrovanie týchto informácií je predmetom deskriptívnej geometrie.

Z komplexného kreslenia bodu môžeme vyvodiť tieto závery:

1. dva priemety bodu úplne určujú polohu bodu v priestore;

2. priemety bodov ležia vždy na spojnici kolmej na os priemetu.

Čiary spájajúce projekcie bodov sa nazývajú komunikačné čiary a sú znázornené ako plné tenké čiary.

V mnohých konštrukciách a pri riešení problémov sa ukazuje, že je potrebné zaviesť do systému π 1 (horizontálna rovina) π 2 (frontálna rovina) a ďalšie projekčné roviny. Rovina kolmá na π 1 a π 1 je rovina profilu. π 3 . Priesečník vodorovnej a čelnej roviny udáva os X, priesečník vodorovnej a profilovej roviny udáva os Y a priesečník čelnej a profilovej roviny udáva os Z. (obr. 1 8)

Na získanie komplexného nakreslenia bodu je potrebné umiestniť tri roviny do jednej, čomu „prerežeme“ os Y a tri hlavné premietacie roviny spojíme do jednej (obr. 1. 9).

Tretia projekcia nepridáva žiadne nové informácie o origináli. Len to robí dostupné informácie stráviteľnejšími. (Obrázok 1.10)

Vzdialenosť od bodu A k rovine π 3 (A A "") v priestore je viditeľná na výkrese a rovná sa vzdialenosti A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Vzdialenosť od bodu A k rovine π 2 (A A") v priestore je viditeľná na výkrese a rovná sa vzdialenosti A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Vzdialenosť od bodu A k rovine π 1 (A A") v priestore je viditeľná na výkrese a rovná sa vzdialenosti A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Príklad. Zostavte projekcie bodov A(10, 10,30), B(30,20,10)

Súťažné body.

Body, pre ktoré sa jedna dvojica projekcií rovnakého mena zhoduje (a ostatné sa nezhodujú), sa nazývajú konkurenčné body.

Body sú umiestnené na jednej premietacej priamke, kolmej na rovinu čelného premietania. Smer pohľadu je označený šípkou. V tomto prípade je projekcia B" bližšie k pozorovateľovi ako A" a na π 2 bude projekcia B"" viditeľná a projekcia A"" bude neviditeľná (obr. 1.12).

Koncept " vyššie nižšie»

Body sú umiestnené na jednej premietacej priamke, kolmej na vodorovnú premietaciu rovinu. Smer pohľadu je označený šípkou. V tomto prípade je projekcia A "" bližšie k pozorovateľovi ako B "" a na π 1 bude projekcia A" viditeľná a projekcia B" bude neviditeľná (obr. 1.13).

Mongeov diagram alebo komplexná kresba je kresba zložená z dvoch alebo viacerých vzájomne prepojených ortogonálnych projekcií geometrického útvaru.

Použitie priestorového usporiadania na zobrazenie ortogonálnych projekcií geometrických útvarov je nepohodlné kvôli jeho objemnosti a tiež kvôli skutočnosti, že pri prenose na list papiera dochádza k deformácii tvaru a veľkosti premietaného útvaru na V a Š. lietadlá.
Preto sa namiesto obrázku vo výkrese priestorového usporiadania používa Mongeov diagram.

Mongeov diagram sa získa transformáciou priestorového usporiadania kombináciou rovín H a W s rovinou čelnej projekcie V:
- ak chcete zarovnať rovinu H s V, otočte ju o 90 stupňov okolo osi x v smere hodinových ručičiek. Na obrázku je pre názornosť rovina H otočený pod uhlom o niečo menším ako 90 stupňov, zatiaľ čo os r, patriace do horizontálnej premietacej roviny, sa po otočení zhoduje s osou z;
- po vyrovnaní vodorovnej roviny otočte okolo osi z tiež v uhle 90 stupňov k rovine profilu v smere opačnom k pohybu v smere hodinových ručičiek. Zároveň os r, patriaci do profilovej roviny projekcie, po otočení sa zhoduje s osou X.

Po transformácii bude mať priestorové usporiadanie podobu znázornenú na obrázku. Tento obrázok tiež ukazuje postupnosť relatívnej polohy podlahy projekčných rovín, takže záznam V naznačuje, že v tejto časti Mongeovho grafu (obmedzeného kladným smerom osí X a z) bližšie k nám je ľavé horné poschodie roviny čelnej projekcie V, za ním je zadné ľavé poschodie vodorovnej projekčnej roviny H, za ktorým nasleduje horná zadná podlaha roviny profilu W.

Pretože roviny nemajú žiadne hranice, v kombinovanej polohe (na obrázku) tieto hranice nie sú zobrazené, nie je potrebné ponechať nápisy označujúce polohu podlahy projekčných rovín. Je tiež zbytočné pripomínať, kde je záporný smer súradnicových osí. Potom bude mať Mongeov diagram, ktorý nahradí výkres priestorového usporiadania, vo svojej konečnej podobe podobu znázornenú na obrázku.

Mongeovu zápletku je možné vykonať pomocou:

- konvenčné kresliace nástroje a prípravky:
Nástroje na kreslenie;
Kresliace príslušenstvo a zariadenia;
- Programy na zostavenie (kreslenie) Mongeovho diagramu: Kresba v grafickom editore.

Ako príklad návrhu Mongeovho diagramu ponúkame riešenie problému konštrukcie rovnoramenného pravouhlého trojuholníka ABC:

— údaj známy podľa stavu problému je zobrazený čiernou farbou;
- zelenou farbou sú zobrazené všetky konštrukcie, ktoré vedú k riešeniu úlohy;
- vyhľadané úlohy sa zobrazia červenou farbou.
Podľa podmienok úlohy sú dané priemetne trojuholníka ABC(A`B`C`, A»B»…”). Na vyriešenie problému je potrebné nájsť chýbajúcu projekciu C.

Mongeova metóda, komplexná kresba.

Bodové projekcie, zložité kreslenie.

Vzájomne kolmé projekčné roviny.

Metódy pravouhlého premietania na dvojku a trojku

Vlastnosti ortografickej projekcie

Základné a nemenné vlastnosti (Invarianty) ortogonálnej projekcie sú tieto:

1) projekcia bodu - bod;

2) projekcia priamky - vo všeobecnom prípade priamka; ak sa smer premietania zhoduje so smerom priamky, potom je jej premietaním bod;

3) ak bod patrí do priamky, potom priemet tohto bodu patrí do priemetu priamky.

4) projekcie rovnobežných čiar sú navzájom rovnobežné;

5) pomer úsečiek sa rovná pomeru ich priemetov;

6) pomer segmentov dvoch rovnobežných čiar sa rovná pomeru ich výbežkov;

7) priemet priesečníka dvoch priamok je priesečníkom priesečníkov týchto priamok;

8) ak je rovný alebo plochý obrazec rovnobežný s rovinou projekcií, potom sa premietajú do tejto roviny bez skreslenia;

9) ak je aspoň jedna strana pravého uhla rovnobežná s rovinou priemetov a druhá nie je na ňu kolmá, potom sa pravý uhol premietne do tejto roviny do pravého uhla.

Ak sa informácia o vzdialenosti bodu od roviny premietania uvádza nie pomocou číselnej značky, ale pomocou druhého priemetu bodu postaveného na druhej premietacej rovine, potom sa výkres nazýva dvojobrázkový alebo obsiahly. Sú uvedené základné princípy konštrukcie takýchto výkresov Gaspard Monge - významný francúzsky geometer konca 18. a začiatku 19. storočia, 1789-1818. jeden zo zakladateľov slávnej polytechnickej školy v Paríži a účastník prác na zavedení metrického systému mier a váh.

Postupne nahromadené jednotlivé pravidlá a techniky takýchto obrázkov boli vnesené do systému a rozvinuté v práci G. Mongea „Geometrie deskriptiv“.

Mongeova metóda kolmého premietania do dvoch vzájomne kolmých premietacích rovín bola a zostáva hlavnou metódou kreslenia technických výkresov.

V súlade s metódou navrhnutou G. Mongeom uvažujeme dve navzájom kolmé priemetne roviny v priestore (obr. 6). Jedna z projekčných rovín P 1 umiestnený vodorovne a druhý P 2 - vertikálne. P 1 - horizontálna projekčná rovina, P 2 - čelný. Roviny sú nekonečné a nepriehľadné.

Projekčné roviny rozdeľujú priestor na štyri dihedrálne uhly - štvrtiny. Vzhľadom na ortogonálne projekcie sa predpokladá, že pozorovateľ je v prvej štvrtine v nekonečne veľkej vzdialenosti od projekčných rovín.

Obrázok 6. Priestorový model dvoch projekčných rovín

Priesečník premietacích rovín sa zvyčajne nazýva súradnicová os a označuje sa X 21. Keďže tieto roviny sú nepriehľadné, pozorovateľ bude vidieť iba tie geometrické objekty, ktoré sa nachádzajú v tej istej prvej štvrtine. Ak chcete získať plochý výkres pozostávajúci zo špecifikovaných projekcií, roviny P 1 kombinovať otáčaním okolo osi X 12 s byt P 2 (obr. 6) Projekčný výkres, na ktorom sú premietacie roviny so všetkým, čo je na nich znázornené, spojené určitým spôsobom navzájom, sa bežne nazýva Mongeov diagram(francúzsky Epure - kresba.) Alebo zložitá kresba.

Mongeova metóda, komplexná kresba. - pojem a druhy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Mongeova metóda, komplexná kresba." 2017, 2018.

Projekcia geometrického objektu na jednu rovinu, o ktorej sme uvažovali skôr, nedáva úplnú a jednoznačnú predstavu o tvare geometrického objektu. Zvážte teda priemet aspoň dvoch na seba kolmých rovín (obr. 1.2), z ktorých jedna je umiestnená horizontálne a druhá vertikálne.

Napriek prehľadnosti je nepohodlné pracovať s výkresom znázorneným na obrázku 1.2, pretože horizontálna rovina na ňom je zobrazená skreslene. Je vhodnejšie vykonávať rôzne konštrukcie na výkrese, kde sú projekčné roviny umiestnené v rovnakej rovine, konkrétne v rovine výkresu. Na to je potrebné otočiť vodorovnú rovinu okolo osi OX o 90 ° a spojiť ju s prednou tak, aby predná podlaha vodorovnej roviny klesala a zadná stúpala. Túto metódu navrhol G. Monge.

Ryža. 1.2. Konštrukcia Mongeovho diagramu:

a) priestorový obraz umiestnenia priemetov bodu A; b) rovinný obraz umiestnenia priemetov bodu A.

Preto sa výkres získaný týmto spôsobom (obr. 1.2, b) nazýva Mongeov diagram alebo komplexný výkres.

Zvyčajne dve projekcie nestačia na získanie úplného obrazu príslušného geometrického objektu. Preto sa navrhuje zaviesť tretiu projekčnú rovinu, kolmú na prvé dve (obr. 1. 3, a).

Ryža. 1.3. Konštrukcia trojobrázkového komplexného výkresu (monge diagram):

a) priestorový model projekčných rovín; b) trojobrázková komplexná kresba.

Potom lietadlo P 1 nazývaná horizontálna projekčná rovina, P 2- predná rovina projekcií (pretože je umiestnená pred nami pozdĺž prednej strany), P 3- profilová rovina výčnelkov (umiestnená v profile vzhľadom na pozorovateľa). Respektíve A 1- horizontálne premietanie bodu A, A 2- čelný priemet bodu A, A 3- profilový priemet bodu A.

osi OH, OY, OZ sa nazývajú projekčné osi. Sú podobné súradnicovým osám karteziánskeho súradnicového systému, len s tým rozdielom, že os OH má pozitívny smer nie doprava, ale doľava. Teraz, aby sa získali výstupky v jednej rovine (rovina výkresu), je tiež potrebné rozšíriť profilovú rovinu výstupkov tak, aby sa zhodovala s prednou. Na tento účel sa musí otočiť o 90 ° okolo osi oz a otočte prednú polovicu roviny doprava a zadnú doľava. Výsledkom je trojobrázkový komplexný výkres (mongové grafy), znázornený na obr. 1,3, b. Od os OY sa odvíja spolu s dvoma rovinami P 1 a P 3, potom je na zložitom výkrese znázornený dvakrát.

Z toho vyplýva dôležité pravidlo pre vzťah projekcií. Totiž na základe obr. 1.3, a, v matematickej forme, to môže byť napísané ako: A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Preto v textovej podobe znie takto: vzdialenosť od horizontálneho priemetu bodu k osi OH sa rovná vzdialenosti priemetu profilu určeného bodu k osi OZ. Potom z ľubovoľných dvoch projekcií bodu môžete zostrojiť tretí. Horizontálne a čelné priemety bodu A spája vertikálnu líniu komunikácie a predné a profilové projekcie - horizontálne.

Vzhľadom na to, že komplexná kresba je model priestoru zložený v rovine, nie je možné na ňom zobraziť premietnutý bod (okrem prípadu, keď sa jeho poloha zhoduje s jedným z priemetov). Na základe toho treba mať na pamäti, že v komplexnom výkrese nepracujeme so samotnými geometrickými objektmi, ale s ich priemetmi.

Napriek prehľadnosti je nepohodlné pracovať s výkresom znázorneným na obrázku 1.2, pretože horizontálna rovina na ňom je zobrazená skreslene. Je vhodnejšie vykonávať rôzne konštrukcie na výkrese, kde sú projekčné roviny umiestnené v rovnakej rovine, konkrétne v rovine výkresu. K tomu je potrebné otočiť vodorovnú rovinu okolo osi OX o 90 a spojiť ju s prednou tak, aby predná podlaha vodorovnej roviny klesala a zadná stúpala hore. Túto metódu navrhol G. Monge.

Ryža. 1.2. Konštrukcia Mongeovho diagramu:

a) priestorový obraz umiestnenia priemetov bodu A; b) rovinný obraz umiestnenia priemetov bodu A.

Preto sa výkres získaný týmto spôsobom (obr. 1.2, b) nazýva Mongeov diagram alebo komplexný výkres.

Zvyčajne dve projekcie nestačia na získanie úplného obrazu príslušného geometrického objektu. Preto sa navrhuje zaviesť tretiu projekčnú rovinu, kolmú na prvé dve (obr. 1. 3, a).

Ryža. 1.3. Konštrukcia trojobrázkového komplexného výkresu (monge diagram):

a) priestorový model projekčných rovín; b) trojobrázková komplexná kresba.

Potom lietadlo P 1 nazývaná horizontálna projekčná rovina, P 2 - predná rovina projekcií (pretože je umiestnená pred nami pozdĺž prednej strany), P 3 - profilová rovina výčnelkov (umiestnená v profile vzhľadom na pozorovateľa). Respektíve A 1 - horizontálne premietanie bodu A, A 2 - čelný priemet bodu A, A 3 - profilový priemet bodu A.

osi oh, ohY, oz sa nazývajú projekčné osi. Sú podobné súradnicovým osám karteziánskeho súradnicového systému, len s tým rozdielom, že os OH má pozitívny smer nie doprava, ale doľava. Teraz, aby sa získali výstupky v jednej rovine (rovina výkresu), je tiež potrebné rozšíriť profilovú rovinu výstupkov tak, aby sa zhodovala s prednou. Aby ste to dosiahli, musíte ho otočiť o 90 okolo osi oz a otočte prednú polovicu roviny doprava a zadnú doľava. Výsledkom je trojobrázkový komplexný výkres (mongové grafy), znázornený na obr. 1,3, b. Od os OY sa odvíja spolu s dvoma rovinami P 1 a P 3 , potom je na zložitom výkrese znázornený dvakrát.

Z toho vyplýva dôležité pravidlo pre vzťah projekcií. Totiž na základe obr. 1.3, a, v matematickej forme, to môže byť napísané ako: A 1 A X = OA r = A z A 3 . Preto v textovej podobe znie takto: vzdialenosť od horizontálneho priemetu bodu k osi OH sa rovná vzdialenosti priemetu profilu určeného bodu k osi OZ. Potom z ľubovoľných dvoch projekcií bodu môžete zostrojiť tretí. Horizontálne a čelné priemety bodu A spája vertikálnu líniu komunikácie a predné a profilové projekcie - horizontálne.