A B na Kube. Výstavba kocky. Odkiaľ pochádzajú vzorce skrátenej multiplikácie
Cvičenie je operácia, úzko súvisí s násobením, táto operácia je výsledkom viacnásobného násobenia ľubovoľného čísla na sebe. Budem zobraziť vzorec: A1 * A2 * ... * A \u003d A.
Napríklad a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Všeobecne platí, že výstava sa často používa v rôznych vzorcoch v matematike a fyzike. Táto funkcia má viac vedeckú destináciu ako štyri hlavné: pridanie, odčítanie, násobenie, rozdelenie.
Erekcia
Montáž čísla nie je komplikovaná. Je spojený s násobkom podobným multiplikácii a pridávaniu. Nahrávanie je zhrnutie n-th, počet čísel "A" vynásobený navzájom.
Zvážte cvičenie do rozsahu najjednoduchších príkladov, sťahovanie do komplexu.
Napríklad 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Štyri štvorcové (druhé stupeň) je šestnásť. Ak nerozumiete násobeniu 4 * 4, potom si prečítajte naše, aby ste sa stali o množenie.
Zvážte ďalší príklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Päť na Kube (v treťom stupni) sa rovná sto dvadsiatim päť.
Ďalší príklad: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deväť na Kube sa rovná sedem stoviek dvadsiatich deviatich.
Vzor
Ak chcete kompetovať v rozsahu, musíte si spomenúť a poznať nižšie uvedené vzorce. Neexistuje nič cez prirodzené, hlavná vec je pochopiť podstatu a potom sa nebudú pamätať, ale budú sa zdať svetlo.
Vzbudzujúci
Čo predstavuje sami? Toto je produkt čísla a premenných v akomkoľvek množstve. Napríklad dva - nezbierajú. A toto je erekcia takýchto univerzícií tohto článku.
Využívanie vzorcov pre cvičenie na výpočet výstavby univerzálnej do tej miery nebude ťažké.
Napríklad, (3x ^ 2y ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4y ^ 6; \\ T Ak je do tej miery neobmedzený, potom sa každý kompozit neposkytuje do stupňa.
Jednoduchá premenná stupňa už má titul, je titul vynásobený. Napríklad (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;
Negatívny
Negatívny stupeň - opačné číslo. Čo je opačné číslo? Akékoľvek číslo X bude 1 / x. To znamená x-1 \u003d 1 / x. Toto je podstata negatívneho stupňa.
Zvážte príklad (3Y) ^ - 3:
(3y) ^ - 3 \u003d 1 / (27y ^ 3).
Prečo je to? Vzhľadom k tomu, že je to mínus, potom tento výraz sa jednoducho prenesie na denominátor, a potom postavený do tretieho stupňa. Akurát?
Priečny stupeň
Začnime zvážiť problém v konkrétnom príklade. 43/2. Čo robí titul 3/2? 3 - Numerátor, znamená erekciu čísla (v tomto prípade 4) v kocke. Číslo 2 je denominátor, je to extrakcia koreňa druhého stupňa z (v tomto prípade 4).
Potom dostaneme odmocninu 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Odpoveď: 8.
Takže menovateľ frakčného stupňa môže byť, ako 3 a 4 a do nekonečna akýmkoľvek číslom a týmto číslom určuje stupeň štvorcového koreňa extrahovaného zo zadaného čísla. Samozrejme, že menovateľ nemôže byť nula.
Rýchly koreň
Ak je koreň postavený do stupňa rovného stupňa samotného koreňa, potom bude odpoveď kŕmenie. Napríklad (√h) 2 \u003d x. A tak v každom prípade rovnosť stupňa koreňa a stupeň výstavby koreňa.
Ak (√x) ^ 4. Že (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Kontrola rozhodnutia Preneste výraz na výraz s frakčným stupňom. Vzhľadom k tomu, koreň je štvorcový, denominátor je 2. A ak je koreň postavený do štvrtého stupňa, potom čitateľ 4. Dostaneme 4/2 \u003d 2. Odpoveď: X \u003d 2.
V každom prípade je najlepšia možnosť jednoducho prenesená do výrazu s frakčným stupňom. Ak sa frakcia nezmenšuje, potom táto odpoveď bude a bude za predpokladu, že koreň zadaného čísla nie je pridelený.
Conforbation v stupni integrovaného čísla
Čo je to komplexné číslo? Komplexné číslo je výrazom vzorca A + B * I; A, B - Platné čísla. I - číslo, ktoré číslo -1 dáva na námestí.
Príkladom. (2 + 3i) ^ 2.
(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.
Zaregistrujte sa na kurz "Urýchliť ústneho účtu, nie mentálne aritmetiku" Ak sa chcete dozvedieť, ako rýchlo a správne zložiť, odpočítať, znásobiť, rozdeliť, vzpriamené čísla na štvorcový a dokonca extrahovať korene. Počas 30 dní sa dozviete, ako používať jednoduché techniky na zjednodušenie aritmetických operácií. V každej lekcii nové techniky, zrozumiteľné príklady a užitočné úlohy.
On-line
S pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať erekciu čísla do tohto stupňa:
Stupeň 7
Cvičenie začína plynúť školské školy len v siedmej triede.
Cvičenie je operácia, úzko súvisí s násobením, táto operácia je výsledkom viacnásobného násobenia ľubovoľného čísla na sebe. Budem zobraziť vzorec: A1 * A2 * ... * A \u003d A.
Napríklad, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Príklady riešenia:
Prezentácia
Prezentácia na cvičení v rozsahu vypočítanom na siedmoch zberov. Prezentácia môže objasniť niektoré nezrozumiteľné momenty, ale pravdepodobne nebudú žiadne takéto momenty vďaka nášmu článku.
Výsledok
Preskúmali sme len hornú časť ľadovca, aby sme pochopili, že matematiku lepšie - zaregistrovať sa na náš kurz: urýchliť ústne zodpovedanie nie je mentálnym aritmetickým.
Zo kurzu nebudete len rozpoznať desiatky techník pre zjednodušené a rýchle násobenie, dodatočné, násobenie, divízie, výpočet záujmu, ale aj ich aj v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Úverový účet si vyžaduje aj veľa pozornosti a koncentrácií, ktoré sú aktívne vyškolené pri riešení zaujímavých úloh.
Matematické výrazy (vzorce) skrátené množenie (Štvorcové množstvá a rozdiely, množstvo kocky a rozdiely, rozdiel štvorcov, množstvo a rozdiel kocky) sú extrémne nahradené v mnohých oblastiach presných vied. Tieto 7 znakových nahrávok nie sú nahradené zjednodušením výrazov, riešenie rovníc, s násobkom polynómov, redukujúcich frakcií, riešenie integrálov a mnohých ďalších vecí. Takže to bude veľmi užitočné zistiť, ako sa získavajú, pre ktoré sú potrebné, a čo je najdôležitejšie, ako si ich zapamätať a potom platiť. Potom formuly skrátenej násobenia V praxi to najťažšie uvidí, čo je H.a čo je y. Samozrejme, že žiadne obmedzenia a. a b.nie, čo znamená, že to môže byť číselné alebo listové výrazy.
A tak tu:
najprv x 2 - u 2. \u003d (x - y) (x + y) . Kalkulovať rozdiely v štvorcových Dva výrazy musia znásobiť rozdiel medzi týmito výrazmi na ich sumách.
Druhý (x + y) 2 \u003d X 2. + 2H + IN 2 . Nájsť Štvorcové množstvo Na štvorec prvého výrazu je potrebné pridať dve výrazy na pridanie dvojitého produktu prvého výrazu na druhú plus štvorcový druhý výraz.
Tretí (x - y) 2 \u003d X 2. - 2h + v 2. Kalkulovať rozdiel štvorcovýchz námestia prvého výrazu sú potrebné dve výrazy, aby ste odobrali dvojitý produkt prvého výrazu na druhom plus štvorcový druhý výraz.
Štvrtý (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 y + 3H 2 + 3. Kalkulovať suma kockydve vyjadrenia musia byť pridané do Kuby prvého výrazu, aby sa pridali strojnásobné dielo štvorca prvého výrazu na druhom plus strojný produkt prvého výrazu na námestí plus kocky z druhého výrazu.
Piaty (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 y + 3H 2 - 3.. Kalkulovať rozdiel kockyz prvej expresnej kocky sú potrebné dve výrazy, aby sa vytvorili strojnásobné dielo štvorca prvej expresie na druhom plus strojnásobný produkt prvej expresie na druhej mínusovej kocke druhej expresie.
Šesť x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - HU + U 2) Kalkulovať množstvo kockydva výrazy musia znásobiť sumy prvého a druhého výrazu na neúplnom námestí rozdielu týchto výrazov.
Siedmy x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + HU + U 2) Ak chcete vykonať výpočet kubické rozdielydva výrazy musia znásobiť rozdiel medzi prvým a druhým výrazom na neúplnom námestí súčtu týchto výrazov.
Nie je ťažké si uvedomiť, že všetky vzorce sa aplikujú na prácu výpočtov av opačnom smere (vpravo doľava).
Asi pred 4 tisíc rokmi o existencii týchto vzorov. Boli široko používané obyvatelia starovekého Babylona a Egypta. Ale v tých epochách, prejavili verbálne alebo geometricky a počas výpočtov nepoužívali písmená.
Rozumieme dôkaz o Square Summa(A + B) 2 \u003d A2 + 2AB + B2.
Najprv to matematický vzor Dokázal staroveký grécky vedec EUCLIDE, ktorý pracoval v Alexandrii v BC III, použil geometrický spôsob, ako EVOF vzorec, pretože vedci starovekej Ellala nepoužili písmená na označenie čísel. Boli univerzálne používané nie "A 2", ale "štvorec na segmente A", nie "AB", ale "obdĺžnik, uzavretý medzi segmentmi A a B".
V predchádzajúcej lekcii sme sa zaoberali rozkladom multiplikátorov. Dvaja spôsoby zvládol: robiť spoločný faktor pre zátvorky a zoskupenie. V tejto lekcii - ďalší výkonný spôsob: formuly skrátenej násobenia. Stručný záznam - FSU.
Vo všetkých častiach matematiky sú mimoriadne nevyhnutné vzorce skráteného násobenia (štvorec sumy a rozdielu, kocky a rozdielu kocky). Používajú sa pri zjednodušovaní výrazov, riešenie rovníc, násobenie polynómov, zníženie frakcií, riešenie integrálov atď. atď. Stručne povedané, existuje každý dôvod na ich riešenie. Ak chcete pochopiť, ako sa prijímajú, prečo sú potrebné, ako si ich zapamätať a ako aplikovať.
Rozumieme?)
Odkiaľ pochádza skrátené multiplikačné vzorce?
Rovnosť 6 a 7 nie sú napísané veľmi dobre. Ako keby naopak. Toto je špeciálne.) Akákoľvek rovnosť funguje tak zľava doprava a doprava doľava. V takomto zázname je jasné, kde FSU pochádza.
Sú prevzaté z množenia.) Napríklad:
(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B2 \u003d A 2 + 2AB + B2
To je všetko, žiadne vedecké triky. Stačí zmeniť konzoly a dať ich. Ukázalo sa tak všetky vzorce skráteného násobenia. Skrátený Násobenie je preto, že vo vzorci sami neexistuje násobenie zátvoriek a prináša podobné. Znížené.) Ihneď vzhľadom k tomu, výsledok.
FSU potrebujú vedieť srdcom. Bez prvých troch, nemôžete snívať o troike, bez zvyšku - o štvrtom s piatimi.)
Prečo vzory skrátenej násobiacej násobnosti?
Existujú dva dôvody, učiť sa, aj aby ste tieto vzorce dostali. Prvá - dokončená odpoveď na stroji ostro znižuje počet chýb. Ale to nie je hlavný dôvod. Ale druhá ...
Ak sa vám táto stránka páči ...
Mimochodom, mám pre teba ďalší pár zaujímavých miest.)
Je možné pristupovať k vyriešeniu príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitou kontrolou. Učte sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Formulárne alebo skrátené pravidlá multiplikácie sa používajú v aritmetikum alebo skôr - v algebre, pre rýchlejší proces výpočtu veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sa získavajú z pravidiel, ktoré existujú v algebre, aby ste mohli znásobiť niekoľko polynómov.
Použitie týchto vzorcov poskytuje pomerne operatívne riešenie rôznych matematických úloh a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Pravidlá algebraických transformácií vám umožňujú vykonávať niektoré manipulácie s výrazmi, po ktorých je možné získať výraz na pravej strane v ľavej časti rovnosti, alebo previesť pravú časť rovnosti (získať výraz, ktorý stojí na ľavej strane po znamení rovnosti).
Je vhodné poznať vzorce používané na skrátenú násobenie, ako aj často používané pri riešení problémov a rovníc. Nižšie sú uvedené základné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich meno.
Štvorcové množstvo
S cieľom vypočítať štvorec sumy je potrebné nájsť sumu pozostávajúcu zo štvorca prvého funkčného obdobia, zdvojnásobil produkt prvého termínu na druhom a štvorci druhého. Vo forme vyjadrenia je toto pravidlo napísané takto: (A + C) ² \u003d A² + 2AS + C².
Rozdiel štvorcových
Ak chcete vypočítať štvorec rozdielu, je potrebné vypočítať sumu pozostávajúcu zo štvorca prvého čísla dvakrát prvé číslo na druhé (prijaté s opačným znakom) a námestím druhého čísla. Vo forme vyjadrenia je toto pravidlo nasledujúce: (A - C) ² \u003d A² - 2As + C².
Rozdiely v štvorcových
Vzorec pre rozdiel dvoch čísel postavených do námestia sa rovná množstvu súčtu týchto čísel na ich rozdiel. Vo forme výrazu je toto pravidlo nasledujúce: A² - C² \u003d (A + C) · (A - C).
Suma kocky
S cieľom vypočítať kocku súm týchto dvoch zložiek je potrebné vypočítať sumu pozostávajúcu z kocky prvého termínu, strojnásobila práca námestia prvého termínu a druhý, strojnásobil výrobok prvého termínu a druhá na námestí, ako aj kocka druhého obdobia. Vo forme vyjadrenia je toto pravidlo nasledujúce: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3AS² + C³.
Množstvo kocky
Podľa vzorca sa rovná množstvu podmienok zložiek na ich neúplnú štvorcovi rozdielu. Vo forme výrazu je toto pravidlo nasledovné: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Príklad. Je potrebné vypočítať objem tvaru, ktorý je tvorený pridaním dvoch kocky. Známe aj hodnoty svojich strán.
Ak sú hodnoty strán malé, potom vykonajte výpočty jednoducho.
Ak je dĺžka strán vyjadrená v objemných číslach, potom v tomto prípade je ľahšie aplikovať "množstvo Cubes" vzorec, ktorý výrazne zjednoduší výpočty.
Rozdiel kocky
Výraz pre kubický rozdiel znie takto: ako súčet tretieho stupňa prvého termínu, trojnásobná negatívna práca námestia prvého člena na druhom, strojnásobnej práci prvého člena na štvorec druhého a negatívneho Kocka druhého obdobia. Vo forme matematického výrazu vyzerá rozdiel kocky takto: (A - C) ³ \u003d A³ - 3A² + 3AS² - C³.
Kubické rozdiely
Cube Rozdiel Formula sa líši od množstva kocky len jeden znak. Rozdiel kocky je teda vzorcom rovnajúcim sa produktom dátového rozdielu medzi ich neúplným štvorcovým súčtom. Rozdiel kocky je nasledovný: A 3 - od 3 \u003d (A - C) (a 2 + AC + C 2).
Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrázku, ktorý zostane po odpočítaní z objemu modrej kocky žltej obrysovej postavy žltej, čo je tiež kocka. Je známa len veľkosť strany malého a veľkej kocky.
Ak sú hodnoty strán malé, potom sú výpočty pomerne jednoduché. A ak sú dĺžky strán vyjadrené vo významných číslach, je potrebné aplikovať vzorec s názvom "Rozdiely kocky" (alebo "kocka rozdielu"), čo výrazne zjednodušuje výpočty.
Tri chyby, z ktorých každý je rovnaký X. (Displaystyle x.) Táto aritmetická operácia sa nazýva "erekcia v kocke", je uvedený jeho výsledok x 3 (Displaystyle X ^ (3)):
X 3 \u003d X ⋅ X ⋅ X (Displaystyle X ^ (3) \u003d X CDOT X CDOT X)Pre konštrukciu kocky reverznej prevádzky je extrakcia kubického koreňa. Geometrický názov tretieho stupňa " kubický"Je to spôsobené tým, že starožitné matematici považovali kocky ako kubické čísla, Osobitný druh čísiel (pozri nižšie), pretože zoznam čísel X (Displaystyle X) rovná objemu kocky s dĺžkou rezu X (Displaystyle X).
Sekvencia kocky
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Najprv množstvo kociek N (Displaystyle N) Pozitívne prírodné čísla sa vypočíta podľa vzorca:
Σ I \u003d 1 NI 3 \u003d 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + N 3 \u003d (N (N (N + 1) 2) 2 (Displaystyle Sum _ (i \u003d 1) ^ (n) I ^ (3) \u003d 1 ^ (3) + 2 ^ (3) + 3 ^ (3) + ldots + n ^ (3) \u003d vľavo ((((frac (n (n + 1)) (2)) Vpravo) ^ (2))Stiahnutie vzorca
Množstvo kocky sa môže zobraziť pomocou multiplikačného stola a súčtu súčtu aritmetickej progresie. S ohľadom na ilustráciu metódy, dve násobiace tabuľky 5 × 5, vykonávať odôvodnenie pre tabuľky n × n.
|
|
Množstvo čísel v K-OH (K \u003d 1,2, ...) zvolená plocha prvej tabuľky:
K 2 + 2 K σ l \u003d 1 K - 1 l \u003d K 2 + 2 kk (K - 1) 2 \u003d K 3 (Displaystyle K ^ (2) + 2K Sum _ (L \u003d 1) ^ (K- 1) L \u003d K ^ (2) + 2K (frac (K (K - 1)) (2)) \u003d K ^ (3))A súčet čísel v K-OH (K \u003d 1,2, ...) zvolená plocha druhej tabuľky, ktorá je aritmetickým postupom:
K σ l \u003d 1 n l \u003d K n (n + 1) 2 (Displaystyle K Sum _ (L \u003d 1) ^ (n) L \u003d K (N (N (N + 1)) (2)))Summovanie cez všetky vybrané oblasti prvej tabuľky dostávame rovnaké číslo ako sčítanie všetkých vybraných oblastí druhej tabuľky:
Σ K \u003d 1 NK3 \u003d σ K \u003d 1 NKN (n + 1) 2 \u003d N (n + 1) 2 σ k \u003d 1 NK \u003d (n (n + 1) 2) 2 (Displaystyle súčet _ (K \u003d 1) ^ (n) k ^ (3) \u003d súčet _ (K \u003d 1) ^ (n) K (N (N (n + 1)) (2)) \u003d (\\ frac (n (n + 1)) (2)) suma _ (k \u003d 1) ^ (n) k \u003d vľavo ((((n (n (n + 1)) (2)) vpravo) ^ (2))Niektoré vlastnosti
- V desiatkovej zázname môže kocka ukončiť na akúkoľvek číslicu (na rozdiel od námestia)
- V desiatkových záznamoch môžu byť dva posledné kocky 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 19, 21, 23, 29, 29, 21, 23, 29, 31 32, 33, 36, \\ t 37, 39, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 51, 52, 59, 61, 51, 52, 53, 61, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, \\ t 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. závislosť predposlednej číslice kocky z druhej môže byť reprezentovaná ako nasledujúca tabuľka:
Kuba ako kučeravé čísla
"Kubické číslo" Q n \u003d n 3 (displejstyle q_ (n) \u003d n ^ (3)) Historicky to bolo považované za rôzne čísla priestorových obrázkov. Môže byť reprezentovaný ako rozdiel štvorcov po sebe nasledujúcich trojuholníkových čísel. T n (Displaystyle T_ (N)):
Q n \u003d (t n) 2 - (t n - 1) 2, n ⩾ 2 (Displaystyle Q_ (N) \u003d (T_ (N)) ^ (2) - (T_ (N - 1)) ^ (2), \\ t n geqscant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q N \u003d (T N) 2 (Displaystyle Q_ (1) + Q_ (2) + Q_ (3) + DOTS + Q_ (N) \u003d (T_ (N)) ^ (2))Rozdiel medzi dvoma susednými kubickými číslami je centrové hexagonálne číslo.
Vyjadrenie kubického čísla cez tetrahedral Π N (3) (Displaystyle \\ Pi _ (n) ^ ((3))).
