Fermatova veľká veta. Poďme odhaliť! Potvrdila sa Fermatova posledná veta? Ako znie farmárska veta
Pierre Fermat, ktorý čítal „Aritmetiku“ Diofanta Alexandrijského a uvažoval o jej úlohách, mal vo zvyku zapisovať výsledky svojich úvah na okraje knihy vo forme krátkych poznámok. Proti ôsmemu Diofantovmu problému na okraji knihy Fermat napísal: „ Naopak, nie je možné rozložiť ani kocku na dve kocky, ani bikvadrát na dva bikvadraty a vo všeobecnosti nie je možné rozložiť žiaden stupeň väčší ako štvorec o dva stupne s rovnakým exponentom. Objavil som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú pre neho príliš úzke.» / E.T.Bell „Tvorcovia matematiky“. M., 1979, str/. Do pozornosti dávam elementárny dôkaz farmárskej vety, ktorý pochopí každý stredoškolák, ktorý má rád matematiku.
Porovnajme Fermatov komentár k Diofantovmu problému s modernou formuláciou veľkej Fermatovej vety, ktorá má tvar rovnice.
« Rovnica
x n + y n = z n(kde n je celé číslo väčšie ako dva)
nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach»
Komentár je v logickej súvislosti s úlohou, analogicky k logickému spojeniu predikátu s podmetom. To, čo naopak potvrdzuje problém Diofanta, potvrdzuje Fermatov komentár.
Fermatov komentár možno interpretovať takto: ak má kvadratická rovnica s tromi neznámymi nekonečnú množinu riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel, potom naopak rovnica s tromi neznámymi o stupeň väčší ako štvorec
V rovnici nie je ani len náznak jej súvislosti s Diofantovým problémom. Jeho tvrdenie vyžaduje dôkaz, ale pod ním nie je žiadna podmienka, z ktorej by vyplývalo, že nemá riešenia v kladných celých číslach.
Varianty dôkazu rovnice, ktoré poznám, sú zredukované na nasledujúci algoritmus.
- Za jej záver sa berie rovnica Fermatovej vety, ktorej platnosť sa overuje pomocou dôkazu.
- Rovnaká rovnica sa nazýva originálny rovnica, z ktorej musí vychádzať jej dôkaz.
V dôsledku toho sa vytvorila tautológia: „ Ak rovnica nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach, potom nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach"Dôkaz tautológie je zámerne nesprávny a nemá zmysel." Ale je to dokázané protichodnou metódou.
- Predpokladá sa opačný predpoklad ako pri rovnici, ktorú chcete dokázať. Nemalo by to byť v rozpore s pôvodnou rovnicou, ale je to v rozpore. Nemá zmysel dokazovať to, čo sa prijíma bez dôkazu, a akceptovať bez dôkazu to, čo sa má dokázať.
- Na základe prijatého predpokladu sa vykonajú absolútne správne matematické operácie a akcie, aby sa dokázalo, že je v rozpore s pôvodnou rovnicou a je nepravdivá.
Preto už 370 rokov zostáva dôkaz rovnice poslednej Fermatovej vety nerealizovateľným snom odborníkov a amatérov matematiky.
Vzal som rovnicu ako záver vety a ôsmy Diofantov problém a jeho rovnicu ako podmienku vety.
„Ak rovnica x 2 + y 2 = z 2
(1) má nekonečnú množinu riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel, potom, naopak, rovnica x n + y n = z n
, kde n> 2
(2) nemá žiadne riešenia na množine kladných celých čísel."
Dôkaz.
A) Každý vie, že rovnica (1) má nekonečnú množinu riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel. Dokážme, že ani jedna trojica pytagorovských čísel, ktorá je riešením rovnice (1), nie je riešením rovnice (2).
Na základe zákona o reverzibilite rovnosti sú strany rovnice (1) zamenené. Pytagorove čísla (z, x, y) možno interpretovať ako dĺžky strán pravouhlého trojuholníka a štvorcov (x 2, y 2, z 2) možno interpretovať ako plochu štvorcov postavenú na jej prepone a nohách.
Druhé mocniny druhých mocnín rovnice (1) sa vynásobia ľubovoľnou výškou h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Rovnicu (3) možno interpretovať ako zhodnosť objemu rovnobežnostena so súčtom objemov dvoch rovnobežnostenov.
Nechajte výšku troch rovnobežnostenov h = z :
z3 = x2z + y2z (4)
Objem kocky je rozložený na dva objemy dvoch rovnobežnostenov. Ponechajte objem kocky nezmenený a znížte výšku prvého kvádra X a znížte výšku druhého rovnobežnostena na r ... Objem kocky je väčší ako súčet objemov dvoch kociek:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Na množine trojíc pytagorovských čísel ( x, y, z ) pri n = 3 nemôže existovať riešenie rovnice (2). Preto na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel nie je možné rozložiť kocku na dve kocky.
Nech v rovnici (3) výška troch rovnobežnostenov h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Objem kvádra sa rozloží na súčet objemov dvoch rovnobežnostenov.
Ľavú stranu rovnice (6) ponechajte nezmenenú. Na jeho pravej strane je výška z 2
znížiť na X
v prvom termíne a až o 2
v druhom volebnom období.
Rovnica (6) sa zmenila na nerovnosť:
Objem rovnobežnostena sa rozloží na dva objemy dvoch rovnobežnostenov.
Ľavú stranu rovnice (8) ponechajte nezmenenú.
Na pravej strane výška z n-2
znížiť na x n-2
v prvom termíne a znížiť na y n-2
v druhom volebnom období. Rovnica (8) sa zmení na nerovnosť:
| z n > x n + y n | (9) |
Na množine trojíc pytagorovských čísel nemôže existovať jediné riešenie rovnice (2).
Preto na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel pre všetkých n> 2 rovnica (2) nemá riešenia.
Dostal "postinno zázračný dôkaz", ale len pre trojičky Pytagorove čísla... Toto je nedostatok dôkazov a dôvod odmietnutia P. Fermatu od neho.
b) Dokážme, že rovnica (2) nemá riešenia na množine trojíc nepytagorovských čísel, čo je zlyhanie rodiny ľubovoľne prevzatej trojice pytagorovských čísel z = 13, x = 12, y = 5 a rodina ľubovoľnej trojice kladných celých čísel z = 21, x = 19, y = 16
Obidve trojice čísel sú členmi ich rodín:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Počet členov rodiny (10) a (11) sa rovná polovici súčinu 13 x 12 a 21 x 20, teda 78 a 210.
Každý člen rodiny (10) obsahuje z = 13 a premenné X a pri 13> x> 0 , 13> y> 0 1
Každý člen rodiny (11) obsahuje z = 21 a premenné X a pri ktoré nadobúdajú hodnoty celých čísel 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Premenné postupne klesajú o 1 .
Trojice čísel v postupnosti (10) a (11) možno znázorniť ako postupnosť nerovností tretieho stupňa:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
a vo forme nerovností štvrtého stupňa:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Správnosť každej nerovnosti potvrdzuje povýšenie čísel na tretiu a štvrtú mocninu.
Kocku väčšieho čísla nemožno rozložiť na dve kocky menších čísel. Je to buď menej alebo viac ako súčet kociek dvoch menších čísel.
Bikvadrát väčšieho čísla sa nedá rozložiť na dva bikvadráty menších čísel. Je to buď menej alebo viac ako súčet bikvadratov menších čísel.
S nárastom exponentu majú všetky nerovnosti, okrem ľavej extrémnej nerovnosti, rovnaký význam:
Nerovnice, všetky majú rovnaký význam: stupeň väčšieho čísla je väčší ako súčet mocnín menších ako dvoch čísel s rovnakým exponentom:
| 13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n;...; 13 n > 7 n + 4 n;...; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n;...; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Najľavejší člen postupností (12) (13) je najslabšia nerovnosť. Jeho správnosť určuje správnosť všetkých nasledujúcich nerovností postupnosti (12) pre n> 8 a sekvencia (13) pre n> 14 .
Medzi nimi nemôže byť ani jedna rovnosť. Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (21,19,16) nie je riešením rovnice (2) veľkej Fermatovej vety. Ak ľubovoľne zvolená trojica kladných celých čísel nie je riešením rovnice, potom rovnica nemá riešenia na množine kladných celých čísel, čo sme museli dokázať.
S) Fermatov komentár k problému Diophantus uvádza, že je nemožné rozložiť „ vo všeobecnosti nie je stupeň väčší ako štvorec, o dva stupne s rovnakým exponentom».
Bozky stupeň väčší ako štvorec je naozaj nemožné rozložiť na dva stupne s rovnakým exponentom. Nevhodný stupeň väčší ako štvorec možno rozložiť na dva stupne s rovnakým exponentom.
Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z, x, y) môže patriť do rodiny, ktorej každý člen pozostáva z konštantného čísla z a o dve čísla menej ako z ... Každý člen rodiny môže byť reprezentovaný vo forme nerovnosti a všetky získané nerovnosti môžu byť reprezentované ako postupnosť nerovností:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Postupnosť nerovností (14) začína nerovnosťami, ktorých ľavá strana je menšia ako pravá strana, ale končí nerovnosťami, pri ktorých je pravá strana menšia ako ľavá. S rastúcim exponentom n> 2 zvyšuje sa počet nerovností na pravej strane postupnosti (14). S exponentom n = k všetky nerovnosti na ľavej strane postupnosti menia svoj význam a preberajú význam nerovností na pravej strane nerovností v postupnosti (14). V dôsledku zvýšenia exponentu pre všetky nerovnosti sa ľavá strana ukáže byť väčšia ako pravá:
| z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k;...; z k > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k | (15) |
S ďalším zvýšením exponentu n> k žiadna z nerovností nemení svoj význam a neprechádza v rovnosť. Na tomto základe možno tvrdiť, že ľubovoľne prevzatá trojica kladných celých čísel (z, x, y) pri n> 2 , z> x , z> y
V ľubovoľnej trojici kladných celých čísel z môže byť ľubovoľne veľké prirodzené číslo. Pre všetky prirodzené čísla, ktoré nie sú väčšie ako z , je dokázaná Fermatova posledná veta.
D) Bez ohľadu na to, aké veľké je číslo z , v prirodzenom rade čísel pred ním je veľká, ale konečná množina celých čísel a po nej - nekonečná množina celých čísel.
Dokážme, že celá nekonečná množina prirodzených čísel väčších ako z , tvoria trojice čísel, ktoré nie sú riešením rovnice Veľkej Fermatovej vety, napríklad ľubovoľne prevzatá trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) , kde z + 1 > x a z + 1 > y pre všetky hodnoty exponentu n> 2 nie je riešením rovnice Veľkej Fermatovej vety.
Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) môže patriť do rodiny trojíc čísel, z ktorých každý člen pozostáva z konštantného čísla z + 1 a dve čísla X a pri pričom iné hodnoty sú menšie ako z + 1 ... Členovia rodiny môžu byť zastúpení vo forme nerovností, v ktorých je konštantná ľavá strana menšia alebo väčšia ako pravá strana. Nerovnosti môžu byť usporiadané usporiadaným spôsobom ako postupnosť nerovností:
S ďalším zvýšením exponentu n> k do nekonečna žiadna z nerovností v postupnosti (17) nemení svoj význam a mení sa na rovnosť. V sekvencii (16) sa nerovnosť vytvorila z ľubovoľnej trojice kladných celých čísel (z + 1, x, y) , môže byť na jeho pravej strane vo formulári (z + 1) n> x n + y n alebo byť v jeho ľavej časti vo forme (z + 1) n< x n + y n .
V každom prípade trojnásobok kladných celých čísel (z + 1, x, y) pri n> 2 , z + 1 > x , z + 1 > y v postupnosti (16) je nerovnosť a nemôže predstavovať rovnosť, t.j. nemôže predstavovať riešenie rovnice Veľkej Fermatovej vety.
Je ľahké a jednoduché pochopiť pôvod postupnosti mocenských nerovností (16), v ktorých posledná nerovnosť na ľavej strane a prvá nerovnosť na pravej strane sú nerovnice opačného významu. Naopak, pre školákov, stredoškolákov a stredoškolákov nie je ľahké a ľahké pochopiť, ako sa zo sekvencie nerovností (16) tvorí postupnosť nerovností (17), v ktorej majú všetky nerovnosti rovnaký význam. .
V postupnosti (16) zvýšenie celočíselného stupňa nerovností o 1 jednotku zmení poslednú nerovnosť na ľavej strane na prvú nerovnosť opačného významu na pravej strane. Počet nerovností na deviatej strane postupnosti teda klesá, zatiaľ čo počet nerovností na pravej strane stúpa. Medzi poslednou a prvou mocenskou nerovnosťou opačného významu nevyhnutne existuje mocenská rovnosť. Jeho stupeň nemôže byť celé číslo, pretože medzi dvoma po sebe nasledujúcimi prirodzenými číslami sú iba necelé čísla. Mocninnú rovnosť neceločíselného stupňa podľa hypotézy vety nemožno považovať za riešenie rovnice (1).
Ak v postupnosti (16) pokračujeme vo zvyšovaní stupňa o 1 jednotku, tak posledná nerovnosť jej ľavej strany sa zmení na prvú nerovnosť opačného významu pravej strany. V dôsledku toho nezostane ani jedna ľavostranná nerovnosť a ostanú len pravostranné nerovnosti, ktoré predstavujú postupnosť narastajúcich mocenských nerovností (17). Ďalšie zvýšenie ich celého stupňa o 1 jednotku len posilňuje jeho mocenské nerovnosti a kategoricky vylučuje možnosť výskytu rovnosti v celom stupni.
Preto vo všeobecnosti žiadnu celočíselnú mocninu prirodzeného čísla (z + 1) postupnosti mocninných nerovností (17) nemožno rozložiť na dve celočíselné mocniny s rovnakým exponentom. Preto rovnica (1) nemá riešenia na nekonečnej množine prirodzených čísel, čo bolo potrebné dokázať.
V dôsledku toho je Fermatova posledná veta dokázaná v celej svojej univerzálnosti:
- v časti A) pre všetky trojčatá (z, x, y) Pytagorove čísla (Fermatov objav je skutočne úžasným dôkazom),
- v sekcii B) pre všetkých rodinných príslušníkov ktoréhokoľvek trojčiat (z, x, y) Pytagorove čísla,
- v časti C) pre všetky trojice čísel (z, x, y) , nie veľké čísla z
- v sekcii D) pre všetky trojice čísel (z, x, y) prirodzený rad čísel.
|
Zmeny boli vykonané dňa 09.05.2010. |
Aké vety sa dajú a nemôžu dokázať protirečením
Vo výkladovom slovníku matematických pojmov je uvedená definícia dôkazu opačnej vety, opaku opačnej vety.
„Dôkaz kontradikciou je metóda dokazovania vety (propozície), ktorá spočíva v dokazovaní nie samotnej vety, ale jej ekvivalentu (ekvivalentu), opačného k inverznej (inverznej k opačnej) vete. Dôkaz kontradikciou sa používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu a ľahšie dokázať opak. Pri dokazovaní kontradikciou sa záver vety nahrádza jej negáciou a uvažovaním sa dospieva k negácii podmienky, t.j. k rozporu, k opaku (opaku toho, čo je dané; toto zníženie do absurdity dokazuje teorém."
Dôkaz protirečením je v matematike veľmi bežný. Dôkaz protirečením je založený na zákone vylúčenej tretiny, čo je zákon o dvoch výrokoch (výrokoch) A a A (negácia A), z ktorých jeden je pravdivý a druhý nepravdivý."/ Vysvetľujúci slovník matematických pojmov: Príručka pre učiteľov / O. V. Manturov [a ďalší]; vyd. V. A. Ditkina.- M .: Školstvo, 1965.- 539 s .: ill.-C.112 /.
Nebolo by lepšie otvorene vyhlásiť, že metóda dokazovania kontradikciou nie je matematická metóda, hoci sa v matematike používa, že je to metóda logická a patrí do logiky. Je prijateľné povedať, že dôkaz kontradikciou „sa používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu“, hoci v skutočnosti sa používa vtedy a len vtedy, ak za ňu neexistuje žiadna náhrada?
Osobitnú pozornosť si zasluhuje charakterizácia vzájomného vzťahu priamych a inverzných viet. „Obrátená veta pre danú vetu (alebo pre danú vetu) je veta, v ktorej podmienkou je záver a záver je podmienkou danej vety. Táto veta vo vzťahu k opačnej vete sa nazýva priama veta (pôvodná). Obrátená veta na opačnú vetu bude zároveň danou vetou; preto sa priama a konverzná veta nazývajú vzájomne inverzné. Ak platí priama (daná) veta, potom nie vždy platí aj opačná veta. Napríklad, ak je štvoruholník kosoštvorec, potom jeho uhlopriečky sú navzájom kolmé (priama veta). Ak sú uhlopriečky v štvoruholníku navzájom kolmé, potom je štvoruholník kosoštvorec - to nie je pravda, to znamená, že opačná veta neplatí."/ Vysvetľujúci slovník matematických pojmov: Príručka pre učiteľov / O. V. Manturov [a ďalší]; vyd. V. A. Ditkina.- M .: Školstvo, 1965.- 539 s .: ill.-C.261 /.
Táto charakteristika vzťahu medzi priamou a inverznou vetou nezohľadňuje skutočnosť, že podmienka priamej vety sa berie ako daná, bez dôkazu, takže jej správnosť nie je zaručená. Podmienka opačnej vety sa neberie ako daná, keďže ide o záver dokázanej priamej vety. O jej správnosti svedčí dôkaz priamej vety. Tento podstatný logický rozdiel medzi podmienkami priamej a inverznej vety sa ukazuje ako rozhodujúci v otázke, ktoré vety možno a ktoré nemožno dokázať logickou metódou protirečením.
Predpokladajme, že máme na mysli priamu vetu, ktorú možno dokázať obvyklou matematickou metódou, ale je to ťažké. Sformulujme to vo všeobecnej forme v skrátenej forme takto: od A by mal E ... Symbol A na danej podmienke vety, prijatej bez dôkazu, záleží. Symbol E zmysel záveru vety, ktorý je potrebné dokázať.
Priamu vetu dokážeme kontradikciou, logické metóda. Na dokázanie vety, ktorá má, sa používa logická metóda nie matematické stav, a logické stav. Dá sa získať, ak je splnená matematická podmienka vety od A by mal E , doplnok s opačnou podmienkou od A z toho nevyplýva E .
V dôsledku toho sme dostali logickú protichodnú podmienku novej vety, ktorá obsahuje dve časti: od A by mal E a od A z toho nevyplýva E ... Výsledná podmienka novej vety zodpovedá logickému zákonu vylúčeného stredu a zodpovedá dôkazu vety protirečivou metódou.
Jedna časť odporujúcej podmienky je podľa zákona nepravdivá, iná jej časť pravdivá a tretia je vylúčená. Dôkaz kontradikciou má svoju úlohu a cieľ presne určiť, ktorá časť z dvoch častí podmienky vety je nepravdivá. Hneď ako sa určí nepravdivá časť podmienky, určí sa, že druhá časť je pravdivá a tretia je vylúčená.
Podľa výkladový slovník matematické pojmy, "Dôkaz je úvaha, počas ktorej sa zistí pravdivosť alebo nepravdivosť akéhokoľvek tvrdenia (úsudku, tvrdenia, vety)"... Dôkaz protirečením existuje zdôvodnenie, počas ktorého sa zistí nepravdivosť(absurdnosť) záveru vyplývajúceho z falošné podmienky dokazovanej vety.
Vzhľadom na to: od A by mal E a od A z toho nevyplýva E .
dokázať: od A by mal E .
Dôkaz: Logická podmienka vety obsahuje rozpor, ktorý je potrebné vyriešiť. Rozpor podmienky musí nájsť riešenie v dôkaze a jeho výsledku. Výsledok sa ukáže ako nepravdivý s bezchybným a bezchybným uvažovaním. Pri logicky správnej úvahe môže byť dôvodom nesprávneho záveru iba protichodná podmienka: od A by mal E a od A z toho nevyplýva E .
Niet pochýb o tom, že jedna časť podmienky je nepravdivá, zatiaľ čo druhá je v tomto prípade pravdivá. Obe časti podmienky majú rovnaký pôvod, sú akceptované ako údaje, predpokladané, rovnako možné, rovnako prípustné atď. V rámci logického uvažovania sa nenašiel jediný logický znak, ktorý by odlišoval jednu časť podmienky od druhej. . Preto v rovnakej miere môže byť od A by mal E a možno od A z toho nevyplýva E ... Vyhlásenie od A by mal E možno falošné, potom vyhlásenie od A z toho nevyplýva E bude pravda. Vyhlásenie od A z toho nevyplýva E môže byť nepravdivé, potom vyhlásenie od A by mal E bude pravda.
V dôsledku toho nie je možné dokázať priamu vetu protirečením.
Teraz dokážeme rovnakú priamu vetu obvyklou matematickou metódou.
Vzhľadom na to: A .
dokázať: od A by mal E .
Dôkaz.
1. Od A by mal B
2. Od B by mal V (podľa predtým dokázanej vety)).
3. Od V by mal G (podľa predtým dokázanej vety).
4. Od G by mal D (podľa predtým dokázanej vety).
5. Od D by mal E (podľa predtým dokázanej vety).
Na základe zákona prechodnosti, od A by mal E ... Priama veta sa dokazuje obvyklou metódou.
Nech má dokázaná priama veta správnu opačnú vetu: od E by mal A .
Dokážme to obvyklým matematický metóda. Dôkaz opačnej vety je možné vyjadriť symbolicky vo forme algoritmu matematických operácií.
Vzhľadom na to: E
dokázať: od E by mal A .
Dôkaz.
1. Od E by mal D
2. Od D by mal G (podľa predtým dokázaného opačného teorému).
3. Od G by mal V (podľa predtým dokázaného opačného teorému).
4. Od V z toho nevyplýva B (opačná veta nie je pravdivá). Preto od B z toho nevyplýva A .
V tejto situácii nemá zmysel pokračovať v matematickom dokazovaní opačnej vety. Dôvod tejto situácie je logický. Nesprávnu konverznú vetu nie je možné ničím nahradiť. V dôsledku toho nemožno túto konverznú vetu dokázať obvyklou matematickou metódou. Všetka nádej je na dôkaz tejto opačnej vety metódou protirečenia.
Na jeho preukázanie protirečivou metódou je potrebné nahradiť jej matematickú podmienku logickou protirečivou podmienkou, ktorá vo svojom význame obsahuje dve časti – nepravdivú a pravdivú.
Opačná veta uvádza: od E z toho nevyplýva A ... Jej stav E , z ktorého vyplýva záver A , je výsledkom dokazovania priamej vety obvyklou matematickou metódou. Táto podmienka musí byť zachovaná a doplnená o vyhlásenie od E by mal A ... V dôsledku sčítania sa získa protichodná podmienka novej konverznej vety: od E by mal A a od E z toho nevyplýva A ... Na základe toho logicky protirečivá podmienka, opačná veta sa dá dokázať pomocou správnej logické len a len zdôvodnenie, logické protirečivou metódou. Ako dôkaz protirečenia sú akékoľvek matematické akcie a operácie podriadené logickým, a preto sa nepočítajú.
V prvej časti rozporuplné tvrdenie od E by mal A stav E bol dokázaný dôkazom priamej vety. V druhej časti od E z toho nevyplýva A stav E bol predpokladaný a prijatý bez dôkazu. Niektoré z nich sú nepravdivé a druhé pravdivé. Je potrebné preukázať, ktorý z nich je nepravdivý.
Dokazujeme pomocou správneho logickéúvahy a zistí, že jej výsledkom je falošný, absurdný záver. Dôvodom nesprávneho logického záveru je protichodná logická podmienka vety, ktorá obsahuje dve časti – nepravdivú a pravdivú. Nepravdivou časťou môže byť iba vyhlásenie od E z toho nevyplýva A , v ktorom E bol prijatý bez dôkazu. Takto sa líši od E schválenie od E by mal A , čo je dokázané dôkazom priamej vety.
Preto je pravdivé nasledujúce tvrdenie: od E by mal A , ako je potrebné preukázať.
Záver: logickou metódou kontradikciou sa dokazuje len opačná veta, ktorá má priamu vetu dokázanú matematickou metódou a ktorú nemožno dokázať matematickou metódou.
Výsledný záver nadobúda mimoriadny význam vo vzťahu k metóde dôkazu protirečením Veľkej Fermatovej vety. Drvivá väčšina pokusov dokázať to nie je založená na bežnej matematickej metóde, ale na logickej metóde dokazovania kontradikciou. Výnimkou nie je ani dôkaz Wilesovej Veľkej Fermatovej vety.
Dmitrij Abrarov vo svojom článku „Fermatova veta: Fenomén Wilesových dôkazov“ publikoval komentár k Wilesovmu dôkazu Veľkej Fermatovej vety. Podľa Abrarova Wiles dokazuje Veľkú Fermatovu vetu pomocou pozoruhodného nálezu nemeckého matematika Gerharda Freya (nar. 1944), ktorý spojil potenciálne riešenie Fermatovej rovnice x n + y n = z n
, kde n> 2
, s inou, od neho úplne odlišnou, rovnicou. Táto nová rovnica je daná špeciálnou krivkou (nazývanou Freyova eliptická krivka). Freyova krivka je daná rovnicou veľmi jednoduchého tvaru:
.
„Totiž, Frey vyhovel každému riešeniu (a, b, c) Fermatova rovnica, teda čísla vyhovujúce vzťahu a n + b n = c n nad krivkou. V tomto prípade by odtiaľto vyplývala veľká Fermatova veta.(Citácia: Abrarov D. "Fermatova veta: Fenomén Wilesových dôkazov")
Inými slovami, Gerhard Frey navrhol, že rovnica veľkej Fermatovej vety x n + y n = z n
, kde n> 2
, má riešenia v kladných celých číslach. Tieto riešenia sú podľa Freyovho predpokladu riešeniami jeho rovnice
y2 + x (x - an) (y + b n) = 0
, ktorá je daná jej eliptickou krivkou.
Andrew Wiles prijal tento pozoruhodný nález od Freya as jeho pomocou matematický metóda dokázala, že tento nález, teda Freyova eliptická krivka, neexistuje. Neexistuje teda rovnica a jej riešenia, ktoré sú dané neexistujúcou eliptickou krivkou, preto mal Wiles prijať záver, že rovnica Veľkej Fermatovej vety a samotná Fermatova veta neexistujú. Urobil však skromnejší záver, že rovnica Veľkej Fermatovej vety nemá riešenia v kladných celých číslach.
Môže byť nevyvrátiteľným faktom, že Wiles prijal predpoklad, ktorý má presne opačný význam, ako uvádza Fermatova posledná veta. Zaväzuje Wilesa, aby dokázal Fermatovu poslednú vetu protirečením. Budeme nasledovať jeho príklad a uvidíme, čo z tohto príkladu vzíde.
Posledná Fermatova veta hovorí, že rovnica x n + y n = z n , kde n> 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach.
Podľa logickej metódy dôkazu protirečením sa toto tvrdenie zachová, berie sa ako dané bez dôkazu a potom sa doplní opačným tvrdením vo význame: rovnica x n + y n = z n , kde n> 2 , má riešenia v kladných celých číslach.
Údajné vyhlásenie sa tiež akceptuje ako dané, bez dôkazu. Obidva výroky, uvažované z hľadiska základných zákonov logiky, sú rovnako platné, rovnaké a rovnako možné. Správnym uvažovaním je potrebné určiť, ktoré z nich je nepravdivé, aby sa potom potvrdilo, že druhé tvrdenie je pravdivé.
Správna úvaha končí nepravdivým, absurdným záverom, ktorého logickým dôvodom môže byť len protichodná podmienka dokazovanej vety, ktorá obsahuje dve časti priamo opačného významu. Boli logickým dôvodom absurdného záveru, výsledkom dôkazu protirečením.
Pri logicky správnej úvahe sa však nenašiel jediný znak, podľa ktorého by bolo možné určiť, ktoré konkrétne tvrdenie je nepravdivé. Môže to byť výrok: rovnica x n + y n = z n , kde n> 2 , má riešenia v kladných celých číslach. Na rovnakom základe to môže byť výrok: rovnica x n + y n = z n , kde n> 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach.
V dôsledku úvah možno vyvodiť iba jeden záver: Posledná Fermatova veta sa nedá dokázať protirečením.
Bolo by to úplne iné, keby Fermatova posledná veta bola konverznou vetou, ktorá má priamu vetu dokázanú bežnou matematickou metódou. V tomto prípade by sa to dalo dokázať rozporom. A keďže ide o priamu vetu, jej dôkaz by nemal byť založený na logickej metóde dokazovania kontradikciou, ale na bežnej matematickej metóde.
Podľa D. Abrarova najznámejší z moderných ruských matematikov, akademik V. I. Arnold, reagoval na Wilesov dôkaz „aktívne skepticky“. Akademik uviedol: „toto nie je skutočná matematika – skutočná matematika je geometrická a silná v spojení s fyzikou.“ (Citát: Abrarov D. „Fermatova veta: fenomén Wilesových dôkazov.“ Akademikov výrok vyjadruje samotnú podstatu Wilesovho nematematický dôkaz Veľkej Fermatovej vety.
Protirečením nie je možné dokázať ani to, že rovnica Veľkej Fermatovej vety nemá riešenia, ani to, že má riešenia. Wilesova chyba nie je matematická, ale logická – použitie dôkazu protirečením tam, kde jeho použitie nedáva zmysel a nedokazuje Veľkú Fermatovu vetu.
Fermatova posledná veta nie je dokázaná pomocou obvyklého matematická metóda, ak je daná: rovnica x n + y n = z n , kde n> 2 , nemá riešenia v kladných celých číslach, a ak je potrebné v ňom dokázať: rovnicu x n + y n = z n , kde n> 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach. V tejto forme neexistuje teorém, ale tautológia bez významu.
Poznámka. Môj dôkaz o BTF bol prediskutovaný na jednom z fór. Jeden z Trotilových prispievateľov, odborník na teóriu čísel, urobil toto smerodajné vyhlásenie s názvom: "Stručné prerozprávanie toho, čo urobil Mirgorodsky." Citujem to doslovne:
« A. Dokázal, že ak z2 = x 2 + y , potom z n > x n + y n ... Toto je známy a celkom zrejmý fakt.
V. Zobral dve trojičky - pytagorejskú a nepytagorejskú a jednoduchým hľadaním ukázal, že pre konkrétnu, špecifickú rodinu trojčiat (78 a 210 kusov) je BTF splnená (a len pre neho).
S. A potom autor opomína skutočnosť, že od < v nasledujúcom stupni môže byť = , nie len > ... Jednoduchý protipríklad – prechod n = 1 v n = 2 v Pytagorovej trojici.
D. Tento bod nepridáva k dôkazu o BTF nič podstatné. Záver: BTF nebolo dokázané."
Jeho záver zvážim bod po bode.
A. Dokázala BTF pre celú nekonečnú množinu trojíc pytagorovských čísel. Dokázané geometrickou metódou, ktorú, ako verím, som neobjavil ja, ale znovu objavil. A objavil to, ako sa domnievam, sám P. Fermat. Práve toto mohol mať Fermat na mysli, keď písal:
"Našiel som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú pre neho príliš úzke." Tento môj predpoklad vychádza zo skutočnosti, že v diofantínskej úlohe, proti ktorej na okraj knihy písal Fermat, hovoríme o riešeniach diofantínskej rovnice, ktoré sú trojnásobkami pytagorovských čísel.
Nekonečná množina trojíc Pytagorových čísel sú riešeniami diofatickej rovnice a vo Fermatovej vete naopak žiadne z riešení nemôže byť riešením rovnice Fermatovej vety. A s týmto faktom priamo súvisí aj Fermatov skutočne zázračný dôkaz. Neskôr Fermat mohol rozšíriť svoju vetu na množinu všetkých prirodzených čísel. Na množine všetkých prirodzených čísel BTF nepatrí do „množiny výnimočne krásnych viet“. Toto je môj predpoklad, ktorý nie je možné dokázať ani vyvrátiť. Dá sa prijať aj odmietnuť.
V. V tomto bode dokazujem, že rodina svojvoľne prevzatého pytagorejského trojčlenu čísel, ako aj rodina svojvoľne prevzatého nepytagorovského trojčíslia BTF čísel je splnená. Toto je nevyhnutný, ale nedostatočný a medzičlánok v mojom dôkaze o BTF. . Príklady, ktoré som zobral na rodinu trojice pytagorovských čísel a rodinu trojice nepytagorovských čísel, majú význam konkrétnych príkladov, ktoré predpokladajú a nevylučujú existenciu podobných iných príkladov.
Trotilovo tvrdenie, že „jednoduchým hľadaním som ukázal, že pre konkrétnu, určitú rodinu trojíc (78 a 210 kusov) je BTF splnená (a len pre ňu), je neopodstatnené. Nemôže vyvrátiť skutočnosť, že môžem rovnako dobre vziať ďalšie príklady pytagorovských a nepytagorovských trojíc, aby som získal konkrétnu špecifickú rodinu jednej a druhej trojice.
Nech si vezmem ktorúkoľvek dvojicu trojíc, ich vhodnosť na riešenie úlohy sa dá podľa mňa overiť iba metódou „jednoduchého sčítania“. Iná metóda mi nie je známa a nie je potrebná. Ak sa to Trotilovi nepáči, mal navrhnúť inú metódu, čo sa mu nepáči. Bez toho, aby sme na oplátku niečo ponúkli, je nesprávne odsudzovať „prostú hrubú silu“, ktorá je v tomto prípade nenahraditeľná.
S. som vynechal = medzi< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z2 = x 2 + y (1), v ktorom je stupeň n> 2 — celý kladné číslo. Z rovnosti medzi nerovnosťami to vyplýva povinný zváženie rovnice (1) s neceločíselným stupňom n> 2 ... Trotil počítanie povinnéúvahy o rovnosti medzi nerovnosťami vlastne zvažuje nevyhnutné v dôkaze o BTF, zohľadnenie rovnice (1) pre neúplné význam stupňa n> 2 ... Urobil som to pre seba a našiel som rovnicu (1). neúplné význam stupňa n> 2 má riešenie troch čísel: z, (z-1), (z-1) s neceločíselným exponentom.
Grigorij Perelman. Refusenik
Vasilij Maximov
V auguste 2006 boli oznámené mená najlepších matematikov planéty, ktorí dostali najprestížnejšiu Fieldsovu medailu - akúsi obdobu Nobelovej ceny, o ktorú boli matematici z rozmaru Alfreda Nobela zbavení. Fieldsovu medailu – okrem čestného odznaku udeľuje laureátom aj šek na pätnásťtisíc kanadských dolárov – udeľuje Medzinárodný kongres matematikov každé štyri roky. Založil ho kanadský vedec John Charles Fields a prvýkrát bol ocenený v roku 1936. Od roku 1950 Fieldsovu medailu pravidelne osobne udeľuje španielsky kráľ za prínos k rozvoju matematickej vedy. Laureátmi ceny môžu byť jeden až štyria vedci do štyridsať rokov. Cenu už získalo 44 matematikov, z ktorých osem sú Rusi.
Grigorij Perelman. Henri Poincaré.
V roku 2006 sa laureátmi stali Francúz Wendelin Werner, Austrálčan Terence Tao a dvaja Rusi - Andrei Okunkov, ktorý pôsobí v USA, a vedec Grigorij Perelman z Petrohradu. Na poslednú chvíľu však vyšlo najavo, že Perelman toto prestížne ocenenie odmietol – ako organizátori oznámili, „z principiálnych dôvodov“.
Takýto extravagantný čin ruského matematika nebol pre ľudí, ktorí ho poznali, prekvapením. Nie je to prvýkrát, čo odmietol matematické ocenenia a svoje rozhodnutie vysvetlil tým, že nemá rád slávnostné udalosti a prílišný humbuk okolo svojho mena. Pred desiatimi rokmi, v roku 1996, Perelman odmietol ocenenie Európskeho matematického kongresu s odvolaním sa na skutočnosť, že nedokončil prácu na vedeckom probléme nominovanom na ocenenie a nebolo to naposledy. Zdalo sa, že ruský matematik si dal za svoj životný cieľ ohromiť ľudí, pričom ide proti verejnej mienke a vedeckej komunite.
Grigorij Jakovlevič Perelman sa narodil 13. júna 1966 v Leningrade. Od mladého veku mal rád presné vedy, brilantne absolvoval slávny 239 stredná škola s hĺbkovým štúdiom matematiky vyhral množstvo matematických olympiád: napríklad v roku 1982 sa ako súčasť tímu sovietskych školákov zúčastnil Medzinárodnej matematickej olympiády, ktorá sa konala v Budapešti. Perelman bez skúšok bol zapísaný na Fakultu mechaniky a matematiky Leningradskej univerzity, kde študoval vynikajúco a naďalej vyhrával v matematických súťažiach na všetkých úrovniach. Po absolvovaní univerzity s vyznamenaním nastúpil na postgraduálnu školu v petrohradskej pobočke Steklovho matematického inštitútu. Jeho vedeckým poradcom bol slávny matematik akademik Aleksandrov. Grigorij Perelman po obhajobe dizertačnej práce zostal na ústave v laboratóriu geometrie a topológie. Jeho práca na teórii Aleksandrovových priestorov je známa, dokázal nájsť dôkazy pre množstvo dôležitých hypotéz. Napriek početným ponukám od popredných západných univerzít Perelman uprednostňuje prácu v Rusku.
Jeho najväčším úspechom bolo v roku 2002 vyriešenie slávnej Poincarého hypotézy, ktorá bola publikovaná v roku 1904 a odvtedy zostala nedokázaná. Perelman na ňom pracoval osem rokov. Poincarého hypotéza bola považovaná za jednu z najväčších matematických záhad a jej riešenie je najdôležitejším úspechom matematickej vedy: okamžite posunie výskum problémov fyzikálnych a matematických základov vesmíru. Najprominentnejšie mozgy planéty predpovedali jeho riešenie až o niekoľko desaťročí neskôr a Clay Institute of Mathematics v Cambridge, Massachusetts, zaradil Poincarého problém medzi sedem najzaujímavejších nevyriešených matematických problémov tisícročia, z ktorých každý mal prisľúbenú odmenu milión dolárov. (Problémy s cenou za tisícročie) ...
Domnienka (niekedy nazývaná problém) francúzskeho matematika Henriho Poincarého (1854 – 1912) je formulovaná nasledovne: každý uzavretý jednoducho spojený trojrozmerný priestor je homeomorfný s trojrozmernou sférou. Na upresnenie použite názorný príklad: ak omotáte jablko gumičkou, tak v princípe potiahnutím pásky jablko stlačíte do bodky. Ak zabalíte bagel rovnakou páskou, nemôžete ho stlačiť do bodu bez toho, aby ste neroztrhli šišku alebo gumu. V tejto súvislosti sa jablko nazýva „jednorazovo spojená“ figúrka, zatiaľ čo šiška nie je jednoducho spojená. Takmer pred storočím Poincaré zistil, že dvojrozmerná sféra je jednoducho prepojená, a navrhol, že trojrozmerná sféra je tiež jednoducho spojená. Najlepší matematici sveta nedokázali túto hypotézu dokázať.
Aby sa Perelman kvalifikoval na cenu Clay Institute, stačilo publikovať svoje riešenie v jednom z vedeckých časopisov, a ak do dvoch rokov nikto nenájde chybu v jeho výpočtoch, riešenie bude považované za správne. Perelman sa však už od začiatku odchýlil od pravidiel, svoje rozhodnutie zverejnil na predtlačovej stránke vedeckého laboratória Los Alamos. Možno sa bál, že sa mu do výpočtov vkradla chyba – podobný príbeh sa už stal v matematike. V roku 1994 anglický matematik Andrew Wiles navrhol riešenie slávnej Fermatovej vety a o pár mesiacov neskôr sa ukázalo, že sa do jeho výpočtov vkradla chyba (aj keď neskôr bola opravená a senzácia sa predsa len konala). Dodnes nie je oficiálne zverejnený dôkaz Poincarého hypotézy – existuje však smerodajný názor najlepších matematikov planéty, potvrdzujúci správnosť Perelmanových výpočtov.
Fieldsovu medailu dostal Grigory Perelman práve za vyriešenie problému Poincarého. Ale ruský vedec odmietol ocenenie, ktoré si nepochybne zaslúži. "Gregory mi povedal, že sa cíti izolovaný od medzinárodnej matematickej komunity, mimo tejto komunity, a preto nechce dostať ocenenie," - povedal na tlačovej konferencii v Madride prezident Svetovej únie matematikov (WCM), Angličan John Ball.
Hovorí sa, že Grigory Perelman úplne opustí vedu: pred šiestimi mesiacmi opustil svoj rodný Steklov matematický inštitút a hovoria, že sa už nebude zaoberať matematikou. Možno, že ruský vedec verí, že keď dokázal slávnu hypotézu, urobil pre vedu všetko, čo mohol. Kto by sa však podujal hovoriť o myšlienkovom pochode takého brilantného vedca a výnimočného človeka? .. Perelman odmieta akékoľvek komentáre a pre The Daily Telegraph povedal: „Nič, čo môžem povedať, nie je v najmenšom verejnom záujme.“ Popredné vedecké publikácie však boli vo svojich hodnoteniach jednomyseľné, keď informovali, že „Grigory Perelman, ktorý vyriešil Poincarého vetu, stál na rovnakej úrovni ako najväčší géniovia minulosti a súčasnosti.“
Literárny publicistický mesačník a vydavateľstvo.
Že Andrew Wiles dostane v roku 2016 Abelovu cenu za dôkaz Taniyama-Shimurovej domnienky pre semistabilné eliptické krivky a dôkaz Fermatovej vety vyplývajúcej z tejto hypotézy. Poistné je v súčasnosti 6 miliónov NOK alebo približne 50 miliónov RUB. Podľa Wilesa bolo ocenenie pre neho „úplným prekvapením“.
Fermatova veta, dokázaná pred viac ako 20 rokmi, stále priťahuje pozornosť matematikov. Čiastočne je to spôsobené jeho formuláciou, ktorá je pochopiteľná aj pre školáka: dokážte, že pre prirodzené n> 2 neexistujú trojice nenulových celých čísel také, že a n + b n = c n. Pierre Fermat napísal tento výraz na okraj Diophantusovej aritmetiky s nádherným podpisom: „Našiel som o tom skutočne úžasný dôkaz [tohto tvrdenia], ale okraje knihy sú pre neho príliš úzke.“ Na rozdiel od väčšiny matematických príbehov je tento skutočný.
Odovzdávanie ceny je skvelou príležitosťou pripomenúť si desať zábavných príbehov súvisiacich s Fermatovou vetou.
1.
Predtým, ako Andrew Wiles dokázal Fermatovu vetu, bolo správnejšie nazvať ju hypotézou, teda Fermatovou domnienkou. Ide o to, že veta je podľa definície už dokázané tvrdenie. Z nejakého dôvodu sa však takýto názov nalepil na toto vyhlásenie.
2.
Ak do Fermatovej vety dáme n = 2, tak takáto rovnica má nekonečne veľa riešení. Tieto riešenia sa nazývajú „pytagorejské trojičky“. Tento názov dostali, pretože zodpovedajú pravouhlým trojuholníkom, ktorých strany sú vyjadrené práve takýmito množinami čísel. Pomocou týchto troch vzorcov (m 2 - n 2, 2 mn, m 2 + n 2) môžete generovať pytagorejské trojice. Do týchto vzorcov treba dosadiť rôzne hodnoty m a n a výsledkom budú trojky, ktoré potrebujeme. Tu je však dôležité uistiť sa, že získané čísla budú väčšie ako nula - dĺžky nemožno vyjadriť zápornými číslami.
Mimochodom, je ľahké vidieť, že ak sa všetky čísla v pytagorejskej trojici vynásobia nejakou nenulou, dostanete novú pytagorejskú trojku. Preto je rozumné študovať trojky, v ktorých tri čísla v súhrne nemajú spoločného deliteľa. Schéma, ktorú sme opísali, nám umožňuje získať všetky takéto trojčatá - to už nie je jednoduchý výsledok.
3.
1. marca na stretnutí Parížskej akadémie vied v roku 1847 dvaja matematici naraz – Gabriel Lame a Augustin Cauchy – oznámili, že sú na pokraji dokázania pozoruhodnej vety. Zverejňujú dôkazy. Väčšina akademikov fandila Kulhavému, keďže Cauchy bol samoľúby, netolerantný náboženský fanatik (a, samozrejme, úplne skvelý matematik v kombinácii). Zápasu však nebolo súdené skončiť – nemecký matematik Ernst Kummer prostredníctvom svojho priateľa Josepha Liouvilla akademikov odkázal, že dôkazy Cauchyho a Lameho mali rovnakú chybu.
V škole sa dokázalo, že rozklad čísla na prvočísla je jedinečný. Obaja matematici verili, že ak sa pozriete na rozklad celých čísel už v zložitom prípade, tak táto vlastnosť – jedinečnosť – zostane zachovaná. Avšak nie je.
Je pozoruhodné, že ak vezmeme do úvahy iba m + i n, potom je rozklad jedinečný. Takéto čísla sa nazývajú Gaussove. Ale pre prácu Lameho a Cauchyho bola potrebná faktorizácia v cyklotomických poliach. Sú to napríklad čísla, v ktorých m a n sú racionálne a i spĺňa vlastnosť i ^ k = 1.
4.
Fermatova veta pre n = 3 má jasný geometrický význam. Predstavme si, že máme veľa malých kociek. Predpokladajme, že sme z nich nazbierali dve veľké kocky. V tomto prípade budú strany samozrejme celé čísla. Je možné nájsť dve také veľké kocky, aby sme ich rozložením na malé kocky, z ktorých pozostávali, poskladali jednu veľkú kocku? Fermatova veta hovorí, že to nikdy nemôžete urobiť. Je zábavné, že ak položíte rovnakú otázku pre tri kocky, odpoveď je áno. Napríklad existujú také štyri čísla, ktoré objavil úžasný matematik Srinivas Ramanujan:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
V príbehu Fermatovej vety poznamenal Leonard Euler. Skutočne sa mu nepodarilo tvrdenie dokázať (ani sa k dôkazu priblížiť), ale sformuloval hypotézu, že rovnica
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
nemá celočíselné riešenie. Všetky pokusy nájsť riešenie takejto rovnice priamočiaro boli neúspešné. Až v roku 1988 Harvardský Naum Elkies našiel protipríklad. Vyzerá to takto:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Zvyčajne sa tento vzorec zapamätá v kontexte numerického experimentu. V matematike to spravidla vyzerá takto: existuje nejaký vzorec. Matematik si tento vzorec v jednoduchých prípadoch overí, overí pravdivosť a sformuluje nejakú hypotézu. Potom (hoci častejšie niektorí z jeho postgraduálnych študentov alebo študentov) napíše program, aby skontroloval, či je vzorec správny pre dostatočne veľké čísla, ktoré sa nedajú spočítať rukami (hovoríme o jednom takomto experimente s prvočíslami). To samozrejme nie je dôkaz, ale výborný dôvod na vyslovenie hypotézy. Všetky tieto konštrukcie sú založené na rozumnom predpoklade, že ak existuje protipríklad k nejakému rozumnému vzorcu, potom ho nájdeme dostatočne rýchlo.
Eulerova hypotéza nám pripomína, že život je oveľa pestrejší ako naše fantázie: prvý protipríklad môže byť ľubovoľne veľký.
6.
V skutočnosti sa, samozrejme, Andrew Wiles nesnažil dokázať Fermatovu vetu – riešil zložitejší problém zvaný Taniyama-Shimurova domnienka. V matematike existujú dve pozoruhodné triedy objektov. Prvá sa nazýva modulárne formy a je v podstate funkciou v priestore Lobačevského. Tieto funkcie sa nemenia s pohybmi práve v tejto rovine. Druhá sa nazýva "eliptické krivky" a sú to krivky definované rovnicou tretieho stupňa v komplexnej rovine. Oba objekty sú v teórii čísel veľmi obľúbené.
V 50. rokoch minulého storočia sa v knižnici Tokijskej univerzity stretli dvaja talentovaní matematici, Yutaka Taniyama a Goro Shimura. V tom čase na univerzite neexistovala žiadna špeciálna matematika: po vojne jednoducho nemala čas na zotavenie. Výsledkom bolo, že vedci študovali pomocou starých učebníc a na seminároch analyzovali problémy, ktoré sa v Európe a Spojených štátoch považovali za vyriešené a neboli obzvlášť relevantné. Boli to Taniyama a Shimura, ktorí zistili, že medzi modulárnymi formami a eliptickými funkciami existuje určitá zhoda.
Svoju hypotézu testovali na niektorých jednoduchých triedach kriviek. Ukázalo sa, že to funguje. Predpokladali teda, že toto spojenie je tu vždy. Takto sa objavila hypotéza Taniyama-Shimura a o tri roky neskôr Taniyama spáchal samovraždu. V roku 1984 nemecký matematik Gerhard Frey ukázal, že ak je Fermatova veta nesprávna, potom je nesprávna aj Taniyama-Shimurova domnienka. Z toho vyplýva, že ten, kto dokázal tento dohad, by dokázal aj vetu. To je presne to, čo urobil Wiles - ale nie veľmi všeobecne.
7.
Wiles strávil osem rokov dokazovaním hypotézy. A pri kontrole v ňom recenzenti našli chybu, ktorá „zabila“ väčšinu dôkazov a zrušila všetky roky práce. Jeden z recenzentov menom Richard Taylor sa zaviazal opraviť túto dieru s Wilesom. Kým pracovali, objavila sa správa, že Elkies, ten, kto našiel protipríklad k Eulerovej domnienke, našiel protipríklad k Fermatovej vete (neskôr sa ukázalo, že išlo o prvoaprílový žart). Wiles upadol do depresie a nechcel pokračovať - diera v dôkazoch sa v žiadnom prípade neuzatvárala. Taylor presvedčil Wilesa, aby bojoval ešte mesiac.
Stal sa zázrak a do konca leta sa matematikom podaril prelom – takto vychádzajú diela „Modulárne eliptické krivky a veľká Fermatova veta“ od Andrewa Wilesa (pdf) a „Ring-teoretické vlastnosti niektorých Heckeho algebier “ od Richarda Taylora a Andrewa Wilesa sa narodili. Toto už bol správny dôkaz. Vyšlo v roku 1995.
8.
Matematik Paul Wolfskel zomrel v Darmstadte v roku 1908. Po sebe zanechal závet, v ktorom dal matematickej komunite 99 rokov, aby našla dôkaz veľkej Fermatovej vety. Autor dôkazu mal dostať 100 tisíc mariek (autor protipríkladu by mimochodom nedostal nič). Podľa populárnej legendy láska podnietila Wolfskehla k takémuto daru matematikom. Takto opisuje Simon Singh legendu vo svojej knihe Fermat's Last Theorem:
Príbeh začína Wolfskelovou zamilovanosťou do krásnej ženy, ktorej identita nebola nikdy zistená. Na veľkú Wolfskelovu ľútosť ho tajomná žena odmietla. Upadol do takého hlbokého zúfalstva, že sa rozhodol spáchať samovraždu. Wolfskel bol vášnivý muž, ale nie impulzívny, a preto začal svoju smrť riešiť do všetkých detailov. Stanovil si dátum samovraždy a rozhodol sa streliť si do hlavy s prvým úderom hodín presne o polnoci. Počas zostávajúcich dní sa Wolfskel rozhodol dať do poriadku svoje záležitosti, ktoré išli skvele, a v posledný deň urobil závet a napísal listy blízkym priateľom a príbuzným.
Wolfskel pracoval tak usilovne, že pred polnocou ukončil všetky svoje obchody a aby ako-tak zaplnil zvyšné hodiny, odišiel do knižnice, kde začal prezerať matematické časopisy. Čoskoro narazil na klasický článok od Kummera, v ktorom vysvetlil, prečo Cauchy a Lame zlyhali. Kummerova práca bola jednou z najvýznamnejších matematických publikácií svojej doby a bola tým najlepším čítaním pre matematika, ktorý plánoval spáchať samovraždu. Wolfskel opatrne, riadok po riadku, sledoval Kummerove výpočty. Wolfskelovi sa zrazu zdalo, že objavil medzeru: autor vyslovil istý predpoklad a tento krok vo svojich úvahách nepodložil. Wolfskel uvažoval, či skutočne našiel vážnu medzeru, alebo či platí Kummerov predpoklad. Ak sa nájde medzera, potom existuje šanca, že Fermatovu poslednú vetu možno dokázať oveľa jednoduchšie, ako si mnohí mysleli.
Wolfskel si sadol za stôl, starostlivo analyzoval „chybnú“ časť Kummerovho uvažovania a začal načrtávať mini-dôkaz, ktorý by mal buď podporiť Kummerovu prácu, alebo ukázať mylnosť jeho predpokladu a v dôsledku toho vyvrátiť všetky jeho argumenty. . Na úsvite Wolfskel dokončil svoje výpočty. Zlou správou (matematicky) bolo, že Kummerov dôkaz bol vyliečený a Fermatova posledná veta bola stále nedostupná. Ale bola tu dobrá správa: čas určený na samovraždu sa skončil a Wolfskehl bol taký hrdý, že sa mu podarilo nájsť a vyplniť medzeru v diele veľkého Ernesta Kummera, že jeho zúfalstvo a smútok sa rozplynuli samy od seba. Matematika oživila jeho smäd po živote.
Existuje však aj alternatívna verzia. Wolfskel sa podľa nej dal na matematiku (a vlastne aj na Fermatovu vetu) kvôli progresívnej skleróze multiplex, ktorá mu bránila robiť to, čo miloval – byť lekárom. A peniaze nechal matematikom, aby neopustil svoju manželku, ktorú do konca života jednoducho nenávidel.
9.
Pokusy dokázať Fermatovu vetu elementárnymi metódami viedli k vzniku celej triedy čudní ľudia nazývaní „fermatisti“. Robili to, čo vyprodukovali veľké množstvo dôkazy a vôbec nezúfali, keď v týchto dôkazoch našli chybu.
Na Fakulte mechaniky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity bola legendárna postava menom Dobretsov. Zbieral vysvedčenia z rôznych katedier a pomocou nich prenikol na odbor mechanika a matematika. Stalo sa tak výlučne s cieľom nájsť obeť. Nejako natrafil na mladého postgraduálneho študenta (budúceho akademika Novikova). Ten vo svojej naivite začal pozorne študovať stoh papierov, ktorý mu Dobretsov podsunul so slovami, vraj, tu je dôkaz. Po ďalšom „tu je chyba...“ Dobretsov vzal kôpku a napchal si ju do kufríka. Z druhej aktovky (áno, prešiel cez katedru mechaniky a matematiky s dvoma kufríkmi) vybral druhú kôpku, povzdychol si a povedal: „Tak teda pozrime sa na možnosť 7 B“.
Mimochodom, väčšina týchto dôkazov začína vetou „Prenesme jeden z výrazov na pravú stranu rovnosti a zohľadnime ho.“
10.
Príbeh o vete nebude úplný bez nádherného filmu "Matematik a diabol".
novela
V časti 7 tohto článku sa pôvodne uvádzalo, že Naum Elkies našiel protipríklad k Fermatovej vete, ktorý sa neskôr ukázal ako nesprávny. To nie je pravda: správa s protipríkladom bola prvoaprílovým žartom. Ospravedlňujeme sa za nepresnosť.
Andrej Konyajev
