Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora: exemple, descriere și recenzii. Rezolvarea independentă a problemelor
Clasă: 8
Obiectivele lecției:
- Educational: să realizeze asimilarea teoremei lui Pitagora, să insufle abilitățile de a calcula latura necunoscută a unui triunghi dreptunghic folosind două dintre cele cunoscute, să învețe cum să aplici teorema lui Pitagora la rezolvarea unor probleme simple
- În curs de dezvoltare: contribuie la dezvoltarea capacității de comparare, observație, atenție, dezvoltarea capacității de gândire analitică și sintetică, lărgindu-și orizonturile
- Educational: formarea nevoii de cunoștințe, interes pentru matematică
Tip de lecție: lecție de prezentare a materialelor noi
Echipament: computer, proiector multimedia, prezentare pentru lecție ( Atasamentul 1)
Planul lecției:
- Organizarea timpului
- exerciții orale
- Lucrări de cercetare, înaintarea unei ipoteze și testarea ei în cazuri particulare
- Explicația noului material
a) Despre Pitagora
b) Enunţul şi demonstrarea teoremei - Consolidarea celor de mai sus prin rezolvarea de probleme
- Tema pentru acasă, rezumarea lecției.
În timpul orelor
Slide 2: Faceți exercițiile
- Extindeți paranteze: (3 + x) 2
- Calculați 3 2 + x 2 pentru x = 1, 2, 3, 4
– Există un număr natural al cărui pătrat este 10, 13, 18, 25? - Aflați aria unui pătrat cu laturile 11 cm, 50 cm, 7 dm.
Care este formula pentru aria unui pătrat?
Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic?
Slide 3: Întrebare răspuns
– Un unghi a cărui măsură este de 90°. (Drept)
Latura opusă unghiului drept al triunghiului. (Ipotenuză)
- Triunghi, pătrat, trapez, cerc - acestea sunt geometrice ... (Forme)
- Latura mai mică a unui triunghi dreptunghic. (Katet)
- O figură formată din două raze care emană dintr-un punct. (Colţ)
- Un segment de perpendiculară trasat de la vârful unui triunghi până la dreapta care conține latura opusă. (Înălţime)
- Un triunghi cu două laturi egale . (Isoscel)
Slide 4: O sarcină
Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile de 3 cm, 4 cm și 6 cm.
Sarcina este împărțită în rânduri.
| 1 rând | 2 rânduri | 3 rânduri | |
| picior A | 3 | 3 | |
| picior b | 4 | 4 | |
| Ipotenuză Cu | 6 | 6 |
Întrebări:
- A primit cineva un triunghi cu laturile date?
- Care poate fi concluzia? (Un triunghi dreptunghic nu poate fi definit arbitrar. Există o dependență între laturile sale).
- Măsurați laturile rezultate. ( Rezultatul mediu aproximativ pentru fiecare rând este introdus în tabel)
| 1 rând | 2 rânduri | 3 rânduri | |
| picior A | 3 | 3 | ~4,5 |
| picior b | 4 | ~5,2 | 4 |
| Ipotenuză Cu | ~5 | 6 | 6 |
- Încercați să stabiliți o relație între catete și ipotenuză în fiecare dintre cazuri.
(Se propune rememorarea exercițiilor orale și verificarea aceleiași relații între alte numere).
- Se atrage atenția asupra faptului că rezultatul exact nu va funcționa, deoarece. măsurătorile nu pot fi considerate exacte.
Profesorul cere ghiciri (ipoteze): elevii formulează.
- Da, într-adevăr, există o relație între ipotenuză și catete, iar primul care a demonstrat asta a fost savantul, al cărui nume îl vei numi. Această teoremă poartă numele lui.
Slide 5: Descifra
Slide 6: Pitagora din Samos
Cine va numi subiectul lecției de astăzi?
Elevii notează în caiete subiectul lecției: „Teorema lui Pitagora”
Teorema lui Pitagora este una dintre principalele teoreme ale geometriei. Cu ajutorul ei se demonstrează multe alte teoreme și se rezolvă probleme din diverse domenii: fizică, astronomie, construcții etc. Era cunoscut cu mult înainte ca Pitagora să o demonstreze. Vechii egipteni îl foloseau atunci când construiau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4 și 5 unități folosind o frânghie pentru a construi unghiuri drepte atunci când puneau clădiri, piramide. Prin urmare, un astfel de triunghi se numește triunghi egiptean.
Există peste trei sute de moduri de a demonstra această teoremă. Ne vom uita la unul dintre ele astăzi.
Slide 7: teorema lui Pitagora
Teorema: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Dat:
Triunghi dreptunghic,
a, b - picioare, Cu- ipotenuza
Dovedi:
Dovada.
1. Continuăm catetele unui triunghi dreptunghic: catete A- pentru lungime b, picior b- pentru lungime A.
În ce formă poate fi construit un triunghi? De ce până la un pătrat? Care va fi latura pătratului?
2. Completam triunghiul la un patrat cu o latura a + b.
Cum poți găsi aria acestui pătrat?
3. Suprafața pătratului este
- Să despărțim pătratul în părți: 4 triunghiuri și un pătrat cu latura c.
Cum altfel poți găsi aria pătratului original?
De ce triunghiurile dreptunghiulare rezultate sunt congruente?
4. Pe de altă parte,
5. Echivalează egalitățile rezultate:
Teorema a fost demonstrată.
Există o formulare comică a acestei teoreme: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Probabil, o astfel de formulare se datorează faptului că această teoremă a fost stabilită inițial pentru un triunghi dreptunghic isoscel. Mai mult, suna puțin diferit: „Aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale”.
Slide 8: O altă formulare a teoremei lui Pitagora
Și vă voi oferi o altă formulare a acestei teoreme în versuri:
Dacă ni se dă un triunghi
Și, în plus, cu unghi drept,
Acesta este pătratul ipotenuzei
Putem găsi întotdeauna cu ușurință:
Construim picioarele într-un pătrat,
Găsim suma gradelor
Și într-un mod atât de simplu
Vom ajunge la rezultat.
- Așadar, astăzi v-ați familiarizat cu cea mai cunoscută teoremă a planimetriei - teorema lui Pitagora. Cum este formulată teorema lui Pitagora? Cum altfel poate fi formulat?
Fixarea primară a materialului
Slide 9: Rezolvarea problemelor conform desenelor gata făcute.
Slide 10: Rezolvarea problemelor într-un caiet
Trei elevi sunt chemați la tablă în același timp pentru a rezolva probleme.
Slide 11: Problema matematicianului indian din secolul al XII-lea Bhaskara
Rezumând lecția:
Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?
- Formularea teoremei lui Pitagora.
- Ce ai învățat să faci la lecție?
Teme pentru acasă:
– Învață teorema lui Pitagora cu demonstrație
- Sarcini din manualul nr. 483 c, d; Nr. 484 in, oras
– Pentru elevii mai avansați: găsiți alte dovezi ale teoremei lui Pitagora, aflați una dintre ele.
Se evaluează munca clasei în ansamblu, evidențiind elevii individuali.
Lecție pe tema: „Teorema lui Pitagora”
Tip de lecție: lecție de învățare a materialelor noi. (conform manualului „Geometrie, 7–9”, un manual pentru instituțiile de învățământ; L.S. Atanasyan și colab. - ed. a XII-a - M .: Educație, 2009).
Ţintă:
introducerea elevilor în teorema lui Pitagora și informațiile istorice legate de această teoremă; dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii, gândirea logică; Atenţie.
În timpul orelor:
1. Moment organizatoric.
Slide 2 Basm „Casa”.
Tema lecției noastre este „Teorema lui Pitagora”. Astăzi în lecție ne vom familiariza cu biografia lui Pitagora, vom studia una dintre cele mai cunoscute teoreme geometrice ale antichității, numită teorema lui Pitagora, una dintre principalele teoreme ale planimetriei.
2. Actualizarea cunoștințelor.(Pregătirea pentru studiul de material nou, materialul care va fi necesar în demonstrarea teoremei se repetă)
1) Întrebări:
Ce patrulater se numește pătrat?
Cum să găsiți aria unui pătrat?
Care triunghi se numește triunghi dreptunghic?
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic?
Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic?
3. Învățarea de noi materiale.
1) Referință istorică.
Slide 3 și 4.
Marele om de știință Pitagora s-a născut în jurul anului 570 î.Hr. pe insula Samos. Tatăl lui Pitagora a fost Mnesarchus, un cioplitor de pietre prețioase. Numele mamei lui Pitagora este necunoscut. Potrivit multor mărturii străvechi, băiatul născut era fabulos de frumos și și-a arătat curând abilitățile remarcabile. Ca orice tată, Mnesarchus a visat că fiul său își va continua munca - meșteșugul unui aurar. Viața a judecat altfel. Viitorul mare matematician și filosof deja în copilărie a arătat abilități mari pentru științe.
Lui Pitagora i se atribuie studiul proprietăților întregilor și proporțiilor, demonstrarea teoremei lui Pitagora etc. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care filozoful a primit-o pentru că a vorbit mereu corect și convingător, ca un oracol grec. (Pitagora - „vorbire persuasivă”.)
Cu discursurile sale, a dobândit 2.000 de elevi, care, împreună cu familiile lor, au format o școală-stat, unde legile și regulile lui Pitagora erau în vigoare. Școala lui Pitagora sau, așa cum este numită și Uniunea Pitagora, a fost în același timp o școală filozofică, un partid politic și o frăție religioasă.
Figura geometrică preferată a pitagoreenilor a fost pentagrama, numită și steaua pitagoreică. Pitagoreii foloseau această figură, desenând-o în nisip, pentru a se saluta și a se recunoaște. Pentagrama le servea drept parolă și era un simbol al sănătății și fericirii.
Tradiția spune că atunci când Pitagora a ajuns la teorema care îi poartă numele, a adus zeilor 100 de tauri. În anul 500 î.Hr., Pitagora a fost ucis într-o luptă de stradă în timpul unei revolte populare. În prezent, există aproximativ 200 de dovezi ale teoremei lui Pitagora.
Enunțul teoremei
2) Demonstrarea teoremei.
Să construim un dreptunghi într-un pătrat cu latura a + b.
Copiii, cu ajutorul unui profesor, demonstrează teorema conform desenului, apoi scriu demonstrația într-un caiet.
Dovada:
suprafata patrata
- se demonstrează teorema.
4. Consolidarea primară a cunoștințelor.
Lucrare manuală (Aplicarea teoremei lui Pitagora la rezolvarea problemelor).
Problemele sunt rezolvate pe tablă și în caiete.
Concluzie: folosind teorema lui Pitagora, puteți rezolva două tipuri de probleme:
1. Aflați ipotenuza unui triunghi dreptunghic dacă catetele sunt cunoscute.
2. Aflați catetul dacă ipotenuza și celălalt catet sunt cunoscute.
.
5. Rezolvarea independentă a problemelor.
nr. 483 (b), 484 (b)
6. Tema pentru acasă: P 54, nr. 483 (d), 484 (d).
7. Rezultatul lecției.
Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?
Pentru care triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora?
Termină lecția cu o poezie.
Mulți oameni știu sonetul lui Chamisso:
Adevărul va rămâne etern, cât de curând
O persoană slabă va ști!
Și acum teorema lui Pitagora
Verna, ca în epoca lui îndepărtată.
Sacrificiul a fost din belșug
Zei din Pitagora. O sută de tauri
El a dat la sacrificare și ardere
În spatele luminii este o rază care a venit din nori.
Prin urmare, de atunci
Un mic adevăr se naște pe lume,
Taurii răcnesc, simțind-o, urmând-o.
Ei nu pot opri lumina
Și nu pot decât să închidă ochii să tremure
Din frica pe care Pitagora le-a insuflat-o.
Întrebare - răspuns Unghi a cărui măsură este 90° DIRECT Latura situată opusă unghiului drept al triunghiului HIPOTENUZĂ Triunghiul, pătratul, trapezul, cercul sunt geometrice... FIGURI Latura mai mică a unui triunghi dreptunghic CATETH Figura formată din două raze care emană din un punct UNGHI Segment perpendicular trasat de la vârful unui triunghi la dreapta care conține latura opusă ÎNĂLȚIE Un triunghi ale cărui două laturi sunt isoscele egale
Pitagora din Samos (c. 580 - c. 500 î.Hr.) Matematician și filozof grec antic. Născut pe insula Samos. Și-a organizat propria școală - școala lui Pitagora (Uniunea Pitagoreică), care era în același timp o școală filozofică, un partid politic și o frăție religioasă. El a fost primul care a demonstrat relația dintre ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic.
Problema matematicianului indian din secolul al XII-lea Bhaskara Pe malul râului creștea un plop singuratic. Deodată o rafală de vânt i-a rupt trunchiul. Bietul plop a căzut. Iar unghiul unei drepte Cu cursul râului, trunchiul lui era. Amintiți-vă acum că în acest loc râul B avea doar patru picioare lățime.Capul se apleca pe marginea râului. Mai sunt doar trei picioare de trunchi, te implor, spune-mi curând acum: Cât de înalt este plopul?
Shapovalova L.A. (stația Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr. 11)
1. Glazer G.I. Istoria matematicii la școala clasele VII - VIII, ghid pentru profesori, - M: Educație, 1982.
2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „În spatele paginilor unui manual de matematică” Manual pentru elevii din clasele 5-6. – M.: Iluminismul, 1989.
3. Zenkevici I.G. „Estetica lecției de matematică”. – M.: Iluminismul, 1981.
4. Litzman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.
5. Voloshinov A.V. „Pitagora”. - M., 1993.
6. Pichurin L.F. „Dincolo de paginile unui manual de algebră”. - M., 1990.
7. Zemlyakov A.N. „Geometrie în clasa a X-a”. - M., 1986.
8. Ziarul „Matematică” 17/1996.
9. Ziarul „Matematică” 3/1997.
10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Culegere de probleme de matematică elementară”. - M., 1963.
11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Manual de matematică”. - M., 1973.
12. Shchetnikov A.I. „Doctrina pitagoreică a numărului și mărimii”. - Novosibirsk, 1997.
13. „Numere reale. Expresii iraționale» Clasa a VIII-a. Presa Universității din Tomsk. – Tomsk, 1997.
14. Atanasyan M.S. „Geometrie” clasa 7-9. – M.: Iluminismul, 1991.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
În acest an universitar, m-am familiarizat cu o teoremă interesantă, cunoscută, după cum sa dovedit, din cele mai vechi timpuri:
„Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catete.”
De obicei, descoperirea acestei afirmații este atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (sec. VI î.Hr.). Dar studiul manuscriselor antice a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înainte de nașterea lui Pitagora.
M-am întrebat de ce, în acest caz, este asociat cu numele lui Pitagora.
Relevanța subiectului: Teorema lui Pitagora este de mare importanță: este folosită în geometrie literalmente la fiecare pas. Consider că lucrările lui Pitagora sunt încă relevante, pentru că oriunde ne uităm, peste tot putem vedea roadele marilor sale idei, întruchipate în diverse ramuri ale vieții moderne.
Scopul cercetării mele a fost: să aflu cine a fost Pitagora și ce relație are el cu această teoremă.
Studiind istoria teoremei, am decis să aflu:
Există și alte dovezi ale acestei teoreme?
Care este semnificația acestei teoreme în viața oamenilor?
Ce rol a jucat Pitagora în dezvoltarea matematicii?
Din biografia lui Pitagora
Pitagora din Samos este un mare om de știință grec. Faima sa este asociată cu numele teoremei lui Pitagora. Deși acum știm deja că această teoremă era cunoscută în Babilonul antic cu 1200 de ani înainte de Pitagora, iar în Egipt, cu 2000 de ani înainte de el, se cunoștea un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5, îl numim încă cu numele acestui antic. om de stiinta.
Aproape nimic nu este cunoscut cu certitudine despre viața lui Pitagora, dar un număr mare de legende sunt asociate cu numele său.
Pitagora s-a născut în anul 570 î.Hr. pe insula Samos.
Pitagora avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care a primit-o filozoful pentru că a vorbit mereu corect și convingător, ca un oracol grec. (Pitagora - „vorbire persuasivă”).
În anul 550 î.Hr., Pitagora ia o decizie și pleacă în Egipt. Așadar, înaintea lui Pitagora se deschide o țară necunoscută și o cultură necunoscută. Mult uimit și surprins pe Pitagora în această țară, iar după câteva observații asupra vieții egiptenilor, Pitagora și-a dat seama că calea către cunoaștere, ocrotită de casta preoților, este prin religie.
După unsprezece ani de studii în Egipt, Pitagora pleacă în patria sa, unde pe parcurs cade în robia babiloniană. Acolo face cunoștință cu știința babiloniană, care era mai dezvoltată decât cea egipteană. Babilonienii au știut să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. Scăpat din captivitate, nu a putut rămâne mult timp în patria sa din cauza atmosferei de violență și tiranie care domnea acolo. A decis să se mute la Croton (o colonie greacă din nordul Italiei).
În Croton începe cea mai glorioasă perioadă din viața lui Pitagora. Acolo a înființat ceva ca o frăție religios-etică sau un ordin monahal secret, ai cărui membri erau obligați să ducă așa-zisul mod de viață pitagoreic.
Pitagora și pitagoreenii
Pitagora a organizat în colonia greacă din sudul Peninsulei Apenine o frăție religioasă și etică, precum un ordin monahal, care mai târziu avea să se numească Uniunea Pitagoreică. Membrii uniunii trebuiau să adere la anumite principii: în primul rând, să se străduiască pentru frumos și glorios, în al doilea rând, să fie folositori și, în al treilea rând, să se străduiască pentru o mare plăcere.
Sistemul de reguli morale și etice, lăsat moștenire de Pitagora studenților săi, a fost compilat într-un fel de cod moral al pitagoreenilor „Versuri de aur”, care au fost foarte populare în epoca Antichității, Evul Mediu și Renaștere.
Sistemul pitagoreic de studii a constat din trei secțiuni:
Învățături despre numere - aritmetică,
Învățături despre figuri - geometrie,
Învățături despre structura universului - astronomie.
Sistemul de învățământ stabilit de Pitagora a durat multe secole.
Școala lui Pitagora a făcut mult pentru a da geometriei caracterul unei științe. Principala caracteristică a metodei pitagoreice a fost combinarea geometriei cu aritmetica.
Pitagora s-a ocupat mult de proporții și progresii și, probabil, de asemănarea cifrelor, întrucât i se atribuie rezolvarea problemei: „Construiți un al treilea, egal ca mărime cu unul dintre date și asemănător celui de-al doilea, pe baza date două cifre.”
Pitagora și studenții săi au introdus conceptul de numere poligonale, prietenoase, perfecte și le-au studiat proprietățile. Aritmetica, ca practică de calcul, nu-l interesa pe Pitagora, iar el declara cu mândrie că „pune aritmetica mai presus de interesele negustorului”.
Membrii Uniunii Pitagoreice erau rezidenți ai multor orașe din Grecia.
Pitagoreii au acceptat și femeile în societatea lor. Uniunea a înflorit timp de mai bine de douăzeci de ani, iar apoi a început persecuția membrilor săi, mulți dintre studenți au fost uciși.
Au existat multe legende despre moartea lui Pitagora însuși. Dar învățăturile lui Pitagora și ale ucenicilor lui au continuat să trăiască.
Din istoria creării teoremei lui Pitagora
În prezent se știe că această teoremă nu a fost descoperită de Pitagora. Cu toate acestea, unii cred că Pitagora a fost primul care a dat dovada completă, în timp ce alții îi neagă acest merit. Unii îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid o dă în prima carte a Elementelor sale. Pe de altă parte, Proclu susține că demonstrația din Elemente se datorează lui Euclid însuși. După cum putem vedea, istoria matematicii nu are aproape date concrete sigure despre viața lui Pitagora și activitatea sa matematică.
Să începem revizuirea istorică a teoremei lui Pitagora cu China antică. Aici cartea de matematică a lui Chu-pei atrage o atenție deosebită. Acest eseu spune asta despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:
„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5 când baza este 3 și înălțimea este 4.”
Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Luați o frânghie de 12 m lungime și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Un unghi drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime.
Geometria în rândul hindușilor era strâns legată de cultul. Este foarte probabil ca teorema ipotenuzei pătratului să fie deja cunoscută în India în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Alături de prescripțiile pur ritualice, există lucrări de natură geometrică teologică. În aceste scrieri, datând din secolul al IV-lea sau al V-lea î.Hr., întâlnim construirea unui unghi drept folosind un triunghi cu laturile 15, 36, 39.
În Evul Mediu, teorema lui Pitagora a definit limita, dacă nu cea mai mare posibilă, atunci cel puțin a bunelor cunoștințe matematice. Desenul caracteristic al teoremei lui Pitagora, care acum este uneori transformat de școlari, de exemplu, într-o pălărie de cilindru îmbrăcat într-o mantie de profesor sau de bărbat, a fost adesea folosit în acele vremuri ca simbol al matematicii.
În concluzie, prezentăm diverse formulări ale teoremei lui Pitagora traduse din greacă, latină și germană.
Teorema lui Euclid spune (traducere literală):
„Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii care se întinde pe unghiul drept este egal cu pătratele de pe laturile care încadrează unghiul drept.”
După cum puteți vedea, în diferite țări și limbi diferite, există diferite versiuni ale formulării teoremei familiare. Create în momente diferite și în limbi diferite, ele reflectă esența unui model matematic, a cărui dovadă are și mai multe opțiuni.
Cinci moduri de a demonstra teorema lui Pitagora
dovezi chineze antice
Într-un desen chinez antic, patru triunghiuri dreptunghiulare egale cu catetele a, b și ipotenuza c sunt stivuite astfel încât conturul lor exterior să formeze un pătrat cu latura a + b, iar cel interior să formeze un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuză
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Dovada de J. Gardfield (1882)
Să aranjam două triunghiuri dreptunghiulare egale, astfel încât catetul unuia dintre ele să fie o continuare a celuilalt.
Aria trapezului luat în considerare se găsește ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea
Pe de altă parte, aria trapezului este egală cu suma ariilor triunghiurilor rezultate:
Echivalând aceste expresii, obținem:
Dovada este simplă
Această demonstrație se obține în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel.
Probabil, teorema a început cu el.
Într-adevăr, este suficient să ne uităm la placarea triunghiurilor dreptunghiulare isoscele pentru a vedea că teorema este adevărată.
De exemplu, pentru triunghiul ABC: pătratul construit pe ipotenuza AC conține 4 triunghiuri inițiale, iar pătratele construite pe catete conțin două. Teorema a fost demonstrată.
Dovada hindușilor antici
Un pătrat cu o latură (a + b), poate fi împărțit în părți fie ca în fig. 12. a, sau ca în fig. 12b. Este clar că părțile 1, 2, 3, 4 sunt aceleași în ambele figuri. Și dacă egali sunt scăzuți din egali (arii), atunci egali vor rămâne, i.e. c2 = a2 + b2.
Dovada lui Euclid
Timp de două milenii, cea mai comună a fost demonstrarea teoremei lui Pitagora, inventată de Euclid. Este plasat în celebra sa carte „Începuturi”.
Euclid a coborât înălțimea BH de la vârful unghiului drept la ipotenuză și a demonstrat că extinderea sa împarte pătratul completat pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe catete.
Desenul folosit în demonstrarea acestei teoreme este numit în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.
Aplicarea teoremei lui Pitagora
Semnificația teoremei lui Pitagora constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi derivate din ea sau cu ajutorul ei și se pot rezolva multe probleme. În plus, semnificația practică a teoremei lui Pitagora și a teoremei sale inverse este că pot fi folosite pentru a găsi lungimile segmentelor fără a măsura segmentele în sine. Aceasta, așa cum spuneam, deschide calea de la o linie dreaptă la un plan, de la un plan la spațiul volumetric și mai departe. Din acest motiv, teorema lui Pitagora este atât de importantă pentru umanitate, care caută să descopere mai multe dimensiuni și să creeze tehnologii în aceste dimensiuni.
Concluzie
Teorema lui Pitagora este atât de faimoasă încât este dificil să-ți imaginezi o persoană care nu a auzit despre ea. Am învățat că există mai multe moduri de a demonstra teorema lui Pitagora. Am studiat o serie de surse istorice și matematice, inclusiv informații de pe Internet, și am realizat că teorema lui Pitagora este interesantă nu numai pentru istoria sa, ci și pentru că ocupă un loc important în viață și știință. Acest lucru este dovedit de diferitele interpretări ale textului acestei teoreme date de mine în această lucrare și de modalitățile de demonstrare a acesteia.
Deci, teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă prin faptul că în sine nu este deloc evidentă. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct pe desen. Dar oricât de mult te uiți la un triunghi dreptunghic, nu vei vedea niciodată că există o relație simplă între laturile lui: c2 = a2 + b2. Prin urmare, vizualizarea este adesea folosită pentru a dovedi acest lucru. Meritul lui Pitagora a fost că a dat o demonstrație științifică completă a acestei teoreme. Personalitatea omului de știință însuși, a cărui memorie nu este păstrată accidental de această teoremă, este interesantă. Pitagora este un orator minunat, profesor și educator, organizatorul școlii sale, axat pe armonia muzicii și a numerelor, bunătate și dreptate, cunoaștere și un stil de viață sănătos. El poate servi drept exemplu pentru noi, descendenții îndepărtați.
Link bibliografic
Tumanova S.V. MAI MULTE MODALITĂȚI DE DEMONSTRARE A TEOREMA PITAGORICE // Începeți în știință. - 2016. - Nr. 2. - P. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (data accesului: 01/10/2020).
teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia
între laturile unui triunghi dreptunghic.
Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care poartă numele.
Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.
Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:
Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,
construit pe catetere.
Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Adică indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c, iar lungimile picioarelor prin Ași b:
Ambele formulări teoremele lui pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu
necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și
măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
Teorema inversă a lui Pitagora.
Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci
triunghiul este dreptunghiular.
Sau, cu alte cuvinte:
Pentru orice triplu de numere pozitive A, bși c, astfel încât
există un triunghi dreptunghic cu catete Ași b si ipotenuza c.
Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.
Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.
Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.
În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema
Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate
poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.
Desigur, din punct de vedere conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:
dovada de metoda zonei, axiomaticși dovezi exotice(de exemplu,
prin utilizarea ecuatii diferentiale).
1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora în termeni de triunghiuri similare.
Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite
direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.
Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic C. Să desenăm o înălțime de la C si denota
întemeierea ei prin H.
Triunghi ACH asemănător unui triunghi AB C pe două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.
Prin introducerea notației:
primim:
,
care se potrivește -
Fiind pliat A 2 și b 2, obținem:
sau , ceea ce urma să fie dovedit.
2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda ariei.
Următoarele dovezi, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toti
folosiți proprietățile zonei, a cărei demonstrație este mai complicată decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.
- Dovada prin echicomplementare.
Aranjați patru dreptunghiulare egale
triunghi așa cum se arată în imagine
pe dreapta.
Cadrilater cu laturi c- pătrat,
deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și
unghiul dezvoltat este de 180°.
Zona întregii figuri este, pe de o parte,
aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și
Q.E.D.
3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.
Având în vedere desenul prezentat în figură, și
privind schimbarea lateralăA, noi putem
scrie următoarea relație pentru infinit
mic incremente lateraleCuși A(folosind asemănarea
triunghiuri):
Folosind metoda separării variabilelor, găsim:
O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete:
Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:
Astfel, ajungem la răspunsul dorit:
După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului
proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incrementele, în timp ce suma este raportată la independent
contribuții din creșterea diferitelor picioare.
O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere
(în acest caz, piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem:
