Үлгэрүүд

Эсрэг дериватив график доорх талбай. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. y=f(x) эсвэл x=g(y) шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоолох жишээнүүд

Тодорхой интегралын геометрийн утгыг шинжлэхэд зориулагдсан өмнөх хэсэгт бид муруйн трапецын талбайг тооцоолох хэд хэдэн томъёог олж авав.

S (G) = ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба эерэг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; б] .

Эдгээр томъёо нь харьцангуй энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Үнэндээ бид ихэвчлэн илүү төвөгтэй дүрстэй ажиллах шаардлагатай болдог. Үүнтэй холбогдуулан бид энэ хэсгийг тодорхой хэлбэрээр функцээр хязгаарласан дүрсийн талбайг тооцоолох алгоритмын шинжилгээнд зориулах болно. y = f(x) эсвэл x = g(y) гэх мэт.

Теорем

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) функцууд тодорхойлогддог ба [ a ; b ] , ба f 1 (x) ≤ f 2 (x) нь [ a -аас ямар ч х утгын хувьд; б] . Дараа нь x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ба y \u003d f 2 (x) шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох томъёо нь S шиг харагдах болно. G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Үүнтэй төстэй томъёог y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ба x \u003d g 2 (y) шугамаар хязгаарласан зургийн талбайд хэрэглэнэ: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Баталгаа

Томъёо хүчинтэй байх гурван тохиолдолд бид дүн шинжилгээ хийх болно.

Эхний тохиолдолд тухайн талбайн нэмэлт шинж чанарыг харгалзан үзэхэд анхны зураг G ба муруйн шугаман трапецын G 1 талбайн нийлбэр нь G 2 зургийн талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь тийм гэсэн үг

Тиймээс S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Бид тодорхой интегралын гурав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

Хоёрдахь тохиолдолд тэгш байдал нь үнэн: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

График дүрслэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хэрэв функц хоёулаа эерэг биш бол бид дараахийг авна: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . График дүрс нь дараах байдлаар харагдах болно.

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) нь O x тэнхлэгтэй огтлолцох ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

Бид огтлолцох цэгүүдийг x i , i = 1 , 2 , гэж тэмдэглэнэ. . . , n - 1. Эдгээр цэгүүд сегментийг эвддэг [ a ; b ] n хэсэгт x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , энд α = x 0 байна< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Үүний үр дүнд,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Бид тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

График дээрх ерөнхий тохиолдлыг харуулъя.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x томьёог батлагдсан гэж үзэж болно.

Одоо y \u003d f (x) ба x \u003d g (y) шугамаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох жишээнүүдийн дүн шинжилгээ рүү шилжье.

Жишээнүүдийн аль нэгийг авч үзвэл бид график байгуулахаас эхэлнэ. Энэ зураг нь нарийн төвөгтэй хэлбэрийг энгийн дүрсүүдийн хослол болгон дүрслэх боломжийг бидэнд олгоно. Хэрэв график, тэдгээрийн дээр дүрс зурах нь танд хэцүү бол та үндсэн үндсэн функцууд, функцийн графикийн геометрийн хувиргалт, түүнчлэн функцийг судлах явцад график зурах хэсгийг судалж болно.

Жишээ 1

y \u003d - x 2 + 6 x - 5 парабол ба y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай. 1, x \u003d 4.

Шийдэл

График дээрх шугамуудыг декартын координатын системээр зуръя.

Интервал дээр [ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 параболын график нь y = - 1 3 x - 1 2 шулуунаас дээш байрлана. Үүнтэй холбогдуулан хариулт авахын тулд бид өмнө нь олж авсан томъёо, түүнчлэн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргыг ашигладаг.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Хариулт: S (G) = 13

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Энэ тохиолдолд бид x тэнхлэгтэй параллель зөвхөн нэг шулуун шугамтай болно. Энэ нь x = 7 юм. Энэ нь бид хоёр дахь интеграцийн хязгаарыг өөрсдөө олохыг шаарддаг.

График байгуулж, түүн дээр бодлогын нөхцөлөөр өгөгдсөн шугамуудыг тавья.

Бидний нүдний өмнө график байгаа тул интегралын доод хязгаар нь y \u003d x шулуун шугам ба хагас парабол y \u003d x + 2 бүхий графикийн огтлолцлын цэгийн абсцисса байх болно гэдгийг хялбархан тодорхойлж чадна. Абсциссыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг ашиглана:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Уулзалтын цэгийн абсцисса нь x = 2 байна.

Зурган дээрх ерөнхий жишээн дээр y = x + 2 , y = x шугамууд (2 ; 2) цэг дээр огтлолцдог тул ийм нарийвчилсан тооцоо хийх нь илүүц мэт санагдаж болох тул бид таны анхаарлыг татаж байна. Илүү нарийн төвөгтэй тохиолдолд шийдэл нь тийм ч тодорхой биш байж болох тул бид ийм нарийн шийдлийг энд оруулсан болно. Энэ нь шугамын огтлолцлын координатыг аналитик байдлаар үргэлж тооцоолох нь дээр гэсэн үг юм.

Интервал дээр [ 2 ; 7 ] y = x функцийн график нь у = x + 2 функцийн график дээр байрлана. Талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Хариулт: S (G) = 59 6

Жишээ 3

y \u003d 1 x ба y \u003d - x 2 + 4 x - 2 функцуудын графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр шугам зурцгаая.

Интеграцийн хязгаарыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид 1 x ба - x 2 + 4 x - 2 илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх замаар шугамуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Хэрэв x нь тэгтэй тэнцүү биш бол 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 тэгшитгэл нь бүхэл тооны коэффициент бүхий гурав дахь зэрэгтэй - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. . Та ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын санах ойг "Куб тэгшитгэлийн шийдэл" хэсгээс сэргээж болно.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 илэрхийлэлийг x - 1 хоёрт хуваавал: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x) болно. - 1) = 0

Бид x 2 - 3 x - 1 = 0 тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олж болно.

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Бид x ∈ 1 интервалыг олсон; 3 + 13 2 , энд G нь цэнхэр шугамаас дээш, улаан шугамын доор байна. Энэ нь зургийн талбайг тодорхойлоход тусална:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Хариулт: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жишээ 4

y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ба x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх бүх мөрүүдийг оруулъя. y = - log 2 x + 1 функцийн графикийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлуулж, нэг нэгж дээш хөдөлгөвөл y = log 2 x графикаас авч болно. x тэнхлэгийн тэгшитгэл y \u003d 0.

Шугамануудын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэе.

Зурагнаас харахад y \u003d x 3 ба y \u003d 0 функцуудын графикууд (0; 0) цэг дээр огтлолцдог. Учир нь x \u003d 0 нь x 3 \u003d 0 тэгшитгэлийн цорын ганц жинхэнэ үндэс юм.

x = 2 нь тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс - log 2 x + 1 = 0 тул y = - log 2 x + 1 ба y = 0 функцуудын графикууд (2 ; 0) цэг дээр огтлолцоно.

x = 1 нь x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Үүнтэй холбогдуулан y \u003d x 3 ба y \u003d - log 2 x + 1 функцуудын графикууд (1; 1) цэг дээр огтлолцдог. Сүүлийн мэдэгдэл нь тодорхой биш байж болох ч x 3 \u003d - log 2 x + 1 тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй байж болохгүй, учир нь y \u003d x 3 функц эрс нэмэгдэж, y \u003d - log 2 x функц нь нэмэгдэж байна. + 1 нь эрс буурч байна.

Дараагийн алхам нь хэд хэдэн сонголтыг багтаана.

Сонголт дугаар 1

Бид G дүрсийг абсцисса тэнхлэгээс дээш байрлах хоёр муруй шугаман трапецын нийлбэрээр төлөөлж болох бөгөөд эхнийх нь х ∈ 0 сегментийн дунд шугамын доор байрладаг; 1 , хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан шугамын доор байна; 2. Энэ нь талбай нь S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Сонголт дугаар 2

G дүрсийг хоёр зургийн зөрүүгээр дүрсэлж болох бөгөөд эхнийх нь x тэнхлэгээс дээш, x ∈ 0 сегмент дээрх цэнхэр шугамын доор байрладаг; 2 , хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан ба цэнхэр шугамын хооронд байна; 2. Энэ нь бидэнд дараах талбайг олох боломжийг олгоно.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Энэ тохиолдолд талбайг олохын тулд та S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y хэлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй болно. Үнэн хэрэгтээ, дүрсийг холбосон шугамуудыг y аргументын функцээр илэрхийлж болно.

y = x 3 ба - log 2 x + 1 тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулан бодъё.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Бид шаардлагатай талбайг авдаг:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Хариулт: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Жишээ 5

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр y = x функцээр өгөгдсөн улаан шугамаар зураасыг зур. y = - 1 2 x + 4 шугамыг цэнхэр өнгөөр зурж, y = 2 3 x - 3 гэсэн шугамыг хараар тэмдэглэнэ.

Уулзвар цэгүүдийг анхаарна уу.

y = x ба y = - 1 2 x + 4 функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийг ол.

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i тэгшитгэлийн шийдэл x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 тэгшитгэлийн шийдэл. ⇒ (4 ; 2) огтлолцох цэг i y = x ба y = - 1 2 x + 4

y = x ба y = 2 3 x - 3 функцуудын графикуудын огтлолцлын цэгийг ол.

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Шалгана уу: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 нь тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (9; 3) цэг ба огтлолцол y = x ба y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 нь тэгшитгэлийн шийдэл биш юм.

y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3 шулуунуудын огтлолцох цэгийг ол:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) огтлолцлын цэг y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3

Аргын дугаар 1

Бид хүссэн зургийн талбайг бие даасан дүрсүүдийн талбайн нийлбэр болгон төлөөлдөг.

Дараа нь зургийн талбай нь:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Аргын дугаар 2

Анхны зургийн талбайг бусад хоёр зургийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Дараа нь бид x-ийн шугамын тэгшитгэлийг шийдэж, зөвхөн үүний дараа бид зургийн талбайг тооцоолох томъёог ашиглана.

y = x ⇒ x = y 2 улаан шугам y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 хар шугам y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Тэгэхээр талбай нь:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь таарч байна.

Хариулт: S (G) = 11 3

Үр дүн

Өгөгдсөн шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг олохын тулд бид хавтгай дээр шугам зурж, тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг олж, талбайг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй. Энэ хэсэгт бид даалгаврын хамгийн түгээмэл сонголтуудыг авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Бид давхар интегралыг тооцоолох бодит үйл явцыг авч үзэж, түүний геометрийн утгатай танилцаж эхэлдэг.

Давхар интеграл нь хавтгай дүрсийн талбайтай (интегралын бүс) тоон хувьд тэнцүү байна. Энэ нь хоёр хувьсагчийн функц нэгтэй тэнцүү байх үед давхар интегралын хамгийн энгийн хэлбэр юм: .

Эхлээд асуудлыг ерөнхийд нь авч үзье. Энэ нь үнэхээр энгийн болохыг та одоо гайхах болно! Шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид интервал дээр гэж үздэг. Энэ зургийн талбай нь тоон хувьд тэнцүү байна:

Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе:

Талбайг тойрч гарах эхний аргыг сонгоцгооё.

Энэ замаар:

Тэгээд тэр даруй чухал техникийн заль мэх: давтагдсан интегралуудыг тусад нь авч үзэж болно. Эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Энэ аргыг цайны аяганд эхлэгчдэд зөвлөж байна.

1) "y" хувьсагч дээр интеграл хийх үед дотоод интегралыг тооцоол.

Энд тодорхойгүй интеграл нь хамгийн энгийн бөгөөд дараа нь энгийн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг бөгөөд цорын ганц ялгаа нь: Интеграцийн хязгаар нь тоо биш, харин функцууд юм. Эхлээд бид дээд хязгаарыг "y" (эсрэг үүсмэл функц), дараа нь доод хязгаарыг орлуулсан.

2) Эхний догол мөрөнд олж авсан үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулах ёстой:

Бүх шийдлийн илүү нягт тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна.

Үүссэн томъёо нь "ердийн" тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох ажлын томъёо юм! Хичээл үзнэ үү Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох, тэр эргэлт бүрт байдаг!

Тэр бол, давхар интеграл ашиглан талбайг тооцоолох бодлого арай өөртодорхой интеграл ашиглан талбайг олох бодлогоос!Үнэндээ тэд нэг бөгөөд адилхан!

Үүний дагуу ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй! Та энэ асуудалтай олон удаа тулгарч байсан тул би тийм ч олон жишээ авч үзэхгүй.

Жишээ 9

Шийдэл:Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе:

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Эхний догол мөр нь маш нарийн байсан тул энд болон доор би талбайг хэрхэн туулах талаар ярихгүй.

Энэ замаар:

Өмнө дурьдсанчлан, эхлэгчдэд давтагдсан интегралуудыг тусад нь тооцоолох нь дээр, би ижил аргыг баримтлах болно.

1) Нэгдүгээрт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид дотоод интегралыг авч үздэг.

2) Эхний алхамд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулна.

2-р цэг нь тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох явдал юм.

Хариулт:

Энд ийм тэнэг, гэнэн даалгавар байна.

Бие даасан шийдлийн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 10

Давхар интегралыг ашиглан , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн шийдлийн жишээ.

Жишээ 9-10-д талбайг тойрч гарах эхний аргыг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг тул сониуч уншигчид тойрч гарах дарааллыг өөрчилж, талбайг хоёр дахь аргаар тооцоолох боломжтой. Хэрэв та алдаа гаргахгүй бол мэдээжийн хэрэг ижил талбайн утгыг олж авах болно.

Гэхдээ зарим тохиолдолд энэ газрыг тойрч гарах хоёр дахь арга нь илүү үр дүнтэй байдаг бөгөөд залуу нердийн сургалтын төгсгөлд энэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 11

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл:Бид хажуу талд нь сэвшээ салхитай хоёр параболыг тэсэн ядан хүлээж байна. Инээмсэглэх шаардлагагүй, олон интеграл дахь ижил төстэй зүйлүүд ихэвчлэн тулгардаг.

Зураг зурах хамгийн хялбар арга юу вэ?

Параболыг хоёр функцээр илэрхийлье.
- дээд салбар ба - доод салбар.

Үүний нэгэн адил бид параболыг дээд ба доод мөчрөөр төлөөлдөг.

Зургийн талбайг дараах томъёоны дагуу давхар интеграл ашиглан тооцоолно.

Хэрэв бид энэ газрыг тойрч гарах эхний аргыг сонговол юу болох вэ? Нэгдүгээрт, энэ талбайг хоёр хэсэгт хуваах шаардлагатай болно. Хоёрдугаарт, бид энэ гунигтай дүр зургийг ажиглах болно: . Мэдээжийн хэрэг интегралууд нь хэт нийлмэл төвшинд хамаарахгүй, гэхдээ ... эртний математикийн үг байдаг: үндэстэй нөхөрсөг хэнд ч гэсэн цэг тавих шаардлагагүй.

Тиймээс, нөхцөл байдалд өгөгдсөн буруу ойлголтоос бид урвуу функцийг илэрхийлнэ.

Энэ жишээн дээрх урвуу функцууд нь параболыг бүхэлд нь ямар ч навч, царс, мөчир, үндэсгүйгээр шууд тогтоодог давуу талтай.

Хоёрдахь аргын дагуу талбайн шилжилт нь дараах байдалтай байна.

Энэ замаар:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр.

1) Бид дотоод интегралтай харьцдаг:

Бид үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулна.

"y" хувьсагч дээр интеграци хийх нь ичмээр зүйл биш байх ёстой, хэрэв "zyu" үсэг байсан бол үүн дээр интеграци хийх нь гайхалтай байх болно. Хичээлийн хоёр дахь догол мөрийг хэн уншсан ч гэсэн Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэрээр "y"-ээс илүү интеграцид өчүүхэн ч эвгүй байдалд орохоо больсон.

Мөн эхний алхамд анхаарлаа хандуулаарай: интеграл нь тэгш, интеграцийн сегмент нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сегментийг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой. Энэ техникийг хичээл дээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Тодорхой интегралыг тооцоолох үр дүнтэй аргууд.

Юу нэмэх вэ... Бүх зүйл!

Хариулт:

Интеграцийн техникээ шалгахын тулд та тооцоолж болно. Хариулт нь яг адилхан байх ёстой.

Жишээ 12

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хэрэв та талбайг тойрч гарах эхний аргыг ашиглахыг оролдвол зураг хоёр хуваагдахаа больсон, харин гурван хэсэгт хуваагдана гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм! Үүний дагуу бид гурван хос давтагдсан интеграл авдаг. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог.

Мастер анги дуусч, их мастерын түвшинд шилжих цаг боллоо. Давхар интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдлийн жишээ. Хоёрдахь нийтлэлдээ тийм маник байхгvйг хичээх болноо =)

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл: Талбай зурах зураг дээр:

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Энэ замаар:
Урвуу функцууд руу шилжье:

Энэ замаар:
Хариулт:

Жишээ 4:Шийдэл: Шууд функцууд руу шилжье:

Зургийг гүйцэтгье:

Талбайг туулах дарааллыг өөрчилье:

Хариулт:

Бүс нутгийг дамжих дараалал:

Энэ замаар:

1)
2)

Хариулт:

Хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд интеграл ашиглах

Талбайн тооцоо

Үргэлжилсэн сөрөг биш f(x) функцийн тодорхой интеграл нь тоон хувьд тэнцүү байна y \u003d f (x) муруй, O x тэнхлэг ба x \u003d a ба x \u003d b шулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай. Үүний дагуу талбайн томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Онгоцны дүрсүүдийн талбайг тооцоолох зарим жишээг авч үзье.

Даалгаврын дугаар 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 шугамаар хязгаарлагдсан талбайг тооцоол.

Шийдэл.Бид тооцоолох ёстой талбайг дүрслэн бүтээцгээе.

y \u003d x 2 + 1 нь салбарууд нь дээшээ чиглэсэн парабол бөгөөд парабол нь O y тэнхлэгтэй харьцуулахад нэг нэгжээр дээш шилждэг (Зураг 1).

Зураг 1. y = x 2 + 1 функцийн график

Даалгаврын дугаар 2. 0-ээс 1 хүртэлх зайд y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 шугамаар хязгаарлагдсан талбайг тооцоол.

Шийдэл.Энэ функцийн график нь дээшээ чиглэсэн салбар парабол болох ба парабол нь O y тэнхлэгтэй харьцуулахад нэг нэгжээр доош шилжсэн байна (Зураг 2).

Зураг 2. y \u003d x 2 - 1 функцийн график

Даалгаврын дугаар 3. Зургийг зурж, шугамаар хязгаарласан зургийн талбайг тооцоол.

y = 8 + 2x - x 2 ба y = 2x - 4.

Шийдэл.Эдгээр хоёр шугамын эхнийх нь х 2 дахь коэффициент сөрөг байх тул салбарууд нь доош чиглэсэн парабол, хоёр дахь шугам нь координатын хоёр тэнхлэгийг огтолж буй шулуун шугам юм.

Параболыг байгуулахдаа оройнх нь координатыг олъё: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – оройн абсцисса; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 нь түүний ординат, N(1;9) нь орой юм.

Одоо бид тэгшитгэлийн системийг шийдэж парабол ба шугамын огтлолцлын цэгүүдийг олно.

Зүүн тал нь тэнцүү тэгшитгэлийн баруун талыг тэгшитгэх.

Бид 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 эсвэл x 2 - 12 \u003d 0-ийг хаанаас авдаг. .

Тиймээс цэгүүд нь парабол ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүд юм (Зураг 1).

Зураг 3 y = 8 + 2x – x 2 ба y = 2x – 4 функцын графикууд

y = 2x - 4 шулуун шугамыг байгуулъя. Энэ нь координатын тэнхлэгүүдийн (0;-4), (2; 0) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг.

Параболыг бүтээхийн тулд та түүний 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдтэй байж болно, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн язгуур 8 + 2x - x 2 = 0 эсвэл x 2 - 2x - 8 = 0. Виетийн теоремоор энэ нь үндсийг нь олоход хялбар: x 1 = 2, x 2 = дөрөв.

Зураг 3-т эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг (параболик сегмент M 1 N M 2) үзүүлэв.

Асуудлын хоёр дахь хэсэг бол энэ зургийн талбайг олох явдал юм. Түүний талбайг томъёог ашиглан тодорхой интеграл ашиглан олж болно .

Энэ нөхцлийн хувьд бид интегралыг олж авна.

2 Хувьсгалын биеийн эзэлхүүний тооцоо

O x тэнхлэгийн эргэн тойронд y \u003d f (x) муруйг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

O y тэнхлэгийг тойрон эргэх үед томъёо нь дараах байдалтай байна.

Даалгаврын дугаар 4. O x тэнхлэгийн эргэн тойронд x \u003d 0 x \u003d 3 шулуун шугам ба y \u003d муруйгаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын эргэлтээс олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлно.

Шийдэл.Зургийг бүтээцгээе (Зураг 4).

Зураг 4. y = функцийн график

Хүссэн хэмжээ нь тэнцүү байна

Даалгаврын дугаар 5. O y тэнхлэгийг тойрон y = x 2 муруй ба y = 0, y = 4 шулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын эргэлтээс олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл.Бидэнд байгаа:

Хяналтын асуултууд

Энэ нийтлэлд та интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. Зарим интегралын судалгаа дөнгөж дуусч, практик дээр олж авсан мэдлэгийн геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед бид ахлах сургуульд ийм бодлого боловсруулахтай анх удаа тулгарч байна.

Тэгэхээр, интеграл ашиглан зургийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд юу шаардлагатай вэ:

Зургийг зөв зурах чадвартай;
Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
Илүү ашигтай шийдлийг "харах" чадвар - i.e. Энэ эсвэл тэр тохиолдолд интеграцчлалыг явуулах нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгохын тулд? x тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
За, зөв тооцоололгүйгээр хаана байна вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцоог зөв хийх зэрэг орно.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:

1. Бид зураг зурдаг. Үүнийг торонд цаасан дээр, том хэмжээгээр хийхийг зөвлөж байна. График бүрийн дээр бид энэ функцийн нэрийг харандаагаар гарын үсэг зурдаг. Графикуудын гарын үсэг нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгдсэн болно. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд аль интеграцийн хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Тиймээс бид асуудлыг графикаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.

2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол бид графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэл аналитик шийдэлтэй таарч байгаа эсэхийг шалгана.

3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран зургийн талбайг олох өөр өөр аргууд байдаг. Интеграл ашиглан зургийн талбайг олох янз бүрийн жишээг авч үзье.

3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд хамгийн энгийн хувилбар бол муруй шугаман трапецын талбайг олох явдал юм. Муруй шугаман трапец гэж юу вэ? Энэ бол x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм (y=0), Чигээрээ x = a, x = bаас интервал дээр үргэлжилсэн дурын муруй аөмнө б. Үүний зэрэгцээ энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Зургийг ямар шугамаар тодорхойлдог вэ? Бидэнд парабол байна y = x2 - 3x + 3, энэ нь тэнхлэгээс дээш байрладаг Өө, энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг байна. Дараа нь шулуун шугамуудыг өгөв x = 1болон x = 3тэнхлэгтэй параллель гүйдэг OU, зүүн ба баруун талд байгаа зургийн зааг шугамууд юм. За y = 0, тэр нь x тэнхлэг бөгөөд энэ нь зургийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүнгийн зураг нь зүүн талын зураг дээр харагдаж байгаа шиг сүүдэртэй байна. Энэ тохиолдолд та тэр даруй асуудлыг шийдэж эхлэх боломжтой. Бидний өмнө муруйн трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.

3.2. Өмнөх 3.1-д муруй шугаман трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид цаашид авч үзэх болно.

Жишээ 2 . Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Энэ жишээнд бид парабола байна y=x2+6x+2, тэнхлэгийн доороос үүссэн Өө, Чигээрээ x=-4, x=-1, y=0. Энд y = 0дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. Шууд x = -4болон x = -1Эдгээр нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Зургийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцаж байна. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш, мөн интервал дээр үргэлжилдэг. [-4; -1] . Эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн x-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайж байна, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.

Нийтлэл дуусаагүй байна.

Одоо бид интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзэх болно. Энэ хичээл дээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно. тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг эрэлхийлдэг бүх хүмүүс үүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функц бүхий зуслангийн байшинг ойртуулж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй ээ.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээрх тодорхой интегралуудтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг, тиймээс таны мэдлэг, зурах чадвар нь бас яаралтай асуудал байх болно. Наад зах нь шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх ёстой.

Муруй шугаман трапецаар эхэлцгээе. Муруйн трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.

Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБид тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд зарим дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье

Интеграл

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

, , , .

Энэ бол ердийн ажлын мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн хамгийн чухал цэг бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг төслийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна. эхлээдбүх мөрийг (хэрэв байгаа бол) зөвхөн барих нь дээр дараа- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Цэг бүрээр барих техникийг лавлах материалаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Тэнд та манай хичээлтэй холбоотой маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.

Зураг зурцгаая (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):

Бид муруй шугаман трапецийг гаргахгүй, энд ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь ойлгомжтой. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Интервал дээр [-2; 1] функцийн график y = x 2+2 байрлалтай тэнхлэг дээгүүрҮХЭР, ийм учраас:

Хариулт: .

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэхэд хүндрэлтэй байгаа хүмүүс

лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн нүднүүдийн тоог тоолдог - 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэж хариулсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь ойлгомжтой, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг гарсан бол даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруйн трапец байгаа бол яах вэ тэнхлэгийн доорҮХЭР?

Жишээ 3

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй шугаман трапец бүрэн тэнхлэгийн доор ҮХЭР , дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлуудаас бид илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг ол y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Интеграцийн хязгаарыг "өөрөөсөө" олж мэдэхийн зэрэгцээ шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан байдаг. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй бол хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай байдаг (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно). Бид даалгавар руугаа буцаж байна: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн барилгад интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг бид давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:

Хэрэв интервал дээр [ а; б] зарим тасралтгүй функц е(x) түүнээс их буюу тэнцүүзарим тасралтгүй функц g(x), харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд зураг хаана байрлаж байгааг бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ ДЭЭШ аль график байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2 хасах ёстой - x.

Шийдлийг дуусгах нь дараах байдалтай байж болно.

Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоороос.

2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: .

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (3-р жишээг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм.

Тэнхлэгээс хойш ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, дараа нь

Одоо бие даасан шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэх явцад заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв хийгдсэн боловч анхаарал болгоомжгүйн улмаас ... буруу зургийн талбайг олсон.

Жишээ 7

Эхлээд зурцгаая:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна.(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал вэ!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж тэд ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн зургийн талбайг олох хэрэгтэй гэж ихэнхдээ шийддэг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход тустай. Үнэхээр:

1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик шулуун байна y = x+1;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулъя

мөн шугамын зургийг хий:

Бидний дээд хязгаар "сайн" байгааг зурагнаас харж болно. б = 1.

Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ? Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ юу вэ?

байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикаа огт зөв гаргаж чадаагүй бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд хүн нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар интеграцийн хязгаарыг сайжруулах шаардлагатай болдог.

Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг ол

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

Үүний үр дүнд, а=(-1/3).

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн хялбар биш юм. Сегмент дээр

, ,

холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хичээлийн төгсгөлд бид хоёр илүү хэцүү ажлыг авч үзэх болно.

Жишээ 9

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Энэ зургийг зураг дээр зур.

Зургийн цэгийг цэгээр зурахын тулд та синусоидын харагдах байдлыг мэдэх хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн графикууд, мөн синусын зарим утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг утгын хүснэгтээс олж болно тригонометрийн функцууд. Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) график, интеграцийн хязгаарыг зарчмын хувьд зөв харуулах ёстой бүдүүвч зураг зурахыг зөвшөөрдөг.

Энд интеграцийн хязгаарлалттай холбоотой ямар ч асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаарна.

- "x" нь тэгээс "pi" болж өөрчлөгддөг. Бид нэмэлт шийдвэр гаргадаг:

Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, ийм учраас:

(1) Та хичээлээс синус болон косинусууд сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэгдэж байгааг харж болно Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд. Бид нэг синусыг хавчих.

(2) Бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй хэлбэрийг ашигладаг