Вьетагийн теорем. Шийдлийн жишээ. Квадрат болон бусад тэгшитгэлийн Виетийн теорем Квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремын жишээ ашиглан шийдвэрлэх

Квадрат тэгшитгэлийн Вьета теоремын томъёолол ба нотолгоо. Урвуу Вьета теорем. Куб тэгшитгэл ба дурын дарааллын тэгшитгэлийн Виетийн теорем.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Квадрат тэгшитгэл

Вьетагийн теорем

Буурагдсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тэмдэглэе
(1) .
Дараа нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан коэффициенттэй тэнцүү байна. Үндэсийн бүтээгдэхүүн нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна:
;
.

Олон үндэстний тухай тэмдэглэл

(1) тэгшитгэлийн дискриминант тэг бол энэ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна. Гэхдээ төвөгтэй томъёололоос зайлсхийхийн тулд энэ тохиолдолд тэгшитгэл (1) нь хоёр олон буюу тэнцүү үндэстэй болохыг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.
.

Нэг нотолгоо

(1) тэгшитгэлийн язгуурыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд квадрат тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог хэрэглэнэ.
;
;
.

Үндэсний нийлбэрийг олох:
.

Бүтээгдэхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.
.
Дараа нь

.

Теорем нь батлагдсан.

Хоёр дахь нотолгоо

Хэрэв ба тоонууд квадрат тэгшитгэлийн үндэс (1) бол
.
Бид хаалтуудыг нээнэ.

.
Тиймээс (1) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
.
(1)-тэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

Теорем нь батлагдсан.

Урвуу Вьета теорем

Дурын тоонууд байг. Дараа нь ба нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно
,
хаана
(2) ;
(3) .

Вьетагийн эсрэг теоремын баталгаа

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье
(1) .
Хэрэв ба, тэгвэл ба нь (1) тэгшитгэлийн үндэс гэдгийг батлах хэрэгтэй.

(2) ба (3)-ыг (1)-д орлуулна:
.
Бид тэгшитгэлийн зүүн талын нөхцлүүдийг бүлэглэв.
;
;
(4) .

(4)-д орлуулах:
;
.

(4)-д орлуулах:
;
.
Тэгшитгэл биелэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, тоо нь (1) тэгшитгэлийн үндэс юм.

Теорем нь батлагдсан.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн Виетийн теорем

Одоо бүрэн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье
(5) ,
хаана , мөн зарим тоонууд. Мөн .

Бид (5) тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваана.
.
Өөрөөр хэлбэл, бид дээрх тэгшитгэлийг олж авсан
,
хаана; .

Дараа нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн Виета теорем дараах хэлбэртэй байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тэмдэглэе
.
Дараа нь үндэсийн нийлбэр ба үржвэрийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
;
.

Куб тэгшитгэлийн Виетийн теорем

Үүний нэгэн адил бид куб тэгшитгэлийн язгууруудын хооронд холболт үүсгэж болно. Куб тэгшитгэлийг авч үзье
(6) ,
Энд , , , зарим тоонууд байна. Мөн .
Энэ тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваая.
(7) ,
хаана , , .
, , тэгшитгэлийн үндэс (7) (болон тэгшитгэл (6)) байг. Дараа нь

.

(7) тэгшитгэлтэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг олно.
;
;
.

n-р зэргийн тэгшитгэлийн Виетийн теорем

Үүний нэгэн адил та n-р зэргийн тэгшитгэлийн , , ... , , язгууруудын хоорондын холбоог олж болно.
.

n-р зэргийн тэгшитгэлийн Виетийн теорем дараах хэлбэртэй байна.
;
;
;

.

Эдгээр томъёог авахын тулд бид тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
.
Дараа нь , , , ... гэсэн коэффициентүүдийг тэнцүүлж, чөлөөт гишүүнийг харьцуулна.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Дээд боловсролын байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, Лан, 2009 он.
CM. Никольский, М.К. Потапов нар, Алгебр: Боловсролын байгууллагуудын 8-р ангийн сурах бичиг, Москва, Боловсрол, 2006 он.

Мөн үзнэ үү:

Виетийн теорем (илүү нарийвчлалтай бол Вьетагийн теоремын урвуу теорем) нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хугацааг багасгах боломжийг бидэнд олгодог. Та үүнийг хэрхэн ашиглахаа мэдэх хэрэгтэй. Вьетагийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурах вэ? Жаахан бодоод байвал амархан.

Одоо бид зөвхөн Виетийн теоремыг ашиглан багасгасан квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн талаар ярих болно.Буурсан квадрат тэгшитгэл нь a, өөрөөр хэлбэл x²-ийн өмнөх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл юм. Өгөгдөөгүй квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, гэхдээ ядаж нэг үндэс нь бүхэл тоо биш байна. Тэднийг таахад хэцүү байдаг.

Виетийн теоремын эсрэг теорем нь: хэрэв x1 ба x2 тоонууд ийм байвал

тэгвэл x1 ба x2 нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно

Виета теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэхдээ зөвхөн 4 хувилбар боломжтой. Хэрэв та үндэслэлийг санаж байвал бүх үндэсийг маш хурдан олж сурч чадна.

I. Хэрэв q эерэг тоо бол

энэ нь x1 ба x2 язгуурууд нь ижил тэмдэгтэй тоонууд гэсэн үг юм (учир нь зөвхөн ижил тэмдэгтэй тоонуудыг үржүүлэхэд эерэг тоо гардаг).

I.a. Хэрэв -p эерэг тоо бол (тус тус, х<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Хэрэв -p нь сөрөг тоо бол (тус тус, p>0), дараа нь хоёр үндэс нь сөрөг тоо (тэд ижил тэмдгийн тоог нэмсэн, сөрөг тоо авсан).

II. Хэрэв q нь сөрөг тоо бол

энэ нь x1 ба x2 язгуурууд өөр өөр тэмдэгтэй байна гэсэн үг (тоонуудыг үржүүлэхэд зөвхөн хүчин зүйлийн шинж тэмдгүүд өөр байх үед сөрөг тоо гарна). Энэ тохиолдолд x1 + x2 нь нийлбэр байхаа больсон, харин зөрүү юм (эцэст нь өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэхдээ бид том модулиас жижигийг нь хасдаг). Тиймээс x1 + x2 нь x1 ба x2 язгуурууд хэр их ялгаатай, өөрөөр хэлбэл нэг үндэс нь нөгөөгөөсөө хэр их байгааг харуулдаг (модуль).

II.a. Хэрэв -p эерэг тоо бол (жишээ нь х<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Хэрэв -p нь сөрөг тоо бол (p>0), тэгвэл том (модуль) үндэс нь сөрөг тоо болно.

Виетийн теоремын дагуу квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг жишээн дээр авч үзье.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийд.

Энд q=12>0 байх тул x1 ба x2 язгуурууд нь ижил тэмдэгтэй тоонууд болно. Тэдний нийлбэр нь -p=7>0 тул хоёр үндэс нь эерэг тоо байна. Үржвэр нь 12 байх бүхэл тоонуудыг сонгоно. Эдгээр нь 1 ба 12, 2 ба 6, 3 ба 4. 3 ба 4 хосын нийлбэр нь 7 байна. Иймээс 3 ба 4 нь тэгшитгэлийн үндэс болно.

Энэ жишээнд q=16>0 байгаа нь x1 ба x2 язгуурууд нь ижил тэмдэгтэй тоонууд гэсэн үг. Тэдний нийлбэр -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Энд q=-15 байна<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 бол том тоо нь эерэг байна. Тиймээс үндэс нь 5 ба -3 байна.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Франсуа Виета (1540-1603) - математикч, алдартай Вьета томъёог бүтээгч

Вьетагийн теоремквадрат тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэхэд шаардлагатай (энгийн үгээр).

Илүү дэлгэрэнгүй, t Виетийн теорем - энэ квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд бүтээгдэхүүн нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Энэ өмч нь үндэстэй өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлтэй байна.

Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг сонголтоор хялбархан шийддэг тул 7-р ангидаа сэлэм барьсан энэ математикчдаа "баярлалаа" гэж хэлье.

Вьетагийн теоремын баталгаа

Теоремыг батлахын тулд та сайн мэддэг язгуур томъёог ашиглаж болох бөгөөд үүний ачаар бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг бүрдүүлэх болно. Үүний дараа л бид тэдгээр нь тэнцүү байх ба үүний дагуу .

Бидэнд тэгшитгэл байна гэж бодъё: . Энэ тэгшитгэл нь дараах үндэстэй: ба . Үүнийг баталцгаая, .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоны дагуу:

1. Үндэсний нийлбэрийг ол:

Энэ тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе, учир нь бид үүнийг яг дараах байдлаар олж авсан.

= .

1-р алхам. Бид бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулснаар дараах байдалтай байна.

= = .

Алхам 2. Бид хаалт нээх шаардлагатай хэсгийг авсан:

Бид бутархайг 2-оор багасгаж, дараахь зүйлийг авна.

Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийн хамаарлыг бид Виетийн теоремыг ашиглан нотолсон.

2. Үндэсийн үржвэрийг ол:

= = = = = .

Энэ тэгшитгэлийг баталъя:

1-р алхам. Бутархайг үржүүлэх дүрэм байдаг бөгөөд үүний дагуу бид энэ тэгшитгэлийг үржүүлдэг.

Одоо бид квадрат язгуурын тодорхойлолтыг эргэн санаж, дараахь зүйлийг авч үзье.

= .

Алхам 3. Бид квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг эргэн санав: . Тиймээс, D (ялгаварлагч) оронд бид сүүлчийн бутархайг орлуулж, дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

= .

Алхам 4. Хаалтуудыг нээгээд бутархайн дотор ижил нөхцөлийг нэмнэ үү:

Алхам 5. Бид "4a" -г багасгаж, авна.

Тиймээс бид язгуурын үржвэрийн хамаарлыг Виетийн теоремын дагуу нотолсон.

ЧУХАЛ!Дискриминант нь тэг бол квадрат тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна.

Вьетагийн теоремтой урвуу теорем

Виетийн теоремын урвуу теоремын дагуу бид тэгшитгэлээ зөв шийдсэн эсэхийг шалгаж болно. Теоремыг ойлгохын тулд бид үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв тоонууд нь:

Дараа нь тэдгээр нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Вьетагийн эсрэг теоремын баталгаа

1-р алхам.Тэгшитгэлд түүний коэффициентүүдийн илэрхийлэлийг орлуулъя.

Алхам 2Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргая:

Алхам 3. Тэгшитгэлийн язгуурыг олъё, үүний тулд бид үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх шинж чанарыг ашиглана:

Эсвэл . Энэ нь хаанаас гаралтай вэ: эсвэл.

Виетийн теоремын шийдэл бүхий жишээнүүд

Жишээ 1

Дасгал хийх

Тэгшитгэлийн язгуурыг олохгүйгээр квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр, үржвэр, квадратуудын нийлбэрийг ол.

Шийдэл

1-р алхам. Ялгаварлах томьёог санаарай. Бид үсгүүдийн доор дугаараа орлуулна. Энэ нь, , нь , ба -ийн орлуулагч юм. Энэ нь:

Энэ нь харагдаж байна:

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Бид язгуурын квадратуудын нийлбэрийг тэдгээрийн нийлбэр ба үржвэрээр илэрхийлнэ.

Хариулт

7; 12; 25.

Жишээ 2

Дасгал хийх

Тэгшитгэлийг шийд. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн томьёог ашиглаж болохгүй.

Шийдэл

Энэ тэгшитгэл нь ялгах (D)-ийн хувьд тэгээс их үндэстэй. Үүний дагуу Виетийн теоремын дагуу энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь 4, үржвэр нь 5. Эхлээд бид тооны хуваагчдыг тодорхойлно, тэдгээрийн нийлбэр нь 4. Эдгээр нь "5" ба тоонууд юм. "-1". Тэдний үржвэр нь - 5, нийлбэр нь - 4-тэй тэнцүү байна. Иймээс Виетийн теоремын урвуу теоремын дагуу тэдгээр нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт

Тэгээд Жишээ 4

Дасгал хийх

Үндэс бүр нь тэгшитгэлийн язгуураас хоёр дахин их байх тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Виетийн теоремоор энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь 12, үржвэр нь = 7. Иймээс хоёр үндэс эерэг байна.

Шинэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.

Мөн ажил.

Виетийн теоремтой эсрэгээр теоремоор шинэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хариулт

Үр дүн нь язгуур бүр нь хоёр дахин том тэгшитгэл байв.

Тиймээс бид Вьетагийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзсэн. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын шинж тэмдгүүдтэй холбоотой ажлуудыг шийдсэн тохиолдолд энэ теоремыг ашиглах нь маш тохиромжтой. Өөрөөр хэлбэл, томьёо дахь чөлөөт гишүүн нь эерэг тоо бөгөөд квадрат тэгшитгэлд бодит язгуур байгаа бол хоёулаа сөрөг эсвэл эерэг байж болно.

Хэрэв чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг тоо бөгөөд квадрат тэгшитгэлд бодит язгуур байгаа бол хоёр тэмдэг нь өөр байх болно. Өөрөөр хэлбэл, нэг үндэс эерэг байвал нөгөө үндэс нь зөвхөн сөрөг байх болно.

Ашигтай эх сурвалжууд:

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А.Алгебрийн 8-р анги: Москва "Гэгээрэл", 2016 - 318 х.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - сурах бичиг Алгебр 8-р анги: Москва "Баласс", 2015 - 237 х.
3. Никольский С.М., Потопав М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. – Алгебрийн 8-р анги: Москвагийн “Гэгээрэл”, 2014 – 300

Виетийн теорем, урвуу Вьета томъёо ба даммигийн шийдэл бүхий жишээнүүдшинэчлэгдсэн: 2019 оны 11-р сарын 22: Шинжлэх ухааны нийтлэл.Ru

Наймдугаар ангид сурагчдад квадрат тэгшитгэл, түүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар танилцуулдаг. Үүний зэрэгцээ, туршлагаас харахад ихэнх оюутнууд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ зөвхөн нэг аргыг ашигладаг - квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо. Амаар тоолох чадвар сайтай оюутнуудын хувьд энэ арга нь үндэслэлгүй юм. Оюутнууд ихэвчлэн ахлах сургуульд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байдаг бөгөөд тэнд ялгаварлагчийг тооцоолоход цаг зарцуулах нь харамсалтай юм. Миний бодлоор квадрат тэгшитгэлийг судлахдаа Виетийн теоремыг хэрэглэхэд илүү их цаг хугацаа, анхаарал хандуулах хэрэгтэй (А.Г. Мордковичийн Алгебр-8 хөтөлбөрийн дагуу "Вьета теорем. Задаргаа" сэдвийг судлахад ердөө хоёрхон цаг төлөвлөсөн. квадрат гурвалжийг шугаман хүчин зүйл болгон хувиргах").

Ихэнх алгебрийн сурах бичигт энэ теоремыг багасгасан квадрат тэгшитгэлд зориулж томъёолсон байдаг. Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол ба , тэгшитгэлийг хангана.Дараа нь Виетийн теоремтой эсрэг заалтыг томъёолж, энэ сэдвээр ажиллах хэд хэдэн жишээг санал болгож байна.

Тодорхой жишээнүүдийг авч, Виетийн теоремыг ашиглан тэдгээрийн шийдлийн логикийг авч үзье.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэл нь үндэстэй, тухайлбал, ба . Дараа нь Виетийн теоремоор тэгш байдал

Үндэсний үржвэр нь эерэг тоо гэдгийг анхаарна уу. Тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс нь ижил тэмдэгтэй байна. Мөн язгууруудын нийлбэр нь эерэг тоо тул тэгшитгэлийн язгуур хоёулаа эерэг байна гэж бид дүгнэж байна. Үндэсний бүтээгдэхүүн рүү буцаж орцгооё. Тэгшитгэлийн үндэс нь эерэг бүхэл тоо гэж үзье. Дараа нь зөв эхний тэгшитгэлийг зөвхөн хоёр аргаар (хүчин зүйлийн дарааллаар) олж авч болно: эсвэл . Санал болгож буй хос тоонуудыг Виетийн теоремын хоёр дахь баталгааны үндэслэлийг шалгацгаая. . Тиймээс 2 ба 3 тоо нь тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангаж байгаа тул өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт: 2; 3.

Виета теоремыг ашиглан өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид үндэслэлийн үндсэн үе шатуудыг онцлон тэмдэглэв.

Вьетагийн теоремын баталгааг бич

(*)

• тэгшитгэлийн язгуурын тэмдгүүдийг тодорхойлох (Хэрэв үржвэр ба язгууруудын нийлбэр эерэг байвал язгуур хоёулаа эерэг тоо байна. Хэрэв язгуурын үржвэр эерэг тоо, язгуурын нийлбэр сөрөг бол язгуурын үржвэр нь сөрөг тоо байвал язгуурууд өөр өөр тэмдэгтэй байна.Түүнээс гадна язгууруудын нийлбэр эерэг байвал илүү их модультай язгуур нь эерэг тоо байх ба язгууруудын нийлбэр тэгээс бага бол илүү их модультай үндэс нь сөрөг тоо);
• Тэмдэглэгээнд (*) үржвэр нь зөв эхний тэгш байдлыг өгөх бүхэл тооны хосыг сонгох;
• олсон хос тооноос (*) тэмдэглэгээний хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар зөв тэгш байдлыг өгөх хосыг сонгох;
• Хариултанд тэгшитгэлийн олсон язгуурыг заана уу.

Өөр хэдэн жишээ хэлье.

Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс ба байг. Дараа нь Виетийн теоремоор үржвэр эерэг, нийлбэр нь сөрөг байна гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс хоёр үндэс нь сөрөг тоо юм. Бид 10 (-1 ба -10; -2 ба -5) үржвэрийг өгөх хос хүчин зүйлийг сонгоно. Хоёр дахь хос тоо нь -7 хүртэл нэмэгдэнэ. Тэгэхээр -2 ба -5 тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: -2; -5.

Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс ба байг. Дараа нь Виетийн теоремоор бүтээгдэхүүн нь сөрөг болохыг анхаарна уу. Тиймээс үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй байдаг. Үндэсний нийлбэр нь мөн сөрөг тоо юм. Тиймээс хамгийн их модультай үндэс нь сөрөг байна. Бид бүтээгдэхүүн -10 (1 ба -10; 2 ба -5) өгөх хос хүчин зүйлийг сонгоно. Хоёр дахь хос тоо нь -3 хүртэл нэмэгдэнэ. Тэгэхээр 2 ба -5 тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: 2; -5.

Виетийн теоремыг зарчмын хувьд бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд томъёолж болно гэдгийг анхаарна уу. квадрат тэгшитгэл бол үндэстэй ба , тэгвэл тэдгээр нь тэгш байдлыг хангана, .Гэсэн хэдий ч энэ теоремыг хэрэглэх нь нэлээд асуудалтай байдаг, учир нь бүтэн квадрат тэгшитгэлд ядаж нэг үндэс (хэрэв байгаа бол) бутархай тоо байдаг. Мөн фракцын сонголттой ажиллах нь урт бөгөөд хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнээс гарах гарц байсаар байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье . Тэгшитгэлийн хоёр талыг эхний коэффициентээр үржүүлнэ атэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ . Бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд түүний үндэс болон (хэрэв байгаа бол) Виета теоремыг ашиглан олж болно. Дараа нь анхны тэгшитгэлийн үндэс нь . Туслах бууруулсан тэгшитгэлийг бичих нь маш хялбар гэдгийг анхаарна уу: хоёр дахь коэффициент хадгалагдаж, гурав дахь коэффициент нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. хөзрийн тамга. Тодорхой ур чадвар эзэмшсэнээр оюутнууд туслах тэгшитгэлийг шууд зохиож, Виета теоремыг ашиглан түүний үндсийг олж, өгөгдсөн бүрэн тэгшитгэлийн язгуурыг зааж өгдөг. Жишээ хэлье.

Жишээ 4. Тэгшитгэлийг шийд .

Туслах тэгшитгэл хийцгээе Виетийн теоремоор бид түүний үндсийг олдог. Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн үндэс .

Хариулт: .

Жишээ 5. Тэгшитгэлийг шийд .

Туслах тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Виетийн теоремоор түүний үндэс нь . Бид анхны тэгшитгэлийн үндсийг олдог .

Хариулт: .

Виетийн теоремыг ашигласнаар бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг амаар олох боломжтой болсон бас нэг тохиолдол. Үүнийг батлахад амархан 1-ийн тоо нь тэгшитгэлийн үндэс юм , хэрэв зөвхөн хэрэв л бол. Тэгшитгэлийн хоёр дахь язгуурыг Виетийн теоремоор олдог ба -тэй тэнцүү байна. Бас нэг мэдэгдэл: ингэснээр -1 тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Тэгвэл Виетийн теоремийн дагуу тэгшитгэлийн хоёр дахь язгуур нь тэнцүү байна. Жижиглэсэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй мэдэгдлүүдийг томъёолж болно.

Жишээ 6. Тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг болохыг анхаарна уу. Тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс .

Хариулт: .

Жишээ 7. Тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь өмчийг хангана (үнэхээр, 1-(-999)+(-1000)=0). Тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс .

Хариулт: ..

Виетийн теоремыг хэрэглэх жишээ

Даалгавар 1. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийд.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Даалгавар 2. Туслах багасгасан квадрат тэгшитгэлд шилжих замаар бүтэн квадрат тэгшитгэлийг шийд.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Даалгавар 3. Квадрат тэгшитгэлийг шинж чанарыг ашиглан шийд.

Сургуулийн алгебрийн хичээл дээр хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг судлахдаа олж авсан язгуурын шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. Одоо тэдгээрийг Виетийн теорем гэж нэрлэдэг. Үүнийг ашиглах жишээг энэ нийтлэлд өгсөн болно.

Квадрат тэгшитгэл

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд доорх зурган дээр харагдаж байна.

Энд a, b, c тэмдэгтүүд нь авч үзэж буй тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэгддэг зарим тоонууд юм. Тэгш байдлыг шийдэхийн тулд та үүнийг үнэн болгох x утгыг олох хэрэгтэй.

x-ийг өсгөх чадлын хамгийн их утга нь хоёр байх тул ерөнхий тохиолдолд язгуурын тоо мөн хоёр байна.

Энэ төрлийн тэгш байдлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг. Энэ нийтлэлд бид тэдгээрийн аль нэгийг нь авч үзэх болно, үүнд Вьетнамын теорем гэж нэрлэгддэг.

Вьетагийн теоремын мэдэгдэл

16-р зууны төгсгөлд нэрт математикч Франсуа Виет (Франц) янз бүрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуур шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийхдээ тэдгээрийн тодорхой хослолууд нь тодорхой харилцааг хангаж байгааг анзаарчээ. Ялангуяа эдгээр хослолууд нь тэдний бүтээгдэхүүн, нийлбэр юм.

Виетийн теорем нь дараахь зүйлийг тогтоодог: квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг нэгтгэхдээ эсрэг тэмдгээр авсан шугаман ба квадрат коэффициентүүдийн харьцааг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг үржүүлэхэд чөлөөт гишүүний квадрат коэффициенттэй харьцааг үүсгэдэг. .

Хэрэв тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг өгүүллийн өмнөх хэсэгт байгаа зурагт үзүүлсэн шиг бичсэн бол математикийн хувьд энэ теоремыг хоёр тэнцүү гэж бичиж болно.

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Энд r 1 , r 2 нь авч үзсэн тэгшитгэлийн язгууруудын утга юм.

Энэ хоёр тэгш байдлыг хэд хэдэн маш өөр математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Виетийн теоремыг шийдэл бүхий жишээнүүдэд ашиглахыг өгүүллийн дараах хэсгүүдэд өгсөн болно.