Пифагорын теоремыг батлах янз бүрийн арга замууд: жишээ, тайлбар, тойм. Асуудлыг бие даан шийдвэрлэх

Анги: 8

Хичээлийн зорилго:

• Боловсролын:Пифагорын теоремыг өөртөө шингээж авах, хоёр мэдэгдэж буйг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны үл мэдэгдэх талыг тооцоолох чадварыг эзэмшүүлэх, Пифагорын теоремыг энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг заах.
• Хөгжиж байна:харьцуулах, ажиглах, анхаарал хандуулах чадварыг хөгжүүлэх, аналитик болон синтетик сэтгэлгээний чадварыг хөгжүүлэх, алсын хараагаа өргөжүүлэхэд хувь нэмэр оруулах
• Боловсролын:мэдлэгийн хэрэгцээ, математикийн сонирхлыг бий болгох

Хичээлийн төрөл:шинэ материал танилцуулах хичээл

Тоног төхөөрөмж:компьютер, мультимедиа проектор, хичээлийн танилцуулга ( Хавсралт 1)

Хичээлийн төлөвлөгөө:

1. Зохион байгуулах цаг
2. аман дасгалууд
3. Судалгааны ажил, таамаглал дэвшүүлж, тодорхой тохиолдлуудад турших
4. Шинэ материалын тайлбар
   a) Пифагорын тухай
   б) Теоремын мэдэгдэл ба баталгаа
5. Асуудлыг шийдвэрлэх замаар дээрхийг нэгтгэх
6. Гэрийн даалгавар, хичээлээ дүгнэх.

Хичээлийн үеэр

Слайд 2: Дасгалуудыг хий

1. Хаалтуудыг өргөжүүлэх: (3 + x) 2
2. x = 1, 2, 3, 4-ийн хувьд 3 2 + x 2-ийг тооцоол
   – Квадрат нь 10, 13, 18, 25 гэсэн натурал тоо байдаг уу?
3. 11 см, 50 см, 7 дм талтай квадратын талбайг ол.
   Квадрат талбайн томьёо юу вэ?
   Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ?

Слайд 3: Асуулт хариулт

– Хэмжээ нь 90° байх өнцөг. (Чигээрээ)

Гурвалжны зөв өнцгийн эсрэг тал. (гипотенуз)

- Гурвалжин, дөрвөлжин, трапец, тойрог - эдгээр нь геометрийн ... (дүрс)

- Тэгш өнцөгт гурвалжны жижиг тал. (Катет)

- Нэг цэгээс гарах хоёр цацрагаас үүссэн дүрс. (Булан)

- Гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикулярын хэрчим. (Өндөр)

- Хоёр тал нь тэнцүү гурвалжин . (Isosseles)

Слайд 4: Даалгавар

3 см, 4 см, 6 см талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуул.

Даалгавар нь эгнээнд хуваагдана.

	1 эгнээ	2 эгнээ	3 эгнээ
хөл а	3	3
хөл б	4		4
Гипотенуз -тай		6	6

Асуултууд:

- Өгөгдсөн талуудтай гурвалжин авсан хүн байна уу?

-Ямар дүгнэлт хийж болох вэ? (Тэгш өнцөгт гурвалжинг дур мэдэн тодорхойлж болохгүй. Талуудын хооронд хамаарал байдаг).

- Үүссэн талуудыг хэмжинэ. ( Мөр бүрийн дундаж үр дүнг хүснэгтэд оруулсан болно)

	1 эгнээ	2 эгнээ	3 эгнээ
хөл а	3	3	~4,5
хөл б	4	~5,2	4
Гипотенуз -тай	~5	6	6

- Тохиолдол бүрт хөл болон гипотенузын хоорондох холбоог тогтоохыг хичээ.

(Амны дасгалуудыг эргэн санаж, бусад тоонуудын хоорондын ижил хамаарлыг шалгахыг санал болгож байна).

- Яг үр дүн нь ажиллахгүй байх нь анхаарал татаж байна, учир нь. хэмжилтийг үнэн зөв гэж үзэх боломжгүй.

Багш таамаглал дэвшүүлдэг (таамаглал): оюутнууд томъёолдог.

-Тийм ээ, нээрээ гипотенуз ба хөл хоёрын хооронд хамаарал байдаг бөгөөд үүнийг хамгийн түрүүнд та өөрөө нэрлэх эрдэмтэн нотолсон юм. Энэ теоремыг түүний нэрээр нэрлэсэн.

Слайд 5: Тайлбарлах

Слайд 6: Самосын Пифагор

Өнөөдрийн хичээлийн сэдвийг хэн нэрлэх вэ?

Сурагчид дэвтэр дээрээ "Пифагорын теорем" хичээлийн сэдвийг бичдэг.

Пифагорын теорем бол геометрийн гол теоремуудын нэг юм. Түүний тусламжтайгаар бусад олон теоремууд нотлогдож, янз бүрийн салбарын асуудлууд шийдэгддэг: физик, одон орон, барилга гэх мэт. Энэ нь Пифагор үүнийг батлахаас өмнө мэдэгдэж байсан. Эртний египетчүүд үүнийг 3, 4, 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг барихдаа олс ашиглан барилга, пирамид тавихдаа зөв өнцгийг барихдаа ашигладаг байжээ. Тиймээс ийм гурвалжинг гэж нэрлэдэг Египетийн гурвалжин.

Энэ теоремыг батлах гурван зуу гаруй арга бий. Өнөөдөр бид тэдгээрийн аль нэгийг нь авч үзэх болно.

Слайд 7: Пифагорын теорем

Теорем: Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн:

Зөв гурвалжин,

a, b - хөл, -тай- гипотенуз

Нотлох:

Баталгаа.

1. Бид тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг үргэлжлүүлнэ: хөл а- уртын хувьд б, хөл б- уртын хувьд а.

Гурвалжинг ямар хэлбэрээр барьж болох вэ? Яагаад квадрат хүртэл вэ? Талбайн тал ямар байх вэ?

2. Бид гурвалжинг талтай дөрвөлжин болгож дуусгана a + b.

Энэ талбайн талбайг яаж олох вэ?

3. Талбайн талбай нь

- Квадратыг хэсэг болгон хувааж үзье: 4 гурвалжин ба в талтай дөрвөлжин.

Анхны квадратын талбайг өөр яаж олох вэ?

Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжнууд яагаад хоорондоо тохирч байна вэ?

4. Нөгөө талаас,

5. Үүссэн тэгшитгэлийг тэнцүүл.

Теорем нь батлагдсан.

"Пифагорын өмд бүх чиглэлд тэнцүү байна" гэсэн хошин томъёолол байдаг. Магадгүй, ийм томьёо нь энэ теоремыг анх ижил тэгш өнцөгт гурвалжинд зориулж тогтоосонтой холбоотой байх. Түүнээс гадна энэ нь арай өөр сонсогдов: "Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээр баригдсан дөрвөлжингийн талбай нь түүний хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна."

Слайд 8: Пифагорын теоремын өөр нэг томъёолол

Мөн би танд энэ теоремын өөр нэг томъёоллыг шүлэгээр өгье.

Хэрэв бидэнд гурвалжин өгвөл
Түүнээс гадна, зөв ​​өнцгөөр,
Энэ бол гипотенузын квадрат юм
Бид үргэлж амархан олох боломжтой:
Бид хөлийг дөрвөлжин хэлбэрээр хийдэг,
Бид градусын нийлбэрийг олдог
Мөн ийм энгийн байдлаар
Бид үр дүнд хүрэх болно.

- Тэгвэл өнөөдөр та хамгийн алдартай планиметрийн теорем болох Пифагорын теоремтой танилцлаа. Пифагорын теоремыг хэрхэн томъёолсон бэ? Үүнийг өөр яаж томъёолж болох вэ?

Материалын анхдагч бэхэлгээ

Слайд 9: Бэлэн зургийн дагуу асуудлыг шийдвэрлэх.

Слайд 10: Тэмдэглэлийн дэвтэр дээрх асуудлыг шийдвэрлэх

Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд гурван сурагчийг нэгэн зэрэг самбарт дууддаг.

Слайд 11: 12-р зууны Энэтхэгийн математикч Бхаскарагийн асуудал

Хичээлийг дүгнэж хэлэхэд:

Та өнөөдрийн хичээл дээр ямар шинэ зүйл сурсан бэ?

- Пифагорын теоремыг томъёол.

- Хичээл дээр юу хийж сурсан бэ?

Гэрийн даалгавар:

– Пифагорын теоремыг нотлох баримттайгаар сур

- Сурах бичгийн №483 в, г-ийн даалгавар; хотын 484 тоот

– Илүү ахисан түвшний оюутнуудад: Пифагорын теоремын бусад нотолгоог олж, тэдгээрийн аль нэгийг нь сур.

Ангийн ажлыг бүхэлд нь үнэлж, сурагчдыг тус тусад нь онцолж өгдөг.

Сэдвийн хичээл: "Пифагорын теорем"

Хичээлийн төрөл: шинэ материал сурах хичээл. (Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг "Геометр, 7-9" сурах бичгийн дагуу; Л.С. Атанасян нар. - 12-р хэвлэл - М .: Боловсрол, 2009).

Зорилтот:

оюутнуудад Пифагорын теорем болон энэ теоремтой холбоотой түүхэн мэдээлэлтэй танилцах; Математик судлах сонирхол, логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх; Анхаар.

Хичээлийн үеэр:

1. Зохион байгуулалтын мөч.

SLIDE 2 "Байшин" үлгэр.

Бидний хичээлийн сэдэв бол "Пифагорын теорем" юм. Өнөөдөр хичээлээр бид Пифагорын намтартай танилцах болно, бид эртний үеийн хамгийн алдартай геометрийн теоремуудын нэг болох Пифагорын теорем гэж нэрлэгддэг планиметрийн гол теоремуудын нэгийг судлах болно.

2. Мэдлэгийг бодит болгох.(Шинэ материалыг судлах бэлтгэл, теоремыг батлахад шаардлагатай материалыг давтан хийнэ)

1) Асуулт:

Ямар дөрвөн өнцөгтийг дөрвөлжин гэж нэрлэдэг вэ?

Квадрат талбайг хэрхэн олох вэ?

Аль гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ?

3. Шинэ материал сурах.

1) Түүхийн лавлагаа.

САЙД 3 ба 4.

Агуу эрдэмтэн Пифагор МЭӨ 570 онд төрсөн. Самос арал дээр. Пифагорын эцэг нь эрдэнийн сийлбэрчин Мнесарх байжээ. Пифагорын эхийн нэр тодорхойгүй байна. Эртний олон гэрчлэлийн дагуу төрсөн хүү гайхалтай царайлаг байсан бөгөөд удалгүй өөрийн гайхалтай чадвараа харуулсан. Ямар ч аавын нэгэн адил Мнесарх хүүгээ алтны дархны гар урлалыг үргэлжлүүлэхийг мөрөөддөг байв. Амьдрал өөрөөр шүүгдсэн. Ирээдүйн агуу математикч, гүн ухаантан бага наснаасаа шинжлэх ухаанд асар их чадварыг харуулсан.

Пифагор нь бүхэл тоо, пропорцын шинж чанарыг судалж, Пифагорын теоремыг нотолсон гэх мэтээр үнэлэгддэг. Пифагор бол нэр биш, харин философич Грекийн зөн билэг шиг үргэлж зөв, үнэмшилтэй ярьсныхаа төлөө авсан хоч юм. (Пифагор - "ятгах яриа".)

Тэрээр хэлсэн үгээрээ 2000 сурагчтай болсон бөгөөд тэд гэр бүлийнхээ хамтаар Пифагорын хууль тогтоомж, дүрэм журам мөрдөгдөж байсан сургуулийн муж улсыг байгуулжээ. Пифагорын сургууль буюу Пифагорын холбоо нь нэгэн зэрэг философийн сургууль, улс төрийн нам, шашны ахан дүүсийн холбоо байсан юм.

Пифагорчуудын дуртай геометрийн дүрс нь Пифагорын од гэж нэрлэгддэг пентаграмм байв. Пифагорчууд энэ дүрсийг элсэнд зурж, бие биетэйгээ мэндчилж, таньдаг байжээ. Пентаграм нь тэдний нууц үг болж, эрүүл мэнд, аз жаргалын бэлгэдэл байв.

Уламжлал ёсоор Пифагор өөрийн нэрээр нэрлэгдсэн теорем дээр ирэхдээ бурхад руу 100 бух авчирсан гэж ярьдаг. МЭӨ 500 онд Пифагор ард түмний бослогын үеэр гудамжны тулаанд амь үрэгджээ. Одоогийн байдлаар Пифагорын теоремын 200 орчим баталгаа бий.

Теоремын мэдэгдэл

2) Теоремын баталгаа.

a + b талтай дөрвөлжин тэгш өнцөгт байгуулъя.

Хүүхдүүд багшийн тусламжтайгаар теоремыг зургийн дагуу нотолж, дараа нь нотлох баримтыг дэвтэрт бичнэ.

Нотолгоо:

дөрвөлжин талбай

- теорем батлагдсан.

4. Мэдлэгийг анхан шатны нэгтгэх.

Сурах бичгийн ажил (Пифагорын теоремыг бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах).

Асуудлыг самбар болон дэвтэр дээр шийддэг.

Дүгнэлт: Пифагорын теоремыг ашиглан та хоёр төрлийн асуудлыг шийдэж болно.

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь мэдэгдэж байгаа бол гипотенузыг ол.

2. Гипотенуз болон нөгөө хөл нь мэдэгдэж байгаа бол хөлийг ол.

.

5. Асуудлыг бие даан шийдвэрлэх.

No 483 (б), 484 (б)

6. Гэрийн даалгавар: P 54, No 483 (d), 484 (d).

7. Хичээлийн үр дүн.

Та өнөөдрийн хичээл дээр ямар шинэ зүйл сурсан бэ?

Пифагорын теорем аль гурвалжинд хамаарах вэ?

Хичээлээ шүлэгээр дуусга.

Чамиссогийн сонетыг олон хүн мэддэг.

Үнэн мөнх байх болно, хэр хурдан

Сул дорой хүн үүнийг мэдэх болно!

Одоо Пифагорын теорем

Верна алс холын насных шигээ.

Золиос нь маш их байсан

Пифагороос ирсэн бурхад. Зуун бух

Тэрээр нядалгаа болон шатаахад өгсөн

Гэрлийн цаана үүлнээс ирсэн туяа байдаг.

Тиймээс тэр цагаас хойш

Дэлхий дээр бяцхан үнэн төрдөг,

Бухнууд архирч, түүнийг мэдэрч, дагаж явав.

Тэд гэрлийг зогсоож чадахгүй

Зөвхөн чичирч нүдээ аниад л чадна

Пифагор тэдэнд суулгасан айдасаас.

Асуулт - хариулт Хэмжигдэхүүн нь 90 ° ШУУД Гурвалжны зөв өнцгийн эсрэг байрлах тал нь ГИПОТЕНУС Гурвалжин, дөрвөлжин, трапец, тойрог нь геометрийн ... ЗУРАГТ тэгш өнцөгт гурвалжны жижиг тал CATETH -аас ялгарах хоёр цацрагаас үүссэн дүрс. нэг цэгийн ӨНЦӨ Гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикуляр хэрчим ӨНДӨР Хоёр тал нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин

Самосын Пифагор (ойролцоогоор МЭӨ 580 - МЭӨ 500 он) Эртний Грекийн математикч, гүн ухаантан. Самос арал дээр төрсөн. Тэрээр өөрийн сургуулийг зохион байгуулсан - Пифагорын сургууль (Пифагорын холбоо) нь нэгэн зэрэг философийн сургууль, улс төрийн нам, шашны ахан дүүсийн холбоо байв. Тэрээр тэгш өнцөгт гурвалжны хөл ба гипотенузын хоорондын хамаарлыг анх баталсан хүн юм.

XII зууны Энэтхэгийн математикч Бхаскарагийн асуудал Голын эрэг дээр ганцаардсан улиас ургажээ. Гэнэт хүчтэй салхи шуурч их биеийг нь хугалав. Хөөрхий улиас унав. Шулуун шугамын өнцөг Голын урсгалын дагуу түүний их бие байв. Энэ газарт Б гол ердөө дөрвөн тохой өргөн байсныг одоо санаарай.Толгой голын захад бөхийж байв. Их биенээс гуравхан тохой л үлдлээ, би чамаас гуйя, удахгүй хэлээч: Улиас ямар өндөр вэ?

1

Шаповалова Л.А. (станция Егорлыкская, MBOU ESOSH No 11)

1. Глэйзер Г.И. VII - VIII анги сургуулийн математикийн түүх, багш нарт зориулсан гарын авлага, - М: Боловсрол, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. "Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард" 5-6-р ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага. - М.: Гэгээрэл, 1989.

3. Зенкевич И.Г. "Математикийн хичээлийн гоо зүй". – М.: Гэгээрэл, 1981 он.

4. Лицман V. Пифагорын теорем. - М., 1960.

5. Волошинов А.В. "Пифагор". - М., 1993.

6. Пичурин Л.Ф. "Алгебрийн сурах бичгийн хуудаснаас цааш". - М., 1990.

7. Земляков А.Н. "10-р ангид геометр". - М., 1986.

8. "Математик" сонин 17/1996.

9. "Математик" сонин 3/1997.

10. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. "Бага ангийн математикийн бодлогуудын цуглуулга". - М., 1963.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. "Математикийн гарын авлага". - М., 1973.

12. Щетников А.И. "Тоо ба хэмжээний тухай Пифагорын сургаал". - Новосибирск, 1997 он.

13. “Бодит тоо. Иррационал илэрхийлэл» 8-р анги. Томскийн их сургуулийн хэвлэл. - Томск, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометр" 7-9-р анги. – М.: Гэгээрэл, 1991 он.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Энэ хичээлийн жилд би эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан нэгэн сонирхолтой теоремтой танилцсан.

"Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээр барьсан квадрат нь хөл дээр барьсан квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна."

Ихэнхдээ энэ мэдэгдлийн нээлтийг эртний Грекийн философич, математикч Пифагор (МЭӨ VI зуун) -тай холбодог. Гэхдээ эртний гар бичмэлүүдийг судлах нь энэ мэдэгдлийг Пифагорыг төрөхөөс өмнө мэддэг байсныг харуулж байна.

Яагаад энэ тохиолдолд Пифагорын нэртэй холбоотой юм бол гэж би гайхсан.

Сэдвийн хамаарал: Пифагорын теорем нь маш чухал бөгөөд үүнийг геометрт алхам тутамд шууд утгаар нь ашигладаг. Пифагорын бүтээлүүд одоо ч хамааралтай хэвээр байгаа гэдэгт би итгэдэг, учир нь бид хаанаас ч харсан, орчин үеийн амьдралын янз бүрийн салбаруудад шингэсэн түүний агуу санааны үр жимсийг бид хаа сайгүй харж болно.

Миний судалгааны зорилго бол Пифагор гэж хэн байсан, энэ теоремтой ямар холбоотой болохыг олж мэдэх явдал байв.

Теоремын түүхийг судалж үзээд би дараахь зүйлийг олж мэдэхээр шийдсэн.

Энэ теоремын өөр нотолгоо бий юу?

Энэ теорем хүмүүсийн амьдралд ямар ач холбогдолтой вэ?

Пифагор математикийн хөгжилд ямар үүрэг гүйцэтгэсэн бэ?

Пифагорын намтараас

Самосын Пифагор бол Грекийн агуу эрдэмтэн юм. Түүний алдар нэр нь Пифагорын теоремын нэртэй холбоотой юм. Энэ теоремыг Пифагороос 1200 жилийн өмнө эртний Вавилонд, түүнээс 2000 жилийн өмнө Египетэд 3, 4, 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг мэддэг байсныг одоо бид аль хэдийн мэддэг байсан ч бид үүнийг эртний нэрээр нэрлэдэг. эрдэмтэн.

Пифагорын амьдралын талаар бараг юу ч мэдэгддэггүй, гэхдээ олон тооны домог түүний нэртэй холбоотой байдаг.

Пифагор МЭӨ 570 онд Самос арал дээр төрсөн.

Пифагор царайлаг төрхтэй, урт сахалтай, толгой дээрээ алтан диадем зүүсэн байв. Пифагор бол нэр биш, харин Грекийн зөн билэг шиг үргэлж зөв, үнэмшилтэй ярьдаг философич хүлээн авсан хоч юм. (Пифагор - "ятгах яриа").

МЭӨ 550 онд Пифагор шийдвэр гаргаж, Египет рүү явав. Тиймээс Пифагорын өмнө үл мэдэгдэх улс, үл мэдэгдэх соёл нээгдэв. Пифагорыг энэ улсад маш их гайхшруулж, гайхшруулж, египетчүүдийн амьдралыг ажигласны дараа Пифагор санваартнуудын кастын хамгаалсан мэдлэгт хүрэх зам нь шашин шүтлэгээр дамждаг гэдгийг ойлгов.

Египетэд арван нэгэн жил суралцсаны дараа Пифагор эх нутагтаа очиж, замдаа Вавилоны олзлолд оржээ. Тэнд тэрээр Египетийнхээс илүү хөгжсөн Вавилоны шинжлэх ухаантай танилцдаг. Вавилончууд шугаман, квадрат болон зарим төрлийн куб тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг байв. Олзлогдохоос мултарч эх орондоо хүчирхийлэл, дарангуйллын уур амьсгал ноёрхож байсан тул нутагтаа удаан байж чадсангүй. Тэрээр Кротон (Италийн хойд хэсэгт орших Грекийн колони) руу нүүхээр шийджээ.

Кротон хотод Пифагорын амьдралын хамгийн гайхамшигтай үе эхэлдэг. Тэнд тэрээр шашны ёс зүйн ахан дүүсийн холбоо эсвэл нууц сүм хийд гэх мэт зүйлийг байгуулж, гишүүд нь Пифагорын амьдралын хэв маягийг удирдах үүрэгтэй байв.

Пифагор ба Пифагорчууд

Пифагорууд Апеннины хойгийн өмнөд хэсэгт орших Грекийн колонид шашин, ёс суртахууны ахан дүүсийн холбоог зохион байгуулж, дараа нь Пифагорын холбоо гэж нэрлэгдэх сүм хийд гэх мэт. Холбооны гишүүд тодорхой зарчмуудыг баримтлах ёстой байв: нэгдүгээрт, үзэсгэлэнтэй, алдар сууд тэмүүлэх, хоёрдугаарт, ашигтай байх, гуравдугаарт, өндөр таашаал авахыг эрмэлзэх.

Пифагорын шавь нартаа үлдээсэн ёс суртахууны болон ёс суртахууны дүрмийн тогтолцоог эртний, Дундад зууны болон Сэргэн мандалтын эрин үед маш их алдартай байсан Пифагорчуудын "Алтан шүлгүүд" хэмээх нэгэн төрлийн ёс суртахууны дүрэм болгон эмхэтгэсэн.

Пифагорын судалгааны систем нь гурван хэсгээс бүрдэнэ.

Тооны тухай сургаал - арифметик,

Зургийн талаархи сургаал - геометр,

Орчлон ертөнцийн бүтцийн тухай сургаал - одон орон судлал.

Пифагорын тавьсан боловсролын систем олон зууны турш үргэлжилсэн.

Пифагорын сургууль геометрийг шинжлэх ухааны шинж чанартай болгохын тулд их зүйлийг хийсэн. Пифагорын аргын гол онцлог нь геометрийг арифметиктэй хослуулсан явдал байв.

Пифагор пропорциональ, прогрессийн талаар, магадгүй тоонуудын ижил төстэй байдлын талаар маш их ярьсан, учир нь тэр асуудлыг шийдсэн гэж үздэг тул: "Өгөгдлийн аль нэгтэй нь тэнцүү, хоёрдахьтай төстэй гуравдагчийг байгуул. хоёр тоо өгсөн."

Пифагор болон түүний шавь нар олон өнцөгт, нөхөрсөг, төгс тоонуудын тухай ойлголтыг танилцуулж, тэдгээрийн шинж чанарыг судалжээ. Арифметик нь тооцооллын практикийн хувьд Пифагорыг сонирхдоггүй байсан бөгөөд тэрээр "арифметикийг худалдаачны эрх ашгаас дээгүүр тавьдаг" гэж бахархалтайгаар зарласан.

Пифагорын холбооны гишүүд Грекийн олон хотын оршин суугчид байв.

Пифагорчууд мөн эмэгтэйчүүдийг нийгэмдээ хүлээн зөвшөөрдөг байв. Тус холбоо хорь гаруй жил цэцэглэн хөгжиж, дараа нь гишүүдийг нь хавчиж, олон оюутнууд амь үрэгджээ.

Пифагор өөрөө үхсэн тухай олон янзын домог байсан. Гэвч Пифагор болон түүний шавь нарын сургаал амьдарсаар байв.

Пифагорын теорем үүссэн түүхээс

Энэ теоремыг Пифагор нээгээгүй нь одоогоор мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч зарим хүмүүс үүнийг бүрэн нотлох баримтыг анх Пифагор өгсөн гэж үздэг бол зарим нь түүнийг энэ гавьяаг үгүйсгэдэг. Зарим хүмүүс Евклидийн "Элементүүд"-ийн эхний номонд өгсөн нотолгоог Пифагорт холбодог. Нөгөөтэйгүүр, Проклус Элемент дэх нотлох баримт нь Евклидийн өөрөөс шалтгаалсан гэж мэдэгджээ. Бидний харж байгаагаар математикийн түүхэнд Пифагорын амьдрал ба түүний математикийн үйл ажиллагааны талаар найдвартай тодорхой мэдээлэл бараг байдаггүй.

Пифагорын теоремын түүхэн тоймоо эртний Хятадаас эхэлцгээе. Чу-пэйгийн математикийн ном энд онцгой анхаарал татдаг. Энэхүү эссэ нь 3, 4, 5 талтай Пифагор гурвалжны тухай өгүүлдэг.

"Хэрэв тэгш өнцөг нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задарвал суурь нь 3, өндөр нь 4 байх үед түүний хажуугийн төгсгөлүүдийг холбосон шугам нь 5 болно."

Тэдний барилгын аргыг хуулбарлахад маш хялбар байдаг. 12 м урт олс авч, 3 м-ийн зайд өнгөт туузны дагуу уя. нэг захаас нөгөө захаас 4 метр. 3 ба 4 метрийн урттай талуудын хооронд тэгш өнцөг үүсгэнэ.

Хиндучуудын дунд геометр нь шүтлэгтэй нягт холбоотой байв. Гипотенузын квадрат теоремыг Энэтхэгт МЭӨ 8-р зууны үед мэддэг байсан байх магадлал өндөр. Цэвэр зан үйлийн жоруудаас гадна геометрийн теологийн шинж чанартай бүтээлүүд байдаг. МЭӨ 4-5-р зуунд хамаарах эдгээр бичээсүүдэд бид 15, 36, 39 талтай гурвалжинг ашиглан зөв өнцгийг барьж байгаатай уулздаг.

Дундад зууны үед Пифагорын теорем нь хамгийн их биш юмаа гэхэд ядаж сайн математикийн мэдлэгийн хязгаарыг тодорхойлсон. Сургуулийн хүүхдүүд заримдаа профессор эсвэл эрэгтэй хүний ​​дээл өмссөн дээд малгай болгон хувиргадаг Пифагорын теоремын онцлог зургийг тухайн үед математикийн бэлгэдэл болгон ашигладаг байв.

Эцэст нь бид Пифагорын теоремыг Грек, Латин, Герман хэлнээс орчуулсан янз бүрийн томъёоллыг танилцуулж байна.

Евклидийн теоремыг уншина (шууд орчуулга):

"Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөв өнцгийг хамарсан талын квадрат нь зөв өнцгийг хүрээлж буй талуудын квадратуудтай тэнцүү байна."

Таны харж байгаагаар өөр өөр улс орнууд, өөр өөр хэлүүдэд танил теоремыг томъёолох өөр өөр хувилбарууд байдаг. Өөр өөр цаг үед, өөр өөр хэлээр бүтээгдсэн тэдгээр нь нэг математикийн хэв маягийн мөн чанарыг тусгасан бөгөөд үүний нотолгоо нь хэд хэдэн сонголттой байдаг.

Пифагорын теоремыг батлах таван арга

эртний хятадын нотолгоо

Эртний Хятадын зурган дээр a, b ба гипотенуз в бүхий дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжныг давхарлан байрлуулж, тэдгээрийн гадна талын контур нь a + b талтай дөрвөлжин хэлбэртэй, дотоод хэсэг нь в талтай дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. гипотенуз

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfield-ийн нотолгоо (1882)

Аль нэгнийх нь хөл нөгөөгийнх нь үргэлжлэл байхаар хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг зохион байгуулъя.

Харгалзан үзэж буй трапецын талбайг суурь ба өндрийн нийлбэрийн хагасын үржвэрээр олно.

Нөгөө талаас трапецын талбай нь олж авсан гурвалжны талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эдгээр илэрхийлэлийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Баталгаа нь энгийн

Энэхүү нотолгоо нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн энгийн тохиолдолд олддог.

Түүнтэй хамт теорем эхэлсэн байх.

Үнэн хэрэгтээ, теорем үнэн болохыг харахын тулд тэгш өнцөгт гурвалжны хавтанг харахад л хангалттай.

Жишээлбэл, ABC гурвалжны хувьд: АС гипотенуз дээр баригдсан квадрат нь анхны 4 гурвалжинг, хөл дээр барьсан квадрат нь хоёрыг агуулна. Теорем нь батлагдсан.

Эртний Хиндучуудын нотолгоо

Хажуу талтай дөрвөлжин (a + b) -ийг зурагт үзүүлсэн шиг хэсэг болгон хувааж болно. 12. a, эсвэл зурагт үзүүлсэн шиг. 12б. Хоёр зураг дээр 1, 2, 3, 4-р хэсгүүд ижил байгаа нь тодорхой байна. Хэрэв тэнцүү (талбай) -аас тэнцүүг хасвал тэнцүү нь үлдэх болно, өөрөөр хэлбэл. c2 = a2 + b2.

Евклидийн нотолгоо

Хоёр мянган жилийн турш хамгийн түгээмэл зүйл бол Евклидийн зохион бүтээсэн Пифагорын теоремын нотолгоо байв. Энэ нь түүний алдарт "Эхлэл" номонд тавигдсан байдаг.

Евклид BH өндрийг баруун өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэл буулгаж, түүний өргөтгөл нь гипотенуз дээр дууссан квадратыг хоёр тэгш өнцөгт болгон хувааж, талбайнууд нь хөл дээр баригдсан харгалзах квадратуудын талбайтай тэнцүү болохыг нотолсон.

Энэ теоремыг батлахад ашигласан зургийг "Пифагорын өмд" гэж хошигнон нэрлэдэг. Удаан хугацааны туршид түүнийг математикийн шинжлэх ухааны бэлгэдлийн нэг гэж үздэг байв.

Пифагорын теоремын хэрэглээ

Пифагорын теоремын ач холбогдол нь геометрийн теоремуудын ихэнхийг түүнээс эсвэл түүний тусламжтайгаар гаргаж авч, олон асуудлыг шийдэж чаддагт оршино. Нэмж дурдахад Пифагорын теорем ба урвуу теоремын практик ач холбогдол нь хэрчмүүдийг өөрсдөө хэмжихгүйгээр хэрчмүүдийн уртыг олох боломжтойд оршино. Энэ нь шулуун шугамаас хавтгай руу, хавтгайгаас эзэлхүүний орон зай болон түүнээс цааш замыг нээж өгдөг. Ийм учраас Пифагорын теорем нь илүү олон хэмжигдэхүүнийг нээж, эдгээр хэмжигдэхүүнүүдэд технологи бий болгохыг эрмэлздэг хүн төрөлхтний хувьд маш чухал юм.

Дүгнэлт

Пифагорын теорем нь маш алдартай тул энэ тухай сонсоогүй хүнийг төсөөлөхөд хэцүү байдаг. Пифагорын теоремыг батлах хэд хэдэн арга байдгийг би мэдсэн. Түүх, математикийн хэд хэдэн эх сурвалж, тэр дундаа интернет дэх мэдээллийг судалж үзээд Пифагорын теорем нь түүхээрээ төдийгүй амьдрал, шинжлэх ухаанд чухал байр суурь эзэлдэг учраас сонирхолтой гэдгийг ойлгосон. Үүнийг миний энэхүү баримт бичигт өгсөн энэхүү теоремын текстийн янз бүрийн тайлбар, түүнийг батлах аргууд нотолж байна.

Тиймээс Пифагорын теорем бол геометрийн гол, хамгийн чухал теоремуудын нэг юм. Үүний ач холбогдол нь геометрийн теоремуудын ихэнхийг үүнээс эсвэл түүний тусламжтайгаар гаргаж авах боломжтойд оршдог. Пифагорын теорем нь өөрөө огт илэрхий биш байдгаараа бас гайхалтай юм. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны шинж чанарыг зураг дээрээс шууд харж болно. Гэхдээ та тэгш өнцөгт гурвалжинг хичнээн харлаа ч түүний талуудын хооронд энгийн хамаарал байгааг олж харахгүй: c2 = a2 + b2. Тиймээс үүнийг батлахын тулд дүрслэлийг ихэвчлэн ашигладаг. Пифагорын гавьяа нь энэ теоремыг шинжлэх ухааны бүрэн нотолгоо болгож өгсөн явдал юм. Энэ теоремоор санамсаргүй байдлаар хадгалагдаагүй эрдэмтний хувийн шинж чанар нь сонирхолтой юм. Пифагор бол хөгжим ба тооны зохицол, сайн сайхан ба шударга ёс, мэдлэг, эрүүл амьдралын хэв маягт анхаарлаа төвлөрүүлдэг сургуулийнхаа зохион байгуулагч, гайхамшигтай илтгэгч, багш, сурган хүмүүжүүлэгч юм. Тэр алс холын хойч үеийнхэнд үлгэр дуурайл болж магадгүй.

Ном зүйн холбоос

Туманова С.В. ПИФАГОРЫН ТЕОРЕМИЙГ БАТЛАХ ХЭДЭН АРГА // Шинжлэх ухаанаас эхэл. - 2016. - No 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (хандах огноо: 01/10/2020).

Пифагорын теорем- Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг нь харилцааг тогтоодог

тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хооронд.

Үүнийг Грекийн математикч Пифагор нотолж, түүний нэрээр нэрлэсэн гэж үздэг.

Пифагорын теоремын геометрийн томъёолол.

Теоремыг анх дараах байдлаар томъёолсон.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбай нь квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

катетер дээр баригдсан.

Пифагорын теоремын алгебрийн томъёолол.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ нь гурвалжны гипотенузын уртыг заана в, мөн дамжин хөлний урт аболон б:

Хоёр найрлага Пифагорын теоремуудтэнцүү байна, гэхдээ хоёр дахь томъёолол нь илүү энгийн, тийм биш

талбай гэсэн ойлголтыг шаарддаг. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь мэдэгдлийг тухайн газар нутгийн талаар юу ч мэдэхгүй байж шалгаж болно

тэгш өнцөгт гурвалжны зөвхөн талуудын уртыг хэмжих замаар.

Пифагорын урвуу теорем.

Гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол

гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм.

Эсвэл өөрөөр хэлбэл:

Дурын эерэг тоонуудын хувьд а, бболон в, ийм

хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бий аболон бба гипотенуз в.

Хоёр талт гурвалжны Пифагорын теорем.

Адил талт гурвалжны Пифагорын теорем.

Пифагорын теоремын баталгаа.

Одоогийн байдлаар энэ теоремын 367 нотолгоо шинжлэх ухааны ном зохиолд бүртгэгдсэн байна. Магадгүй теорем

Пифагор бол ийм гайхалтай тооны нотолгоотой цорын ганц теорем юм. Ийм олон янз байдал

геометрийн хувьд теоремын үндсэн ач холбогдлоор л тайлбарлаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, үзэл баримтлалын хувьд бүгдийг нь цөөн тооны ангиудад хувааж болно. Тэдний хамгийн алдартай нь:

нотлох баримт талбайн арга, аксиоматикболон чамин нотолгоо(Жишээлбэл,

ашиглах замаар дифференциал тэгшитгэл).

1. Пифагорын теоремыг ижил төстэй гурвалжингаар нотлох.

Алгебрийн томъёоллын дараах нотолгоо нь бүтээгдсэн нотлох баримтуудаас хамгийн энгийн нь юм

аксиомуудаас шууд. Ялангуяа дүрсийн талбайн тухай ойлголтыг ашигладаггүй.

Болъё ABCтэгш өнцөгт гурвалжин бий C. -аас өндрийг зуръя Cболон тэмдэглэнэ

дамжуулан түүний суурь Х.

Гурвалжин ACHгурвалжинтай төстэй ABХоёр булан дээр C. Үүний нэгэн адил гурвалжин CBHтөстэй ABC.

Тэмдэглэгээг танилцуулснаар:

бид авах:

,

аль нь таарч байна -

Эвхэж байгаад а 2 ба б 2, бид дараахыг авна:

эсвэл нотлох ёстой байсан.

2. Пифагорын теоремыг талбайн аргаар батлах.

Дараахь нотлох баримтууд нь хэдийгээр илт энгийн боловч тийм ч энгийн биш юм. Тэд бүгд

талбайн шинж чанарыг ашигла, үүний нотолгоо нь Пифагорын теоремын нотолгоог бодвол илүү төвөгтэй байдаг.

• Эквикомплементацаар нотлох.

Дөрвөн тэгш өнцөгтийг байрлуул

зурагт үзүүлсэн шиг гурвалжин

баруун талд.

Хажуу талтай дөрвөлжин в- дөрвөлжин,

хоёр хурц өнцгийн нийлбэр 90° учир, ба

боловсруулсан өнцөг нь 180 ° байна.

Бүх зургийн талбай нь нэг талаас,

талтай дөрвөлжин талбай ( a+b), нөгөө талаас дөрвөн гурвалжны талбайн нийлбэр ба

Q.E.D.

3. Пифагорын теоремыг хязгааргүй жижиг аргаар батлах.

​

Зурагт үзүүлсэн зургийг авч үзвэл, ба

хажуугийн өөрчлөлтийг харж байнаа, Бид чадна

дараах хязгааргүй хамаарлыг бич

жижиг хажуугийн нэмэгдлүүд-тайболон а(ижил төстэй байдлыг ашиглан

гурвалжин):

Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Хоёр хөлний өсөлтийн үед гипотенузыг өөрчлөх илүү ерөнхий илэрхийлэл:

Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж, анхны нөхцлүүдийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс бид хүссэн хариултдаа хүрч байна:

Харахад хялбар тул эцсийн томъёонд квадрат хамаарал нь шугаман байдлаас болж гарч ирдэг

гурвалжны талууд ба өсөлтийн хоорондох пропорциональ, харин нийлбэр нь бие даасан байдалтай холбоотой.

янз бүрийн хөлний өсөлтөөс оруулсан хувь нэмэр.

Хэрэв хөлний аль нэг нь нэмэгдээгүй гэж үзвэл илүү энгийн нотолгоо олж авах боломжтой

(энэ тохиолдолд хөл б). Интеграцийн тогтмолын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.