Онлайнаар шугамын хоорондох хэсгийг олоорой. y=f(x), x=g(y) шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг олох. Хавтгай муруйны нумын урт

Функц нь сөрөг биш ба интервал дээр тасралтгүй байг. Дараа нь тодорхой интегралын геометрийн утгын дагуу муруйн трапецын талбайг дээрээс нь энэ функцийн графикаар, доороос нь тэнхлэгээр, зүүн ба баруун талаас нь шулуун шугамаар (2-р зургийг үз) заана. ) томъёогоор тооцоолно

Жишээ 9Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол ба тэнхлэг.

Шийдэл. Функцийн график мөчрүүд нь доошоо чиглэсэн парабол юм. Үүнийг бүтээцгээе (Зураг 3). Интегралчлалын хязгаарыг тодорхойлохын тулд бид тэнхлэгтэй (шулуун шугам) шугамын (парабол) огтлолцох цэгүүдийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Бид авах: , хаана , ; Улмаар, , .

Цагаан будаа. 3

Зургийн талбайг (5) томъёогоор олно.

Хэрэв функц нь сегмент дээр эерэг биш бөгөөд тасралтгүй байвал доороос энэ функцийн графикаар, дээрээс тэнхлэгээр, зүүн ба баруунаас шулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай нь байна. томъёогоор тооцоолно

. (6)

Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгдвөл сүүдэрлэсэн зургийн талбай (Зураг 4) нь харгалзах тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. дөрөв

Жишээ 10Тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбай ба функцийн графикийг тооцоол.

Цагаан будаа. 5

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 5). Хүссэн талбай нь талбайн нийлбэр ба . Эдгээр талбар бүрийг олцгооё. Нэгдүгээрт, бид системийг шийдэх замаар интеграцийн хязгаарыг тодорхойлдог Бид авдаг, . Үүний үр дүнд:

;

.

Тиймээс сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь байна

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 6

Төгсгөлд нь муруй шугаман трапецийг сегмент дээр тасралтгүй функцуудын графикууд дээрээс ба доороос хязгаарлая.
мөн зүүн ба баруун талд - шулуун ба (Зураг 6). Дараа нь түүний талбайг томъёогоор тооцоолно

. (8)

Жишээ 11.ба шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл.Энэ зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 7. Бид түүний талбайг (8) томъёогоор тооцоолно. Тэгшитгэлийн системийг шийдэж бид , ; Улмаар, , . Бид сегмент дээр: . Тиймээс (8) томъёонд бид дараах байдлаар авна x, ба зэрэг - . Бид авах:

(кв. нэгж).

Талбайг тооцоолох илүү төвөгтэй асуудлуудыг дүрсийг огтлолцдоггүй хэсгүүдэд хувааж, бүх зургийн талбайг эдгээр хэсгүүдийн талбайн нийлбэр болгон тооцоолох замаар шийддэг.

Цагаан будаа. 7

Жишээ 12., , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 8). Энэ зургийг доороос тэнхлэгээр, зүүн ба баруун талаас - шулуун шугамаар, дээрээс нь - функцын графикаар хязгаарласан муруйн трапец гэж үзэж болно. Зураг нь дээрээс хоёр функцийн графикаар хязгаарлагддаг тул түүний талбайг тооцоолохын тулд бид энэ шулуун дүрсийг хоёр хэсэгт хуваана (1 нь шугамын огтлолцлын цэгийн абсцисса ба). Эдгээр хэсэг бүрийн талбайг (4) томъёогоор олно.

(кв. нэгж); (кв. нэгж). Үүний үр дүнд:

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. найм

X= j( цагт)

Цагаан будаа. 9

Дүгнэж хэлэхэд, хэрэв муруйн трапец нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн ба , тэнхлэг ба муруй дээр үргэлжилсэн (Зураг 9) байвал түүний талбайг томъёогоор олно гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Хувьсгалын биетийн эзлэхүүн

Хэсэг, тэнхлэг, шулуун шугамууд дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийг тэнхлэгийг тойрон эргэдэг (Зураг 10). Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

. (9)

Жишээ 13Гипербол , шулуун шугам , тэнхлэгээр хязгаарлагдсан муруйн трапецын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 11).

Асуудлын нөхцөл байдлаас үзэхэд , . (9) томъёогоор бид олж авна

.

Цагаан будаа. арав

Цагаан будаа. арван нэгэн

Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүн OUшулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец у = вболон y = d, тэнхлэг OUба сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн график (Зураг 12), томъёогоор тодорхойлогдоно

. (10)

X= j( цагт)

Цагаан будаа. 12

Жишээ 14. Тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол OUшугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец X 2 = 4цагт, у= 4, x = 0 (Зураг 13).

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийн дагуу бид интеграцийн хязгаарыг олно: , . Томъёогоор (10) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Цагаан будаа. 13

Хавтгай муруйны нумын урт

, тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруйг хавтгайд оръё (Зураг 14).

Цагаан будаа. арван дөрөв

Тодорхойлолт. Нуман шугамын холбоосын тоо хязгааргүй, хамгийн том холбоосын урт тэг болох хандлагатай байх үед нумын урт нь энэ нуман дотор бичигдсэн олон шугамын уртыг чиглүүлэх хязгаар гэж ойлгогддог.

Хэрэв функц ба түүний дериватив сегмент дээр тасралтгүй байвал муруйн нумын уртыг томъёогоор тооцоолно.

. (11)

Жишээ 15. Цэгүүдийн хооронд бэхлэгдсэн муруйн нумын уртыг тооцоол .

Шийдэл. Бидэнд байгаа асуудлын нөхцөл байдлаас . (11) томъёогоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

4. Буруу интеграл
интеграцийн хязгааргүй хязгаартай

Тодорхой интегралын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхдээ дараахь хоёр нөхцөл хангагдсан гэж үзсэн.

a) интеграцийн хязгаар амөн хязгаарлагдмал;

б) интеграл нь сегмент дээр хязгаарлагддаг.

Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол интегралыг дуудна зохисгүй.

Эхлээд интегралын хязгааргүй хязгаартай буруу интегралуудыг авч үзье.

Тодорхойлолт. Функц нь интервал дээр тодорхойлогддог ба үргэлжилсэн байгмөн баруун талд нь хязгааргүй (Зураг 15).

Хэрэв буруу интеграл нийлбэл энэ талбай төгсгөлтэй байна; хэрэв буруу интеграл ялгарах юм бол энэ талбай хязгааргүй болно.

Цагаан будаа. арван тав

Интегралын хязгааргүй доод хязгаартай буруу интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

. (13)

Хэрэв тэгш байдлын баруун талын хязгаар (13) байгаа бөгөөд төгсгөлтэй байвал энэ интеграл нийлдэг; эс бөгөөс интегралыг дивергент гэнэ.

Интегралын хоёр хязгааргүй хязгаартай зохисгүй интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

, (14)

Энд с нь интервалын дурын цэг юм. Хоёр интеграл тэгш байдлын баруун талд нийлсэн тохиолдолд л интеграл нийлнэ (14).

;

G) = [ хуваарьт бүтэн квадратыг сонгоно уу: ] = [солих:

] =

Эндээс буруу интеграл нийлж, утга нь -тэй тэнцүү байна.

Интегралыг олох функцээ оруулна уу

Тооцоологч нь тодорхой интегралын ДЭЛГЭРЭНГҮЙ шийдлийг өгдөг.

Энэхүү тооцоолуур нь f(x) функцийн тодорхой интегралыг өгөгдсөн дээд доод хязгаараар шийддэг.

Жишээ

Эрдмийн зэрэг ашиглах замаар
(дөрвөлжин ба шоо) ба бутархай

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадрат язгуур

Sqrt(x)/(x + 1)

шоо үндэс

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Синус ба косинусыг ашиглах

2*sin(x)*cos(x)

Арксин

X*arcsin(x)

Нуман косинус

x*arccos(x)

Логарифмын хэрэглээ

X*лог(x, 10)

байгалийн логарифм

Үзэсгэлэнд оролцогч

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Иррационал бутархай

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Нуман тангенс

X*arсctg(x)

Гиберболын синус ба косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гибербол тангенс ба котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гибербол арксин ба арккосин

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гибербол арктангенс ба арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Илэрхийлэл, функц оруулах дүрэм

Илэрхийлэл нь функцээс бүрдэж болно (тэмдэглэгээг цагаан толгойн үсгийн дарааллаар өгсөн болно): үнэмлэхүй(x)Үнэмлэхүй үнэ цэнэ x
(модуль xэсвэл |x|) arccos(x)Чиг үүрэг - нуман косинус x arccosh(x)-аас нуман косинус гипербол x arcsin(x)Арксинаас x arcsinh(x)-аас арксин гипербол x arctg(x)Чиг үүрэг - нуман тангенс -аас x arctgh(x)Нумын тангенс нь гипербол юм x д дойролцоогоор 2.7-той тэнцүү тоо exp(x)Функц - илтгэгч x(тэр нь д^x) бүртгэл(x)эсвэл бүртгэл(x)-ийн натурал логарифм x
(Авахын тулд log7(x), та log(x)/log(7) оруулах хэрэгтэй (эсвэл жишээ нь, for log10(x)=лог(x)/лог(10)) пиЭнэ тоо нь "Pi" бөгөөд ойролцоогоор 3.14-тэй тэнцүү байна нүгэл(х)Чиг үүрэг - Синус x cos(x)Үйл ажиллагаа - косинус x sinh(x)Чиг үүрэг - Гипербол синус x бэлэн мөнгө(x)Чиг үүрэг - Гипербол косинусын x sqrt(x)Функц нь квадрат язгуур юм x sqr(x)эсвэл x^2Чиг үүрэг - Дөрвөлжин x тг(х)Чиг үүрэг - шүргэгчээс x tgh(x)Чиг үүрэг - Гипербол тангенс x cbrt(x)Функц нь шоо язгуур юм x

Та дараах үйлдлүүдийг илэрхийлэлд ашиглаж болно. Бодит тоохэлбэрээр оруулна уу 7.5 , үгүй 7,5 2*x- үржүүлэх 3/x- хэлтэс x^3- экспоненциал x + 7- нэмэлт x - 6- хасах
Бусад онцлогууд: давхар(x)Функц - дугуйлах xдоош (жишээ нь давхар(4.5)==4.0) тааз(x)Функц - дугуйлах xдээш (жишээ нь тааз(4.5)==5.0) тэмдэг(x)Чиг үүрэг - тэмдэг x erf(x)Алдааны функц (эсвэл магадлалын интеграл) Лаплас(x)Лаплас функц

Зургийн талбайг тооцоолохЭнэ нь магадгүй талбайн онолын хамгийн хэцүү асуудлын нэг юм. Сургуулийн геометрийн хичээлд гурвалжин, ромб, тэгш өнцөгт, трапец, тойрог гэх мэт үндсэн геометрийн дүрсүүдийн талбайг олохыг заадаг. Гэсэн хэдий ч ихэвчлэн илүү төвөгтэй тоонуудын талбайн тооцоог хийх шаардлагатай болдог. Ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд интеграл тооцооллыг ашиглах нь маш тохиромжтой байдаг.

Тодорхойлолт.

Муруй шугаман трапец y = f(x), y = 0, x = a ба x = b гэсэн шулуунуудаар хязгаарлагдсан зарим G дүрсийг дуудах ба f(x) функц нь [a сегмент дээр тасралтгүй байна; b] гэсэн тэмдэглэгээг өөрчлөхгүй (Зураг 1).Муруй шугаман трапецын талбайг S(G) гэж тэмдэглэж болно.

f(x) функцийн тодорхой интеграл ʃ a b f(x)dx нь [a сегмент дээр тасралтгүй ба сөрөг биш; b] бөгөөд энэ нь харгалзах муруй шугаман трапецын талбай юм.

Өөрөөр хэлбэл, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a ба x \u003d b шугамаар хүрээлэгдсэн G зургийн талбайг олохын тулд та тооцоолох хэрэгтэй. тодорхой интеграл ʃ a b f (x) dx.

Энэ замаар, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Хэрэв y = f(x) функц нь [a; b], дараа нь муруйн трапецын талбайг томъёогоор олж болно S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Жишээ 1

y \u003d x 3 шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоолох; y = 1; x = 2.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд нь ABC дүрсийг үүсгэдэг бөгөөд үүнийг ангаахайгаар харуулав будаа. 2.

Хүссэн талбай нь DACE муруйн трапецын талбай ба DABE квадратын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) томьёог ашиглан интегралчлалын хязгаарыг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Тиймээс бидэнд x 1 \u003d 1 - доод хязгаар, x \u003d 2 - дээд хязгаар байна.

Тэгэхээр S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (квадрат нэгж).

Хариулт: 11/4 кв. нэгж

Жишээ 2

y \u003d √x шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох; y = 2; x = 9.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд нь ABC дүрсийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь дээрээс нь функцийн графикаар хязгаарлагддаг

y \u003d √x, мөн y \u003d 2 функцын графикаас доороос. Үүссэн зургийг дээр ангаахайгаар харуулав. будаа. 3.

Хүссэн талбай нь S = ʃ a b (√x - 2) -тай тэнцүү байна. Интегралчлалын хязгаарыг олъё: b = 9, a олохын тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

(y = √x,
(y = 2.

Тиймээс бид x = 4 = a нь доод хязгаар юм.

Тэгэхээр S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (квадрат нэгж).

Хариулт: S = 2 2/3 кв. нэгж

Жишээ 3

y \u003d x 3 - 4x шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоолох; y = 0; x ≥ 0.

Шийдэл.

y \u003d x 3 - 4x функцийг x ≥ 0-д графикаар зурцгаая. Үүний тулд y ' деривативыг олно:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 үед х = ±2/√3 ≈ 1.1 нь чухал цэгүүд юм.

Хэрэв бид бодит тэнхлэг дээр эгзэгтэй цэгүүдийг зурж, деривативын тэмдгүүдийг байрлуулбал функц тэгээс 2/√3 хүртэл буурч, 2/√3-аас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгддэг. Тэгвэл x = 2/√3 нь хамгийн бага цэг, y функцийн хамгийн бага утга нь min = -16/(3√3) ≈ -3 байна.

Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлъё.

хэрэв x \u003d 0 бол y \u003d 0, энэ нь A (0; 0) нь Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэг гэсэн үг юм;

хэрэв y \u003d 0 бол x 3 - 4x \u003d 0 эсвэл x (x 2 - 4) \u003d 0, эсвэл x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, эндээс x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (тохиромжгүй, учир нь x ≥ 0).

A(0; 0) ба B(2; 0) цэгүүд нь графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм.

Өгөгдсөн шугамууд нь OAB дүрсийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнийг ангаахайгаар харуулав будаа. дөрөв.

y \u003d x 3 - 4x функц нь (0; 2) сөрөг утгыг авдаг тул дараа нь

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Бидэнд: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, эндээс S \u003d 4 хавтгай дөрвөлжин метр. нэгж

Хариулт: S = 4 кв. нэгж

Жишээ 4

Парабол y \u003d 2x 2 - 2x + 1, шулуун шугамууд x \u003d 0, y \u003d 0, абсцисса х 0 \u003d цэг дээрх параболын шүргэгчээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол. 2.

Шийдэл.

Эхлээд бид абсцисса x₀ \u003d 2 цэг дээр y \u003d 2x 2 - 2x + 1 параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулна.

Дериватив y' = 4x - 2 тул x 0 = 2-ын хувьд бид k = y'(2) = 6 болно.

Хүрэх цэгийн ординатыг ол: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Тиймээс шүргэгч тэгшитгэл нь y - 5 \u003d 6 (x - 2) эсвэл y \u003d 6x - 7 хэлбэртэй байна.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээцгээе.

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - парабол. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд: A(0; 1) - Ой тэнхлэгтэй; Үхрийн тэнхлэгтэй - огтлолцох цэг байхгүй, учир нь 2x 2 - 2x + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, өөрөөр хэлбэл В параболын цэгийн орой нь B координаттай (1/2; 1/2).

Тиймээс талбайг тодорхойлох зургийг ангаахайгаар харуулав будаа. 5.

Бидэнд: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​байна.

Нөхцөлөөс D цэгийн координатыг ол.

6x - 7 = 0, өөрөөр хэлбэл. x \u003d 7/6, дараа нь DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Бид DBC гурвалжны талбайг S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC томъёог ашиглан олдог. Энэ замаар,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 кв. нэгж

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (квадрат нэгж).

Эцэст нь бид дараахь зүйлийг авна: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (кв. нэгж).

Хариулт: S = 1 1/4 кв. нэгж

Бид жишээнүүдийг авч үзсэн Өгөгдсөн шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсүүдийн талбайг олох. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та хавтгай дээр функцүүдийн шугам, график байгуулах, шугамын огтлолцлын цэгүүдийг олох, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвар, ур чадварыг илтгэх талбайг олох томъёог ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй.

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

а)

Шийдэл.

Шийдвэр гаргах эхний бөгөөд хамгийн чухал мөч бол зураг зурах явдал юм.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0 x тэнхлэгийг тохируулах;

- x=-2 болон x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;

- y \u003d x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU харгалзах квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, тэнхлэгтэй огтлолцолыг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та шугам зурж, цэг болгон зурж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэг дээгүүр Үхэр , ийм учраас:

Хариулт: С \u003d 9 квадрат нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - за, 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэж хариулсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй, хамгийн ихдээ хэдэн арван байна. Хариулт нь сөрөг гарсан бол даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Хэрэв муруйн трапец байгаа бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?

б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй шугаман трапец бүрэн тэнхлэгийн доор Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

хамт)Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Шийдэл.

Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгийг хамгийн их сонирхдог. Парабол ба шулууны огтлолцох цэгүүдийг олъё.Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Бид өгөгдсөн шугамуудыг байгуулна: 1. Парабола - (1;1) цэг дээрх орой; тэнхлэгийн уулзвар Өө -оноо(0;0) ба (0;2). 2. Шулуун шугам - 2 ба 4-р координатын өнцгийн биссектриса. Тэгээд одоо Анхаар! Хэрэв сегмент дээр бол [ а;б] зарим тасралтгүй функц f(x)зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү g(x), дараа нь харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно. Зураг нь хаана байрлах нь хамаагүй - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ аль диаграм нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм. Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Интеграцийн хил хязгаарыг "өөрөө" гэж тодорхойлж байхад цэг тус бүрээр шугам барих боломжтой. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй бол хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай байдаг (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно).

Хүссэн дүрс нь дээрээс парабол, доороос шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Сегмент дээр харгалзах томъёоны дагуу:

Хариулт: С \u003d 4.5 кв. нэгж

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл.

Бид өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэгүүдийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

Өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэгүүдийн абсциссуудыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

Бид олдог: x 1 = -2, x 2 = 4.

Тиймээс парабол ба шулуун шугам болох эдгээр шугамууд цэгүүд дээр огтлолцдог А(-2; 0), Б(4; 6).

Эдгээр шугамууд нь хаалттай дүрсийг бүрдүүлдэг бөгөөд түүний талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно.

Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг олно.

Зуувангаар хүрээлэгдсэн талбайн талбайг ол.

Шийдэл.

I квадратын эллипсийн тэгшитгэлээс бид . Эндээс томъёоны дагуу бид олж авна

Орлуулах аргыг хэрэглэцгээе x = анүгэл т, dx = а cos т dt. Интеграцийн шинэ хязгаар т = α болон т = β 0 = тэгшитгэлээс тодорхойлогдоно анүгэл т, а = анүгэл т. тавьж болно α = 0 ба β = π /2.

Бид шаардлагатай талбайн дөрөвний нэгийг олдог

Эндээс С = паб.

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг олy = - x 2 + x + 4 баy = - x + 1.

Шийдэл.

Шугамануудын огтлолцох цэгүүдийг ол y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, шугамын ординатыг тэнцүүлэх: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 эсвэл x 2 - 2x- 3 = 0. Үндэсийг ол x 1 = -1, x 2 = 3 ба тэдгээрийн харгалзах ординатууд y 1 = 2, y 2 = -2.

Зургийн талбайн томъёог ашиглан бид олж авна

Параболагаар хүрээлэгдсэн талбайг олy = x 2 + 1 ба шуудx + y = 3.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг ол x 1 = -2 ба x 2 = 1.

Таамаглаж байна y 2 = 3 - xболон y 1 = xБидний олж авсан томъёонд үндэслэн 2 + 1

Бернулли лемнискатын доторх талбайг тооцоолr 2 = а 2 cos 2 φ .

Шийдэл.

Туйлын координатын системд дүрсийн талбай нь муруйн нумаар хязгаарлагддаг r = е(φ ) ба хоёр туйлын радиус φ 1 = ʅ болон φ 2 = ʆ , интегралаар илэрхийлэгдэнэ

Муруйн тэгш хэмийн улмаас бид эхлээд хүссэн талбайн дөрөвний нэгийг тодорхойлно

Тиймээс нийт талбай нь С = а 2 .

Астроидын нумын уртыг тооцоолx 2/3 + y 2/3 = а 2/3 .

Шийдэл.

Бид astroid-ийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичдэг

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .

тавья x 1/3 = а 1/3 cos т, y 1/3 = а 1/3 нүгэл т.

Эндээс бид астроидуудын параметрийн тэгшитгэлийг олж авдаг

x = аучир нь 3 т, y = анүгэл 3 т, (*)

хаана 0 ≤ т ≤ 2π .

Муруй (*) тэгш хэмийг харгалзан нумын уртын дөрөвний нэгийг олоход хангалттай. Лпараметрийн өөрчлөлттэй тохирч байна т 0-ээс π /2.

Бид авдаг

dx = -3а cos 2 тнүгэл t dt, dy = 3анүгэл 2 т cos t dt.

Эндээс бид олдог

Үүссэн илэрхийллийг 0-ээс хооронд нь нэгтгэх π /2, бид авдаг

Эндээс Л = 6а.

Архимедийн спиральаар хүрээлэгдсэн талбайг олr = aφ ба туйлын өнцөгт тохирох хоёр радиус векторφ 1 болонφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Шийдэл.

Муруйгаар хүрээлэгдсэн талбай r = е(φ ) -ийг томъёогоор тооцоолно, энд α болон β - туйлын өнцгийн өөрчлөлтийн хязгаар.

Тиймээс бид авдаг

(*)

(*) -аас харахад туйлын тэнхлэг ба Архимедийн спираль эхний эргэлтээр хязгаарлагдсан талбай ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Үүнтэй адилаар бид туйлын тэнхлэг болон Архимедийн спираль хоёр дахь эргэлтээр хязгаарлагдсан талбайг олдог. φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Шаардлагатай талбай нь эдгээр талбайн зөрүүтэй тэнцүү байна

Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоолҮхэр параболоор хязгаарлагдсан дүрсy = x 2 болонx = y 2 .

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

мөн авах x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, муруйнуудын огтлолцох цэгүүд эндээс О(0; 0), Б(арван нэгэн). Зураг дээрээс харахад эргэлтийн биеийн хүссэн эзэлхүүн нь тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн хоёр эзэлхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна. Үхэрмуруй шугаман трапецууд OCBAболон ОДБА:

Тэнхлэгээр хязгаарлагдсан талбайг тооцоолҮхэр ба синусоидy = нүгэлx сегментүүд дээр: a); б) .

Шийдэл.

a) Сегмент дээр sin функц xтэмдгийг хадгалдаг тул томъёогоор , гэж үзвэл y= нүгэл x, бид олдог

б) сегмент дээр , функц sin xтэмдгийг өөрчилдөг. Асуудлыг зөв шийдэхийн тулд сегментийг хоёр ба [ хэсэгт хуваах шаардлагатай. π , 2π ], тус бүрд функц нь тэмдэгээ хадгалдаг.

Тэмдгийн дүрмийн дагуу сегмент дээр [ π , 2π ] хэсгийг хасах тэмдгээр авна.

Үүний үр дүнд хүссэн талбай нь тэнцүү байна

Эллипсийн эргэлтээс олж авсан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлногол тэнхлэгийн эргэн тойронда .

Шийдэл.

Эллипс нь координатын тэнхлэгүүдтэй тэгш хэмтэй байдаг тул тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн эзэлхүүнийг олоход хангалттай. Үхэрталбай OAB, эллипсийн талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцэх ба үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тэмдэглэе В x; Дараа нь томъёонд үндэслэн бид , энд 0 ба байна а- цэгүүдийн абсцисса Бболон А. Зуувангийн тэгшитгэлээс бид . Эндээс

Тиймээс шаардлагатай хэмжээ нь тэнцүү байна. (Элипс бага тэнхлэгийг тойрон эргэх үед б, биеийн эзэлхүүн нь )

Параболоор хязгаарлагдсан талбайг олy 2 = 2 px болонx 2 = 2 py .

Шийдэл.

Эхлээд интегралын интервалыг тодорхойлохын тулд параболын огтлолцлын цэгүүдийн координатыг олно. Анхны тэгшитгэлүүдийг хувиргаснаар бид ба . Эдгээр утгыг тэнцүүлэх нь бид эсвэл x 4 - 8х 3 x = 0.

x 4 - 8х 3 x = x(x 3 - 8х 3) = x(x - 2х)(x 2 + 2px + 4х 2) = 0.

Бид тэгшитгэлийн язгуурыг олно:

Энэ нь чухал гэдгийг харгалзан үзвэл Апараболын огтлолцол нь эхний улиралд, дараа нь интегралын хязгаар x= 0 ба x = 2х.

Хүссэн талбайг томъёогоор олно