ការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោនេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ ការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។ I. Privalov "ធរណីមាត្រវិភាគ"
ជំពូក I. វ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ
§ 13. ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណមួយទៅមួយទៀត
យើងផ្តល់ជូនអ្នកឱ្យពិចារណាប្រធានបទនេះជាពីរកំណែ។
1) ផ្អែកលើសៀវភៅសិក្សាដោយ I.I. Privalov "ធរណីមាត្រវិភាគ" (សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំបច្ចេកទេសខ្ពស់ឆ្នាំ 1966)
I.I. Privalov "ធរណីមាត្រវិភាគ"
§ 1. បញ្ហានៃការផ្លាស់ប្តូរសំរបសំរួល។
ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេពីរដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយចំនួន។ កូអរដោនេនៃចំណុចនឹងផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោនេផ្សេង។
ភារកិច្ចនៃការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេគឺដើម្បី ដើម្បីដឹងពីកូអរដោនេនៃចំណុចនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ ស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្សេងទៀត។.
បញ្ហានេះនឹងត្រូវបានដោះស្រាយប្រសិនបើយើងបង្កើតរូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងកូអរដោនេនៃចំណុចបំពាននៅក្នុងប្រព័ន្ធពីរ ហើយមេគុណនៃរូបមន្តទាំងនេះនឹងរួមបញ្ចូលតម្លៃថេរដែលកំណត់ទីតាំងទៅវិញទៅមកនៃប្រព័ន្ធ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហូនិង XO 1Y(រូបភាព 68) ។
ទីតាំងនៃប្រព័ន្ធថ្មី។ XO 1Yទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធចាស់ ហូនឹងត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើកូអរដោណេត្រូវបានគេស្គាល់ ក និង ខ ការចាប់ផ្តើមថ្មី។ អូរ ១នេះបើយោងតាមប្រព័ន្ធចាស់និងមុំ α រវាងអ័ក្ស អូនិង ប្រហែល 1 X. បញ្ជាក់ដោយ Xនិង នៅកូអរដោនេនៃចំណុចបំពាន M ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធចាស់ តាមរយៈ X និង Y-coordinates នៃចំណុចដូចគ្នាទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធថ្មី។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺបង្កើតកូអរដោនេចាស់ Xនិង នៅបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ X និង Y ថ្មី។ រូបមន្តបំលែងលទ្ធផលត្រូវតែរួមបញ្ចូលចំនួនថេរ ក, ខ និង α .
យើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាទូទៅនេះដោយពិចារណាករណីពិសេសពីរ។
1. ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេផ្លាស់ប្តូរ ខណៈពេលដែលទិសដៅនៃអ័ក្សនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ( α = 0).
2. ទិសដៅនៃអ័ក្សផ្លាស់ប្តូរ ខណៈពេលដែលប្រភពដើមនៃកូអរដោនេនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ( a = ខ = 0).
§ 2. ការផ្ទេរប្រភពដើម។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធពីរនៃកូអរដោនេ Cartesian ដែលមានប្រភពដើមផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អូនិង អូរ ១និងទិសដៅដូចគ្នានៃអ័ក្ស (រូបភាព 69) ។
បញ្ជាក់ដោយ ក និង ខ កូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមថ្មី។ ប្រហែល ១នៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់និងតាមរយៈ x, yនិង X, យ- សំរបសំរួលនៃចំណុចបំពាន M រៀងគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់ និងថ្មី។ ចំណុចបញ្ចាំង M នៅលើអ័ក្ស ប្រហែល 1 Xនិង អូក៏ដូចជាចំណុច ប្រហែល ១ក្នុងមួយអ័ក្ស អូយើងទទួលបាននៅលើអ័ក្ស អូចំណុចបី អូ កនិង រ. តម្លៃផ្នែក OA, ARនិង ឬត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ
| អូអេ| + | AR | = | ឬ |. (1)
សំគាល់ថា || អូអេ| = ក , | ឬ | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = Xយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាព (១) ក្នុងទម្រង់៖
ក + X = x ឬ x = X + ក . (2)
ដូចគ្នានេះដែរការបញ្ចាំង M និង ប្រហែល ១នៅលើអ័ក្ស y យើងទទួលបាន៖
y = យ + ខ (3)
ដូច្នេះ កូអរដោណេចាស់គឺស្មើនឹង កូអរដោណេថ្មី បូកនឹងកូអរដោណេនៃប្រភពដើមថ្មី យោងទៅតាមប្រព័ន្ធចាស់។
ពីរូបមន្ត (2) និង (3) កូអរដោណេថ្មីអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងលក្ខខណ្ឌចាស់៖
X = x - ក , (2")
យ = y-b . (3")
§ 3. ការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ពីរដែលមានប្រភពដើមដូចគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អំពីនិងទិសដៅផ្សេងគ្នានៃអ័ក្ស (រូបភាព 70) ។
អនុញ្ញាតឱ្យ α គឺជាមុំរវាងអ័ក្ស អូនិង អូ. បញ្ជាក់ដោយ x, y និង X, Yកូអរដោនេនៃចំណុចបំពាន M រៀងគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់ និងថ្មី៖
X = | ឬ | , នៅ = | RM | ,
X= | ឬ ១ |, យ= | R 1 M |.
ពិចារណាបន្ទាត់ដែលខូច ឬ 1 MPហើយយកការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើអ័ក្ស អូ. ដោយកត់សំគាល់ថាការព្យាករណ៍នៃខ្សែដែលខូចគឺស្មើនឹងការព្យាករណ៍នៃផ្នែកបិទ (ជំពូកទី 1 § 8) យើងមាន:
ឬ 1 MP = | ឬ |. (4)
ម៉្យាងទៀតការព្យាករនៃបន្ទាត់ដែលខូចគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការព្យាករនៃតំណភ្ជាប់របស់វា (ជំពូក I, § 8); ដូច្នេះ សមភាព (៤) នឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
ល។ ឬ ១+ pr R 1 M+ pr សមាជិកសភា= | ឬ | (4")
ចាប់តាំងពីការព្យាករនៃផ្នែកដែលដឹកនាំគឺស្មើនឹងតម្លៃរបស់វាគុណនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងអ័ក្សព្យាករ និងអ័ក្សដែលផ្នែកនេះស្ថិតនៅ (ជំពូកទី I, § 8) បន្ទាប់មក
ល។ ឬ ១ = X cos α
ល។ R 1 M = យ cos (90 ° + α ) = - យអំពើបាប α ,
pr សមាជិកសភា= 0.
ដូច្នេះសមភាព (4") ផ្តល់ឱ្យយើង:
x = X cos α - យអំពើបាប α . (5)
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ការបញ្ចាំងខ្សែបន្ទាត់ដែលខូចដូចគ្នាទៅលើអ័ក្ស អូយើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ នៅ. ជាការពិតយើងមាន៖
ល។ ឬ ១+ pr R 1 M+ pr សមាជិកសភា= pr ឬ = 0.
ការកត់សំគាល់នោះ។
ល។ ឬ ១ = X cos( α - 90°) = Xអំពើបាប α ,
ល។ R 1 M = យ cos α ,
pr សមាជិកសភា = - y ,
នឹងមាន:
Xអំពើបាប α + យ cos α - y = 0,
y = Xអំពើបាប α + យ cos α . (6)
ពីរូបមន្ត (5) និង (6) យើងទទួលបានកូអរដោនេថ្មី។ Xនិង យបង្ហាញតាមរយៈចាស់ X និង នៅ ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការ (5) និង (6) ទាក់ទងនឹង Xនិង យ.
មតិយោបល់។រូបមន្ត (5) និង (6) អាចទទួលបានខុសគ្នា។
ពីរូបភព។ 71 យើងមាន:
X = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - អូបាប α អំពើបាប φ ,
នៅ = PM = OM sin ( α + φ ) = អូមបាប α cos φ + អូម ខូស α អំពើបាប φ .
ចាប់តាំងពី (Ch. I, § 11) OM cos φ = X, OM បាប φ =យ, នោះ។
x = X cos α - យអំពើបាប α , (5)
y = Xអំពើបាប α + យ cos α . (6)
§ 4. ករណីទូទៅ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ពីរដែលមានប្រភពដើមផ្សេងគ្នានិងទិសដៅផ្សេងគ្នានៃអ័ក្សត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 72) ។
បញ្ជាក់ដោយ ក និង ខ កូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមថ្មី។ អំពីយោងតាមប្រព័ន្ធចាស់ តាមរយៈ α - មុំនៃការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេ និងចុងក្រោយតាមរយៈ x, y និង X, Y- កូអរដោនេនៃចំណុចបំពាន M រៀងគ្នាយោងទៅតាមប្រព័ន្ធចាស់និងថ្មី។
ដើម្បីបង្ហាញ X និង នៅ តាមរយៈ Xនិង យយើងណែនាំប្រព័ន្ធសំរបសំរួលជំនួយ x 1 អូ 1 y 1 ការចាប់ផ្តើមរបស់យើងចាប់ផ្តើមថ្មី។ អំពី១ ហើយយកទិសអ័ក្សមកស្របនឹងទិសអ័ក្សចាស់។ អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 និង y 1 បង្ហាញពីកូអរដោនេនៃចំណុច M ដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធជំនួយនេះ។ ឆ្លងកាត់ពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេចាស់ទៅឧបករណ៍ជំនួយ យើងមាន (§ 2)៖
X = X 1 + ក , y = y 1 + ខ .
X 1 = X cos α - យអំពើបាប α , y 1 = Xអំពើបាប α + យ cos α .
ការជំនួស X 1 និង y 1 ក្នុងរូបមន្តមុនដោយកន្សោមរបស់ពួកគេពីរូបមន្តចុងក្រោយ ទីបំផុតយើងរកឃើញ៖
x = X cos α - យអំពើបាប α + ក
y = Xអំពើបាប α + យ cos α + ខ (ខ្ញុំ)
រូបមន្ត (I) មានជាករណីពិសេស រូបមន្តនៃ§§ 2 និង 3 ។ ដូច្នេះសម្រាប់ α = 0 រូបមន្ត (I) ប្រែទៅជា
x = X + ក , y = យ + ខ ,
និងនៅ a = ខ = 0 យើងមាន៖
x = X cos α - យអំពើបាប α , y = Xអំពើបាប α + យ cos α .
ពីរូបមន្ត (I) យើងទទួលបានកូអរដោនេថ្មី។ Xនិង យបង្ហាញតាមរយៈចាស់ X និង នៅ ប្រសិនបើសមីការ (I) អាចដោះស្រាយបាន។ Xនិង យ.
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃរូបមន្ត (I): ពួកវាជាលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង Xនិង យពោលគឺទម្រង់៖
x = AX+BY+C, y = ក 1 X+B 1 Y+C 1 .
វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាកូអរដោនេថ្មី។ Xនិង យបានបង្ហាញតាមរយៈចាស់ X និង នៅ រូបមន្តនៃសញ្ញាបត្រទី 1 ទាក់ទងនឹង X និង y.
G.N. Yakovlev "ធរណីមាត្រ"
§ 13. ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណមួយទៅមួយទៀត
ដោយជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian រាងចតុកោណ ការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងចំនុចនៃយន្តហោះ និងតាមលំដាប់លេខពិត។ នេះមានន័យថាចំណុចនីមួយៗនៃយន្តហោះត្រូវគ្នានឹងលេខមួយគូ ហើយលេខពិតដែលបានបញ្ជាទិញនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចតែមួយ។
ជម្រើសនៃប្រព័ន្ធសំរបសំរួលមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតមិនត្រូវបានកំណត់ដោយអ្វីនោះទេ ហើយត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងករណីជាក់លាក់នីមួយៗដោយពិចារណាលើភាពងាយស្រួលប៉ុណ្ណោះ។ ជាញឹកញាប់សំណុំដូចគ្នាត្រូវតែត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេផ្សេងៗគ្នា។ ចំណុចមួយ និងដូចគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្សេងៗគ្នា ជាក់ស្តែងមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នា។ សំណុំនៃចំណុច (ជាពិសេសរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូឡា បន្ទាត់ត្រង់) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការផ្សេងៗគ្នា។
ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលកូអរដោនេនៃចំណុចនៃយន្តហោះត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយទៅប្រព័ន្ធមួយទៀត។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណចំនួនពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ៖ O, ខ្ញុំ, ច និងអំពី", ខ្ញុំ "j" (រូបភាព 41) ។
ប្រព័ន្ធទីមួយដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច O និងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ និង j យើងយល់ព្រមហៅពាក្យចាស់ទីពីរ - ដោយចាប់ផ្តើមនៅចំណុច O" និងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ" និង j" - ថ្មី។
យើងនឹងពិចារណាពីទីតាំងរបស់ប្រព័ន្ធថ្មីដែលទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធចាស់ដែលត្រូវបានគេដឹង៖ សូមឲ្យចំណុច O” ក្នុងប្រព័ន្ធចាស់មានកូអរដោណេ ( ក; ខ ) វ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ" ទម្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ ជ្រុង α . ជ្រុង α រាប់ក្នុងទិសដៅផ្ទុយនៃចលនាទ្រនិចនាឡិកា។
ពិចារណាចំណុចដែលបំពាន M. បញ្ជាក់កូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់តាមរយៈ ( x; y ), នៅក្នុងថ្មីមួយ - តាមរយៈ ( x"; y" ) ភារកិច្ចរបស់យើងគឺបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេចាស់និងថ្មីនៃចំណុច M.
ភ្ជាប់ជាគូចំនុច O និង O", O" និង M, O និង M ។ យោងទៅតាមច្បាប់ត្រីកោណ យើងទទួលបាន
អូម > = អូ" > + អូ "M > . (1)
ចូរបំបែកវ៉ិចទ័រ អូម> និង អូ"> ដោយវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ និង j , និងវ៉ិចទ័រ អូ "M> ដោយវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ" និង j" :
អូម > = x ខ្ញុំ+y j , អូ" > = ក ខ្ញុំ+ ខ j , អូ "M > = x" ខ្ញុំ"+y" j "
ឥឡូវនេះសមភាព (1) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
x ខ្ញុំ+y j = (ក ខ្ញុំ+ ខ j ) + (x" ខ្ញុំ"+y" j "). (2)
វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានថ្មី។ ខ្ញុំ" និង j" ពង្រីកលើវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានចាស់ ខ្ញុំ និង j តាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
ខ្ញុំ" = cos α ខ្ញុំ + បាប α j ,
j" = cos ( π / 2 + α ) ខ្ញុំ + បាប ( π / 2 + α ) j =-បាប α ខ្ញុំ + cos α j .
ការជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញសម្រាប់ ខ្ញុំ" និង j" នៅក្នុងរូបមន្ត (2) យើងទទួលបានសមភាពវ៉ិចទ័រ
x ខ្ញុំ+y j = ក ខ្ញុំ+ ខ j + X"(cos α ខ្ញុំ + បាប α j ) + នៅ"(-បាប α ខ្ញុំ + cos α j )
ស្មើនឹងសមភាពលេខពីរ៖
|
x = ក + X" cos α
- នៅ"អំពើបាប α
, |
រូបមន្ត (3) ផ្តល់កន្សោមដែលចង់បានសម្រាប់កូអរដោនេចាស់ Xនិង នៅចំណុចតាមរយៈកូអរដោនេថ្មីរបស់វា។ X"និង នៅ". ដើម្បីស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់កូអរដោណេថ្មីក្នុងលក្ខខណ្ឌចាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (3) ទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់ X"និង នៅ".
ដូច្នេះ កូអរដោនេនៃចំណុចនៅពេលផ្លាស់ទីប្រភពដើមទៅចំណុច ( ក; ខ ) ហើយបង្វិលអ័ក្សដោយមុំមួយ។ α ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយរូបមន្ត (3) ។
ប្រសិនបើមានតែប្រភពដើមនៃកូអរដោណេផ្លាស់ប្តូរ ហើយទិសដៅនៃអ័ក្សនៅតែដដែល នោះសន្មតក្នុងរូបមន្ត (3) α = 0 យើងទទួលបាន
រូបមន្ត (៥) ត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តបង្វិល.
កិច្ចការទី 1 ។សូមឱ្យកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមថ្មីនៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់គឺ (2; 3) និងកូអរដោនេនៃចំណុច A នៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់ (4; -1) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច A នៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មី ប្រសិនបើទិសដៅនៃអ័ក្សនៅតែដដែល។
តាមរូបមន្ត (4) យើងមាន
ចម្លើយ។ ក(2;-4)
កិច្ចការទី 2 ។សូមឱ្យកូអរដោនេនៃចំណុច P នៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់ (-2; 1) ហើយនៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មីទិសដៅនៃអ័ក្សដែលដូចគ្នានោះកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ (5; 3) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមថ្មីនៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់។
ហើយយោងទៅតាមរូបមន្ត (4) យើងទទួលបាន
|
-
2= ក + 5 |
កន្លែងណា ក = - 7, ខ = - 2.
ចម្លើយ។ (-៧; -២) ។
កិច្ចការទី 3 ។ចំណុច A កូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មី (4; 2) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់ ប្រសិនបើប្រភពដើមនៅតែដដែល ហើយអ័ក្សកូអរដោនេនៃប្រព័ន្ធចាស់ត្រូវបានបង្វិលដោយមុំមួយ។ α = 45°។
តាមរូបមន្ត (5) យើងរកឃើញ
កិច្ចការទី 4 ។កូអរដោនេនៃចំណុច A នៅក្នុងប្រព័ន្ធចាស់ (2 √3 ; - √3 ) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មី ប្រសិនបើប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធចាស់ត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅចំណុច (-1;-2) ហើយអ័ក្សត្រូវបានបង្វិលដោយមុំមួយ។ α = 30°។
តាមរូបមន្ត (៣) យើងមាន
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះសម្រាប់ X"និង នៅ", យើងស្វែងរក: X" = 4, នៅ" = -2.
ចម្លើយ។ ក(៤;-២)។
កិច្ចការទី 5 ។ផ្តល់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ នៅ = 2X - 6. រកសមីការនៃបន្ទាត់ដូចគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី ដែលទទួលបានពីប្រព័ន្ធចាស់ដោយការបង្វិលអ័ក្សដោយមុំមួយ α = 45°។
រូបមន្តបង្វិលក្នុងករណីនេះមានទម្រង់
ការជំនួសបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងសមីការ នៅ = 2X - 6 អថេរចាស់ X និង នៅ ថ្មី យើងទទួលបានសមីការ
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x"-y") - 6 ,
ដែលបន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញ យកទម្រង់ y" = x" / 3 - 2√2
ជំពូកទី 1. ការបន្ថែម។ ការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលពិសេសនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។
ច្បាប់សម្រាប់ការសាងសង់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេនៅក្នុងយន្តហោះ និងក្នុងលំហត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកសំខាន់នៃជំពូកទី 1 ។ ភាពងាយស្រួលនៃការប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណត្រូវបានកត់សម្គាល់។ នៅក្នុងការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែងនៃឧបករណ៍ធរណីមាត្រវិភាគ ជារឿយៗវាក្លាយជាការចាំបាច់ដើម្បីបំប្លែងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានទទួលយក។ នេះជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ដោយការពិចារណាលើភាពងាយស្រួល៖ រូបភាពធរណីមាត្រត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ គំរូវិភាគ និងកន្សោមពិជគណិតដែលប្រើក្នុងការគណនាកាន់តែច្បាស់។
ការសាងសង់ និងការប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលពិសេស៖ ប៉ូល ស៊ីឡាំង និងស្វ៊ែរ ត្រូវបានកំណត់ដោយអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃបញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ។ ការធ្វើគំរូដោយប្រើប្រព័ន្ធសំរបសំរួលពិសេសជារឿយៗជួយសម្រួលដល់ការអភិវឌ្ឍន៍ និងការប្រើប្រាស់គំរូវិភាគក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។
លទ្ធផលដែលទទួលបាននៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធនៃជំពូកទី 1 នឹងត្រូវបានប្រើជាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលភាគច្រើនជាគណិត និងរូបវិទ្យា។
ការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។
នៅពេលពិចារណាលើបញ្ហានៃការសាងសង់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ វាត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ថាប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអ័ក្សលេខដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ៖ អ័ក្សពីរត្រូវបានទាមទារនៅលើយន្តហោះមួយ បីនៅក្នុងលំហ។ នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសាងសង់គំរូវិភាគនៃវ៉ិចទ័រសេចក្តីផ្តើមនៃប្រតិបត្តិការនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនិងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហានៃមាតិកាធរណីមាត្រវាត្រូវបានបង្ហាញថាការប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណគឺចូលចិត្តបំផុត។
ប្រសិនបើយើងពិចារណាពីបញ្ហានៃការបំប្លែងប្រព័ន្ធកូអរដោណេជាក់លាក់មួយដោយអរូបី នោះក្នុងករណីទូទៅ គេអាចអនុញ្ញាតឱ្យមានចលនាតាមអំពើចិត្តក្នុងចន្លោះដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអ័ក្សកូអរដោនេជាមួយនឹងសិទ្ធិក្នុងការប្តូរឈ្មោះអ័ក្សដោយបំពាន។
យើងនឹងចាប់ផ្តើមពីគំនិតបឋម ប្រព័ន្ធយោង ទទួលយកក្នុងរូបវិទ្យា។ តាមរយៈការសង្កេតចលនារបស់សាកសព គេបានរកឃើញថា ចលនារបស់រាងកាយឯកោមិនអាចកំណត់ដោយខ្លួនវាបានទេ។ វាចាំបាច់ដើម្បីឱ្យមានរាងកាយយ៉ាងហោចណាស់មួយបន្ថែមទៀតដែលទាក់ទងទៅនឹងចលនាដែលត្រូវបានអង្កេត នោះគឺការផ្លាស់ប្តូររបស់វា។ សាច់ញាតិ បទប្បញ្ញត្តិ។ ដើម្បីទទួលបានគំរូវិភាគ ច្បាប់ ចលនាជាមួយនឹងតួទីពីរនេះ ក៏ដូចជាប្រព័ន្ធយោងមួយ ពួកគេបានភ្ជាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេ លើសពីនេះទៅទៀត តាមរបៀបដែលប្រព័ន្ធកូអរដោនេគឺ រឹង !
ដោយសារចលនាតាមអំពើចិត្តនៃតួរឹងពីចំណុចមួយក្នុងលំហទៅកន្លែងមួយទៀតអាចត្រូវបានតំណាងដោយចលនាឯករាជ្យពីរ៖ ការបកប្រែ និងការបង្វិល ជម្រើសសម្រាប់បំប្លែងប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រូវបានកំណត់ត្រឹមចលនាពីរ៖
១). ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល៖ យើងធ្វើតាមតែចំណុចមួយ - ចំណុច។
២). ការបង្វិលអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេអំពីចំណុច : ជាតួរឹង។
ការបំប្លែងកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian នៅលើយន្តហោះ.
អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានប្រព័ន្ធកូអរដោនេនៅលើយន្តហោះ៖ , និង . ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលត្រូវបានទទួលដោយការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលនៃប្រព័ន្ធ។ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលប្រព័ន្ធតាមមុំមួយ ហើយទិសដៅវិជ្ជមាននៃការបង្វិលត្រូវបានយកជាការបង្វិលអ័ក្សច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានសម្រាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានទទួលយក។ ដោយសារប្រព័ន្ធត្រូវបានទទួលដោយការផ្ទេរប្រព័ន្ធស្របគ្នា បន្ទាប់មកសម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងពីរនេះ យើងនឹងយកវ៉ិចទ័រជាមូលដ្ឋាន៖ លើសពីនេះ វ៉ិចទ័រឯកតា និងស្របគ្នាក្នុងទិសដៅជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ , រៀងគ្នា។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធ ជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន យើងនឹងយកវ៉ិចទ័រឯកតាដែលស្របគ្នាក្នុងទិសដៅជាមួយអ័ក្ស , .
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយចំនុច = កំណត់នៅក្នុងវា។ យើងនឹងសន្មតថាមុនពេលការប្រែក្លាយយើងមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេស្របគ្នានិង . ចូរអនុវត្តទៅប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលដែលកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ការបំប្លែងកូអរដោនេនៃចំណុច។ ចូរប្រើភាពស្មើគ្នាវ៉ិចទ័រ៖ = + , ឬ៖
ចូរយើងបង្ហាញការបំប្លែងការបកប្រែស្របគ្នាដោយឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីមួយនៅក្នុងពិជគណិតបឋម។
ឧទាហរណ៍ ឃ–1 ៖ សមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ = = . នាំយកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡានេះទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វា។
ដំណោះស្រាយ:
១). តោះប្រើបច្ចេកទេស ការជ្រើសរើសការ៉េពេញ : = ដែលអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយដូចជា: –3 = .
២). អនុវត្តការបំប្លែងកូអរដោនេ - ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល := ។ បន្ទាប់ពីនោះសមីការប៉ារ៉ាបូឡាយកទម្រង់៖ . ការបំប្លែងនៅក្នុងពិជគណិតនេះត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ ប៉ារ៉ាបូឡា = ទទួលបានដោយការប្តូរប៉ារ៉ាបូឡាសាមញ្ញបំផុតទៅខាងស្តាំដោយ 2 និងឡើង 3 ឯកតា។
ចម្លើយ៖ ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃប៉ារ៉ាបូឡា៖ .
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយចំនុច = កំណត់នៅក្នុងវា។ យើងនឹងសន្មតថាមុនពេលការប្រែក្លាយយើងមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេស្របគ្នានិង . យើងអនុវត្តការបំប្លែងការបង្វិលទៅប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដូច្នេះទាក់ទងទៅនឹងទីតាំងដើមរបស់វា ពោលគឺទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធ វាប្រែថាត្រូវបានបង្វិលតាមមុំមួយ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ការបំប្លែងកូអរដោនេនៃចំណុច = . ចូរសរសេរវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ និង : = . (2) =1. វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីនៃបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរដែលសមីការសាមញ្ញបំផុត (canonical!) នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានទទួល។
ចម្លើយ៖ ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ \u003d 1 - សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។
ប្រធានបទ 5. ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។
ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលហៅថាវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រើលេខដើម្បីបង្កើតទីតាំងនៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងតួលេខធរណីមាត្រមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍គឺប្រព័ន្ធកូអរដោណេនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ - អ័ក្សកូអរដោណេ និងប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ រៀងគ្នានៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។
ចូរយើងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេមួយ xy នៅលើយន្តហោះទៅប្រព័ន្ធមួយទៀត ពោលគឺឧ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលកូអរដោនេ Cartesian នៃចំណុចដូចគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធទាំងពីរនេះទាក់ទងគ្នា។
ពិចារណាជាមុនសិន ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណ xy ពោលគឺករណីនៅពេលដែលអ័ក្ស និងប្រព័ន្ធថ្មីស្របទៅនឹងអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា x និង y នៃប្រព័ន្ធចាស់ ហើយមានទិសដៅដូចគ្នាជាមួយពួកគេ។
ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃចំណុច M (x; y) និង (a; b) នៅក្នុងប្រព័ន្ធ xy ត្រូវបានគេដឹងនោះ (រូបភាពទី 15) នៅក្នុងប្រព័ន្ធចំនុច M មានកូអរដោនេ៖ .
អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែក OM នៃប្រវែង ρ បង្កើតមុំជាមួយអ័ក្ស និង . បន្ទាប់មក (រូបភាពទី 16) ជាមួយនឹងអ័ក្ស x ផ្នែក OM បង្កើតជាមុំមួយ ហើយកូអរដោនេនៃចំនុច M ក្នុងប្រព័ន្ធ xy គឺ 
, 
.
ដោយពិចារណាថានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេនៃចំណុច M គឺស្មើគ្នាហើយយើងទទួលបាន
នៅពេលបត់តាមមុំ "ទ្រនិចនាឡិកា" រៀងគ្នាយើងទទួលបាន: 
កិច្ចការ 0.54. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច M (-3; 7) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេថ្មី x / y / ប្រភពដើម 0 / ដែលស្ថិតនៅចំណុច (3; -4) ហើយអ័ក្សគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សនៃ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលចាស់ និងដឹកនាំស្មើៗគ្នាជាមួយពួកគេ។
ដំណោះស្រាយ. យើងជំនួសកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃចំណុច M និង O / ទៅក្នុងរូបមន្ត៖ x / = x-a, y / = y-b ។
យើងទទួលបាន៖ x / = -3-3=-6, y / = 7-(-4)=11 ។ ចម្លើយ: M / (-6; 11) ។
§២. គោលគំនិតនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ, ម៉ាទ្រីសរបស់វា។
ប្រសិនបើធាតុ x នៃសំណុំ X យោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន f ត្រូវគ្នានឹងធាតុមួយ និងតែមួយ y នៃសំណុំ Y នោះយើងនិយាយថា បង្ហាញ f នៃសំណុំ X ចូលទៅក្នុងសំណុំ Y ហើយសំណុំ X ត្រូវបានហៅ ដែននៃនិយមន័យផែនទី f . ប្រសិនបើជាពិសេសធាតុ x 0 н X ត្រូវគ្នានឹងធាតុ y 0 н Y នោះយើងសរសេរ y 0 = f (х 0) ។ ក្នុងករណីនេះធាតុនៅ 0 ត្រូវបានហៅ វិធីធាតុ x 0 និងធាតុ x 0 - គំរូធាតុនៅ 0 ។ សំណុំរង Y 0 នៃសំណុំ Y ដែលមានរូបភាពទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃតម្លៃផែនទី f ។
ប្រសិនបើនៅក្រោមការគូសវាស f ធាតុផ្សេងគ្នានៃសំណុំ X ត្រូវគ្នានឹងធាតុផ្សេងគ្នានៃសំណុំ Y នោះការគូសវាស f ត្រូវបានគេហៅថា អាចបញ្ច្រាស់បាន។.
ប្រសិនបើ Y 0 \u003d Y នោះការគូសវាស f ត្រូវបានគេហៅថាផែនទីនៃសំណុំ X នៅលើកំណត់ Y ។
ការគូសផែនទីបញ្ច្រាសនៃសំណុំ X ទៅលើសំណុំ Y ត្រូវបានគេហៅថា មួយទៅមួយ.
ករណីពិសេសនៃគោលគំនិតនៃការគូសផែនទីសំណុំទៅសំណុំមួយគឺជាគោលគំនិត មុខងារលេខនិងគំនិត ការបង្ហាញធរណីមាត្រ.
ប្រសិនបើការគូសវាស f ផែនទីទៅធាតុនីមួយៗនៃសំណុំ X ជាធាតុតែមួយគត់នៃសំណុំ X ដូចគ្នានោះ ការគូសផែនទីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរសំណុំ X ។
សូមឱ្យសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រនៃលំហលីនេអ៊ែរ L n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
ការបំប្លែង f នៃលំហលីនេអ៊ែរ n វិមាត្រ L n ត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរការផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើ
សម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយពី L n និងចំនួនពិត α និង β ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការបំប្លែងមួយត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រជាលីនេអ៊ែរចូលទៅក្នុងបន្សំលីនេអ៊ែរនៃរូបភាពរបស់ពួកគេ។ ជាមួយដូចគ្នា។មេគុណ។
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួន ហើយការបំប្លែង f គឺលីនេអ៊ែរ នោះតាមនិយមន័យ តើរូបភាពនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៅឯណា។
ដូច្នេះការបំលែងលីនេអ៊ែរគឺទាំងស្រុង បានកំណត់ប្រសិនបើរូបភាពនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃលំហលីនេអ៊ែរដែលបានពិចារណាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
(12)
ម៉ាទ្រីស 
ដែលជួរឈរ kth គឺជាជួរឈរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ 
នៅក្នុងមូលដ្ឋាន, ហៅថា ម៉ាទ្រីសលីនេអ៊ែរ ការផ្លាស់ប្តូរ f នៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។
កត្តាកំណត់ det L ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរ f ហើយ Rg L ត្រូវបានគេហៅថាចំណាត់ថ្នាក់នៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ f ។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរគឺមិន degenerate នោះការបំលែងខ្លួនវាក៏មិន degenerate ដែរ។ វាបំប្លែងពីមួយទៅមួយ លំហ L n ទៅក្នុងខ្លួនវា i.e. វ៉ិចទ័រនីមួយៗពី L n គឺជារូបភាពនៃវ៉ិចទ័រតែមួយគត់របស់វា។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរត្រូវបាន degenerate នោះការបំលែងខ្លួនវាគឺ degenerate ។ វាបំលែងលំហលីនេអ៊ែរ L n ទៅជាផ្នែកខ្លះរបស់វា។
ទ្រឹស្តីបទ។ជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ f ជាមួយម៉ាទ្រីស L ទៅវ៉ិចទ័រ 
លទ្ធផលគឺវ៉ិចទ័រ 
បែបនោះ។
លេខដែលសរសេរក្នុងតង្កៀបគឺជាកូអរដោណេរបស់វ៉ិចទ័រតាមមូលដ្ឋាន៖
|
តាមនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធ (13) អាចត្រូវបានជំនួសដោយម៉ាទ្រីស
សមភាព 
ដែលត្រូវបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។
1. ការលាតតាមអ័ក្ស x ដោយ k 1 ដង និងតាមបណ្តោយអ័ក្ស y ដោយ k 2 ដងនៅលើយន្តហោះ xy ត្រូវបានកំណត់ដោយម៉ាទ្រីស ហើយរូបមន្តបំប្លែងកូអរដោនេគឺ: x / = k 1 x; y / = k 2 y ។
2. ការឆ្លុះកញ្ចក់អំពីអ័ក្ស y នៅលើយន្តហោះ xy ត្រូវបានកំណត់ដោយម៉ាទ្រីស ហើយរូបមន្តបំប្លែងកូអរដោនេគឺ: x / = -x, y / = y ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian បំពានពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ ទីមួយត្រូវបានកំណត់ដោយប្រភពដើម O និងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ j ទីពីរ - មជ្ឈមណ្ឌល អំពី'និងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ ’ j ’ .
ចូរកំណត់គោលដៅដើម្បីបង្ហាញពីកូអរដោនេ x y នៃចំណុចមួយចំនួន M ទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេទីមួយតាមរយៈ x’ និង y’ គឺជាកូអរដោនេនៃចំណុចដូចគ្នាទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធទីពីរ។
បានកត់សម្គាល់ឃើញថា
ចូរសម្គាល់កូអរដោនេនៃចំណុច O' ទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធទីមួយជា a និង b៖
ចូរបំបែកវ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ ’ និង j ’ មូលដ្ឋាន ខ្ញុំ j :
(*)
លើសពីនេះទៀតយើងមាន៖ 
. យើងណែនាំនៅទីនេះការពង្រីកវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ
’
j
’
:
ពីទីនេះ 
យើងអាចសន្និដ្ឋានបាន៖ ប្រព័ន្ធ Cartesian បំពានណាមួយនៅលើយន្តហោះ កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធទីមួយគឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃកូអរដោនេនៃចំណុចដូចគ្នាទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធទីពីរ។
យើងគុណសមីការ (*) ដំបូងដោយ ខ្ញុំ បន្ទាប់មកនៅលើ j :
សម្គាល់ដោយ មុំរវាងវ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ និង ខ្ញុំ ’ . ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល ខ្ញុំ j អាចត្រូវបានផ្សំជាមួយប្រព័ន្ធ ខ្ញុំ ’ j ’ ដោយការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល និងការបង្វិលជាបន្តបន្ទាប់ដោយមុំ ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះជម្រើសធ្នូក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ: មុំរវាងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ ខ្ញុំ ’ ផងដែរ និងមុំរវាងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន j ’ j ’ ស្មើនឹង - ។ ប្រព័ន្ធទាំងនេះមិនអាចរួមបញ្ចូលជាមួយការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល និងការបង្វិលបានទេ។ អ្នកក៏ត្រូវផ្លាស់ប្តូរទិសដៅនៃអ័ក្សផងដែរ។ នៅទៅផ្ទុយ។
ពីរូបមន្ត (**) យើងទទួលបាននៅក្នុងករណីទីមួយ៖
ក្នុងករណីទីពីរ
រូបមន្តបំប្លែងគឺ៖
យើងនឹងមិនពិចារណាករណីទីពីរទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របថាប្រព័ន្ធទាំងពីរគឺត្រឹមត្រូវ។
ទាំងនោះ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ មិនថាប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រឹមត្រូវទាំងពីរជាអ្វីនោះទេ ទីមួយនៃពួកវាអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយទីពីរដោយការបកប្រែស្របគ្នា និងការបង្វិលជាបន្តបន្ទាប់ជុំវិញប្រភពដើមដោយមុំមួយចំនួន ។
រូបមន្តផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល៖ 
រូបមន្តបង្វិលអ័ក្ស៖ 
ការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាស៖
ការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian នៅក្នុងលំហ។
នៅក្នុងលំហ ហេតុផលក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នា យើងអាចសរសេរបាន៖
(***)
ហើយសម្រាប់កូអរដោនេទទួលបាន៖
(****)
ដូច្នេះ អ្វីក៏ដោយ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេតាមអំពើចិត្តពីរនៅក្នុងលំហ កូអរដោនេ x y z នៃចំណុចមួយចំនួនទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធទីមួយ គឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃកូអរដោនេ។ x’ y’ z’ ចំណុចដូចគ្នាទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេទីពីរ។
គុណនៃសមភាពនីមួយៗ (***) ធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយ ខ្ញុំ ’ j ’ k ’ យើងទទួលបាន:
IN 
ចូរយើងបញ្ជាក់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃរូបមន្តបំប្លែង (****)។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សន្មតថាប្រព័ន្ធទាំងពីរមានប្រភពដើមទូទៅ៖ ក
=
ខ
=
គ
= 0
.
ចូរយើងណែនាំទៅក្នុងការពិចារណានូវមុំបីដែលកំណត់លក្ខណៈទាំងស្រុងនៃទីតាំងនៃអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធទីពីរទាក់ទងទៅនឹងទីមួយ។
មុំទីមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអ័ក្ស x និងអ័ក្ស u ដែលជាចំនុចប្រសព្វនៃប្លង់ xOy និង x'Oy' ។ ទិសដៅនៃមុំគឺជាវេនខ្លីបំផុតពីអ័ក្ស x ទៅ y ។ ចូរសម្គាល់មុំជា ។ មុំទីពីរ គឺជាមុំរវាងអ័ក្ស Oz និង Oz' មិនលើសពី ។ ទីបំផុតមុំទីបី គឺជាមុំរវាងអ័ក្ស u និង Ox' ដែលវាស់ពីអ័ក្ស u ក្នុងទិសដៅនៃវេនខ្លីបំផុតពី Ox' ទៅ Oy' ។ មុំទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាមុំអយល័រ។
ការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធទីមួយទៅជាទីពីរអាចត្រូវបានតំណាងជាបន្តបន្ទាប់នៃការបង្វិលបី: តាមរយៈមុំ ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សអូហ្ស; នៅមុំមួយ ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សអុក; ហើយនៅមុំមួយ ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស Oz ។
លេខ ij អាចបង្ហាញជាមុំអយល័រ។ យើងនឹងមិនសរសេររូបមន្តទាំងនេះទេ ដោយសារភាពលំបាករបស់វា។
ការបំប្លែងខ្លួនវាផ្ទាល់គឺជា superposition នៃការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល និងការបង្វិលមុំអយល័របីជាបន្តបន្ទាប់។
ការពិចារណាទាំងអស់នេះក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធទាំងពីរត្រូវបានចាកចេញ ឬមានទិសដៅផ្សេងគ្នា។
ប្រសិនបើយើងមានប្រព័ន្ធបំពានពីរ នោះជាទូទៅគេអាចបញ្ចូលគ្នាដោយការបកប្រែស្របគ្នា និងការបង្វិលមួយក្នុងលំហជុំវិញអ័ក្សមួយចំនួន។ យើងនឹងមិនស្វែងរកនាងទេ។
1) ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Cartesian មួយនៅក្នុងយន្តហោះទៅប្រព័ន្ធចតុកោណ Cartesian មួយផ្សេងទៀតដែលមានទិសដូចគ្នា និងប្រភពដើមដូចគ្នា។
ចូរយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ពីរត្រូវបានណែនាំនៅលើយន្តហោះ ហូនិងជាមួយប្រភពដើមទូទៅ អំពីមានទិសដៅដូចគ្នា (រូបភាព 145) ។ ចូរយើងកំណត់វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស អូនិង អូរៀងគ្នាតាមរយៈ និង និងវ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស និងតាមរយៈ និង . ទីបំផុតអនុញ្ញាតឱ្យ - មុំពីអ័ក្ស អូរហូតដល់អ័ក្ស។ អនុញ្ញាតឱ្យ Xនិង នៅ- កូអរដោនេនៃចំណុចបំពាន មនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូនិង និងជាកូអរដោនេនៃចំណុចដូចគ្នា។ មនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។
ចាប់តាំងពីមុំពីអ័ក្ស អូដល់វ៉ិចទ័រគឺ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ
មុំបិទអ័ក្ស អូរហូតដល់វ៉ិចទ័រគឺ; ដូច្នេះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺ .
រូបមន្ត (3) § 97 យកទម្រង់
ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសពី Cartesian មួយ។ ហូប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងទៅប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយផ្សេងទៀតដែលមានទិសដូចគ្នាគឺ
ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើផលបូកនៃការ៉េនៃធាតុដែលមាននៅក្នុងជួរឈរនីមួយៗគឺស្មើនឹង 1 ហើយផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរឈរផ្សេងគ្នាគឺស្មើនឹងសូន្យពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើ
ដូច្នេះម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ (2) ពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយទៅប្រព័ន្ធចតុកោណមួយទៀតដែលមានទិសដូចគ្នាគឺអ័រតូហ្គោន។ ចំណាំផងដែរថាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺ +1៖
ផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសរាងពងក្រពើ (3) ដែលមានកត្តាកំណត់ស្មើនឹង +1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានណែនាំនៅលើយន្តហោះ។ ហូបន្ទាប់មក ដោយគុណធម៌នៃទំនាក់ទំនង (4) វ៉ិចទ័រ និងជាឯកតា និងកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក ដូច្នេះ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូគឺស្មើនឹង និង មុំពីវ៉ិចទ័រទៅវ៉ិចទ័រ ហើយដោយសារវ៉ិចទ័រជាឯកតា ហើយយើងទទួលបានពីវ៉ិចទ័រដោយងាកទៅ , បន្ទាប់មក ឬ .
លទ្ធភាពទីពីរត្រូវបានច្រានចោល ចាប់តាំងពីប្រសិនបើយើងមាន នោះយើងត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យនោះ។
ដូច្នេះនិងម៉ាទ្រីស កមានទម្រង់
ទាំងនោះ។ គឺជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយ។ ហូទៅប្រព័ន្ធចតុកោណមួយផ្សេងទៀតដែលមានទិសដូចគ្នាជាមួយមុំ។
2. ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Cartesian មួយនៅលើយន្តហោះទៅប្រព័ន្ធចតុកោណ Cartesian មួយផ្សេងទៀតដែលមានទិសផ្ទុយ និងមានប្រភពដើមដូចគ្នា។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ពីរត្រូវបានណែនាំនៅលើយន្តហោះ ហូនិងជាមួយប្រភពដើមទូទៅ អំពីប៉ុន្តែមានទិសផ្ទុយ សម្គាល់មុំពីអ័ក្ស អូទៅអ័ក្សឆ្លងកាត់ (ការតំរង់ទិសនៃយន្តហោះនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយប្រព័ន្ធ ហូ).
ចាប់តាំងពីមុំពីអ័ក្ស អូដល់វ៉ិចទ័រគឺ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺ៖
ឥឡូវនេះមុំពីវ៉ិចទ័រទៅវ៉ិចទ័រគឺ (រូបភាព 146) ដូច្នេះមុំពីអ័ក្ស អូរហូតដល់វ៉ិចទ័រគឺស្មើគ្នា (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Chall សម្រាប់មុំ) ហើយដូច្នេះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើគ្នា៖
ហើយរូបមន្ត (3) § 97 យកទម្រង់
ម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ
orthogonal ប៉ុន្តែកត្តាកំណត់របស់វាគឺ -1 ។ (7)
ផ្ទុយទៅវិញ ម៉ាទ្រីសរាងពងក្រពើណាមួយដែលមានកត្តាកំណត់ស្មើនឹង -1 បញ្ជាក់ពីការបំប្លែងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណកែងមួយនៅលើយន្តហោះទៅជាប្រព័ន្ធចតុកោណមួយទៀតដែលមានប្រភពដើមដូចគ្នា ប៉ុន្តែទិសផ្ទុយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ពីរ ហូហើយមានការចាប់ផ្តើមធម្មតាបន្ទាប់មក
កន្លែងណា X, នៅ- កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូ; និងជាកូអរដោនេនៃចំណុចដូចគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធ និង
ម៉ាទ្រីស orthogonal
ផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើ
ម៉ាទ្រីស orthogonal បំពាន បន្ទាប់មកដោយទំនាក់ទំនង
បង្ហាញពីការបំប្លែងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ទៅជាចតុកោណ Cartesian ប្រព័ន្ធ ជាមួយនឹងប្រភពដើមដូចគ្នា; - កូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូវ៉ិចទ័រឯកតាដែលផ្តល់ទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន ; - កូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូវ៉ិចទ័រឯកតាដែលផ្តល់ទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន។
ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល ហូហើយមានទិសដៅដូចគ្នា ហើយក្នុងករណី - ផ្ទុយ។
3. ការបំប្លែងទូទៅនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian មួយនៅលើយន្តហោះទៅជាប្រព័ន្ធចតុកោណមួយទៀត។
ដោយផ្អែកលើចំណុច 1) និង 2) នៃកថាខណ្ឌនេះ ក៏ដូចជានៅលើមូលដ្ឋាននៃ§ 96 យើងសន្និដ្ឋានថាប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណត្រូវបានណែនាំនៅលើយន្តហោះ។ ហូហើយបន្ទាប់មកកូអរដោនេ Xនិង នៅចំណុចបំពាន មយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូជាមួយនឹងកូអរដោនេនៃចំណុចដូចគ្នា។ មនៅក្នុងប្រព័ន្ធត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង - កូអរដោនេនៃប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហូ.
ចំណាំថាកូអរដោនេចាស់និងថ្មី។ X, នៅនិង , វ៉ិចទ័រនៅក្រោមការបំប្លែងទូទៅនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ ហូហើយមានទិសដៅ និងទំនាក់ទំនងដូចគ្នា។
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធទាំងនេះមានទិសដៅផ្ទុយ ឬក្នុងទម្រង់
ម៉ាទ្រីស orthogonal ការផ្លាស់ប្តូរ (10) និង (11) ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ។
