ការអនុវត្តនៃការសិក្សាបាតុភូតចៃដន្យបង្ហាញថា ទោះបីជាលទ្ធផលនៃការសង្កេតបុគ្គល សូម្បីតែសកម្មភាពដែលធ្វើឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នាអាចខុសគ្នាខ្លាំងក៏ដោយ ក្នុងពេលតែមួយ លទ្ធផលជាមធ្យមសម្រាប់ការសង្កេតមួយចំនួនធំមានស្ថេរភាព និងខ្សោយអាស្រ័យលើ លទ្ធផលនៃការសង្កេតបុគ្គល។

មូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃបាតុភូតចៃដន្យនេះគឺ ច្បាប់នៃចំនួនធំ. ឈ្មោះ "ច្បាប់នៃចំនួនធំ" រួមបញ្ចូលគ្នានូវទ្រឹស្តីបទមួយក្រុមដែលបង្កើតស្ថេរភាពនៃលទ្ធផលជាមធ្យមនៃបាតុភូតចៃដន្យមួយចំនួនធំ និងពន្យល់ពីហេតុផលសម្រាប់ស្ថេរភាពនេះ។

ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃច្បាប់នៃចំនួនធំ និងជាប្រវត្តិសាស្ត្រទ្រឹស្តីបទដំបូងនៃផ្នែកនេះគឺ ទ្រឹស្តីបទ Bernoulliដែលចែងថា ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺដូចគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងទាំងអស់ នោះនៅពេលដែលចំនួននៃការសាកល្បងកើនឡើង ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍មានទំនោរទៅរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ហើយឈប់ជាចៃដន្យ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Poisson ចែងថា ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងស៊េរីនៃការសាកល្បងឯករាជ្យមានទំនោរទៅរកមធ្យមនព្វន្ធនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា ហើយឈប់ជាចៃដន្យ។

ទ្រឹស្តីបទកំណត់នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ, ទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplaceពន្យល់ពីធម្មជាតិនៃស្ថេរភាពនៃប្រេកង់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ធម្មជាតិនេះស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាការចែកចាយកម្រិតនៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួននៃការសាកល្បង (ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺដូចគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងទាំងអស់) គឺ ការចែកចាយធម្មតា។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលពន្យល់ពីការរីករាលដាល ច្បាប់ធម្មតា។ការចែកចាយ។ ទ្រឹស្តីបទចែងថានៅពេលណាដែលអថេរចៃដន្យត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមអថេរចៃដន្យឯករាជ្យមួយចំនួនធំជាមួយនឹងការប្រែប្រួលកំណត់ ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យនេះប្រែជាអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ធម្មតា។តាមច្បាប់។

ទ្រឹស្ដី​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ជូន​ខាង​ក្រោម​មាន​ចំណង​ជើង​ថា " ច្បាប់នៃលេខធំ" ចែងថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទូទៅដោយស្មើភាពជាក់លាក់ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនអថេរចៃដន្យ មធ្យមនព្វន្ធរបស់ពួកគេមានទំនោរទៅរកមធ្យមនព្វន្ធនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ហើយឈប់ជាចៃដន្យ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Lyapunov ពន្យល់ពីការរីករាលដាល ច្បាប់ធម្មតា។ការចែកចាយ និងពន្យល់ពីយន្តការនៃការបង្កើតរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ថានៅពេលណាដែលអថេរចៃដន្យត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ វ៉ារ្យ៉ង់ដែលមានទំហំតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងវ៉ារ្យង់នៃផលបូក ច្បាប់ចែកចាយនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរចៃដន្យនេះ ចេញដើម្បីអនុវត្ត ធម្មតា។តាមច្បាប់។ ហើយចាប់តាំងពីអថេរចៃដន្យតែងតែត្រូវបានបង្កើតដោយចំនួនមិនកំណត់នៃមូលហេតុ ហើយភាគច្រើនមិនមានការបែកខ្ញែកដែលអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង អថេរចៃដន្យភាគច្រើនដែលបានជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តគឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍គុណភាពនិងបរិមាណនៃច្បាប់នៃចំនួនធំគឺផ្អែកលើ វិសមភាព Chebyshev. វាកំណត់ព្រំដែនខាងលើលើប្រូបាប៊ីលីតេដែលគម្លាតនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វាគឺធំជាងចំនួនជាក់លាក់ជាក់លាក់មួយ។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាវិសមភាពរបស់ Chebyshev ផ្តល់នូវការប៉ាន់ប្រមាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យដែលការចែកចាយមិនស្គាល់ មានតែការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យារបស់វាប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដឹង។

វិសមភាពរបស់ Chebyshev ។ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ x មានបំរែបំរួល នោះសម្រាប់ e > 0 វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ , កន្លែងណា ម x និង ឃ x - ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានិងភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ x ។

ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ។សូមឱ្យ m n ជាចំនួនជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនៅ Bernoulli និង p ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងបុគ្គល។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ e > 0 វាជាការពិត .

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល។ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ x 1 , x 2 , … , x n , … គឺឯករាជ្យជាគូ ចែកចាយដូចគ្នាបេះបិទ និងមានបំរែបំរួលកំណត់ នោះសម្រាប់ n ® ស្មើភាពគ្នាក្នុង x (- ,)

តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អាថ៌កំបាំង​របស់​អ្នក​លក់​ដែល​ជោគជ័យ? ប្រសិនបើអ្នកសង្កេតមើលអ្នកលក់ល្អបំផុតនៅក្នុងក្រុមហ៊ុនណាមួយ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថាពួកគេមានរឿងមួយដូចគ្នា។ ពួកគេម្នាក់ៗជួបជាមួយមនុស្សកាន់តែច្រើន និងធ្វើបទបង្ហាញច្រើនជាងអ្នកលក់ដែលមិនសូវជោគជ័យ។ មនុស្សទាំងនេះយល់ថាការលក់គឺជាល្បែងលេខ ហើយមនុស្សកាន់តែច្រើនដែលពួកគេប្រាប់អំពីផលិតផល ឬសេវាកម្មរបស់ពួកគេ កិច្ចព្រមព្រៀងកាន់តែច្រើនពួកគេនឹងបិទ - នោះហើយជាទាំងអស់។ ពួកគេយល់ថា ប្រសិនបើពួកគេប្រាស្រ័យទាក់ទងមិនត្រឹមតែជាមួយមនុស្សតិចតួចទេ ដែលប្រាកដជានឹងឆ្លើយថាបាទ/ចាសចំពោះពួកគេ ប៉ុន្តែក៏ជាមួយអ្នកដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍លើការផ្តល់ជូនរបស់ពួកគេមិនសូវអស្ចារ្យ នោះច្បាប់ជាមធ្យមនឹងដំណើរការតាមការពេញចិត្តរបស់ពួកគេ។

ប្រាក់ចំណូលរបស់អ្នកនឹងអាស្រ័យលើចំនួននៃការលក់ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយ វានឹងសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងចំនួនបទបង្ហាញដែលអ្នកបានធ្វើ។ នៅពេលដែលអ្នកយល់ និងអនុវត្តច្បាប់ជាមធ្យម ការថប់បារម្ភដែលទាក់ទងនឹងការចាប់ផ្តើមអាជីវកម្មថ្មី ឬធ្វើការក្នុងវិស័យថ្មីនឹងចាប់ផ្តើមថយចុះ។ ជាលទ្ធផល អារម្មណ៍នៃការគ្រប់គ្រង និងទំនុកចិត្តលើសមត្ថភាពរបស់អ្នកក្នុងការរកប្រាក់នឹងចាប់ផ្តើមកើនឡើង។ ប្រសិនបើអ្នកគ្រាន់តែធ្វើបទបង្ហាញ និងពង្រឹងជំនាញរបស់អ្នកក្នុងដំណើរការ នោះកិច្ចព្រមព្រៀងនឹងមកដល់។

ជំនួសឱ្យការគិតអំពីចំនួននៃកិច្ចព្រមព្រៀង ចូរគិតឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីចំនួននៃការបង្ហាញ។ វាគ្មានន័យទេក្នុងការភ្ញាក់ពីគេងពេលព្រឹក ឬត្រលប់មកផ្ទះវិញនៅពេលល្ងាច ហើយឆ្ងល់ថាតើអ្នកណានឹងទិញផលិតផលរបស់អ្នក? ផ្ទុយទៅវិញ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការរៀបចំផែនការថាតើអ្នកត្រូវការការហៅទូរសព្ទប៉ុន្មានដងក្នុងមួយថ្ងៃ។ ហើយបន្ទាប់មកមិនថាមានអ្វីទេ - ធ្វើការហៅទូរស័ព្ទទាំងអស់នេះ! វិធីសាស្រ្តនេះនឹងធ្វើឱ្យការងាររបស់អ្នកកាន់តែងាយស្រួល - ដោយសារតែវាជាគោលដៅសាមញ្ញ និងជាក់លាក់។ ប្រសិនបើអ្នកដឹងថាអ្នកមានគោលដៅជាក់លាក់ និងអាចសម្រេចបាន វានឹងកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការធ្វើការហៅតាមចំនួនដែលបានគ្រោងទុក។ ប្រសិនបើអ្នកឮ "បាទ" ពីរបីដងក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការនេះ កាន់តែល្អ!

ហើយប្រសិនបើ "ទេ" នោះនៅពេលល្ងាច អ្នកនឹងមានអារម្មណ៍ថា អ្នកបានធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយស្មោះត្រង់ ហើយអ្នកនឹងមិនត្រូវបានរងទុក្ខដោយសារគំនិតនៃចំនួនប្រាក់ដែលអ្នករកបាន ឬចំនួនដៃគូដែលអ្នកទទួលបានក្នុងមួយថ្ងៃ។

ចូរនិយាយថានៅក្នុងក្រុមហ៊ុន ឬអាជីវកម្មរបស់អ្នក អ្នកលក់ជាមធ្យមបិទកិច្ចព្រមព្រៀងមួយក្នុងមួយបទបង្ហាញចំនួនបួន។ ឥឡូវស្រមៃថាអ្នកកំពុងគូរសន្លឹកបៀពីតុ។ សន្លឹកបៀនីមួយៗនៃឈុតទាំងបី - spades, ពេជ្រ និងក្លឹប - គឺជាបទបង្ហាញដែលអ្នកបង្ហាញផលិតផល សេវាកម្ម ឬឱកាសប្រកបដោយវិជ្ជាជីវៈ។ អ្នកធ្វើវាបានល្អតាមដែលអ្នកអាចធ្វើបាន ប៉ុន្តែអ្នកនៅតែមិនបិទកិច្ចព្រមព្រៀង។ ហើយប័ណ្ណបេះដូងនីមួយៗគឺជាកិច្ចព្រមព្រៀងដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានប្រាក់ឬទទួលបានដៃគូថ្មី។

ក្នុង​ស្ថានភាព​បែប​នេះ អ្នក​មិន​ចង់​គូរ​សន្លឹក​បៀ​ឲ្យ​បាន​ច្រើន​តាម​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ទេ? ចូរនិយាយថាអ្នកត្រូវបានផ្តល់ជូនដើម្បីគូរសន្លឹកបៀជាច្រើនតាមដែលអ្នកចង់បាន ខណៈពេលដែលអ្នកកំពុងបង់ប្រាក់ ឬផ្តល់ដៃគូថ្មីរាល់ពេលដែលអ្នកគូរកាតបេះដូង។ អ្នក​នឹង​ចាប់​ផ្ដើម​គូរ​សន្លឹក​បៀ​ដោយ​រីករាយ ដោយ​មិន​បាន​កត់​សម្គាល់​ថា​អ្វី​ដែល​ស័ក្តិសម​នឹង​កាត​ដែល​អ្នក​ទើប​តែ​ដក​ចេញ។

អ្នកដឹងថានៅក្នុងសន្លឹកបៀហាសិបពីរសន្លឹកមានបេះដូងដប់បី។ ហើយនៅក្នុងពីរជាន់មានសន្លឹកបៀបេះដូងម្ភៃប្រាំមួយ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តើ​អ្នក​នឹង​ខក​ចិត្ត​នៅ​ពេល​ដែល​អ្នក​គូរ spades, ពេជ្រ ឬ​ក្លឹប? ជាការពិតណាស់មិនមែនទេ! អ្នកនឹងគិតថា "នឹក" នីមួយៗនាំឱ្យអ្នកខិតទៅជិតអ្វី? ទៅកាតបេះដូង!

ប៉ុន្តែ​អ្នក​ដឹង​អ្វី​ទេ? អ្នកបានទទួលការផ្តល់ជូនបែបនេះរួចហើយ។ អ្នកស្ថិតក្នុងទីតាំងពិសេសមួយដើម្បីរកប្រាក់បានច្រើនតាមដែលអ្នកចង់បាន ហើយគូរបេះដូងឱ្យបានច្រើនតាមដែលអ្នកចង់គូរក្នុងជីវិតរបស់អ្នក។ ហើយប្រសិនបើអ្នកគ្រាន់តែ "គូរសន្លឹកបៀ" ប្រកបដោយមនសិការ បង្កើនជំនាញរបស់អ្នក និងស៊ូទ្រាំនឹងការប៉ាន់បន្តិចបន្តួច ពេជ្រ និងក្លឹប នោះអ្នកនឹងក្លាយជាអ្នកលក់ដ៏ពូកែម្នាក់ និងទទួលបានភាពជោគជ័យ។

រឿងមួយដែលធ្វើឱ្យការលក់មានភាពសប្បាយរីករាយនោះគឺថារាល់ពេលដែលអ្នកសាប់បន្ទះ សន្លឹកបៀត្រូវបានសាប់ខុសៗគ្នា។ ពេលខ្លះដួងចិត្តទាំងអស់ត្រូវបញ្ចប់នៅដើមដំបូងនៃនាវា ហើយបន្ទាប់ពីសំណាងមួយ (នៅពេលដែលវាហាក់ដូចជាយើងថាយើងនឹងមិនបាត់បង់ទេ!) សន្លឹកបៀដ៏វែងនៃឈុតផ្សេងគ្នាកំពុងរង់ចាំយើង។ និងពេលផ្សេងទៀត ដើម្បីទៅដល់បេះដូងដំបូង អ្នកត្រូវឆ្លងកាត់ចំនួនដ៏ច្រើនមិនចេះចប់នៃ spades, clubs និងពេជ្រ។ ហើយជួនកាលសន្លឹកបៀនៃឈុតផ្សេងៗគ្នាលេចឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់លំដោយ។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីណាក៏ដោយ ក្នុងគ្រប់សន្លឹកបៀហាសិបពីរសន្លឹក តាមលំដាប់លំដោយ តែងតែមានដួងចិត្តដប់បី។ គ្រាន់តែដកកាតចេញរហូតទាល់តែអ្នករកឃើញ។

ពី៖ Leylya,  

ពាក្យអំពីចំនួនធំសំដៅទៅលើចំនួននៃការធ្វើតេស្ត - មួយចំនួនធំនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ ឬឥទ្ធិពលនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានពិចារណា។ ខ្លឹមសារនៃច្បាប់នេះមានដូចខាងក្រោម៖ ទោះបីជាវាមិនអាចទស្សន៍ទាយបានថាតើតម្លៃណាដែលអថេរចៃដន្យបុគ្គលនឹងធ្វើនៅក្នុងការពិសោធន៍តែមួយក៏ដោយ លទ្ធផលសរុបនៃសកម្មភាពនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យមួយចំនួនធំបាត់បង់លក្ខណៈចៃដន្យរបស់វា ហើយអាច ត្រូវបានព្យាករណ៍ស្ទើរតែគួរឱ្យទុកចិត្ត (ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់) ។ ជាឧទាហរណ៍ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទស្សន៍ទាយថាតើកាក់មួយណានឹងចុះមក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកបោះកាក់ 2 តោន នោះដោយទំនុកចិត្តដ៏អស្ចារ្យ យើងអាចនិយាយបានថា ទម្ងន់នៃកាក់ដែលធ្លាក់ជាមួយនឹងអាវធំគឺស្មើនឹង 1 តោន។

ច្បាប់នៃចំនួនធំសំដៅលើអ្វីដែលគេហៅថាវិសមភាព Chebyshev ដែលប៉ាន់ស្មានក្នុងការធ្វើតេស្តតែមួយអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដែលទទួលយកតម្លៃដែលខុសពីតម្លៃមធ្យមដោយមិនលើសពីតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វិសមភាពរបស់ Chebyshev. អនុញ្ញាតឱ្យ X- អថេរចៃដន្យដោយបំពាន, a=M(X) , ក ឃ(X) - ភាពខុសគ្នារបស់វា។ បន្ទាប់មក

ឧទាហរណ៍. តម្លៃបន្ទាប់បន្សំ (ឧ. ទាមទារ) នៃអង្កត់ផ្ចិតនៃដៃអាវបើកម៉ាស៊ីនគឺស្មើនឹង 5 ម។ហើយការបែកខ្ញែកលែងមានទៀតហើយ 0.01 (នេះគឺជាការអត់ធ្មត់ភាពត្រឹមត្រូវរបស់ម៉ាស៊ីន) ។ ប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងអំឡុងពេលនៃការផលិត Bushing គម្លាតនៃអង្កត់ផ្ចិតរបស់វាពីបន្ទាប់បន្សំនឹងតិចជាង 0.5 ម។ .

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ r.v. X- អង្កត់ផ្ចិតនៃធុងដែលផលិត។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតបន្ទាប់បន្សំ (ប្រសិនបើមិនមានការបរាជ័យជាប្រព័ន្ធនៅក្នុងការកំណត់ម៉ាស៊ីន): a=M(X)=5 , និងការបែកខ្ញែក ឃ(X)≤0.01. ការអនុវត្តវិសមភាពរបស់ Chebyshev នៅ ε = 0.5, យើង​ទទួល​បាន:

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតបែបនេះគឺខ្ពស់ណាស់ ដូច្នេះហើយយើងអាចសន្និដ្ឋានថាជាមួយនឹងការផលិតតែមួយនៃផ្នែកមួយ វាស្ទើរតែប្រាកដណាស់ថាគម្លាតនៃអង្កត់ផ្ចិតពីផ្នែកបន្ទាប់បន្សំនឹងមិនលើសពី 0.5 ម។ .

នៅក្នុងអត្ថន័យរបស់វា គម្លាតស្តង់ដារ σ លក្ខណៈ មធ្យមគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យមួយពីចំណុចកណ្តាលរបស់វា (ឧ. ពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា)។ ដោយសារតែនេះ។ មធ្យមគម្លាតបន្ទាប់មកក្នុងអំឡុងពេលធ្វើតេស្តធំ (ការសង្កត់ធ្ងន់លើ o) គម្លាតអាចធ្វើទៅបាន។ តើគម្លាតធំប៉ុនណាដែលអាចធ្វើទៅបាន? នៅពេលសិក្សាអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា យើងបានទាញយកច្បាប់ "បី sigma"៖ អថេរចៃដន្យចែកចាយជាធម្មតា X នៅក្នុងការធ្វើតេស្តតែមួយជាក់ស្តែងមិនងាកចេញពីមធ្យមភាគរបស់វាលើសពី 3 ស, កន្លែងណា σ= σ(X)- គម្លាតស្តង់ដារនៃ r.v. X. យើងទទួលបានច្បាប់នេះពីការពិតដែលថាយើងទទួលបានវិសមភាព

.

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ឱ្យ​យើង​ប៉ាន់​ប្រមាណ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​សម្រាប់​ បំពានអថេរចៃដន្យ Xទទួលយកតម្លៃដែលខុសពីមធ្យម ដោយមិនលើសពីបីដងនៃគម្លាតស្តង់ដារ។ ការអនុវត្តវិសមភាពរបស់ Chebyshev នៅ ε = 3 សហើយបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ ឃ(Х) = σ 2 , យើង​ទទួល​បាន:

.

ដូច្នេះ ជាទូទៅយើង​អាច​ប៉ាន់ស្មាន​ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដែល​ខុស​ពី​មធ្យម​របស់​វា​ដោយ​មិន​លើស​ពី​គម្លាត​ស្តង់ដារ​បី​តាម​ចំនួន 0.89 ខណៈពេលដែលសម្រាប់ការចែកចាយធម្មតា វាអាចត្រូវបានធានាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 0.997 .

វិសមភាពរបស់ Chebyshev អាចត្រូវបានធ្វើឱ្យទូទៅទៅជាប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យចែកចាយដោយឯករាជ្យ។

វិសមភាព Chebyshev ទូទៅ. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ X 1 , X 2 , … , X ន ម(X ខ្ញុំ )= កនិងភាពខុសគ្នា ឃ(X ខ្ញុំ )= ឃ, នោះ។

នៅ ន=1 វិសមភាពនេះប្រែទៅជាវិសមភាព Chebyshev ដែលបានបង្កើតឡើងខាងលើ។

វិសមភាពរបស់ Chebyshev ដែលមានសារៈសំខាន់ឯករាជ្យសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវគ្នា ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់នូវអ្វីដែលហៅថាទ្រឹស្តីបទ Chebyshev ។ ដំបូងយើងនឹងនិយាយអំពីខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទនេះ ហើយបន្ទាប់មកផ្តល់នូវទម្រង់បែបបទជាផ្លូវការរបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យ X 1 , X 2 , … , X ន- មួយចំនួនធំនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M(X 1 ) = ក 1 , … , M(X ន ) = ក ន. ទោះបីជាពួកវានីមួយៗ ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ អាចយកតម្លៃនៅឆ្ងាយពីមធ្យមរបស់វា (ឧ. ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា) យ៉ាងណាក៏ដោយ អថេរចៃដន្យ
ដែលស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធរបស់ពួកគេ ទំនងជានឹងយកតម្លៃជិតទៅនឹងចំនួនថេរ
(នេះគឺជាមធ្យមភាគនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាទាំងអស់)។ នេះមានន័យថាដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ, ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត, អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ X 1 , X 2 , … , X ន(មានពួកគេជាច្រើន!) បានយកតម្លៃ X 1 , X 2 , … , X នរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើតម្លៃទាំងនេះខ្លួនឯងអាចប្រែទៅជាឆ្ងាយពីតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យដែលត្រូវគ្នានោះ តម្លៃមធ្យមរបស់ពួកគេ
ភាគច្រើនទំនងជាជិតនឹងលេខ
. ដូច្នេះ មធ្យមនព្វន្ធនៃអថេរចៃដន្យមួយចំនួនធំបានបាត់បង់តួអក្សរចៃដន្យរបស់វារួចហើយ ហើយអាចត្រូវបានព្យាករណ៍ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដ៏អស្ចារ្យ។ នេះអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាគម្លាតចៃដន្យនៃតម្លៃ X ខ្ញុំពី ក ខ្ញុំប្រហែលជាមានសញ្ញាផ្សេងៗគ្នា ដូច្នេះហើយសរុបមក គម្លាតទាំងនេះទំនងជាត្រូវបានផ្តល់សំណង។

Terema Chebyshev (ច្បាប់នៃចំនួនធំនៅក្នុងទម្រង់ Chebyshev) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ X 1 , X 2 , … , X ន … - លំដាប់នៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យជាគូ ដែលការប្រែប្រួលត្រូវបានកំណត់ត្រឹមលេខដូចគ្នា។ បន្ទាប់មក មិនថាលេខ ε តូចប៉ុនណាដែលយើងយក ប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាព

នឹងនៅជិតមួយតាមការចង់បានប្រសិនបើលេខ នយកអថេរចៃដន្យធំល្មម។ ជាផ្លូវការនេះមានន័យថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ

ប្រភេទនៃការបញ្ចូលគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថា convergence ដោយប្រូបាប៊ីលីតេ ហើយត្រូវបានតំណាងថា:

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទរបស់ Chebyshev និយាយថាប្រសិនបើមានអថេរចៃដន្យឯករាជ្យមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ នោះមធ្យមនព្វន្ធរបស់ពួកគេនៅក្នុងការធ្វើតេស្តតែមួយនឹងស្ទើរតែអាចទុកចិត្តបានលើតម្លៃដែលជិតនឹងមធ្យមនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ទ្រឹស្តីបទរបស់ Chebyshev ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងស្ថានភាពដែលអថេរចៃដន្យ X 1 , X 2 , … , X ន … មានការចែកចាយដូចគ្នា (ឧ. ច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នា ឬដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា)។ តាមពិតទៅ វាគ្រាន់តែជាករណីមួយចំនួនធំនៃអថេរចៃដន្យដូចគ្នា។

ផលវិបាក(វិសមភាព Chebyshev ទូទៅ) ។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ X 1 , X 2 , … , X ន … មានការចែកចាយដូចគ្នាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ម(X ខ្ញុំ )= កនិងភាពខុសគ្នា ឃ(X ខ្ញុំ )= ឃ, នោះ។

, i.e.
.

ភ័ស្តុតាងកើតឡើងពីវិសមភាព Chebyshev ទូទៅដោយឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់នៅ ន→∞ .

ចូរយើងកត់សំគាល់ម្តងទៀតថាសមភាពដែលបានសរសេរខាងលើមិនធានាថាតម្លៃនៃបរិមាណនោះទេ។
ខិតខំ កនៅ ន→∞. បរិមាណនេះនៅតែជាអថេរចៃដន្យ ហើយតម្លៃបុគ្គលរបស់វាអាចនៅឆ្ងាយពី ក. ប៉ុន្តែប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបែបនេះ (ឆ្ងាយពី ក) តម្លៃជាមួយនឹងការកើនឡើង នទំនោរទៅ 0 ។

មតិយោបល់. ការ​សន្និដ្ឋាន​នៃ​កូរ៉ូឡារី​គឺ​ច្បាស់​ណាស់​ក៏​មាន​សុពលភាព​ដែរ​ក្នុង​ករណី​ទូទៅ​ជាង​នេះ​នៅ​ពេល​អថេរ​ចៃដន្យ​ឯករាជ្យ X 1 , X 2 , … , X ន … មានការចែកចាយខុសៗគ្នា ប៉ុន្តែការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា (ស្មើគ្នា ក) និងភាពខុសគ្នាមានកំណត់រួមគ្នា។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងព្យាករណ៍ពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងនៃបរិមាណជាក់លាក់មួយ ទោះបីជាការវាស់វែងទាំងនេះត្រូវបានធ្វើឡើងដោយឧបករណ៍ផ្សេងគ្នាក៏ដោយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីការអនុវត្តនៃកូរ៉ូឡារីនេះនៅពេលវាស់បរិមាណ។ តោះប្រើឧបករណ៍ខ្លះ នការវាស់វែងនៃបរិមាណដូចគ្នា តម្លៃពិតដែលស្មើនឹង កហើយយើងមិនដឹងទេ។ លទ្ធផលនៃការវាស់វែងបែបនេះ X 1 , X 2 , … , X នអាចខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីគ្នាទៅវិញទៅមក (និងពីតម្លៃពិត ក) ដោយសារកត្តាចៃដន្យផ្សេងៗ (ការផ្លាស់ប្តូរសម្ពាធ សីតុណ្ហភាព រំញ័រចៃដន្យ។ល។)។ ពិចារណា r.v. X- ការអានឧបករណ៍សម្រាប់ការវាស់វែងតែមួយនៃបរិមាណក៏ដូចជាសំណុំនៃ r.v. X 1 , X 2 , … , X ន- ការអានឧបករណ៍នៅទីមួយ ទីពីរ ... ការវាស់វែងចុងក្រោយ។ ដូច្នេះបរិមាណនីមួយៗ X 1 , X 2 , … , X ន មានតែករណីមួយនៃ s.v. Xដូច្នេះហើយ ពួកគេទាំងអស់មានការចែកចាយដូចគ្នានឹង r.v. X. ចាប់តាំងពីលទ្ធផលនៃការវាស់វែងមិនអាស្រ័យលើគ្នាទៅវិញទៅមក, បន្ទាប់មក r.v. X 1 , X 2 , … , X នអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាឯករាជ្យ។ ប្រសិនបើឧបករណ៍មិនបង្កើតកំហុសជាប្រព័ន្ធ (ឧទាហរណ៍ សូន្យនៅលើមាត្រដ្ឋានមិន "បិទ" និទាឃរដូវមិនត្រូវបានលាតសន្ធឹង។ល។) នោះយើងអាចសន្មត់ថាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា M(X) = ក, ហើយ​ដូច្នេះ M(X 1 ) = ... = M(X ន ) = ក. ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌនៃកូរ៉ូឡារីខាងលើត្រូវបានពេញចិត្ត ហើយដូច្នេះជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃបរិមាណ កយើងអាចយក "ការសម្រេច" នៃអថេរចៃដន្យមួយ។
នៅក្នុងការពិសោធន៍របស់យើង (រួមមានការដឹកនាំស៊េរី នការវាស់វែង), i.e.

.

ជាមួយនឹងចំនួនរង្វាស់ដ៏ច្រើន ភាពត្រឹមត្រូវល្អនៃការគណនាដោយប្រើរូបមន្តនេះគឺជាក់ស្តែង។ នេះគឺជាហេតុផលសម្រាប់គោលការណ៍អនុវត្តដែលថាជាមួយនឹងចំនួនដ៏ធំនៃការវាស់វែង មធ្យមនព្វន្ធរបស់ពួកគេអនុវត្តជាក់ស្តែងមិនខុសគ្នាច្រើនពីតម្លៃពិតនៃតម្លៃដែលបានវាស់នោះទេ។

វិធីសាស្រ្ត "គំរូ" ដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងស្ថិតិគណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើច្បាប់នៃចំនួនធំ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានលក្ខណៈគោលបំណងរបស់វាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលអាចទទួលយកបានពីគំរូតូចមួយនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យមួយ។ ប៉ុន្តែនេះនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍. បរិមាណជាក់លាក់មួយត្រូវបានវាស់នៅលើឧបករណ៍វាស់ស្ទង់ដែលមិនធ្វើឱ្យមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយជាប្រព័ន្ធ កម្តង (តម្លៃដែលទទួលបាន X 1 ) ហើយបន្ទាប់មក 99 ដងទៀត (តម្លៃដែលទទួលបាន X 2 , … , X 100 ) សម្រាប់តម្លៃវាស់ពិត កលទ្ធផលនៃការវាស់វែងដំបូងគឺត្រូវយកមកមុន។
ហើយបន្ទាប់មក មធ្យមនព្វន្ធនៃការវាស់វែងទាំងអស់។
. ភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងនៃឧបករណ៍គឺដូចជាគម្លាតស្តង់ដារនៃការវាស់វែង σ គឺមិនលើសពី 1 (ដូច្នេះការបែកខ្ញែក ឃ=σ 2 ក៏មិនលើសពី 1) ។ សម្រាប់វិធីសាស្រ្តវាស់វែងនីមួយៗ ប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដែលកំហុសរង្វាស់នឹងមិនលើសពី 2 ។

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ r.v. X- ការអានឧបករណ៍សម្រាប់ការវាស់វែងតែមួយ។ បន្ទាប់មកតាមលក្ខខណ្ឌ M(X) = ក. ដើម្បីឆ្លើយសំណួរដែលចោទឡើង យើងអនុវត្តវិសមភាព Chebyshev ទូទៅ

នៅε =2 ដំបូងសម្រាប់ ន=1 ហើយបន្ទាប់មកសម្រាប់ ន=100 . ក្នុងករណីដំបូងយើងទទួលបាន
ហើយនៅក្នុងទីពីរ។ ដូច្នេះករណីទី 2 ធានានូវភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងដែលបានបញ្ជាក់ ខណៈដែលករណីទី 1 ទុកការសង្ស័យយ៉ាងខ្លាំងក្នុងន័យនេះ។

ចូរយើងអនុវត្តសេចក្តីថ្លែងការខាងលើទៅនឹងអថេរចៃដន្យដែលកើតឡើងនៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli ។ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវខ្លឹមសារនៃគ្រោងការណ៍នេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផលិត ន ការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលនីមួយៗមានព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន កអាចលេចឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។ រ, ក q=1–р(នៅក្នុងន័យនេះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ - ព្រឹត្តិការណ៍មិនកើតឡើង ក) . តោះចំណាយខ្លះ នការធ្វើតេស្តបែបនេះ។ ចូរយើងពិចារណាអថេរចៃដន្យ៖ X 1 - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កវ 1 - ការធ្វើតេស្ត, ... , X ន- ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កវ ន- តេស្ត។ ទាំងអស់បានបញ្ចូល s.v. អាចទទួលយកតម្លៃ 0 ឬ 1 (ព្រឹត្តិការណ៍ កអាចឬមិនលេចឡើងក្នុងការធ្វើតេស្ត) និងតម្លៃ 1 យោងតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានទទួលយកនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ(ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ) និងតម្លៃ 0 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ q= 1 – ទំ. ដូច្នេះបរិមាណទាំងនេះមានច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នា៖

X 1

X ន

ដូច្នេះតម្លៃមធ្យមនៃបរិមាណទាំងនេះ និងការប្រែប្រួលរបស់វាក៏ដូចគ្នាដែរ៖ M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p=p, …, M(X ន ) = ទំ ; ឃ(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ ទំ)− ទំ 2 = ទំ∙(1− ទំ)= ទំ ∙ q, ... , ឃ(X ន )= ទំ ∙ q ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងវិសមភាព Chebyshev ទូទៅ យើងទទួលបាន

.

វាច្បាស់ណាស់ថា r.v. X=X 1 +…+X នគឺជាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កជា​រួម នការធ្វើតេស្ត (ដូចដែលពួកគេនិយាយថា - "ចំនួនជោគជ័យ" នៅក្នុង នការធ្វើតេស្ត) ។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងដំណើរការ នព្រឹត្តិការណ៍សាកល្បង កបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុង k នៃពួកគេ។ បន្ទាប់មកវិសមភាពមុនអាចត្រូវបានសរសេរជា

.

ប៉ុន្តែទំហំ
ស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កវ នការសាកល្បងឯករាជ្យ ដល់ចំនួនសរុបនៃការសាកល្បង ពីមុនត្រូវបានគេហៅថាប្រេកង់ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទង កវ នការធ្វើតេស្ត។ ដូច្នេះ​មាន​វិសមភាព

.

បង្វែរពេលនេះដល់កម្រិតកំណត់ ន→∞ យើងទទួលបាន
, i.e.
(ដោយប្រូបាប៊ីលីតេ) ។ នេះបង្កើតជាខ្លឹមសារនៃច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើននៅក្នុងទម្រង់ Bernoulli ។ វាធ្វើតាមពីនេះថាជាមួយនឹងចំនួនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើតេស្ត នគម្លាតតូចតាមអំពើចិត្តនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទង
ព្រឹត្តិការណ៍ពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។ រ- ព្រឹត្តិការណ៍ស្ទើរតែគួរឱ្យទុកចិត្ត និងគម្លាតធំ - ស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេ។ ការសន្និដ្ឋានជាលទ្ធផលអំពីស្ថេរភាពនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទង (ដែលយើងបាននិយាយពីមុនថាជា ពិសោធន៍ការពិត) បង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃនិយមន័យស្ថិតិដែលបានណែនាំពីមុននៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលជាចំនួនជុំវិញដែលប្រេកង់ទាក់ទងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយប្រែប្រួល។

ពិចារណាថាការបញ្ចេញមតិ ទំ∙ q= ទំ∙(1− ទំ)= ទំ− ទំ 2 មិនលើសពីចន្លោះពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរ
(វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយការស្វែងរកអប្បបរមានៃមុខងារនេះនៅលើផ្នែកនេះ) ពីវិសមភាពខាងលើ
ងាយស្រួលក្នុងការទទួលបាននោះ។

,

ដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាពាក់ព័ន្ធ (មួយក្នុងចំណោមពួកវានឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម) ។

ឧទាហរណ៍. កាក់ត្រូវបានបោះចោល 1000 ដង។ ប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេដែលគម្លាតនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃរូបរាងនៃអាវធំពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វានឹងតិចជាង 0.1 ។

ដំណោះស្រាយ។ ការអនុវត្តវិសមភាព
នៅ ទំ= q=1/2 , ន=1000 , ε=0.1, យើងនឹងទទួលបាន។

ឧទាហរណ៍. ប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍មុនលេខ kនិមិត្តសញ្ញាដែលបានទម្លាក់នឹងស្ថិតនៅចន្លោះពី 400 មុន 600 .

ដំណោះស្រាយ។ លក្ខខណ្ឌ 400< k<600 មានន័យថា 400/1000< k/ ន<600/1000 , i.e. 0.4< វ ន (ក)<0.6 ឬ
. ដូចដែលយើងទើបតែបានឃើញពីឧទាហរណ៍មុន ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះគឺមិនតិចទេ។ 0.975 .

ឧទាហរណ៍. ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន កការពិសោធន៍ចំនួន 1000 ត្រូវបានអនុវត្តដែលក្នុងនោះព្រឹត្តិការណ៍ កបានបង្ហាញខ្លួន 300 ដង។ ប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រេកង់ដែលទាក់ទង (ស្មើនឹង 300/1000 = 0.3) គឺនៅឆ្ងាយពីប្រូបាប៊ីលីតេពិត រមិនលើសពី 0.1 ។

ដំណោះស្រាយ។ ការអនុវត្តវិសមភាពខាងលើ
សម្រាប់ n=1000, ε=0.1 យើងទទួលបាន .

បាតុភូតនៃស្ថេរភាពនៃប្រេកង់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដែលបានរកឃើញនៅលើសម្ភារៈដ៏ធំនិងផ្លាស់ប្តូរដំបូងមិនមានហេតុផលណាមួយហើយត្រូវបានគេយល់ថាជាការពិតជាក់ស្តែងសុទ្ធសាធ។ លទ្ធផលទ្រឹស្តីដំបូងនៅក្នុងតំបន់នេះគឺទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ដ៏ល្បីល្បាញដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1713 ដែលបានចាក់គ្រឹះសម្រាប់ច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើន។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bernoulli នៅក្នុងខ្លឹមសាររបស់វាគឺទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ ពោលគឺសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃអត្ថន័យ asymptotic ដែលនិយាយអំពីអ្វីដែលនឹងកើតឡើងចំពោះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ probabilistic ជាមួយនឹងចំនួននៃការសង្កេតច្រើន។ បុព្វបុរសនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាច្រើនសម័យទំនើបនៃប្រភេទនេះគឺច្បាស់ណាស់ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ។

សព្វ​ថ្ងៃ​នេះ​វា​ហាក់​ដូច​ជា​ច្បាប់​គណិត​វិទ្យា​នៃ​ចំនួន​ដ៏​ច្រើន​គឺ​ជា​ការ​ឆ្លុះ​បញ្ចាំង​ពី​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ទូទៅ​មួយ​ចំនួន​នៃ​ដំណើរ​ការ​ពិត​ជា​ច្រើន​។

ដោយមានបំណងចង់ផ្តល់ឱ្យច្បាប់នៃលេខធំនូវវិសាលភាពធំបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលទ្ធភាពដ៏អស់កល្បនៃការអនុវត្តច្បាប់នេះ គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់នៃសតវត្សរបស់យើង A. N. Kolmogorov បានបង្កើតខ្លឹមសាររបស់វាដូចខាងក្រោមៈ ច្បាប់នៃចំនួនធំគឺ "គោលការណ៍ទូទៅដោយគុណធម៌ដែលសកម្មភាពសរុបនៃកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំនាំឱ្យមានលទ្ធផលស្ទើរតែឯករាជ្យនៃឱកាស" ។

ដូច្នេះច្បាប់នៃលេខធំមានការបកស្រាយពីរ។ មួយគឺគណិតវិទ្យា ភ្ជាប់ជាមួយគំរូគណិតវិទ្យាជាក់លាក់ រូបមន្ត ទ្រឹស្ដី ហើយទីពីរគឺមានលក្ខណៈទូទៅ លើសពីក្របខ័ណ្ឌនេះ។ ការបកស្រាយទីពីរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបាតុភូតនៃការបង្កើតសកម្មភាពដឹកនាំច្រើន ឬតិច ដែលជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងការអនុវត្ត ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃកត្តាប្រតិបត្តិការមួយចំនួនធំដែលលាក់ ឬមើលឃើញដែលមិនមានការបន្តបែបនេះពីខាងក្រៅ។ ឧទាហរណ៍ដែលទាក់ទងនឹងការបកស្រាយទីពីរគឺការកំណត់តម្លៃនៅលើទីផ្សារសេរី និងការបង្កើតមតិសាធារណៈលើបញ្ហាជាក់លាក់មួយ។

ដោយបានកត់សម្គាល់ការបកស្រាយទូទៅនៃច្បាប់នៃលេខធំនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងងាកទៅរករូបមន្តគណិតវិទ្យាជាក់លាក់នៃច្បាប់នេះ។

ដូចដែលយើងបាននិយាយខាងលើ ទីមួយ និងជាមូលដ្ឋានសំខាន់បំផុតសម្រាប់ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ។ ខ្លឹមសារនៃការពិតគណិតវិទ្យានេះ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីច្បាប់ដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃពិភពលោកជុំវិញនោះ មកដូចខាងក្រោម។

ពិចារណាលើលំដាប់នៃការធ្វើតេស្តដែលមិនទាក់ទងគ្នា (ឧ. ឯករាជ្យ) លក្ខខណ្ឌដែលត្រូវបានផលិតឡើងវិញជាបន្តបន្ទាប់ពីការធ្វើតេស្តទៅការធ្វើតេស្ត។ លទ្ធផល​នៃ​ការ​ធ្វើ​តេស្ត​នីមួយៗ​គឺ​ជា​រូបរាង​ឬ​ការ​មិន​កើត​ឡើង​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​យើង​ចាប់​អារម្មណ៍ ក.

នីតិវិធីនេះ (គ្រោងការណ៍ Bernoulli) ជាក់ស្តែងអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជារឿងធម្មតាសម្រាប់ផ្នែកជាក់ស្តែងជាច្រើន៖ "ក្មេងប្រុស-ក្មេងស្រី" នៅក្នុងលំដាប់នៃទារកទើបនឹងកើត ការសង្កេតឧតុនិយមប្រចាំថ្ងៃ ("ភ្លៀងធ្លាក់ - វាមិនមែន") ការគ្រប់គ្រងលំហូរនៃផលិតផលដែលផលិត ( "ធម្មតា - ខូច") ។ល។

ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ កនៅ ទំការធ្វើតេស្ត ( t A -

ប្រេកង់ព្រឹត្តិការណ៍ កវ ទំការធ្វើតេស្ត) មានការរីកចម្រើន ទំទំនោរក្នុងការរក្សាស្ថិរភាពតម្លៃរបស់វាគឺជាការពិតជាក់ស្តែង។

ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ។អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសលេខវិជ្ជមានតូចណាមួយតាមអំពើចិត្ត e

យើងសង្កត់ធ្ងន់ថាការពិតគណិតវិទ្យាដែលបង្កើតឡើងដោយ Bernoulli នៅក្នុងគំរូគណិតវិទ្យាជាក់លាក់មួយ (នៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli) មិនគួរត្រូវបានច្រឡំជាមួយនឹងភាពទៀងទាត់ដែលបានបង្កើតឡើងជាក់ស្តែងនៃស្ថេរភាពប្រេកង់នោះទេ។ Bernoulli មិនពេញចិត្តនឹងរូបមន្តត្រឹមតែបញ្ជាក់ (9.1) ប៉ុន្តែដោយគិតគូរពីតម្រូវការនៃការអនុវត្ត បានផ្តល់ការវាយតម្លៃអំពីវិសមភាពដែលមាននៅក្នុងរូបមន្តនេះ។ យើងនឹងងាកទៅរកការបកស្រាយខាងក្រោម។

ច្បាប់នៃលេខធំរបស់ Bernoulli គឺជាកម្មវត្ថុនៃការស្រាវជ្រាវដោយគណិតវិទូមួយចំនួនធំ ដែលបានព្យាយាមកែលម្អវា។ ការចម្រាញ់មួយក្នុងចំណោមការកែលម្អទាំងនេះត្រូវបានទទួលដោយគណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស Moivre ហើយបច្ចុប្បន្នត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace ។ នៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli ពិចារណាលំដាប់នៃបរិមាណធម្មតា:

ទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលនៃ Moivre - Laplace ។ចូរយើងជ្រើសរើសលេខពីរ X (និង x ២.ក្នុងករណីនេះ x, x 7, បន្ទាប់មកនៅ ទំ -» °°

ប្រសិនបើនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃរូបមន្ត (9.3) អថេរ x xទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់ បន្ទាប់មកដែនកំណត់លទ្ធផលអាស្រ័យលើ x 2 (សន្ទស្សន៍ 2 អាចត្រូវបានយកចេញក្នុងករណីនេះ) នឹងជាមុខងារចែកចាយវាត្រូវបានគេហៅថា ការចែកចាយធម្មតាស្តង់ដារឬ ច្បាប់របស់ Gauss ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្ត (9.3) ស្មើនឹង y = F(x 2) - F(x x) ។ F(x 2)-> 1 នៅ x ២-> °° និង F(x,) -> 0 នៅ x, -> ដោយសារជម្រើសនៃទំហំធំគ្រប់គ្រាន់

X]> 0 និង X]n មានទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត យើងទទួលបានវិសមភាពដូចខាងក្រោម៖

ដោយគិតពីរូបមន្ត (9.2) យើងអាចទាញយកការប៉ាន់ស្មានដែលអាចទុកចិត្តបានជាក់ស្តែង៖

ប្រសិនបើកម្រិតភាពជឿជាក់នៃ y = 0.95 (ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុស 0.05) អាចហាក់ដូចជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់នរណាម្នាក់ អ្នកអាច "លេងវាដោយសុវត្ថិភាព" និងបង្កើតចន្លោះពេលទំនុកចិត្តកាន់តែធំបន្តិចដោយប្រើក្បួនបី-sigma ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ៖

ចន្លោះពេលនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងកម្រិតទំនុកចិត្តខ្ពស់ y = 0.997 (សូមមើលតារាងចែកចាយធម្មតា)។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយដែលទាក់ទងនឹងការបោះកាក់។ ចូរយើងបោះកាក់មួយ។ n = 100 ដង។ តើវាអាចកើតឡើងថាប្រេកង់ រនឹងខុសគ្នាខ្លាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេ រ= 0.5 (សន្មត់ថាកាក់គឺស៊ីមេទ្រី) ឧទាហរណ៍ តើវានឹងស្មើនឹងសូន្យទេ? ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ដែលថ្នាំកូតនៃអាវុធមិនធ្លាក់ចេញសូម្បីតែម្តង។ ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបានតាមទ្រឹស្តី ប៉ុន្តែយើងបានគណនាប្រូបាប៊ីលីតេស្រដៀងគ្នានេះរួចហើយ សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍នេះវានឹងស្មើនឹង តម្លៃនេះ។

តូចខ្លាំងណាស់ លំដាប់របស់វាគឺលេខដែលមានលេខសូន្យ 30 បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេបែបនេះអាចចាត់ទុកថាមិនអាចអនុវត្តបានដោយសុវត្ថិភាព។ តើគម្លាតនៃប្រេកង់អ្វីខ្លះពីប្រូបាប៊ីលីតេអាចអនុវត្តបានជាមួយនឹងការពិសោធន៍មួយចំនួនធំ? ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace យើងឆ្លើយសំណួរនេះដូចខាងក្រោម៖ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ នៅ= 0.95 ភាពញឹកញាប់នៃអាវុធ រសមក្នុងចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត៖

ប្រសិនបើកំហុស 0.05 ហាក់ដូចជាមិនតូចទេ អ្នកត្រូវបង្កើនចំនួននៃការពិសោធន៍ (បោះកាក់)។ នៅពេលកើនឡើង ទំទទឹងនៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្តថយចុះ (ជាអកុសល មិនលឿនដូចដែលយើងចង់បានទេ ប៉ុន្តែសមាមាត្រច្រាសទៅនឹង - ចន) ។ឧទាហរណ៍នៅពេល ទំ= 10,000 យើងទទួលបាននោះ។ រស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេលទំនុកចិត្តជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត នៅ= 0.95: 0.5 ±0.01 ។

ដូច្នេះ យើងបានយល់អំពីបរិមាណនៃបញ្ហានៃប្រេកង់ប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដោយផ្អែកលើប្រេកង់របស់វា ហើយប៉ាន់ស្មានកំហុសនៃការប្រហាក់ប្រហែលនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការពិសោធន៍មួយចំនួនធំ ទំ(បោះកាក់) ស្វែងរកភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ កហើយយើងចង់ប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។ រ.

ពីច្បាប់នៃចំនួនធំ ទំដូចតទៅ៖

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងប៉ាន់ស្មានកំហុសដែលអាចអនុវត្តបាននៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល (9.7) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើវិសមភាព (9.5) ក្នុងទម្រង់៖

ដើម្បីស្វែងរក រដោយ រយើងត្រូវដោះស្រាយវិសមភាព (9.8) ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវធ្វើការការ៉េ និងដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលត្រូវគ្នា។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

កន្លែងណា

សម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានរដុប រដោយ រអាចមាននៅក្នុងរូបមន្ត (9.8) រនៅខាងស្តាំជំនួសដោយ រឬនៅក្នុងរូបមន្ត (9.10), (9.11) សន្មតថា

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

អនុញ្ញាតឱ្យចូល ទំ= 400 ការពិសោធន៍តម្លៃប្រេកង់ត្រូវបានទទួល រ= 0.25 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងកម្រិតទំនុកចិត្ត y = 0.95 យើងរកឃើញ៖

ចុះប្រសិនបើយើងត្រូវការដឹងពីប្រូបាប៊ីលីតេកាន់តែត្រឹមត្រូវដោយមានកំហុសនិយាយថាមិនលើសពី 0.01? ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនចំនួននៃការពិសោធន៍។

សន្មតនៅក្នុងរូបមន្ត (9.12) ប្រូបាប៊ីលីតេ រ\u003d 0.25 យើងធ្វើសមភាពតម្លៃកំហុសទៅនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ 0.01 ហើយទទួលបានសមីការសម្រាប់ ទំ៖

ការដោះស្រាយសមីការនេះយើងទទួលបាន n~ 7500.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាសំណួរមួយទៀត៖ តើគម្លាតនៃប្រេកង់ពីប្រូបាប៊ីលីតេដែលទទួលបាននៅក្នុងការពិសោធន៍អាចត្រូវបានពន្យល់ដោយមូលហេតុចៃដន្យ ឬតើគម្លាតនេះបង្ហាញថាប្រូបាប៊ីលីតេមិនមែនជាអ្វីដែលយើងរំពឹងទុកទេ? ម្យ៉ាងវិញទៀត តើបទពិសោធន៍បញ្ជាក់ពីសម្មតិកម្មស្ថិតិដែលទទួលយកបាន ឬផ្ទុយទៅវិញ តម្រូវឱ្យបដិសេធ?

ជាឧទាហរណ៍ ចូរបោះកាក់មួយ។ ទំ= 800 ដង យើងទទួលបានភាពញឹកញាប់នៃរូបរាងរបស់អាវធំ រ= 0.52 ។ យើង​សង្ស័យ​ថា​កាក់​នេះ​មិន​ស៊ីមេទ្រី។ តើការសង្ស័យនេះសមហេតុផលទេ? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ យើងនឹងបន្តពីការសន្មត់ថាកាក់គឺស៊ីមេទ្រី (ទំ =០.៥)។ ចូរយើងស្វែងរកចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត (ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត នៅ= 0.95) សម្រាប់ភាពញឹកញាប់នៃរូបរាងរបស់អាវធំ។ ប្រសិនបើតម្លៃដែលទទួលបាននៅក្នុងការពិសោធន៍ រ= 0.52 សមទៅនឹងចន្លោះពេលនេះ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺធម្មតា សម្មតិកម្មដែលទទួលយកបានអំពីស៊ីមេទ្រីនៃកាក់មិនផ្ទុយនឹងទិន្នន័យពិសោធន៍ទេ។ រូបមន្ត (9.12) នៅ រ= 0.5 ផ្តល់ចន្លោះពេល 0.5 ± 0.035; តម្លៃដែលបានទទួល p = 0.52 សមនឹងចន្លោះនេះ ដែលមានន័យថាកាក់នឹងត្រូវ "ជម្រះ" ពីការសង្ស័យនៃភាពមិនស៊ីមេទ្រី។

វិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីវិនិច្ឆ័យថាតើគម្លាតផ្សេងៗពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលបានសង្កេតឃើញនៅក្នុងបាតុភូតចៃដន្យគឺចៃដន្យឬ "សំខាន់" ។ ឧទាហរណ៍ តើទម្ងន់ក្រោមទម្ងន់ត្រូវបានរកឃើញដោយចៃដន្យនៅក្នុងគំរូទំនិញវេចខ្ចប់មួយចំនួន ឬតើវាបង្ហាញពីការបោកប្រាស់អតិថិជនជាប្រព័ន្ធ? តើអត្រានៃការជាសះស្បើយកើនឡើងដោយចៃដន្យចំពោះអ្នកជំងឺដែលប្រើប្រាស់ថ្នាំថ្មីឬក៏ដោយសារតែឥទ្ធិពលនៃថ្នាំនេះ?

ច្បាប់ធម្មតាដើរតួយ៉ាងសំខាន់ជាពិសេសនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់វា។ យើងបានឃើញរួចហើយខាងលើថាអថេរចៃដន្យ - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួននៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli - ជាមួយ ទំ-»°° ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាច្បាប់ធម្មតា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានលទ្ធផលទូទៅជាង។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល។ផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ (ឬខ្សោយ) មួយចំនួនធំ ដែលអាចប្រៀបធៀបគ្នាទៅវិញទៅមកតាមលំដាប់នៃការប្រែប្រួលរបស់វាត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា ដោយមិនគិតពីច្បាប់នៃការចែកចាយលក្ខខណ្ឌនោះទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើគឺជាទម្រង់គុណភាពរដុបនៃទ្រឹស្តីដែនកំណត់កណ្តាល។ ទ្រឹស្តីបទនេះមានទម្រង់ជាច្រើន ដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលអថេរចៃដន្យត្រូវតែបំពេញ ដើម្បីឱ្យផលបូករបស់ពួកគេត្រូវបាន "ធម្មតា" ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនពាក្យ។

ដង់ស៊ីតេចែកចាយធម្មតា Dx) ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

កន្លែងណា ក -ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X s= V7) គឺជាគម្លាតស្តង់ដាររបស់វា។

ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃ x ធ្លាក់ក្នុងចន្លោះពេល (x 1? x 2) អាំងតេក្រាលត្រូវបានប្រើ៖

ចាប់តាំងពីអាំងតេក្រាល (9.14) នៅដង់ស៊ីតេ (9.13) មិនត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋម ("មិនត្រូវបានគេយក") បន្ទាប់មកដើម្បីគណនា (9.14) ពួកគេប្រើតារាងនៃមុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាលនៃការចែកចាយធម្មតាស្តង់ដារនៅពេលដែល ក = 0, a = 1 (តារាងបែបនេះមាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយស្តីពីទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)៖

ប្រូបាប៊ីលីតេ (៩.១៤) ដោយប្រើសមីការ (១០.១៥) ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ Xការចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក, a, នឹងងាកចេញពីម៉ូឌុលរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាដោយមិនលើសពី 3 ។

ដោយប្រើរូបមន្ត (9.16) និងតារាងនៃមុខងារចែកចាយនៃច្បាប់ធម្មតា យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍។ នៅក្នុងការពិសោធន៍ឯករាជ្យនីមួយៗ 700 ព្រឹត្តិការណ៍ កកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេថេរ រ= 0.35 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កនឹង​កើតឡើង:

• 1) ពិតប្រាកដ 270 ដង;
• 2) តិចជាង 270 និងច្រើនជាង 230 ដង;
• 3) ច្រើនជាង 270 ដង។

ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ក = ល។និងគម្លាតស្តង់ដារ៖

អថេរចៃដន្យ - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក៖

ស្វែងរកតម្លៃកណ្តាល និងធម្មតា។ X៖

ពីតារាងដង់ស៊ីតេចែកចាយធម្មតាដែលយើងរកឃើញ f(x):

តោះរកវាឥឡូវនេះ R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1.98) = = 1 - 0.97615 = 0.02385 ។

ជំហានដ៏ធ្ងន់ធ្ងរក្នុងការស្រាវជ្រាវលើបញ្ហានៃចំនួនដ៏ច្រើនត្រូវបានធ្វើឡើងនៅឆ្នាំ 1867 ដោយ P. L. Chebyshev ។ គាត់បានចាត់ទុកករណីទូទៅមួយ នៅពេលដែលគ្មានអ្វីត្រូវបានទាមទារពីអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ លើកលែងតែអត្ថិភាពនៃការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យា។

វិសមភាពរបស់ Chebyshev ។សម្រាប់លេខវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖

ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev ។ប្រសិនបើ x x, x 2, ..., x ទំ -អថេរចៃដន្យឯករាជ្យជាគូ ដែលនីមួយៗមានការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា អ៊ី(Xj) = ស៊ីនិងភាពខុសប្លែកគ្នា។ D(x,) =) ហើយ​វ៉ារ្យង់​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ស្មើ​គ្នា ឧ. 1,2 ... បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្តណាមួយ។ អ៊ីទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើ ក, =អាយអូ -o 2, អ៊ី= 1.2 ... បន្ទាប់មក

កិច្ចការ។ តើត្រូវបោះកាក់ប៉ុន្មានដង ដើម្បីឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេមិនតិចជាង y - 0.997 វាអាចប្រកែកបានថាភាពញឹកញាប់នៃអាវធំដែលធ្លាក់ចេញនឹងស្ថិតក្នុងចន្លោះពេល (0.499; 0.501)?

ចូរសន្មតថាកាក់គឺស៊ីមេទ្រី។ p - q -០.៥. ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Chebyshev ក្នុងរូបមន្ត (9.19) ទៅអថេរចៃដន្យ X-ភាពញឹកញាប់នៃរូបរាងនៃអាវធំនៅក្នុង ទំបោះកាក់។ យើងបានបង្ហាញខាងលើរួចហើយ X = X x + X 2 + ... +X",កន្លែងណា X t -អថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃ 1 ប្រសិនបើកាក់ជាក្បាល ហើយតម្លៃ 0 ប្រសិនបើវាជាកន្ទុយ។ ដូច្នេះ៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរវិសមភាព (9.19) សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលផ្ទុយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានបង្ហាញនៅក្រោមសញ្ញាប្រូបាប៊ីលីតេ៖

ក្នុងករណីរបស់យើង [e = 0.001, cj 2 = /?-p)] t គឺជាចំនួននៃការកើតឡើងនៃអាវធំនៅក្នុង ទំការបោះចោល។ ការជំនួសបរិមាណទាំងនេះទៅជាវិសមភាពចុងក្រោយ ហើយពិចារណាថា យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វិសមភាពត្រូវតែពេញចិត្ត យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្ហាញពីលទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់វិសមភាពរបស់ Chebyshev ដើម្បីប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតជាក់លាក់នៃអថេរចៃដន្យ (ក៏ដូចជាបញ្ហាដូចជាឧទាហរណ៍នេះទាក់ទងនឹងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេទាំងនេះ)។ អត្ថប្រយោជន៍នៃវិសមភាពរបស់ Chebyshev គឺថាវាមិនតម្រូវឱ្យមានចំណេះដឹងអំពីច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យនោះទេ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើច្បាប់បែបនេះត្រូវបានគេស្គាល់ នោះវិសមភាពរបស់ Chebyshev ផ្តល់នូវការប៉ាន់ស្មានរដុបពេក។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដូចគ្នា ប៉ុន្តែការប្រើការពិតដែលថាការបោះកាក់គឺជាករណីពិសេសនៃគ្រោងការណ៍របស់ Bernoulli ។ ចំនួនជោគជ័យ (ក្នុងឧទាហរណ៍ - ចំនួនអាវធំ) គោរពច្បាប់ binomial ហើយជាមួយនឹងចំនួនធំ។ ទំច្បាប់នេះអាចត្រូវបានតំណាងដោយច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដោយសារតែទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលនៃ Moivre - Laplace a=pr=n? 0.5 និងជាមួយគម្លាតស្តង់ដារ a = yfnpq - 25 = 0.5 លីត្រ / លីត្រ។ អថេរចៃដន្យ - ភាពញឹកញាប់នៃអាវធំធ្លាក់ចេញ - មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា = 0.5 និងគម្លាតស្តង់ដារ

បន្ទាប់មកយើងមាន៖

ពីវិសមភាពចុងក្រោយយើងទទួលបាន៖

ពីតារាងចែកចាយធម្មតាយើងរកឃើញ៖

យើងឃើញថាការប៉ាន់ស្មានធម្មតាផ្តល់នូវចំនួននៃការបោះកាក់ដែលផ្តល់នូវកំហុសក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេនៃអាវធំដែលមានទំហំតូចជាង 37 ដងធៀបនឹងការប៉ាន់ស្មានដែលទទួលបានដោយប្រើវិសមភាពរបស់ Chebyshev (ប៉ុន្តែវិសមភាពរបស់ Chebyshev ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបាន។ ការគណនាស្រដៀងគ្នាក្នុងករណីដែលយើងមិនមានព័ត៌មានអំពីច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលកំពុងសិក្សា)។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ពិចារណា​លើ​បញ្ហា​អនុវត្ត​ដែល​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត (៩.១៦)។

បញ្ហាប្រកួតប្រជែង។ ក្រុមហ៊ុន​ផ្លូវដែក​ដែល​ប្រកួតប្រជែង​គ្នា​ពីរ​ក្រុមហ៊ុន​នីមួយៗ​មាន​រថភ្លើង​មួយ​រត់​រវាង​ទីក្រុង​ម៉ូស្គូ និង​សាំងពេទឺប៊ឺគ។ រថភ្លើងទាំងនេះត្រូវបានបំពាក់ប្រហែលដូចគ្នា ហើយចេញដំណើរ និងមកដល់នៅម៉ោងប្រហែលដូចគ្នា។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ ទំ= អ្នកដំណើរ 1000 នាក់ដោយឯករាជ្យ និងដោយចៃដន្យជ្រើសរើសរថភ្លើងរបស់ពួកគេ ដូច្នេះជាគំរូគណិតវិទ្យាសម្រាប់ជម្រើសនៃរថភ្លើងដោយអ្នកដំណើរ យើងប្រើគ្រោងការណ៍ Bernoulli ជាមួយ ទំបញ្ហាប្រឈម និងលទ្ធភាពជោគជ័យ រ= 0.5 ។ ក្រុមហ៊ុនត្រូវសម្រេចថាតើមានកៅអីប៉ុន្មានដែលត្រូវផ្តល់នៅលើរថភ្លើង ដោយគិតទៅលើលក្ខខណ្ឌផ្ទុយគ្នាពីរ៖ ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្នកមិនចង់មានកៅអីទំនេរទេ ផ្ទុយទៅវិញ អ្នកមិនចង់ឱ្យមនុស្សមិនពេញចិត្តនឹង ខ្វះកៅអី (ពេលក្រោយពួកគេនឹងចូលចិត្តក្រុមហ៊ុនប្រកួតប្រជែង)។ ជាការពិតណាស់វាអាចត្រូវបានផ្តល់ជូននៅលើរថភ្លើង ទំ= 1000 កន្លែង ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកច្បាស់ជាមានកន្លែងទទេ។ អថេរចៃដន្យ - ចំនួនអ្នកដំណើរនៅលើរថភ្លើង - ក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃគំរូគណិតវិទ្យាដែលបានអនុម័តដោយប្រើទ្រឹស្ដីអាំងតេក្រាលរបស់ Moivre - Laplace គោរពច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា a = pr = ន/2 និងបំរែបំរួល a 2 = npq = ទំ/៤ជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលច្រើនជាង សអ្នកដំណើរត្រូវបានកំណត់ដោយសមាមាត្រ៖

កំណត់កម្រិតហានិភ័យ កពោលគឺ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនឹងមានកាន់តែច្រើន សអ្នកដំណើរ៖

ពី​ទីនេះ:

ប្រសិនបើ កគឺជាឫសគល់នៃហានិភ័យនៃសមីការចុងក្រោយ ដែលត្រូវបានរកឃើញពីតារាងនៃមុខងារចែកចាយនៃច្បាប់ធម្មតា បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ទំ = 1000, ក= 0.01 (កម្រិតនៃហានិភ័យនេះមានន័យថាចំនួនកន្លែង សនឹងគ្រប់គ្រាន់ក្នុង 99 ករណីក្នុងចំណោម 100) បន្ទាប់មក x a ~ 2.33 និង s =៥៣៧ កន្លែង។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើក្រុមហ៊ុនទាំងពីរទទួលយកកម្រិតហានិភ័យដូចគ្នា។ ក= 0.01 បន្ទាប់មករថភ្លើងទាំងពីរនឹងមានកៅអីសរុបចំនួន 1074 ដែលក្នុងនោះ 74 នឹងនៅទទេ។ ដូចគ្នានេះដែរ គេអាចគណនាបានថា 514 អាសនៈនឹងគ្រប់គ្រាន់ក្នុង 80% នៃករណីទាំងអស់ ហើយ 549 អាសនៈនឹងគ្រប់គ្រាន់ក្នុង 999 ក្នុងចំណោម 1000 ករណី។

ការពិចារណាស្រដៀងគ្នានេះអនុវត្តចំពោះបញ្ហាសេវាកម្មប្រកួតប្រជែងផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ ធរោង​កុន​ប្រកួត​ប្រជែង​ដូច​គ្នា។ ទំអ្នកទស្សនា គួរតែទទួលយក រ= - ។ យើង​ទទួល​បាន,

តើចំនួនអាសនៈប៉ុន្មាន សនៅក្នុងរោងកុនគួរតែត្រូវបានកំណត់ដោយសមាមាត្រ:

ចំនួនសរុបនៃចន្លោះទទេគឺស្មើនឹង៖

សម្រាប់ ក = 0,01, ទំ= 1000 និង ធ= 2, 3, 4 តម្លៃនៃចំនួននេះគឺប្រហែលស្មើនឹង 74, 126, 147 រៀងគ្នា។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យរថភ្លើងមាន ទំ - 100 រទេះ។ ទម្ងន់នៃរថយន្តនីមួយៗគឺជាអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ក - 65 តោន និងមធ្យមការរំពឹងទុក o = 9 តោន ក្បាលរថភ្លើងអាចដឹករថភ្លើងបានប្រសិនបើទម្ងន់របស់វាមិនលើសពី 6600 តោន។ បើមិនដូច្នោះទេអ្នកត្រូវភ្ជាប់ក្បាលរថភ្លើងទីពីរ។ អ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកនឹងមិនត្រូវធ្វើបែបនេះទេ។

ទម្ងន់រថយន្តផ្ទាល់ខ្លួន៖ មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា។ ក - 65 និងភាពខុសគ្នាដូចគ្នា។ ឃ- o 2 = 81. យោងតាមច្បាប់នៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖ អ៊ី(x) - 100 * 65 = 6500. យោងតាមច្បាប់នៃការបន្ថែមវ៉ារ្យ៉ង់: ឃ(x) = 100 x 81 = 8100. ដោយការស្រង់ឫស យើងរកឃើញគម្លាតស្តង់ដារ។ ដើម្បីឱ្យក្បាលរថភ្លើងមួយអាចទាញរថភ្លើងបាន ទម្ងន់របស់រថភ្លើងត្រូវតែមាន Xវាបានប្រែក្លាយទៅជាដែនកំណត់ ពោលគឺបានធ្លាក់ចុះក្នុងចន្លោះពេល (0; 6600)។ អថេរចៃដន្យ x - ផលបូកនៃ 100 ពាក្យ - អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាធម្មតាចែកចាយ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (៩.១៦) យើងទទួលបាន៖

វាធ្វើតាមដែលថាក្បាលរថភ្លើងនឹង "ទប់ទល់" ជាមួយរថភ្លើងដែលមានប្រហែល 0.864 ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងកាត់បន្ថយចំនួនរថយន្តនៅក្នុងរថភ្លើងចំនួនពីរ ពោលគឺយក ទំ= 98. ឥឡូវនេះគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្បាលរថភ្លើងនឹង "ទប់ទល់" ជាមួយរថភ្លើង យើងទទួលបានតម្លៃនៃការបញ្ជាទិញ 0.99 ពោលគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ស្ទើរតែជាក់លាក់មួយ ទោះបីជាមានតែរថយន្តពីរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវដកចេញសម្រាប់រឿងនេះ។

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃអថេរចៃដន្យនោះ យើងអាចប្រើច្បាប់ធម្មតា។ តាមធម្មជាតិ នេះចោទជាសំណួរថា តើត្រូវបន្ថែមអថេរចៃដន្យប៉ុន្មាន ដែលច្បាប់ចែកចាយនៃផលបូកត្រូវបាន "ធម្មតា" រួចហើយ? វាអាស្រ័យលើអ្វីដែលច្បាប់នៃការចែកចាយពាក្យ។ មានច្បាប់ស្មុគ្រស្មាញបែបនេះដែលការធ្វើឱ្យធម្មតាកើតឡើងតែជាមួយនឹងចំនួនច្រើននៃលក្ខខណ្ឌ។ ប៉ុន្តែច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូ ធម្មជាតិ ជាក្បួនមិនបង្កើតបញ្ហាបែបនេះដោយចេតនាទេ។ ជាធម្មតា​ក្នុង​ការអនុវត្ត ដើម្បី​អាច​ប្រើ​ច្បាប់​ធម្មតា​បាន ៥ ឬ ៦ លក្ខខណ្ឌ​គឺ​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ។

ល្បឿនដែលច្បាប់ចែកចាយនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយដូចគ្នា "ធ្វើឱ្យធម្មតា" អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការចែកចាយឯកសណ្ឋាននៅចន្លោះពេល (0, 1) ។ ខ្សែកោងនៃការចែកចាយបែបនេះមានរូបរាងចតុកោណកែង ដែលលែងស្រដៀងនឹងច្បាប់ធម្មតាទៀតហើយ។ ចូរយើងបន្ថែមអថេរឯករាជ្យចំនួនពីរ - យើងទទួលបានអថេរចៃដន្យមួយដែលចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Simpson ដែលជាតំណាងក្រាហ្វិកដែលមានទម្រង់ជាត្រីកោណ isosceles ។ វាក៏មើលទៅមិនដូចច្បាប់ធម្មតាដែរ ប៉ុន្តែវាប្រសើរជាង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមអថេរចៃដន្យចំនួនបីដែលចែកចាយស្មើៗគ្នានោះ អ្នកនឹងទទួលបានខ្សែកោងដែលមានបីផ្នែកនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដែលស្រដៀងទៅនឹងខ្សែកោងធម្មតា។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមអថេរចៃដន្យចំនួនប្រាំមួយ នោះអ្នកនឹងទទួលបានខ្សែកោងដែលមិនខុសពីធម្មតានោះទេ។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់វិធីសាស្រ្តដែលត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ការទទួលបានអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា ហើយកុំព្យូទ័រទំនើបទាំងអស់ត្រូវបានបំពាក់ដោយឧបករណ៍ចាប់សញ្ញាសម្រាប់លេខចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នា (0, 1) ។

វិធីសាស្រ្តខាងក្រោមត្រូវបានណែនាំជាមធ្យោបាយជាក់ស្តែងមួយដើម្បីពិនិត្យមើលបញ្ហានេះ។ យើងបង្កើតចន្លោះពេលទំនុកចិត្តសម្រាប់ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ជាមួយនឹងកម្រិតមួយ។ នៅ= 0.997 យោងទៅតាមច្បាប់ចំនួនបី៖

ហើយប្រសិនបើចុងទាំងពីររបស់វាមិនលាតសន្ធឹងលើសពីផ្នែក (0, 1) នោះច្បាប់ធម្មតាអាចត្រូវបានប្រើ។ ប្រសិនបើព្រំដែនណាមួយនៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្តគឺនៅក្រៅផ្នែក (0, 1) នោះច្បាប់ធម្មតាមិនអាចប្រើបានទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន ច្បាប់ binomial សម្រាប់ប្រេកង់នៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយចំនួន ប្រសិនបើវាមិនមានទំនោរទៅធម្មតានោះ វាអាចមានទំនោរទៅច្បាប់មួយផ្សេងទៀត។

នៅក្នុងកម្មវិធីជាច្រើន គ្រោងការណ៍ Bernoulli ត្រូវបានប្រើជាគំរូគណិតវិទ្យានៃការពិសោធន៍ចៃដន្យ ដែលក្នុងនោះចំនួននៃការសាកល្បង ទំមានទំហំធំ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យគឺកម្រណាស់ ពោលគឺឧ។ រ = ល។មិនតូច ប៉ុន្តែក៏មិនអស្ចារ្យដែរ (ប្រែប្រួលក្នុងជួរ O -5-20)។ ក្នុងករណីនេះ ទំនាក់ទំនងកំណត់មាន៖

រូបមន្ត (9.20) ត្រូវបានគេហៅថាការប៉ាន់ស្មាន Poisson សម្រាប់ច្បាប់ binomial ចាប់តាំងពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៅផ្នែកខាងស្តាំរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់របស់ Poisson ។ ការចែកចាយ Poisson ត្រូវបានគេនិយាយថាជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍កម្រ ព្រោះវាកើតឡើងនៅពេលដែលដែនកំណត់ត្រូវបានពេញចិត្ត៖ ទំ -»°°, រ-»0 ប៉ុន្តែ X = pr oo ។

ឧទាហរណ៍។ ថ្ងៃកំណើត។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេ R t (k)ក្នុង​សង្គម​មួយ​ដែល​មាន​មនុស្ស ៥០០ នាក់។ ទៅមនុស្សកើតនៅថ្ងៃចូលឆ្នាំ? ប្រសិនបើមនុស្ស 500 នាក់នេះត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ នោះគម្រោងរបស់ Bernoulli អាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ P =១/៣៦៥។ បន្ទាប់មក

ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ផ្សេងៗ ទៅផ្តល់តម្លៃដូចខាងក្រោមៈ RU = 0,3484...; រ ២ = 0,2388...; R ៣ = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R ៥ = 0,0101...; R ៦= 0.0023... ការប៉ាន់ស្មានដែលត្រូវគ្នាដោយប្រើរូបមន្ត Poisson សម្រាប់ X = 500 1/365 = 1,37

ផ្តល់តម្លៃដូចខាងក្រោមៈ រូ = 0,3481...; រ ២ = 0,2385...; R ъ = 0,1089; R ៤ = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0.0023... កំហុសទាំងអស់គឺមានតែនៅក្នុងខ្ទង់ទសភាគទីបួនប៉ុណ្ណោះ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃស្ថានភាពដែលអ្នកអាចប្រើច្បាប់របស់ Poisson នៃព្រឹត្តិការណ៍ដ៏កម្រ។

នៅឯការផ្លាស់ប្តូរទូរស័ព្ទ ការតភ្ជាប់មិនត្រឹមត្រូវកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេទាប Rជាធម្មតា រ~ 0.005 ។ បន្ទាប់មករូបមន្តរបស់ Poisson អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការតភ្ជាប់មិនត្រឹមត្រូវសម្រាប់ចំនួនសរុបនៃការតភ្ជាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ n~ 1000 ពេល X = pr =1000 0,005 = 5.

នៅពេលដុតនំនំបន្ថែម raisins ទៅ dough ។ វាគួរតែត្រូវបានគេរំពឹងថា ដោយសារតែការកូរ ភាពញឹកញាប់នៃនំ raisin នឹងប្រហាក់ប្រហែលនឹងការចែកចាយ Poisson R p (k, X),កន្លែងណា X-ដង់ស៊ីតេនៃ raisins នៅក្នុង dough នេះ។

សារធាតុវិទ្យុសកម្មបញ្ចេញភាគល្អិត i ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលចំនួននៃភាគល្អិត d ឈានដល់តាមពេលវេលា tតំបន់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៃ​ចន្លោះ​, យក​តម្លៃ​ថេរ​មួយ​ ទៅ,គោរពច្បាប់របស់ Poisson ។

ចំនួនកោសិការស់ជាមួយនឹងក្រូម៉ូសូមដែលបានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលប៉ះពាល់នឹងកាំរស្មី X បន្ទាប់ពីការចែកចាយ Poisson ។

ដូច្នេះច្បាប់នៃចំនួនធំធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហានៃស្ថិតិគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងការប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនស្គាល់នៃលទ្ធផលបឋមនៃការពិសោធន៍ចៃដន្យ។ សូមអរគុណចំពោះចំណេះដឹងនេះ យើងធ្វើឱ្យវិធីសាស្រ្តនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេមានអត្ថន័យ និងមានប្រយោជន៍។ ច្បាប់នៃចំនួនធំក៏ធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហានៃការទទួលបានព័ត៌មានអំពីប្រូបាប៊ីលីតេបឋមដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងទម្រង់មួយផ្សេងទៀត - ទម្រង់នៃការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្មស្ថិតិ។

ចូរយើងពិចារណាឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីការបង្កើត និងយន្តការប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្មស្ថិតិ។

ច្បាប់នៃចំនួនធំនៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ចែងថា មធ្យមភាគ (មធ្យមនព្វន្ធ) នៃគំរូកំណត់ធំគ្រប់គ្រាន់ពីការចែកចាយថេរ គឺជិតនឹងមធ្យមភាគទ្រឹស្តី (ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា) នៃការចែកចាយនេះ។ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃការបង្រួបបង្រួម ភាពខុសគ្នាមួយត្រូវបានធ្វើឡើងរវាងច្បាប់ខ្សោយនៃចំនួនធំ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាកើតឡើងក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេ និងច្បាប់ខ្លាំងនៃចំនួនធំ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាកើតឡើងស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង។

វាតែងតែមានចំនួនកំណត់នៃការសាកល្បងដែលក្នុងនោះ ដោយមានប្រូបាប៊ីលីតេជាមុនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺតិចជាង 1 ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួននឹងខុសគ្នាតិចបំផុតតាមដែលអាចធ្វើទៅបានពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។

អត្ថន័យទូទៅនៃច្បាប់នៃចំនួនធំ៖ សកម្មភាពរួមគ្នានៃកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំដូចគ្នាបេះបិទ និងឯករាជ្យនាំទៅរកលទ្ធផលដែលក្នុងដែនកំណត់មិនអាស្រ័យលើឱកាស។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដោយផ្អែកលើការវិភាគគំរូកំណត់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ។ ឧទាហរណ៍ច្បាស់លាស់គឺការព្យាករណ៍លទ្ធផលបោះឆ្នោតដោយផ្អែកលើការស្ទង់មតិគំរូនៃអ្នកបោះឆ្នោត។

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

1 / 5

✪ ច្បាប់នៃចំនួនធំ

✪ ០៧ - ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ច្បាប់នៃលេខធំ

✪ 42 ច្បាប់នៃលេខធំ

✪ 1 - ច្បាប់របស់ Chebyshev នៃចំនួនធំ

✪ ថ្នាក់ទី១១ មេរៀនទី២៥ ខ្សែកោង Gaussian ។ ច្បាប់នៃលេខធំ

ចំណងជើងរង

សូមក្រឡេកមើលច្បាប់នៃចំនួនធំ ដែលប្រហែលជាច្បាប់វិចារណញាណបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ហើយ​ដោយ​សារ​វា​អនុវត្ត​ទៅ​លើ​រឿង​ជា​ច្រើន ជួនកាល​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ហើយ​យល់​ច្រឡំ។ ខ្ញុំសូមកំណត់វាជាមុនសិនសម្រាប់ភាពត្រឹមត្រូវ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពីវិចារណញាណ។ ចូរយកអថេរចៃដន្យ ឧទាហរណ៍ X. ចូរនិយាយថាយើងដឹងពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា ឬជាមធ្យមសម្រាប់ចំនួនប្រជាជន។ ច្បាប់នៃលេខធំនិយាយយ៉ាងសាមញ្ញថា ប្រសិនបើយើងយកឧទាហរណ៍នៃចំនួន nth នៃការសង្កេតនៃអថេរចៃដន្យ ហើយយកជាមធ្យមនៃការសង្កេតទាំងអស់នោះ... ចូរយើងយកអថេរមួយ។ ចូរហៅវាថា X ដោយប្រើអក្សររង n និងរបារនៅខាងលើ។ នេះគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួន nth នៃការសង្កេតនៃអថេរចៃដន្យរបស់យើង។ នេះជាការសង្កេតដំបូងរបស់ខ្ញុំ។ ខ្ញុំធ្វើការពិសោធន៍ម្តង ហើយធ្វើការសង្កេតនេះ បន្ទាប់មកខ្ញុំធ្វើវាម្តងទៀត ហើយធ្វើការសង្កេតនេះ ហើយខ្ញុំធ្វើវាម្តងទៀត និងទទួលបាននេះ។ ខ្ញុំ​ធ្វើ​ការ​ពិសោធន៍​នេះ​ជា​ចំនួន​លើក​ទី​មួយ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ចែក​តាម​ចំនួន​ការ​សង្កេត​របស់​ខ្ញុំ។ នេះគឺជាគំរូរបស់ខ្ញុំ។ នេះគឺជាមធ្យមភាគនៃការសង្កេតទាំងអស់ដែលខ្ញុំបានធ្វើ។ ច្បាប់នៃលេខធំប្រាប់យើងថា មធ្យមគំរូរបស់ខ្ញុំនឹងខិតជិតតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យ។ ឬខ្ញុំក៏អាចសរសេរថា មធ្យមគំរូរបស់ខ្ញុំនឹងខិតជិតចំនួនប្រជាជនសម្រាប់បរិមាណទី 9 ដែលទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់។ ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើឱ្យមានភាពខុសគ្នាច្បាស់លាស់រវាង "ការប៉ាន់ប្រមាណ" និង "ការបញ្ចូលគ្នា" ប៉ុន្តែខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកយល់ដោយវិចារណញាណថា ប្រសិនបើខ្ញុំយកគំរូដ៏ធំមួយនៅទីនេះ ខ្ញុំនឹងទទួលបានតម្លៃរំពឹងទុកសម្រាប់ប្រជាជនទាំងមូល។ ខ្ញុំគិតថាអ្នកភាគច្រើនយល់ដោយវិចារណញាណថា ប្រសិនបើខ្ញុំធ្វើតេស្ដឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ជាមួយនឹងគំរូដ៏ធំ នោះទីបំផុតការធ្វើតេស្តនឹងផ្តល់ឱ្យខ្ញុំនូវតម្លៃដែលខ្ញុំរំពឹងទុក ដោយគិតគូរពីតម្លៃដែលរំពឹងទុក និងប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រមទាំងចង្វាក់ jazz ទាំងអស់។ ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​គិត​ថា​វា​ជា​ញឹក​ញាប់​មិន​ច្បាស់​ថា​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​រឿង​នេះ​កើត​ឡើង។ ហើយមុននឹងខ្ញុំចាប់ផ្តើមពន្យល់ពីមូលហេតុនេះ ខ្ញុំសូមលើកឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។ ច្បាប់នៃលេខធំប្រាប់យើងថា... ចូរនិយាយថាយើងមានអថេរ X ចៃដន្យ។ វាស្មើនឹងចំនួនក្បាលក្នុង 100 បោះកាក់ស្មើៗគ្នា។ ដំបូងយើងដឹងពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យនេះ។ នេះគឺជាចំនួននៃការបោះកាក់ ឬការសាកល្បងគុណនឹងចំនួនសេសនៃភាពជោគជ័យនៃការសាកល្បងណាមួយ។ ដូច្នេះនេះគឺស្មើនឹង 50 ។ នោះគឺច្បាប់នៃចំនួនធំនិយាយថាប្រសិនបើយើងយកគំរូមួយឬប្រសិនបើខ្ញុំជាមធ្យមការសាកល្បងទាំងនេះខ្ញុំនឹងទទួលបាន។ លើកទីមួយដែលខ្ញុំធ្វើតេស្ដ ខ្ញុំនឹងបោះកាក់មួយរយដង ឬខ្ញុំនឹងយកប្រអប់មួយរយកាក់មកអ្រងួន រួចរាប់ថាខ្ញុំទទួលបានប៉ុន្មានក្បាល នោះខ្ញុំនឹងទទួល។ លេខ 55។ នោះជា X1។ បន្ទាប់មកខ្ញុំអ្រងួនប្រអប់ម្តងទៀត ហើយទទួលបានលេខ 65។ បន្ទាប់មកម្តងទៀត ហើយខ្ញុំទទួលបាន 45។ ហើយខ្ញុំធ្វើលេខ n នេះ ហើយបន្ទាប់មកចែកវាដោយចំនួននៃការសាកល្បង។ ច្បាប់នៃចំនួនធំប្រាប់យើងថាជាមធ្យមនេះ (ជាមធ្យមនៃការសង្កេតរបស់ខ្ញុំទាំងអស់) នឹងខិតជិត 50 នៅពេលដែល n ខិតជិតគ្មានកំណត់។ ឥឡូវនេះខ្ញុំចង់និយាយបន្តិចអំពីមូលហេតុដែលរឿងនេះកើតឡើង។ មនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើបន្ទាប់ពីការសាកល្បង 100 លទ្ធផលរបស់ខ្ញុំគឺលើសពីមធ្យមនោះ យោងទៅតាមច្បាប់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ ខ្ញុំគួរតែទទួលបានក្បាលច្រើន ឬតិច ដើម្បីនិយាយ ទូទាត់សងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា។ នោះមិនមែនជាអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនោះទេ។ នេះ​ជា​ញឹក​ញាប់​គេ​ហៅ​ថា "ការ​បោក​បញ្ឆោត​របស់​អ្នក​លេង​ល្បែង"។ ខ្ញុំសូមបង្ហាញអ្នកពីភាពខុសគ្នា។ ខ្ញុំនឹងប្រើឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។ សូមឱ្យខ្ញុំគូរក្រាហ្វ។ តោះផ្លាស់ប្តូរពណ៌។ នេះគឺជា n អ័ក្ស x របស់ខ្ញុំគឺ n ។ នេះជាចំនួនតេស្តដែលខ្ញុំនឹងធ្វើ។ ហើយអ័ក្ស Y របស់ខ្ញុំនឹងក្លាយជាមធ្យមគំរូ។ យើងដឹងថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរបំពាននេះគឺ 50 ។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំគូរនេះ។ នេះគឺ 50។ ចូរត្រឡប់ទៅឧទាហរណ៍របស់យើង។ ប្រសិនបើ n គឺ... នៅលើការធ្វើតេស្តដំបូងរបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំទទួលបាន 55 នោះជាមធ្យមរបស់ខ្ញុំ។ ខ្ញុំ​មាន​ចំណុច​បញ្ចូល​ទិន្នន័យ​តែ​មួយ​គត់។ បន្ទាប់​មក​បន្ទាប់​ពី​ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​ពីរ​ដង​ខ្ញុំ​ទទួល​បាន 65 ។ ដូច្នេះ​មធ្យម​ភាគ​របស់​ខ្ញុំ​នឹង​ត្រូវ​បាន 65+55 ចែក​នឹង 2 ។ នោះ​ជា 60 ។ ហើយ​មធ្យម​ភាគ​របស់​ខ្ញុំ​បាន​កើន​ឡើង​បន្តិច​។ បន្ទាប់មកខ្ញុំទទួលបានលេខ 45 ដែលបន្ថយជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់ខ្ញុំម្តងទៀត។ ខ្ញុំនឹងមិនគ្រោង 45 ទេ។ ឥឡូវនេះខ្ញុំត្រូវការជាមធ្យមទាំងអស់នេះ។ តើ 45+65 ស្មើនឹងអ្វី? អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំគណនាតម្លៃនេះដើម្បីតំណាងឱ្យចំណុច។ នោះហើយជា 165 ចែកនឹង 3។ នោះហើយជា 53។ ទេ 55។ ដូច្នេះជាមធ្យមធ្លាក់ចុះមក 55។ យើងអាចបន្តការធ្វើតេស្តទាំងនេះបាន។ បន្ទាប់ពីយើងធ្វើការសាកល្បងចំនួន 3 ដង និងទទួលបានមធ្យមភាគនោះ មនុស្សជាច្រើនគិតថា ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ព្រះជាម្ចាស់នឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាយើងទទួលបានចំនួនតិចជាងមុននាពេលអនាគត ដែលការសាកល្បងពីរបីបន្ទាប់នឹងមានពិន្ទុទាបដើម្បីបន្ថយមធ្យមភាគ។ ប៉ុន្តែវាមិនតែងតែជាករណីនោះទេ។ ដោយ​សារ​តែ​អ្នក​ទទួល​បាន​ក្បាល​ច្រើន​មិន​សមាមាត្រ​មិន​មែន​មាន​ន័យ​ថា​នៅ​ពេល​ណា​មួយ​អ្នក​នឹង​ចាប់​ផ្តើម​ទទួល​បាន​កន្ទុយ​ច្រើន​មិន​សមាមាត្រ​នោះ​ទេ។ នេះមិនមែនជាការពិតទាំងស្រុងនោះទេ។ ច្បាប់នៃចំនួនច្រើនប្រាប់យើងថាវាមិនសំខាន់ទេ។ ចូរនិយាយថាបន្ទាប់ពីចំនួនកំណត់ជាក់លាក់នៃការធ្វើតេស្ត ជាមធ្យមរបស់អ្នក... ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការនេះគឺតូចណាស់ ប៉ុន្តែយ៉ាងណាក៏ដោយ... ចូរនិយាយថាជាមធ្យមរបស់អ្នកបានឈានដល់សញ្ញានេះ - 70 ។ អ្នកគិតថា "Wow យើងបានផ្លាស់ប្តូរឆ្ងាយពីតម្លៃដែលរំពឹងទុក"។ ប៉ុន្តែច្បាប់នៃចំនួនច្រើននិយាយថាវាមិនខ្វល់ថាយើងធ្វើតេស្តប៉ុន្មានទេ។ យើង​នៅ​មាន​បញ្ហា​ប្រឈម​ចំនួន​មិន​ចេះ​ចប់​នៅ​ខាង​មុខ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនសាកល្បងគ្មានកំណត់នេះ ជាពិសេសក្នុងស្ថានភាពបែបនេះ នឹងមានដូចខាងក្រោម។ នៅពេលអ្នកមកដល់លេខកំណត់ដែលបង្ហាញពីតម្លៃធំមួយចំនួន លេខគ្មានកំណត់ដែលរួមជាមួយនឹងវាម្តងទៀតនឹងនាំទៅរកតម្លៃដែលរំពឹងទុក។ នេះជាការពិតណាស់ ការបកស្រាយដ៏ធូររលុង ប៉ុន្តែនេះជាអ្វីដែលច្បាប់នៃចំនួនច្រើនប្រាប់យើង។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ជួបគ្នានៅវីដេអូបន្ទាប់!

ច្បាប់ខ្សោយនៃចំនួនធំ

ច្បាប់ខ្សោយនៃចំនួនច្រើនត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Bernoulli បន្ទាប់ពីលោក Jacob Bernoulli ដែលបានបង្ហាញវានៅឆ្នាំ 1713 ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានលំដាប់គ្មានកំណត់ (ការរាប់បញ្ចូលតាមលំដាប់លំដោយ) នៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយដូចគ្នានិងមិនជាប់ទាក់ទងគ្នា។ នោះគឺភាពឆបគ្នារបស់ពួកគេ។ c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \ mathrm (cov) (X_(i), X_(j))=0,\;\forall i\not =j). អនុញ្ញាតឱ្យ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយមធ្យមភាគគំរូនៃទីមួយ n (\displaystyle n)សមាជិក៖

.

បន្ទាប់មក X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P))\mu ).

នោះគឺសម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ។ ε (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (|X ¯ n − μ|< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

ពង្រឹងច្បាប់នៃចំនួនធំ

អនុញ្ញាតឱ្យមានលំដាប់អថេរនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយដោយឯករាជ្យ ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty))កំណត់លើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេមួយ។ (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). អនុញ្ញាតឱ្យ E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N)). ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))គំរូមធ្យមដំបូង n (\displaystyle n)សមាជិក៖

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N)).

បន្ទាប់មក X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu)ស្ទើ​តែ​រហូត។

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty)(\bar (X))_(n)=\mu \ ស្តាំ)=1.) .

ដូចច្បាប់គណិតវិទ្យាណាមួយដែរ ច្បាប់នៃចំនួនធំអាចអនុវត្តបានតែចំពោះពិភពពិតក្រោមការសន្មត់ជាក់លាក់ដែលអាចបំពេញបានជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ ជាឧទាហរណ៍ លក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្តជាបន្តបន្ទាប់ ជារឿយៗមិនអាចរក្សាបានដោយគ្មានកំណត់ និងជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដាច់ខាត។ លើសពីនេះទៀតច្បាប់នៃចំនួនធំនិយាយតែអំពី ភាពមិនអាចទៅរួចគម្លាតយ៉ាងសំខាន់នៃតម្លៃមធ្យមពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។