Ойындар

Монгтың күрделі суреті. Монж әдісі, көп сызба Нүктелік проекция, көп сызба

Дәріс

«Инженерлік графика» тақырыбы

Бөлім. 1 Сызба геометрия

Құрастырған: Шагвалеева.Г.Н.

Кіріспе.

Сызба геометрияны бейнелер теориясы деп те атайды. Сызба геометрия пәні – жазық сызбада кеңістік фигураларын бейнелеу әдістерін және жазық сызбада кеңістіктік геометриялық есептерді шығару әдістерін көрсету және негіздеу.Онда стереометриялық (үш өлшемді) объектілер осы объектілердің планиметриялық (екі өлшемді) кескіндерінің, проекцияларының көмегімен талқыланады.

Олар сызу – технология тілі, ал сызба геометрия – бұл тілдің грамматикасы дейді. Сызба геометрия нақты машина жасау өнімдерінің толық графикалық үлгілері болып табылатын техникалық сызбаларды құрудың теориялық негізі болып табылады.

Сызба геометриясында берілген кескіндерді салу ережелері негізделген проекциялау әдісі.

Сызба геометрияны оқу кеңістіктік бейнелеу мен қиялды, конструктивті геометриялық ойлауды дамытуға, кеңістіктік формаларды және олардың арасындағы байланыстарды талдау және синтездеу қабілеттерін дамытуға ықпал етеді. Әртүрлі геометриялық кеңістік объектілерін тұрғызу әдістерін, олардың сызбаларын графикалық модельдер деңгейінде алу тәсілдерін меңгеру және кеңістіктік объектілерге және олардың геометриялық сипаттамаларына байланысты осы сызбалар бойынша есептер шығара білу.

Сызба геометрияның ғылым ретінде негізін француз ғалымы және инженері Гаспард Монж (1746-1818) өзінің «Сызба геометрия» еңбегінде, Париж, 1795 ж. салды. Гаспард Монж стереометриялық есептерді геометриялық конструкциялар арқылы шешудің жалпы әдісін берді. жазықтықта, яғни сызбада сызу құралдарын пайдалана отырып.

Қабылданған белгілер.

A, B, C, D, -нүктелер латын әліпбиінің бас әріптерімен белгіленеді;

a, b, c, d - жолдар - латын әліпбиінің кіші әріптерімен;

p 1 - проекциялардың көлденең жазықтығы,

p 2 - проекциялардың фронтальды жазықтығы,

p 3 - проекциялардың профильдік жазықтығы,

p 4 , p 5 , ... - қосымша проекция жазықтықтары.

ұшақтар

Проекция осьтері – латын әліпбиінің кіші әріптерімен: x, y және z. Координаталар басы 0 саны болып табылады.

Нүктелердің, түзудің, жазықтықтың проекциялары көрсетілген: p 1-де бір штрихпен, p 2-де екі, р-де - үш штрихпен.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

б 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Проекциялардың қалыптасуы.

1 Орталық проекция.

Орталық проекциялық аппарат S проекциялау орталығынан, π проекциялық жазықтықтан, проекциялық сәулелерден тұрады.

π 1 – проекция жазықтығы

S – проекциялық орталық

A, B, C – кеңістіктегі нүктелер

A", B", C" - нүктелердің π" жазықтығына проекциялары.

Проекция – проекциялық сәуленің проекция жазықтығымен қиылысу нүктесі.

2. Параллель проекция.

Проекциялық сәулелер S-ке және бір-біріне параллель жүргізіледі. Параллель проекциялар қиғаш және тікбұрышты болып бөлінеді. Қиғаш проекцияда сәулелер проекциялық жазықтыққа бұрышта орналасады.

Тік бұрышты проекцияда проекциялық сәулелер проекция жазықтығына перпендикуляр болады (1.3-сурет). Тік бұрышты проекциялау – техникалық сызбаларды салуда қабылданған негізгі проекциялау әдісі.

Ортогональды проекцияның негізгі қасиеттері

1. Нүктенің проекциясы – нүкте бар;

2. Түзу проекциясы (жалпы жағдайда) – түзу немесе нүкте бар (түзу проекция жазықтығына перпендикуляр);

3. Егер нүкте түзудің бойында жатса, онда бұл нүктенің проекциясы түзудің проекциясына жатады: А l ® A «l»;

4. Кеңістіктегі екі түзу параллель болса, олардың аттас проекциялары да параллель болады: а || b ® a` || b`;

5. Егер екі түзу қандай да бір нүктеде қиылысатын болса, онда олардың аттас проекциялары осы нүктенің сәйкес проекциясында қиылысады: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Бір түзуде немесе екі параллель түзуде жатқан кесінділердің пропорционалдылығы олардың проекцияларында да сақталады (1.3-сурет): AB: CD \u003d A «B»: C «D»

7. Екі өзара перпендикуляр түзудің біреуі проекциялар жазықтығына параллель болса, онда тік бұрыш осы жазықтыққа тік бұрышпен проекцияланады (1.4-сурет).

Нүктенің күрделі сызбасы немесе Монж сызбалары.

Сызба геометриясының тәжірибеде кең тараған әдісін Гаспард Монж ұсынған. Бұл әдіс ортогональды дизайнға негізделген.

А нүктесінің π 1 жазықтығына ортогональ (немесе тікбұрышты) проекциясы А нүктесінен π 1 жазықтығына түсірілген перпендикулярдың табаны деп аталады (1.5-сурет).

Бұл жағдайда π 1 жазықтығында алынған сызба қайтымсыз, түпнұсқа А мен проекцияның А арасындағы сәйкестік «тек бір бағытта бірегей: түпнұсқадан проекцияға. Түпнұсқа бір проекцияға, түпнұсқа сызбаға сәйкес келеді. бірегей түрде анықталған, бірақ А" проекциясы үшін оған сәйкес келетін сансыз түпнұсқалар бар, атап айтқанда AA проекциялау сызығының барлық нүктелері". Сызба тілінен табиғат тіліне дәл аудару мүмкін емес. Сондықтан Монж енгізеді. екінші проекция жазықтығы.

Күріш. 1.6. 1-сурет. 7.

Суретте. 6. тікбұрышты координаталар жүйесін көрсетеді.

Енді π 1 және π 2 жазықтықтарын X осінің айналасында π 1-ді 90 0 бұру арқылы салынған проекциялармен біріктіріп, алдыңғы жарты жазықтық π 1 төменгі жарты жазықтықпен π 2 сәйкес келетіндей етіп аламыз. күрделі нүкте сызбасынемесе Монж диаграммасы. (1.7-сурет).

Осы ережелерге сәйкес салынған проекциялық қатынаста орналасқан проекциялар жұбынан тұратын сызба қайтымды, яғни түпнұсқа мен сызба арасындағы сәйкестік екі бағытта да бір мәнді. Немесе басқаша айтқанда, сызба түпнұсқа туралы жан-жақты ақпарат береді. Бұл ақпаратты шешу сызба геометриясының пәні болып табылады.

Нүктенің күрделі сызбасынан келесі қорытынды жасауға болады:

1. нүктенің екі проекциясы нүктенің кеңістіктегі орнын толық анықтайды;

2. нүктелердің проекциялары әрқашан проекция осіне перпендикуляр байланыс сызығында жатады.

Нүктелердің проекцияларын қосатын сызықтар байланыс сызықтары деп аталады және тұтас жіңішке сызықтар түрінде бейнеленген.

Бірқатар конструкцияларда және есептерді шешу кезінде жүйеге π 1 (көлденең жазықтық) π 2 (фронтальды жазықтық) және басқа проекциялық жазықтықтарды енгізу қажет болып шығады. π 1 және π 1 екеуіне де перпендикуляр жазықтық профиль жазықтығы болып табылады. π 3. Көлденең және фронтальды жазықтықтардың қиылысу сызығы X осін, көлденең және профильді жазықтықтардың қиылысу сызығы У осін, ал фронтальды және профильді жазықтықтардың қиылысу сызығы Z осін береді (1-сурет). 8)

Нүктенің күрделі сызбасын алу үшін үш жазықтықты біреуіне орналастыру керек, ол үшін біз Y осін «қиып» аламыз және үш негізгі проекциялық жазықтықты біреуіне біріктіреміз (1. 9-сурет).

Үшінші проекция түпнұсқа туралы ешқандай жаңа ақпаратты қоспайды. Ол тек қолжетімді ақпаратты сіңімді етеді. (1.10-сурет)

А нүктесінен кеңістіктегі π 3 (A A "") жазықтығына дейінгі қашықтықты сызбада көруге болады және ол A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X қашықтыққа тең.

А нүктесінен кеңістіктегі π 2 (A A") жазықтығына дейінгі қашықтықты сызбада көруге болады және ол A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y" қашықтыққа тең.

А нүктесінен кеңістіктегі π 1 (A A") жазықтығына дейінгі қашықтықты сызбада көруге болады және ол A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z" қашықтыққа тең.

Мысал. A(10, 10,30), B(30,20,10) нүктелерінің проекцияларын құру

Жарыс ұпайлары.

Бір аттас проекциялардың бір жұбы сәйкес келетін (ал басқалары сәйкес келмейтін) нүктелер бәсекелес нүктелер деп аталады.

Нүктелер фронталь проекция жазықтығына перпендикуляр бір проекциялық түзуде орналасқан. Көру бағыты көрсеткі арқылы көрсетіледі. Бұл жағдайда В" проекциясы бақылаушыға А-ға қарағанда жақынырақ, ал π 2-де В"" проекциясы көрінетін болады, ал А"" проекциясы көрінбейтін болады (1.12-сурет).

« ұғымы жоғарырақ төмен»

Нүктелер горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр бір проекциялық түзуде орналасқан. Көру бағыты көрсеткі арқылы көрсетіледі. Бұл жағдайда А «» проекциясы бақылаушыға В «» қарағанда жақынырақ, ал π 1-де А» проекциясы көрінетін болады, ал В» проекциясы көрінбейтін болады (1.13-сурет).

Монге диаграммасы немесе күрделі сызба – геометриялық фигураның өзара байланысты екі немесе одан да көп ортогональ проекцияларынан тұратын сызба.

Геометриялық фигуралардың ортогональ проекцияларын бейнелеу үшін кеңістік макетін пайдалану оның көлемділігіне байланысты ыңғайсыз, сонымен қатар оны қағаз парағына ауыстырған кезде жобаланатын фигураның пішіні мен өлшемі H және W бетінде бұрмаланатындықтан ыңғайсыз. ұшақтар.
Сондықтан кеңістіктік орналасу сызбасындағы кескіннің орнына Монж сюжеті қолданылады.

Монж диаграммасы H және W жазықтықтарын фронталь проекциялық V жазықтығымен біріктіру арқылы кеңістіктік орналасуды түрлендіру арқылы алынады:
- H жазықтығын V-мен туралау үшін оны х осінің айналасында сағат тілінің бағытымен 90 градусқа бұраңыз. Суретте, анық болу үшін, ұшақ Хось кезінде 90 градустан сәл аз бұрышпен бұрылды ж, көлденең проекция жазықтығына жататын, айналудан кейін осьпен сәйкес келеді z;
- көлденең жазықтықты теңестіргеннен кейін осьтің айналасында айналдырыңыз zсонымен қатар профиль жазықтығына 90 градус бұрышта сағат тілімен қозғалысқа қарсы бағытта. Сонымен бірге ось ж, проекцияның профильдік жазықтығына жататын, айналудан кейін осьпен сәйкес келеді x.

Трансформациядан кейін кеңістіктік орналасу суретте көрсетілген пішінді алады. Бұл суретте проекциялық жазықтықтардың еденінің салыстырмалы орналасуының реттілігі де көрсетілген, сондықтан жазба ВМонге сюжетінің осы бөлігінде (осьтердің оң бағытымен шектелген) көрсетеді xЖәне z) бізге жақынырақ фронталь проекция жазықтығының сол жақ жоғарғы қабаты В, оның артында көлденең проекциялық жазықтықтың артқы сол жақ қабаты орналасқан Х, одан кейін профильдік жазықтықтың жоғарғы артқы қабаты В.

Жазықтықтардың шекаралары болмағандықтан, біріктірілген күйде (диаграммада) бұл шекаралар көрсетілмеген, проекциялық жазықтықтардың еденінің орнын көрсететін жазуларды қалдырудың қажеті жоқ. Координаталық осьтердің теріс бағыты қай жерде екенін еске салу да артық. Содан кейін, оның соңғы түрінде, кеңістіктік орналасу сызбасын ауыстыратын Монж диаграммасы суретте көрсетілген пішінді алады.

Монж сюжетін мыналармен жасауға болады:

- кәдімгі сызу құралдары мен құрылғылары:
Сурет салу құралдары;
Сурет салу керек-жарақтары мен құрылғылары;
- Монж диаграммасын құруға (сызуға) арналған программалар: Графикалық редакторда сурет салу.

Монж диаграммасын құрастырудың мысалы ретінде АВС тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрышты салу мәселесінің шешімін ұсынамыз:

— мәселенің шарты бойынша белгілі қара түспен көрсетіледі;
- жасыл түсте есепті шешуге әкелетін барлық конструкциялар көрсетіледі;
- ізделетін тапсырмалар қызыл түспен көрсетіледі.
Есептің шарты бойынша ABC(A`B`C`, A»B»...») үшбұрышының проекциялары берілген. Есепті шешу үшін жетіспейтін С проекциясын табу керек.

Монж әдісі, күрделі сызу.

Нүктелік проекциялар, күрделі сызу.

Өзара перпендикуляр проекция жазықтықтары.

Тік бұрышты екіге және үшке проекциялау әдістері

Орфоэпиялық проекцияның қасиеттері

Негізгі және өзгермейтін қасиеттері Ортогональды проекцияның (инварианттары) мыналар:

1) нүкте проекциясы – нүкте;

2) түзу проекциясы – жалпы жағдайда түзу; егер проекцияның бағыты түзудің бағытымен сәйкес келсе, онда соңғысының проекциясы нүкте болып табылады;

3) егер нүкте түзуге жататын болса, онда бұл нүктенің проекциясы түзудің проекциясына жатады.

4) параллель түзулердің проекциялары бір-біріне параллель;

5) түзу кесінділерінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең;

6) екі параллель түзудің кесінділерінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең;

7) екі түзудің қиылысу нүктесінің проекциясы осы түзулердің проекцияларының қиылысу нүктесі болып табылады;

8) егер түзу немесе жазық фигура проекциялар жазықтығына параллель болса, онда олар осы жазықтыққа бұрмаланбай проекцияланады;

9) егер тік бұрыштың ең болмағанда бір қабырғасы проекциялар жазықтығына параллель болса, ал екіншісі оған перпендикуляр болмаса, онда тік бұрыш осы жазықтыққа тік бұрышқа проекцияланады.

Егер нүктенің проекция жазықтығына қатысты қашықтығы туралы мәлімет сандық белгінің көмегімен емес, екінші проекциялық жазықтықта салынған нүктенің екінші проекциясының көмегімен берілсе, онда сызба деп аталады. екі сурет немесе жан-жақты. Мұндай сызбаларды құрудың негізгі принциптері келтірілген Гаспард Монж - 18 ғасырдың соңы мен 19 ғасырдың басындағы француздың ірі геометрі, 1789-1818 жж. Париждегі атақты политехникалық мектептің негізін салушылардың бірі және өлшемдер мен салмақтардың метрикалық жүйесін енгізу жұмыстарының қатысушысы.

Мұндай бейнелердің бірте-бірте жинақталған жекелеген ережелері мен әдістері жүйеге енгізіліп, Г.Монждың «Геометрия дескриптивтік» еңбегінде дамыды.

Монждың екі өзара перпендикуляр проекциялық жазықтыққа ортогональды проекциялау әдісі техникалық сызбаларды құрудың негізгі әдісі болды және болып қала береді.

Г.Монж ұсынған әдіске сәйкес кеңістікте өзара перпендикуляр екі проекция жазықтығы қарастырамыз (6-сурет). Проекциялық жазықтықтардың бірі П 1 көлденең орналастырылған, ал екіншісі П 2 - тігінен. П 1 - көлденең проекция жазықтығы, П 2 - фронтальды. Жазықтықтар шексіз және мөлдір емес.

Проекциялық жазықтықтар кеңістікті төрт екібұрышты бұрыштарға – ширектерге бөледі. Ортогональды проекцияларды қарастыра отырып, бақылаушы бірінші ширекте проекция жазықтықтарынан шексіз үлкен қашықтықта болады деп есептеледі.

Сурет 6. Екі проекциялық жазықтықтың кеңістіктік моделі

Проекциялар жазықтықтарының қиылысу сызығы әдетте координаталар осі деп аталады және белгіленеді x 21 . Бұл жазықтықтар мөлдір емес болғандықтан, бақылаушыға сол бірінші тоқсанда орналасқан геометриялық нысандар ғана көрінеді. Көрсетілген проекциялардан тұратын жазық сызбаны алу үшін жазықтық П 1 ось айналасында айналу арқылы біріктіру x 12 пәтермен П 2 (6-сурет).Проекциялық сызба, оларда көрсетілгеннің бәрі бір-бірімен белгілі бір түрде біріктірілген проекциялық жазықтықтар деп аталады. Монж диаграммасы(французша Epure – сурет.) Немесе күрделі сызба.

Монж әдісі, күрделі сызу. - түсінігі және түрлері. «Монж әдісі, кешенді сызу» категориясының жіктелуі және ерекшеліктері. 2017, 2018 ж.

Біз бұрын қарастырған геометриялық нысанның бір жазықтыққа проекциясы геометриялық нысанның пішіні туралы толық және бір мағыналы түсінік бермейді. Сондықтан, кем дегенде екі өзара перпендикуляр жазықтықтың проекциясын қарастырайық (1.2-сурет), олардың біреуі көлденең, екіншісі тік.

Түсініктілігіне қарамастан 1.2-суретте көрсетілген сызбамен жұмыс істеу ыңғайсыз, себебі ондағы көлденең жазықтық бұрмаланумен көрсетілген. Сызбада проекциялық жазықтықтар бір жазықтықта, атап айтқанда сызба жазықтығында орналасқан әртүрлі конструкцияларды орындау ыңғайлырақ. Ол үшін көлденең жазықтықты OX осінің айналасында 90 ° бұрап, көлденең жазықтықтың алдыңғы қабаты төмен түсіп, артқы жағы жоғары көтерілетін етіп алдыңғы жағымен біріктіру керек. Бұл әдісті Г.Монге ұсынған.

Күріш. 1.2. Монж диаграммасын құру:

а) А нүктесінің проекцияларының орналасуының кеңістіктік суреті; б) А нүктесінің проекцияларының орналасуының жазық суреті.

Сондықтан осылай алынған сызба (1.2, б-сурет) Монж диаграммасы немесе күрделі сызба деп аталады.

Қарастырылып отырған геометриялық объектінің толық бейнесін алу үшін әдетте екі проекция жеткіліксіз. Сондықтан бірінші екеуіне ортогональды үшінші проекциялық жазықтықты енгізу ұсынылады (1. 3, а-сурет).

Күріш. 1.3. Үш суретті кешенді сызбаның құрылысы (монж диаграммасы):

а) проекциялық жазықтықтардың кеңістіктік моделі; б) үш суретті кешенді сызба.

Сосын ұшақ P 1горизонталь проекция жазықтығы деп аталады, P 2- проекциялардың фронтальды жазықтығы (өйткені ол алдыңғы жағында біздің алдымызда орналасқан), P 3- проекциялардың профильдік жазықтығы (бақылаушыға қатысты профильде орналасқан). Сәйкесінше A 1- нүктенің горизонталь проекциясы БІРАҚ, А 2- нүктенің фронталь проекциясы A, A 3- нүктенің профильдік проекциясы БІРАҚ.

осьтер О, ой, ОЗпроекция осьтері деп аталады. Олар декарттық координаталар жүйесінің координат осіне ұқсас, тек осьтен айырмашылығы бар. OHоңға емес, солға оң бағыт бар. Енді бір жазықтықта (сызба жазықтығы) проекцияларды алу үшін проекциялардың профильдік жазықтығын фронтальмен сәйкестендіру үшін де кеңейту қажет. Мұны істеу үшін оны осьтің айналасында 90 ° бұру керек унция, және ұшақтың алдыңғы жартысын оңға, ал артқы жағын солға бұраңыз. Нәтижесінде біз күріште көрсетілген үш суретті кешенді сызбаны аламыз (монж сызбалары). 1.3, б. Осьтен бастап Ойекі жазықтықпен бірге ашылады P 1Және P 3, содан кейін күрделі сызбада ол екі рет бейнеленген.

Осыдан проекциялар қатынасының маңызды ережесі шығады. Атап айтқанда, суретке негізделген. 1.3, а, математикалық түрде оны былай жазуға болады: A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Сондықтан мәтіндік формада ол келесідей естіледі: нүктенің көлденең проекциясынан оське дейінгі қашықтық OHкөрсетілген нүктенің профиль проекциясынан оське дейінгі қашықтыққа тең OZ. Содан кейін нүктенің кез келген екі проекциясынан үшіншісін салуға болады. Нүктенің горизонталь және фронталь проекциялары БІРАҚвертикальды байланыс сызығын, ал фронтальды және профильдік проекцияларды - көлденең байланыстырады.

Күрделі сызба жазықтықта бүктелген кеңістік моделі болғандықтан, онда проекциялық нүктені бейнелеу мүмкін емес (оның орны проекциялардың бірімен сәйкес келетін жағдайларды қоспағанда). Осыған сүйене отырып, күрделі сызбада біз геометриялық объектілердің өздерімен емес, олардың проекцияларымен әрекет ететінімізді есте ұстаған жөн.

Түсініктілігіне қарамастан 1.2-суретте көрсетілген сызбамен жұмыс істеу ыңғайсыз, себебі ондағы көлденең жазықтық бұрмаланумен көрсетілген. Сызбада проекциялық жазықтықтар бір жазықтықта, атап айтқанда сызба жазықтығында орналасқан әртүрлі конструкцияларды орындау ыңғайлырақ. Ол үшін горизонталь жазықтықты OX осінің айналасында 90 бұрап, алдыңғымен біріктіріп, көлденең жазықтықтың алдыңғы қабаты төмен түсіп, артқы жағы жоғары көтеріледі. Бұл әдісті Г.Монге ұсынған.

Күріш. 1.2. Монж диаграммасын құру:

Сондықтан осылай алынған сызба (1.2, б-сурет) Монж диаграммасы немесе күрделі сызба деп аталады.

Күріш. 1.3. Үш суретті кешенді сызбаның құрылысы (монж диаграммасы):

а) проекциялық жазықтықтардың кеңістіктік моделі; б) үш суретті кешенді сызба.

Сосын ұшақ П 1 горизонталь проекция жазықтығы деп аталады, П 2 - проекциялардың фронтальды жазықтығы (өйткені ол алдыңғы жағында біздің алдымызда орналасқан), П 3 - проекциялардың профильдік жазықтығы (бақылаушыға қатысты профильде орналасқан). Сәйкесінше БІРАҚ 1 - нүктенің горизонталь проекциясы БІРАҚ, БІРАҚ 2 - нүктенің фронталь проекциясы А, А 3 - нүктенің профильдік проекциясы БІРАҚ.

осьтер о, ойЫ, унцияпроекция осьтері деп аталады. Олар декарттық координаталар жүйесінің координат осіне ұқсас, тек осьтен айырмашылығы бар. OHоңға емес, солға оң бағыт бар. Енді бір жазықтықта (сызба жазықтығы) проекцияларды алу үшін проекциялардың профильдік жазықтығын фронтальмен сәйкестендіру үшін де кеңейту қажет. Ол үшін оны осьтің айналасында 90 бұру керек унция, және ұшақтың алдыңғы жартысын оңға, ал артқы жағын солға бұраңыз. Нәтижесінде біз күріште көрсетілген үш суретті кешенді сызбаны аламыз (монж сызбалары). 1.3, б. Осьтен бастап ТУРАЛЫЫекі жазықтықпен бірге ашылады П 1 Және П 3 , содан кейін күрделі сызбада ол екі рет бейнеленген.

Осыдан проекциялар қатынасының маңызды ережесі шығады. Атап айтқанда, суретке негізделген. 1.3, а, математикалық түрде оны былай жазуға болады: БІРАҚ 1 БІРАҚ x = ОА ж = А z БІРАҚ 3 . Сондықтан мәтіндік формада ол былай естіледі: нүктенің көлденең проекциясынан оське дейінгі қашықтық OHкөрсетілген нүктенің профиль проекциясынан оське дейінгі қашықтыққа тең ТУРАЛЫЗ. Содан кейін нүктенің кез келген екі проекциясынан үшіншісін салуға болады. Нүктенің горизонталь және фронталь проекциялары БІРАҚвертикальды байланыс сызығын, ал фронтальды және профильдік проекцияларды - көлденең байланыстырады.

Күрделі сызба жазықтықта бүктелген кеңістік моделі болғандықтан, онда жобаланатын нүктені бейнелеу мүмкін емес (оның орны проекциялардың бірімен сәйкес келетін жағдайларды қоспағанда). Осыған сүйене отырып, күрделі сызбада біз геометриялық объектілердің өздерімен емес, олардың проекцияларымен әрекет ететінімізді есте ұстаған жөн.