Қолөнер

Серпімділік теориясы есептерінің түрлері. Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері. Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері Классикалық серпімділік теориясының зерттеу пәні қандай

Ресей мемлекеттік университеті

атындағы мұнай және газ. И.М.Губкина

Техникалық механика кафедрасы

АНСТРАТ

«Икемділік теориясы»

Орындаған: Поляков А.А.

Тексерген: Евдокимов А.П.

Мәскеу 2011 ж

Теориялық икемділік теңдеуі

1. Кіріспе

Дене нүктесіндегі кернеу-деформациялық күй теориясы

2.1 Стресс теориясы

2 Деформация теориясы

3 Серпімді денелер үшін кернеу мен деформацияның байланысы

Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері. Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері

1 Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері

2 Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері

4 Орын ауыстырулардағы серпімділік теориясының теңдеулері (Ақсақ теңдеулер)

Серпімділік теориясының вариациялық принциптері

1 Мүмкін қозғалыстар принципі (Лагранж принципі)

2 Мүмкін күйлер принципі (Кастильано принципі)

3 Нақты шешім мен Лагранж және Кастильано принциптері негізінде алынған шешімдер арасындағы байланыс

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Кіріспе

Стресс және деформация теорияларын О.Коши жасаған. Олар 1822 жылы Париж Ғылым академиясына ұсынылған жұмыста баяндалған, оның қысқаша мазмұны 1823 жылы жарияланған және одан кейінгі бірқатар мақалалар. О.Коши элементар тетраэдр үшін үш тепе-теңдік теңдеуін шығарды, тангенциалды кернеулердің жұптасу заңын дәлелдеді, бас осьтер мен бас кернеулер ұғымдарын енгізді, дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулерін шығарды (әдетте олар материалдардың беріктігі курсында шығарылмайды). . Ол сонымен қатар радиус векторларының ұштары орналасқан, бағыттары нормальдардың аудандарға бағытымен сәйкес келетін, ал мәні квадрат түбірімен кері пропорционал болатын нормаль кернеулер бетін (Коши квадраты) енгізді. осы аймақтағы қалыпты кернеудің абсолютті мәні және бұл беттің бас басында центрленген екінші ретті бет екендігі дәлелденді. Қалыпты кернеулер бетін бас осьтерге түрлендіру мүмкіндігі әрбір нүктеде өзара бас перпендикуляр үш ауданның бар екендігін көрсетеді.

Тангенциалды кернеулердің ұқсас бетін ресейлік механик Г.В. Колосов 1933 ж

Кеңістіктегі кернеулі күйдің кернеу эллипсоиды түріндегі геометриялық түсіндірмесін Г.Лам мен Б.Клапейрон 1828 жылы Париж Ғылым академиясына тапсырып, 1833 жылы басып шығарған естеліктерінде берген.

Негізгі ось арқылы өтетін аймақтардың бір қатары үшін жазықтықтағы кернеу күйінің геометриялық кескінін кернеу шеңбері түрінде К.Кульман 1866 жылы өзінің кітабында ұсынған.

Кернеу күйінің жалпы жағдайы үшін оның жазықтықтағы өте айқын геометриялық түсіндірмесін 1882 жылы О. Мор (Мордың дөңгелек диаграммасы деп аталатын) берген. Одан бірқатар маңызды қорытындыларды жасауға болады. бас кернеулердің шеткі шегі, тангенциалды кернеулер максимум болатын аймақтардың жағдайы және осы максималды ығысу кернеулерінің шамалары туралы.

О.Коши деформацияларға анықтама берді, олардың шағын деформациялардың нақты жағдайындағы орын ауыстыруларға тәуелділігін шығарды (бұл тәуелділіктер, әдетте, материалдардың беріктігі барысында алынбайды), негізгі кернеулер мен негізгі деформациялар ұғымдарын анықтады. , және изотропты және анизотропты серпімді дене үшін кернеу құраушыларының деформация компоненттеріне тәуелділігін алды. Материалдардың беріктігінде әдетте изотропты дене үшін деформация компоненттерінің кернеу құраушыларына тәуелділігі белгіленеді. Оларды Гуктың жалпыланған заңы деп атайды, дегенмен, әрине, бұл атау шартты, өйткені Р.Гук шиеленіс ұғымын білмеген.

Бұл тәуелділіктерде Коши алдымен екі тұрақтыны енгізді және кернеудің деформацияға тәуелділігін формада жазды.

м, ,

Алайда кейінірек О.Коши Л.Навье тұжырымдамасын қабылдады. Оған сәйкес серпімді денелер молекулалардан тұрады, олардың арасында деформацияланған кезде молекулаларды қосатын түзу сызықтардың бағыттарында әрекет ететін және молекулалар арасындағы қашықтықтардың өзгеруіне пропорционал күштер пайда болады. Сонда анизотропты дененің жалпы жағдайы үшін серпімді тұрақтылар саны 15, ал изотропты дене үшін бір серпімді тұрақтыны аламыз. Бұл гипотезаны С.Пуассон, ал бастапқыда Г.Ламе мен Б.Клапейрон ұстанды. Оның негізінде Пуассон көлденең деформация коэффициенті 1/4 екенін анықтады.

Д.Грин 1839 жылы серпімді денелердің молекулалық құрылымы туралы гипотезаны қолданбастан деформациялар мен кернеулер арасындағы байланысты шығарды. Ол серпімділік потенциалы түсінігін енгізе отырып, энергияның сақталу принципіне сүйене отырып, оларды алты кернеу құраушысына сызықтық тәуелділіктерді пайдаланған кезде 36 коэффициенттің 21-і тәуелсіз, яғни жалпы жағдайда болатынын көрсетті. анизотропты дене, серпімді константалар саны 21 Изотропты дене үшін серпімді тұрақтылар саны екіге дейін азаяды. Анизотропты дене үшін серпімді константалар саны 15-ке, ал изотропты дене үшін 1-ге тең болатын теорияны кейде «рариконстант» немесе «біртұрақты» деп те атайды, ал анизотропты дене үшін серпімді константалар саны 21-ге тең, ал изотропты дене үшін 2 – «көп тұрақты» .

Бұл теорияларды жақтаушылар арасындағы дау физиктерді эксперименттік зерттеулер жүргізуге итермеледі.

Г.Вертхайм осьтік керілу кезіндегі шыны және металл құбырлардың ішкі көлемдерін өлшеуге сүйене отырып, 1848 жылы көлденең деформация коэффициенті 1/4 тең емес екенін анықтады. Ол әртүрлі материалдар үшін әртүрлі деп есептеді, бірақ көптеген материалдар үшін 1/3-ке жақын.

АЛ МЕН. Купфер 1853 жылы металл шыбықтарды созылу және бұралу кезінде сынай отырып, ығысу мен тартылудағы модульдердің қатынасы көлденең деформация мәніне сәйкес келмейтінін, 1/4 тең екенін анықтады.

1855 жылы Ф.Нейман тікбұрышты көлденең қиманың үлгілерін иілу үшін сынап көрді және арқалықтың екі бетінің айналу бұрыштарын өлшеді (көлденең қима трапеция пішінін алады). Нәтижесінде көлденең деформация коэффициенті 1/4 тең емес екенін көрсетті. Ф.Нейманның шәкірті Г.Кирхгоф 1859 жылы бір ұшына ендірілген және екінші ұшы шоғырланған күшпен жүктелген дөңгелек жез шыбықтарды біріктіріп иілу және бұралу бойынша жүргізілген сынақтар негізінде осындай қорытындыға келді. штанганың бұрылу бұрышы және қиманың айналу бұрышы.

Әртүрлі болат түрлері үшін көлденең деформация коэффициенттерінің үлкен эксперименталды зерттеуін Г.Кирхгофтың шәкірттерінің бірі М.Ф. Оқатов 1865-1866 жж Нәтижелері оның докторлық диссертациясында ұсынылған.Монокристалдардан кесілген жұқа призмалардың бұралу және иілу сынақтарын, сондай-ақ біркелкі қысу кезінде кристалдардың сығылу сынауларын В.Фойгт жүргізген және оның көптеген мақалаларында сипатталған, кейінірек 1910 жылы шыққан кітап Олар көп тұрақтылар теориясының дұрыстығын растады.

Анизотропты денелер үшін Гук заңының математикалық құрылымын тереңдетіп зерттеуді механик және инженер Ян Рычлевский 1984 жылы өзі енгізген серпімді күй концепциясына сүйене отырып жүргізді. Атап айтқанда, ол 21 серпімді тұрақтының алты шынайы қаттылық модулін, 12 қаттылық дистрибьюторын және үш бұрышты көрсететінін көрсетті.

2. Дене нүктесіндегі кернеу-деформациялық күй теориясы

1 Стресс теориясы

Серпімді денеге жүктелген кезде пайда болатын ішкі күш факторлары дененің белгілі бір бөлігінің күйін сипаттайды, бірақ көлденең қиманың қай нүктесі ең көп жүктелген немесе олар айтқандай, қауіпті нүкте деген сұраққа жауап бермейді. Сондықтан берілген нүктедегі дененің күйін сипаттайтын кейбір қосымша шаманы ескеру қажет.

Егер сыртқы күштер әсер ететін дене тепе-теңдікте болса, оның кез келген бөлігінде ішкі кедергі күштері пайда болады. Элементар ауданға әсер ететін ішкі күшті және сол кездегі осы ауданға нормаль шаманы белгілейік.

жалпы кернеу деп аталады.

Жалпы жағдайда, жалпы кернеу элементар аймаққа қалыпты бағытта сәйкес келмейді, сондықтан оның құрамдас бөліктерімен координаталық осьтер бойымен жұмыс істеу ыңғайлырақ -

Егер сыртқы нормал кез келген координат осімен, мысалы, Х осімен сәйкес келсе, онда кернеу құраушылары келесі пішінді қабылдайды: құраушы бөлікке перпендикуляр болып шығады және оны қалыпты кернеу деп атайды, ал компоненттер қима жазықтығы және тангенциалды кернеулер деп аталады.

Қалыпты және тангенциалды кернеулерді оңай ажырату үшін әдетте басқа белгілер қолданылады: - қалыпты кернеу, - тангенциалды кернеу.

Сыртқы күштердің әрекетіндегі денеден шеттері координаталық жазықтықтарға параллель, ал шеттерінің ұзындығы -ге тең болатын шексіз аз параллелепипедті таңдап алайық. Мұндай элементар параллелепипедтің әрбір бетінде координаталық осьтерге параллель үш кернеу құраушы болады. Барлығы алты бетке 18 кернеу құрамдастарын аламыз.

Қалыпты кернеулер пішінде белгіленеді, мұнда индекс сәйкес бетке норманы білдіреді (яғни, ол мәндерді қабылдай алады). Тангенциалды кернеулер нысаны бар; мұнда бірінші көрсеткіш осы ығысу кернеуі әрекет ететін аймақтың нормасына сәйкес келеді, ал екіншісі осы кернеу бағытталған оське параллельді көрсетеді (1-сурет).

1-сурет. Қалыпты және ығысу кернеулері

Бұл кернеулер үшін келесі белгі ережесі қабылданған. Қалыпты кернеу шиеленіс кезінде оң деп есептеледі, немесе ол әрекет ететін аймаққа сыртқы нормаль бағытымен сәйкес келген кезде. Ығысу кернеуі оң деп есептеледі, егер нормасы оған параллель координат осінің бағытымен сәйкес келетін аймақта ол осы кернеуге сәйкес оң координат осіне бағытталған болса.

Кернеу компоненттері үш координаттың функциялары болып табылады. Мысалы, координаттары бар нүктедегі қалыпты кернеуді белгілеуге болады

Қарастырылып отырған нүктеден шексіз аз қашықтықта орналасқан нүктеде кернеу бірінші ретті шексіз азға дейінгі дәлдікпен Тейлор қатарына кеңейтілуі мүмкін:

Жазықтыққа параллель орналасқан аудандар үшін тек х координатасы өзгереді және өсулер Сондықтан, параллелепипедтің жазықтықпен сәйкес келетін бетінде қалыпты кернеу болады, ал шексіз аз қашықтықта орналасқан параллель бетінде, - Параллелепипедтің қалған параллель беттеріндегі кернеулер ұқсас түрде байланысты. Сондықтан кернеудің 18 құрамдас бөлігінің тек тоғызы ғана белгісіз.

Серпімділік теориясында тангенциалды кернеулердің жұптасу заңы дәлелденген, оған сәйкес екі өзара перпендикуляр ауданда осы аудандардың қиылысу сызығына перпендикуляр тангенциалды кернеулердің құраушылары бір-біріне тең болады:

Теңдіктер (2) дененің нүктесіндегі кернеулі күйді сипаттайтын тоғыз кернеу құрамдастарынан тек алтауы ғана қалады:

Кернеу (3) берілген нүктедегі дененің кернеулі күйін сипаттап қана қоймай, оны ерекше түрде айқындайтынын көрсетуге болады. Осы кернеулердің қосындысы кернеу тензоры деп аталатын симметриялы матрицаны құрайды:

(4)

Тензорды скаляр шамаға көбейткенде, барлық құрамдас бөліктері бастапқы тензордың құраушыларынан есе үлкен жаңа тензор алынады.

2 Деформация теориясы

Сыртқы жүктемелердің әсерінен серпімді дене пішінін өзгертеді және деформацияланады. Бұл жағдайда дененің нүктелері жаңа позицияны алады. Серпімді дененің деформациясын анықтау үшін дене нүктелерінің жүктеме түсіргенге дейінгі және кейінгі орындарын салыстырамыз.

Жүктеме түсірілген дененің нүктесін және жүкті түсіргеннен кейін оның жаңа орнын қарастырайық. Вектор нүктенің орын ауыстыру векторы деп аталады (2-сурет).

2-сурет. Нүкте қозғалысының векторы

Қозғалыстың екі түрі мүмкін: тұтас дененің деформациясыз қозғалысы – мұндай қозғалыстарды теориялық механика абсолютті қатты дененің қозғалысы ретінде, ал дененің деформациясымен байланысты қозғалысты – мұндай қозғалыстарды теория зерттейді. серпімділік.

Нүктенің орын ауыстыру векторының координата осьтеріне проекцияларын сәйкесінше деп белгілейік. Олар нүктелердің сәйкес координаталарының айырмасына тең және:

және координаталардың функциялары болып табылады:

Дененің деформациясы оның әртүрлі нүктелерінің қозғалысының айырмашылығынан туындайды. Шеттері ерікті нүктеге жақын орналасқан серпімді денеден кесілген шексіз аз параллелепипед оның нүктелерінің әртүрлі қозғалысының әсерінен оның шеттерінің ұзындығы өзгеретіндей деформацияланады және беттер арасындағы бастапқы тік бұрыштар бұрмаланады.

3.3-суретте осы параллелепипедтің екі шеті көрсетілген: ал жиегінің ұзындығы тең, ал жиегі ұзындығы

Деформациядан кейін нүктелер орын алады.Бұл жағдайда нүкте сызу жазықтығындағы құраушылары тең болатын орын ауыстыруды алады, ал нүктеден шексіз аз қашықтықта орналасқан нүкте орын ауыстыруды алады, оның құрамдас бөліктері координатаның өзгеруіне байланысты нүктенің орын ауыстыруының құрамдастарынан шексіз аз шамаға ерекшеленетін

3-сурет. Сызықтық және бұрыштық деформациялар

Нүкте қозғалысының құрамдас бөліктері координатаның өзгеруіне байланысты нүкте қозғалысының құрамдастарынан шексіз аз мөлшерде ерекшеленеді.

Қабырғаның деформациядан кейінгі оське проекциясының ұзындығы:

Қабырғаның абсолютті ұзаруының оське проекциясы

Ось бойындағы салыстырмалы ұзару

(6)

осі бағытында сызықтық деформация деп аталады.

Осьтердің бағыттары бойынша сызықтық деформациялар және

(7)

Параллелепипедтің шеттері арасындағы бұрыштардың өзгеруін қарастырайық (3-сурет). Қабырғаның жазықтықтағы айналу бұрышының тангенсі

Деформациялардың аздығына байланысты а, сызықтық деформация оның бірлікпен салыстырғанда аздығына байланысты назардан тыс қалуы мүмкін, содан кейін

Сол сияқты, сіз сол жазықтықта жиектің айналу бұрышын анықтай аласыз:

Тік бұрыштың бұрмалануы бұрыштық деформация деп аталады және қабырғалардың айналу бұрыштарының қосындысы ретінде анықталады және:

(8)

Дәл осылай бұрыштық деформациялар басқа екі координаталық жазықтықта анықталады:

(9)

(6)-(9) формулалар ығысу құраушыларына сызықтық және бұрыштық деформациялардың алты негізгі тәуелділігін береді. Бұл тәуелділіктер Коши теңдеулері деп аталады:

(10)

Шекте, параллелепипедтің шеттерінің ұзындықтары нөлге бейім болғанда, Коши қатынастары нүктеге жақын орналасқан сызықтық және бұрыштық деформацияларды анықтайды.

Оң сызықтық деформациялар ұзаруларға, ал қысқаруларға теріс сызықтық деформациялар сәйкес келеді. Сәйкес координат осьтерінің оң бағыттарының арасындағы бұрыш азайған кезде ығысу бұрышы оң, ал басқа жағдайда теріс болып саналады.

Кернеу тензоры сияқты, дененің берілген нүктедегі деформацияланған күйін деформация тензоры сипаттайды.

(11)

Кернеу тензоры сияқты, деформация тензоры тоғыз компоненттен тұратын симметриялық матрица болып табылады, олардың алтауы әртүрлі.

2.3 Серпімді денелер үшін кернеу мен деформация арасындағы байланыс

Кернеулер мен деформациялар арасындағы байланыстар физикалық сипатта болады. Кішігірім штаммдармен шектеліп, кернеу мен деформация арасындағы қатынасты сызықтық деп санауға болады.

Таяқшаны созуға сынау кезінде (материалдарды механикалық сынау келесі бөлімде егжей-тегжейлі қарастырылады) бір бағытта қалыпты кернеу мен сызықтық деформация арасында пропорционалды байланыс орнатылады, ол Гук заңы деп аталады:

мұндағы серпімділік константа бойлық серпімділік модулі деп аталады.

Дәл осындай тәжірибелік әдісті қолдана отырып, бойлық және көлденең бағыттағы сызықтық деформациялар арасында байланыс орнатылды:

мұндағы көлденең бағыттағы сызықтық деформация, Пуассон қатынасы деп аталатын екінші серпімділік тұрақтысы.

Таза ығысуға арналған механикалық сынақтарда ығысу кернеуі мен осы кернеудің әсер ету жазықтығындағы бұрыштық деформация арасында тура пропорционалды байланыс орнатылды, оны ығысудағы Гук заңы деп атады:

мұндағы шама үшінші серпімді тұрақты және ығысу модулі деп аталады. Алайда бұл серпімді тұрақты тәуелсіз емес, өйткені алғашқы екі тәуелділікке байланысты

Деформациялар мен кернеулер арасындағы байланысты орнату үшін денеден шексіз аз параллелепипедті таңдаймыз (1-сурет) және тек қалыпты кернеулердің әсерін қарастырамыз.Параллелепипедтің қарама-қарсы беттеріндегі кернеулер айырмашылығын ескермеуге болады, өйткені ол кішігірім жоғары дәрежелі деформацияларға әкеледі.

Кернеуге параллель қабырғаның ұзаруын анықтайық.Осы кернеудің әсерінен Гук заңы (3.12) бойынша қабырғаның салыстырмалы ұзаруы болады.

Кернеу қабырғаға перпендикуляр бағытта ұқсас ұзаруды тудырады

ал жиегі бағытында – қысқарту, ол (13) сәйкес

немесе деформациялық өрнекті ескере отырып

Стресс әсерінен қабырғаның салыстырмалы қысқаруы дәл осылай анықталады

Күштер әрекетінің тәуелсіздігі принципіне сүйене отырып, қабырғаның жалпы салыстырмалы ұзаруын әрбір кернеудің әсерінен болатын ұзарулардың қосындысы ретінде анықтауға болады:

Сол сияқты сызықтық деформацияларды басқа екі осьтің бағыттары бойынша анықтауға болады:

(14) ығысудағы Гук заңына сәйкес бұрыштық деформациялар мен ығысу кернеулері арасындағы байланысты координаталық жазықтықтарға параллель үш жазықтықтың әрқайсысы үшін тәуелсіз түрде көрсетуге болады:

Осылайша, изотропты серпімді денедегі деформация мен кернеудің құрамдас бөліктері арасындағы сызықтық байланысты білдіретін алты формула алынды және олар жалпыланған Гук заңы деп аталады:

(16)

3. Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері. Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері

Серпімділік теориясының негізгі міндеті дененің жүктелуінің және бекітілуінің берілген шарттарына сәйкес кернеулі-деформациялық күйді анықтау болып табылады.

Кернеу-деформация күйі, егер кернеу тензоры(лар)ының құрамдастары мен орын ауыстыру векторы, тоғыз функция табылса, анықталады.

3.1 Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері

Осы тоғыз функцияны табу үшін икемділік теориясының негізгі теңдеулерін жазу керек немесе:

Дифференциалды Коши

(17)

Коши деформацияларының сызықтық бөлігінің тензорының құраушылары қайда;

радиус бойынша орын ауыстыру туындысының тензорының құрамдас бөліктері.

Дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулер

кернеу тензорының құрамдас бөліктері қайда; - дене күшінің j осіне проекциясы.

Сызықтық серпімді изотропты дене үшін Гук заңы

Ақсақ тұрақтылар қайда; изотропты дене үшін. Мұнда қалыпты және ығысу кернеулері; тиісінше деформациялар және ығысу бұрыштары.

Жоғарыдағы теңдеулер Сент-Венант тәуелділіктерін қанағаттандыруы керек

Серпімділік теориясында барлық негізгі теңдеулер орындалса, мәселе шешіледі.

2 Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері

Дене бетіндегі шекаралық шарттар орындалу керек және шекаралық шарттар түріне байланысты серпімділік теориясында есептердің үш түрі ажыратылады.

Бірінші түрі. Дененің бетіне күштер беріледі. Шекара шарттары

Екінші түрі. Дененің бетінде орын ауыстыру көрсетілген мәселелер. Шекара шарттары

Үшінші түрі. Серпімділік теориясының аралас мәселелері. Дене бетінің бір бөлігінде күштер, ал орын ауыстыру дене бетінің бір бөлігінде көрсетілген. Шекара шарттары

Дененің бетінде күштер немесе орын ауыстырулар көрсетілген және дененің ішіндегі кернеу-деформация күйін табу қажет және бетінде анықталмаған есептер тура есептер деп аталады. Егер дененің ішінде кернеулер, деформациялар, орын ауыстырулар және т.б. көрсетілген болса және дененің ішінде көрсетілмеген нәрселерді, сондай-ақ дене бетіндегі орын ауыстырулар мен кернеулерді анықтау керек (яғни, мұндай жағдайларды тудырған себептерді табу керек. кернеу-деформация күйі)), онда мұндай есептер кері деп аталады.

4 Орын ауыстырулардағы серпімділік теориясының теңдеулері (Ақсақ теңдеулер)

Орын ауыстырулардағы серпімділік теориясының теңдеулерін анықтау үшін мынаны жазамыз: дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулер (18) Сызықтық серпімді изотропты дене үшін Гук заңы (19)

Егер деформациялардың орын ауыстырулар (17) арқылы өрнектелетінін ескерсек, былай жазамыз:

Сондай-ақ, ығысу бұрышы орын ауыстыруларға келесі қатынас (17) арқылы байланысты екенін еске түсіру керек:

(23)

(19) теңдіктердің бірінші теңдеуіне (22) өрнекті қойып, қалыпты кернеулерді аламыз.

(24)

Бұл жағдайда itz деп жазу i үстінен қосуды білдірмейтінін ескеріңіз.

(23) өрнегін (19) екінші теңдік теңдеуіне қойып, ығысу кернеулерін аламыз.

(25)

j = 1 үшін (18) тепе-теңдік теңдеулерін кеңейтілген түрде жазайық

(26)

Қалыпты (24) және тангенциалды (25) кернеулердің өрнектерін (26) теңдеуіне қойып, аламыз.

мұндағы λ – ақсақ тұрақтысы, ол өрнекпен анықталады:

(28) өрнекті (27) теңдеуіне қойып, былай жазайық:

мұндағы (22) өрнекпен немесе кеңейтілген түрде анықталады

(29) өрнегін G-ге бөліп, ұқсас мүшелерді қосып, бірінші Ақсақ теңдеуін алайық:

(30)

мұндағы Лаплас операторы (гармоникалық оператор), ол ретінде анықталады

(31)

Сол сияқты сіз мыналарды ала аласыз:

(32)

(30) және (32) теңдеулерін былай жазуға болады:

(33)

(33) немесе (30) және (32) теңдеулер Ламе теңдеулері болып табылады. Егер көлемдік күштер нөлге тең немесе тұрақты болса, онда

(34)

Сонымен қатар, бұл жағдайда белгілеу i-ге қосуды білдірмейді. Мұнда

Гармоникалық функция арқылы орын ауыстыруларды осылай көрсету Лам теңдеуін (33) сәйкестікке түрлендіретінін көрсетуге болады. Оларды көбінесе Попкович-Гродский жағдайлары деп атайды. Төрт гармоникалық функция қажет емес, өйткені φ0 мәнін нөлге қоюға болады.

4. Серпімділік теориясының вариациялық принциптері.

1 Мүмкін қозғалыстар принципі (Лагранж принципі)

Лагранж принципі. Тепе-теңдіктегі дене үшін орын ауыстырудың кез келген мүмкін болатын шексіз аз қадамдарындағы сыртқы және ішкі күштердің жұмысы нөлге тең.

Клапейрон теоремасын қолданып, серпімді деформацияланған дене үшін орын ауыстыруды өзгерту арқылы Лагранж принципін аламыз.

Деформацияланатын денелер механикасында мүмкін болатын қозғалыстар денеге қойылған сыртқы және ішкі шектеулерді қанағаттандыратын қозғалыстар болып табылады.

Сыртқы байланыстар – бекіту шарты, ішкі байланыстар – үздіксіздік шарты.

Ішкі байланыстарды қанағаттандыру үшін орын ауыстыру өсімдері координаттардың үздіксіз бір мәнді функциялары болуы қажет.

Бұл формада кез келген деформацияланатын денелер үшін Лагранж принципі жарамды.

Серпімді денелер үшін бұл анықталды

(41)

Сонда (41) ескеріліп (40) болып жазылады

(42)

мұндағы W - меншікті деформация, және

Мұндағы U – дененің жалпы потенциалдық энергиясының вариациясы.

(43) өрнегін (42) орнына қойайық, ал күштер өзгермейтіндіктен, былай жазамыз:

(44)

(44) теңдеуі Лагранждың вариациялық теңдеуі.

Егер күштер консервативті болса, онда алғашқы екі интеграл деформацияланбаған күйден деформацияланған күйге өту кезінде сыртқы күштердің потенциалының өзгеруін білдіреді.

Сыртқы күштердің потенциалы

(45)

мұндағы - деформацияланбаған күйден деформацияланған күйге өту кезіндегі сыртқы күштердің мүмкін болатын жұмысы сыртқы күштер өзгеріссіз қалады деген болжаммен есептеледі. Жүйенің жалпы энергиясы

Содан кейін (44) - (46) өрнектерін ескере отырып, Лагранж принципі жазылады:

яғни мүмкін болатын орын ауыстырулар бойынша тепе-теңдік күйдегі жүйенің толық энергиясының өзгеруі нөлге тең. (47) өрнек тек консервативті күштердің әрекеті жағдайында Лагранждың вариациялық теңдеуі болып табылады.

Тұрақты тепе-теңдік жағдайында жалпы энергия P минималды,

Лагранж принципі – минималды энергия принципі.

2 Мүмкін күйлер принципі (Кастиллано принципі)

Сыртқы және ішкі күштерге сәйкес келетіндерді, яғни тепе-теңдік теңдеулерін қанағаттандыратындарды мүмкін күйлер деп атаймыз.

(57) теңдеу Кастильано принципін жазады. Дененің кернеулі күйіндегі ықтимал өзгерістер кезінде вариация мүмкін болатын беттік күштер мен орын ауыстырулар туындыларынан орын ауыстырулар көрсетілген дене бетінің сол бөлігінің интегралына тең.

3 Нақты шешім мен Лагранж және Кастильано принциптері негізінде алынған шешімдер арасындағы байланыс

Лагранж принципіне сүйене отырып, кейбір функцияларды немесе олардың жиынтығын таңдау және функциялар жиыны шектеулі болғандықтан, біз жүйенің еркіндік дәрежелерінің аз санын аламыз, осылайша дизайнның еркіндік дәрежелерін азайтамыз. Яғни, энергетикалық мағынада шешім нақты шешімнен қатаңырақ болып шығады.

Егер интегралдық сипаттамаларды алсақ, онда жуық шешім қатаңырақ интегралды болады.

Аралықтың ортасына көлденең күшпен жай тірелген арқалықты жүктеу есебін шешкенде (1-сурет) шамамен шешім нақты шешімге қарағанда күш әсерінен аз орын ауыстыруды береді.

нақты шешім

Кастильаноның вариациялық принципін қолданып бір мәселені шешкенде, үздіксіздік шарты орындалмағандықтан, жүйе шындыққа қарағанда көбірек еркіндік алады.

Нақты шешім осы екі жуық әдіс (Лагранж және Кастильано) арасында жатыр. Кейде алынған ерітінділер арасындағы айырмашылық шамалы.

5. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Серпімділік және пластикалық теориясының негіздері. 400 б. Жоғары мектеп 1990 ж.

2. Veretimus D.K. Серпімділік теориясының негіздері I бөлім Кернеу теориясы «Икемділік және пластикалық теориясының негіздері» курсына әдістемелік құрал. 2005.-37 ж.

Veretimus D.K. Серпімділік теориясының негіздері ІІ бөлім Деформациялар теориясы. Кернелген және деформацияланған күйлердің байланысы «Ипкемділік және пластикалық теориясының негіздері» курсына әдістемелік құрал, 2005.-53 б.

Veretimus D.K. Серпімділік теориясының негіздері ІІІ бөлім Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері «Икемділік және пластикалық теориясының негіздері» курсына әдістемелік құрал, 2005.-45 б.б.

Тыныштықтағы немесе жүктердің әсерінен қозғалатын денелерде.

1. Серпімділік теориясының мәселесі

Бұл теорияның міндеті математикалық теңдеулерді жазу болып табылады, олардың шешімі келесі сұрақтарға жауап беруге мүмкіндік береді:

Белгілі бір денеге белгілі жүктеме нүктелерінде берілген шамадағы жүктеме түсірілсе, оның деформациялары қандай болады?
Денедегі кернеу қандай болады?

Дененің күйреу немесе бұл жүктемелерге төтеп беруі туралы мәселе икемділік теориясымен тығыз байланысты, бірақ, қатаң айтқанда, оның құзыретіне жатпайды.

Примеров можно привести множество - от определения деформаций и напряжений в нагруженной балке на опорах, в расчет этих же параметров в корпусе самолета, ракеты, подлодки, в колесе вагона в броне танка при ударе снаряда, в горном массиве при прокладке штольни, в каркасе высотного здания тағыда басқа.

Инженерлік есептер жағдайында конструкциялардағы кернеу мен деформация икемділік теориясына логикалық негізделген жеңілдетілген теориялар арқылы есептеледі. Мұндай теорияларға мыналар жатады: материалдардың беріктігі, оның міндеті шыбықтар мен арқалықтарды есептеу, сондай-ақ қатты денелердің жанасу әсерлесу аймақтарында туындайтын кернеулерді бағалау; құрылымдық механика- негізгі жүйелерді есептеу (мысалы, көпірлер), және қабық теориясы- деформация және кернеу туралы ғылымның дербес және жақсы дамыған саласы, зерттеу пәні жұқа қабырғалы қабықтар – цилиндрлік, конустық, сфералық және күрделі пішіндер.

2. Серпімділік теориясының негізгі түсініктері

Серпімділік теориясының негізгі ұғымдары ретінде берілген Р нүктесі арқылы денеге ойша тартылатын шағын жазықтықтарға әсер ететін кернеу, Р нүктесінің шағын көршілестігінің деформациялары және Р нүктесінің өзінің орын ауыстыруы.Дәлірек айтқанда, механикалық кернеу. тензор, кіші деформация тензоры және орын ауыстыру векторы енгізілген сен мен.Қысқаша белгілер, индекстер қайда i, j 1, 2, 3 мәндерін алыңыз (немесе x, y, z)түрінде матрица деп түсіну керек:

Тензордың қысқаша белгісін де дәл осылай түсіну керек.

Егер М денесінің физикалық нүктесі деформацияға байланысты Р кеңістігінде жаңа орын алған болса, онда орын ауыстыру векторы құрамдас бөліктері бар вектор болады. (u x, u y, u z),немесе қысқаша айтқанда, сен мен.Кіші деформациялар теориясында құрамдас бөліктер сен менжәне шағын шамалар (қатаң айтқанда, шексіз аз) болып саналады. Тензордың құрамдас бөліктері, оны да атайды деформация тензоры Кошинемесе сызықтық деформация тензорыжәне вектор сен ментәуелділіктермен байланысты:

Соңғы жазбадан , Демек, деформация тензоры анықтамасы бойынша симметриялы екені анық.

Егер серпімді дене сыртқы күштердің әсерінен тепе-теңдікте болса (яғни оның барлық нүктелерінің жылдамдықтары нөлге тең болса), онда дененің одан ойша оқшаулануға болатын кез келген бөлігі де тепе-теңдікте болады. Шеттері декарттық жүйенің координаталық жазықтықтарына параллель болатын денеден шексіз аз тікбұрышты параллелепипед ерекшеленеді. Шеттерінің өлшемдерімен параллелепипедтің тепе-теңдік шартынан dx, dy, dz,Проекциялардағы күштердің тепе-теңдік шарттарын қарастыра отырып, мынаны алуға болады:

Сол сияқты параллелепипедке әсер ететін барлық күштердің негізгі моментінің нөлге теңдігін өрнектейтін тепе-теңдік теңдеулері алынады, келесі түрге келтіріледі:

Бұл теңдік кернеу тензоры симметриялы тензор және кернеу тензорының белгісіз компоненттерінің саны 6-ға дейін азаяды дегенді білдіреді. Тек үш тепе-теңдік теңдеуі бар, яғни. статиканың теңдеулері есепті шешу үшін жеткіліксіз. Шешім Гук заңының теңдеулерін пайдаланып кернеулерді деформациялар арқылы өрнектеу, содан кейін деформацияларды орын ауыстырулар арқылы өрнектеу. сен менКоши формулаларын пайдаланып, нәтижені тепе-теңдік теңдеуіне ауыстырыңыз. Бұл үш белгісіз функция үшін үш дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулерін шығарады u x u y u z,анау. белгісіздер саны теңдеулер санына сәйкес болады. Бұл теңдеулер Навье-Коши теңдеулері деп аталады.

3. Шекаралық шарттар

Серпімділік теориясындағы есептерді шешу серпімді дененің ішкі нүктелердегі әрекетін анықтайтын дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесін интеграциялауға дейін қысқарады. Бұл теңдеулерге денені шектейтін беттегі шарттар қосылады. Бұл шарттар сыртқы беттік күштердің тағайындалуын немесе дене бетіндегі нүктелердің орын ауыстыруын анықтайды. Осыған байланысты әдетте шекаралық есептердің үш түрінің бірі тұжырымдалады.

Бірінші шекаралық есеп- кинематикалық. Орын ауыстыру компоненттері дене көлемінде кездеседі және бетінде белгілі бір мәндерге ие болады. Дененің бетіндегі жағдайда беттің теңдеулері және ондағы орын ауыстырулар құрамдастарының мәндері осылай көрсетіледі.

Екінші шекаралық есеп- статикалық. Бұл жағдайда дененің бетінде қозғалысқа ешқандай шектеулер қойылмайды және бет теңдеулері, бетке нормальдың бағыт косинустары және беттік жүктемелердің құрамдас бөліктерінің мәндері көрсетіледі.

Дененің беті координаталық жазықтықтармен сәйкес келген жағдайда шекаралық шарттарды кернеулерде тікелей тұжырымдауға болады. Содан кейін беттің теңдеуін көрсету және оған кернеу компоненттерінің мәндерін орнату жеткілікті.

Үшінші шекаралық есеп- аралас. Бұл жағдайда дене бетінің бір бөлігінде кинематикалық шарттар, ал екіншісінде статикалық жағдайлар орнатылады.

Бұл үш тапсырма әртүрлі шекаралық шарттарды тауыспайды. Мысалы, белгілі бір беттік ауданда барлық үш орын ауыстыру құрамдастары немесе беттік жүктеме құрамдастары көрсетілмеуі мүмкін.

4. Сондай-ақ қараңыз

Дереккөздер

Тимошенко С.П., Goodyear Дж.Серпімділік теориясы. М.: Наука, 1979. 560 б.

СЕРІМДІЛІК ТЕОРИЯСЫ– жүктердің әсерінен тыныштықтағы немесе қозғалыстағы денелердің орын ауыстыруларын, деформацияларын және кернеулерін зерттейтін континуум механикасының бөлімі. Бұл теорияның мақсаты математикалық теңдеулерді шығару болып табылады, олардың шешімі келесі сұрақтарға жауап беруге мүмкіндік береді: егер белгілі жерлерде оған берілген шамадағы жүктеме түсірілсе, осы нақты дененің деформациялары қандай болады? Денедегі кернеу қандай болады? Дененің күйреу немесе бұл жүктемелерге төтеп беру мәселесі икемділік теориясымен тығыз байланысты, бірақ қатаң айтқанда, бұл теорияның құзыретіне кірмейді.

Ықтимал мысалдардың саны шексіз - тіректерде жатқан және күштер жүктелген арқалықтағы деформациялар мен кернеулерді анықтаудан бастап, ұшақтың, кеменің, суасты қайықтарының, вагон дөңгелегіндегі, сауыттағы бірдей мәндерді есептеуге дейін. снарядқа түскенде, тау жотасында адиттен өткенде, көпқабатты үй қаңқасында және т.б. Бұл жерде ескерту жасау керек: жұқа қабырғалы элементтерден тұратын құрылымдар икемділік теориясына негізделген логикалық түрде жеңілдетілген теориялар арқылы есептеледі; мұндай теорияларға мыналар жатады: материалдардың жүктемелерге төзімділігі теориясы (әйгілі «қарсылық материал»), оның міндеті негізінен шыбықтар мен арқалықтарды есептеу; құрылымдық механика – штангалық жүйелерді есептеу (мысалы, көпірлер); және, сайып келгенде, қабықшалар теориясы мәні бойынша деформациялар мен кернеулер туралы ғылымның дербес және өте жоғары дамыған саласы болып табылады, оның зерттеу пәні ең маңызды құрылымдық элементтері - жұқа қабырғалы қабықтар - цилиндрлік, конустық, сфероидты және бар күрделі пішіндер. Сондықтан серпімділік теориясында әдетте маңызды өлшемдері бір-бірінен тым көп айырмашылығы жоқ денелер қарастырылады. Осылайша, белгілі күштер әрекет ететін берілген пішіндегі серпімді дене қарастырылады.

Серпімділік теориясының негізгі концепциялары – берілген нүкте арқылы денеге ойша тартылатын шағын аймақтарға әсер ететін кернеулер. М, нүктенің шағын маңайының деформациялары Мжәне нүктенің өзін жылжыту М. Дәлірек айтқанда, кернеу тензорлары енгізілген ij, шағын деформация тензоры e ijжәне орын ауыстыру векторы сен мен.

Қысқаша белгілеу s ij, мұндағы индекстер мен, j 1, 2, 3 мәндерін алуды келесі форманың матрицасы ретінде түсіну керек:

Тензор e үшін қысқаша белгілерді де дәл осылай түсіну керек ij.

Дененің физикалық нүктесі болса Мдеформацияға байланысты кеңістікте жаңа орын алды М´, онда орын ауыстыру векторы құрамдастары бар вектор ( u x u y u z), немесе, қысқаша айтқанда, сен мен. Кіші деформациялар теориясында құрамдас бөліктер сен менжәне e меншағын шамалар (қатаң айтқанда, шексіз аз) болып саналады. Тензордың құрамдас бөліктері e ijжәне вектор u ijКоши формулалары арқылы байланысқан, олардың келесідей формасы бар:

Е xy= e yx, және, жалпы айтқанда, е ij= e джи, сондықтан деформация тензоры анықтамасы бойынша симметриялы.

Егер серпімді дене сыртқы күштердің әсерінен тепе-теңдікте болса (яғни оның барлық нүктелерінің жылдамдықтары нөлге тең болса), онда дененің одан ойша оқшаулануға болатын кез келген бөлігі де тепе-теңдікте болады. Денеден шеттері декарттық жүйенің координаталық жазықтықтарына параллель орналасқан шағын (қатаң айтқанда, шексіз аз) тікбұрышты параллелепипед ерекшеленеді. Oxyz(Cурет 1).

Параллелепипедтің шеттерінің ұзындықтары болсын dx, dy, дзсәйкес (мұнда, әдеттегідей dxдифференциал бар x, және т.б.). Стресс теориясына сәйкес кернеу тензорының құрамдас бөліктері параллелепипедтің беттерінде әрекет етеді, олар келесідей белгіленеді:

қарсаңында OADG:s xx, с xy, с xz

қарсаңында OABC:s yx, с yy, с yz

қарсаңында DABE:s zx, с zy, с zz

бұл жағдайда бірдей индекстері бар компоненттер (мысалы, s xx) бетке перпендикуляр әрекет етеді, ал әртүрлі индекстермен - сайттың жазықтықта.

Қарама-қарсы беттерде кернеу тензорының бірдей құрамдас бөліктерінің мәндері аздап ерекшеленеді, бұл олардың координаттардың функциялары болып табылатындығына және нүктеден нүктеге өзгеретініне байланысты (әрқашан, белгілі қарапайым жағдайларды қоспағанда) және өзгерістің кішігірімдігі параллелепипедтің кіші өлшемдерімен байланысты, сондықтан егер шетінде болса деп болжауға болады. OABC s кернеуі қолданылады yy, содан кейін шегінде GDEF s кернеуі қолданылады yy+ds yy, және ds аз мәні yyдәл кішкентай болғандықтан, оны Тейлор сериясының кеңеюі арқылы анықтауға болады:

(бұл жерде ішінара туындылар қолданылады, өйткені кернеу тензорының құрамдастары тәуелді x, ж, z).

Сол сияқты, барлық беттердегі кернеулерді s арқылы көрсетуге болады ijжәне ds ij. Әрі қарай, кернеулерден күштерге ауысу үшін кернеудің шамасын ол әрекет ететін аймақтың ауданына көбейту керек (мысалы, s yy+ds yyкөбейтіңіз dx dz). Параллелепипедке әсер ететін барлық күштер анықталғанда, статикадағыдай дененің тепе-теңдік теңдеуін жазуға болады, ал негізгі вектор үшін барлық теңдеулерде тек туындылары бар мүшелер қалады, өйткені кернеулер өздері бірін-бірі жоққа шығарады және факторлар dx dy dzазаяды және нәтижесінде

Сол сияқты параллелепипедке әсер ететін барлық күштердің негізгі моментінің нөлге теңдігін білдіретін тепе-теңдік теңдеулері алынады, олар келесі түрге келтіріледі:

Бұл теңдіктер кернеу тензорының симметриялы тензор екенін білдіреді. Осылайша, 6 белгісіз компонент үшін с ijүш тепе-теңдік теңдеуі бар, яғни. статиканың теңдеулері есепті шешу үшін жеткіліксіз. Шығу жолы - s кернеулерін өрнектеу ijдеформациялар арқылы e ijГук заңының теңдеулерін пайдаланып, содан кейін деформация e ijқимылдар арқылы көрсету сен менКоши формулаларын пайдаланып, нәтижені тепе-теңдік теңдеулеріне ауыстырыңыз. Бұл үш белгісіз функция үшін үш дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулерін шығарады u x u y u z, яғни. белгісіздер саны теңдеулер санына тең. Бұл теңдеулер Ламе теңдеулері деп аталады

массалық күштер (салмақ және т.б.) есепке алынбайды

D – Лаплас операторы, яғни

Енді дененің бетіне шекаралық шарттарды орнату керек;

Бұл жағдайлардың негізгі түрлері келесідей:

1. Дененің S 1 бетінің белгілі бөлігінде орын ауыстырулар көрсетілген, яғни. орын ауыстыру векторы компоненттері бар белгілі векторға тең ( f x; f y ; f z ):

u x = f(xyz)

сен ж= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f ж, f z– белгілі координаталық функциялар)

2. Қалған бетінде С 2 беттік күштер көрсетілген. Бұл дененің ішіндегі кернеудің таралуы бетке тікелей жақын жерде және шекті беттегі әрбір элементар аймақта кернеу мәндері белгілі сыртқы жүктеме векторына тең кернеу векторын жасайтынын білдіреді. құрамдас бөліктер ( F x ;Fy ; Фз) беттік күштер. Математикалық түрде былай жазылады: егер нүктеде Абеті, осы бетке бірлік нормаль векторының құрамдас бөліктері бар n x, н ж, n zонда осы нүктеде (белгісіз) s құрамдастарына қатысты теңдіктер қанағаттандырылуы керек ij: e ij, онда үш белгісіз үшін алты теңдеу, яғни артық анықталған жүйе аламыз. Бұл жүйенің шешімі e қатысты қосымша шарттар орындалғанда ғана болады ij. Бұл шарттар үйлесімділік теңдеулері болып табылады.

Бұл теңдеулер деформациядан кейін дененің үздіксіздігін қамтамасыз ететіндігін білдіретін үзіліссіздік шарттары деп аталады. Бұл өрнек бейнелі, бірақ нақты емес: егер деформациялардың (немесе кернеулердің) құрамдастарын белгісіздер ретінде алсақ, бұл шарттар жылжулардың үздіксіз өрісінің болуын қамтамасыз етеді. Бұл шарттарды орындамау сабақтастықтың бұзылуына емес, мәселенің шешімін таппауына әкеледі.

Осылайша, серпімділік теориясы шекаралық есептерді тұжырымдауға мүмкіндік беретін дифференциалдық теңдеулер мен шекаралық шарттарды береді, олардың шешімі қарастырылатын денелердегі кернеулердің, деформациялардың және орын ауыстырулардың таралуы туралы толық ақпарат береді. Мұндай есептерді шешу әдістері өте күрделі және ең жақсы нәтиже аналитикалық әдістерді сандық әдістермен қуатты компьютерлерді қолдану арқылы біріктіру арқылы алынады.

Владимир Кузнецов

СЕРІМДІЛІК ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ

СЕРІМДІЛІК ТЕОРИЯСЫНЫҢ ОССИИМЕТРИЯЛЫҚ МӘСЕЛЕЛЕРІ

СЕРІМДІЛІК ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ

Негізгі ережелер, болжамдар және белгілеулер Элементар параллелепипед пен элементар тетраэдр үшін тепе-теңдік теңдеулер. Көлбеу платформа бойындағы қалыпты және ығысу кернеулері

Нүктедегі бас кернеулерді және ең үлкен тангенциалды кернеулерді анықтау. Октаэдрлік аудандар бойындағы кернеулер Жылжулар туралы түсінік. Деформациялар мен орын ауыстырулар арасындағы тәуелділіктер. Туыстық

еркін бағыттағы сызықтық деформация.Деформацияның үйлесімділік теңдеулері. Изотропты дене үшін Гук заңы Тік бұрышты координаталардағы жазықтық есеп Полярлық координаталардағы жазықтық есеп.

Серпімділік теориясындағы есептердің мүмкін шешімдері. Жылжулар мен кернеулердегі есептерді шешу Температуралық өрістің болуы. ҚАРАПАЙЫМ ОСЬСИМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕР бөлімі бойынша қысқаша қорытындылар Цилиндрлік координаталардағы теңдеулер Цилиндрлік координаталардағы теңдеулер (жалғасы)

Қалың қабырғалы сфералық ыдыстың деформациясы Жазықтыққа әсер ететін шоғырланған күш

Серпімді жарты кеңістікті жүктеудің ерекше жағдайлары: шеңбердің ауданына біркелкі жүктеу, «жарты шардың үстіндегі шеңбердің ауданына жүктеу», абсолютті қатты шарды серпімді жартыға басудағы кері есеп. ғарыш. Шарлардың серпімді құлау мәселесі ҚАЛАН ҚАБЫРҒА ТҮБІРЛЕР

Негізгі ақпарат. Құбыр элементінің тепе-теңдік теңдеуі Тізбектердің біріндегі қысымдағы кернеулерді зерттеу. Серпімді деформация кезіндегі беріктік жағдайлары Композиттік құбырлардағы кернеулер. Көп қабатты құбырларды есептеу туралы түсінік Есептеу мысалдары

ПЛИТАЛАР, МЕМБРАНДАР Негізгі анықтамалар мен гипотезалар

Тік бұрышты координаталардағы пластинаның қисық ортаңғы бетінің дифференциалдық теңдеуі Пластинаның цилиндрлік және сфералық иілуі

Дөңгелек пластинаны осьтік симметриялы иілу кезіндегі иілу моменттері. Дөңгелек тақтаның қисық ортаңғы бетінің дифференциалдық теңдеуі.Дөңгелек тақталардағы шекаралық шарттар. Ең үлкен кернеулер мен ауытқулар. Күштіліктің шарттары. Пластиналардағы температуралық кернеулер

Мембранадағы күштерді анықтау. Тізбекті күштер мен кернеулер. Дөңгелек мембраналардағы ауытқулар мен кернеулерді шамамен анықтау Есептер мысалдары Есептеу мысалдары (жалғасы)

1.1 Негіздер, болжамдар және белгілер

Серпімділік теориясы серпімді дененің кернеу-деформация күйін аналитикалық зерттеуге бағытталған. Қарсылық жорамалдары арқылы алынған шешімдер икемділік теориясының көмегімен тексерілуі мүмкін

материалдары және осы шешімдердің қолданылу шегі белгіленеді. Кейде икемділік теориясының бөлімдері, оларда материалдардың беріктігі сияқты, бөліктің жарамдылығы туралы мәселе қарастырылады, бірақ өте күрделі математикалық аппаратты (пластиналарды, қабықтарды, массивтерді есептеу) пайдаланады. икемділіктің қолданбалы теориясы.

Бұл тарауда серпімділіктің математикалық сызықтық теориясының негізгі түсініктері берілген. Физикалық құбылыстарды сипаттауда математиканы қолдану оларды схематизациялауды талап етеді. Серпімділіктің математикалық теориясында есептер мүмкіндігінше аз болжаммен шешіледі, бұл шешім үшін қолданылатын математикалық әдістерді қиындатады. Серпімділіктің сызықтық теориясы кернеу мен деформация компоненттері арасында сызықтық байланыстың болуын болжайды. Бірқатар материалдар үшін (резеңке, шойынның кейбір түрлері) мұндай тәуелділікті тіпті шағын деформация кезінде де қабылдауға болмайды: серпімділік диапазонындағы σ - ε диаграммасы тиеу кезінде де, түсіру кезінде де бірдей контурға ие, бірақ екі жағдайда да ол қисық сызықты. Мұндай материалдарды зерттегенде икемділіктің сызықтық емес теориясының тәуелділіктерін пайдалану қажет.

IN Серпімділіктің математикалық сызықтық теориясы келесі болжамдарға негізделген:

1. Қоршаған ортаның үздіксіздігі (үздіксіздігі) туралы. Бұл жағдайда заттың атомдық құрылымы немесе болуыкез келген бос орындар есепке алынбайды.

2. Табиғи күйі туралы, оның негізінде дененің күш әсер етуден бұрын пайда болған бастапқы кернеулі (деформацияланған) күйі ескерілмейді, яғни денеге жүк түсіру сәтінде деформациялар және кез келген нүктедегі кернеулер нөлге тең. Бастапқы кернеулер болған кезде бұл болжам серпімділіктің сызықтық теориясының тәуелділіктерін нәтижелі кернеулерге (бастапқы және әсерлерден туындайтындардың қосындысы) қолдануға болатын жағдайда ғана жарамды болады.

3. Біртектілік туралы, оның негізінде дененің құрамы барлық нүктелерде бірдей деп есептеледі. Егер металдарға қатысты бұл болжам үлкен қателіктер бермесе, бетонға қатысты шағын көлемдерді қарастырғанда ол елеулі қателіктерге әкелуі мүмкін.

4. Сфералық изотропия бойынша, оның негізінде деп саналадыМатериалдың механикалық қасиеттері барлық бағытта бірдей. Металл кристалдарында мұндай қасиет жоқ, бірақ көптеген ұсақ кристалдардан тұратын жалпы металл үшін бұл гипотезаны дұрыс деп санауға болады. Ламинатталған пластмассалар сияқты әртүрлі бағытта механикалық қасиеттері әртүрлі материалдар үшін ортотропты және анизотропты материалдардың серпімділік теориясы жасалды.

5. Идеал серпімділік бойынша, оның негізінде жүктемені алып тастағаннан кейін деформацияның толық жойылуы қабылданады. Белгілі болғандай, қалдық деформация кез келген жүктеме кезінде нақты денелерде болады. Сондықтан болжам

6. Деформациялардың құрамдас бөліктері арасындағы сызықтық байланыс туралы жәнекернеулер.

7. Деформациялардың аздығы туралы, оның негізінде салыстырмалы сызықтық және бұрыштық деформациялар бірлікпен салыстырғанда аз деп есептеледі. Резеңке сияқты материалдар немесе орамды серіппелер сияқты элементтер үшін үлкен серпімді деформациялар теориясы жасалды.

Серпімділік теориясының есептерін шығарғанда шешімнің бірегейлігі туралы теореманы пайдаланамыз: егер берілген сыртқы беттік және көлемдік күштер тепе-теңдікте болса, олар бір ғана кернеулер мен орын ауыстырулар жүйесіне сәйкес келеді.Шешімнің бірегейлігі туралы ұсыныс дененің табиғи күйі туралы болжам дұрыс (әйтпесе шешімдердің шексіз саны мүмкін) және деформациялар мен сыртқы күштер арасындағы сызықтық байланыс туралы болжам болған жағдайда ғана жарамды болады.

Серпімділік теориясының есептерін шешу кезінде Сент-Венан принципі жиі қолданылады: Егер серпімді дененің кішігірім ауданына әсер ететін сыртқы күштер сол аймаққа әсер ететін күштердің статикалық эквивалентті жүйесімен ауыстырылса (басты векторы бірдей және негізгі моменті бірдей), онда бұл ауыстыру тек қана өзгеріске әкеледі. жергілікті деформациялар.

Сыртқы жүктемелер түсетін жерлерден жеткілікті қашықтықта орналасқан нүктелерде кернеулер оларды қолдану әдісіне аз тәуелді болады. Материалдардың кедергісі кезінде Сен-Венан принципі негізінде күш немесе шоғырланған момент түрінде схемалық түрде көрсетілген жүктеме іс жүзінде белгілі бір аймақта бір немесе басқа жолмен таралған қалыпты және тангенциалды кернеулерді білдіреді. дене бетінің. Бұл жағдайда бірдей күш немесе күш жұбы кернеудің әртүрлі таралуына сәйкес келуі мүмкін. Сен-Венан принципіне сүйене отырып, дене бетінің кесіндісіндегі күштердің өзгеруі осы күштер әсер ететін жерден жеткілікті үлкен қашықтықта орналасқан нүктелердегі кернеулерге дерлік әсер етпейді деп болжауға болады (салыстырғанда жүктелген қиманың сызықтық өлшемдері).

Денеде таңдалған зерттелетін аумақтың орны (1-сурет) x, y және z тікбұрышты координата осьтерінің таңдалған жүйесінде нормаль N-ның ауданға бағытталған косинустары арқылы анықталады.

Егер Р А нүктесінде оқшауланған элементар аудан бойымен әрекет ететін ішкі күштердің нәтижесі болса, онда N нормасы бар аудан бойындағы осы нүктедегі жалпы кернеу р N, онда қатынастың шегі ретінде анықталады.

келесі пішін:

Вектор p N кеңістікте өзара перпендикуляр үш құраушыға ыдырауы мүмкін.

2. Компоненттерде σ N , τ N s және τ N t учаскеге нормаль бағыттар (қалыпты кернеу) және екі өзара перпендикуляр осьтер s және t (сурет 1, б) учаске жазықтығында (тангенциал) кернеулер). 1-суретке сәйкес, б

Егер дене қимасы немесе ауданы координаталық жазықтықтардың біріне параллель болса, мысалы y0z (2-сурет), онда бұл аймаққа нормаль үшінші координат осі х болады және кернеу құраушылары σ x, τ xy және белгіленеді. τ xz.

Қалыпты кернеу, егер ол созылу болса, оң, ал қысылатын болса теріс болады. Ығысу кернеуінің белгісі келесі ереже бойынша анықталады: егер учаске бойындағы оң (созылу) қалыпты кернеу оң проекцияны берсе, онда тангенциал

сол аймақтың бойындағы кернеу сәйкес оське де оң проекция берген жағдайда оң деп есептеледі; егер созылу қалыпты кернеуі теріс проекция берсе, онда оң ығысу кернеуі де сәйкес осьте теріс проекция беруі керек.

Суретте. 3, мысалы, координаталық жазықтықтармен сәйкес келетін элементар параллелепипедтің беттерінде әрекет ететін барлық кернеу құраушылары оң болады.

Серпімді дененің нүктесіндегі кернеу күйін анықтау үшін осы нүкте арқылы өтетін өзара перпендикуляр үш аудандағы толық кернеуді p N білу қажет. Әрбір жалпы кернеуді үш компонентке бөлуге болатындықтан, тоғыз кернеу құрамдастары белгілі болса, кернеу күйі анықталады. Бұл компоненттерді матрица түрінде жазуға болады

нүктедегі кернеу тензоры компоненттерінің матрицасы деп аталады.

Матрицаның әрбір көлденең сызығы бір аймақта әрекет ететін үш кернеу құрамдастарынан тұрады, өйткені бірінші белгішелер (қалыптының атауы) бірдей. Тензордың әрбір тік бағанында бір оське параллель үш кернеу бар, өйткені олардың екінші белгішелері (кернеу әсер ететін параллель осьтің аты) бірдей.

1.2 Элементар параллелепипедтің тепе-теңдік теңдеулері

және элементар тетраэдр

Кернелген серпімді дененің зерттелетін А нүктесінде (x, y және z координаталарымен) шеттерінің өлшемдері dx, dy және dz болатын элементар параллелепипедті өзара перпендикуляр үш жұп жазықтық арқылы таңдап алайық (2-сурет). А нүктесіне іргелес жатқан үш өзара перпендикуляр беттердің әрқайсысында (координаталық жазықтықтарға жақын) үш кернеу құрамдастары әрекет етеді - қалыпты және екі тангенциалды. А нүктесіне іргелес жатқан беттердің бойымен олар оң болады деп есептейміз.

А нүктесі арқылы өтетін беткейден параллель бетке ауысқанда кернеулер өзгереді және өсімдерді алады. Мысалы, А нүктесі арқылы өтетін CAD бетінің бойымен кернеу құраушылары σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x) , y,z,), содан кейін параллель бет бойымен бір беткейден екінші бетке өткенде тек бір координатаның өсуіне байланысты х әрекет етеді.

кернеу құраушылары Суретте көрсетілгендей элементар параллелепипедтің барлық беттеріндегі кернеулерді анықтауға болады. 3.

Элементар параллелепипедтің беттеріне түсірілген кернеулерден басқа оған көлемдік күштер: салмақ күштері, инерция күштері әсер етеді. Осы күштердің көлем бірлігіне проекцияларын координат осьтерінде X, Y және Z деп белгілейік. Егер барлық қалыпты, тангенциалдық және көлемдік күштердің х осіндегі проекцияларының қосындысын нөлге теңестірсек,

элементар параллелепипедке әсер етіп, онда dxdydz көбейтіндісіне келтіргеннен кейін теңдеуді аламыз.

Күштердің y және z осьтеріндегі проекциялары үшін ұқсас теңдеулерді құрастырып, біз Коши алған элементар параллелепипедтің тепе-теңдігі үшін үш дифференциалдық теңдеуді жазамыз,

Параллелепипедтің өлшемдерін нөлге дейін азайтқанда, ол нүктеге айналады, ал σ және τ А нүктесі арқылы өтетін өзара перпендикуляр үш аймақ бойындағы кернеу құраушыларын білдіреді.

Егер элементар параллелепипедке х осіне параллель с х осіне қатысты және оның ауырлық центрі арқылы өтетін барлық күштердің моменттерінің қосындысын нөлге теңестірсек, теңдеуді аламыз.

немесе жоғары ретті теңдеудің екінші және төртінші мүшелері басқаларымен салыстырғанда аз болатынын ескере отырып, dxdydz арқылы азайтқаннан кейін

τ yz - τ zy = 0 немесе τ yz = τ zy.

Орталық осьтерге қатысты ұқсас момент теңдеулерін құрастырып y c және z c , біз тангенциалдық кернеулердің жұптасу заңы үшін үш теңдеу аламыз.

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)

Бұл заң келесідей тұжырымдалған:Өзара перпендикуляр аудандар бойымен әсер ететін және аудандардың қиылысу сызығына перпендикуляр бағытталған тангенциалды кернеулер шамасы бойынша тең және таңбалары бойынша бірдей.

Сонымен, T σ тензорлық матрицаның тоғыз кернеулік құрамдас бөлігінің алтауы бір-біріне жұптық тең, ал нүктедегі кернеу күйін анықтау үшін тек келесі алты кернеу құраушысын табу жеткілікті:

Бірақ құрастырылған тепе-теңдік шарттары бізге тек үш теңдеу (1.2) берді, оның алты белгісізін табу мүмкін емес. Осылайша, нүктедегі кернеу күйін анықтаудың тікелей мәселесі, жалпы жағдайда, статикалық түрде анықталмайды. Бұл статикалық анықтауды ашу үшін қосымша геометриялық және физикалық тәуелділіктер қажет.

А нүктесінде беттеріне көлбеу жазықтықпен элементар параллелепипедті кесейік; осы жазықтыққа нормаль N l, m және n бағыт косинустары болсын.Алынған геометриялық фигура (4-сурет) негізі үшбұрышты пирамида – элементар тетраэдр. А нүктесі координаталар басымен сәйкес келеді, ал тетраэдрдің үш өзара перпендикуляр беті координаталық жазықтықтармен сәйкес келеді деп есептейміз.

Тетраэдрдің осы беттерінде әрекет ететін кернеу компоненттері қарастырылады

оң. Олар суретте көрсетілген. 4. BCD тетраэдрінің х, у және z осьтеріндегі көлбеу бетінің бойымен әрекет ететін толық кернеудің p N проекцияларын арқылы белгілейік. BCD көлбеу бетінің ауданын dF деп белгілейік. Сонда АВС бетінің ауданы dFп, беттің ауданы ACD - dFl және бет АДВ - dFт болады.

Тетраэдрдің беттерінен әсер ететін барлық күштерді х осіне проекциялау арқылы оның тепе-теңдік теңдеуін құрайық; дене күшінің проекциясы проекция теңдеуіне кірмейді, сондықтан

өйткені ол беттік күштердің проекцияларымен салыстырғанда кішігірім жоғары дәрежелі шаманы білдіреді:

Тетраэдрге әсер ететін күштердің y және z осьтеріндегі проекциясының теңдеулерін құрастырып, біз тағы екі ұқсас теңдеу аламыз. Нәтижесінде элементар тетраэдр үшін үш тепе-теңдік теңдеуі болады

Ерікті пішінді кеңістік денесін өзара перпендикуляр xOy, yOz және xOz жазықтықтар жүйесі арқылы (5-сурет) бірнеше элементар параллелепипедтерге бөлейік. Бұл кезде дененің бетінде элементар элементтер түзіледі.

тетраэдрлер (бетінің қисық сызықты бөліктері, олардың кішігірім болуына байланысты, жазықтықтармен ауыстырылуы мүмкін). Бұл жағдайда p N бетке түсетін жүктемені көрсетеді, ал (1.4) теңдеулер бұл жүктемені денедегі σ және τ кернеулерімен байланыстырады, яғни олар серпімділік теориясы есебінің шекаралық шарттарын көрсетеді. Осы теңдеулер арқылы анықталатын шарттар деп аталады бетіндегі жағдайлар.

Айта кету керек, серпімділік теориясында сыртқы жүктемелер дененің бетімен сәйкес келетін аймақтарға қандай да бір заң бойынша қолданылатын қалыпты және тангенциалды кернеулермен ұсынылған.

1.3 Көлбеу еңіс бойындағы қалыпты және ығысу кернеулері

сайт

Үш беті координаталық жазықтықтарға параллель, ал нормаль N төртінші беті координаталық осьтермен бұрыштар жасайтын, косинустары l, m және n-ге тең болатын ABCD элементар тетраэдрін қарастырайық (6-сурет). ). Координаталық жазықтықта жатқан аудандарға әсер ететін қалыпты және тангенциалды кернеу құраушылары берілген деп есептейміз және BCD аймағындағы кернеулерді анықтаймыз. Тік бұрышты координаталар осьтерінің x 1, y 1 және z 1 жаңа жүйесін таңдайық, сонда x 1 осі қалыпты N-мен сәйкес келеді,

Кернеу-деформация күйі, егер кернеу тензорының () құрамдас бөліктері және орын ауыстыру векторы, тоғыз функция табылса, анықталады.

Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері

Осы тоғыз функцияны табу үшін икемділік теориясының негізгі теңдеулерін жазу керек немесе:

Дифференциалды Коши

Коши деформацияларының сызықтық бөлігінің тензорының құраушылары қайда;

Радиалды орын ауыстыру туынды тензорының құрамдас бөліктері.

Дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулер

кернеу тензорының құрамдас бөліктері қайда; - дене күшінің j осіне проекциясы.

Сызықтық серпімді изотропты дене үшін Гук заңы

Жоғарыдағы теңдеулер Сент-Венант тәуелділіктерін қанағаттандыруы керек

Серпімділік теориясында барлық негізгі теңдеулер орындалса, мәселе шешіледі.

Серпімділік теориясындағы есептердің түрлері

Бірінші түрі. Дененің бетіне күштер беріледі. Шекара шарттары

Екінші түрі. Дененің бетінде орын ауыстыру көрсетілген мәселелер. Шекара шарттары

Серпімділік теориясының тура және кері есептері

Орын ауыстырулардағы серпімділік теориясының теңдеулері (Ақсақ теңдеулер)

Орын ауыстырулардағы серпімділік теориясының теңдеулерін анықтау үшін жазамыз: дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулері (18) сызықты серпімді изотропты дене үшін Гук заңы (19)

Егер деформациялардың орын ауыстырулар (17) арқылы өрнектелетінін ескерсек, былай жазамыз:

Сондай-ақ, ығысу бұрышы орын ауыстыруларға келесі қатынас (17) арқылы байланысты екенін еске түсіру керек:

(19) теңдіктердің бірінші теңдеуіне (22) өрнекті қойып, қалыпты кернеулерді аламыз.

Бұл жағдайда itz деп жазу i үстінен қосуды білдірмейтінін ескеріңіз.

(23) өрнегін (19) екінші теңдік теңдеуіне қойып, ығысу кернеулерін аламыз.

j = 1 үшін (18) тепе-теңдік теңдеулерін кеңейтілген түрде жазайық

Қалыпты (24) және тангенциалды (25) кернеулердің өрнектерін (26) теңдеуіне қойып, аламыз.

мұндағы l – өрнекпен анықталатын Lame тұрақтысы:

(28) өрнекті (27) теңдеуіне қойып, былай жазайық:

мұндағы (22) өрнекпен немесе кеңейтілген түрде анықталады

(29) өрнегін G-ге бөліп, ұқсас мүшелерді қосып, бірінші Ақсақ теңдеуін алайық:

мұндағы Лаплас операторы (гармоникалық оператор), ол ретінде анықталады

Сол сияқты сіз мыналарды ала аласыз:

(30) және (32) теңдеулерін былай жазуға болады:

Сонымен қатар, бұл жағдайда белгілеу i-ге қосуды білдірмейді. Мұнда

немесе (31) ескере отырып

(22)-ні (34) орнына қойып, түрлендірулерді орындай отырып, аламыз

және соның салдарынан

осы теңдікті қанағаттандыратын функция мұндағы. Егер

сондықтан f - гармоникалық функция. Бұл көлемдік деформацияның да гармоникалық функция екенін білдіреді.

Алдыңғы болжамды ақиқат деп есептей отырып, Гармоникалық операторды Ақсақ теңдеуінің i-ші жолынан аламыз.

Егер көлемдік күштер нөлге тең немесе тұрақты болса, онда орын ауыстыру құраушылары бигармоникалық функциялар болып табылады.

Гармоникалық функциялар арқылы бигармониялық функцияларды көрсетудің әртүрлі формалары белгілі (Ламе теңдеулерін қанағаттандыратын).

мұндағы k = 1,2,3. Оның үстіне