Ферманың үлкен теоремасы. Әшкерелейік! Ферманың соңғы теоремасы дәлелденді? Ферма теоремасы қалай естіледі

Пьер Ферма Александриялық Диофанттың «Арифметикасын» оқып, оның міндеттері туралы ой елегінен өткізе отырып, өз ойларының нәтижелерін кітаптың шетіне қысқа ескертулер түрінде жазып алуды әдетке айналдырған. Кітаптың шетіндегі Диофанттың сегізінші мәселесіне Ферма былай деп жазды: « Керісінше, не текшені екі текшеге, не биквадратты екі биквадратқа ыдырату мүмкін емес, ал жалпы алғанда, бірдей дәрежелі квадраттан екі градусқа үлкен емес дәреже болмайды. Мен мұның шынымен керемет дәлелін таптым, бірақ бұл өрістер ол үшін тым тар.» / Э.Т.Белл «Математиканы жасаушылар». М., 1979, 69 б/. Мен сіздердің назарларыңызға математикаға құмар кез келген жоғары сынып оқушысы түсіне алатын ферма теоремасының қарапайым дәлелін ұсынамын.

Ферманың Диофант мәселесіне берген түсіндірмесін теңдеу формасы бар Ферманың үлкен теоремасының қазіргі тұжырымымен салыстырайық.
« теңдеу

x n + y n = z n(мұндағы n – екіден үлкен бүтін сан)

натурал сандарда шешімі жоқ»

Түсініктеме тапсырмамен логикалық байланыста, предикаттың субъектімен логикалық байланысына ұқсас. Диофант мәселесімен расталған нәрсе, керісінше, Ферманың түсіндірмесі арқылы расталады.

Ферманың түсіндірмесін былайша түсіндіруге болады: егер үш белгісізі бар квадрат теңдеудің Пифагор сандарының барлық үштіктерінің жиынында шешімдерінің шексіз жиыны болса, онда, керісінше, квадраттан үлкен дәрежеде үш белгісізі бар теңдеу.

Теңдеуде оның Диофант мәселесімен байланысы да жоқ. Оның мәлімдемесі дәлелдеуді талап етеді, бірақ оның астында натурал сандардағы шешімдері жоқ деген қорытындыға келетін ешқандай шарт жоқ.

Маған белгілі теңдеуді дәлелдеу нұсқалары келесі алгоритмге келтірілген.

1. Оның қорытындысы ретінде Ферма теоремасының теңдеуі алынады, оның дұрыстығы дәлелдеу арқылы тексеріледі.
2. Сол теңдеу деп аталады түпнұсқаоның дәлелі шығуы керек теңдеу.

Нәтижесінде тавтология қалыптасты: « Егер теңдеудің натурал сандарда шешімі болмаса, онда оның натурал сандарда шешімі жоқ.«. Тавтологияның дәлелі әдейі дұрыс емес және ешқандай мағынасы жоқ. Бірақ ол қайшылықты әдіспен дәлелденеді.

• Дәлелдегіңіз келетін теңдеуге қарама-қарсы жорамал жасалады. Ол бастапқы теңдеуге қайшы келмеуі керек, бірақ ол оған қайшы келеді. Дәлелсіз қабылданғанды ​​дәлелдеудің, дәлелдеуді талап ететін нәрсені дәлелсіз қабылдаудың мағынасы жоқ.
• Қабылданған болжам негізінде оның бастапқы теңдеуге қайшы келетінін және жалған екенін дәлелдеу үшін абсолютті дұрыс математикалық амалдар мен әрекеттер орындалады.

Сондықтан 370 жыл бойы Ферманың соңғы теоремасының теңдеуін дәлелдеу математика мамандары мен әуесқойларының орындалмайтын арманы болып қала берді.

Теореманың қорытындысы ретінде теңдеуді, ал теореманың шарты ретінде Диофанттың сегізінші есебін және оның теңдеуін алдым.

«Егер теңдеу x 2 + y 2 = z 2 (1) Пифагор сандарының барлық үштіктерінің жиынында шешімдердің шексіз жиыны бар, содан кейін, керісінше, теңдеу x n + y n = z n , қайда n> 2 (2) натурал сандар жиынында шешімі жоқ.

Дәлелдеу.

A)(1) теңдеуде Пифагор сандарының барлық үштіктерінің жиынында шешімдердің шексіз жиыны бар екенін бәрі біледі. (1) теңдеудің шешімі болып табылатын Пифагор сандарының бірде-бір үштігі (2) теңдеудің шешімі емес екенін дәлелдеейік.

Теңдіктің қайтымдылық заңы негізінде (1) теңдеудің жақтары өзара алмасады. Пифагор сандары (z, x, y) тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары және квадраттары ретінде түсіндіруге болады (x 2, y 2, z 2) оның гипотенузасы мен аяқтарына салынған квадраттардың ауданы ретінде түсіндіруге болады.

(1) теңдеуінің квадраттарының квадраттары ерікті биіктікке көбейтіледі h :

z 2 сағ = x 2 сағ + у 2 сағ (3)

(3) теңдеуді параллелепипедтің көлемінің екі параллелепипедтің көлемдерінің қосындысына теңдігі ретінде түсіндіруге болады.

Үш параллелепипедтің биіктігі болсын h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Кубтың көлемі екі параллелепипедтің екі томына ыдырайды. Кубтың көлемін өзгеріссіз қалдырыңыз және бірінші параллелепипедтің биіктігін төмендетіңіз x және екінші параллелепипедтің биіктігін төмендетіңіз ж ... Текшенің көлемі екі текшенің көлемінің қосындысынан үлкен:

z 3> x 3 + y 3 (5)

Пифагор сандарының үштіктер жиынында ( x, y, z ) сағ n = 3 (2) теңдеудің шешімі болуы мүмкін емес. Сондықтан Пифагор сандарының барлық үштіктерінің жиынында текшені екі текшеге ыдырату мүмкін емес.

(3) теңдеуде үш параллелепипедтің биіктігі болсын h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Параллелепипедтің көлемі екі параллелепипедтің көлемдерінің қосындысына ыдырайды.
(6) теңдеудің сол жағын өзгеріссіз қалдырыңыз. Оның оң жағында биіктігі бар z 2 дейін азайту X бірінші тоқсанда және дейін 2-де екінші мерзімде.

(6) теңдеу теңсіздікке айналды:

Параллелепипедтің көлемі екі параллелепипедтің екі томына ыдырайды.

(8) теңдеудің сол жағын өзгеріссіз қалдырыңыз.
Оң жағында биіктік z n-2 дейін азайту x n-2 бірінші тоқсанда және дейін төмендейді y n-2 екінші мерзімде. (8) теңдеу теңсіздікке айналады:

z n> x n + y n

(9)

Пифагор сандарының үштіктер жиынында (2) теңдеудің жалғыз шешімі болуы мүмкін емес.

Сондықтан, барлығына арналған Пифагор сандарының барлық үштіктерінің жиынтығында n> 2 (2) теңдеудің шешімі жоқ.

«Постинно ғажайып дәлел» алды, бірақ тек үшем үшін Пифагор сандары... Бұл дәлелдердің болмауыжәне П.Ферманың одан бас тартуының себебі.

B)(2) теңдеудің Пифагорлық емес сандардың үштіктер жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдейік, бұл Пифагор сандарының ерікті түрде алынған үштіктер тобының сәтсіздігі. z = 13, x = 12, y = 5 және натурал сандардың ерікті үштік тобы z = 21, x = 19, y = 16

Сандардың екі үштігі де олардың отбасы мүшелері:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Отбасы мүшелерінің саны (10) және (11) 13-тің 12-ге және 21-ден 20-ға көбейтіндісінің жартысына тең, яғни 78 мен 210.

Отбасының әрбір мүшесі (10) қамтиды z = 13 және айнымалылар X және сағ 13> x> 0 , 13> y> 0 1

Отбасының әрбір мүшесі (11) қамтиды z = 21 және айнымалылар X және сағ бүтін сандардың мәндерін қабылдайды 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Айнымалылар бірте-бірте азаяды 1 .

(10) және (11) тізбегіндегі сандар үштіктерін үшінші дәрежелі теңсіздіктер тізбегі ретінде көрсетуге болады:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

және төртінші дәрежелі теңсіздіктер түрінде:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Әрбір теңсіздіктің дұрыстығы сандарды үшінші және төртінші дәрежелерге көтеру арқылы расталады.

Үлкен санның текшесін кішірек сандардан тұратын екі текшеге бөлуге болмайды. Ол екі кіші санның текшелерінің қосындысынан не аз, не көп.

Үлкен санның биквадраты кіші сандардың екі биквадратына ыдырамайды. Ол кіші сандардың биквадраттарының қосындысынан не аз, не көп.

Көрсеткіштің өсуімен сол жақ шеткі теңсіздіктен басқа барлық теңсіздіктер бірдей мағынаға ие болады:

Теңсіздіктер, олардың барлығы бірдей мағынаға ие: үлкен санның дәрежесі бірдей дәрежелі екіден аз санның дәрежелерінің қосындысынан үлкен:

	13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n;...; 13 n> 7 n + 4 n;...; 13 n> 1 n + 1 n	(12)
	21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n;...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n	(13)

(12) (13) қатарларының ең сол жақ мүшесі ең әлсіз теңсіздік болып табылады. Оның дұрыстығы (12) тізбегінің барлық келесі теңсіздіктерінің дұрыстығын анықтайды n> 8 және реттілік (13) үшін n> 14 .

Олардың арасында жалғыз теңдік болуы мүмкін емес. Натурал сандардың ерікті үштігі (21,19,16) Ферманың үлкен теоремасының (2) теңдеуінің шешімі емес. Егер натурал сандардың ерікті түрде алынған үш еселігі теңдеудің шешімі болмаса, онда теңдеудің натурал сандар жиынында шешімдері жоқ, бұл біз дәлелдеуіміз керек еді.

МЕН)Ферманың Диофант мәселесіне берген түсіндірмесінде оның ыдырауы мүмкін еместігі айтылған. жалпы алғанда, бірдей көрсеткішпен екі градусқа квадраттан үлкен емес».

Сүйісуквадраттан үлкен дәрежені бірдей көрсеткішпен екі градусқа ыдырату мүмкін емес. Орынсызквадраттан үлкен дәреже бірдей көрсеткішпен екі градусқа ыдырауға болады.

Натурал сандардың кез келген ерікті үштігі (z, x, y) әрбір мүшесі тұрақты саннан тұратын отбасына жатуы мүмкін z және одан екі сан кем z ... Отбасының әрбір мүшесін теңсіздік түрінде, ал барлық алынған теңсіздіктерді теңсіздіктер тізбегі ретінде көрсетуге болады:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Теңсіздіктер тізбегі (14) сол жағы оң жақтан кіші теңсіздіктерден басталып, оң жағы сол жақтан кіші теңсіздіктермен аяқталады. Көрсеткіштің өсуімен n> 2 (14) тізбегінің оң жағындағы теңсіздіктер саны артады. Көрсеткішпен n = k қатардың сол жағындағы барлық теңсіздіктер өз мағынасын өзгертіп, (14) қатардағы теңсіздіктердің оң жағындағы теңсіздіктердің мағынасын қабылдайды. Барлық теңсіздіктер үшін көрсеткіштің ұлғаюы нәтижесінде сол жағы оң жақтан үлкен болады:

z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k;...; z k> 2 k + 1 k; z k> 1 k + 1 k

(15)

Көрсеткіштің одан әрі өсуімен n> k теңсіздіктердің ешқайсысы өз мағынасын өзгертпейді және теңдікке айналмайды. Осы негізде кез келген ерікті түрде алынған үштік оң бүтін сандар деп айтуға болады. (z, x, y) сағ n> 2 , z> x , z> y

Натурал сандардың ерікті үштігінде z ерікті үлкен натурал сан болуы мүмкін. -ден үлкен емес барлық натурал сандар үшін z , Ферманың соңғы теоремасы дәлелденді.

D)Сан қанша үлкен болса да z , натурал сандар қатарында оның алдында үлкен, бірақ ақырлы бүтін сандар жиыны, ал одан кейін – шексіз бүтін сандар жиыны болады.

Натурал сандардың барлық шексіз жиыны артық екенін дәлелдейік z , Ұлы Ферма теоремасының теңдеуінің шешімі болып табылмайтын сандардың үш еселіктерін құрайды, мысалы, натурал сандардың ерікті түрде алынған үш еселігі. (z + 1, x, y) , онда z + 1> x және z + 1> y көрсеткіштің барлық мәндері үшін n> 2 Ұлы Ферма теоремасының теңдеуінің шешімі емес.

Натурал сандардың ерікті үштігі (z + 1, x, y) әрбір мүшесі тұрақты саннан тұратын үштік сандар семьясына жатуы мүмкін z + 1 және екі сан X және сағ қарағанда әртүрлі мәндерді қабылдау z + 1 ... Отбасы мүшелері тұрақты сол жағы оң жақтан аз немесе көп болатын теңсіздіктер түрінде ұсынылуы мүмкін. Теңсіздіктерді реттілікпен теңсіздіктер тізбегі ретінде орналастыруға болады:

Көрсеткіштің одан әрі өсуімен n> k шексіздікке дейін (17) тізбегіндегі теңсіздіктердің ешқайсысы өз мағынасын өзгертіп, теңдікке ауыспайды. (16) тізбегі бойынша натурал сандардың ерікті үштігінен құрылған теңсіздік (z + 1, x, y) , пішінде оның оң жағында болуы мүмкін (z + 1) n> x n + y n немесе пішінде оның сол жағында болуы (z + 1) n< x n + y n .

Кез келген жағдайда, оң бүтін үштік (z + 1, x, y) сағ n> 2 , z + 1> x , z + 1> y (16) тізбегі теңсіздік болып табылады және теңдікті көрсете алмайды, яғни Ұлы Ферма теоремасының теңдеуінің шешімін көрсете алмайды.

Сол жағындағы соңғы теңсіздік пен оң жағындағы бірінші теңсіздік қарама-қарсы мағынадағы теңсіздіктер болатын дәрежелік теңсіздіктер (16) тізбегінің шығу тегін түсіну оңай және қарапайым. Керісінше, мектеп оқушылары, жоғары сынып оқушылары және жоғары сынып оқушылары үшін барлық теңсіздіктер бірдей мағынаға ие болатын теңсіздіктер тізбегі (16) теңсіздіктер тізбегі (16) қалай құрылатынын түсіну оңай емес және оңай емес. .

(16) тізбегі бойынша теңсіздіктердің бүтін дәрежесін 1 бірлікке арттыру сол жағындағы соңғы теңсіздікті оң жағындағы мағынасы қарама-қарсы бірінші теңсіздікке айналдырады. Сонымен қатардың тоғызыншы жағындағы теңсіздіктер саны азаяды, ал оң жағындағы теңсіздіктер саны артады. Қарама-қарсы мағынадағы соңғы және бірінші дәрежелік теңсіздіктердің арасында міндетті түрде дәрежелер теңдігі болады. Оның дәрежесі бүтін сан бола алмайды, өйткені қатарынан екі натурал санның арасында бүтін емес сандар ғана болады. Бүтін емес дәрежедегі қуат теңдігі теорема гипотезасы бойынша (1) теңдеудің шешімі ретінде қарастырыла алмайды.

Егер (16) тізбегі бойынша дәрежені 1 бірлікке арттыруды жалғастырсақ, онда оның сол жақ бөлігінің соңғы теңсіздігі оң жақтың қарама-қарсы мағынасының бірінші теңсіздігіне айналады. Нәтижесінде бірде-бір сол жақ теңсіздік қалмайды және тек оң жақ теңсіздіктер қалады, олар күштер теңсіздіктерінің өсу тізбегін білдіреді (17). Олардың бүкіл дәрежесін 1 бірлікке одан әрі ұлғайту тек оның қуат теңсіздігін күшейтеді және тұтас дәрежеде теңдіктің пайда болу мүмкіндігін үзілді-кесілді жоққа шығарады.

Демек, жалпы алғанда дәрежелік теңсіздіктер тізбегінің (17) натурал санының (z + 1) бірде-бір бүтін дәрежесін бірдей дәрежелі екі бүтін дәрежеге ыдыратуға болмайды. Сондықтан (1) теңдеудің дәлелдеу үшін қажет болатын шексіз натурал сандар жиынында шешімі жоқ.

Демек, Ферманың соңғы теоремасы өзінің барлық әмбебаптығымен дәлелденді:

• А) бөлімінде барлық үштіктер үшін (z, x, y) Пифагор сандары (Ферматтың ашқан жаңалығы шын мәнінде тамаша дәлел),
• В бөлімінде кез келген үшемнің барлық отбасы мүшелері үшін (z, x, y) Пифагор сандары,
• бөлімінде C) барлық үштік сандар үшін (z, x, y) , үлкен сандар емес z
• бөлімінде D) барлық үштік сандар үшін (z, x, y) натурал сандар қатары.

Өзгерістер 09.05.2010 ж.

Қандай теоремаларды қайшылықпен дәлелдеуге болады және дәлелдеуге болмайды

Математикалық терминдердің түсіндірме сөздігінде қарама-қарсы теореманы, кері теоремаға қарама-қарсылықты дәлелдеуге анықтама беріледі.

«Қайшылық арқылы дәлелдеу – теореманың өзін емес, оның эквивалентін (эквивалентін), кері (кері) теоремаға қарама-қарсы дәлелдеуден тұратын теореманы (предложение) дәлелдеу әдісі. Қарама-қайшылықпен дәлелдеу тікелей теореманы дәлелдеу қиын, ал керісінше дәлелдеу оңай болған жағдайда қолданылады. Қарама-қайшылықпен дәлелдеу кезінде теореманың қорытындысы оны теріске шығарумен ауыстырылады, ал дәлелдеу арқылы шартты теріске шығаруға келеді, яғни. қарама-қайшылыққа, керісінше (берілгенге қарама-қарсы; бұл абсурдтық қысқарту теореманы дәлелдейді ».

Математикада қайшылықпен дәлелдеу өте кең таралған. Қарама-қайшылықпен дәлелдеу алынып тасталған үшінші заңға негізделген, бұл екі мәлімдеменің (мәлімдеменің) A және A (теріс A) олардың бірі ақиқат, екіншісі жалған»./ Математикалық терминдердің түсіндірме сөздігі: Мұғалімдерге арналған нұсқаулық / О. В. Мантуров [және басқалар]; ред. В.А.Диткина.- М .: Білім, 1965.- 539 б.: ауру.-С.112 /.

Қарама-қайшылықпен дәлелдеу әдісі математикада қолданылғанымен, математикалық әдіс емес екенін, оның логикалық әдіс екенін, логикаға жататынын ашық айту артық болмас еді. Қарама-қайшылықпен дәлелдеу «тікелей теореманы дәлелдеу қиын болған кезде қолданылады», ал шын мәнінде ол оның орнын алмастырушы болмаса ғана қолданылады деп айтуға бола ма?

Тура және кері теоремалардың өзара байланысының сипаттамасы ерекше назар аударуды қажет етеді. «Берілген теорема үшін (немесе берілген теорема үшін) кері теорема шарты қорытынды болатын теорема, ал қорытынды берілген теореманың шарты болып табылады. Бұл теорема кері теоремаға қатысты тура теорема (түпнұсқа) деп аталады. Бұл ретте қарама-қарсы теоремаға қарама-қарсы теорема берілген теорема болады; сондықтан тура және кері теоремалар өзара кері деп аталады. Егер тура (берілген) теорема ақиқат болса, онда керісінше теорема әрқашан ақиқат бола бермейді. Мысалы, төртбұрыш ромб болса, оның диагональдары өзара перпендикуляр (тікелей теорема). Егер төртбұрыштағы диагональдар өзара перпендикуляр болса, онда төртбұрыш ромб болып табылады — бұл дұрыс емес, яғни керісінше теорема дұрыс емес»./ Математикалық терминдердің түсіндірме сөздігі: Мұғалімдерге арналған нұсқаулық / О. В. Мантуров [және басқалар]; ред. В.А.Диткина.- М .: Білім, 1965.- 539 б.: ауру.-С.261 /.

Тура және кері теорема арасындағы байланыстың бұл сипаттамасы тура теореманың шартының берілгендей, дәлелсіз қабылдануын ескермейді, сондықтан оның дұрыстығына кепілдік берілмейді. Кері теореманың шарты берілгендей қабылданбайды, өйткені ол дәлелденген тура теореманың қорытындысы болып табылады. Оның дұрыстығын тура теореманы дәлелдеу дәлелдейді. Тура және кері теоремалардың шарттары арасындағы бұл маңызды логикалық айырмашылық қай теоремаларды логикалық әдіспен қайшылық арқылы дәлелдеуге болады және қайсысын дәлелдеуге болмайды деген сұраққа шешуші болып шығады.

Кәдімгі математикалық әдіспен дәлелдеуге болатын тікелей теорема бар деп есептейік, бірақ бұл қиын. Оны жалпы түрде қысқаша түрде төмендегідей тұжырымдап көрейік: бастап Акерек Е ... Таңба А дәлелсіз қабылданған теореманың берілген шарты маңызды. Таңба Е дәлелдеуді талап ететін теорема қорытындысының мағынасы.

Тура теореманы қайшылық арқылы дәлелдейміз, логикалықәдіс. Бар теореманы дәлелдеу үшін логикалық әдіс қолданылады математикалық емесжағдайы, және логикалықжағдай. Оны алуға болады, егер теореманың математикалық шарты бастап Акерек Е , қарама-қарсы шартпен толықтыру бастап Аол орындалмайды Е .

Нәтижесінде біз екі бөліктен тұратын жаңа теореманың логикалық қарама-қайшы шартын алдық: бастап Акерек Е және бастап Аол орындалмайды Е ... Жаңа теореманың нәтижелі шарты алынып тасталған ортаның логикалық заңына сәйкес келеді және теореманы қайшылықты әдіспен дәлелдеуге сәйкес келеді.

Заң бойынша қарама-қайшы шарттың бір бөлігі жалған, екінші бөлігі дұрыс, үшіншісі алынып тасталады. Қарама-қайшылықпен дәлелдеудің міндеті және теорема шартының екі бөлігінің қай бөлігі жалған екенін дәл анықтау мақсаты бар. Шарттың жалған бөлігі анықтала салысымен, екінші бөлігі ақиқат бөлігі екені анықталады, ал үшіншісі алынып тасталады.

Математикалық терминдердің түсіндірме сөздігіне сәйкес, «Дәлелдеу – бұл кез келген тұжырымның (пікір, мәлімдеме, теорема) ақиқаттығы немесе жалғандығы анықталатын пайымдау».... Дәлелдеу қарама-қайшылық бойыншапайымдау бар, оның барысында ол бекітіледі жалғандықтуындайтын қорытындының (абсурдтылығы). жалғандәлелденетін теореманың шарттары.

Берілген: бастап Акерек Ежәне бастап Аол орындалмайды Е .

Дәлелдеу: бастап Акерек Е .

Дәлелдеу: Теореманың логикалық шартында шешуді қажет ететін қарама-қайшылық бар. Шарттың қайшылығы өз шешімін дәлелдеу мен оның нәтижесінен табуы керек. Мінсіз және қатесіз пайымдау арқылы нәтиже жалған болып шығады. Логикалық дұрыс пайымдау кезінде жалған қорытындының себебі тек қарама-қайшы шарт болуы мүмкін: бастап Акерек Е және бастап Аол орындалмайды Е .

Шарттың бір бөлігі жалған, ал бұл жағдайда екіншісі ақиқат екеніне ешқандай күмән жоқ. Шарттың екі бөлігінің де шығу тегі бірдей, деректер ретінде қабылданады, болжанған, бірдей мүмкін, бірдей рұқсат етілген және т.б.Логикалық пайымдаулар барысында шарттың бір бөлігін екіншісінен ажырататын бірде-бір логикалық белгі табылмады. . Сондықтан, дәл осындай дәрежеде болуы мүмкін бастап Акерек Е және мүмкін бастап Аол орындалмайды Е ... Мәлімдеме бастап Акерек Е мүмкін жалған, содан кейін мәлімдеме бастап Аол орындалмайды Е ақиқат болады. Мәлімдеме бастап Аол орындалмайды Е жалған болуы мүмкін, содан кейін мәлімдеме бастап Акерек Е ақиқат болады.

Демек, тура теореманы қайшылық арқылы дәлелдеу мүмкін емес.

Енді сол тура теореманы кәдімгі математикалық әдіспен дәлелдейміз.

Берілген: А .

Дәлелдеу: бастап Акерек Е .

Дәлелдеу.

1. бастап Акерек Б

2. бастап Бкерек В (бұрын дәлелденген теорема бойынша)).

3. бастап Вкерек Г (бұрын дәлелденген теорема бойынша).

4. бастап Гкерек D (бұрын дәлелденген теорема бойынша).

5. бастап Dкерек Е (бұрын дәлелденген теорема бойынша).

Өтпелілік заңына сүйене отырып, бастап Акерек Е ... Тура теорема кәдімгі әдіспен дәлелденеді.

Дәлелденген тура теореманың дұрыс кері теоремасы болсын: бастап Екерек А .

Оны әдеттегідей дәлелдеп көрейік математикалықәдіс. Керісінше теореманың дәлелі математикалық амалдардың алгоритмі түрінде символдық түрде көрсетілуі мүмкін.

Берілген: Е

Дәлелдеу: бастап Екерек А .

Дәлелдеу.

1. бастап Екерек D

2. бастап Dкерек Г (бұрын дәлелденген кері теорема бойынша).

3. бастап Гкерек В (бұрын дәлелденген кері теорема бойынша).

4. бастап Вол орындалмайды Б (кері теорема дұрыс емес). Сондықтан бастап Бол орындалмайды А .

Бұл жағдайда қарама-қарсы теореманың математикалық дәлелдеуін жалғастырудың мағынасы жоқ. Жағдайдың себебі логикалық. Дұрыс емес кері теореманы ештеңемен ауыстыру мүмкін емес. Демек, бұл қарама-қарсы теореманы әдеттегі математикалық әдіспен дәлелдеу мүмкін емес. Барлық үміт осы қарама-қарсы теореманы қарама-қайшылық әдісімен дәлелдеуге арналған.

Оны қайшылықты әдіспен дәлелдеу үшін оның математикалық шартын мағынасында екі бөліктен тұратын – жалған және ақиқат логикалық қарама-қайшы шартпен ауыстыру қажет.

Кері теоремабылай дейді: бастап Еол орындалмайды А ... Оның жағдайы Е , одан қорытынды шығады А , кәдімгі математикалық әдіспен тура теореманы дәлелдеу нәтижесі болып табылады. Бұл шарт сақталуы және мәлімдемемен толықтырылуы керек бастап Екерек А ... Қосу нәтижесінде жаңа кері теореманың қарама-қайшы шарты алынады: бастап Екерек А және бастап Еол орындалмайды А ... Осының негізінде логикалыққарама-қайшы шарт болса, керісінше теореманы дұрыс арқылы дәлелдеуге болады логикалықтек пайымдау және тек, логикалыққарама-қайшылық әдісімен. Қайшылық арқылы дәлелдеу кезінде кез келген математикалық әрекеттер мен амалдар логикалық әрекеттерге бағынады, сондықтан есептелмейді.

Қарама-қайшы мәлімдеменің бірінші бөлігінде бастап Екерек А жағдай Е тура теореманы дәлелдеу арқылы дәлелденді. Екінші бөлімде бастап Еол орындалмайды А жағдай Е дәлелсіз болжанады және қабылданды. Олардың кейбіреулерінің бірі жалған, екіншісі шын. Олардың қайсысы жалған екенін дәлелдеу талап етіледі.

Дұрыс арқылы дәлелдейміз логикалықпайымдау және оның нәтижесі жалған, абсурдтық қорытынды екенін табыңыз. Жалған логикалық қорытындының себебі теореманың қарама-қайшы логикалық шарты болып табылады, ол екі бөліктен тұрады - жалған және ақиқат. Жалған бөлік тек мәлімдеме болуы мүмкін бастап Еол орындалмайды А , онда Е дәлелсіз қабылданды. Оның айырмашылығы осылай Е бекіту бастап Екерек А , ол тура теореманы дәлелдеу арқылы дәлелденеді.

Сондықтан келесі мәлімдеме дұрыс: бастап Екерек А , дәлелдеу үшін қажет.

Қорытынды: қарама-қарсы теорема ғана логикалық әдіспен қарама-қайшылық арқылы дәлелденеді, оның математикалық әдіспен дәлелденген тура теоремасы бар және математикалық әдіспен дәлелденбейді.

Алынған қорытынды Ұлы Ферма теоремасының қайшылықтары арқылы дәлелдеу әдісіне қатысты ерекше мәнге ие болады. Оны дәлелдеу әрекеттерінің басым көпшілігі әдеттегі математикалық әдіске емес, қайшылық арқылы дәлелдеудің логикалық әдісіне негізделген. Уайлстың Ұлы Ферма теоремасының дәлелі де ерекшелік емес.

Дмитрий Абраров өзінің «Ферма теоремасы: Уайлс дәлелдеу құбылысы» атты мақаласында Уайлстың Ұлы Ферма теоремасын дәлелдеуіне түсініктеме жариялады. Абровтың пікірінше, Уайлс Ұлы Ферма теоремасын Ферма теңдеуінің потенциалдық шешімін байланыстырған неміс математигі Герхард Фрейдің (1944 ж. т.) тамаша табуының көмегімен дәлелдейді. x n + y n = z n , қайда n> 2 , басқа, одан мүлде басқа теңдеумен. Бұл жаңа теңдеу арнайы қисық (Фрей эллиптикалық қисығы деп аталады) арқылы берілген. Фрей қисығы өте қарапайым түрдегі теңдеумен берілген:
.

«Дәлірек айтқанда, Фрей кез келген шешімге сәйкес келді (a, b, c)Ферма теңдеуі, яғни қатынасты қанағаттандыратын сандар a n + b n = c nқисық үстінде. Бұл жағдайда ұлы Ферма теоремасы осы жерден шығады.(Дәйексөз: Абраров Д. «Фермат теоремасы: Уайлс дәлелдеу феномені»)

Басқаша айтқанда, Герхард Фрей ұлы Ферма теоремасының теңдеуін ұсынды x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандардағы шешімдері бар. Бұл шешімдер Фрейдің болжамы бойынша оның теңдеуінің шешімдері болып табылады
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , ол оның эллиптикалық қисығы арқылы берілген.

Эндрю Уайлс Фрейдің бұл тамаша олжасын және оның көмегімен қабылдады математикалықәдіс бұл табудың, яғни Фрей эллиптикалық қисығының жоқ екенін дәлелдеді. Демек, жоқ эллиптикалық қисықпен берілген теңдеу және оның шешімдері жоқ.Сондықтан Уайлс Ұлы Ферма теоремасының теңдеуі мен Ферма теоремасының өзі жоқ деген қорытындыны қабылдауы керек еді. Бірақ ол Ұлы Ферма теоремасының теңдеуінің натурал сандарда шешімі жоқ деген қарапайым тұжырым жасады.

Уайлс Ферманың соңғы теоремасында айтылғанға мүлдем қарама-қайшы болжамды қабылдағаны бұлтартпас факт болуы мүмкін. Ол Уилске Ферманың соңғы теоремасын қайшылық арқылы дәлелдеуге міндеттейді. Біз оның үлгісіне еліктеп, бұл мысалдан не шығатынын көреміз.

Ферманың соңғы теоремасы теңдеу екенін айтады x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандарда шешімі жоқ.

Қайшылық арқылы дәлелдеудің логикалық әдісі бойынша бұл тұжырым сақталады, дәлелсіз берілгендей қабылданады, содан кейін мағынасы жағынан қарама-қарсы пікірмен толықтырылады: теңдеу. x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандардағы шешімдері бар.

Айтылған мәлімдеме де дәлелсіз, берілген ретінде қабылданады. Логиканың негізгі заңдары тұрғысынан қарастырылатын екі тұжырым да бірдей жарамды, тең және бірдей мүмкін. Дұрыс пайымдау арқылы олардың қайсысы өтірік екенін анықтау керек, содан кейін екіншісінің ақиқаттығын анықтау керек.

Дұрыс пайымдау жалған, абсурдтық қорытындымен аяқталады, оның логикалық себебі тек қарама-қарсы мағынаның екі бөлігін қамтитын теореманың қарама-қайшы шарты дәлелденуі мүмкін. Олар абсурдтық тұжырымның логикалық себебі, қайшылық арқылы дәлелдеудің нәтижесі болды.

Дегенмен, логикалық тұрғыдан дұрыс пайымдау барысында қай мәлімдеменің жалған екенін анықтауға болатын бірде-бір белгі табылмады. Бұл мәлімдеме болуы мүмкін: теңдеу x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандардағы шешімдері бар. Дәл сол негізде бұл тұжырым болуы мүмкін: теңдеу x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандарда шешімі жоқ.

Дәлелдеудің нәтижесінде бір ғана қорытынды болуы мүмкін: Ферманың соңғы теоремасын қайшылықпен дәлелдеу мүмкін емес.

Ферманың соңғы теоремасы кәдімгі математикалық әдіспен дәлелденген тікелей теоремасы бар кері теорема болса, бұл мүлдем басқа мәселе болар еді. Бұл жағдайда оны қарама-қайшылықпен дәлелдеуге болады. Ал ол тура теорема болғандықтан, оны дәлелдеу қайшылық арқылы дәлелдеудің логикалық әдісіне емес, кәдімгі математикалық әдіске негізделуі керек.

Д.Абровтың айтуынша, қазіргі орыс математиктерінің ішіндегі ең атақтысы, академик В.И.Арнольд Уайлстың дәлелдеуіне «белсенді күмәнмен» жауап берген. Академик: «Бұл нағыз математика емес – нағыз математика геометриялық және физикамен байланысты күшті» деп мәлімдеді (Дәйексөз: Абраров Д. «Ферма теоремасы: Уайлс дәлелдеу құбылысы». Академиктің мәлімдемесі Уайлс тұжырымының мәнін көрсетеді. Ұлы Ферма теоремасының математикалық емес дәлелі.

Қарама-қайшылық арқылы Ұлы Ферма теоремасының теңдеуінің шешімі жоқ екенін де, оның шешімдері де жоқ екенін дәлелдеу мүмкін емес. Уайлс қателігі математикалық емес, логикалық - қайшылық арқылы дәлелдеуді қолдану мағынасы жоқ және Ұлы Ферма теоремасын дәлелдемейтін жерде.

Ферманың соңғы теоремасы кәдімгі математикалық әдіспен дәлелденбейді, егер ол берілген болса: теңдеу x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандарда шешімдері жоқ және онда дәлелдеу қажет болса: теңдеу x n + y n = z n , қайда n> 2 , натурал сандарда шешімі жоқ. Бұл формада теорема емес, мағынасы жоқ тавтология бар.

Ескерту.Менің BTF дәлелім форумдардың бірінде талқыланды. Тротилдің авторларының бірі, сандар теориясының сарапшысы келесідей беделді мәлімдеме жасады: «Миргородскийдің не істегенін қысқаша баяндау». Сөзбе-сөз келтіремін:

« А. Ол дәлелдеді, егер z 2 = x 2 + y , содан кейін z n> x n + y n ... Бұл белгілі және өте айқын факт.

В. Ол екі үштік алды - пифагорлық және пифагорлық емес және қарапайым іздеу арқылы нақты, нақты үшемдік отбасы үшін (78 және 210 дана) BTF орындалғанын көрсетті (тек ол үшін).

МЕН. Содан кейін автор бұл фактіні жоққа шығарады < кейінгі дәрежеде болуы мүмкін = , тек қана емес > ... Қарапайым қарсы мысал - көшу n = 1 v n = 2 Пифагор үштігінде.

D. Бұл тармақ BTF дәлеліне маңызды ештеңе қоспайды. Қорытынды: BTF дәлелденген жоқ ».

Мен оның қорытындысын тармақ-тармақпен қарастырамын.

А.Ол Пифагор сандарының үштіктерінің шексіз жиынтығы үшін BTF дәлелдеді. Геометриялық әдіспен дәлелденген, оны менің ойымша, мен ашпаған, қайта ашқан. Және оны, менің ойымша, П.Ферманың өзі ашқан. Ферма былай деп жазғанда мынаны ойлаған болуы мүмкін:

«Мен мұның шынымен керемет дәлелін таптым, бірақ бұл өрістер ол үшін тым тар». Бұл менің болжамым, Ферма кітаптың шеттерінде Пифагор сандарының үш еселенген диофант теңдеуінің шешімдері туралы айтатын Диофант мәселесіне негізделген.

Пифагор сандарының үштіктерінің шексіз жиыны диофатикалық теңдеудің шешімдері болып табылады, ал Ферма теоремасында, керісінше, шешімдердің ешқайсысы Ферма теоремасының теңдеуінің шешімі бола алмайды. Ал Ферманың нағыз ғажайып дәлелі осы фактімен тікелей байланысты. Кейінірек Ферма өзінің теоремасын барлық натурал сандар жиынына дейін кеңейте алды. Барлық натурал сандар жиынында BTF «ерекше әдемі теоремалар жиынтығына» жатпайды. Бұл менің болжамым, оны дәлелдеу де, жоққа шығару да мүмкін емес. Оны қабылдауға да, бас тартуға да болады.

В.Осы кезде мен ерікті түрде алынған Пифагор сандар үштіктерінің отбасы да, BTF сандарының пифагорлық емес үштіктерінің отбасы да қанағаттандырылғанын дәлелдеймін. Бұл менің BTF дәлелімдегі қажетті, бірақ жеткіліксіз және аралық сілтеме. . Мен Пифагор сандарының үш еселенген отбасы және Пифагор емес сандардың үш еселенген отбасы туралы алған мысалдар басқа ұқсас мысалдардың болуын болжайтын және жоққа шығармайтын нақты мысалдардың мағынасына ие.

Тротилдің мен «қарапайым іздеу арқылы нақты, белгілі үшемдік отбасы үшін (78 және 210 дана) BTF орындалғанын (және тек ол үшін) дәлелдеді» деген тұжырымы негізсіз. Ол бір және басқа үшемдердің белгілі бір отбасын алу үшін пифагорлық және пифагорлық емес үштіктердің басқа мысалдарын ала алатынымды жоққа шығара алмайды.

Қай үштік жұбын алсам да, олардың мәселені шешуге жарамдылығын, менің ойымша, тек «қарапайым санау» әдісімен тексеруге болады. Басқа әдіс маған белгісіз және қажет емес. Егер Тротил оны ұнатпайтын болса, онда ол басқа әдісті ұсынуы керек еді, ол оған ұнамайды. Оның орнына ештеңе ұсынбай, бұл жағдайда алмастырылмайтын «қарапайым дөрекі күшті» айыптау дұрыс емес.

МЕН.Мен = арасында қалдырдым< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), қандай дәрежеде n> 2 — тұтасоң сан. Теңсіздіктер арасындағы теңдіктен ол шығады міндетті(1) теңдеуді қарастыру бүтін емес дәрежемен n> 2 ... Тротилді санау міндеттітеңсіздіктер арасындағы теңдікті қарастыру іс жүзінде қарастырылады қажетті BTF дәлелдеуінде (1) теңдеуді қарастыру толық емесдәреженің мағынасы n> 2 ... Мен мұны өзім үшін жасадым және (1) теңдеуді таптым толық емесдәреженің мағынасы n> 2 үш санның шешімі бар: z, (z-1), (z-1) бүтін емес дәреже көрсеткішімен.

Григорий Перельман. Рефусеник

Василий Максимов

2006 жылдың тамызында Альфред Нобельдің қалауы бойынша математиктер айырылған Нобель сыйлығының аналогы - ең беделді Филдс медалін алған планетаның ең жақсы математиктерінің есімдері жарияланды. Филдс медалі – құрмет белгісінен басқа, лауреаттарға он бес мың канадалық долларға чек беріледі – төрт жыл сайын Халықаралық математиктер конгресі марапаттайды. Ол канадалық ғалым Джон Чарльз Филдс негізін қалаған және алғаш рет 1936 жылы марапатталған. 1950 жылдан бастап Филдс медалін математика ғылымының дамуына қосқан үлесі үшін Испания королі жеке марапаттап келеді. Сыйлықтың лауреаттары қырық жасқа толмаған бірден төртке дейін ғалымдар болуы мүмкін. Жүлдені 44 математик алды, оның сегізі ресейлік.

Григорий Перельман. Анри Пуанкаре.

2006 жылы француз Венделин Вернер, австралиялық Теренс Тао және екі ресейлік – АҚШ-та жұмыс істейтін Андрей Окунков пен Санкт-Петербургтен келген ғалым Григорий Перельман лауреат атанды. Алайда, соңғы сәтте Перельманның бұл беделді марапаттан бас тартқаны белгілі болды - ұйымдастырушылар жариялағандай, «принципті себептермен».

Орыс математигінің мұндай экстравагантты әрекеті оны білетін жұртты таң қалдырған жоқ. Оның математикалық марапаттардан бас тартуы бірінші рет емес, өз шешімін салтанатты шараларды ұнатпайтындығымен және есімінің айналасындағы шектен тыс дүрбелеңді ұнатпайтынымен түсіндірді. Осыдан он жыл бұрын, 1996 жылы Перельман Еуропалық математикалық конгресстің марапатынан бас тартып, марапатқа ұсынылған ғылыми мәселе бойынша жұмысты аяқтамағанын және бұл соңғы рет емес екенін айтып, бас тартты. Орыс математигі қоғамдық пікір мен ғылыми қауымға қарсы шығып, адамдарды таң қалдыруды өмірлік мақсатына айналдырған сияқты.

Григорий Яковлевич Перельман 1966 жылы 13 маусымда Ленинградта дүниеге келген. Ол жастайынан нақты ғылымдарға құмар болды, математиканы тереңдете оқытатын атақты 239-орта мектепті тамаша бітірді, көптеген математикалық олимпиадалардың жеңімпазы болды: мысалы, 1982 жылы кеңестік мектеп оқушылары командасының құрамында болды. Будапештте өткен халықаралық математикалық олимпиадада. Перельман емтихансыз Ленинград университетінің механика-математика факультетіне оқуға түсті, онда ол барлық деңгейдегі математикалық жарыстарда жеңіске жетуді жалғастыра отырып, өте жақсы оқыды. Университетті үздік бітіріп, Стеклов атындағы математика институтының Петербург филиалының аспирантурасына оқуға түседі. Оның ғылыми кеңесшісі атақты математик академик Александров болды. Кандидаттық диссертациясын қорғаған Григорий Перельман институтта, геометрия және топология зертханасында қалды. Оның Александров кеңістіктерінің теориясы бойынша жұмысы белгілі, ол бірқатар маңызды гипотезаларға дәлелдер таба алды. Батыстың жетекші университеттерінің көптеген ұсыныстарына қарамастан, Перельман Ресейде жұмыс істеуді жөн көреді.

Оның ең үлкен жетістігі 1904 жылы жарияланған және содан бері дәлелденбеген атақты Пуанкаре гипотезасының 2002 жылы шешімі болды. Перелман онымен сегіз жыл жұмыс істеді. Пуанкаре гипотезасы ең үлкен математикалық құпиялардың бірі болып саналды және оның шешімі математика ғылымының ең маңызды жетістігі болып табылады: ол ғаламның физикалық және математикалық негіздерінің мәселелерін зерттеуді бірден алға жылжытады. Ғаламшардағы ең көрнекті адамдар оның шешімін бірнеше онжылдықтардан кейін ғана болжады және Массачусетс штатындағы Кембридждегі Клей математикалық институты Пуанкаре мәселесін мыңжылдықтың жеті ең қызықты шешілмеген математикалық мәселесінің қатарына қосты, олардың әрқайсысына миллион доллар сыйақы уәде етілген. (Мыңжылдық сыйлық мәселелері) ...

Француз математигі Анри Пуанкаренің (1854–1912) жорамал (кейде есеп деп аталады) келесідей тұжырымдалған: кез келген тұйық қарапайым байланысқан үш өлшемді кеңістік үш өлшемді сфераға гомеоморфты болып табылады. Түсіндіру үшін көрнекі мысалды қолданыңыз: егер сіз алманы резеңке жолақпен орасаңыз, онда, негізінен, таспаны тарту арқылы алманы бір нүктеге дейін сығуға болады. Егер сіз бауырсақты бірдей таспамен орасаңыз, оны пончикті де, резеңкені де жыртпай сығуға болмайды. Бұл тұрғыда алма «жалғыз қосылған» фигура деп аталады, ал пончик жай ғана қосылмаған. Бір ғасырға жуық уақыт бұрын Пуанкаре екі өлшемді сфера жай ғана байланысты екенін анықтады және үш өлшемді сфера да жай ғана байланысты деп ұсынды. Әлемнің ең жақсы математиктері бұл гипотезаны дәлелдей алмады.

Клей институтының жүлдесіне ие болу үшін Перельманға өз шешімін ғылыми журналдардың бірінде жариялау жеткілікті болды, ал егер екі жыл ішінде оның есептеулерінен ешкім қате таба алмаса, онда шешім дұрыс деп саналады. Алайда Перельман басынан бастап ережелерден ауытқып, шешімін Лос-Аламос ғылыми зертханасының алдын ала басып шығару сайтында жариялады. Мүмкін ол есептеулерінде қателік болды деп қорықты - математикада осындай оқиға бұрыннан болған. 1994 жылы ағылшын математигі Эндрю Уайлс әйгілі Ферма теоремасының шешімін ұсынды, ал бірнеше айдан кейін оның есептеулеріне қателік еніп кеткені белгілі болды (бірақ кейінірек ол түзетіліп, сенсация әлі де орын алды). Пуанкаре гипотезасын дәлелдейтін ресми жарияланым әлі жоқ - бірақ Перельманның есептеулерінің дұрыстығын растайтын планетаның ең жақсы математиктерінің беделді пікірі бар.

Филдс медалі Пуанкаре мәселесін шешкені үшін дәл Григорий Перельманға берілді. Бірақ ресейлік ғалым бұл марапаттан бас тартты, бұл оған сөзсіз лайық. «Грегори маған өзін халықаралық математикалық қауымдастықтан оқшауланған, осы қауымдастықтан тыс жерде сезінетінін, сондықтан сыйлық алғысы келмейтінін айтты», - деді Мадридте өткен баспасөз мәслихатында Дүниежүзілік математиктер одағының (WCM) президенті. Ағылшын Джон Болл.

Григорий Перельман ғылымды мүлдем тастамақшы деген қауесет тарады: алты ай бұрын ол өзінің туған Стеклов атындағы математика институтын тастап кетті және олар ол енді математикамен айналыспайды дейді. Бәлкім, орыс ғалымы әйгілі гипотезаны дәлелдеп, ғылым үшін қолынан келгеннің бәрін жасады деп есептейтін шығар. Дегенмен, мұндай тамаша ғалымның және ерекше тұлғаның ой-пікірлері туралы айтуды кім мойнына алады? .. Перельман кез келген түсініктемеден бас тартады және The Daily Telegraph газетіне: «Мен ештеңе айта алмаймын, қоғамдық қызығушылық жоқ». Дегенмен, жетекші ғылыми басылымдар «Пуанкаре теоремасын шешкен Григорий Перельман өткен және қазіргі заманның ең ұлы данышпандарымен бір деңгейде тұрды» деп хабарлағанда, бірауыздан баға берді.

Ай сайынғы әдеби-публицистикалық журнал және баспа.

2016 жылы Эндрю Уайлс жартылай тұрақты эллиптикалық қисықтар үшін Танияма-Симура болжамын дәлелдегені және осы гипотезадан шығатын Ферма теоремасын дәлелдегені үшін Абель сыйлығын алады. Сыйлық қазір 6 миллион NOK немесе шамамен 50 миллион рубльді құрайды. Уайлстың айтуынша, бұл сыйлық ол үшін «толық тосын сый» болды.

20 жылдан астам уақыт бұрын дәлелденген Ферма теоремасы әлі күнге дейін математиктердің назарын аударып келеді. Бұл ішінара оның тұжырымдалуына байланысты, тіпті мектеп оқушысы үшін де түсінікті: табиғи n> 2 үшін a n + b n = c n болатындай нөлден басқа үштіктер жоқ екенін дәлелдеңіз. Пьер Ферма бұл өрнекті Диофанттың «Арифметикасының» шетіне «Мен мұның [осы мәлімдеменің] шынымен тамаша дәлелін таптым, бірақ кітаптың шеттері ол үшін тым тар» деген тамаша қолтаңбамен жазды. Көптеген математикалық әңгімелерден айырмашылығы, бұл шындық.

Сыйлықты ұсыну Ферма теоремасымен байланысты он қызықты оқиғаны есте қалдырудың тамаша мүмкіндігі.

1.

Эндрю Уайлс Ферма теоремасын дәлелдегенге дейін оны гипотеза, яғни Ферма болжамы деп атаған дұрысырақ болды. Мәселе мынада, теорема анықтамасы бойынша бұрыннан дәлелденген мәлімдеме болып табылады. Алайда, неге екені белгісіз, мұндай атау бұл сөзге жабысып қалды.

2.

Ферма теоремасына n = 2 мәнін қойсақ, онда мұндай теңдеудің шексіз көп шешімдері болады. Бұл шешімдер «Пифагор үштіктері» деп аталады. Олар бұл атауды алды, өйткені олар тік бұрышты үшбұрыштарға сәйкес келеді, олардың қабырғалары дәл осындай сандар жиынымен өрнектеледі. Осы үш формуланы (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2) пайдаланып, Пифагор үштіктерін жасауға болады. Бұл формулаларға m және n әртүрлі мәндерін ауыстыру керек, нәтижесінде бізге қажет үштіктер болады. Бұл жерде ең бастысы - алынған сандар нөлден үлкен болатынына көз жеткізу - ұзындықтарды теріс сандармен көрсету мүмкін емес.

Айтпақшы, Пифагор үштігіндегі барлық сандарды кейбір нөлден басқа сандарға көбейтсе, жаңа Пифагор үштігі шығатынын көру оңай. Сондықтан жиынтықтағы үш санның ортақ бөлгіші жоқ үштіктерді зерттеу орынды. Біз сипаттаған схема бізге осындай барлық үштіктерді алуға мүмкіндік береді - бұл енді қарапайым нәтиже емес.

3.

1847 жылы 1 наурызда Париж Ғылым академиясының мәжілісінде бірден екі математик - Габриэль Лам мен Августин Коши керемет теореманы дәлелдеу алдында тұрғанын хабарлады. Олар дәлелдемелерді жариялау арқылы жарысқа шықты. Академиктердің көпшілігі Ламға құмар болды, өйткені Коши ақымақ, төзімсіз діни фанатик (және, әрине, өте тамаша математик). Дегенмен, матч аяқталуға арналмаған - оның досы Джозеф Лиувиль арқылы неміс математигі Эрнст Куммер академиктерге Коши мен Ламенің дәлелдерінде бірдей қателік бар екенін айтты.

Мектепте санды жай көбейткіштерге бөлудің бірегейлігі дәлелденді. Екі математик те күрделі жағдайда бүтін сандардың ыдырауын қарасаңыз, онда бұл қасиет – бірегейлік сақталады деп сенді. Алайда олай емес.

Бір қызығы, егер тек m + i n деп алсақ, онда ыдырау бірегей болады. Мұндай сандар Гаусс деп аталады. Бірақ Ламе мен Коши жұмысы үшін циклотомдық өрістерде факторизация қажет болды. Бұл, мысалы, m және n рационал және i i ^ k = 1 қасиетін қанағаттандыратын сандар.

4.

n = 3 үшін Ферма теоремасы айқын геометриялық мағынаға ие. Бізде көптеген кішкентай текшелер бар деп елестетейік. Біз олардан екі үлкен текше жинадық делік. Бұл жағдайда, әрине, жақтары бүтін сандар болады. Осындай үлкен екі текшені табу мүмкін бе, оларды құрамдас кішкентай текшелерге бөлшектеу арқылы біз олардан бір үлкен текшені жинай аламыз ба? Ферма теоремасы мұны ешқашан жасай алмайтыныңызды айтады. Бір қызық, егер үш текшеге бірдей сұрақ қойсаңыз, иә деп жауап береді. Мысалы, тамаша математик Сринивас Раманужан ашқан осындай төрт сан бар:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

Ферма теоремасының тарихында Леонард Эйлер атап өтті. Ол мәлімдемені дәлелдей алмады (тіпті дәлелдеуге жақындады), бірақ ол теңдеу деген гипотезаны тұжырымдады.

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

бүтін шешімі жоқ. Мұндай теңдеудің шешімін табудың барлық әрекеттері сәтсіз аяқталды. 1988 жылы ғана Гарвардтың Наум Элкисі қарсы мысалды тапты. Бұл келесідей көрінеді:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Әдетте бұл формула сандық эксперимент аясында есте сақталады. Әдетте, математикада бұл келесідей көрінеді: қандай да бір формула бар. Математик бұл формуланы қарапайым жағдайларда тексереді, шындықты тексереді және кейбір гипотезаны тұжырымдайды. Содан кейін ол (көбінесе оның кейбір аспиранттары немесе студенттері) формуланың қолмен санауға болмайтын жеткілікті үлкен сандар үшін дұрыс екенін тексеру үшін бағдарлама жазады (біз жай сандармен осындай тәжірибе туралы айтып отырмыз). Бұл, әрине, дәлел емес, бірақ гипотезаны айтуға тамаша себеп. Бұл конструкциялардың барлығы ақылға қонымды формулаға қарсы мысал бар болса, біз оны тез табамыз деген негізді болжамға негізделген.

Эйлердің гипотезасы өмірдің біздің қиялымыздан әлдеқайда алуан түрлі екенін еске салады: бірінші қарсы мысал ерікті түрде үлкен болуы мүмкін.

6.

Шындығында, әрине, Эндрю Уайлс Ферманың теоремасын дәлелдеуге тырысқан жоқ - ол Таняма-Шимура болжамы деп аталатын қиынырақ есепті шешті. Математикада объектілердің екі тамаша класы бар. Біріншісі модульдік формалар деп аталады және мәні бойынша Лобачевский кеңістігіндегі функция болып табылады. Бұл функциялар дәл осы жазықтықтың қозғалыстарымен өзгермейді. Екіншісі «эллиптикалық қисықтар» деп аталады және күрделі жазықтықта үшінші дәрежелі теңдеумен анықталған қисықтар. Екі нысан да сандар теориясында өте танымал.

Өткен ғасырдың 50-жылдарында Токио университетінің кітапханасында екі талантты математик Ютака Танияма мен Горо Шимура кездесті. Ол кезде университетте арнайы математика болған жоқ: соғыстан кейін оның қалпына келуге уақыты болмады. Нәтижесінде ғалымдар ескі оқулықтарды пайдаланып зерттеп, семинарларда Еуропа мен АҚШ-та шешілген деп саналатын және аса өзекті емес мәселелерді талдады. Модульдік формалар мен эллиптикалық функциялар арасында белгілі бір сәйкестік бар екенін анықтаған Танияма мен Шимура болды.

Олар өздерінің гипотезасын қисықтардың кейбір қарапайым кластары бойынша тексерді. Жұмыс істеп тұрғаны белгілі болды. Сондықтан олар бұл байланыс әрқашан бар деп есептеді. Таняма-Шимура гипотезасы осылай пайда болып, үш жылдан кейін Танияма өз-өзіне қол жұмсады. 1984 жылы неміс математигі Герхард Фрей, егер Ферма теоремасы қате болса, онда Танияма-Шимура болжамы дұрыс емес екенін көрсетті. Бұдан шығатыны, бұл болжамды дәлелдеген адам теореманы да дәлелдейді. Бұл дәл Уайлс жасады - бірақ өте жалпы емес.

7.

Уайлс гипотезаны дәлелдеуге сегіз жыл жұмсады. Тексеру кезінде рецензенттер одан қате тапты, ол дәлелдемелердің көпшілігін «өлтіріп», барлық жылдардағы жұмысты жоққа шығарды. Ричард Тейлор есімді шолушылардың бірі бұл тесікті Уайлспен жөндеуге міндеттенді. Олар жұмыс істеп жатқанда Эйлердің болжамына қарсы мысал тапқан Элкис Ферма теоремасына қарсы мысал тапты (кейінірек бұл бір сәуірдің әзілі екені белгілі болды) деген хабар пайда болды. Уайлс депрессияға түсіп, әрі қарай жалғастырғысы келмеді - дәлелдердегі тесік ешқандай жолмен жабылмады. Тейлор Уайлсты тағы бір ай күресуге көндірді.

Бір ғажайып болды, жаздың аяғында математиктер серпіліс жасай алды - Эндрю Уайлстың «Модульдік эллиптикалық қисықтар және ұлы Ферма теоремасы» (pdf) және «Кейбір Гекке алгебраларының сақина-теоретикалық қасиеттері» жұмыстары осылайша орындалды. Ричард Тейлор мен Эндрю Уайлс дүниеге келген. Бұл қазірдің өзінде дұрыс дәлел болды. Ол 1995 жылы жарық көрді.

8.

Математик Пол Вольфскель 1908 жылы Дармштадт қаласында қайтыс болды. Өзінен кейін ол өсиет қалдырды, онда ол математикалық қауымдастыққа Ферманың ұлы теоремасының дәлелін табу үшін 99 жыл берді. Дәлелдеу авторы 100 мың белгі алуы керек еді (қарсы мысалдың авторы айтпақшы, ештеңе алмас еді). Танымал аңыз бойынша, махаббат Вольфскельді математиктерге осындай сыйлық жасауға итермеледі. Саймон Сингх өзінің «Ферманың соңғы теоремасы» кітабында аңызды осылай сипаттайды:

Оқиға Вольфскельдің тұлғасы ешқашан анықталмаған сұлу әйелге ғашық болуымен басталады. Вольфскельді өкініштісі, жұмбақ әйел одан бас тартты. Ол қатты үмітсіздікке душар болғаны сонша, ол өз-өзіне қол жұмсауды шешті. Вольфскель құмар адам болды, бірақ импульсивті емес, сондықтан оның өлімін барлық бөлшектермен өңдей бастады. Ол өз-өзіне қол жұмсау күнін белгілеп, дәл түн ортасында сағаттың бірінші соғуымен басына оқ атуға шешім қабылдады. Қалған күндері Вольфскель тамаша жүріп жатқан істерін ретке келтіруге шешім қабылдады және соңғы күні өсиет жасап, жақын достары мен туыстарына хат жазды.

Вольфскельдің қатты жұмыс істегені соншалық, ол түн ортасына дейін барлық ісін аяқтап, қалған сағаттарды толтыру үшін кітапханаға барды, онда математикалық журналдарды қарай бастады. Көп ұзамай ол Кумердің классикалық мақаласын кездестірді, онда ол Коши мен Ақсақ неге сәтсіздікке ұшырағанын түсіндірді. Куммердің жұмысы өз дәуіріндегі ең маңызды математикалық басылымдардың бірі болды және өзін-өзі өлтіруді жоспарлаған математик үшін ең жақсы оқылған шығарма болды. Вольфскель Куммердің есептеулерін мұқият, сызық-сап қадағалады. Кенет Вольфскельге ол олқылық тапқандай көрінді: автор белгілі бір болжам жасап, өз пайымдауында бұл қадамды дәлелдеген жоқ. Вольфскель шын мәнінде маңызды олқылық тапты ма, әлде Куммердің болжамы дұрыс па деп ойлады. Егер бос орын табылса, Ферманың соңғы теоремасын көптеген адамдар ойлағаннан әлдеқайда оңай дәлелдеуге мүмкіндік бар еді.

Вольфскель үстел басына отырды, Куммердің пайымдауының «кемшілікті» бөлігін мұқият талдап, Куммердің жұмысын қолдауға немесе оның болжамының қателігін көрсетуге және соның нәтижесінде оның барлық дәлелдерін жоққа шығаруға тиіс шағын дәлелдемені жасай бастады. . Таң атқанша Вольфскель есептеулерін аяқтады. Жаман жаңалық (математикалық тұрғыдан) Куммердің дәлелі емделді, ал Ферманың соңғы теоремасы әлі де қолжетімсіз болды. Бірақ жақсы жаңалық болды: өзін-өзі өлтіруге тағайындалған уақыт аяқталды, ал Вольфскель ұлы Эрнест Куммердің жұмысындағы олқылықты тауып, толтыра алғаны соншалық, оның үмітсіздігі мен қайғысы өздігінен сейілді. Математика оның өмірге деген құштарлығын оятты.

Дегенмен, балама нұсқасы да бар. Оның айтуынша, Вольфскель математиканы (және, шын мәнінде, Ферма теоремасын) прогрессивті шашыраңқы склерозға байланысты қабылдады, бұл оның сүйікті ісімен - дәрігер болудан бас тартты. Ал ол өмірінің соңына дейін жай ғана жек көретін әйелін тастап кетпеу үшін ақшаны математиктерге қалдырған.

9.

Ферма теоремасын элементарлық әдістермен дәлелдеу әрекеттері «ферматиктер» деп аталатын оғаш адамдардың тұтас бір табының пайда болуына әкелді. Олар дәлелдердің үлкен көлемін шығарумен айналысты және бұл дәлелде қателік тапқан кезде мүлде үмітін үзбеді.

Мәскеу мемлекеттік университетінің механика-математика факультетінде Добрецов деген аты аңызға айналған кейіпкер болған. Ол әртүрлі кафедралардан сертификаттар жинап, оларды пайдалана отырып, механика-математика бөліміне еніп кетті. Бұл жәбірленушіні табу үшін ғана жасалды. Әйтеуір жас аспирантқа (болашақ академик Новиков) тап болды. Ол өзінің аңғалдығымен Добрецов тайып тұрған қағаздарды мұқият зерттей бастады, олардың айтуынша, міне, дәлел. Тағы да «міне, қателік...» Добрецов үйінді алып, портфеліне салды. Екінші портфельден (иә, ол екі портфелімен механика-математика бөлімін аралап шықты) екінші үйінді шығарып, күрсініп: «Олай болса, 7 В нұсқасын көрейік», - деді.

Айтпақшы, бұл дәлелдемелердің көпшілігі «Терминдердің бірін теңдіктің оң жағына аударып, көбейткіштерді алайық» деген сөзден басталады.

10.

Теорема туралы әңгіме «Математик пен Ібіліс» тамаша фильмінсіз аяқталмайды.

Түзету

Осы мақаланың 7-бөлімінде Наум Элкис Ферма теоремасына қарсы мысал тапты, кейін ол қате болып шықты. Бұл дұрыс емес: қарсы мысал есеп сәуір күлкісінің әзілі болды. Дәлсіздік үшін кешірім сұраймыз.

Андрей Коняев