ხისტი სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო. ხისტი სხეულის ბრუნვის მოძრაობა ფიქსირებული ღერძის გარშემო. კუთხური სიჩქარე და კუთხური აჩქარება დაჩქარებული ბრუნვის მოძრაობა ფიქსირებული ღერძის გარშემო

და საველიევა.

სხეულის წინ გადაადგილებისას (§ 60 სახელმძღვანელოში E. M. Nikitin), მისი ყველა წერტილი მოძრაობს იდენტური ტრაექტორიების გასწვრივ და თითოეულ მომენტში მათ აქვთ თანაბარი სიჩქარე და თანაბარი აჩქარება.

მაშასადამე, სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობა განისაზღვრება რომელიმე წერტილის მოძრაობით, ჩვეულებრივ, სიმძიმის ცენტრის მოძრაობით.

როდესაც განვიხილავთ მანქანის (პრობლემა 147) ან დიზელის ლოკომოტივის (პრობლემა 141) მოძრაობას ნებისმიერ პრობლემაში, ჩვენ რეალურად განვიხილავთ მათი სიმძიმის ცენტრების მოძრაობას.

სხეულის ბრუნვითი მოძრაობა (E.M. Nikitin, § 61) შეუძლებელია მისი რომელიმე წერტილის მოძრაობასთან იდენტიფიცირება. ნებისმიერი მბრუნავი სხეულის ღერძი (დიზელის მფრინავი, ელექტროძრავის როტორი, მანქანის ღერძი, ვენტილატორის პირები და ა.შ.) მოძრაობის დროს სივრცეში იგივე ადგილს იკავებს მიმდებარე სტაციონარული სხეულების მიმართ.

მატერიალური წერტილის მოძრაობა ან წინ მოძრაობასხეულები ხასიათდება დროის მიხედვით წრფივი რაოდენობები s (ბილიკი, მანძილი), v (სიჩქარე) და a (აჩქარება) მისი კომპონენტებით a t და a n.

ბრუნვის მოძრაობასხეულები დამოკიდებულია დროზე t ახასიათებს კუთხოვანი მნიშვნელობები: φ (ბრუნვის კუთხე რადიანებში), ω (კუთხური სიჩქარე რად/წმ) და ε (კუთხური აჩქარება რადი/წმ 2).

სხეულის ბრუნვის კანონი გამოიხატება განტოლებით
φ = f(t).

კუთხური სიჩქარე- სხეულის ბრუნვის სიჩქარის დამახასიათებელი სიდიდე ზოგად შემთხვევაში განისაზღვრება, როგორც ბრუნვის კუთხის წარმოებული დროის მიმართ.
ω = dφ/dt = f" (t).

კუთხოვანი აჩქარება- კუთხური სიჩქარის ცვლილების სიჩქარის დამახასიათებელი სიდიდე განისაზღვრება, როგორც კუთხური სიჩქარის წარმოებული
ε = dω/dt = f"" (t).

სხეულის ბრუნვის მოძრაობაზე ამოცანების ამოხსნის დაწყებისას, უნდა გვახსოვდეს, რომ ტექნიკურ გამოთვლებში და ამოცანებში, როგორც წესი, კუთხური გადაადგილება გამოიხატება არა ფ რადიანებში, არამედ რევოლუციებში φ დაახლოებით.

მაშასადამე, აუცილებელია რევოლუციების რიცხვიდან კუთხური გადაადგილების რადიანის გაზომვამდე გადატანა და პირიქით.

ვინაიდან ერთი სრული რევოლუცია შეესაბამება 2π რადას, მაშინ
φ = 2πφ დაახლოებით და φ დაახლოებით = φ/(2π).

ტექნიკურ გამოთვლებში კუთხოვანი სიჩქარე ძალიან ხშირად იზომება წუთში წარმოებულ ბრუნებში (rpm), ამიტომ აუცილებელია ნათლად გვესმოდეს, რომ ω rad/sec და n rpm გამოხატავს ერთსა და იმავე კონცეფციას - სხეულის ბრუნვის სიჩქარე (კუთხური სიჩქარე) . ოღონდ სხვადასხვა ერთეულებში - რად/წმ-ში ან rpm-ში.

კუთხური სიჩქარის ერთი ერთეულიდან მეორეზე გადასვლა ხდება ფორმულების მიხედვით
ω = πn/30 და n = 30ω/π.

სხეულის ბრუნვის დროს მისი ყველა წერტილი მოძრაობს წრეებში, რომელთა ცენტრები განლაგებულია ერთ ფიქსირებულ სწორ ხაზზე (მბრუნავი სხეულის ღერძი). ამ თავში მოცემული ამოცანების ამოხსნისას ძალიან მნიშვნელოვანია ნათლად გვესმოდეს მიმართება კუთხოვან სიდიდეებს φ, ω და ε, რომლებიც ახასიათებენ სხეულის ბრუნვის მოძრაობას და ხაზოვან სიდიდეებს s, v, a t და an, რომლებიც ახასიათებს. ამ სხეულის სხვადასხვა წერტილების მოძრაობა (სურ. 205).

თუ R არის მანძილი მბრუნავი სხეულის გეომეტრიული ღერძიდან A ნებისმიერ წერტილამდე (ნახ. 205 R = OA), მაშინ ურთიერთობა φ - სხეულის ბრუნვის კუთხესა და s - მანძილს შორის, რომელიც გავლილია წერტილით. სხეული ამავე დროს გამოიხატება შემდეგნაირად:
s = φR.

სხეულის კუთხური სიჩქარისა და წერტილის სიჩქარეს შორის კავშირი თითოეულ მოცემულ მომენტში გამოიხატება ტოლობით
v = ωR.

წერტილის ტანგენციალური აჩქარება დამოკიდებულია კუთხური აჩქარებაზე და განისაზღვრება ფორმულით
a t = εR.

წერტილის ნორმალური აჩქარება დამოკიდებულია სხეულის კუთხურ სიჩქარეზე და განისაზღვრება ურთიერთმიმართებით
a n = ω 2 R.

ამ თავში მოცემული პრობლემის გადაჭრისას აუცილებელია ნათლად გვესმოდეს, რომ ბრუნვა არის ხისტი სხეულის მოძრაობა და არა წერტილი. ერთი მატერიალური წერტილი არ ბრუნავს, არამედ მოძრაობს წრეში - აკეთებს მრუდი მოძრაობას.

§ 33. ერთიანი ბრუნვის მოძრაობა

თუ კუთხური სიჩქარე არის ω=const, მაშინ ბრუნვის მოძრაობას ერთგვაროვანი ეწოდება.

ბრუნვის ერთგვაროვან განტოლებას აქვს ფორმა
φ = φ 0 + ωt.

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც ბრუნის საწყისი კუთხე φ 0 =0,
φ = ωt.

თანაბრად მბრუნავი სხეულის კუთხური სიჩქარე
ω = φ/ტ
შეიძლება გამოიხატოს ასე:
ω = 2π/T,
სადაც T არის სხეულის ბრუნვის პერიოდი; φ=2π - ბრუნის კუთხე ერთი პერიოდის განმავლობაში.

§ 34. ერთიანი ბრუნვის მოძრაობა

ბრუნვის მოძრაობას ცვლადი კუთხური სიჩქარით ეწოდება არათანაბარი (იხ. ქვემოთ § 35). თუ კუთხოვანი აჩქარება ε=const, მაშინ ბრუნვის მოძრაობა ეწოდება თანაბრად ცვალებადი. ამრიგად, სხეულის ერთგვაროვანი ბრუნვა არის არაერთგვაროვანი ბრუნვის მოძრაობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

ერთგვაროვანი ბრუნვის განტოლება
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
და განტოლება, რომელიც გამოხატავს სხეულის კუთხური სიჩქარეს ნებისმიერ დროს,
(2) ω = ω 0 + εt
წარმოადგენს სხეულის ბრუნვის ერთგვაროვანი მოძრაობის ძირითადი ფორმულების ერთობლიობას.

ეს ფორმულები მოიცავს მხოლოდ ექვს რაოდენობას: სამი მუდმივი მოცემული ამოცანისთვის φ 0, ω 0 და ε და სამი ცვლადი φ, ω და t. შესაბამისად, თითოეული პრობლემის პირობა ერთიანი ბრუნვისთვის უნდა შეიცავდეს მინიმუმ ოთხ მითითებულ რაოდენობას.

ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრის მოხერხებულობისთვის, კიდევ ორი ​​დამხმარე ფორმულა შეიძლება მივიღოთ (1) და (2) განტოლებიდან.

გამოვრიცხოთ კუთხური აჩქარება ε (1) და (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

გამოვრიცხოთ დრო t (1) და (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

დასვენების მდგომარეობიდან დაწყებული თანაბრად აჩქარებული ბრუნვის კონკრეტულ შემთხვევაში, φ 0 =0 და ω 0 =0. აქედან გამომდინარე, ზემოთ მოყვანილი ძირითადი და დამხმარე ფორმულები იღებენ შემდეგ ფორმას:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. არათანაბარი ბრუნვის მოძრაობა

განვიხილოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი, რომელშიც მითითებულია სხეულის არაერთგვაროვანი ბრუნვის მოძრაობა.

აბსოლუტურად ხისტი სხეული -სხეულს მისი ნაწილების ფარდობითი პოზიცია მოძრაობისას არ იცვლება.

ხისტი სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობა - ეს არის მისი მოძრაობა, რომლის დროსაც სხეულთან მჭიდროდ დაკავშირებული ნებისმიერი სწორი ხაზი მოძრაობს, ხოლო თავდაპირველი მიმართულების პარალელურად რჩება.

ხისტი სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს მისი ყველა წერტილი თანაბრად მოძრაობს მოკლე დროში dt, ამ წერტილების რადიუსის ვექტორი იგივე რაოდენობით იცვლება. შესაბამისად, დროის ყოველ მომენტში მისი ყველა წერტილის სიჩქარე ერთნაირი და ტოლია. მაშასადამე, ხისტი სხეულის განხილული მთარგმნელობითი მოძრაობის კინემატიკა მოდის მისი რომელიმე წერტილის მოძრაობის შესწავლაზე. ჩვეულებრივ განვიხილავთ სივრცეში თავისუფლად მოძრავი ხისტი სხეულის ინერციის ცენტრის მოძრაობას.

ხისტი სხეულის ბრუნვის მოძრაობა - ეს არის მოძრაობა, რომელშიც მისი ყველა წერტილი მოძრაობს წრეებში, რომელთა ცენტრები მდებარეობს სხეულის გარეთ . სწორ ხაზს სხეულის ბრუნვის ღერძი ეწოდება.

კუთხური სიჩქარე- სხეულის ბრუნვის სიჩქარის დამახასიათებელი ვექტორული რაოდენობა; ბრუნვის კუთხის შეფარდება იმ დროს, რომლის დროსაც მოხდა ეს ბრუნვა; დროის მიმართ სხეულის ბრუნვის კუთხის პირველი წარმოებულით განსაზღვრული ვექტორი. კუთხოვანი სიჩქარის ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ მარჯვენა ხრახნიანი წესის მიხედვით. ω=φ/t=2π/T=2πn, სადაც T არის ბრუნვის პერიოდი, n არის ბრუნვის სიხშირე. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

კუთხოვანი აჩქარება– ვექტორი, რომელიც განისაზღვრება კუთხური სიჩქარის პირველი წარმოებულით დროის მიმართ. როდესაც სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, კუთხური აჩქარების ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ კუთხური სიჩქარის ელემენტარული ნამატის ვექტორისკენ. ბრუნვის კუთხის მეორე წარმოებული დროის მიმართ. როდესაც სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, კუთხური აჩქარების ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ კუთხური სიჩქარის ელემენტარული ნამატის ვექტორისკენ. როდესაც მოძრაობა აჩქარებულია, ε ვექტორი თანამიმართულია φ ვექტორის მიმართ, ხოლო როდესაც ის ნელია, მისი საპირისპიროა. ε=dω/dt.

თუ dω/dt> 0, მაშინ εω

თუ dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. ინერციის პრინციპი (ნიუტონის პირველი კანონი). ინერციული საცნობარო სისტემები. ფარდობითობის პრინციპი.

ნიუტონის პირველი კანონი (ინერციის კანონი): ყოველი მატერიალური წერტილი (სხეული) ინარჩუნებს დასვენების მდგომარეობას ან ერთგვაროვან წრფივ მოძრაობას მანამ, სანამ სხვა სხეულების გავლენა არ აიძულებს მას შეცვალოს ეს მდგომარეობა.

სხეულის სურვილს შეინარჩუნოს მოსვენების მდგომარეობა ან ერთგვაროვანი სწორხაზოვანი მოძრაობა ინერცია. ამიტომ ნიუტონის პირველ კანონს ინერციის კანონი ეწოდება.

ნიუტონის პირველი კანონი ამტკიცებს ინერციული მიმართვის სისტემის არსებობას.

ინერციული საცნობარო ჩარჩო- ეს არის საცნობარო სისტემა, რომლის მიმართაც თავისუფალი მატერიალური წერტილი, სხვა სხეულების ზემოქმედების გარეშე, ერთნაირად მოძრაობს სწორი ხაზით; ეს არის სისტემა, რომელიც ან ისვენებს ან მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად სხვა ინერციულ სისტემასთან შედარებით.

ფარდობითობის პრინციპი- ფუნდამენტური ფიზიკური კანონი, რომლის მიხედვითაც ნებისმიერი პროცესი იდენტურად მიმდინარეობს იზოლირებულ მატერიალურ სისტემაში მოსვენებულ მდგომარეობაში და იმავე სისტემაში ერთგვაროვანი სწორხაზოვანი მოძრაობის მდგომარეობაში. მოძრაობის ან დასვენების მდგომარეობა განისაზღვრება თვითნებურად შერჩეული ინერციული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ. ფარდობითობის პრინციპი ემყარება აინშტაინის ფარდობითობის სპეციალურ თეორიას.

5. გალილეის გარდაქმნები.

ფარდობითობის პრინციპი (გალილეა): მოცემული ინერციული საცნობარო სისტემის შიგნით ჩატარებული არცერთი ექსპერიმენტი (მექანიკური, ელექტრული, ოპტიკური) არ იძლევა იმის დადგენას, არის თუ არა ეს სისტემა მოსვენებულ მდგომარეობაში, თუ მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად; ბუნების ყველა კანონი უცვლელია ცნობის ერთი ინერციული ჩარჩოდან მეორეზე გადასვლასთან დაკავშირებით.

განვიხილოთ ორი საცნობარო სისტემა: K ინერციული ჩარჩო (x, y, z კოორდინატებით), რომელსაც პირობითად განვიხილავთ სტაციონარული და სისტემა K' (x', y', z' კოორდინატებით), რომელიც მოძრაობს K-სთან მიმართებაში თანაბრად. და მართკუთხა სიჩქარით U ( U = const). ვიპოვოთ კავშირი თვითნებური A წერტილის კოორდინატებს შორის ორივე სისტემაში. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

განტოლება (1.) შეიძლება ჩაიწეროს პროექციებში კოორდინატთა ღერძებზე:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; განტოლებებს (1.) და (2.) ეწოდება გალილეის კოორდინატთა გარდაქმნები.

კავშირი პოტენციურ ენერგიასა და ძალას შორის

პოტენციური ველის თითოეული წერტილი შეესაბამება, ერთი მხრივ, სხეულზე მოქმედი ძალის ვექტორის გარკვეულ მნიშვნელობას და, მეორე მხრივ, პოტენციური ენერგიის გარკვეულ მნიშვნელობას. ამიტომ, ძალასა და პოტენციურ ენერგიას შორის გარკვეული კავშირი უნდა არსებობდეს.

ამ კავშირის დასამყარებლად, მოდით გამოვთვალოთ საველე ძალების მიერ შესრულებული ელემენტარული სამუშაო სხეულის მცირე გადაადგილების დროს, რომელიც ხდება სივრცეში თვითნებურად არჩეული მიმართულების გასწვრივ, რომელსაც აღვნიშნავთ ასოთი. ეს ნამუშევარი უდრის

სად არის ძალის პროექცია მიმართულებაზე.

ვინაიდან ამ შემთხვევაში სამუშაო შესრულებულია პოტენციური ენერგიის რეზერვის გამო, ეს უდრის პოტენციური ენერგიის დაკარგვას ღერძის სეგმენტზე:

ბოლო ორი გამონათქვამიდან ვიღებთ

ეს ფორმულა განსაზღვრავს ძალის ვექტორის პროექციას კოორდინატთა ღერძებზე. თუ ეს პროგნოზები ცნობილია, თავად ძალის ვექტორი გამოდის განსაზღვრული:

მათემატიკის ვექტორში ,

სადაც a არის x, y, z-ის სკალარული ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ამ სკალარის გრადიენტი და აღინიშნება სიმბოლოთი . ამრიგად, ძალა ტოლია საპირისპირო ნიშნით აღებული პოტენციური ენერგიის გრადიენტის

ბრუნვითიისინი უწოდებენ ისეთ მოძრაობას, რომლის დროსაც სხეულთან დაკავშირებული ორი წერტილი, შესაბამისად, ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზი მოძრაობისას უმოძრაოდ რჩება (სურ. 2.16). ფიქსირებული სწორი ხაზი A Bდაურეკა ბრუნვის ღერძი.

ბრინჯი. 2.1 ვ. სხეულის ბრუნვის მოძრაობის განსაზღვრისკენ

სხეულის მდებარეობა ბრუნვითი მოძრაობის დროს განსაზღვრავს ბრუნვის კუთხეს φ, რად (იხ. სურ. 2.16). მოძრაობისას ბრუნვის კუთხე დროთა განმავლობაში იცვლება, ე.ი. სხეულის ბრუნვითი მოძრაობის კანონი განისაზღვრება, როგორც დიედრული კუთხის Ф = Ф(/) მნიშვნელობის დროში ცვლილების კანონი ფიქსირებულ ნახევარსიბრტყეს შორის. TO () ,ბრუნვის ღერძზე გამავალი და მოძრავი n 1ნახევრად თვითმფრინავი, რომელიც დაკავშირებულია სხეულთან და ასევე გადის ბრუნვის ღერძზე.

ბრუნვის მოძრაობის დროს სხეულის ყველა წერტილის ტრაექტორია არის კონცენტრული წრეები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში, ბრუნვის ღერძის ცენტრებით.

სხეულის ბრუნვის მოძრაობის კინემატიკური მახასიათებლები. ისევე, როგორც კინემატიკური მახასიათებლები იქნა შემოღებული წერტილისთვის, შემოტანილია კინემატიკური კონცეფცია, რომელიც ახასიათებს φ(c) ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, რომელიც განსაზღვრავს სხეულის პოზიციას ბრუნვითი მოძრაობის დროს, ე.ი. კუთხური სიჩქარე co = f = s/f/s//, კუთხური სიჩქარის განზომილება [co] = რად /თან.

ტექნიკურ გამოთვლებში ხშირად გამოიყენება კუთხური სიჩქარის გამოხატულება განსხვავებული განზომილებით - წუთში ბრუნების რაოდენობის მიხედვით: [i] = rpm და ურთიერთობას შორის პდა co შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: co = 27w/60 = 7w/30.

ზოგადად, კუთხური სიჩქარე დროთა განმავლობაში იცვლება. კუთხური სიჩქარის ცვლილების სიჩქარის საზომია კუთხური აჩქარება e = c/co/c//= co = f, კუთხური აჩქარების განზომილება [e] = rad/s 2 .

შემოღებული კუთხოვანი კინემატიკური მახასიათებლები მთლიანად განისაზღვრება ერთი ფუნქციის მითითებით - ბრუნვის კუთხით დროის მიმართ.

სხეულის წერტილების კინემატიკური მახასიათებლები ბრუნვითი მოძრაობის დროს. განიხილეთ წერტილი მსხეული, რომელიც მდებარეობს ბრუნვის ღერძიდან p დაშორებით. ეს წერტილი მოძრაობს p რადიუსის წრის გასწვრივ (ნახ. 2.17).

ბრინჯი. 2.17.

სხეულის წერტილები მისი ბრუნვის დროს

რკალის სიგრძე M Q Mრადიუსის წრე p განისაზღვრება როგორც ს= ptp, სადაც f არის ბრუნვის კუთხე, რად. თუ სხეულის მოძრაობის კანონი მოცემულია φ = φ(g), მაშინ წერტილის მოძრაობის კანონი მტრაექტორიის გასწვრივ განისაზღვრება ფორმულით ს= рф(7).

კინემატიკური მახასიათებლების გამონათქვამების გამოყენებით წერტილის მოძრაობის დაზუსტების ბუნებრივი მეთოდით, ვიღებთ მბრუნავი სხეულის წერტილების კინემატიკურ მახასიათებლებს: სიჩქარე ფორმულის მიხედვით (2.6)

ვ= 5 = rf = rso; (2.22)

ტანგენციალური აჩქარება გამოხატვის მიხედვით (2.12)

i t = K = sor = er; (2.23)

ნორმალური აჩქარება ფორმულის მიხედვით (2.13)

a„ =და 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2.24)

მთლიანი აჩქარება გამოხატვის გამოყენებით (2.15)

ა = -] ა + a] = px/e 2 + co 4. (2.25)

მთლიანი აჩქარების მიმართულების მახასიათებლად მიღებულია p - წერტილით აღწერილი წრის რადიუსიდან მთლიანი აჩქარების ვექტორის გადახრის კუთხე (ნახ. 2.18).

ნახ. 2.18 ვიღებთ

tgjLi = aja n=რე/პკო 2 =გ/(ო 2. (2.26)

ბრინჯი. 2.18.

გაითვალისწინეთ, რომ მბრუნავი სხეულის წერტილების ყველა კინემატიკური მახასიათებელი პროპორციულია ბრუნვის ღერძამდე მანძილებისა. ვე-

მათი ვინაობა განისაზღვრება იმავე ფუნქციის წარმოებულებით - ბრუნვის კუთხით.

ვექტორული გამონათქვამები კუთხოვანი და წრფივი კინემატიკური მახასიათებლებისთვის. მბრუნავი სხეულის კუთხური კინემატიკური მახასიათებლების ანალიტიკური აღწერისთვის, ბრუნვის ღერძთან ერთად, კონცეფცია ბრუნვის კუთხის ვექტორი(ნახ. 2.19): φ = φ(/)A:, სადაც რომ- ჭამე

ბრუნვის ღერძის ვექტორი

1; რომ=sop51.

ვექტორი f მიმართულია ამ ღერძის გასწვრივ ისე, რომ მისი დანახვა შესაძლებელია "ბოლოდან"

როტაცია ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

ბრინჯი. 2.19.

მახასიათებლები ვექტორული ფორმით

თუ ვექტორი φ(/) ცნობილია, მაშინ ბრუნვის მოძრაობის ყველა სხვა კუთხური მახასიათებელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორული სახით:

• კუთხური სიჩქარის ვექტორი co = f = f რომ.კუთხური სიჩქარის ვექტორის მიმართულება განსაზღვრავს ბრუნვის კუთხის წარმოებულის ნიშანს;
• კუთხოვანი აჩქარების ვექტორი є = сo = Ф რომ.ამ ვექტორის მიმართულება განსაზღვრავს კუთხური სიჩქარის წარმოებულის ნიშანს.

შემოღებული с და є ვექტორები საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ვექტორული გამონათქვამები წერტილების კინემატიკური მახასიათებლებისთვის (იხ. სურ. 2.19).

გაითვალისწინეთ, რომ წერტილის სიჩქარის ვექტორის მოდული ემთხვევა კუთხური სიჩქარის ვექტორის ვექტორული ნამრავლის მოდულს და რადიუსის ვექტორს: |cox გ= sogvіpa = ნაგავი. ვექტორების с და r მიმართულებების და ვექტორული ნამრავლის მიმართულების წესის გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავწეროთ გამოხატულება სიჩქარის ვექტორისთვის:

ვ= co xg.

ანალოგიურად, ადვილია ამის ჩვენება

• ? X
• - egBіpa= єр = ტდა

სოსორი = co p = i.

(გარდა ამისა, ამ კინემატიკური მახასიათებლების ვექტორები ემთხვევა შესაბამის ვექტორულ პროდუქტებს მიმართულებით.

ამრიგად, ტანგენციალური და ნორმალური აჩქარების ვექტორები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვექტორული პროდუქტები:

• (2.28)
• (2.29)

a x = გ X გ

ა= co x ვ.

ბრუნვის კუთხე, კუთხური სიჩქარე და კუთხური აჩქარება

ხისტი სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემომას უწოდებენ მოძრაობას, რომლის დროსაც სხეულის ორი წერტილი უძრავად რჩება მოძრაობის მთელი დროის განმავლობაში. ამ შემთხვევაში, სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს სწორ ხაზზე, რომელიც გადის მის ფიქსირებულ წერტილებზე, ასევე უმოძრაოდ რჩება. ამ ხაზს ე.წ სხეულის ბრუნვის ღერძი.

თუ ადა IN- სხეულის ფიქსირებული წერტილები (სურ. 15 ), მაშინ ბრუნვის ღერძი არის ღერძი ოზი,რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს რაიმე მიმართულება სივრცეში, არ არის აუცილებელი ვერტიკალური. ერთი ღერძის მიმართულება ოზიმიღებულია როგორც დადებითი.

ჩვენ ვხატავთ ფიქსირებულ თვითმფრინავს ბრუნვის ღერძის გავლით ავტორიდა მობილური P,მიმაგრებულია მბრუნავ სხეულზე. მოდით, დროის საწყის მომენტში ორივე სიბრტყე დაემთხვეს. შემდეგ დროის მომენტში ტმოძრავი სიბრტყის და თავად მბრუნავი სხეულის პოზიცია შეიძლება განისაზღვროს სიბრტყეებს შორის დიედრული კუთხით და შესაბამისი წრფივი კუთხით. φ ამ სიბრტყეში განლაგებულ და ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზებს შორის. კუთხე φ დაურეკა სხეულის ბრუნვის კუთხე.

სხეულის პოზიცია არჩეულ საცნობარო სისტემასთან მიმართებაში სრულად არის განსაზღვრული ნებისმიერში

დროის მომენტში, თუ მოცემულია განტოლება φ =f(t) (5)

სად f(t)- დროის ნებისმიერი ორჯერ დიფერენცირებადი ფუნქცია. ეს განტოლება ე.წ ხისტი სხეულის ბრუნვის განტოლება ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

სხეულს, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი, რადგან მისი პოზიცია განისაზღვრება მხოლოდ ერთი პარამეტრის - კუთხის მითითებით. φ .

კუთხე φ ითვლება დადებითად, თუ ის დახატულია საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო უარყოფითი ღერძის დადებითი მიმართულებიდან დანახვისას საპირისპირო მიმართულებით ოზი.სხეულის წერტილების ტრაექტორიები ფიქსირებული ღერძის გარშემო ბრუნვის დროს არის წრეები, რომლებიც მდებარეობს ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეებში.

მყარი სხეულის ბრუნვის მოძრაობის დასახასიათებლად ფიქსირებული ღერძის ირგვლივ, ჩვენ შემოგთავაზებთ კუთხური სიჩქარისა და კუთხური აჩქარების ცნებებს. სხეულის ალგებრული კუთხური სიჩქარედროის ნებისმიერ მომენტს ეწოდება პირველი წარმოებული ამ მომენტში ბრუნვის კუთხის დროის მიმართ, ე.ი. dφ/dt = φ.ეს არის დადებითი სიდიდე, როდესაც სხეული ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, რადგან ბრუნვის კუთხე დროთა განმავლობაში იზრდება და უარყოფითია, როდესაც სხეული ბრუნავს საათის ისრის მიმართულებით, რადგან ბრუნვის კუთხე მცირდება.

კუთხური სიჩქარის მოდული აღინიშნება ω. მერე ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

კუთხური სიჩქარის განზომილება მითითებულია (6) შესაბამისად.

[ω] = კუთხე/დრო = რად/ს = ს -1.

ინჟინერიაში კუთხური სიჩქარე არის ბრუნვის სიჩქარე, რომელიც გამოხატულია წუთში ბრუნში. 1 წუთში სხეული ბრუნავს კუთხით 2pp,თუ პ- რევოლუციების რაოდენობა წუთში. ამ კუთხის წუთში წამების რაოდენობაზე გაყოფით მივიღებთ: (7)

სხეულის ალგებრული კუთხური აჩქარებაალგებრული სიჩქარის დროის მიმართ პირველ წარმოებულს უწოდებენ, ე.ი. ბრუნვის კუთხის მეორე წარმოებული d 2 φ/dt 2 = ω. ავღნიშნოთ კუთხური აჩქარების მოდული ε , მაშინ ε=|φ| (8)

კუთხური აჩქარების განზომილება მიღებულია (8):

[ε ] = კუთხური სიჩქარე/დრო = რად/წმ 2 = ს -2

თუ φ’’>0 ზე φ’>0 , მაშინ ალგებრული კუთხური სიჩქარე დროთა განმავლობაში იზრდება და, შესაბამისად, სხეული დროში აჩქარებულად ბრუნავს დადებითი მიმართულებით (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით). ზე φ’’<0 და φ’<0 სხეული სწრაფად ბრუნავს უარყოფითი მიმართულებით. თუ φ’’<0 ზე φ’>0 , მაშინ გვაქვს ნელი ბრუნვა დადებითი მიმართულებით. ზე φ’’>0 და φ’<0 , ე.ი. ნელი ბრუნვა ხდება უარყოფითი მიმართულებით. კუთხური სიჩქარე და კუთხური აჩქარება ფიგურებში გამოსახულია რკალის ისრებით ბრუნვის ღერძის გარშემო. კუთხური სიჩქარისთვის რკალის ისარი მიუთითებს სხეულების ბრუნვის მიმართულებას;

აჩქარებული ბრუნვისთვის კუთხური სიჩქარისა და კუთხური აჩქარებისთვის რკალის ისრები ერთი და იგივე მიმართულებებია; ნელი ბრუნვისთვის მათი მიმართულებები საპირისპიროა.

ხისტი სხეულის ბრუნვის განსაკუთრებული შემთხვევები

ბრუნვა ერთგვაროვანია თუ ω=const, φ= φ’t

როტაცია ერთგვაროვანი იქნება თუ ε=კონსტ. φ’= φ’ 0 + φ’’t და

ზოგადად, თუ φ’’ ყოველთვის არა,

სხეულის წერტილების სიჩქარე და აჩქარება

ცნობილია ხისტი სხეულის ბრუნვის განტოლება ფიქსირებული ღერძის გარშემო φ= f(t)(სურ. 16). მანძილი სქულები მმოძრავ თვითმფრინავში პწრიული რკალის გასწვრივ (წერტილის ტრაექტორია), რომელიც იზომება წერტილიდან მ ო,მდებარეობს ფიქსირებულ სიბრტყეში, გამოხატული კუთხით φ დამოკიდებულება s=hφ, სად თ- წრის რადიუსი, რომლის გასწვრივ მოძრაობს წერტილი. ეს არის ყველაზე მოკლე მანძილი წერტილიდან მბრუნვის ღერძამდე. ამას ზოგჯერ უწოდებენ წერტილის ბრუნვის რადიუსს. სხეულის თითოეულ წერტილში ბრუნვის რადიუსი უცვლელი რჩება, როდესაც სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

წერტილის ალგებრული სიჩქარე მგანისაზღვრება ფორმულით v τ =s’=hφწერტილის სიჩქარის მოდული: v=hω(9)

სხეულის წერტილების სიჩქარე ფიქსირებული ღერძის გარშემო ბრუნვისას პროპორციულია მათი უმოკლესი მანძილისა ამ ღერძამდე.პროპორციულობის კოეფიციენტი არის კუთხური სიჩქარე. წერტილების სიჩქარე მიმართულია ტრაექტორიების ტანგენტების გასწვრივ და, შესაბამისად, პერპენდიკულარულია ბრუნვის რადიუსებზე. სწორი ხაზის სეგმენტზე განლაგებული სხეულის წერტილების სიჩქარე OM,(9) შესაბამისად ნაწილდება წრფივი კანონის მიხედვით. ისინი ერთმანეთის პარალელურია და მათი ბოლოები განლაგებულია იმავე სწორ ხაზზე, რომელიც გადის ბრუნვის ღერძზე. წერტილის აჩქარებას ვშლით ტანგენციალურ და ნორმალურ კომპონენტებად, ე.ი. a=a τ +a nτტანგენციალური და ნორმალური აჩქარებები გამოითვლება ფორმულების გამოყენებით (10)

ვინაიდან წრეზე გამრუდების რადიუსი არის p=h(ნახ. 17 ). ამრიგად,

წერტილების ტანგენტები, ნორმალური და ჯამური აჩქარებები, აგრეთვე სიჩქარეები ასევე განაწილებულია წრფივი კანონის მიხედვით. ისინი წრფივად არიან დამოკიდებული წერტილების მანძილებზე ბრუნვის ღერძამდე. ნორმალური აჩქარება მიმართულია წრის რადიუსის გასწვრივ ბრუნვის ღერძისკენ. ტანგენციალური აჩქარების მიმართულება დამოკიდებულია ალგებრული კუთხური აჩქარების ნიშანზე. ზე φ’>0 და φ’’>0 ან φ’<0 და φ’<0 ჩვენ გვაქვს აჩქარებული სხეულის ბრუნვა და ვექტორების მიმართულებები ა τდა ვდაწყვილება. თუ φ’ და φ’" აქვს სხვადასხვა ნიშნები (ნელი ბრუნვა), მაშინ ა τდა ვერთმანეთის საპირისპიროდ მიმართული.

დანიშნულმა α კუთხე წერტილის მთლიან აჩქარებასა და ბრუნვის რადიუსს შორის გვაქვს

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

ნორმალური აჩქარების შემდეგ პყოველთვის პოზიტიური. კუთხე აიგივეა სხეულის ყველა წერტილისთვის. ის აჩქარებიდან უნდა გადაიდოს ბრუნვის რადიუსზე კუთხური აჩქარების რკალის ისრის მიმართულებით, მიუხედავად ხისტი სხეულის ბრუნვის მიმართულებისა.

კუთხური სიჩქარისა და კუთხური აჩქარების ვექტორები

შემოვიღოთ სხეულის კუთხური სიჩქარისა და კუთხური აჩქარების ვექტორების ცნებები. თუ TOარის მისი დადებითი მიმართულებით მიმართული ბრუნვის ღერძის ერთეული ვექტორი, შემდეგ კუთხური სიჩქარის ვექტორები ώ და კუთხური აჩქარება ε განისაზღვრება გამონათქვამებით (12)

იმიტომ რომ კარის ვექტორული მუდმივა სიდიდისა და მიმართულებით, მაშინ (12)-დან გამომდინარეობს, რომ

ε=dώ/dt(13)

ზე φ’>0 და φ’’>0 ვექტორული მიმართულებები ώ და ε დაწყვილება. ისინი ორივე მიმართულია ბრუნვის ღერძის დადებითი მხარისკენ ოზი(სურ. 18.ა)თუ φ’>0 და φ’’<0 , შემდეგ ისინი მიმართულია საპირისპირო მიმართულებით (სურ. 18.ბ ). კუთხური აჩქარების ვექტორი ემთხვევა მიმართულებით კუთხური სიჩქარის ვექტორს აჩქარებული ბრუნვის დროს და მის საპირისპიროა ნელი ბრუნვისას. ვექტორები ώ და ε შეიძლება გამოსახული იყოს ბრუნვის ღერძის ნებისმიერ წერტილში. ისინი მოძრავი ვექტორები არიან. ეს თვისება გამომდინარეობს სხეულის წერტილების სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორული ფორმულებიდან.

რთული წერტილის მოძრაობა

Ძირითადი ცნებები

ხისტი სხეულის მოძრაობის უფრო რთული ტიპების შესასწავლად მიზანშეწონილია განვიხილოთ წერტილის უმარტივესი რთული მოძრაობა. ბევრ პრობლემაში, წერტილის მოძრაობა უნდა განიხილებოდეს ორი (ან მეტი) საცნობარო სისტემის მიმართ, რომლებიც მოძრაობენ ერთმანეთთან შედარებით. ამრიგად, მთვარისკენ მოძრავი კოსმოსური ხომალდის მოძრაობა ერთდროულად უნდა ჩაითვალოს როგორც დედამიწასთან, ასევე მთვარესთან მიმართებაში, რომელიც მოძრაობს დედამიწასთან შედარებით. წერტილის ნებისმიერი მოძრაობა შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად, რომელიც შედგება რამდენიმე მოძრაობისგან. მაგალითად, გემის მოძრაობა მდინარის გასწვრივ დედამიწასთან შედარებით შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად, რომელიც შედგება წყლის გავლით და მიედინება წყალთან ერთად.

უმარტივეს შემთხვევაში, წერტილის რთული მოძრაობა შედგება ფარდობითი და მთარგმნელობითი მოძრაობებისგან. მოდით განვსაზღვროთ ეს მოძრაობები. მოდით გვქონდეს ორი საცნობარო სისტემა, რომელიც მოძრაობს ერთმანეთთან შედარებით. თუ რომელიმე ამ სისტემას O l x 1 y 1 z 1(ნახ. 19 ) აღებული როგორც მთავარი ან სტაციონარული (მისი მოძრაობა სხვა საცნობარო სისტემებთან შედარებით არ განიხილება), შემდეგ მეორე საცნობარო სისტემა ოქსიზიგადავა პირველთან შედარებით. წერტილის მოძრაობა მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს მიმართ ოქსიზიდაურეკა ნათესავი.ამ მოძრაობის მახასიათებლები, როგორიცაა ტრაექტორია, სიჩქარე და აჩქარება, ე.წ ნათესავი.ისინი მითითებულია r ინდექსით; სიჩქარისა და აჩქარებისთვის ვ რ , ა რ .წერტილის მოძრაობა მთავარ ან ფიქსირებულ სისტემასთან მიმართებაში O 1 x 1 y 1 z 1დაურეკა აბსოლუტური(ან რთული ). მას ასევე ზოგჯერ უწოდებენ კომპოზიტურიმოძრაობა. ამ მოძრაობის ტრაექტორიას, სიჩქარეს და აჩქარებას აბსოლუტური ეწოდება. აბსოლუტური მოძრაობის სიჩქარე და აჩქარება მითითებულია ასოებით ვ, აინდექსების გარეშე.

წერტილის პორტატული მოძრაობა არის მოძრაობა, რომელსაც ის აკეთებს მოძრავი საცნობარო ჩარჩოსთან ერთად, როგორც წერტილი, რომელიც მკაცრად არის მიმაგრებული ამ სისტემაზე განსახილველ დროს. ფარდობითი მოძრაობის გამო, მოძრავი წერტილი სხვადასხვა დროს ემთხვევა სხეულის სხვადასხვა წერტილს S,რომელზედაც დამაგრებულია მოძრავი საცნობარო სისტემა. პორტატული სიჩქარე და პორტატული აჩქარება არის სხეულის ამ წერტილის სიჩქარე და აჩქარება S,რომელსაც მოძრავი წერტილი ამჟამად ემთხვევა. პორტატული სიჩქარე და აჩქარება აღნიშნავს ვ ე , ა ე.

თუ სხეულის ყველა წერტილის ტრაექტორია S,მიმაგრებულია მოძრავი საცნობარო სისტემაზე, რომელიც გამოსახულია სურათზე (ნახ. 20), შემდეგ ვიღებთ ხაზების ოჯახს - წერტილის გადასატანი მოძრაობის ტრაექტორიების ოჯახს. მ.წერტილის შედარებითი მოძრაობის გამო მდროის ყოველ მომენტში ის პორტატული მოძრაობის ერთ-ერთ ტრაექტორიაზეა. Წერტილი მშეიძლება ემთხვეოდეს მხოლოდ ერთ წერტილს პორტატული ტრაექტორიების ამ ოჯახის თითოეულ ტრაექტორიაზე. ამასთან დაკავშირებით, ზოგჯერ ითვლება, რომ არ არსებობს პორტატული მოძრაობის ტრაექტორიები, რადგან აუცილებელია ხაზების განხილვა, როგორც პორტატული მოძრაობის ტრაექტორიები, რისთვისაც მხოლოდ ერთი წერტილი არის რეალურად ტრაექტორიის წერტილი.

წერტილის კინემატიკაში შესწავლილი იყო წერტილის მოძრაობა რომელიმე საცნობარო სისტემასთან მიმართებაში, მიუხედავად იმისა, მოძრაობს თუ არა ეს მითითების სისტემა სხვა სისტემებთან შედარებით. მოდით შევავსოთ ეს კვლევა რთული მოძრაობის განხილვით, უმარტივეს შემთხვევაში, რომელიც შედგება ფარდობითი და ხატოვანი მოძრაობისგან. ერთი და იგივე აბსოლუტური მოძრაობა, სხვადასხვა მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს არჩევისას, შეიძლება ჩაითვალოს, რომ შედგება სხვადასხვა პორტატული და, შესაბამისად, შედარებითი მოძრაობებისგან.

სიჩქარის დამატება

განვსაზღვროთ წერტილის აბსოლუტური მოძრაობის სიჩქარე, თუ ცნობილია ამ წერტილის ფარდობითი და პორტატული მოძრაობების სიჩქარე. მოდით, წერტილმა გააკეთოს მხოლოდ ერთი, ფარდობითი მოძრაობა Oxyz-ის მოძრავი საცნობარო ჩარჩოს მიმართ და დროის მომენტში t დაიკავოს M პოზიცია ფარდობითი მოძრაობის ტრაექტორიაზე (ნახ. 20). t+ t დროის მომენტში, ფარდობითი მოძრაობის გამო, წერტილი იქნება M 1 პოზიციაზე, რომელიც გადაადგილდება MM 1 ფარდობითი მოძრაობის ტრაექტორიის გასწვრივ. დავუშვათ, რომ საქმე ეხება ოქსიზიდა ფარდობითი ტრაექტორიით ის გადაადგილდება რაღაც მრუდის გასწვრივ მმ 2.თუ წერტილი ერთდროულად მონაწილეობს როგორც ფარდობით, ასევე პორტატულ მოძრაობებში, მაშინ A დროში; ის გადავა მმ"აბსოლუტური მოძრაობის ტრაექტორიის გასწვრივ და დროის მომენტში t+atპოზიციას დაიკავებს მ".თუ დრო ზეცოტა და შემდეგ გადადით ლიმიტამდე ზე,მიდრეკილია ნულისკენ, მაშინ მცირე გადაადგილებები მოსახვევების გასწვრივ შეიძლება შეიცვალოს აკორდების სეგმენტებით და აღებული როგორც გადაადგილების ვექტორები. ვექტორული გადაადგილების დამატებით მივიღებთ

ამ კუთხით, უფრო მაღალი რიგის მცირე რაოდენობა უგულებელყოფილია, ნულამდე მიდრეკილებით ზე,მიდრეკილება ნულისკენ. ზღვარზე გადასვლისას, ჩვენ გვაქვს (14)

ამიტომ, (14) მიიღებს ფორმას (15)

მიიღება ეგრეთ წოდებული სიჩქარის დამატების თეორემა: წერტილის აბსოლუტური მოძრაობის სიჩქარე უდრის ამ წერტილის პორტატული და ფარდობითი მოძრაობების სიჩქარის ვექტორულ ჯამს.ვინაიდან ზოგად შემთხვევაში პორტატული და ფარდობითი მოძრაობების სიჩქარე არ არის პერპენდიკულარული, მაშინ (15')

Დაკავშირებული ინფორმაცია.

ბრინჯი. 6.4

სხეულის ისეთი მოძრაობა, რომელშიც მისი ნებისმიერი ორი წერტილი (ადა INნახ. 6.4) რჩება უმოძრაოდ, რომელსაც ეწოდება ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

შეიძლება აჩვენოს, რომ ამ შემთხვევაში სხეულის ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მდებარეობს წერტილების დამაკავშირებელ სწორ ხაზზე, უმოძრაოდ რჩება. აუ ვ.

ამ წერტილებში გამავალი ღერძი ეწოდება ბრუნვის ღერძისხეულები; მისი დადებითი მიმართულება არჩეულია თვითნებურად (სურ. 6.4).

ნებისმიერი წერტილი მსხეული, რომელიც არ დევს ბრუნვის ღერძზე, აღწერს წრეს, რომლის ცენტრი მდებარეობს ბრუნვის ღერძზე (ნახ. 6.4).

სხეულის პოზიცია ბრუნვის ფიქსირებული ღერძით ზ(ნახ. 6.5) შეიძლება აღწერილი იყოს მხოლოდ ერთი სკალარული პარამეტრის გამოყენებით - ბრუნვის კუთხე (r. ეს არის კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, რომელიც შედგენილია ბრუნვის ღერძით: ფიქსირებული სიბრტყე ნდა მოძრავი - R,მყარად არის დაკავშირებული სხეულთან (სურ. 6.5). ჩვენ ვიღებთ კუთხის მითითების მიმართულებას დადებითად საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ, ღერძის ბოლოდან დანახვისას ზ.(ნახაზი 6.5-ზე მითითებულია რკალის ისრით). SI კუთხის საზომი ერთეული არის 1 რადიანი «57.3°. ბრუნვის კუთხის ფუნქციური დამოკიდებულება დროზე

მთლიანად განსაზღვრავს სხეულის ბრუნვის მოძრაობას ფიქსირებული ღერძის გარშემო. მაშასადამე, ტოლობას (6.3) ეწოდება ხისტი სხეულის ბრუნვის განტოლება ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

სხეულის ბრუნვის სიჩქარე ხასიათდება კუთხური სიჩქარით თანსხეული, რომელიც განისაზღვრება, როგორც ბრუნვის კუთხის წარმოებული დროის მიმართ

და აქვს განზომილება rad/s (ან s"").

ბრუნვის მოძრაობის მეორე კინემატიკური მახასიათებელია კუთხური აჩქარება - სხეულის კუთხური სიჩქარის წარმოებული:

კუთხური აჩქარების განზომილება არის რად/წმ 2 (ან თან~ 2).

კომენტარი.სიმბოლოები ერთად და? ვამ ლექციისთვის არის დანიშნული ალგებრულიკუთხური სიჩქარის და კუთხური აჩქარების მნიშვნელობები. მათი ნიშნები მიუთითებს ბრუნვის მიმართულებაზე და მის ბუნებაზე (აჩქარებული ან შენელებული). მაგალითად, თუ თან = ვ> 0, შემდეგ კუთხე (რდროთა განმავლობაში იზრდება და, შესაბამისად, სხეული ბრუნავს მიმართვის მიმართულებით (რ.

მბრუნავი სხეულის თითოეული წერტილის სიჩქარე და აჩქარება ადვილად შეიძლება დაკავშირებული იყოს მის კუთხურ სიჩქარესთან და კუთხური აჩქარებასთან. განვიხილოთ თვითნებური წერტილის მოძრაობა მსხეულები (სურ. 6.6).

ვინაიდან მისი ტრაექტორია არის წრე, მაშინ რკალის კოორდინატი.9 წერტილი მსხეულის კუთხით გადაბრუნების შემდეგ ნება

სად თ- მანძილი წერტილიდან მბრუნვის ღერძამდე (სურ. 6.6).

ამ თანასწორობის ორივე მხარის დიფერენცირებით დროის მიხედვით, ვიღებთ (5.14) და (6.4) გათვალისწინებით:

სადაც g g არის წერტილის სიჩქარის პროექცია g ტანგენსზე, მიმართული რკალის საცნობარო წერტილისა და კუთხისკენ.

წერტილის ნორმალური აჩქარების სიდიდე მ(5.20) და (6.6) მიხედვით იქნება

და მისი ტანგენციალური აჩქარების პროექცია ტანგენსზე r (5.19) და (6.5) მიხედვით.

სრული წერტილის აჩქარების მოდული მ

ვექტორების მიმართულებები v, ა, ა„, ა,იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ვ> 0 და ვ > 0 ნაჩვენებია ნახ. 6.7.

მაგალითი 1. გადაცემის მექანიზმი შედგება ბორბლებისგან / და 2, რომლებიც დაკავშირებულია წერტილში TOისე, რომ როდესაც ისინი ბრუნავენ, არ მოხდეს ორმხრივი ცურვა. ბორბლების ბრუნვის განტოლება 1:

დადებითი კუთხის მიმართულება (რმითითებულია რკალი ისრით ნახ. 6.8.

მექანიზმის ზომები ცნობილია: გ= 4 სმ, R2= 6 სმ, გ 2 = 2 სმ.

იპოვნეთ წერტილის სიჩქარე და აჩქარება მბორბლები 2 დროის მომენტისთვის /| = 2 წმ.

გამოსავალი.როდესაც ბორბლის მექანიზმი მოძრაობს 1 და 2 ბრუნავს ფიქსირებული ღერძების გარშემო, რომლებიც გადიან წერტილებს 0 და 0 2 პერპენდიკულარული სიბრტყის ნახ. 6.8. ბორბლის კუთხური სიჩქარის და კუთხური აჩქარების პოვნა მედროს / = 2 წმ, ამ რაოდენობების ზემოაღნიშნული განმარტებების (6.4) და (6.5) გამოყენებით:

მათი უარყოფითი ნიშნები მიუთითებს იმაზე, რომ დროის მომენტში t- 2 წმ ბორბალი / ბრუნავს საათის ისრის მიმართულებით (კუთხის წაკითხვის მიმართულების საპირისპიროდ (რ) და ეს ბრუნვა აჩქარებულია. ბორბლების ორმხრივი ცურვის არარსებობის გამო მედა მათი წერტილების 2 სიჩქარის ვექტორი შეხების წერტილში TOთანაბარი უნდა იყოს. მოდით გამოვხატოთ ამ სიჩქარის სიდიდე ბორბლების კუთხური სიჩქარის მიხედვით (6.6):

ბოლო თანასწორობიდან გამოვხატავთ მე-2 ბორბლის კუთხური სიჩქარის მოდულს და ვპოულობთ მის მნიშვნელობას დროის მითითებულ მომენტში 6 = 2 წმ:

სიჩქარის მიმართულება რომ(ნახ. 6.9) მიუთითებს, რომ ბორბალი 2 ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და, შესაბამისად, ოჰ> 0. (6.10) და ბოლო უტოლობიდან ცხადია, რომ ბორბლების კუთხური სიჩქარეები განსხვავდება მუდმივი უარყოფითი ფაქტორით (- გ1გ 2): 2 =-ითგ (/გ 2). მაგრამ მაშინ ამ სიჩქარის წარმოებულები - ბორბლების კუთხური აჩქარებები - უნდა განსხვავდებოდეს იგივე ფაქტორით: e 2 =? ] (-გ ] /გრ 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2 .

წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების პოვნა მსაფეხურიანი ბორბალი 2 ფორმულების გამოყენებით (6.6) - (6.9):

v და, a, და d/ ვექტორების მიმართულებები ნაჩვენებია ნახ. 6.9.