निर्देशांक ज्ञात होने पर किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात करें। खंड के मध्य के निर्देशांक ढूँढना, उदाहरण, समाधान। अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि

इस लेख में, हम एक खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांक से खोजने के बारे में बात करेंगे। पहले, हम आवश्यक अवधारणाएँ देंगे, फिर हम एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र प्राप्त करेंगे, और निष्कर्ष में, हम विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान पर विचार करेंगे।

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एक खंड के मध्य की अवधारणा।

एक खंड के मध्य बिंदु की अवधारणा को पेश करने के लिए, हमें एक खंड और उसकी लंबाई की परिभाषा की आवश्यकता है।

हाई स्कूल की पाँचवीं कक्षा में गणित के पाठों में एक खंड की अवधारणा इस प्रकार दी गई है: यदि हम दो मनमाना गैर-संयोग बिंदु A और B लेते हैं, तो उन्हें एक शासक संलग्न करें और A से B (या B से) तक एक रेखा खींचें। ए के लिए), तो हम प्राप्त करते हैं खंड एबी(या खंड बी ए)। बिंदु A और B कहलाते हैं खंड के सिरों. हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि खंड AB और खंड BA एक ही खंड हैं।

यदि खंड AB को दोनों दिशाओं में सिरों से अपरिमित रूप से बढ़ाया जाए, तो हम प्राप्त करते हैं सीधी रेखा AB(या प्रत्यक्ष वीए)। खंड AB, बिंदु A और B के बीच परिबद्ध सीधी रेखा AB का भाग है। इस प्रकार, खंड AB बिंदुओं A, B का मिलन है और बिंदु A और B के बीच स्थित सीधी रेखा AB के सभी बिंदुओं का समूह है। यदि हम बिंदु A और B के बीच स्थित सीधी रेखा AB का एक मनमाना बिंदु M लेते हैं, तो वे कहते हैं कि बिंदु M लेटा होनाखंड एबी पर।

खंड की लंबाई AB किसी दिए गए पैमाने (इकाई लंबाई का खंड) पर बिंदु A और B के बीच की दूरी है। खंड AB की लंबाई के रूप में निरूपित किया जाएगा।

परिभाषा।

दूरसंचार विभाग सी कहा जाता है खंड के बीच AB यदि यह खंड AB पर स्थित है और इसके सिरों से समान दूरी पर है।

अर्थात्, यदि बिंदु C खंड AB का मध्यबिंदु है, तो वह उस पर स्थित है और।

इसके अलावा, हमारा कार्य खंड एबी के मध्य के निर्देशांक को खोजने के लिए होगा यदि बिंदु ए और बी के निर्देशांक समन्वय रेखा पर या आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए हैं।

निर्देशांक रेखा पर खंड के मध्यबिंदु का निर्देशांक।

आइए हमें एक समन्वय रेखा ऑक्स और उस पर दो गैर-संयोग बिंदु ए और बी दिए जाते हैं, जो वास्तविक संख्याओं के अनुरूप होते हैं और। मान लीजिए बिंदु C खंड AB का मध्यबिंदु है। आइए बिंदु C का निर्देशांक ज्ञात करें।

चूँकि बिंदु C खंड AB का मध्यबिंदु है, तो समानता सत्य है। एक निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से एक बिंदु की दूरी पर अनुभाग में, हमने दिखाया कि बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच अंतर के मापांक के बराबर है, इसलिए, . फिर या . समानता से निर्देशांक रेखा पर खंड AB के मध्य बिंदु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए: - यह खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के बराबर है। दूसरी समानता से हम पाते हैं, जो असंभव है, क्योंकि हमने असंपाती बिंदु A और B लिए हैं।

इसलिए, खंड एबी के मध्य बिंदु के समन्वय को खोजने के लिए सूत्र समाप्त होता है और इसका रूप होता है .

एक रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक।

आइए हम समतल पर एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली xyz का परिचय दें। हमें दो अंक दिए गए हैं और हम जानते हैं कि बिंदु C खंड AB का मध्यबिंदु है। आइए निर्देशांक और बिंदु C खोजें।

निर्माण द्वारा, सीधे समानांतर और समानांतर रेखाएं , इसलिए, द्वारा थेल्स प्रमेयसेगमेंट की समानता से AC और CB सेगमेंट की समानता का अनुसरण करता है और साथ ही सेगमेंट और . इसलिए, बिंदु खंड का मध्य बिंदु और खंड का मध्य बिंदु है। फिर, इस लेख के पिछले पैराग्राफ के आधार पर और .

इन सूत्रों का उपयोग करते हुए, कोई भी उन मामलों में खंड एबी के मध्य के निर्देशांक की गणना कर सकता है जहां बिंदु ए और बी समन्वय अक्षों में से एक पर या समन्वय अक्षों में से एक के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हैं। आइए हम इन मामलों को बिना किसी टिप्पणी के छोड़ दें, और ग्राफिक चित्रण दें।

इस प्रकार से, एक समतल पर खंड AB का मध्यबिंदु बिंदुओं पर समाप्त होता है और इसमें निर्देशांक होते हैं .

अंतरिक्ष में खंड के मध्य के निर्देशांक।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष और दो बिंदुओं में पेश करने दें और . हमें बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए सूत्र मिलते हैं, जो खंड AB का मध्यबिंदु है।

आइए सामान्य मामले पर विचार करें।

मान लीजिए और निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः A, B, और C बिंदुओं का अनुमान ऑक्स, ओए और ओज़ है।

थेल्स के प्रमेय से, इसलिए, बिंदु खंडों के मध्य बिंदु हैं क्रमश। फिर (इस लेख का पहला पैराग्राफ देखें)। तो हमें मिल गया अंतरिक्ष में इसके सिरों के निर्देशांक से एक खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र.

इन सूत्रों का उपयोग उन मामलों में भी किया जा सकता है जहां बिंदु ए और बी समन्वय अक्षों में से एक पर या समन्वय अक्षों में से किसी एक के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, और यदि बिंदु ए और बी समन्वय विमानों में से एक में या एक में स्थित होते हैं निर्देशांक अक्षों में से एक के समानांतर समतल।

इसके सिरों के त्रिज्या वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से खंड के मध्य के निर्देशांक।

एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र वैक्टर के बीजगणित का हवाला देकर प्राप्त करना आसान है।

मान लीजिए कि एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी विमान पर दी गई है और बिंदु सी खंड एबी, और और का मध्य बिंदु है।

वैक्टर पर संचालन की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, समानता (बिंदु C, सदिशों पर बने एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है और अर्थात बिंदु C, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का मध्यबिंदु है)। लेख में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वेक्टर के निर्देशांक, हमने पाया कि एक बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक इस बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, इसलिए, . फिर, निर्देशांक में वैक्टर पर संबंधित संचालन करने के बाद, हमारे पास है। हम यह कैसे निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु C के निर्देशांक हैं .

बिल्कुल इसी तरह, खंड AB के मध्य के निर्देशांक अंतरिक्ष में इसके सिरों के निर्देशांक के माध्यम से पाए जा सकते हैं। इस स्थिति में, यदि C खंड AB का मध्यबिंदु है और , तो हमारे पास है .

खंड के मध्य के निर्देशांक ढूँढना, उदाहरण, समाधान।

कई समस्याओं में, आपको एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग करना पड़ता है। आइए सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

आइए एक उदाहरण से शुरू करते हैं जिसमें केवल एक सूत्र लागू करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

समतल पर दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं . खंड AB के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

मान लीजिए बिंदु C खंड AB का मध्यबिंदु है। इसके निर्देशांक बिंदु A और B के संगत निर्देशांक के आधे योग के बराबर हैं:

इस प्रकार, खंड AB के मध्य बिंदु में निर्देशांक होते हैं।

यदि आप किसी नोटबुक शीट को अच्छी तरह से नुकीली पेंसिल से स्पर्श करते हैं, तो एक निशान बना रहेगा जो बिंदु का एक विचार देता है। (चित्र 3)।

हम एक कागज़ पर दो बिंदु A और B अंकित करते हैं। इन बिंदुओं को विभिन्न रेखाओं से जोड़ा जा सकता है (चित्र 4)। और बिंदु A और B को सबसे छोटी रेखा से कैसे जोड़ा जाए? यह एक शासक का उपयोग करके किया जा सकता है ( अंजीर। 5)। परिणामी रेखा कहलाती है खंड.

बिंदु और रेखा - उदाहरण ज्यामितीय आकार.

बिंदु A और B कहलाते हैं खंड के सिरों.

एक एकल खंड है जिसके सिरे बिंदु A और B हैं। इसलिए, एक खंड को उन बिंदुओं को लिखकर दर्शाया जाता है जो इसके सिरे हैं। उदाहरण के लिए, चित्रा 5 में खंड दो तरीकों में से एक में नामित किया गया है: एबी या बीए। पढ़ें: "सेगमेंट एबी" या "सेगमेंट बीए"।

चित्र 6 तीन खंडों को दर्शाता है। खंड AB की लंबाई 1 सेमी के बराबर है। इसे खंड MN में ठीक तीन गुना और खंड EF में ठीक 4 गुना रखा गया है। हम कहेंगे कि खंड की लंबाईएमएन 3 सेमी है, और ईएफ खंड की लंबाई 4 सेमी है।

यह कहना भी प्रथागत है: "खंड एमएन 3 सेमी है", "खंड ईएफ 4 सेमी है"। वे लिखते हैं: एमएन = 3 सेमी, ईएफ = 4 सेमी।

हमने MN और EF . खंडों की लंबाई मापी एकल खंड, जिसकी लंबाई 1 सेमी है। खंडों को मापने के लिए, आप अन्य चुन सकते हैं लंबाई की इकाइयाँ, उदाहरण के लिए: 1 मिमी, 1 डीएम, 1 किमी। चित्र 7 में, खंड की लंबाई 17 मिमी है। इसे एक खंड द्वारा मापा जाता है, जिसकी लंबाई 1 मिमी है, विभाजन वाले शासक का उपयोग करके। इसके अलावा, एक रूलर का उपयोग करके, आप दी गई लंबाई के एक खंड का निर्माण (आरेख) कर सकते हैं (अंजीर देखें। 7)।

बिलकुल, किसी खंड को मापने का अर्थ है यह गिनना कि उसमें कितने इकाई खंड फिट होते हैं.

एक खंड की लंबाई में निम्नलिखित गुण होते हैं।

यदि खंड AB पर बिंदु C अंकित है, तो खंड AB की लंबाई खंड AC और CB की लंबाई के योग के बराबर है(चित्र 8)।

वे लिखते हैं: एबी = एसी + सीबी।

चित्र 9 में दो खंड AB और CD दिखाए गए हैं। सुपरइम्पोज किए जाने पर ये खंड मेल खाएंगे।

दो खंडों को समान कहा जाता है यदि वे आरोपित होने पर मेल खाते हैं।

अत: खंड AB और CD बराबर हैं। वे लिखते हैं: एबी = सीडी।

समान खंडों की लंबाई समान होती है।

दो असमान खंडों में से, हम लंबी लंबाई वाले खंड को बड़ा मानेंगे। उदाहरण के लिए, चित्र 6 में, खंड EF खंड MN से बड़ा है।

खंड AB की लंबाई कहलाती है दूरीबिंदु A और B के बीच।

यदि चित्र 10 में दर्शाए अनुसार कई खंडों को व्यवस्थित किया जाए, तो एक ज्यामितीय आकृति प्राप्त होगी, जिसे कहा जाता है टूटी पंक्ति. ध्यान दें कि चित्र 11 के सभी खंड खंडित रेखा नहीं बनाते हैं। यह माना जाता है कि खंड एक खंडित रेखा बनाते हैं यदि पहले खंड का अंत दूसरे के अंत के साथ मेल खाता है, और दूसरे खंड का दूसरा छोर तीसरे के अंत के साथ मेल खाता है, आदि।

अंक ए, बी, सी, डी, ई - पॉलीलाइन कोनेएबीसीडीई, अंक ए और ई − टूटी हुई रेखा समाप्त होती है, और खंड AB, BC, CD, DE इसके हैं लिंक(अंजीर देखें। 10)।

टूटी हुई रेखा की लंबाईइसके सभी लिंक की लंबाई का योग है।

चित्र 12 में दो टूटी हुई रेखाएँ दिखाई गई हैं, जिनके सिरे मेल खाते हैं। ऐसी टूटी रेखाओं को कहा जाता है बंद किया हुआ.

उदाहरण 1 . खंड BC खंड AB से 3 सेमी कम है, जिसकी लंबाई 8 सेमी है (चित्र 13)। खंड AC की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान। हमारे पास है: ईसा पूर्व \u003d 8 - 3 \u003d 5 (सेमी)।

एक खंड की लंबाई के गुण का उपयोग करके हम AC = AB + BC लिख सकते हैं। अत: एसी = 8 + 5 = 13 (सेमी)।

उत्तर: 13 सेमी.

उदाहरण 2 . यह ज्ञात है कि एमके = 24 सेमी, एनपी = 32 सेमी, एमपी = 50 सेमी (चित्र 14)। खंड NK की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान। हमारे पास है: एमएन = एमपी - एनपी।

इसलिए एमएन = 50 - 32 = 18 (सेमी)।

हमारे पास है: एनके = एमके - एमएन।

अत: एनके = 24 - 18 = 6 (सेमी)।

उत्तर : 6 सेमी.

लंबाई, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मापांक चिह्न द्वारा इंगित किया गया है।

यदि समतल के दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु और दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ध्यान दें:यदि संबंधित निर्देशांकों की अदला-बदली की जाती है तो सूत्र सही रहेंगे: और, लेकिन पहला विकल्प अधिक मानक है

उदाहरण 3

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

स्पष्टता के लिए, मैं एक चित्र बनाऊंगा

अनुभाग - यह एक वेक्टर नहीं है, और आप इसे कहीं भी नहीं ले जा सकते, बिल्कुल। इसके अलावा, यदि आप ड्राइंग को स्केल पर पूरा करते हैं: 1 इकाई। \u003d 1 सेमी (दो टेट्राड कोशिकाएं), फिर खंड की लंबाई को सीधे मापकर एक नियमित शासक के साथ उत्तर की जांच की जा सकती है।

हां, समाधान छोटा है, लेकिन इसमें कुछ महत्वपूर्ण बिंदु हैं जिन्हें मैं स्पष्ट करना चाहूंगा:

सबसे पहले, उत्तर में हम आयाम निर्धारित करते हैं: "इकाइयाँ"। स्थिति यह नहीं बताती कि यह क्या है, मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर या किलोमीटर। इसलिए, सामान्य सूत्रीकरण गणितीय रूप से सक्षम समाधान होगा: "इकाइयाँ" - "इकाइयों" के रूप में संक्षिप्त।

दूसरे, आइए स्कूल सामग्री को दोहराएं, जो न केवल विचार की गई समस्या के लिए उपयोगी है:

पर ध्यान दें महत्वपूर्ण तकनीकी ट्रिक – गुणक को जड़ के नीचे से निकालना. गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें परिणाम मिला और अच्छी गणितीय शैली में गुणनखंड को मूल (यदि संभव हो) के नीचे से निकालना शामिल है। प्रक्रिया इस तरह अधिक विस्तार से दिखती है: बेशक, फॉर्म में उत्तर छोड़ना कोई गलती नहीं होगी - लेकिन यह निश्चित रूप से एक दोष है और शिक्षक की ओर से नाइटपिकिंग के लिए एक वजनदार तर्क है।

यहाँ अन्य सामान्य मामले हैं:

उदाहरण के लिए, अक्सर रूट के तहत पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या प्राप्त की जाती है। ऐसे मामलों में कैसे रहें? कैलकुलेटर पर, हम जांचते हैं कि संख्या 4 से विभाज्य है या नहीं। हाँ, यह पूरी तरह से विभाजित था, इस प्रकार: . या हो सकता है कि संख्या को फिर से 4 से विभाजित किया जा सकता है? . इस प्रकार से: । संख्या का अंतिम अंक विषम है, इसलिए तीसरी बार 4 से विभाजित करना स्पष्ट रूप से संभव नहीं है। नौ से विभाजित करने का प्रयास: . नतीजतन:
तैयार।

आउटपुट:यदि रूट के तहत हमें पूरी तरह से गैर-निष्कर्षण योग्य संख्या मिलती है, तो हम कारक को रूट के नीचे से निकालने का प्रयास करते हैं - कैलकुलेटर पर हम जांचते हैं कि संख्या विभाज्य है या नहीं: 4, 9, 16, 25, 36, 49, आदि।

विभिन्न समस्याओं को हल करने के क्रम में, जड़ें अक्सर मिल जाती हैं, शिक्षक की टिप्पणी के अनुसार अपने समाधान को अंतिम रूप देने के साथ कम अंक और अनावश्यक परेशानियों से बचने के लिए हमेशा जड़ के नीचे से कारकों को निकालने का प्रयास करें।

आइए एक ही समय में जड़ों और अन्य शक्तियों के वर्ग को दोहराएं:

सामान्य रूप में डिग्री के साथ क्रियाओं के नियम बीजगणित पर एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि दिए गए उदाहरणों से सब कुछ या लगभग सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है।

अंतरिक्ष में एक खंड के साथ एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 4

दिए गए अंक और . खंड की लंबाई पाएं।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

एक खंड की लंबाई विभिन्न तरीकों से निर्धारित की जा सकती है। यह पता लगाने के लिए कि किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात की जाए, एक रूलर उपलब्ध होना या गणना के लिए विशेष सूत्रों को जानना पर्याप्त है।

शासक के साथ रेखा की लंबाई

ऐसा करने के लिए, हम विमान पर बने खंड में मिलीमीटर डिवीजनों के साथ एक शासक को लागू करते हैं, और प्रारंभिक बिंदु को शासक पैमाने के शून्य के साथ संरेखित किया जाना चाहिए। फिर आपको इस पैमाने पर इस खंड के अंत बिंदु के स्थान को चिह्नित करना चाहिए। पैमाने के पूरे डिवीजनों की परिणामी संख्या सेमी और मिमी में व्यक्त खंड की लंबाई होगी।

समतल समन्वय विधि

यदि खंड (x1; y1) और (x2; y2) के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो इसकी लंबाई की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए। दूसरे बिंदु के तल पर निर्देशांक से, पहले बिंदु के निर्देशांक घटाए जाने चाहिए। परिणाम दो नंबर होना चाहिए। इनमें से प्रत्येक संख्या का वर्ग होना चाहिए, और फिर इन वर्गों का योग ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या से, वर्गमूल निकाला जाना चाहिए, जो बिंदुओं के बीच की दूरी होगी। चूंकि ये बिंदु खंड के छोर हैं, इसलिए यह मान इसकी लंबाई होगा।

निर्देशांक द्वारा किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इसके एक उदाहरण पर विचार करें। दो बिंदुओं (-1;2) और (4;7) के निर्देशांक हैं। बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर खोजने पर, हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं: x = 5, y = 5। परिणामी संख्या खंड के निर्देशांक होंगे। फिर हम प्रत्येक संख्या का वर्ग करते हैं और परिणामों का योग पाते हैं, यह 50 है। इस संख्या से हम वर्गमूल निकालते हैं। परिणाम यह है: 2 के 5 मूल। यह खंड की लंबाई है।

अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि

ऐसा करने के लिए, विचार करें कि वेक्टर की लंबाई कैसे प्राप्त करें। यह वह है जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक खंड होगा। यह लगभग उसी तरह पाया जाता है जैसे एक विमान पर एक खंड की लंबाई। वेक्टर का निर्माण विभिन्न विमानों में होता है. वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

1. सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, इसके लिए इसके अंत बिंदु के निर्देशांकों से आपको इसके प्रारंभ बिंदु के निर्देशांकों को घटाना होगा।
2. उसके बाद, आपको वेक्टर के प्रत्येक निर्देशांक को चौकोर करना होगा।
3. फिर निर्देशांक के वर्ग जोड़ें।
4. एक वेक्टर की लंबाई खोजने के लिए, आपको निर्देशांक के वर्गों के योग का वर्गमूल लेना होगा।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म पर विचार करें। सदिश AB के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। अंक ए और बी में निम्नलिखित निर्देशांक हैं: ए (1;6;3) और बी (3;-1;7)। वेक्टर की शुरुआत बिंदु ए पर है, अंत बिंदु बी पर स्थित है। इस प्रकार, इसके निर्देशांक खोजने के लिए, बिंदु बी के निर्देशांक से बिंदु ए के निर्देशांक घटाना आवश्यक है: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4)।

अब हम प्रत्येक निर्देशांक को वर्गाकार करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं: 4+49+16=69। अंत में, दी गई संख्या का वर्गमूल निकालता है। इसे निकालना मुश्किल है, इसलिए हम इस तरह से परिणाम लिखते हैं: वेक्टर की लंबाई 69 की जड़ के बराबर होती है।

यदि आपके लिए खंडों और वैक्टरों की लंबाई की गणना स्वयं करना महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन आपको केवल परिणाम की आवश्यकता है, तो आप एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, यह एक।

अब, इन विधियों का अध्ययन करने और प्रस्तुत उदाहरणों पर विचार करने के बाद, आप किसी भी समस्या में खंड की लंबाई आसानी से पा सकते हैं।

खंडइस रेखा के सभी बिंदुओं से युक्त एक सीधी रेखा के भाग को कॉल करें जो इन दो बिंदुओं के बीच स्थित हैं - वे खंड के छोर कहलाते हैं।

आइए पहले उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि निर्देशांक तल में एक निश्चित खंड दो बिंदुओं से दिया गया है। इस स्थिति में, हम पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके इसकी लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

तो, निर्देशांक प्रणाली में, इसके सिरों के दिए गए निर्देशांक के साथ एक खंड बनाएं(X1; y1) और (x2; y2) . धुरी पर एक्स और यू खंड के सिरों से लंबवत ड्रॉप करें। उन खंडों को लाल रंग में चिह्नित करें जो समन्वय अक्ष पर मूल खंड से अनुमान हैं। उसके बाद, हम प्रक्षेपण खंडों को खंडों के सिरों के समानांतर स्थानांतरित करते हैं। हमें एक त्रिभुज (आयताकार) मिलता है। इस त्रिभुज का कर्ण खंड AB ही होगा, और इसके पैर स्थानांतरित अनुमान हैं।

आइए इन अनुमानों की लंबाई की गणना करें। तो धुरी पर यू प्रक्षेपण लंबाई है y2-y1 , और अक्ष पर एक्स प्रक्षेपण लंबाई है x2-x1 . आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . इस मामले में |एबी| खंड की लंबाई है।

यदि आप इस योजना का उपयोग किसी खंड की लंबाई की गणना करने के लिए करते हैं, तो आप खंड का निर्माण भी नहीं कर सकते हैं। अब हम गणना करते हैं कि निर्देशांक के साथ खंड की लंबाई क्या है (1;3) और (2;5) . पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: |एबी|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . और इसका मतलब है कि हमारे खंड की लंबाई बराबर है 5:1/2 .

किसी खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हमें किसी प्रणाली में दो बिंदुओं के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है। द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके इस विकल्प पर विचार करें।

तो, एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, खंड के चरम बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। यदि हम इन बिंदुओं के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, तो उन्हें निर्देशांक अक्ष के लंबवत होना चाहिए, तो हमें एक समकोण त्रिभुज मिलता है। मूल खंड परिणामी त्रिभुज का कर्ण होगा। त्रिभुज के पैर खंड बनाते हैं, उनकी लंबाई समन्वय अक्षों पर कर्ण के प्रक्षेपण के बराबर होती है। पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं: किसी दिए गए खंड की लंबाई खोजने के लिए, आपको दो समन्वय अक्षों पर अनुमानों की लंबाई खोजने की आवश्यकता है।

प्रक्षेपण की लंबाई पाएं (एक्स और वाई) निर्देशांक अक्षों का मूल खंड। हम एक अलग अक्ष के साथ बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर ज्ञात करके उनकी गणना करते हैं: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

खंड की लंबाई की गणना करें लेकिन , इसके लिए हम वर्गमूल पाते हैं:

ए = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

यदि हमारा खंड उन बिंदुओं के बीच स्थित है जिनके निर्देशांक 2;4 और 4;1 , तो इसकी लंबाई, क्रमशः, के बराबर है ((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .