विभिन्न शक्तियों वाली संख्याओं का गुणनफल। डिग्री और उसके गुण। एक संपूर्ण गाइड (2020)। अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के मूल गुण
पिछले लेख में हमने बात की थी कि मोनोमियल क्या होते हैं। इस सामग्री में, हम विश्लेषण करेंगे कि उन उदाहरणों और समस्याओं को कैसे हल किया जाए जिनमें उनका उपयोग किया जाता है। यहां हम ऐसे कार्यों पर विचार करेंगे जैसे घटाव, जोड़, गुणा, एकपदी का विभाजन और उन्हें एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति तक बढ़ाना। हम दिखाएंगे कि इस तरह के संचालन को कैसे परिभाषित किया जाता है, उनके कार्यान्वयन के लिए बुनियादी नियमों को इंगित करें और परिणाम क्या होना चाहिए। सभी सैद्धांतिक प्रावधानों, हमेशा की तरह, समाधान के विवरण के साथ समस्याओं के उदाहरणों द्वारा सचित्र किया जाएगा।
मोनोमियल के मानक अंकन के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक है, इसलिए, हम उन सभी अभिव्यक्तियों को प्रस्तुत करते हैं जिनका उपयोग लेख में मानक रूप में किया जाएगा। यदि उन्हें शुरू में अलग तरह से सेट किया गया है, तो पहले उन्हें आम तौर पर स्वीकृत रूप में लाने की सिफारिश की जाती है।
एकपदी जोड़ने और घटाने के नियम
एकपदी के साथ किए जा सकने वाले सबसे सरल ऑपरेशन घटाव और जोड़ हैं। सामान्य स्थिति में, इन क्रियाओं का परिणाम एक बहुपद होगा (कुछ विशेष मामलों में एक एकपदी संभव है)।
जब हम एकपदी जोड़ते या घटाते हैं, तो हम पहले आम तौर पर स्वीकृत रूप में संबंधित योग और अंतर को लिखते हैं, जिसके बाद हम परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं। यदि समान शर्तें हैं, तो उन्हें दिया जाना चाहिए, कोष्ठक खोले जाने चाहिए। आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं।
उदाहरण 1
स्थिति:एकपदी − 3 · x और 2 , 72 · x 3 · y 5 · z जोड़ें।
समाधान
आइए मूल भावों का योग लिखें। कोष्ठक जोड़ें और उनके बीच धन का चिह्न लगाएं। हमें निम्नलिखित मिलेगा:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
जब हम कोष्ठकों का विस्तार करते हैं, तो हमें - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z प्राप्त होता है। यह एक बहुपद है, जिसे मानक रूप में लिखा जाता है, जो इन एकपदी को जोड़ने का परिणाम होगा।
उत्तर:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = -3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z ।
यदि हमारे पास तीन, चार या अधिक शब्द दिए गए हैं, तो हम इस क्रिया को उसी तरह से करते हैं।
उदाहरण 2
स्थिति:दी गई संक्रियाओं को बहुपदों के साथ सही क्रम में करें
3 ए 2 - (- 4 ए सी) + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी
समाधान
आइए कोष्ठक खोलकर प्रारंभ करें।
3 ए 2 + 4 ए सी + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी
हम देखते हैं कि परिणामी व्यंजक को समान पदों को कम करके सरल बनाया जा सकता है:
3 ए 2 + 4 ए सी + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी = = (3 ए 2 + ए 2 - 7 ए 2) + 4 ए सी - 2 2 3 एसी + 4 9 = = - 3 ए 2 + 1 1 3 एसी + 4 9
हमारे पास एक बहुपद है, जो इस क्रिया का परिणाम होगा।
उत्तर: 3 ए 2 - (- 4 ए सी) + ए 2 - 7 ए 2 + 4 9 - 2 2 3 ए सी = - 3 ए 2 + 1 1 3 ए सी + 4 9
सिद्धांत रूप में, हम कुछ प्रतिबंधों के साथ दो मोनोमियल का जोड़ और घटाव कर सकते हैं, ताकि हम एक मोनोमियल के साथ समाप्त हो जाएं। ऐसा करने के लिए, शर्तों और घटाए गए मोनोमियल के संबंध में कुछ शर्तों का पालन करना आवश्यक है। हम वर्णन करेंगे कि यह एक अलग लेख में कैसे किया जाता है।
एकपदी गुणा करने के नियम
गुणन क्रिया गुणकों पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाती है। एकपदी को गुणा करने के लिए किसी भी अतिरिक्त शर्त को पूरा नहीं करना चाहिए ताकि परिणाम एकपदी हो।
एकपदी का गुणन करने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:
- टुकड़े को सही ढंग से रिकॉर्ड करें।
- परिणामी व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें।
- समूह, यदि संभव हो तो, समान चर और संख्यात्मक कारकों वाले कारकों को अलग-अलग करें।
- संख्याओं के साथ आवश्यक क्रियाएं करें और समान आधारों से गुणा घातों के गुण को शेष गुणनखंडों पर लागू करें।
आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है।
उदाहरण 3
स्थिति:एकपदी 2 · x 4 · y · z और - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 को गुणा करें।
समाधान
आइए काम की संरचना से शुरू करें।
इसमें कोष्ठकों को खोलने पर हमें निम्नलिखित प्राप्त होते हैं:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 टी 2 एक्स 4 एक्स 2 वाई जेड 3 जेड 11
हमें केवल पहले कोष्ठक में संख्याओं को गुणा करना है और दूसरे पर घात गुण लागू करना है। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मिलता है:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
उत्तर: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
यदि हमारे पास स्थिति में तीन या अधिक बहुपद हैं, तो हम उन्हें ठीक उसी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके गुणा करते हैं। हम एकपदी के गुणन के मुद्दे पर एक अलग सामग्री में अधिक विस्तार से विचार करेंगे।
एक मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाने के नियम
हम जानते हैं कि समान कारकों की एक निश्चित संख्या के गुणनफल को प्राकृतिक घातांक वाली घात कहा जाता है। उनकी संख्या संकेतक में संख्या द्वारा इंगित की जाती है। इस परिभाषा के अनुसार, एक एकपदी को एक घात में बढ़ाना एक समान एकपदी की संकेतित संख्या को गुणा करने के बराबर है। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।
उदाहरण 4
स्थिति:एकपदी − 2 · a · b 4 को 3 के घात तक बढ़ाएँ।
समाधान
हम घातांक को 3 एकपदी - 2 · a · b 4 के गुणन से बदल सकते हैं। आइए नीचे लिखें और वांछित उत्तर प्राप्त करें:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4) बी 4) = -8 ए 3 बी 12
उत्तर:(-2 ए बी 4) 3 = -8 ए 3 बी 12।
लेकिन क्या होगा जब डिग्री का एक बड़ा प्रतिपादक हो? बड़ी संख्या में गुणकों को रिकॉर्ड करना असुविधाजनक है। फिर, ऐसी समस्या को हल करने के लिए, हमें डिग्री के गुणों को लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात् उत्पाद की डिग्री की संपत्ति और डिग्री में डिग्री की संपत्ति।
आइए उस समस्या को हल करें जिसका हमने ऊपर उल्लेख किया है।
उदाहरण 5
स्थिति:− 2 · a · b 4 को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएँ।
समाधान
डिग्री में डिग्री की संपत्ति को जानने के बाद, हम निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति के लिए आगे बढ़ सकते हैं:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 ।
उसके बाद, हम घात -2 तक बढ़ाते हैं और घातांक गुण लागू करते हैं:
(- 2) 3 (ए) 3 (बी 4) 3 = -8 ए 3 बी 4 3 = -8 ए 3 बी 12।
उत्तर:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12।
हमने एक मोनोमियल को एक शक्ति में बढ़ाने के लिए एक अलग लेख भी समर्पित किया।
एकपदी को विभाजित करने के नियम
एकपदी के साथ अंतिम क्रिया जिसका हम इस सामग्री में विश्लेषण करेंगे, एक एकपदी द्वारा एकपदी का विभाजन है। नतीजतन, हमें एक तर्कसंगत (बीजगणितीय) अंश प्राप्त करना चाहिए (कुछ मामलों में, एक मोनोमियल प्राप्त करना संभव है)। आइए हम तुरंत स्पष्ट करें कि शून्य एकपदी से विभाजन परिभाषित नहीं है, क्योंकि 0 से विभाजन परिभाषित नहीं है।
विभाजन करने के लिए, हमें संकेतित एकपदी को भिन्न के रूप में लिखना होगा और यदि संभव हो तो इसे कम करना होगा।
उदाहरण 6
स्थिति:एकपदी − 9 x 4 y 3 z 7 को − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 से भाग दें।
समाधान
आइए भिन्न के रूप में एकपदी लिखकर प्रारंभ करें।
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
इस अंश को कम किया जा सकता है। ऐसा करने के बाद, हमें मिलता है:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
उत्तर:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5।
जिन शर्तों के तहत, एकपदी को विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें एक एकपदी मिलती है, उन्हें एक अलग लेख में दिया गया है।
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शक्ति सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।
संख्या सीहै एक एन-एक संख्या की शक्ति एकब:
डिग्री के साथ संचालन।
1. एक ही आधार से डिग्रियों को गुणा करने पर, उनके संकेतक जुड़ते हैं:
पूर्वाह्नए एन = ए एम + एन।
2. एक ही आधार के साथ डिग्री के विभाजन में, उनके संकेतक घटाए जाते हैं:
3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:
(एबीसी…) एन = ए एन बी एन सी एन …
4. भिन्न की घात, भाज्य और भाजक की अंशों के अनुपात के बराबर होती है:
(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।
5. किसी घात को घात में बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:
(एम) एन = एक एम एन।
ऊपर दिया गया प्रत्येक सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दिशाओं में सही है।
उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
जड़ों के साथ संचालन।
1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:
2. अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:
3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:
4. यदि हम जड़ की मात्रा को में बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में बढ़ाएँ एन th पावर एक रूट नंबर है, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:
5. यदि हम जड़ की डिग्री को में घटा दें एनएक ही समय में जड़ एनमूलांक से th डिग्री, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:
एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री।एक गैर-सकारात्मक (पूर्णांक) घातांक के साथ एक निश्चित संख्या की डिग्री को गैर-सकारात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर एक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है:
सूत्र पूर्वाह्न:ए एन = ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन यह भी एम< एन.
उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.
सूत्र के लिए पूर्वाह्न:ए एन = ए एम - एननिष्पक्ष हो गया एम = एन, आपको शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।
शून्य घातांक के साथ डिग्री।शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात एक के बराबर होती है।
उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री।वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए लेकिनएक स्तर तक मी/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एमइस संख्या की शक्ति लेकिन.
गणित में डिग्री की अवधारणा को बीजगणित के पाठ में 7वीं कक्षा में ही पेश किया जाता है। और भविष्य में, गणित के अध्ययन के दौरान, इस अवधारणा को इसके विभिन्न रूपों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। डिग्री एक कठिन विषय है, जिसमें मूल्यों को याद रखने और सही ढंग से और जल्दी से गिनने की क्षमता की आवश्यकता होती है। गणित की डिग्री के साथ तेजी से और बेहतर काम के लिए, वे डिग्री के गुणों के साथ आए। वे बड़ी गणनाओं में कटौती करने में मदद करते हैं, एक विशाल उदाहरण को एक संख्या में कुछ हद तक परिवर्तित करने के लिए। इतने सारे गुण नहीं हैं, और उन सभी को याद रखना और व्यवहार में लागू करना आसान है। इसलिए, लेख डिग्री के मुख्य गुणों के साथ-साथ जहां उन्हें लागू किया जाता है, पर चर्चा करता है।
डिग्री गुण
हम एक डिग्री के 12 गुणों पर विचार करेंगे, जिसमें समान आधार वाली शक्तियों के गुण शामिल हैं, और प्रत्येक संपत्ति के लिए एक उदाहरण देंगे। इनमें से प्रत्येक गुण आपको डिग्री के साथ समस्याओं को तेजी से हल करने में मदद करेगा, साथ ही आपको कई कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से बचाएगा।
पहली संपत्ति।
बहुत से लोग अक्सर इस संपत्ति के बारे में भूल जाते हैं, गलतियाँ करते हैं, एक संख्या को शून्य डिग्री तक शून्य के रूप में दर्शाते हैं।
दूसरी संपत्ति।
तीसरी संपत्ति।
यह याद रखना चाहिए कि इस गुण का उपयोग केवल संख्याओं को गुणा करने पर ही किया जा सकता है, यह योग के साथ काम नहीं करता है! और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह और निम्नलिखित गुण केवल समान आधार वाली शक्तियों पर लागू होते हैं।
चौथी संपत्ति।
यदि हर में संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घटाते समय, आगे की गणना में चिह्न को सही ढंग से बदलने के लिए हर की डिग्री को कोष्ठक में लिया जाता है।
गुण केवल विभाजित करते समय काम करता है, घटाते समय नहीं!
5वीं संपत्ति।
छठी संपत्ति।
इस संपत्ति को रिवर्स में भी लागू किया जा सकता है। किसी संख्या से कुछ अंश तक भाग देने वाली इकाई वह संख्या होती है जिसका ऋणात्मक घात होता है।
7वीं संपत्ति।
इस संपत्ति को योग और अंतर पर लागू नहीं किया जा सकता है! किसी घात का योग या अंतर बढ़ाते समय, संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है, न कि घात के गुणों का।
आठवीं संपत्ति।
9वीं संपत्ति।
यह गुण एक के बराबर अंश के साथ किसी भी भिन्नात्मक डिग्री के लिए काम करता है, सूत्र समान होगा, केवल मूल की डिग्री डिग्री के हर के आधार पर बदल जाएगी।
साथ ही, इस संपत्ति का उपयोग अक्सर उल्टे क्रम में किया जाता है। किसी संख्या की किसी भी घात के मूल को उस संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो मूल की घात से विभाजित एक की घात है। यह गुण उन मामलों में बहुत उपयोगी है जहां संख्या की जड़ नहीं निकाली जाती है।
10वीं संपत्ति।
यह गुण न केवल वर्गमूल और दूसरी डिग्री के साथ काम करता है। यदि जड़ की डिग्री और जिस हद तक इस जड़ को उठाया गया है, वही हैं, तो उत्तर एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति होगी।
11वीं संपत्ति।
अपने आप को बड़ी गणनाओं से बचाने के लिए इसे हल करते समय आपको इस संपत्ति को समय पर देखने में सक्षम होना चाहिए।
12वीं संपत्ति।
इनमें से प्रत्येक गुण आपको कार्यों में एक से अधिक बार मिलेंगे, इसे अपने शुद्ध रूप में दिया जा सकता है, या इसके लिए कुछ परिवर्तनों और अन्य सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, सही समाधान के लिए, केवल गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको अभ्यास करने और शेष गणितीय ज्ञान को जोड़ने की आवश्यकता है।
डिग्री और उनके गुणों का आवेदन
वे बीजगणित और ज्यामिति में सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। गणित में डिग्री का एक अलग, महत्वपूर्ण स्थान होता है। उनकी मदद से, घातीय समीकरण और असमानताएं हल हो जाती हैं, साथ ही शक्तियां अक्सर गणित के अन्य वर्गों से संबंधित समीकरणों और उदाहरणों को जटिल बनाती हैं। घातांक बड़ी और लंबी गणनाओं से बचने में मदद करते हैं, घातांक को कम करना और गणना करना आसान होता है। लेकिन बड़ी शक्तियों के साथ, या बड़ी संख्या की शक्तियों के साथ काम करने के लिए, आपको न केवल डिग्री के गुणों को जानने की जरूरत है, बल्कि आधारों के साथ सक्षम रूप से काम करने की जरूरत है, अपने काम को आसान बनाने के लिए उन्हें विघटित करने में सक्षम होना चाहिए। सुविधा के लिए, आपको किसी घात पर उठाई गई संख्याओं का अर्थ भी पता होना चाहिए। यह लंबी गणनाओं की आवश्यकता को समाप्त करके हल करने में आपके समय को कम करेगा।
लघुगणक में डिग्री की अवधारणा एक विशेष भूमिका निभाती है। चूंकि लघुगणक, संक्षेप में, एक संख्या की शक्ति है।
संक्षिप्त गुणन सूत्र शक्तियों के उपयोग का एक और उदाहरण हैं। वे डिग्री के गुणों का उपयोग नहीं कर सकते हैं, वे विशेष नियमों के अनुसार विघटित होते हैं, लेकिन प्रत्येक संक्षिप्त गुणन सूत्र में हमेशा डिग्री होती है।
भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में भी डिग्री का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। एसआई प्रणाली में सभी अनुवाद डिग्री का उपयोग करके किए जाते हैं, और भविष्य में, समस्याओं को हल करते समय, डिग्री के गुणों को लागू किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, संख्याओं की धारणा को गिनने और सरल बनाने की सुविधा के लिए दो की शक्तियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माप की इकाइयों के रूपांतरण पर आगे की गणना या समस्याओं की गणना, जैसे भौतिकी में, डिग्री के गुणों का उपयोग करके होती है।
डिग्री खगोल विज्ञान में भी बहुत उपयोगी हैं, जहां आप शायद ही कभी किसी डिग्री के गुणों का उपयोग पा सकते हैं, लेकिन डिग्री स्वयं सक्रिय रूप से विभिन्न मात्राओं और दूरियों की रिकॉर्डिंग को छोटा करने के लिए उपयोग की जाती हैं।
डिग्री का उपयोग रोजमर्रा की जिंदगी में भी किया जाता है, जब क्षेत्रों, मात्राओं, दूरियों की गणना की जाती है।
डिग्री की मदद से विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में बहुत बड़े और बहुत छोटे मान लिखे जाते हैं।
घातीय समीकरण और असमानताएं
घातीय समीकरणों और असमानताओं में डिग्री गुण एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम और परीक्षा दोनों में ये कार्य बहुत सामान्य हैं। उन सभी को डिग्री के गुणों को लागू करके हल किया जाता है। अज्ञात हमेशा डिग्री में ही होता है, इसलिए सभी गुणों को जानकर, ऐसे समीकरण या असमानता को हल करना मुश्किल नहीं होगा।
अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हमें मिला:
हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम लागू हो सकता है।
लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।
शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।
लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!
आइए उदाहरण पर वापस जाएं:
और फिर सूत्र:
पूरा का पूराहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।
सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।
अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें के बराबर।
शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:
हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?
आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:
इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। साधन।
हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:
आइए नियम दोहराएं:
शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।
लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।
एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न सिर्फ जीरो से डिवाइड कर सकते हैं, बल्कि जीरो पावर तक बढ़ा भी सकते हैं।
चलिए आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम किसी सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:
यहां से वांछित व्यक्त करना पहले से ही आसान है:
अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:
तो, चलिए नियम बनाते हैं:
एक संख्या से एक ऋणात्मक घात समान संख्या का धनात्मक घात का विलोम होता है। लेकिन उसी समय पर आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।
आइए संक्षेप करें:
I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।
द्वितीय. शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है: .
III. एक संख्या जो शून्य से ऋणात्मक घात के बराबर नहीं है, उसी संख्या का धनात्मक घात का व्युत्क्रम है: .
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:
मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएं डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इसे हल नहीं कर पाए तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में उनसे आसानी से कैसे निपटें!
आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।
अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?
उत्तर: वह सब जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।
क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:
अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":
किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?
यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।
मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल एक ऐसी संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।
अर्थात्, वें डिग्री की जड़ घातांक का व्युत्क्रम संचालन है:।
यह पता चलता है। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।
अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:
लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।
कोई नहीं!
नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!
और इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।
अभिव्यक्ति के बारे में क्या?
लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।
संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।
और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।
या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।
ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.
तो अगर:
- - प्राकृतिक संख्या;
- एक पूर्णांक है;
उदाहरण:
परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:
5 अभ्यास उदाहरण
प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण
1. डिग्री के सामान्य गुणों के बारे में मत भूलना:
2.. यहाँ हम याद करते हैं कि हम डिग्री की तालिका सीखना भूल गए:
आखिर - यह या। समाधान स्वतः मिल जाता है: .
खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.
यहां डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, के अपवाद के साथ
वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।
एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।
उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है;
...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को अपने आप से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक निश्चित "तैयारी" है एक संख्या", अर्थात् एक संख्या;
...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।
वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है।
लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।
हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))
उदाहरण के लिए:
अपने लिए तय करें:
समाधान का विश्लेषण:
1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:
अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:
इस मामले में,
पता चलता है कि:
उत्तर: .
2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:
उत्तर: 16
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:
अग्रवर्ती स्तर
डिग्री की परिभाषा
डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:
- — डिग्री का आधार;
- - प्रतिपादक।
प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)
किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:
पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)
यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:
निर्माण शून्य शक्ति के लिए:
व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।
यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:
(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।
नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।
उदाहरण:
तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री
- - प्राकृतिक संख्या;
- एक पूर्णांक है;
उदाहरण:
डिग्री गुण
समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।
आइए देखें: क्या है और?
परिभाषा से:
तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:
लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:
क्यू.ई.डी.
उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।
समाधान : .
उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।
समाधान : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में अनिवार्य रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:
एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!
किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।
पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:
आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:
यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:
वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!
आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।
एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।
इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए सूचकडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .
वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?
उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?
पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।
लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।
और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:
- यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
- ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
- किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
- किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।
अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।
उदाहरण 5 में, सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।
उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।
और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण हल करें।
भावों के मूल्यों की गणना करें:
समाधान :
अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!
हमें मिला:
हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।
यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:
शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!
आइए उदाहरण पर वापस जाएं:
और फिर सूत्र:
तो अब आखिरी नियम:
हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:
खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:
उदाहरण:
अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री
औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं)।
एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या, जैसा कि था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।
एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।
वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।
तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)
उदाहरण के लिए:
अपने लिए तय करें:
| 1) | 2) | 3) |
उत्तर:
- वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। उत्तर: ।
- हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
- कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:
खंड सारांश और बुनियादी सूत्र
डिग्रीप्रपत्र का व्यंजक कहलाता है: , जहाँ:
पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री
डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।
तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री
डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।
अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री
घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।
डिग्री गुण
डिग्री की विशेषताएं।
- ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
- ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
- किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
- शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
- कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।
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और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!
पाठ सामग्रीएक डिग्री क्या है?
डिग्रीकई समान कारकों का उत्पाद कहा जाता है। उदाहरण के लिए:
2×2×2
इस व्यंजक का मान 8 . है
2 x 2 x 2 = 8
इस समीकरण के बाईं ओर को छोटा किया जा सकता है - पहले दोहराए जाने वाले कारक को लिख लें और इस पर इंगित करें कि यह कितनी बार दोहराता है। इस मामले में दोहराव गुणक 2 है। यह तीन बार दोहराता है। इसलिए, ड्यूस के ऊपर, हम ट्रिपल लिखते हैं:
2 3 = 8
यह अभिव्यक्ति इस तरह पढ़ती है: दो से तीसरी शक्ति आठ के बराबर होती है या " 2 की तीसरी शक्ति 8 है।
समान गुणनखंडों के गुणन को लिखने का संक्षिप्त रूप अधिक बार प्रयोग किया जाता है। इसलिए, हमें यह याद रखना चाहिए कि यदि किसी संख्या के ऊपर दूसरी संख्या अंकित है, तो यह कई समान कारकों का गुणन है।
उदाहरण के लिए, यदि व्यंजक 5 3 दिया गया है, तो यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह व्यंजक 5 × 5 × 5 लिखने के बराबर है।
दोहराने वाली संख्या कहलाती है डिग्री का आधार. व्यंजक 5 3 में घात का आधार संख्या 5 है।
और जो अंक 5 के ऊपर अंकित होता है उसे कहते हैं प्रतिपादक. व्यंजक 5 3 में, घातांक संख्या 3 है। घातांक दिखाता है कि घात के आधार को कितनी बार दोहराया गया है। हमारे मामले में, आधार 5 को तीन बार दोहराया जाता है।
समान गुणनखंडों को गुणा करने की क्रिया कहलाती है घातांक.
उदाहरण के लिए, यदि आपको चार समान कारकों का गुणनफल खोजने की आवश्यकता है, जिनमें से प्रत्येक 2 के बराबर है, तो वे कहते हैं कि संख्या 2 चौथी शक्ति के लिए उठाया गया:
हम देखते हैं कि संख्या 2 से चौथी घात संख्या 16 है।
ध्यान दें कि इस पाठ में हम देख रहे हैं एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री. यह एक प्रकार की डिग्री है, जिसका घातांक एक प्राकृत संख्या है। याद रखें कि प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांक हैं जो शून्य से बड़ी हैं। उदाहरण के लिए, 1, 2, 3 और इसी तरह।
सामान्य तौर पर, प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री की परिभाषा इस प्रकार है:
की डिग्री एएक प्राकृतिक संकेतक के साथ एनरूप की अभिव्यक्ति है एक, जो उत्पाद के बराबर है एनगुणक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ए
उदाहरण:
किसी संख्या को घात में बढ़ाते समय सावधान रहें। अक्सर, असावधानी से, एक व्यक्ति घातांक द्वारा डिग्री के आधार को गुणा करता है।
उदाहरण के लिए, संख्या 5 से दूसरी घात दो कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 5 के बराबर है। यह गुणनफल 25 के बराबर है
अब कल्पना कीजिए कि हमने अनजाने में आधार 5 को घातांक 2 . से गुणा कर दिया
एक त्रुटि हुई, क्योंकि 5 से दूसरी घात की संख्या 10 के बराबर नहीं है।
इसके अतिरिक्त, यह उल्लेख किया जाना चाहिए कि 1 के घातांक वाली संख्या की घात वह संख्या ही है:
उदाहरण के लिए, पहली घात के लिए संख्या 5 ही संख्या 5 है।
तदनुसार, यदि संख्या में संकेतक नहीं है, तो हमें यह मान लेना चाहिए कि संकेतक एक के बराबर है।
उदाहरण के लिए, संख्या 1, 2, 3 बिना घातांक के दी गई हैं, इसलिए उनके घातांक एक के बराबर होंगे। इनमें से प्रत्येक संख्या को 1 . के घातांक के साथ लिखा जा सकता है
और यदि आप किसी घात के लिए 0 बढ़ाते हैं, तो आपको 0 मिलता है। वास्तव में, चाहे कितनी भी बार कुछ भी अपने आप से गुणा न किया जाए, कुछ भी नहीं निकलेगा। उदाहरण:
और व्यंजक 0 0 का कोई अर्थ नहीं है। लेकिन गणित की कुछ शाखाओं में, विशेष रूप से विश्लेषण और सेट सिद्धांत में, अभिव्यक्ति 0 0 समझ में आ सकती है।
प्रशिक्षण के लिए, हम संख्या बढ़ाने के कई उदाहरण हल करेंगे।
उदाहरण 1संख्या 3 को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या 3 से दूसरी शक्ति दो कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 3 . के बराबर है
3 2 = 3 × 3 = 9
उदाहरण 2संख्या 2 को चौथी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या 2 से चौथी घात चार कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 2 . के बराबर है
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
उदाहरण 3संख्या 2 को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या 2 से तीसरी शक्ति तीन कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 2 . के बराबर है
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
संख्या 10 . का घातांक
संख्या 10 को एक घात तक बढ़ाने के लिए, घातांक के बराबर, इकाई के बाद शून्य की संख्या जोड़ने के लिए पर्याप्त है।
उदाहरण के लिए, आइए 10 की संख्या को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएं। सबसे पहले, हम संख्या 10 को ही लिखते हैं और संख्या 2 को एक संकेतक के रूप में इंगित करते हैं
10 2
अब हम एक समान चिह्न लगाते हैं, एक लिख देते हैं और इसके बाद दो शून्य लिख देते हैं, क्योंकि शून्यों की संख्या घातांक के बराबर होनी चाहिए।
10 2 = 100
तो 10 से दूसरी घात की संख्या 100 है। यह इस तथ्य के कारण है कि संख्या 10 से दूसरी शक्ति दो कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 10 के बराबर है।
10 2 = 10 × 10 = 100
उदाहरण 2. आइए 10 नंबर को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं।
इस मामले में, एक के बाद तीन शून्य होंगे:
10 3 = 1000
उदाहरण 3. आइए 10 नंबर को चौथी शक्ति तक बढ़ाएं।
इस मामले में, एक के बाद चार शून्य होंगे:
10 4 = 10000
उदाहरण 4. आइए 10 नंबर को पहली शक्ति तक बढ़ाएं।
इस मामले में, एक के बाद एक शून्य होगा:
10 1 = 10
आधार 10 . के साथ संख्या 10, 100, 1000 को घात के रूप में निरूपित करना
आधार 10 के साथ घात के रूप में संख्या 10, 100, 1000, और 10000 का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको आधार 10 लिखना होगा, और एक घातांक के रूप में मूल संख्या में शून्य की संख्या के बराबर संख्या निर्दिष्ट करनी होगी।
आइए संख्या 10 को आधार 10 के साथ एक घात के रूप में निरूपित करें। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। तो आधार 10 वाली घात के रूप में संख्या 10 को 10 1 . के रूप में दर्शाया जाएगा
10 = 10 1
उदाहरण 2. आइए संख्या 100 को आधार 10 के साथ एक घात के रूप में निरूपित करें। हम देखते हैं कि संख्या 100 में दो शून्य होते हैं। तो आधार 10 वाली घात के रूप में 100 की संख्या को 10 2 . के रूप में दर्शाया जाएगा
100 = 10 2
उदाहरण 3. आइए आधार 10 के साथ एक शक्ति के रूप में संख्या 1000 का प्रतिनिधित्व करें।
1 000 = 10 3
उदाहरण 4. आइए 10,000 संख्या को आधार 10 के साथ घात के रूप में निरूपित करें।
10 000 = 10 4
ऋणात्मक संख्या का घातांक
किसी ऋणात्मक संख्या को घात में बढ़ाते समय, इसे कोष्ठकों में संलग्न किया जाना चाहिए।
उदाहरण के लिए, आइए ऋणात्मक संख्या −2 को दूसरी घात तक बढ़ाएँ। संख्या −2 से दूसरी घात दो कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक (−2) के बराबर है
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
यदि हम संख्या -2 को कोष्ठक में नहीं रखते हैं, तो यह पता चलेगा कि हम व्यंजक -2 2 की गणना करते हैं, जो सम नही 4 . व्यंजक -2² -4 के बराबर होगा। यह समझने के लिए, आइए कुछ बिंदुओं को स्पर्श करें।
जब हम एक धनात्मक संख्या के सामने ऋणात्मक डालते हैं, तो हम इस प्रकार प्रदर्शन करते हैं विपरीत मान लेने की क्रिया.
मान लीजिए कि संख्या 2 दी गई है, और आपको इसकी विपरीत संख्या ज्ञात करनी है। हम जानते हैं कि 2 का विपरीत -2 है। दूसरे शब्दों में, 2 के लिए विपरीत संख्या ज्ञात करने के लिए, इस संख्या के सामने ऋण डालना पर्याप्त है। किसी संख्या के सामने माइनस डालने को पहले से ही गणित में एक पूर्ण ऑपरेशन माना जाता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस ऑपरेशन को विपरीत मूल्य लेने का ऑपरेशन कहा जाता है।
व्यंजक -2 2 के मामले में, दो संक्रियाएँ होती हैं: विपरीत मान और घातांक लेने की संक्रिया। विपरीत मान लेने की तुलना में किसी शक्ति को बढ़ाना एक उच्च प्राथमिकता वाला ऑपरेशन है।
इसलिए, व्यंजक -2 2 की गणना दो चरणों में की जाती है। सबसे पहले, घातांक ऑपरेशन किया जाता है। इस मामले में, सकारात्मक संख्या 2 को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया था।
फिर विपरीत मूल्य लिया गया। यह विपरीत मान 4 के लिए पाया गया था। और 4 के लिए विपरीत मान −4 . है
−2 2 = −4
कोष्ठक में उच्चतम निष्पादन प्राथमिकता है। इसलिए, व्यंजक (−2) 2 की गणना के मामले में, पहले विपरीत मान लिया जाता है, और फिर ऋणात्मक संख्या −2 को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। परिणाम 4 का सकारात्मक उत्तर है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है।
उदाहरण 2. संख्या -2 को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या −2 से तीसरी घात तीन कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक (−2) के बराबर है
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
उदाहरण 3. संख्या -2 को चौथी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या −2 से चौथी घात चार कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक (−2) के बराबर है
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
यह देखना आसान है कि किसी ऋणात्मक संख्या को किसी घात तक बढ़ाने पर, सकारात्मक या नकारात्मक उत्तर प्राप्त किया जा सकता है। उत्तर का चिन्ह प्रारंभिक डिग्री के घातांक पर निर्भर करता है।
यदि घातांक सम है, तो उत्तर हाँ है। यदि घातांक विषम है, तो उत्तर ऋणात्मक है। आइए इसे संख्या −3 . के उदाहरण पर दिखाते हैं
पहले और तीसरे मामलों में, संकेतक था अजीबसंख्या, तो उत्तर बन गया नकारात्मक.
दूसरे और चौथे मामले में, संकेतक था यहाँ तक कीसंख्या, तो उत्तर बन गया सकारात्मक.
उदाहरण 7संख्या -5 को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या -5 से तीसरी शक्ति तीन कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक -5 के बराबर है। घातांक 3 एक विषम संख्या है, इसलिए हम पहले से कह सकते हैं कि उत्तर नकारात्मक होगा:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
उदाहरण 8संख्या -4 को चौथी शक्ति तक बढ़ाएँ।
संख्या -4 से चौथी शक्ति चार कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक -4 के बराबर है। इस मामले में, संकेतक 4 सम है, इसलिए हम पहले से कह सकते हैं कि उत्तर सकारात्मक होगा:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
अभिव्यक्ति मान ढूँढना
जब भावों के ऐसे मान ज्ञात करते हैं जिनमें कोष्ठक नहीं होते हैं, तो पहले घातांक किया जाएगा, फिर उनके क्रम में गुणा और भाग किया जाएगा, और फिर उनके क्रम में जोड़ और घटाव किया जाएगा।
उदाहरण 1. व्यंजक 2 + 5 2 . का मान ज्ञात कीजिए
सबसे पहले, घातांक प्रदर्शन किया जाता है। इस मामले में, संख्या 5 को दूसरी शक्ति तक बढ़ाया जाता है - यह 25 हो जाता है। फिर यह परिणाम संख्या 2 में जोड़ा जाता है
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
उदाहरण 10. व्यंजक −6 2 × (−12) का मान ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, घातांक प्रदर्शन किया जाता है। ध्यान दें कि संख्या -6 कोष्ठक में नहीं है, इसलिए संख्या 6 को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाएगा, फिर परिणाम के सामने एक ऋण रखा जाएगा:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
हम −36 को (−12) से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं।
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
उदाहरण 11. व्यंजक −3 × 2 2 . का मान ज्ञात कीजिए
सबसे पहले, घातांक प्रदर्शन किया जाता है। फिर परिणाम को −3 . संख्या से गुणा किया जाता है
-3 × 2 2 = -3 × 4 = -12
यदि व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो पहले आपको इन कोष्ठकों में संचालन करने की आवश्यकता है, फिर घातांक, फिर गुणा और भाग, और फिर जोड़ और घटाव।
उदाहरण 12. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
आइए पहले कोष्ठक करते हैं। कोष्ठक के अंदर, हम पहले से सीखे गए नियमों को लागू करते हैं, अर्थात्, पहले संख्या 3 को दूसरी शक्ति तक बढ़ाते हैं, फिर गुणा 1 × 3 करते हैं, फिर संख्या 3 को घात में बढ़ाने और 1 × 3 गुणा करने के परिणाम जोड़ते हैं। फिर घटाव और जोड़ उस क्रम में किया जाता है जिसमें वे दिखाई देते हैं। आइए मूल अभिव्यक्ति पर कार्रवाई करने के निम्नलिखित क्रम को व्यवस्थित करें:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
उदाहरण 13. व्यंजक 2 × 5 3 + 5 × 2 3 . का मान ज्ञात कीजिए
सबसे पहले, हम संख्याओं को एक घात में बढ़ाते हैं, फिर हम गुणा करते हैं और परिणाम जोड़ते हैं:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
शक्तियों की पहचान परिवर्तन
शक्तियों पर विभिन्न समान परिवर्तन किए जा सकते हैं, जिससे उन्हें सरल बनाया जा सकता है।
मान लीजिए कि व्यंजक (2 3) 2 की गणना करना आवश्यक था। इस उदाहरण में, दो से तीसरी शक्ति को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ा दिया जाता है।
(2 3) 2 दो शक्तियों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 2 3 . के बराबर है
इसके अलावा, इनमें से प्रत्येक शक्ति तीन कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक 2 . के बराबर है
हमें गुणनफल 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 मिला, जो कि 64 के बराबर है। तो व्यंजक का मान (2 3) 2 या 64 के बराबर
इस उदाहरण को बहुत सरल बनाया जा सकता है। इसके लिए व्यंजक (2 3) 2 के संकेतकों को गुणा किया जा सकता है और इस गुणनफल को आधार 2 . पर लिखा जा सकता है
2 6 मिला। दो से छठी शक्ति छह कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक 2 के बराबर है। यह उत्पाद 64 . के बराबर है
यह गुण काम करता है क्योंकि 2 3 2 × 2 × 2 का गुणनफल है, जिसे बदले में दो बार दोहराया जाता है। फिर यह पता चलता है कि आधार 2 को छह बार दोहराया जाता है। यहाँ से हम लिख सकते हैं कि 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 . है
सामान्य तौर पर, किसी भी कारण से एसंकेतकों के साथ एमऔर एन, निम्नलिखित समानता रखती है:
(एक)एम = एक एन × एम
इस समान परिवर्तन को कहा जाता है घातांक. इसे इस प्रकार पढ़ा जा सकता है: "जब एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाया जाता है, तो आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा हो जाते हैं" .
संकेतकों को गुणा करने के बाद, आपको एक और डिग्री मिलती है, जिसका मूल्य पाया जा सकता है।
उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (3 2) 2
इस उदाहरण में, आधार 3 है, और संख्याएँ 2 और 2 घातांक हैं। आइए घातांक के नियम का उपयोग करें। हम आधार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतकों को गुणा करते हैं:
3 4 मिला। और 3 से चौथी घात का अंक 81 . है
आइए बाकी परिवर्तनों को देखें।
शक्ति गुणन
डिग्री को गुणा करने के लिए, आपको प्रत्येक डिग्री की अलग से गणना करने और परिणामों को गुणा करने की आवश्यकता है।
उदाहरण के लिए, आइए 2 2 को 3 3 से गुणा करें।
2 2 संख्या 4 है और 3 3 संख्या 27 है। हम संख्या 4 और 27 को गुणा करते हैं, हमें 108 . मिलता है
2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108
इस उदाहरण में, शक्तियों के आधार भिन्न थे। यदि आधार समान हैं, तो एक आधार लिखा जा सकता है, और एक संकेतक के रूप में, प्रारंभिक डिग्री के संकेतकों का योग लिखें।
उदाहरण के लिए, 2 2 को 2 3 . से गुणा करें
इस उदाहरण में, घातांकों का आधार समान होता है। इस मामले में, आप एक आधार 2 लिख सकते हैं और संकेतक के रूप में घातांक 2 2 और 2 3 का योग लिख सकते हैं। दूसरे शब्दों में, आधार को अपरिवर्तित छोड़ दें, और मूल डिग्री के घातांक जोड़ें। यह इस तरह दिखेगा:
2 5 मिला। संख्या 2 से पाँचवीं घात 32 . है
यह गुण काम करता है क्योंकि 2 2 2 × 2 का गुणनफल है और 2 3 2 × 2 × 2 का गुणनफल है। फिर पांच समान कारकों का उत्पाद प्राप्त होता है, जिनमें से प्रत्येक 2 के बराबर होता है। इस उत्पाद को 2 5 . के रूप में दर्शाया जा सकता है
सामान्य तौर पर, किसी के लिए एऔर संकेतक एमऔर एननिम्नलिखित समानता रखती है:
इस समान परिवर्तन को कहा जाता है डिग्री की मुख्य संपत्ति. इसे इस प्रकार पढ़ा जा सकता है: पीसमान आधार से घातों को गुणा करने पर, आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक जोड़े जाते हैं। .
ध्यान दें कि यह परिवर्तन किसी भी डिग्री पर लागू किया जा सकता है। मुख्य बात यह है कि आधार समान है।
उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 2 1 × 2 2 × 2 3 का मान ज्ञात करें। फाउंडेशन 2
कुछ समस्याओं में, अंतिम डिग्री की गणना किए बिना संबंधित परिवर्तन करने के लिए पर्याप्त हो सकता है। यह निश्चित रूप से बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि बड़ी शक्तियों की गणना करना इतना आसान नहीं है।
उदाहरण 1. घात के रूप में व्यंजक 5 8 × 25 . व्यक्त करें
इस समस्या में, आपको इसे बनाने की आवश्यकता है ताकि अभिव्यक्ति 5 8 × 25 के बजाय, एक डिग्री प्राप्त हो।
संख्या 25 को 5 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है। तब हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:
इस अभिव्यक्ति में, आप डिग्री की मुख्य संपत्ति को लागू कर सकते हैं - आधार 5 को अपरिवर्तित छोड़ दें, और संकेतक 8 और 2 जोड़ें:
आइए समाधान को संक्षेप में लिखें:
उदाहरण 2. घात के रूप में व्यंजक 2 9 × 32 . व्यक्त करें
संख्या 32 को 2 5 के रूप में दर्शाया जा सकता है। तब हमें व्यंजक 2 9 × 2 5 प्राप्त होता है। इसके बाद, आप डिग्री की आधार संपत्ति को लागू कर सकते हैं - आधार 2 को अपरिवर्तित छोड़ दें, और संकेतक 9 और 5 जोड़ें। इसका परिणाम निम्नलिखित समाधान में होगा:
उदाहरण 3. मूल शक्ति गुण का उपयोग करके 3 × 3 उत्पाद की गणना करें।
हर कोई इस बात से अच्छी तरह वाकिफ है कि तीन गुणा तीन नौ के बराबर है, लेकिन कार्य को हल करने के दौरान डिग्री की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। यह कैसे करना है?
हमें याद है कि यदि कोई संख्या बिना संकेतक के दी गई है, तो संकेतक को एक के बराबर माना जाना चाहिए। तो गुणनखंड 3 और 3 को 3 1 और 3 1 . के रूप में लिखा जा सकता है
3 1 × 3 1
अब हम डिग्री के मुख्य गुण का उपयोग करते हैं। हम आधार 3 को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतक 1 और 1 जोड़ते हैं:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
उदाहरण 4. मूल शक्ति गुण का उपयोग करके उत्पाद 2 × 2 × 3 2 × 3 3 की गणना करें।
हम गुणनफल 2 × 2 को 2 1 × 2 1 से, फिर 2 1 + 1 से और फिर 2 2 से प्रतिस्थापित करते हैं। 3 2 × 3 3 के गुणनफल को 3 2 + 3 से और फिर 3 5 . से प्रतिस्थापित किया जाता है
उदाहरण 5. गुणन करें एक्स × एक्स
संकेतकों के साथ ये दो समान वर्णानुक्रमिक कारक हैं। स्पष्टता के लिए, हम इन संकेतकों को लिखते हैं। आगे का आधार एक्सइसे अपरिवर्तित छोड़ दें, और संकेतक जोड़ें:
ब्लैकबोर्ड पर होने के कारण, किसी को भी उसी आधार के साथ शक्तियों के गुणन को इतने विस्तार से नहीं लिखना चाहिए जैसा कि यहां किया गया है। ऐसी गणना मन में ही करनी चाहिए। एक विस्तृत प्रविष्टि सबसे अधिक संभावना शिक्षक को परेशान करेगी और वह इसके लिए अंक कम कर देगा। यहां, एक विस्तृत रिकॉर्ड दिया गया है ताकि सामग्री को समझने के लिए यथासंभव सुलभ हो।
इस उदाहरण का हल इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:
उदाहरण 6. गुणन करें एक्स 2 × x
दूसरे कारक का सूचकांक एक के बराबर है। आइए इसे स्पष्टता के लिए लिखें। अगला, हम आधार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतक जोड़ते हैं:
उदाहरण 7. गुणन करें आप 3 आप 2 आप
तीसरे कारक का सूचकांक एक के बराबर है। आइए इसे स्पष्टता के लिए लिखें। अगला, हम आधार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतक जोड़ते हैं:
उदाहरण 8. गुणन करें आ 3 ए 2 ए 5
पहले कारक का सूचकांक एक के बराबर है। आइए इसे स्पष्टता के लिए लिखें। अगला, हम आधार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतक जोड़ते हैं:
उदाहरण 9. 3 8 की घात को समान आधार वाली घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।
इस समस्या में, आपको शक्तियों का एक उत्पाद बनाने की आवश्यकता है, जिसके आधार 3 के बराबर होंगे, और घातांकों का योग 8 के बराबर होगा। आप किसी भी संकेतक का उपयोग कर सकते हैं। हम घात 3 8 को घात 3 5 और 3 3 . के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं
इस उदाहरण में, हमने फिर से डिग्री की मुख्य संपत्ति पर भरोसा किया। आखिरकार, व्यंजक 3 5 × 3 3 को 3 5 + 3 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ से 3 8 ।
बेशक, अन्य शक्तियों के उत्पाद के रूप में शक्ति 3 8 का प्रतिनिधित्व करना संभव था। उदाहरण के लिए, 3 7 × 3 1 के रूप में, क्योंकि यह उत्पाद भी 3 8 . है
एक ही आधार के साथ शक्तियों के उत्पाद के रूप में एक डिग्री का प्रतिनिधित्व करना ज्यादातर रचनात्मक कार्य है। तो प्रयोग करने से डरो मत।
उदाहरण 10. डिग्री जमा करें एक्सआधारों के साथ शक्तियों के विभिन्न उत्पादों के रूप में 12 एक्स .
आइए डिग्री की मुख्य संपत्ति का उपयोग करें। कल्पना करना एक्सआधार के साथ उत्पादों के रूप में 12 एक्स, और घातांकों का योग 12 . के बराबर है
संकेतकों के योग के साथ निर्माण स्पष्टता के लिए दर्ज किए गए थे। ज्यादातर समय उन्हें छोड़ा जा सकता है। तब हमें एक कॉम्पैक्ट समाधान मिलता है:
किसी उत्पाद का घातांक
किसी उत्पाद को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, आपको इस उत्पाद के प्रत्येक कारक को निर्दिष्ट शक्ति तक बढ़ाने और परिणामों को गुणा करने की आवश्यकता है।
उदाहरण के लिए, आइए उत्पाद 2 × 3 को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएं। हम इस उत्पाद को कोष्ठक में लेते हैं और 2 को एक संकेतक के रूप में इंगित करते हैं
अब 2 × 3 उत्पाद के प्रत्येक कारक को दूसरी शक्ति तक बढ़ाते हैं और परिणामों को गुणा करते हैं:
इस नियम के संचालन का सिद्धांत डिग्री की परिभाषा पर आधारित है, जो शुरुआत में ही दी गई थी।
2 × 3 के गुणनफल को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने का अर्थ है इस उत्पाद को दो बार दोहराना। और यदि आप इसे दो बार दोहराते हैं, तो आप निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं:
2×3×2×3
कारकों के स्थानों के क्रमपरिवर्तन से, उत्पाद नहीं बदलता है। यह आपको समान गुणकों को समूहबद्ध करने की अनुमति देता है:
2×2×3×3
दोहराए जाने वाले गुणकों को छोटी प्रविष्टियों से बदला जा सकता है - घातांक के साथ आधार। 2 × 2 उत्पाद को 2 2 से बदला जा सकता है, और 3 × 3 उत्पाद को 3 2 से बदला जा सकता है। तब व्यंजक 2 × 2 × 3 × 3 व्यंजक 2 2 × 3 2 में बदल जाता है।
रहने दो अबमूल काम। इस उत्पाद को शक्ति तक बढ़ाने के लिए एन, आपको कारकों को अलग से बढ़ाने की आवश्यकता है एऔर बीनिर्दिष्ट डिग्री के लिए एन
यह संपत्ति कई कारकों के लिए मान्य है। निम्नलिखित भाव भी मान्य हैं:
उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (2 × 3 × 4) 2
इस उदाहरण में, आपको उत्पाद 2 × 3 × 4 को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको इस उत्पाद के प्रत्येक कारक को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने और परिणामों को गुणा करने की आवश्यकता है:
उदाहरण 3. उत्पाद को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएँ ए × बी × सी
हम इस उत्पाद को कोष्ठक में संलग्न करते हैं, और संख्या 3 को एक संकेतक के रूप में इंगित करते हैं
उदाहरण 4. उत्पाद को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं 3 xyz
हम इस उत्पाद को कोष्ठक में संलग्न करते हैं, और संकेतक के रूप में 3 इंगित करते हैं
(3xyz) 3
आइए इस उत्पाद के प्रत्येक कारक को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं:
(3xyz) 3 = 3 3 एक्स 3 आप 3 जेड 3
संख्या 3 से तीसरी शक्ति 27 की संख्या के बराबर है। हम बाकी को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
(3xyz) 3 = 3 3 एक्स 3 आप 3 जेड 3 = 27एक्स 3 आप 3 जेड 3
कुछ उदाहरणों में, समान घातांक वाले घातों के गुणन को समान घातांक वाले आधारों के गुणनफल से बदला जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 5 2 × 3 2 के मान की गणना करें। प्रत्येक संख्या को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएँ और परिणामों को गुणा करें:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
लेकिन आप प्रत्येक डिग्री की अलग से गणना नहीं कर सकते। इसके बजाय, शक्तियों के इस उत्पाद को एक घातांक (5 × 3) 2 वाले उत्पाद से बदला जा सकता है। अगला, कोष्ठक में मान की गणना करें और परिणाम को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएँ:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
इस मामले में, उत्पाद के घातांक के नियम का फिर से उपयोग किया गया था। आखिर अगर (एक एक्स बी)एन = एक एन × बी एन , फिर एक एन × बी एन = (ए × बी) एन. अर्थात्, समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष उलट जाते हैं।
घातांक
हमने इस परिवर्तन को एक उदाहरण के रूप में माना जब हमने डिग्री के समान परिवर्तनों के सार को समझने की कोशिश की।
घात को घात में बढ़ाते समय, आधार को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है, और घातांक को गुणा किया जाता है:
(एक)एम = एक एन × एम
उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (2 3) 2 एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ा रही है - दो से तीसरी शक्ति को दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया है। इस व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, आधार को अपरिवर्तित छोड़ा जा सकता है, और घातांकों को गुणा किया जा सकता है:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
यह नियम पिछले नियमों पर आधारित है: उत्पाद का घातांक और डिग्री की मूल संपत्ति।
आइए व्यंजक (2 3) 2 पर लौटते हैं। कोष्ठक 2 3 में व्यंजक तीन समान कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक 2 के बराबर है। फिर व्यंजक (2 3) 2 में कोष्ठक के अंदर की शक्ति को गुणनफल 2 × 2 × 2 से बदला जा सकता है।
(2×2×2) 2
और यह उस उत्पाद का घातांक है जिसका हमने पहले अध्ययन किया था। याद रखें कि किसी उत्पाद को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, आपको इस उत्पाद के प्रत्येक कारक को निर्दिष्ट शक्ति तक बढ़ाने और परिणामों को गुणा करने की आवश्यकता है:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
अब हम डिग्री की मुख्य संपत्ति के साथ काम कर रहे हैं। हम आधार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतक जोड़ते हैं:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
पहले की तरह, हमें 2 6 मिले। इस डिग्री का मान 64 . है
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
एक उत्पाद जिसके कारक भी शक्तियाँ हैं, उसे भी एक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (2 2 × 3 2) 3 का मान ज्ञात करें। यहां, प्रत्येक गुणक के संकेतकों को कुल संकेतक 3 से गुणा किया जाना चाहिए। इसके बाद, प्रत्येक डिग्री का मान ज्ञात करें और उत्पाद की गणना करें:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
लगभग यही बात किसी उत्पाद की शक्ति को बढ़ाते समय होती है। हमने कहा कि किसी उत्पाद को किसी शक्ति तक बढ़ाते समय, इस उत्पाद के प्रत्येक कारक को संकेतित शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
उदाहरण के लिए, 2 × 4 के गुणनफल को तीसरी घात तक बढ़ाने के लिए, आपको निम्नलिखित व्यंजक लिखना होगा:
लेकिन पहले यह कहा जाता था कि अगर कोई संख्या बिना संकेतक के दी जाती है, तो संकेतक को एक के बराबर माना जाना चाहिए। यह पता चला है कि उत्पाद 2 × 4 के कारकों में शुरू में घातांक 1 के बराबर होते हैं। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2 1 × 4 1 को तीसरी शक्ति तक बढ़ाया गया था। और यह एक शक्ति के लिए एक डिग्री की वृद्धि है।
आइए घातांक के नियम का उपयोग करके समाधान को फिर से लिखें। हमें वही परिणाम मिलना चाहिए:
उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (3 3) 2
हम आधार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और संकेतकों को गुणा करते हैं:
3 6 मिला। संख्या 3 से छठी घात 729 . की संख्या है
उदाहरण 3xy)³
उदाहरण 4. व्यंजक में घातांक निष्पादित करें ( एबीसी)⁵
आइए उत्पाद के प्रत्येक कारक को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाएं:
उदाहरण 5कुल्हाड़ी) 3
आइए उत्पाद के प्रत्येक कारक को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं:
चूंकि ऋणात्मक संख्या -2 को तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया गया था, इसलिए इसे कोष्ठक में लिया गया था।
उदाहरण 6. अभिव्यक्ति में घातांक निष्पादित करें (10 xy) 2
उदाहरण 7. व्यंजक में घातांक निष्पादित करें (−5 एक्स) 3
उदाहरण 8. व्यंजक में घातांक निष्पादित करें (−3 आप) 4
उदाहरण 9. व्यंजक में घातांक निष्पादित करें (−2 abx)⁴
उदाहरण 10. व्यंजक को सरल कीजिए एक्स 5×( एक्स 2) 3
डिग्री एक्स 5 अभी के लिए अपरिवर्तित रहेगा, और व्यंजक में ( एक्स 2) 3 घातांक को घातांक पर क्रियान्वित करें:
एक्स 5 × (एक्स 2) 3 = एक्स 5 × x 2×3 = एक्स 5 × x 6
अब गुणन करते हैं एक्स 5 × x 6. ऐसा करने के लिए, हम डिग्री की मुख्य संपत्ति का उपयोग करते हैं - आधार एक्सइसे अपरिवर्तित छोड़ दें, और संकेतक जोड़ें:
एक्स 5 × (एक्स 2) 3 = एक्स 5 × x 2×3 = एक्स 5 × x 6 = एक्स 5 + 6 = एक्स 11
उदाहरण 9. घात के मूल गुण का प्रयोग करके व्यंजक 4 3 × 2 2 का मान ज्ञात कीजिए।
डिग्री की मुख्य संपत्ति का उपयोग किया जा सकता है यदि प्रारंभिक डिग्री के आधार समान हैं। इस उदाहरण में, आधार भिन्न हैं, इसलिए, आरंभ करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता है, अर्थात्, डिग्री के आधारों को समान बनाने के लिए।
आइए 4 3 की शक्ति को करीब से देखें। इस डिग्री का आधार संख्या 4 है, जिसे 2 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है। तब मूल व्यंजक (2 2) 3 × 2 2 का रूप लेगा। व्यंजक (2 2) 3 में किसी घात का घातांक करने पर हमें 2 6 प्राप्त होता है। तब मूल व्यंजक 2 6 × 2 2 का रूप लेगा, जिसकी गणना डिग्री के मुख्य गुण का उपयोग करके की जा सकती है।
आइए इस उदाहरण का हल लिखें:
डिग्री का विभाजन
शक्ति विभाजन करने के लिए, आपको प्रत्येक शक्ति का मान ज्ञात करना होगा, फिर सामान्य संख्याओं का विभाजन करना होगा।
उदाहरण के लिए, आइए 4 3 को 2 2 से भाग दें।
4 3 की गणना करें, हमें 64 मिलता है। हम 2 2 की गणना करते हैं, हमें 4 मिलता है। अब हम 64 को 4 से विभाजित करते हैं, हमें 16 . मिलता है
यदि, आधार की डिग्री को विभाजित करते समय, वे समान हो जाते हैं, तो आधार को अपरिवर्तित छोड़ा जा सकता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 2 3: 2 2 . का मान ज्ञात करें
हम आधार 2 को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाते हैं:
अतः व्यंजक 2 3: 2 2 का मान 2 है।
यह गुण समान आधारों वाली घातों के गुणन पर आधारित है, या, जैसा कि हम कहते थे, डिग्री की मुख्य संपत्ति पर।
आइए पिछले उदाहरण 2 3: 2 2 पर लौटते हैं। यहाँ भाज्य 2 3 है और भाजक 2 2 है।
एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने का मतलब है कि एक संख्या को खोजने के लिए, जब एक भाजक द्वारा गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में लाभांश मिलेगा।
हमारे मामले में, 2 3 को 2 2 से भाग देने का अर्थ है एक घात ज्ञात करना, जिसे भाजक 2 2 से गुणा करने पर 2 3 प्राप्त होगा। 2 3 प्राप्त करने के लिए किस घात को 2 2 से गुणा किया जा सकता है? जाहिर है, केवल डिग्री 2 1 . हमारे पास डिग्री की मुख्य संपत्ति से:
आप व्यंजक 2 3: 2 2 का सीधे मूल्यांकन करके यह सत्यापित कर सकते हैं कि व्यंजक 2 3: 2 2 का मान 2 1 है। ऐसा करने के लिए, पहले हम डिग्री 2 3 का मान पाते हैं, हमें 8 मिलता है। तब हम घात 2 2 का मान ज्ञात करते हैं, हमें 4 प्राप्त होता है। 8 को 4 से भाग देने पर हमें 2 या 2 1 प्राप्त होता है, क्योंकि 2 = 2 1
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
इस प्रकार, एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, निम्नलिखित समानता होती है:
ऐसा भी हो सकता है कि न केवल आधार, बल्कि संकेतक भी समान हों। इस मामले में, उत्तर एक होगा।
उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 2 2: 2 2 का मान ज्ञात करें। आइए प्रत्येक डिग्री के मूल्य की गणना करें और परिणामी संख्याओं का विभाजन करें:
उदाहरण 2 2: 2 2 को हल करते समय, आप समान आधारों से अंशों को विभाजित करने का नियम भी लागू कर सकते हैं। परिणाम शून्य शक्ति के लिए एक संख्या है, क्योंकि 2 2 और 2 2 के घातांक के बीच का अंतर शून्य है:
संख्या 2 से शून्य डिग्री एक के बराबर क्यों है, हमने ऊपर जाना। यदि आप सामान्य तरीके से 2 2: 2 2 की गणना करते हैं, तो डिग्री को विभाजित करने के नियम का उपयोग किए बिना, आपको एक मिलता है।
उदाहरण 2. व्यंजक 4 12: 4 10 . का मान ज्ञात कीजिए
हम 4 अपरिवर्तित छोड़ते हैं, और भाजक के घातांक को भाजक के घातांक से घटाते हैं:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
उदाहरण 3. निजी जमा करें एक्स 3: एक्सआधार के साथ डिग्री के रूप में एक्स
आइए शक्तियों के विभाजन के नियम का उपयोग करें। आधार एक्सइसे अपरिवर्तित छोड़ दें, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाएं। भाजक घातांक एक के बराबर होता है। स्पष्टता के लिए, आइए इसे लिखें:
उदाहरण 4. निजी जमा करें एक्स 3: एक्स 2 एक आधार के साथ एक शक्ति के रूप में एक्स
आइए शक्तियों के विभाजन के नियम का उपयोग करें। आधार एक्स
अंशों के विभाजन को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। तो, पिछला उदाहरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
एक भिन्न के अंश और हर को विस्तारित रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात् समान कारकों के उत्पादों के रूप में। डिग्री एक्स 3 को के रूप में लिखा जा सकता है एक्स × एक्स × एक्स, और डिग्री एक्स 2 के रूप में एक्स × एक्स. फिर निर्माण एक्स 3 - 2 को छोड़ दिया जा सकता है और भिन्न में कमी का उपयोग किया जा सकता है। अंश और हर में, दो कारकों को कम करना संभव होगा एक्स. परिणाम एक गुणक होगा एक्स
या इससे भी छोटा:
साथ ही, घातों वाले अंशों को शीघ्रता से कम करने में सक्षम होना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक अंश को घटाया जा सकता है एक्स 2. भिन्न को कम करने के लिए एक्स 2 आपको भिन्न के अंश और हर को विभाजित करने की आवश्यकता है एक्स 2
डिग्री के विभाजन को विस्तार से वर्णित नहीं किया जा सकता है। उपरोक्त संक्षेप को छोटा बनाया जा सकता है:
या इससे भी छोटा:
उदाहरण 5. निष्पादित विभाजन एक्स 12 : एक्स 3
आइए शक्तियों के विभाजन के नियम का उपयोग करें। आधार एक्सइसे अपरिवर्तित छोड़ दें, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाएं:
हम भिन्न अपचयन का उपयोग करके हल लिखते हैं। शक्तियों का विभाजन एक्स 12 : एक्स 3 के रूप में लिखा जाएगा। इसके बाद, हम इस भिन्न को कम करते हैं एक्स 3 .
उदाहरण 6. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
अंश में, हम समान आधारों से घातों का गुणन करते हैं:
अब हम समान आधारों से घातों को विभाजित करने का नियम लागू करते हैं। हम आधार 7 को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाते हैं:
हम 7 2 . की शक्ति की गणना करके उदाहरण को पूरा करते हैं
उदाहरण 7. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
आइए अंश में घातांक करें। आपको इसे व्यंजक (2 3) 4 . के साथ करने की आवश्यकता है
अब अंश में समान आधारों से घातों का गुणन करते हैं।
