पाठ्येतर पाठ - संख्या मॉड्यूल। किसी संख्या का निरपेक्ष मान. संपूर्ण पाठ - ज्ञान हाइपरमार्केट एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है

पाठ मकसद

स्कूली बच्चों को किसी संख्या के मापांक जैसी गणितीय अवधारणा से परिचित कराना;
स्कूली बच्चों को संख्याओं के मॉड्यूल खोजने का कौशल सिखाना;
विभिन्न कार्यों को पूरा करके सीखी गई सामग्री को सुदृढ़ करें;

कार्य

संख्याओं के मापांक के बारे में बच्चों के ज्ञान को सुदृढ़ करना;
परीक्षण कार्यों को हल करके, जांचें कि छात्रों ने अध्ययन की गई सामग्री में कैसे महारत हासिल की है;
गणित के पाठों में रुचि जगाना जारी रखें;
स्कूली बच्चों में तार्किक सोच, जिज्ञासा और दृढ़ता पैदा करना।

शिक्षण योजना

1. किसी संख्या के मापांक की सामान्य अवधारणाएँ और परिभाषा।
2. मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ.
3. किसी संख्या का मापांक और उसके गुण।
4. ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करना जिनमें किसी संख्या का मापांक होता है।
5. "किसी संख्या का मापांक" शब्द के बारे में ऐतिहासिक जानकारी।
6. कवर किए गए विषय के ज्ञान को समेकित करने का कार्य।
7. गृहकार्य.

किसी संख्या के मापांक के बारे में सामान्य अवधारणाएँ

किसी संख्या के मापांक को आमतौर पर संख्या ही कहा जाता है यदि इसका कोई ऋणात्मक मान नहीं है, या वही संख्या ऋणात्मक है, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ है।

अर्थात्, एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मापांक ही वह संख्या है:

और, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या x का मापांक विपरीत संख्या है:

रिकॉर्डिंग में यह इस तरह दिखेगा:

अधिक सुलभ समझ के लिए, आइए एक उदाहरण दें। तो, उदाहरण के लिए, संख्या 3 का मापांक 3 है, और संख्या -3 का भी मापांक 3 है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी संख्या के मापांक का अर्थ एक निरपेक्ष मान होता है, अर्थात उसका निरपेक्ष मान, लेकिन उसके चिह्न को ध्यान में रखे बिना। इसे और भी सरल शब्दों में कहें तो नंबर से चिन्ह हटाना जरूरी है।

किसी संख्या का मॉड्यूल निर्दिष्ट किया जा सकता है और इस तरह दिख सकता है: |3|, |x|, |a| वगैरह।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 3 का मापांक |3| दर्शाया गया है।

साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि किसी संख्या का मापांक कभी भी ऋणात्मक नहीं होता है: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, आदि।

मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ

किसी संख्या का मापांक वह दूरी है जो मूल बिंदु से बिंदु तक इकाई खंडों में मापी जाती है। यह परिभाषा ज्यामितीय दृष्टिकोण से मॉड्यूल को प्रकट करती है।

आइए एक समन्वय रेखा लें और उस पर दो बिंदु निर्दिष्ट करें। मान लीजिए कि ये बिंदु -4 और 2 जैसी संख्याओं के अनुरूप हैं।

अब आइए इस आंकड़े पर ध्यान दें. हम देखते हैं कि निर्देशांक रेखा पर दर्शाया गया बिंदु A, संख्या -4 से मेल खाता है, और यदि आप ध्यान से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि यह बिंदु संदर्भ बिंदु 0 से 4 इकाई खंडों की दूरी पर स्थित है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि खंड OA की लंबाई चार इकाइयों के बराबर है। इस स्थिति में, खंड OA की लंबाई, यानी संख्या 4, संख्या -4 का मापांक होगी।

इस मामले में, किसी संख्या के मॉड्यूल को इस प्रकार दर्शाया और लिखा जाता है: |−4| =4.

आइए अब निर्देशांक रेखा पर बिंदु B लें और निर्दिष्ट करें।

यह बिंदु B संख्या +2 के अनुरूप होगा, और, जैसा कि हम देखते हैं, यह मूल से दो इकाई खंडों की दूरी पर स्थित है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि खंड OB की लंबाई दो इकाइयों के बराबर है। इस स्थिति में, संख्या 2 संख्या +2 का मापांक होगी।

रिकॉर्डिंग में यह इस तरह दिखेगा: |+2| = 2 या |2| = 2.

आइए अब संक्षेप में बताएं। यदि हम कोई अज्ञात संख्या a लेते हैं और इसे निर्देशांक रेखा पर बिंदु A के रूप में निर्दिष्ट करते हैं, तो इस मामले में बिंदु A से मूल तक की दूरी, यानी खंड OA की लंबाई, संख्या "a" का मापांक है। ”।

लिखित रूप में यह इस तरह दिखेगा: |ए| = ओए.

किसी संख्या का मापांक और उसके गुण

आइए अब मॉड्यूल के गुणों को उजागर करने का प्रयास करें, सभी संभावित मामलों पर विचार करें और उन्हें शाब्दिक अभिव्यक्तियों का उपयोग करके लिखें:

सबसे पहले, किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि एक सकारात्मक संख्या का मापांक स्वयं उस संख्या के बराबर है: |ए| = ए, यदि ए > 0;

दूसरे, जिन मॉड्यूल में विपरीत संख्याएँ होती हैं वे समान होते हैं: |ए| = |–ए|. अर्थात्, यह संपत्ति हमें बताती है कि विपरीत संख्याओं में हमेशा समान मॉड्यूल होते हैं, जैसे एक समन्वय रेखा पर, हालांकि उनके पास विपरीत संख्याएं होती हैं, वे संदर्भ बिंदु से समान दूरी पर होती हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इन विपरीत संख्याओं के मापांक बराबर होते हैं।

तीसरा, यदि यह संख्या शून्य है तो शून्य का मापांक शून्य के बराबर है: |0| = 0 यदि a = 0। यहां हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि शून्य का मापांक परिभाषा के अनुसार शून्य है, क्योंकि यह निर्देशांक रेखा की उत्पत्ति से मेल खाता है।

मापांक का चौथा गुण यह है कि दो संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है। आइए अब बारीकी से देखें कि इसका क्या मतलब है। यदि हम परिभाषा का पालन करते हैं, तो आप और मैं जानते हैं कि संख्याओं a और b के गुणनफल का मापांक a b के बराबर होगा, या −(a b), यदि a b ≥ 0, या - (a b), यदि a b से बड़ा है 0. बी रिकॉर्डिंग यह इस तरह दिखेगी: |ए बी| = |ए| |बी|.

पांचवां गुण यह है कि संख्याओं के भागफल का मापांक इन संख्याओं के मापांक के अनुपात के बराबर होता है: |a: b| = |ए| : |बी|.

और संख्या मॉड्यूल के निम्नलिखित गुण:

किसी संख्या के मापांक को शामिल करने वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करना

संख्या मापांक वाली समस्याओं को हल करना शुरू करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि ऐसी समस्या को हल करने के लिए, उन गुणों के ज्ञान का उपयोग करके मापांक के संकेत को प्रकट करना आवश्यक है जिनसे यह समस्या मेल खाती है।

अभ्यास 1

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि मॉड्यूल चिह्न के नीचे एक अभिव्यक्ति है जो एक चर पर निर्भर करती है, तो मॉड्यूल को परिभाषा के अनुसार विस्तारित किया जाना चाहिए:

बेशक, समस्याओं को हल करते समय, ऐसे मामले होते हैं जब मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है। यदि, उदाहरण के लिए, हम लेते हैं

, यहां हम देखते हैं कि मापांक चिह्न के तहत ऐसी अभिव्यक्ति x और y के किसी भी मान के लिए गैर-नकारात्मक है।

या, उदाहरण के लिए, आइए लेते हैं

, हम देखते हैं कि यह मापांक अभिव्यक्ति z के किसी भी मान के लिए सकारात्मक नहीं है।

कार्य 2

आपके सामने एक निर्देशांक रेखा दिखाई गई है. इस रेखा पर उन संख्याओं को अंकित करना आवश्यक है जिनका मापांक 2 के बराबर होगा।

समाधान

सबसे पहले, हमें एक समन्वय रेखा खींचनी होगी। आप पहले से ही जानते हैं कि ऐसा करने के लिए सबसे पहले आपको सीधी रेखा पर मूल, दिशा और इकाई खंड का चयन करना होगा। इसके बाद, हमें मूल बिंदु से ऐसे बिंदु रखने की आवश्यकता है जो दो इकाई खंडों की दूरी के बराबर हों।

जैसा कि आप देख सकते हैं, निर्देशांक रेखा पर दो ऐसे बिंदु हैं, जिनमें से एक संख्या -2 से मेल खाता है, और दूसरा संख्या 2 से मेल खाता है।

संख्याओं के मापांक के बारे में ऐतिहासिक जानकारी

शब्द "मॉड्यूल" लैटिन नाम मॉड्यूलस से आया है, जिसका अर्थ है "माप"। यह शब्द अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर कोट्स द्वारा गढ़ा गया था। लेकिन मापांक चिह्न को जर्मन गणितज्ञ कार्ल वेइरस्ट्रैस की बदौलत पेश किया गया था। जब लिखा जाता है, तो एक मॉड्यूल को निम्नलिखित प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जाता है: | |.

सामग्री के ज्ञान को समेकित करने के लिए प्रश्न

आज के पाठ में, हम किसी संख्या के मापांक जैसी अवधारणा से परिचित हुए, और अब आइए देखें कि पूछे गए प्रश्नों का उत्तर देकर आपने इस विषय में कैसे महारत हासिल की है:

1. उस संख्या का क्या नाम है जो धनात्मक संख्या के विपरीत है?
2. उस संख्या का क्या नाम है जो ऋणात्मक संख्या के विपरीत है?
3. उस संख्या का नाम बताइए जो शून्य के विपरीत है। क्या ऐसी कोई संख्या मौजूद है?
4. उस संख्या का नाम बताइए जो किसी संख्या का मापांक नहीं हो सकती।
5. किसी संख्या के मापांक को परिभाषित करें।

गृहकार्य

1. आपके सामने संख्याएँ हैं जिन्हें आपको मॉड्यूल के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। यदि आप कार्य को सही ढंग से पूरा करते हैं, तो आपको उस व्यक्ति का नाम पता चल जाएगा जिसने गणित में "मॉड्यूल" शब्द को सबसे पहले पेश किया था।

2. एक निर्देशांक रेखा खींचिए और M (-5) और K (8) से मूल बिंदु तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

विषय > गणित > गणित छठी कक्षा

मित्रो, आज कोई नोक-झोंक या भावुकता नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं तुम्हें 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ युद्ध में भेजूंगा, कोई सवाल नहीं पूछा जाएगा।

हाँ, आपने सब कुछ सही ढंग से समझा: हम मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों पर गौर करेंगे जिनकी मदद से आप ऐसी लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। शेष 10% के बारे में क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, किसी भी तकनीक का विश्लेषण करने से पहले, मैं आपको दो तथ्य याद दिलाना चाहूँगा जिन्हें आपको पहले से ही जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी न समझ पाने का जोखिम उठाते हैं।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कैप्टन ओब्विअसनेस संकेत देता प्रतीत होता है कि मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए आपको दो बातें जानने की आवश्यकता है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है;
2. मॉड्यूल क्या है?

चलिए दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहां सब कुछ सरल है. इसकी दो परिभाषाएँ हैं: बीजगणितीय और ग्राफिकल। आरंभ करने के लिए - बीजगणितीय:

परिभाषा। किसी संख्या $x$ का मापांक या तो वह संख्या है, यदि वह गैर-ऋणात्मक है, या उसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \दाएं|=\बाएं\( \begin(संरेखित) और x,\ x\ge 0, \\ और -x,\ x \lt 0. \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सरल शब्दों में, मापांक एक "बिना ऋण के संख्या" है। और यह इस द्वंद्व में है (कुछ स्थानों पर आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी नहीं करना है, लेकिन अन्य में आपको किसी प्रकार का ऋण हटाना है) यहीं पर शुरुआती छात्रों के लिए पूरी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है. यह जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में ही इसकी ओर रुख करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए संख्या रेखा पर बिंदु $a$ अंकित है। फिर मॉड्यूल $\left| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप कोई चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ इस प्रकार प्राप्त होगा:

ग्राफ़िकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, मॉड्यूल की परिभाषा से इसकी मुख्य संपत्ति तुरंत निम्नानुसार होती है: किसी संख्या का मापांक सदैव एक गैर-ऋणात्मक मात्रा होता है. यह तथ्य आज हमारे पूरे आख्यान में एक लाल धागा बना रहेगा।

असमानताओं का समाधान. अंतराल विधि

अब आइए असमानताओं पर नजर डालें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन अब हमारा काम उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल विधि को भी कम करते हैं।

इस विषय पर मेरे पास दो बड़े पाठ हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं उनका अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
2. भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत व्यापक पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं होगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ें" आपको दीवार के खिलाफ खुद को मारने की अस्पष्ट इच्छा नहीं देता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. प्रपत्र की असमानताएं "मापांक फ़ंक्शन से कम है"

यह मॉड्यूल के साथ सबसे आम समस्याओं में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| f\दाएं| \ltg\]

फलन $f$ और $g$ कुछ भी हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7; \\ & \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0; \\ & \बाएं| ((x)^(2))-2\left| x \दाएं|-3 \दाएं| \lt 2. \\\end(संरेखित करें)\]

उन सभी को निम्नलिखित योजना के अनुसार शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में हल किया जा सकता है:

\[\बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g\quad \left(\राइटएरो \left\( \begin(संरेखित) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(संरेखित) \सही सही)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन बदले में हमें दोहरी असमानता मिलती है (या, जो एक ही बात है, दो असमानताओं की एक प्रणाली)। लेकिन यह परिवर्तन बिल्कुल सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मापांक के अंतर्गत संख्या सकारात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ भी, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं हो सकता? दुर्भाग्य से, यह संभव नहीं है. यह मॉड्यूल का संपूर्ण बिंदु है.

हालाँकि, दार्शनिकता के साथ पर्याप्त। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\]

समाधान। तो, हमारे सामने "मापांक कम है" के रूप में एक क्लासिक असमानता है - यहां तक ​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथम के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g; \\ & \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\दायां तीर -\बाएं(x+7 \दाएं) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक को खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि आपकी जल्दबाजी के कारण आप कोई आपत्तिजनक गलती कर देंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \begin(संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक सीमित कर दिया गया था। आइए हम समानांतर संख्या रेखाओं पर उनके समाधान नोट करें:

अनेकों का अंतर्विच्छेद

इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है. सबसे पहले, आइए दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल छोटा है" के रूप में असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम का उपयोग करके मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप इसे अपनी इच्छानुसार विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

आरंभ करने के लिए, हम बाईं ओर के डबल माइनस से छुटकारा पा लेंगे:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

आइए अब दोहरी असमानता में सभी कोष्ठक खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर आगे बढ़ें। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ और ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएं द्विघात हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जा सकती हैं (इसीलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो अभी तक मॉड्यूल न लेना बेहतर है)। आइए पहली असमानता के समीकरण पर आगे बढ़ें:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अपूर्ण द्विघात समीकरण है, जिसे प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है। अब व्यवस्था की दूसरी असमानता पर नजर डालते हैं। वहां आपको विएटा का प्रमेय लागू करना होगा:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(संरेखित करें)\]

हम परिणामी संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर अंकित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

फिर, चूँकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यह उत्तर है.

उत्तर: $x\in \left(-5;-2 \right)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बेहद स्पष्ट है:

1. अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| के रूप की एक असमानता प्राप्त होती है f\दाएं| \ltg$.
2. ऊपर वर्णित योजना के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। कुछ बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, जो कुछ बचा है वह इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को प्रतिच्छेद करना है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से बड़ा होता है। हालाँकि, कुछ गंभीर "किंतु" भी हैं। अब हम इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मापांक फलन से बड़ा है" के रूप में असमानताएँ

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gtg\]

पिछले वाले के समान? जान पड़ता है। और फिर भी ऐसी समस्याओं को बिल्कुल अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt g\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित) और f \gt g, \\ और f \lt -g \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं और सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, संक्षेप में, हम ऋण चिह्न के साथ मॉड्यूल का विस्तार करते हैं, और फिर असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं, जबकि मेरे पास चिह्न है।

इस मामले में, विकल्पों को एक वर्गाकार ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, अर्थात। हमारे सामने दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

कृपया फिर से ध्यान दें: यह एक प्रणाली नहीं है, बल्कि समग्रता है उत्तर में समुच्चय प्रतिच्छेद करने के बजाय संयुक्त हैं. यह पिछले बिंदु से एक मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्र यूनियनों और अंतर्विरोधों को लेकर पूरी तरह से भ्रमित होते हैं, तो आइए इस मुद्दे को हमेशा के लिए सुलझा लें:

• "∪" एक संघ चिह्न है. वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "यू" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और यह "यूनियन" का संक्षिप्त रूप है, अर्थात। "संघ"।
• "∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आई, बल्कि बस "∪" के प्रतिरूप के रूप में सामने आई।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों पर ध्यान दें (बस अब मुझ पर नशीली दवाओं की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप गंभीरता से इस पाठ का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक नशे की लत हैं):

समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन के बीच अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (समग्रता) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए यह किसी भी तरह से उनमें से प्रत्येक से कम नहीं है; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट और दूसरे दोनों में एक साथ हैं। इसलिए, सेटों का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। आइए अभ्यास की ओर आगे बढ़ें।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार आगे बढ़ते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\दायां तीर \बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 3x+1 \gt 5-4x \\ और 3x+1 \lt -\बाएं(5-4x \दाएं) \\\अंत(संरेखित) \ सही।\]

हम जनसंख्या में प्रत्येक असमानता का समाधान करते हैं:

\[\बाएँ[ \begin(संरेखित) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 7x \gt 4 \\ और -x \lt -6 \\ \अंत(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \begin(संरेखित) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी सेट को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

समुच्चयों का संघ

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उत्तर $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ होगा

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

समाधान। कुंआ? कुछ नहीं - सब कुछ वैसा ही है. हम मापांक वाली असमानता से दो असमानताओं के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम हर असमानता का समाधान करते हैं। दुर्भाग्य से, वहाँ जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता भी थोड़ी जंगली है:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

अब आपको इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर चला जाएगा।

और यहां एक सेटअप हमारा इंतजार कर रहा है। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद अंश दूसरे के अंश में पदों से कम है, इसलिए योग भी कम है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ कोई कठिनाई नहीं होगी (सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से नकारात्मक से अधिक है), फिर अंतिम जोड़े के साथ सब कुछ इतना स्पष्ट नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं का स्थान और वास्तव में उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो आइए तुलना करें:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने मूल को अलग कर दिया, असमानता के दोनों पक्षों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों का वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग लगाने वाली बात नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अक्षों पर अंतिम बिंदु इस प्रकार रखे जाएंगे:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक सेट को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर एक संघ होगा, न कि छायांकित सेटों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल और बहुत कठिन दोनों समस्याओं के लिए बढ़िया काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर बिंदु" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही ढंग से तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन एक अलग (और बहुत गंभीर) पाठ तुलनात्मक मुद्दों के लिए समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं.

3. गैर-नकारात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

अब हम सबसे दिलचस्प हिस्से पर आते हैं। ये प्रपत्र की असमानताएँ हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, अब हम जिस एल्गोरिदम के बारे में बात करेंगे वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं तरफ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी होती है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक "पूंछ" वाली असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा.

सबसे पहले, हमें चुकता करने में रुचि होगी - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इसे वर्ग का मूल लेने के साथ भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \दाएं|\ne f\]

जब कोई छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये, जैसे कि यह थे, अतार्किक समीकरण हैं), इसलिए हम अभी इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं|\ge \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

समाधान। आइए तुरंत दो बातों पर ध्यान दें:

1. यह कोई सख्त असमानता नहीं है. संख्या रेखा पर बिंदु पंचर हो जायेंगे.
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मॉड्यूल की समरूपता का लाभ उठाते हुए, शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने अभिव्यक्ति $1-2x$ को −1 से गुणा कर दिया)।

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ दाएँ)\दाएँ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर चलें:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(संरेखित करें)\]

हम पाए गए मूलों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मापांक चिन्ह से छुटकारा पाना

मैं आपको उन लोगों के लिए याद दिला दूं जो विशेष रूप से जिद्दी हैं: हम अंतिम असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर आगे बढ़ने से पहले लिखा गया था। और हम उसी असमानता में आवश्यक क्षेत्रों पर चित्रित करते हैं। हमारे मामले में यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। समस्या सुलझ गई है।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|\]

समाधान। हम सब कुछ वैसे ही करते हैं. मैं कोई टिप्पणी नहीं करूँगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखूँगा।

इसे चौकोर करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \दाएं| \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ दाएँ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \दाएं)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

अंतराल विधि:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायाँ तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\राइटएरो D=16-40 \lt 0\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक मूल होता है:

उत्तर एक संपूर्ण अंतराल है

उत्तर: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

पिछले कार्य के बारे में एक छोटा सा नोट. जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से नोट किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह सोच का बिल्कुल अलग स्तर और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। इसके बारे में - एक अलग पाठ में। आइए अब आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम को देखते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

यदि ये सभी तकनीकें मदद न करें तो क्या होगा? यदि असमानता को गैर-नकारात्मक पूंछों तक कम नहीं किया जा सकता है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि सामान्य तौर पर दर्द, उदासी, उदासी है?

तब सभी गणित का "भारी तोपखाना" दृश्य पर आता है - क्रूर बल विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में यह इस प्रकार दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ लिखें और उन्हें शून्य के बराबर सेट करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और एक संख्या रेखा पर पाए गए मूलों को चिह्नित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित चिह्न होता है और इसलिए यह विशिष्ट रूप से प्रकट होता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप चरण 2 में प्राप्त मूल-सीमाओं पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को संयोजित करें - यही उत्तर होगा। :)

तो कैसे? कमज़ोर? आसानी से! केवल लंबे समय के लिए. आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\left| जैसी असमानताओं तक सीमित नहीं है f\दाएं| \lt g$, $\बाएं| f\दाएं| \gt g$ या $\left| f\दाएं| \lt \बाएं| g \right|$, इसलिए हम आगे कार्य करते हैं।

हम सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ें ढूंढते हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ & x-1=0\दायां तीर x=1. \\\end(संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य द्वारा संख्या रेखा का विभाजन

आइए प्रत्येक अनुभाग को अलग से देखें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$. तब दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(संरेखित) और -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित)\]

हमें काफी सरल सीमा मिल गई है। आइए इसे प्रारंभिक धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1.5 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

जाहिर है, चर $x$ एक साथ −2 से कम और 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं.

1.1. आइए हम सीमा रेखा मामले पर अलग से विचार करें: $x=-2$। आइए बस इस संख्या को मूल असमानता में प्रतिस्थापित करें और जांचें: क्या यह सच है?

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ और 0 \lt \बाएं| -3\दाएं|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing . \\\end(संरेखित करें)\]

यह स्पष्ट है कि गणनाओं की श्रृंखला हमें गलत असमानता की ओर ले गई है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और $x=-2$ उत्तर में शामिल नहीं है।

2. मान लीजिए अब $-2 \lt x \lt 1$। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ खुलेगा। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2.5 \\ और -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

और फिर, समाधान का सेट खाली है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक हो।

2.1. और फिर से एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt \बाएं| 0\दाएं|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

पिछले "विशेष मामले" के समान, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$. यहां सभी मॉड्यूल प्लस चिह्न के साथ खोले गए हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x \gt 4.5 \\ \end(संरेखित)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ जोड़ते हैं:

/ ]

अंत में! हमें एक अंतराल मिला है जो उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक टिप्पणी जो आपको वास्तविक समस्याओं को हल करते समय मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकती है:

मापांक के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत कम आम हैं। और इससे भी कम बार, ऐसा होता है कि समाधान की सीमा (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती है।

परिणामस्वरूप, यदि सीमाएँ (समान "विशेष मामले") उत्तर में शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएँ और दाएँ क्षेत्र लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किए जाएंगे। और इसके विपरीत: सीमा उत्तर में प्रवेश कर गई, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्र भी उत्तर होंगे।

अपने समाधानों की समीक्षा करते समय इसे ध्यान में रखें।

यह पाठ वास्तविक संख्या के मापांक की अवधारणा की समीक्षा करेगा और इसकी कुछ बुनियादी परिभाषाओं का परिचय देगा, इसके बाद ऐसे उदाहरण दिए जाएंगे जो इनमें से विभिन्न परिभाषाओं के उपयोग को प्रदर्शित करते हैं।

विषय:वास्तविक संख्या

पाठ:वास्तविक संख्या का मापांक

1. मॉड्यूल परिभाषाएँ

आइए ऐसी अवधारणा को एक वास्तविक संख्या के मापांक के रूप में मानें; इसकी कई परिभाषाएँ हैं।

परिभाषा 1. निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से शून्य तक की दूरी कहलाती है मॉड्यूलो संख्या, जो इस बिंदु का निर्देशांक है (चित्र 1)।

उदाहरण 1। . ध्यान दें कि विपरीत संख्याओं का मापांक समान और गैर-ऋणात्मक है, क्योंकि यह एक दूरी है, लेकिन यह ऋणात्मक नहीं हो सकती है, और शून्य के बारे में सममित संख्याओं से मूल बिंदु तक की दूरी बराबर है।

परिभाषा 2. .

उदाहरण 2. आइए प्रस्तुत परिभाषाओं की तुल्यता प्रदर्शित करने के लिए पिछले उदाहरण में प्रस्तुत समस्याओं में से एक पर विचार करें। , जैसा कि हम देखते हैं, मापांक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या के साथ, उसके सामने एक और ऋण जोड़ने से एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है, जैसा मापांक की परिभाषा से निम्नानुसार है।

परिणाम। एक निर्देशांक रेखा पर निर्देशांक वाले दो बिंदुओं के बीच की दूरी निम्नानुसार पाई जा सकती है बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति की परवाह किए बिना (चित्र 2)।

2. मॉड्यूल के मूल गुण

1. किसी भी संख्या का मापांक ऋणेतर होता है

2. किसी उत्पाद का मापांक मॉड्यूल का उत्पाद है

3. एक भागफल मॉड्यूल मॉड्यूल का एक भागफल है

3. समस्या समाधान

उदाहरण 3. समीकरण हल करें.

समाधान। आइए दूसरी मॉड्यूल परिभाषा का उपयोग करें: और मॉड्यूल खोलने के विभिन्न विकल्पों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में हमारे समीकरण को लिखें।

उदाहरण 4. समीकरण हल करें.

समाधान। पिछले उदाहरण के समाधान के समान, हम इसे प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. समीकरण हल करें.

समाधान। आइए मॉड्यूल की पहली परिभाषा से एक परिणाम के माध्यम से हल करें:। आइए इसे संख्या अक्ष पर चित्रित करें, यह ध्यान में रखते हुए कि वांछित जड़ बिंदु 3 से 2 की दूरी पर होगी (चित्र 3)।

चित्र के आधार पर, हमें समीकरण के मूल प्राप्त होते हैं: , क्योंकि ऐसे निर्देशांक वाले बिंदु बिंदु 3 से 2 की दूरी पर हैं, जैसा कि समीकरण में आवश्यक है।

उत्तर। .

उदाहरण 6. समीकरण हल करें.

समाधान। पिछली समस्या की तुलना में, केवल एक ही जटिलता है - वह यह है कि समन्वय अक्ष पर संख्याओं के बीच की दूरी के बारे में परिणाम के निर्माण के साथ कोई पूर्ण समानता नहीं है, क्योंकि मापांक चिह्न के नीचे एक प्लस चिह्न है, ऋण नहीं संकेत। लेकिन इसे आवश्यक रूप में लाना कठिन नहीं है, हम यही करेंगे:

आइए इसे पिछले समाधान के समान संख्या अक्ष पर चित्रित करें (चित्र 4)।

समीकरण की जड़ें .

उत्तर। .

उदाहरण 7. समीकरण हल करें.

समाधान। यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है, क्योंकि अज्ञात दूसरे स्थान पर है और इसमें ऋण चिह्न है, इसके अलावा, इसमें एक संख्यात्मक गुणक भी है। पहली समस्या को हल करने के लिए, हम मॉड्यूल गुणों में से एक का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

दूसरी समस्या को हल करने के लिए, आइए चरों में परिवर्तन करें:, जो हमें सबसे सरल समीकरण तक ले जाएगा। मॉड्यूल की दूसरी परिभाषा के अनुसार . इन मूलों को प्रतिस्थापन समीकरण में रखें और दो रैखिक समीकरण प्राप्त करें:

उत्तर। .

4. वर्गमूल और मापांक

अक्सर, जड़ों के साथ समस्याओं को हल करते समय, मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं, और आपको उन स्थितियों पर ध्यान देना चाहिए जिनमें वे उत्पन्न होते हैं।

इस पहचान पर पहली नज़र में, सवाल उठ सकते हैं: "वहाँ एक मॉड्यूल क्यों है?" और "पहचान झूठी क्यों है?" इससे पता चलता है कि हम दूसरे प्रश्न का एक सरल प्रति-उदाहरण दे सकते हैं: यदि वह सत्य होना चाहिए, जो समतुल्य है, लेकिन यह एक झूठी पहचान है।

इसके बाद, यह सवाल उठ सकता है: "क्या ऐसी पहचान समस्या का समाधान नहीं करती?", लेकिन इस प्रस्ताव का एक प्रति उदाहरण भी है। यदि यह सत्य होना चाहिए, जो समतुल्य है, लेकिन यह एक झूठी पहचान है।

तदनुसार, यदि हम याद रखें कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और मापांक मान गैर-ऋणात्मक है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उपरोक्त कथन सत्य क्यों है:

.

उदाहरण 8. व्यंजक का मान परिकलित करें.

समाधान। ऐसे कार्यों में जरूरी है कि बिना सोचे-समझे तुरंत जड़ से छुटकारा न पा लिया जाए, बल्कि उपर्युक्त पहचान का उपयोग किया जाए, क्योंकि।

धनात्मक (प्राकृतिक) संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य से मिलकर।

सभी ऋणात्मक संख्याएँ, और केवल वे, शून्य से कम हैं। संख्या रेखा पर ऋणात्मक संख्याएँ शून्य के बायीं ओर स्थित होती हैं। उनके लिए, सकारात्मक संख्याओं की तरह, एक क्रम संबंध परिभाषित किया गया है, जो किसी को एक पूर्णांक की दूसरे के साथ तुलना करने की अनुमति देता है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एनवहाँ एक और केवल एक ही ऋणात्मक संख्या अंकित है -एन, जो पूरक है एनशून्य करने के लिए: एन + (− एन) = 0 . दोनों नंबरों पर कॉल किया जाता है विलोमएक - दूसरे के लिए। एक पूर्णांक घटाना एइसे इसके विपरीत के साथ जोड़ने के बराबर है: -ए.

ऋणात्मक संख्याओं के गुण

ऋणात्मक संख्याएँ लगभग प्राकृतिक संख्याओं के समान नियमों का पालन करती हैं, लेकिन उनमें कुछ विशेष विशेषताएं होती हैं।

ऐतिहासिक रेखाचित्र

साहित्य

• वायगोडस्की एम. हां.प्रारंभिक गणित की पुस्तिका. - एम.: एएसटी, 2003. - आईएसबीएन 5-17-009554-6
• ग्लेज़र जी.आई.स्कूल में गणित का इतिहास. - एम.: शिक्षा, 1964. - 376 पी।

लिंक

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

• लापरवाही से नुकसान पहुंचाना
• निओट्रोपिक्स

देखें अन्य शब्दकोशों में "गैर-नकारात्मक संख्या" क्या है:

वास्तविक संख्या- वास्तविक, या वास्तविक संख्या, एक गणितीय अमूर्तता है जो आसपास की दुनिया की ज्यामितीय और भौतिक मात्राओं को मापने की आवश्यकता के साथ-साथ जड़ों को निकालने, लघुगणक की गणना करने, हल करने जैसे कार्यों को करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुई है... विकिपीडिया

आम तौर पर एक छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक- एन्कोडिंग का वह भाग जो एक असीमित गैर-नकारात्मक पूर्णांक के मानों का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन जहां छोटे मान अधिक बार घटित होने की संभावना होती है (ITU T X.691)। विषय... ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

वास्तविक संख्या- वास्तविक संख्या, धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या शून्य। एक परिमेय संख्या की अवधारणा का विस्तार करने से संख्या संख्या की अवधारणा उत्पन्न हुई। इस विस्तार की आवश्यकता अभिव्यक्त करने में गणित के व्यावहारिक उपयोग दोनों के कारण है... ... गणितीय विश्वकोश

प्रधान संख्या- अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसमें बिल्कुल दो अलग-अलग प्राकृतिक भाजक होते हैं: एक और स्वयं। एक को छोड़कर अन्य सभी प्राकृत संख्याएँ भाज्य कहलाती हैं। इस प्रकार, सभी प्राकृत संख्याएँ एक से बड़ी हैं... ...विकिपीडिया

प्राकृतिक संख्या- ▲ पूर्णांक व्यक्त करने वाला, वास्तविक, संख्या प्राकृतिक संख्या गैर-नकारात्मक पूर्णांक; व्यक्तिगत संपूर्ण वस्तुओं की संख्या को किस एल में व्यक्त करता है। समुच्चय; वास्तविक संपूर्ण वस्तुओं की संख्या को निरूपित करें; संख्याओं की अभिव्यक्ति. चार... रूसी भाषा का वैचारिक शब्दकोश

दशमलव- दशमलव एक प्रकार का अंश है जो वास्तविक संख्याओं को उस रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका है जहां अंश का चिह्न है: या तो, या, एक दशमलव बिंदु जो पूर्णांक और संख्या के भिन्नात्मक भाग के बीच विभाजक के रूप में कार्य करता है। .. ... विकिपीडिया विकिपीडिया

एसएचएमओ के प्रमुख
गणित शिक्षक _______कलाश्निकोवा ज़.यूनगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान
"माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 89"
छठी कक्षा के लिए गणित में विषयगत परीक्षण
पाठ्यपुस्तक के अनुसार I.I. जुबरेवा और ए.जी. मोर्दकोविच
द्वारा संकलित: गणित शिक्षक:
कलाश्निकोवा झन्ना युरेविना
स्टोलबोवा ल्यूडमिला एंटोनोव्ना
ज़ाटो सेवरस्क
2016
सामग्री
टेस्ट नंबर 1………………………………………………………………………….3-6
टेस्ट नंबर 2………………………………………………………………………….7-10
परीक्षण संख्या 3……………………………………………………………………………………………….11-14
उत्तर…………………………………………………………………………………………..15
टेस्ट नंबर 1 "सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ"
विकल्प 1
एक ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या दर्ज करें:
-165
38
-7.92
67घटना का वर्णन करें "निर्देशांक किरण पर संख्या -5.5 अंकित है"
भरोसेमंद
असंभव
यादृच्छिक

चार संख्याओं में से कौन सी संख्या सबसे बड़ी है?
8,035
80,35
0,8035
803,5
बिंदु O (0) के दाईं ओर निर्देशांक रेखा पर कौन सा बिंदु स्थित है?
एम (-4)
ई (-15)
के (15)
डी(-1.2)
रात में हवा का तापमान -5°C था। दिन के दौरान थर्मामीटर पहले से ही +3 डिग्री सेल्सियस था। हवा का तापमान कैसे बदल गया है?
8o की वृद्धि हुई
2o की कमी हुई
2o की वृद्धि हुई
8o की कमी हुई
बिंदु x(-2) समन्वय रेखा पर अंकित है - समरूपता का केंद्र। इस रेखा पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक को बिंदु x के सममित रूप से इंगित करें।

(-1) और (1)
(-1) और (1)
(3) और (-3)
(0) और (-4)
निर्देशांक रेखा पर कौन से बिंदु मूल बिंदु के संबंध में सममित नहीं हैं - बिंदु O (0)।
बी(-5) और सी(5)
डी(0.5) और ई(-0.5)
एम(-3) और के(13)
ए(18) और एक्स(-18)
संख्याओं 0.316+0.4 का योग क्या है?
0,356
0,716
4,316
0,32
संख्या 0.4 के 25% की गणना करें।
0,1
0,001
10
100
9100 और 0.03 के अंतर की गणना करें
0,05
0,6
9,03
350विकल्प 2
एक ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या दर्ज करें.
8,63
-1045
913-0,2
घटना का वर्णन करें "निर्देशांक किरण पर संख्या 7 अंकित है।"
यादृच्छिक
असंभव
भरोसेमंद
जो संख्या सबसे छोटी है?
15,49
154,9
1,549
1549
इनमें से कौन सा बिंदु बिंदु O(0) के बाईं ओर निर्देशांक रेखा पर स्थित है।
ए(-0.5)
6 पर)
एम(0.5)
के(38)
दिन के दौरान थर्मामीटर ने +5°C दिखाया, और शाम को -2°C दिखाया। हवा का तापमान कैसे बदल गया है?
3o की वृद्धि
7o से कम हो गया
3o की कमी हुई
7o की वृद्धि
समरूपता का केंद्र समन्वय रेखा पर अंकित है - बिंदु A(-3)। इस रेखा पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक को बिंदु A के सममित रूप से इंगित करें।

(-2) और (2)
(0) और (-5)
(-6) और (1)
(-1) और (-5)
निर्देशांक रेखा के कौन से बिंदु मूल बिंदु - बिंदु O(0) के संबंध में सममित नहीं हैं।
ए(6) और बी(-6)
सी(12) और डी(-2)
एम(-1) और के(1)
एक्स (-9) और वाई (9)
संख्या 0.237 और 0.3 का योग क्या है?
0,24
3,237
0,537
0,267
0.5 का 20% की गणना करें
10
0,1
0,2
0,01
0.07 और 31001250.5 के अंतर की गणना करें
1
425टेस्ट नंबर 2. किसी संख्या का निरपेक्ष मान. विपरीत संख्याएँ.
विकल्प 1
दी गई संख्याओं में से किस संख्या का मापांक सबसे छोटा है?
-11
1013-4,196
-4,2
एक ग़लत समीकरण निर्दिष्ट करें
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। क्या यह कथन सत्य है?
हाँ
नहीं
इनमें से कौन सी संख्या संख्या -34 के विपरीत है?43-43-3434 अभिव्यक्ति का मान क्या है -(-m) यदि m = -15
+15
-15
अभिव्यक्ति के मान की गणना करें: -2.5∙4--919
-10
1
-1
समीकरण हल करें: x=40-40
40
40 या -40
संख्या 2.75 और 3.9 के बीच समन्वय रेखा पर कौन से पूर्णांक स्थित हैं?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
क्या असमानता -30>-50 सत्य है? हाँ
नहीं
यदि x≤30, 1, 2 है तो सभी पूर्णांक x की सूची बनाएं
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
विकल्प 2
किस संख्या का मापांक सबसे बड़ा है?
-0,6
-50,603
493550,530
एक ग़लत समीकरण निर्दिष्ट करें
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325क्या किसी ऋणात्मक संख्या का मापांक एक ऋणात्मक संख्या हो सकता है
हाँ
नहीं

इनमें से कौन सी संख्या 124 के विपरीत है?
-24
24
-124124अभिव्यक्ति -(-k) का मान क्या है, यदि k = -9
-9
+9
अभिव्यक्ति के मान की गणना करें: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
समीकरण x=100100 को हल करें
-100
100 या -100
संख्या 1 और - 4.5 के बीच समन्वय रेखा पर कौन से पूर्णांक स्थित हैं?
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
क्या असमानता-25 सत्य है?<-10?
हाँ
नहीं
यदि x≤44, 3, 2 है तो सभी पूर्णांक x की सूची बनाएं
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
टेस्ट नंबर 3. संख्याओं की तुलना
विकल्प 1
कौन सी असमानता गलत है?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
क्या यह सच है कि संख्या 0 किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ी है?
हाँ
नहीं
संख्या a ऋणात्मक नहीं है. हम इस कथन को असमानता के रूप में कैसे लिख सकते हैं?
ए<0a≤0a≥0a>0दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या बताएं।
0,16
-3018-0,4
0,01
x के किस प्राकृतिक मान के लिए असमानता x≤44, 3, 2 सत्य है?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y के किस पूर्णांक मान के लिए असमानता y सत्य है?<-2?0
-1
0, -1, 1
ऐसे कोई मूल्य नहीं
अंक-6; -3.8; -115; 0.8 स्थित:
घटते क्रम में
बढ़ते क्रम में
परेशानी में
मौसम का पूर्वानुमान रेडियो पर प्रसारित किया गया: तापमान -20 डिग्री सेल्सियस तक गिरने की उम्मीद है। इस घटना का वर्णन करें:
असंभव
भरोसेमंद
यादृच्छिक
विकल्प 2
इनमें से कौन सी असमानता सत्य है?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
असमानता के सत्य होने के लिए इन भिन्नों के बीच कौन सा चिह्न लिखा जाना चाहिए?
-1315 -715<
>
=
क्या यह सच है कि संख्या 0 किसी भी ऋणात्मक संख्या से छोटी है?
हाँ
नहीं
संख्या x शून्य से बड़ी नहीं है. हम इस कथन को असमानता के रूप में कैसे लिख सकते हैं?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 a के किन प्राकृतिक मानों के लिए असमानता a≤3 सत्य है?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m के किस पूर्णांक मान के लिए असमानता m सत्य है?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
ऐसे कोई मूल्य नहीं
संख्या 1,2; -1.2; -427; -100 स्थित:
परेशानी में
बढ़ते क्रम में
घटते क्रम में
निर्देशांक रेखा पर बिन्दु A(5) अंकित है। इस रेखा पर यादृच्छिक रूप से एक और बिंदु B अंकित किया गया था। इसका निर्देशांक 5 के विपरीत संख्या निकला। इस घटना का वर्णन करें।
यादृच्छिक
भरोसेमंद
असंभव
जवाब
टेस्ट नंबर 1 टेस्ट नंबर 2
नंबर विकल्प 1 विकल्प 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
नंबर विकल्प 1 विकल्प 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

टेस्ट नंबर 3
नंबर विकल्प 1 विकल्प 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3