Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ja eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Sellest artiklist leiate kolmnurga poolitaja ja mediaani omadused, mis võivad olla kasulikud probleemide lahendamisel.

Poolitajad.

1. Kolmnurga poolitajate lõikepunkt on kolmnurga sisse kirjutatud ringjoone keskpunkt.

Tõestus.

Tõepoolest, nurga poolitajal asuvad punktid on nurga külgedest võrdsel kaugusel. Järelikult on poolitajate lõikepunkt kolmnurga kõigist külgedest võrdsel kaugusel, see tähendab, et see on sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

2. Kolmnurga poolitaja jagab vastaskülje lõikudeks, mis on võrdelised külgnevate külgedega:

Tõestus.

Teeme lisakonstruktsioone. Joonistame punktiga paralleelse joone

Sirge ja sirge ristumispunkt:

∠1=∠2, kuna - poolitaja ∠

∠2=∠3 lamades risti, nagu ehituselt.

Seetõttu ∠1=∠3 ja kolmnurk on võrdhaarne ja .

seega,

3. Poolitaja pikkus arvutatakse järgmiste valemite abil:

Tõestame teist valemit.

Tutvustame järgmist tähistust:

Võrdlustame kolmnurga pindala avaldised:

4. Olgu O siseringjoone keskpunkt ja kolmnurga nurga poolitaja:

Siis kehtib seos:

Tõestus:

Kaaluge kolmnurka:

Nurga poolitaja seega kolmnurga poolitaja omaduse järgi

Las siis olla

Väljendagem seda. Vastavalt kolmnurga poolitaja omadusele:

Siit

Mõne ülesande puhul on mugav pikendada kolmnurga poolitajat piiritletud ringiga ristumiskohani.

Lemma trefoilide kohta.

Antud kolmnurk. Punkt – nurgapoolitaja lõikepunkt kolmnurga ümberringjoonega. Laskma olema kolmnurga kantud ringi keskpunkt. Siis

Tõestus.

Sissekirjutatud nurgad, mis ühendavad võrdseid kaare, on võrdsed. Pange tähele võrdseid sisse kirjutatud nurki:

Siit.

Incircle keskpunkt on seega nurga poolitaja .

Kolmnurgast

Siis kolmnurgast

Sain .

See tähendab, et kolmnurk on võrdhaarne.

Siit.

Seda tõestas

Tõestame valemit (1) punktist 3:

Tõestus:

Jätkame poolitajat, kuni see lõikub ümberringjoonega. Mõtle kolmnurgad ja . Märgime võrdsed nurgad:

Kolmnurk sarnaneb kahe nurga all oleva kolmnurgaga. Siit:

Lõikuvate akordide segmentide omaduse järgi

Asendame (3) väärtusega (2) ja kasutame (4):

Avaldame nende lõikude pikkused, milleks poolitaja jagab kolmnurga külje, kolmnurga külgede pikkuste kaudu. Tutvustame järgmist tähistust:

Saame süsteemi:

Mediaanid.

1. Kolmnurga mediaanid jagatakse lõikepunktiga suhtega 2:1, lugedes tipust:

2. Laskma olla punkt kolmnurga sees, nii et kehtib järgmine seos: , siis on kolmnurga mediaanide lõikepunkt.

Tõestus.

Tõestame abiteoreemi.

Lemma.

Kolmnurga sees oleva suvalise punkti korral kehtib järgmine seos:

Langeme punktidest ja perpendikulaaridest kuni :

Kolmnurkade sarnasusest saame:

Kui arvestada ühise alusega kolmnurki , siis saame seose:

Samamoodi saame

Lisades need võrdsused, saame:

Me kasutame seda lemmat väite 2 tõestamiseks.

Kui võrdsus kehtib (1) , siis võrdsust (2) ja lemmast järeldub, et võrdsuses (2) on iga murd võrdne .

Tõestame, et antud juhul segmendid on mediaanid.

Kui , siis saame . Joonistame punktiga paralleelsed ja läbivad jooned ning vaatleme kahte paari sarnaseid kolmnurki: ja :

Siit saame

Kolmnurkade sarnasusest saame, see tähendab, et punkt on lõigu keskpunkt. Siit.

Seetõttu on kolmnurga mediaan.

3. Kolmnurga mediaanid lõikuvad 6 võrdseks kolmnurgaks.

Tõestus.

Tõestame seda

sest ,

sest ,

Seega

Kõrgused.

1. Kolmnurga kõrgusi sisaldavad sirged lõikuvad ühes punktis. Teravkolmnurga puhul ristuvad kõrgused ise ühes punktis.

2. Kolmnurga kõrguste lõikepunktil on järgmine omadus: kolmnurga tipust kauguse ja vastaskülje ruudu ruudu summa on iga tipu korral sama:

Tõestus.

Tõestame võrdsuse esimest osa:

Kirjutame selle ümber kujul:

Pythagorase teoreemi järgi: (kolmnurkadest ja)

(kolmnurgast)

(kolmnurgast)

Asendades need avaldised (1), saame:

Avame sulgud ja saame:

Meil on identiteet. Võrdsuse teine ​​osa on tõestatud sarnaselt.

3. Kui kirjeldame ringjoont ümber kolmnurga ja pikendame kolmnurga kõrgusi, kuni need ristuvad selle ringiga,

siis kolmnurga mis tahes kõrguse korral on kaugus kõrguse alusest kõrguse jätkumise ja ringi lõikepunktini võrdne kaugusega kõrguse alusest kõrguste lõikepunktini:

Või niimoodi: Kolmnurga ümbermõõdul asuvad punktid, mis on sümmeetrilised kolmnurga kõrguste lõikepunkti suhtes kolmnurga külgede suhtes.

Tõestus.

Tõestame seda.

Selleks kaaluge kolmnurki ja , ning tõestage seda :

Kasutame märki, et kolmnurgad on võrdsed piki külge ja kahte külgnevat nurka. - üldine külg. Tõestame kahe nurga võrdsust.

Tõestame, et ∠ ∠

Olgu ∠, siis saame kolmnurgast selle

∠. Seetõttu saame kolmnurgast selle

Kuid ∠ ja ∠ toetuvad samale kaarele, seega ∠ ∠ ∠

Samamoodi leiame, et ∠ ∠

4. Kolmnurgas on punktid ja kõrguste alused, mis on tõmmatud tippudest ja. Tõesta, et kolmnurk on kolmnurgaga sarnane ja sarnasuskordaja on võrdne .

Tõestus:

Täisnurkse kolmnurga piiritletud ringi keskpunkt asub hüpotenuusi keskel . Punkt on sellel ringil, sest - täisnurkse kolmnurga hüpotenuus:

Nagu ühe kaare põhjal kirjutatud nurgad.

kolmnurgast:

Siit. Nurk on kolmnurkade ühine nurk ja. Seetõttu sarnaneb kolmnurk kolmnurgaga. Sarnasuskoefitsient võrdub sarnaste külgede suhtega, st külgede, mis asuvad võrdsete nurkade vastas:

Ceva teoreem

Lase sisse kolmnurga

Segmendid ristuvad ühes punktis siis ja ainult siis

Tõestus.

Tõestame, et kui lõigud lõikuvad ühes punktis, on seos (1) täidetud.

Lihtne on kontrollida, et kui , siis kehtib

Kasutame seda proportsiooni omadust:

Samamoodi:

Ceva teoreemi saab kirjutada järgmiselt:

Kui lõigud lõikuvad ühes punktis, kehtib järgmine seos:

Tõestama Ceva teoreem siinuste kujul, piisab, kui asendada võrdsuse (2) teises osas kolmnurkade pindala asemel iga kolmnurga pindala valem .

Agakhanov Nazar Khangeldyevitši ja Vladimir Viktorovitš Truškovi loengutest, KPK MIPT.

Kolmnurk on kolme küljega hulknurk või kolme lüliga suletud katkendjoon või kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu samal sirgel (vt joonis 1).

Kolmnurga abc põhielemendid

Tipud – punktid A, B ja C;

Peod – tippe ühendavad lõigud a = BC, b = AC ja c = AB;

Nurgad – α, β, γ, mille moodustavad kolm külgede paari. Nurki tähistatakse sageli samamoodi nagu tippe, tähtedega A, B ja C.

Nurka, mille moodustavad kolmnurga küljed ja mis asub selle sisealal, nimetatakse sisenurgaks ja sellega külgnevat nurka nimetatakse kolmnurga külgnevaks nurgaks (2, lk 534).

Kolmnurga kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned

Lisaks kolmnurga põhielementidele võetakse arvesse ka teisi huvitavate omadustega segmente: kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned.

Kõrgus

Kolmnurga kõrgused- need on ristid, mis on langetatud kolmnurga tippudest vastaskülgedele.

Kõrguse joonistamiseks peate tegema järgmised toimingud:

1) tõmmake sirge, mis sisaldab kolmnurga ühte külge (kui kõrgus on tõmmatud nüri kolmnurga teravnurga tipust);

2) tõmmake tõmmatud joone vastas asuvast tipust punktist sellele sirgele lõik, tehes sellega 90-kraadise nurga.

Nimetatakse punkti, kus kõrgus lõikub kolmnurga küljega kõrguse alus (vt joonis 2).

Kolmnurga kõrguste omadused

Täisnurkses kolmnurgas jagab täisnurga tipust tõmmatud kõrgus selle kaheks algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks.

Teravas kolmnurgas lõikavad selle kaks kõrgust sellest sarnased kolmnurgad.

Kui kolmnurk on terav, siis kõik kõrguste alused kuuluvad kolmnurga külgedele ja nürikujulises kolmnurgas langevad külgede jätkule kaks kõrgust.

Kolm terava kolmnurga kõrgust ristuvad ühes punktis ja seda punkti nimetatakse ortotsenter kolmnurk.

Mediaan

Mediaanid(ladina keelest mediana – “keskosa”) – need on lõigud, mis ühendavad kolmnurga tippe vastaskülgede keskpunktidega (vt joonis 3).

Mediaani koostamiseks peate tegema järgmised toimingud:

1) leida külje keskosa;

2) ühenda lõiguga punkt, mis on kolmnurga külje keskpunkt vastastipuga.

Kolmnurga mediaanide omadused

Mediaan jagab kolmnurga kaheks võrdse pindalaga kolmnurgaks.

Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need kõik suhtega 2:1, lugedes tipust. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.

Kogu kolmnurk jagatakse selle mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.

Poolitaja

Poolitajad(ladina keelest bis - kaks korda ja seko - lõigatud) on kolmnurga sees olevad sirgjoonelõigud, mis poolitavad selle nurgad (vt joonis 4).

Poolitaja konstrueerimiseks peate tegema järgmised toimingud:

1) konstrueerida kiir, mis väljub nurga tipust ja jagab selle kaheks võrdseks osaks (nurga poolitaja);

2) leida kolmnurga nurga poolitaja lõikepunkt vastasküljega;

3) vali lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje lõikepunktiga.

Kolmnurga poolitajate omadused

Kolmnurga nurga poolitaja jagab vastaskülje suhtega, mis on võrdne kahe külgneva külje suhtega.

Kolmnurga sisenurkade poolitajad lõikuvad ühes punktis. Seda punkti nimetatakse sisse kirjutatud ringi keskpunktiks.

Sise- ja välisnurga poolitajad on risti.

Kui kolmnurga välisnurga poolitaja lõikub vastaskülje pikendusega, siis ADBD=ACBC.

Kolmnurga ühe sise- ja kahe välisnurga poolitajad lõikuvad ühes punktis. See punkt on selle kolmnurga ühe kolmest ringjoonest keskpunkt.

Kolmnurga kahe sise- ja ühe välisnurga poolitajate alused asuvad samal sirgel, kui välisnurga poolitaja ei ole paralleelne kolmnurga vastasküljega.

Kui kolmnurga välisnurkade poolitajad ei ole paralleelsed vastaskülgedega, siis asuvad nende alused samal sirgel.

Koolikursusel mis tahes teemat õppides saate valida teatud probleemide miinimumi ja pärast nende lahendamise meetodite omandamist saavad õpilased lahendada mis tahes probleemi õpitava teema programminõuete tasemel. Teen ettepaneku kaaluda probleeme, mis võimaldavad teil näha kooli matemaatikakursuse üksikute teemade omavahelisi seoseid. Seetõttu on koostatud ülesannete süsteem tõhus vahend õppematerjali kordamiseks, üldistamiseks ja süstematiseerimiseks õpilaste eksamiks ettevalmistamise käigus.

Eksami sooritamiseks on kasulik omada lisateavet mõne kolmnurga elemendi kohta. Vaatleme kolmnurga mediaani omadusi ja ülesandeid, mille lahendamisel neid omadusi kasutada saab. Kavandatud ülesanded rakendavad tasemete eristamise põhimõtet. Kõik ülesanded on tinglikult jagatud tasemeteks (tase on märgitud iga ülesande järel sulgudes).

Meenutagem mõnda kolmnurga mediaani omadust

Vara 1. Tõesta, et kolmnurga mediaan ABC, tõmmatud tipust A, vähem kui pool külgede summast AB Ja A.C..

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Vara 2. Mediaan lõikab kolmnurga kaheks võrdseks alaks.

Tõestus

Joonistame kolmnurga ABC tipust B mediaan BD ja kõrguse BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Kuna segment BD on mediaan, siis

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Mediaan" align="left" width="196" height="75 src=">!} Vara 4. Kolmnurga mediaanid jagavad kolmnurga 6 võrdseks kolmnurgaks.

Tõestus

Tõestame, et iga kuue kolmnurga pindala, milleks mediaanid jagavad kolmnurga ABC, on võrdne kolmnurga ABC pindalaga. Selleks vaadeldakse näiteks kolmnurka AOF ja langetatakse risti AK tipust A sirgele BF.

Vara 2 tõttu

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Mediaan" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Vara 6. Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga mediaan on võrdne poolega hüpotenuusist.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Mediaan" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Tagajärjed:1. Täisnurkse kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt asub hüpotenuusi keskel.

2. Kui kolmnurga mediaani pikkus võrdub poolega selle külje pikkusest, kuhu see on tõmmatud, siis on see kolmnurk täisnurkne.

ÜLESANDED

Iga järgneva probleemi lahendamisel kasutatakse tõestatud omadusi.

№1 Teemad: Mediaani kahekordistamine. Raskusaste: 2+

Rööpküliku märgid ja omadused Hinded: 8,9

Seisund

Mediaani jätkamisel OLEN. kolmnurk ABC punkti kohta M segment edasi lükatud M.D., võrdne OLEN.. Tõesta, et nelinurk ABDC- rööpkülik.

Lahendus

Kasutame üht rööpküliku märki. Nelinurga diagonaalid ABDC ristuvad punktis M ja jaga see pooleks, nii et nelinurk ABDC- rööpkülik.

On olemas teoreem, et Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see punkt jagab iga mediaani suhtega 2:1, kus 2 vastab lõigule tipust, millest mediaan tõmmatakse mediaanide lõikepunktini, ja 1 vastab lõigule mediaanide lõikepunktist selle külje keskpaigani, kuhu mediaan tõmmatakse.

Selle teoreemi tõestamiseks vaatleme kolmnurka ABC mediaanidega AE, BF, CD. See tähendab, et punktid D, E, F poolitavad küljed AB, BC, CA vastavalt.
Me ei tea, kas kõik mediaanid ristuvad ühes punktis (seda tuleb veel tõestada). Kuid mis tahes kaks mediaani ristuvad ühes punktis, kuna need ei saa olla paralleelsed. Olgu mediaanid AE ja BF ristuvad punktis O.

Keskmine BF jagab keskmise AE kaheks segmendiks AO ja EO. Joonistame punkti E läbiva sirge, mis on paralleelne BF-ga. See sirge lõikab külge AC teatud punktis L. Samuti tõmbame läbi lõigu AB keskkoha (punkt D) teise sirge, mis on paralleelne BF-ga. See lõikub AC punktis K.

Thalese teoreemi kohaselt, kui nurga ühele küljele selle tipust laotame järjestikku võrdsed lõigud ja tõmbame läbi nende lõikude otste paralleelsed jooned, mis lõikuvad nurga teist külge, siis lõikavad need paralleelsed sirged ära ka võrdsed lõigud. nurga teisel küljel.

Vaatame selle kolmnurga BCA nurka. Lõigud BE ja EC on üksteisega võrdsed, sirged BF ja EL on paralleelsed. Siis Thalese teoreemi kohaselt CL = LF.
Kui vaatame nurka BAC, kuna AD = BD ja DK || BF, siis AK = KF.

Kuna segmendid AF ja CF on üksteisega võrdsed (kuna need on moodustatud mediaaniga) ja kumbki on jagatud kaheks võrdseks segmendiks, siis on külje AC kõik neli segmenti üksteisega võrdsed: AK = KF = FL = LC.

Mõelge nurka EAC. Läbi kolme võrdse külje AC segmendi otste tõmmatakse paralleelsed jooned. Järelikult lõikasid nad küljel AE ära võrdsed segmendid. Segment AO sisaldab kahte sellist segmenti ja EO ainult ühte. Seega oleme tõestanud, et vähemalt üks kolmnurga mediaan lõikepunktis teise mediaaniga on jagatud kaheks lõiguks, mille pikkused on omavahel seotud 2:1.

Nüüd kaaluge mediaan AE ja mediaan CD ristumiskohta. Las nad ristuvad punktis P.

Sarnaselt eelnevale on tõestatud, et paralleelsed sirged FM, CD, EN jagavad külje AB võrdseteks lõikudeks. Nad omakorda jagavad AE kolmeks võrdseks segmendiks. Veelgi enam, tipust A kuni mediaanide lõikepunktini on kaks sellist segmenti ja pärast seda on üks.

Ühte ja sama segmenti ei saa jagada kolmeks võrdseks osaks nii, et ühe jagamisvalikuga on need sama suurusega ja teisega erinevad. Seetõttu peavad punktid O ja P kokku langema. See tähendab, et kolmnurkade kõik kolm mediaani lõikuvad ühes punktis.

Tõestamaks, et ülejäänud kaks mediaani on jagatud lõikepunktiga suhtega 2:1, saate sarnaselt eelmisele tõmmata külgedele AB ja BC paralleelsed jooned.