Smislite dva uvjerljiva slučajna i nemoguća događaja. Smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja. Učenje novog gradiva
Tema lekcije: "Slučajni, pouzdani i nemogući događaji"
Mjesto održavanja časa u nastavnom planu i programu: „Kombinatorika. Slučajni događaji” lekcija 5/8
Vrsta lekcije: Lekcija formiranja novih znanja
Ciljevi lekcije:
edukativni:
o uvesti definiciju slučajnog, sigurnog i nemogućeg događaja;
o podučavati u procesu realne situacije definirati pojmove teorije vjerovatnoće: pouzdani, nemogući, jednako vjerovatni događaji;
u razvoju:
o promoviše razvoj logičkog mišljenja,
o kognitivni interes učenika,
o sposobnost poređenja i analize,
edukativni:
o podsticanje interesovanja za proučavanje matematike,
o razvoj svjetonazora učenika.
o posjedovanje intelektualnih vještina i mentalnih operacija;
Nastavne metode: eksplanatorno-ilustrativni, reproduktivni, matematički diktat.
UMC: Matematika: udžbenik za 6 ćelija. pod uredništvom i dr., izdavačka kuća "Prosvjeta", 2008, Matematika, 5-6: knj. za nastavnika / [, [ , ]. - M.: Obrazovanje, 2006.
Didaktički materijal: board posters.
književnost:
1. Matematika: udžbenik. za 6 ćelija. opšte obrazovanje institucije/ itd.]; ed. , ; Ros. akad. Sciences, Ros. akad. obrazovanje, izdavačka kuća "Prosvjeta". - 10. ed. - M.: Prosvjeta, 2008.-302 str.: ilustr. - (Akademski školski udžbenik).
2. Matematika, 5-b: knj. za nastavnika / [, ]. - M. : Education, 2006. - 191 str. : ill.
4. Rješavanje problema iz statistike, kombinatorike i teorije vjerovatnoće. 7-9 razreda. / aut.- komp. . Ed. 2., rev. - Volgograd: Učitelj, 2006. -428 str.
5. Časovi matematike korištenjem informacionih tehnologija. 5-10 razreda. Metodički - priručnik sa elektronskom aplikacijom / i dr. 2. izd., stereotip. - M.: Izdavačka kuća Globus, 2010. - 266 str. (Moderna škola).
6. Nastava matematike u savremenoj školi. Smjernice. Vladivostok: Izdavačka kuća PIPPCRO, 2003.
PLAN LEKCIJE
I. Organizacioni momenat.
II. usmeni rad.
III. Učenje novog gradiva.
IV. Formiranje vještina i sposobnosti.
V. Rezultati lekcije.
V. Domaća zadaća.
TOKOM NASTAVE
1. Organizacioni trenutak
2. Ažuriranje znanja
15*(-100) |
Usmeni rad:
3. Objašnjenje novog materijala
Učitelj: Naš život se uglavnom sastoji od nezgoda. Postoji takva nauka "Teorija vjerovatnoće". Koristeći njegov jezik, moguće je opisati mnoge pojave i situacije.
Takvi drevni zapovjednici poput Aleksandra Velikog ili Dmitrija Donskog, pripremajući se za bitku, oslanjali su se ne samo na hrabrost i vještinu ratnika, već i na slučaj.
Mnogi ljudi vole matematiku vječne istine dva puta dva je uvijek četiri, zbir parnih brojeva je paran, površina pravougaonika je proizvod njegovih susjednih stranica, itd. U bilo kojem zadatku koji riješite, svi dobijaju isti odgovor - samo ne morate praviti greške u rešenju.
Stvarni život nije tako jednostavan i nedvosmislen. Ishodi mnogih događaja ne mogu se unaprijed predvidjeti. Nemoguće je, na primjer, sa sigurnošću reći na koju će stranu pasti bačeni novčić, kada će pasti prvi snijeg sljedeće godine ili koliko će ljudi u gradu htjeti da telefonira u narednih sat vremena. Takvi nepredvidivi događaji se nazivaju nasumično .
Međutim, slučaj ima i svoje zakonitosti, koje se počinju manifestirati ponovnim ponavljanjem slučajnih pojava. Ako bacite novčić 1000 puta, tada će "orao" ispasti otprilike pola vremena, što se ne može reći za dva ili čak deset bacanja. "Približno" ne znači pola. To, po pravilu, može, ali i ne mora biti slučaj. Zakon uglavnom ne navodi ništa sa sigurnošću, ali daje određeni stepen sigurnosti da će se desiti neki slučajni događaj.
Takve pravilnosti proučava posebna grana matematike - Teorija vjerovatnoće . Pomoću njega možete sigurnije (ali još uvijek ne sigurno) predvidjeti i datum prve snježne padavine i broj telefonskih poziva.
Teorija vjerojatnosti je neraskidivo povezana s našom svakodnevni život. Ovo nam daje divnu priliku da uspostavimo mnoge vjerovatnoće zakona empirijski ponavljanjem nasumičnih eksperimenata mnogo puta. Materijali za ove eksperimente najčešće će biti običan novčić, kocka, set domina, backgammon, rulet ili čak špil karata. Svaki od ovih stavki, na ovaj ili onaj način, povezan je s igrama. Činjenica je da se slučaj ovdje pojavljuje u najčešćem obliku. A prvi probabilistički zadaci bili su povezani s procjenom šansi igrača za pobjedu.
Moderna teorija vjerovatnoće se udaljila od kockanja, ali su njihovi rekviziti i dalje najjednostavniji i najpouzdaniji izvor šanse. Vježbajući s ruletom i kockom, naučit ćete kako izračunati vjerovatnoću slučajnih događaja u stvarnim životnim situacijama, što će vam omogućiti da procijenite svoje šanse za uspjeh, testirate hipoteze i donosite optimalne odluke ne samo u igrama i lutrijama. .
Kada rješavate probabilističke probleme, budite vrlo oprezni, pokušajte opravdati svaki korak, jer nijedna druga oblast matematike ne sadrži toliki broj paradoksa. Kao teorija vjerovatnoće. I, možda, glavno objašnjenje za to je njegova povezanost sa stvarnim svijetom u kojem živimo.
U mnogim igrama koristi se kockica koja na svakoj strani ima različit broj poena od 1 do 6. Igrač baca kockicu, gleda koliko je bodova palo (na stranu koja se nalazi na vrhu) i pravi odgovarajući broj poteza: 1,2,3,4,5 ili 6. Bacanje kockice se može smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobijeni rezultat može se smatrati događajem. Ljudi su obično veoma zainteresovani da pogode početak događaja, predvide njegov ishod. Koja predviđanja mogu napraviti kada se baci kocka?
Prvo predviđanje: ispasti će jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6. Mislite li da će doći do predviđenog događaja ili ne? Naravno da će sigurno doći.
Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan događaj.
Drugo predviđanje : ispasti će broj 7. Mislite li da će doći do predviđenog događaja ili ne? Naravno da neće, jednostavno je nemoguće.
Događaj koji se ne može dogoditi u datom eksperimentu se zove nemoguće događaj.
Third Prediction : ispašće broj 1. Mislite li da će doći do predviđenog događaja ili ne? Ne možemo sa potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, budući da se predviđeni događaj može, ali i ne mora dogoditi.
Događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi pod istim uslovima nazivaju se nasumično.
Primjer. Kutija sadrži 5 čokolada u plavom omotu i jednu u bijeloj. Ne gledajući u kutiju, nasumično vade jedan slatkiš. Da li je moguće unaprijed reći koje će boje biti?
Vježba : opišite događaje o kojima se govori u zadacima u nastavku. Kao sigurno, nemoguće ili slučajno.
1. Bacite novčić. Pojavio se grb. (slučajno)
2. Lovac je pucao na vuka i pogodio. (slučajno)
3. Učenik svako veče ide u šetnju. Tokom šetnje, u ponedeljak, sreo je tri poznanika. (slučajno)
4. Provedimo mentalno sljedeći eksperiment: okrenite čašu vode naopako. Ako se ovaj eksperiment ne provodi u svemiru, već kod kuće ili u učionici, voda će se izliti. (autentičan)
5. Tri hica ispaljena u metu.” Bilo je pet pogodaka." (nemoguće)
6. Baci kamen gore. Kamen ostaje lebdeći u vazduhu. (nemoguće)
Primjer Petya je zatrudnjela prirodni broj. Događaj je sljedeći:
a) zamišljen je paran broj; (slučajno)
b) zamišljen je neparan broj; (slučajno)
c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan; (nemoguće)
d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan. (autentičan)
Pozivaju se događaji koji pod datim uslovima imaju jednake šanse equiprobable.
Pozivaju se slučajni događaji koji imaju jednake šanse podjednako moguće ili equiprobable .
Stavite poster na tablu.
Na usmenom ispitu student uzima jednu od listića izloženih ispred njega. Šanse za polaganje neke od ispitnih karata su jednake. Jednako je vjerojatan gubitak bilo kojeg broja bodova od 1 do 6 pri bacanju kocke, kao i glava ili rep pri bacanju novčića.
Ali nisu svi događaji takvi podjednako moguće. Budilica možda ne zvoni, sijalica pregori, autobus se pokvari, ali u normalnim uslovima takvi događaji malo vjerovatno. Vjerovatnije je da će zazvoniti budilnik, svjetlo će se upaliti, autobus će ići.
Neki događaji šanse javljaju se češće, što znači da su vjerovatnije - bliže pouzdanim. A drugi imaju manje šanse, manje su vjerovatne - bliže nemogućem.
Nemogući događaji nemaju šanse da se dogode, a određeni događaji imaju sve šanse da se dogode, pod određenim uslovima će se sigurno dogoditi.
Primjer Petya i Kolya upoređuju svoje rođendane. Događaj je sljedeći:
a) njihovi rođendani se ne poklapaju; (slučajno)
b) da su im rođendani isti; (slučajno)
d) oba rođendana padaju na praznike - Nova godina(1. januar) i Dan nezavisnosti Rusije (12. jun). (slučajno)
3. Formiranje vještina i sposobnosti
Zadatak iz udžbenika br. 000. Koji su od sljedećih slučajnih događaja pouzdani, mogući:
a) kornjača će naučiti govoriti;
b) voda u kotliću na šporetu ključa;
d) dobijete učešćem u lutriji;
e) nećete osvojiti učešćem u dobitnoj lutriji;
f) izgubit ćete partiju šaha;
g) sutra ćete sresti vanzemaljca;
h) vrijeme će se pogoršati sljedeće sedmice; i) pritisnuli ste zvono, ali ono nije zazvonilo; j) danas - četvrtak;
k) nakon četvrtka biće petak; m) hoće li biti četvrtak poslije petka?
Kutije sadrže 2 crvene, 1 žutu i 4 zelene kuglice. Iz kutije se nasumično izvlače tri loptice. Koji od sljedećih događaja su nemogući, slučajni, sigurni:
O: Tri zelene kuglice će biti izvučene;
B: Tri crvene kuglice će biti izvučene;
C: kuglice dvije boje će biti izvučene;
D: kuglice iste boje će biti izvučene;
E: među izvučenim kuglicama nalazi se plava;
F: među nacrtanim su kuglice tri boje;
G: Da li su među izvučenim kuglicama dvije žute?
Testirajte se. (matematički diktat)
1) Navedite koji su od sljedećih događaja nemogući, koji su sigurni, a koji su slučajni:
Fudbalska utakmica "Spartak" - "Dinamo" završiće se neriješenim rezultatom (slučajno)
Osvojit ćete učešćem u win-win lutriji ( autentičan)
U ponoć će padati snijeg, a nakon 24 sata će zasjati sunce (nemoguće)
· Sutra će biti test iz matematike. (slučajno)
· Bićete izabrani za predsednika Sjedinjenih Država. (nemoguće)
· Bićete izabrani za predsednika Rusije. (slučajno)
2) Kupili ste televizor u prodavnici, za koji proizvođač daje dvogodišnju garanciju. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su sigurni:
· Televizor se neće pokvariti u roku od godinu dana. (slučajno)
Televizor se neće pokvariti u roku od dvije godine . (slučajno)
· U roku od dve godine nećete morati da plaćate popravku televizora. (autentičan)
Televizor će se pokvariti u trećoj godini. (slučajno)
3) Autobus koji prevozi 15 putnika ima 10 stajališta. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su sigurni:
· Svi putnici će izaći iz autobusa na različitim stanicama. (nemoguće)
Svi putnici će izaći na istom stajalištu. (slučajno)
Na svakoj stanici će bar neko sići. (slučajno)
Biće stajalište na kojem niko neće sići. (slučajno)
Paran broj putnika će sići na svim stajalištima. (nemoguće)
Neparan broj putnika će sići na svim stajalištima. (nemoguće)
Sažetak lekcije
Pitanja za studente:
Koji se događaji nazivaju slučajnim?
Koji se događaji nazivaju jednako vjerovatnim?
Koji se događaji smatraju pouzdanim? nemoguće?
Koji se događaji smatraju vjerovatnijim? manje šanse?
Zadaća : klauzula 9.3
Br. 000. Razmislite o po tri primjera određenih, nemogućih događaja, kao i događaja za koje se ne može reći da se nužno dešavaju.
902. U kutiji se nalazi 10 crvenih, 1 zelena i 2 plave olovke. Dvije olovke se nasumično vade iz kutije. Koji od sledećih događaja su nemogući, izvesni:
O: Dvije crvene ručke će biti izvađene; B: Dvije zelene ručke će biti izvučene; C: dvije plave ručke će biti izvučene; D: Dvije ručke različitih boja će biti izvađene;
E: Hoće li se izvaditi dvije olovke? 03. Egor i Danila su se složili: ako se strelica okretnice (Sl. 205) zaustavi na bijelom polju, onda će Egor ofarbati ogradu, a ako je na plavom polju, Danila. Za koji dječak je veća vjerovatnoća da će ofarbati ogradu?
Svrha lekcije:
- Uvesti koncept određenih, nemogućih i slučajnih događaja.
- Formirati znanja i vještine za određivanje vrste događaja.
- Razviti: računske vještine; Pažnja; sposobnost analiziranja, zaključivanja, zaključivanja; veštine grupnog rada.
Tokom nastave
1) Organizacioni momenat.
Interaktivna vježba: djeca moraju rješavati primjere i dešifrirati riječi, prema rezultatima se dijele u grupe (pouzdane, nemoguće i nasumične) i određuju temu časa.
1 kartica.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kartica
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kartica
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Aktuelizacija proučenog znanja.
Igra "Pljesak": paran broj - pljesak, neparan broj - ustani.
Zadatak: iz datog niza brojeva 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... odrediti parne i neparne.
3) Učenje nove teme.
Imate kocke na stolovima. Pogledajmo ih pobliže. Šta vidiš?
Gdje se koriste kockice? Kako?
Grupni rad.
Provođenje eksperimenta.
Koja predviđanja možete napraviti kada bacate kocku?
Prvo predviđanje: jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6 će ispasti.
Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan.
Drugo predviđanje: broj 7 će se pojaviti.
Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne?
To je nemoguće!
Događaj koji se ne može dogoditi u datom eksperimentu se zove nemoguće.
Treće predviđanje: broj 1 će se pojaviti.
Hoće li se ovaj događaj dogoditi?
Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom iskustvu naziva se nasumično.
4) Objedinjavanje proučenog gradiva.
I. Odredite vrstu događaja
-Sutra će padati crveni snijeg.
Sutra će padati jak snijeg.
Sutra će, iako je jul, padati snijeg.
Sutra, iako je jul, snijega neće biti.
Sutra će padati snijeg i bit će mećava.
II. Dodajte riječ ovoj rečenici na način da događaj postane nemoguć.
Kolja je dobio peticu iz istorije.
Saša nije uradio nijedan zadatak na testu.
Oksana Mihajlovna (nastavnica istorije) će objasniti novu temu.
III. Navedite primjere nemogućih, slučajnih i određenih događaja.
IV. Rad prema udžbeniku (u grupama).
Opišite događaje o kojima se govori u zadacima u nastavku kao izvjesne, nemoguće ili slučajne.
br. 959. Petja je zamislila prirodni broj. Događaj je sljedeći:
a) zamišljen je paran broj;
b) zamišljen je neparan broj;
c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan;
d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan.
Br. 960. Otvorili ste ovaj udžbenik na bilo kojoj stranici i odabrali prvu imenicu koja vam je naišla. Događaj je sljedeći:
a) u pisanju izabrane riječi postoji samoglasnik;
b) u pisanju izabrane riječi postoji slovo “o”;
c) u pisanju izabrane riječi nema samoglasnika;
d) postoji meki znak u pisanju odabrane riječi.
Riješi #961, #964.
Diskusija o riješenim zadacima.
5) Refleksija.
1. Koje ste događaje upoznali na lekciji?
2. Navedite koji je od sljedećih događaja siguran, koji je nemoguć, a koji slučajan:
a) neće biti letnjih praznika;
b) sendvič će pasti puterom nadole;
c) školska godina će se jednog dana završiti.
6) Domaći zadatak:
Smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja.
Nacrtaj jednu od njih.
Teorija vjerojatnosti, kao i svaka grana matematike, djeluje s određenim rasponom koncepata. Većina koncepata teorije vjerovatnoće je definisana, ali neki se uzimaju kao primarni, a ne definisani, kao što je u geometriji tačka, prava, ravan. Primarni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. Događaj je nešto o čemu se nakon određenog vremena može reći samo jedno od to dvoje:
- · Da, desilo se.
- · Ne, nije se dogodilo.
Na primjer, imam srećku. Nakon objavljivanja rezultata izvlačenja lutrije, događaj koji me zanima - osvajanje hiljadu rubalja ili se događa ili se ne događa. Bilo koji događaj nastaje kao rezultat testa (ili iskustva). Pod testom (ili iskustvom) podrazumijevaju se ona stanja uslijed kojih se događaj događa. Na primjer, bacanje novčića je test, a pojava "grba" na njemu je događaj. Događaj se obično označava velikim latiničnim slovima: A, B, C, .... Događaji u materijalnom svijetu mogu se podijeliti u tri kategorije - izvjesni, nemogući i slučajni.
Određeni događaj je onaj za koji se unaprijed zna da će se dogoditi. Označava se slovom W. Dakle, ne više od šest bodova je pouzdano pri bacanju obične kocke, izgled bijele kugle kada se izvuče iz urne koja sadrži samo bijele kuglice, itd.
Nemogući događaj je događaj za koji se unaprijed zna da se neće dogoditi. Označava se slovom E. Primjeri nemogućih događaja su izvlačenje više od četiri asa iz običnog špila karata, pojava crvene lopte iz urne koja sadrži samo bijele i crne kugle, itd.
Slučajni događaj je događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat testa. Događaji A i B nazivaju se nespojivima ako pojava jednog od njih isključuje mogućnost pojave drugog. Dakle, pojavljivanje bilo kojeg mogućeg broja poena prilikom bacanja kocke (događaj A) nije u skladu sa pojavom drugog broja (događaj B). Bacanje parnog broja poena nije kompatibilno sa bacanjem neparnog broja. Obrnuto, paran broj bodova (događaj A) i broj bodova djeljiv sa tri (događaj B) neće biti nekompatibilni, jer gubitak šest bodova znači nastup i događaja A i događaja B, pa nastanak jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Operacije se mogu izvoditi na događajima. Unija dva događaja C=AUB je događaj C koji se javlja ako i samo ako se dogodi barem jedan od ovih događaja A i B. Presjek dva događaja D=A?? B je događaj koji se događa ako i samo ako se dogode oba događaja A i B.
Događaji (fenomeni) koje posmatramo mogu se podijeliti u tri tipa: pouzdani, nemogući i slučajni.
kredibilan nazovimo događaj koji će se definitivno dogoditi ako se implementira određeni skup uslova S. Na primjer, ako posuda sadrži vodu pri normalnom atmosferskom pritisku i temperaturi od 20°, onda je događaj „voda u posudi u tečnom stanju ” je sigurno. U ovom primeru, navedeni atmosferski pritisak i temperatura vode čine skup uslova S.
Nemoguće nazvati događaj koji se sigurno neće dogoditi ako se implementira skup uslova S. Na primjer, događaj “voda u posudi je u čvrstom stanju” se sigurno neće dogoditi ako se implementira skup uslova iz prethodnog primjera.
Slučajno Događajem se naziva događaj koji, pod implementacijom skupa uslova S, može da se dogodi ili da se ne dogodi. Na primjer, ako se baci novčić, onda može pasti tako da je na vrhu ili grb ili natpis. Dakle, događaj „pri bacanju novčića ispao je „grb“ slučajan. Svaki slučajni događaj, a posebno pad "grba", rezultat je djelovanja vrlo mnogo slučajnih uzroka (u našem primjeru: sila kojom je novčić bačen, oblik novčića i mnogi drugi ). Nemoguće je uzeti u obzir utjecaj svih ovih uzroka na rezultat, jer je njihov broj vrlo velik, a zakoni njihovog djelovanja su nepoznati. Stoga, teorija vjerovatnoće ne postavlja sebi zadatak da predvidi hoće li se jedan događaj dogoditi ili ne – jednostavno ne može to učiniti.
Situacija je drugačija ako uzmemo u obzir slučajne događaje koji se mogu više puta posmatrati pod istim uslovima S, odnosno ako govorimo o masivnim homogenim slučajnim događajima. Pokazalo se da se dovoljno veliki broj homogenih slučajnih događaja, bez obzira na njihovu specifičnu prirodu, pokorava određenim zakonima, odnosno vjerojatnostim zakonima. Ustanovljavanjem ovih pravilnosti bavi se teorija vjerovatnoće.
Dakle, predmet teorije vjerovatnoće je proučavanje vjerovatnoće pravilnosti masivnih homogenih slučajnih događaja.
Metode teorije vjerovatnoće se široko koriste u različitim granama prirodnih nauka i tehnologije. Teorija vjerovatnoće također služi za potkrepljivanje matematičke i primijenjene statistike.
Vrste slučajnih događaja. Događaji se zovu nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom ispitivanju.
Primjer. Baca se novčić. Izgled "grba" isključuje izgled natpisa. Događaji “pojavio se grb” i “pojavio se natpis” su nespojivi.
Formira se nekoliko događaja puna grupa, ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa. Konkretno, ako su događaji koji čine kompletnu grupu parno nekompatibilni, tada će se jedan i samo jedan od ovih događaja pojaviti kao rezultat testa. Ovaj konkretan slučaj nas je od najvećeg interesa, jer ćemo ga koristiti u nastavku.
Primjer 2. Kupljene su dvije karte za gotovinu i lutriju za odjeću. Jedan i samo jedan od sljedećih događaja će se nužno dogoditi: „dobitak je pao na prvi tiket, a nije pao na drugi“, „dobitak nije pao na prvi listić već je pao na drugi“, „dobitak je pao na oba tiketa”, “dobiti nisu osvojili na oba tiketa”. Ovi događaji čine kompletnu grupu događaja koji nisu kompatibilni u parovima.
Primjer 3. Strijelac je pucao u metu. Jedan od sljedeća dva događaja će se sigurno dogoditi: pogodak, promašaj. Ova dva nepovezana događaja čine kompletnu grupu.
Događaji se zovu podjednako moguće ako postoji razlog vjerovati da nijedno nije moguće više od drugog.
Primjer 4. Pojava "grba" i pojava natpisa pri bacanju novčića podjednako su mogući događaji. Zaista, pretpostavlja se da je novčić napravljen od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisustvo kovanog novca ne utiče na gubitak jedne ili druge strane novčića.
Samooznaka velikim slovima latinice: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Suprotnosti se nazivaju 2 jedinstveno moguća so-I, čineći kompletnu grupu. Ako jedno od dva suprotna događaji su označeni sa A, onda su druge oznake A`.
Primjer 5. Pogodak i promašaj prilikom gađanja mete - suprotnog spola. vlastiti.
1.1. Neke informacije iz kombinatorike
1.1.1. Smještaj
Razmotrite najjednostavnije koncepte koji se odnose na odabir i lokaciju određenog skupa objekata.
Brojanje načina na koje se ove radnje mogu izvesti često se radi prilikom rješavanja vjerojatnosnih problema.
Definicija. Smještaj od n elementi po k (k ≤n) je bilo koji uređeni podskup k elemenata skupa koji se sastoji od n razni elementi.
Primjer. Sljedeći nizovi brojeva su rasporedi 2 elementa iz 3 elementa skupa (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Imajte na umu da se položaji razlikuju po redoslijedu svojih sastavnih elemenata i njihovom sastavu. Plasmani 12 i 21 sadrže iste brojeve, ali njihov redoslijed je drugačiji. Stoga se ovi plasmani smatraju različitim.
Broj različitih plasmana od n elementi po k označeno i izračunato formulom:
,
gdje n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(čitaj " n faktorijal).
Broj dvocifrenim brojevima, koji se može sastaviti od brojeva 1, 2, 3, pod uslovom da se nijedna cifra ne ponavlja jednaka: .
1.1.2. Permutacije
Definicija. Permutacije iz n elementi se nazivaju takvi položaji iz n elementi koji se razlikuju samo po rasporedu elemenata.
Broj permutacija od n elementi P n izračunato po formuli: P n=n!
Primjer. Na koliko načina može 5 ljudi stati u red? Broj načina je jednak broju permutacija 5 elemenata, tj.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definicija. Ako među n elementi k identična, onda permutacija ovih n elemenata naziva se permutacija s ponavljanjima.
Primjer. Pretpostavimo da su među 6 knjiga 2 iste. Svaki raspored svih knjiga na polici je permutacija s ponavljanjima.
Broj različitih permutacija s ponavljanjima (od n elemenata, među kojima k identičan) se izračunava po formuli: .
U našem primjeru, broj načina na koje se knjige mogu rasporediti na policu je: .
1.1.3. Kombinacije
Definicija. Kombinacije iz n elementi po k takvi plasmani se nazivaju n elementi po k, koji se međusobno razlikuju po najmanje jednom elementu.
Broj različitih kombinacija n elementi po k označeno i izračunato formulom: .
Po definiciji, 0!=1.
Kombinacije imaju sljedeća svojstva:
1.
2.
3.
4.
Primjer. Ima 5 cvjetova različitih boja. Za buket se biraju 3 cvijeta. Broj različitih buketa od 3 od 5 cvijeća je: .
1.2. slučajni događaji
1.2.1. Događaji
Spoznaja stvarnosti u prirodnim naukama nastaje kao rezultat testova (eksperimenta, posmatranja, iskustva).
test
ili iskustvo je implementacija nekog specifičnog skupa uslova koji se može reprodukovati proizvoljno veliki broj puta.
Slučajno
naziva se događaj koji se može, ali i ne mora dogoditi kao rezultat nekog testa (iskustva).
Dakle, događaj se smatra rezultatom testa.
Primjer. Bacanje novčića je test. Pojava orla kada je bačen je događaj.
Događaji koje posmatramo razlikuju se po stepenu mogućnosti njihovog nastanka i po prirodi njihovog odnosa.
Događaj se zove pouzdan
ako je sigurno da će se pojaviti kao rezultat testa.
Primjer. Student koji na ispitu dobije pozitivnu ili negativnu ocjenu je određen događaj ako se ispit odvija po uobičajenim pravilima.
Događaj se zove nemoguće
ako se ne može dogoditi kao rezultat ovog testa.
Primjer. Vađenje bijele kugle iz urne koja sadrži samo obojene (nebijele) kugle je nemoguć događaj. Imajte na umu da pod drugim uvjetima eksperimenta nije isključena pojava bijele kuglice; dakle, ovaj događaj je nemoguć samo u uslovima našeg iskustva.
Nadalje, slučajni događaji će biti označeni velikom latinicom slova A,B,C... Siguran događaj će biti označen slovom Ω, nemoguć događaj Ø.
Pozivaju se dva ili više događaja podjednako moguće
u datom testu, ako postoji razlog za vjerovanje da nijedan od ovih događaja nije vjerovatniji ili manje vjerovatniji od drugih.
Primjer. Sa jednim bacanjem kocke, pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5 i 6 poena su podjednako mogući događaji. Pretpostavlja se, naravno, da je matrica napravljena od homogenog materijala i pravilnog oblika.
Dva događaja se zovu nekompatibilno
u datom ispitivanju, ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog, i joint
inače.
Primjer. Kutija sadrži standardne i nestandardne dijelove. Uzmimo jedan detalj. Izgled standardnog dijela isključuje izgled nestandardnog dijela. Ovi događaji su nekompatibilni.
Formira se nekoliko događaja kompletna grupa događaja
u ovom testu, ako se kao rezultat ovog testa nužno dogodi barem jedan od njih.
Primjer. Događaji iz primjera čine potpunu grupu jednako mogućih i po parovima nekompatibilnih događaja.
Nazivaju se dva nepovezana događaja koji čine kompletnu grupu događaja u datom ispitivanju suprotnih događaja.
Ako je jedan od njih označen sa A, onda se drugi obično označava kroz (čita se „ne A»).
Primjer. Pogoditi i promašiti jednim udarcem u metu su suprotni događaji.
1.2.2. Klasična definicija vjerovatnoće
Vjerovatnoća događaja
je numerička mjera mogućnosti njegovog nastanka.
Događaj A pozvao povoljno
događaj V ako kad god dođe do nekog događaja A, događaj se dogodi V.
Događaji A 1 , A 2 , ..., An formu dijagram slučaja
, ako oni:
1) podjednako su mogući;
2) su parno nekompatibilni;
3) formirati kompletnu grupu.
U shemi slučajeva (i samo u ovoj shemi) odvija se klasična definicija vjerovatnoće P(A) događaji A. Ovdje se svaki od događaja koji pripada odabranoj kompletnoj grupi jednako mogućih i po parovima nekompatibilnih događaja naziva slučajem.
Ako n je broj svih slučajeva u šemi, i m- broj slučajeva pogodnih za događaj A, onda verovatnoća događaja
A definirana je jednakošću:
Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:
1. Vjerovatnoća siguran događaj je jednako jedan.
Zaista, ako je neki događaj siguran, onda svaka pojava u shemi događaja favorizira događaj. U ovom slučaju m = n i stoga 
2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.
Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan slučaj iz šeme slučajeva ne favorizuje događaj. Dakle m=0 i, prema tome, 
Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
Zaista, slučajni događaj favorizira samo dio ukupnog broja slučajeva u shemi slučajeva. Stoga 0<m<n, što znači 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Trenutno su svojstva vjerovatnoće definirana u obliku aksioma koje je formulirao A.N. Kolmogorov.
Jedna od glavnih prednosti klasične definicije vjerovatnoće je mogućnost direktnog izračunavanja vjerovatnoće događaja, tj. bez pribjegavanja eksperimentima, koji su zamijenjeni logičkim zaključivanjem.
Problemi direktnog izračunavanja vjerovatnoća
Zadatak 1.1. Kolika je vjerovatnoća da dobijete paran broj bodova (događaj A) u jednom bacanju kockice?
Rješenje. Razmotrite događaje Ai- odustao i bodovi, i= 1, 2, …, 6. Očigledno, ovi događaji čine obrazac slučajeva. Zatim broj svih slučajeva n= 6. Slučajevi favorizuju paran broj bodova A 2 , A 4 , A 6 , tj. m= 3. Onda 
.
Zadatak 1.2. Urna sadrži 5 bijelih i 10 crnih kuglica. Kuglice se dobro izmiješaju, a zatim se 1 loptica vadi nasumično. Kolika je vjerovatnoća da je izvučena lopta bijela?
Rješenje. Ukupno ima 15 slučajeva koji čine obrazac slučajeva. I očekivani događaj A- izgled bijele lopte favorizira njih 5, dakle 
.
Zadatak 1.3. Dijete se igra sa šest slova abecede: A, A, E, K, P, T. Pronađite vjerovatnoću da može nasumično dodati riječ KOČIJA (događaj A).
Rješenje. Odluka je komplikovana činjenicom da među slovima postoje ista - dva slova "A". Dakle, broj svih mogućih slučajeva u ovom ispitivanju jednak je broju permutacija sa ponavljanjem od 6 slova:
.
Ovi slučajevi su podjednako mogući, parno nekompatibilni i čine kompletnu grupu događaja, tj. formira dijagram slučaja. Samo jedna šansa ide u prilog događaju A. Dakle
.
Zadatak 1.4. Tanja i Vanja su se dogovorile da Novu godinu dočekaju u društvu od 10 ljudi. Oboje su zaista želeli da sede jedno pored drugog. Kolika je vjerovatnoća da će im se želja ostvariti ako je uobičajeno da se mjesta među prijateljima dijele žrijebom?
Rješenje. Označiti sa A događaj "ispunjenje želje Tanje i Vanje." 10 ljudi može sjediti za stolom od 10! Različiti putevi. Koliko ovih n= 10! da li su podjednako mogući načini povoljni za Tanju i Vanju? Tanja i Vanja, sjedeći jedno pored drugog, mogu zauzeti 20 različitih pozicija. U isto vrijeme, osam njihovih prijatelja može sjediti za stolom 8! na različite načine, dakle m= 20∙8!. dakle, 
.
Zadatak 1.5. Grupa od 5 žena i 20 muškaraca bira tri delegata. Uz pretpostavku da će svaki od prisutnih biti jednako vjerovatno izabran, pronađite vjerovatnoću da će biti izabrane dvije žene i jedan muškarac.
Rješenje. Ukupan broj jednako verovatnih ishoda testa jednak je broju načina na koje se mogu izabrati tri delegata od 25 ljudi, tj. . Izračunajmo sada broj povoljnih slučajeva, tj. koliko se puta dogodi događaj od interesa. Muški delegat se može izabrati na dvadeset načina. Istovremeno, preostala dva delegata moraju biti žene, a možete izabrati dvije žene od pet. Dakle, . Dakle
.
Problem 1.6.Četiri loptice su nasumično razbacane po četiri rupe, svaka loptica upada u jednu ili drugu rupu sa istom vjerovatnoćom i nezavisno od ostalih (nema prepreka da se nekoliko loptica ubaci u istu rupu). Nađite vjerovatnoću da će u jednoj od rupa biti tri lopte, jedna u drugoj, a u druge dvije rupe nijedna kugla.
Rješenje. Ukupan broj slučajeva n=4 4 . Broj načina na koji se može izabrati jedna rupa, gdje će biti tri loptice, . Broj načina na koji možete odabrati rupu u kojoj će biti jedna lopta, . Broj načina na koji možete odabrati tri loptice od četiri loptice da ih stavite u prvu rupu, . Ukupan broj povoljnih slučajeva. Vjerovatnoća događaja: 
Problem 1.7. U kutiji se nalazi 10 identičnih loptica, označenih brojevima 1, 2, ..., 10. Šest loptica se izvlači za sreću. Odrediti vjerovatnoću da će među izvađenim kuglicama biti: a) kugla br. 1; b) loptice #1 i #2.
Rješenje. a) Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju načina na koje se može izvući šest loptica od deset, tj.
Pronađimo broj ishoda koji favorizuju događaj koji nas zanima: među odabranih šest loptica nalazi se kuglica broj 1, a samim tim i preostalih pet lopti imaju različite brojeve. Broj ovakvih ishoda je očigledno jednak broju načina na koje se pet loptica može izabrati od preostalih devet, tj.
Željena vjerovatnoća jednaka je omjeru broja ishoda koji favorizuju događaj koji se razmatra i ukupnog broja mogućih elementarnih ishoda:
b) Broj ishoda koji favorizuju događaj koji nas zanima (među odabranim kuglicama su kuglice br. 1 i br. 2, dakle četiri lopte imaju različite brojeve) jednak je broju načina na koje se četiri lopte mogu izvučeno iz preostalih osam, tj Željena vjerovatnoća 
1.2.3. Statistička vjerovatnoća
Statistička definicija vjerovatnoće se koristi kada ishodi eksperimenta nisu jednako vjerovatni.
Relativna frekvencija događaja
A definirana je jednakošću:
,
gdje m je broj pokušaja u kojima je događaj A došlo je n je ukupan broj izvršenih testova.
J. Bernoulli je dokazao da će se s neograničenim povećanjem broja eksperimenata relativna učestalost pojavljivanja događaja praktično proizvoljno razlikovati od nekog konstantnog broja. Pokazalo se da je taj konstantni broj vjerovatnoća nastanka događaja. Stoga se, prirodno, relativna učestalost pojave događaja sa dovoljno velikim brojem pokušaja naziva statistička vjerovatnoća, za razliku od ranije uvedene vjerovatnoće.
Primjer 1.8. Kako možete približno odrediti broj riba u jezeru?
Pustite u jezero X riba. Bacimo mrežu i, recimo, nađemo u njoj n riba. Označavamo svaku od njih i puštamo je nazad. Nekoliko dana kasnije, po istom vremenu i na istom mjestu, bacili smo istu mrežu. Pretpostavimo da u njemu nalazimo m riba, među kojima k označeno. Neka događaj A- "Ulovljena riba je označena." Zatim po definiciji relativne frekvencije.
Ali ako je u jezeru X riba i pustili smo je n označeno, zatim .
Jer R * (A) » R(A), zatim .
1.2.4. Operacije na događajima. Teorema sabiranja
suma, ili unija, više događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja (u istom testu).
Suma A 1 + A 2 + … + An označeno ovako: 
ili 
.
Primjer. Bacaju se dvije kocke. Neka događaj A sastoji se od bacanja 4 poena na 1 kockicu i događaja V- u bacanju 5 poena na drugu kockicu. Događaji A i V joint. Stoga događaj A +V sastoji se od bacanja 4 poena na prvu kockicu, ili 5 poena na drugu kockicu, ili 4 poena na prvom kocku i 5 poena na drugom kockicu u isto vrijeme.
Primjer. Događaj A– pobjeda na 1 pozajmici, događaju V- dobitak na 2 pozajmice. Onda događaj A+B- osvajanje najmanje jednog kredita (eventualno dva odjednom).
rad ili presek nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničkog nastupa svih ovih događaja (u istom testu).
Posao V događaji A 1 , A 2 , …, An označeno ovako:
.
Primjer. Događaji A i V sastoji se u uspješnom prolasku I i II kruga, respektivno, po prijemu u institut. Onda događaj A×B sastoji se u uspješnom završetku oba kruga.
Koncepti zbira i proizvoda događaja imaju jasnu geometrijsku interpretaciju. Neka događaj A postoji pogodak u tom području A, i događaj V- pogoditi tačku u području V. Onda događaj A+B postoji pogodak tačke u spoju ovih oblasti (slika 2.1), i događaj AV postoji pogodak tačke u preseku ovih oblasti (slika 2.2).
Rice. 2.1 Sl. 2.2
Teorema. Ako događaji A i(i = 1, 2, …, n) su parovi nekompatibilni, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka zbroju vjerovatnoća ovih događaja: 
.
Neka A i Ā
– suprotni događaji, tj. A + a= Ω, gdje je Ω određeni događaj. Iz teoreme sabiranja slijedi da
P(Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, dakle
R(Ā
) = 1 – R(A).
Ako događaji A 1 i A 2 su zajednički, tada je vjerovatnoća zbira dva zajednička događaja jednaka:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Teoreme sabiranja vjerovatnoće omogućavaju prelazak sa direktnog izračunavanja vjerovatnoća na određivanje vjerovatnoća nastanka složenih događaja.
Zadatak 1.8. Strijelac ispaljuje jedan hitac u metu. Verovatnoća izbacivanja 10 poena (događaj A), 9 bodova (događaj V) i 8 bodova (događaj WITH) jednaki su 0,11, respektivno; 0,23; 0.17. Pronađite vjerovatnoću da strijelac jednim udarcem postigne manje od 8 poena (događaj D).
Rješenje. Pređimo na suprotan događaj - jednim udarcem, strijelac će izbaciti najmanje 8 poena. Događaj se događa ako A ili V, ili WITH, tj. . Od događaja A, B, WITH su parno nekonzistentni, onda, prema teoremi sabiranja,
, gdje .
Zadatak 1.9. Iz ekipe brigade, koju čini 6 muškaraca i 4 žene, biraju se dvije osobe za sindikalnu konferenciju. Kolika je vjerovatnoća da je među odabranima barem jedna žena (događaj A).
Rješenje. Ako dođe do nekog događaja A, tada će se nužno dogoditi jedan od sljedećih nekompatibilnih događaja: V- "muškarac i žena su izabrani"; WITH“Odabrane su dvije žene.” Stoga možemo napisati: A=B+C. Pronađite vjerovatnoću događaja V i WITH. Dvije osobe od 10 mogu se izabrati na različite načine. Dvije žene od 4 se mogu izabrati na različite načine. Muško i žensko možete birati na 6×4 načina. Onda . Od događaja V i WITH su nedosljedni, dakle, prema teoremi sabiranja,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problem 1.10. Na polici u biblioteci je nasumično raspoređeno 15 udžbenika, od kojih je pet ukoričeno. Bibliotekar nasumce uzima tri udžbenika. Naći vjerovatnoću da će barem jedan od preuzetih udžbenika biti uvezan (događaj A).
Rješenje. Prvi način. Zahtjev - najmanje jedan od tri ukoričena udžbenika - bit će ispunjen ako se dogodi bilo koji od sljedeća tri nekompatibilna događaja: V- 1 ukoričeni udžbenik WITH- dva ukoričena udžbenika D- Tri ukoričena udžbenika.
Događaj koji nas zanima A može se predstaviti kao zbir događaja: A=B+C+D. Po teoremi sabiranja,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Pronađite vjerovatnoću događaja B, C i D(vidi kombinatorne šeme): 
Predstavljajući ove vjerovatnoće u jednakosti (2.1), konačno dobijamo
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Drugi način. Događaj A(barem jedan od tri uzeta udžbenika ima povez) i Ā
(nijedan od preuzetih udžbenika nema uvez) su, dakle, suprotni P(A) + P(Ā) = 1 (zbir vjerovatnoća dva suprotna događaja je jednak 1). Odavde P(A) = 1 – P(a). Vjerovatnoća da će se događaj dogoditi Ā
(nijedan od preuzetih udžbenika nije ukoričen)
Željena vjerovatnoća
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Uslovna verovatnoća. Teorema množenja vjerovatnoće
Uslovna verovatnoća P(B/A) je vjerovatnoća događaja B, izračunata pod pretpostavkom da se događaj A već dogodio.
Teorema. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva događaja jednaka je umnošku vjerovatnoće jednog od njih sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio:
P(A∙B) = P(A)∙P( V/A). (2.2)
Dva događaja se nazivaju nezavisnim ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog, tj.
P(A) = P(A/B) ili P(B) = P(B/A). (2.3)
Ako događaji A i V su nezavisni, onda formule (2.2) i (2.3) impliciraju
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Tačna je i obrnuta izjava, tj. ako jednakost (2.4) vrijedi za dva događaja, onda su ti događaji nezavisni. Zaista, formule (2.4) i (2.2) impliciraju
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), gdje P(A) = P(B/A).
Formula (2.2) se može generalizirati na slučaj konačnog broja događaja A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …A n -1).
Zadatak 1.11. Iz urne koja sadrži 5 bijelih i 10 crnih loptica izvlače se dvije loptice u nizu. Pronađite vjerovatnoću da su obje lopte bijele (događaj A).
Rješenje. Razmotrite događaje: V- prva izvučena loptica je bijela; WITH– druga izvučena lopta je bela. Onda A = BC.
Iskustvo se može ostvariti na dva načina:
1) sa vraćanjem: nakon fiksiranja boje, izvučena lopta se vraća u urnu. U ovom slučaju, događaji V i WITH nezavisni:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) bez zamjene: izvučena lopta se stavlja u stranu. U ovom slučaju, događaji V i WITH zavisan:
P(A) = P(B)∙P(C/V).
Za događaj V uslovi su isti, i za WITH situacija se promijenila. Desilo se V, tako da je u urni ostalo 14 kuglica, od kojih su 4 bijele.
Dakle, .
Zadatak 1.12. Od 50 sijalica, 3 su nestandardne. Pronađite vjerovatnoću da su dvije sijalice snimljene u isto vrijeme nestandardne.
Rješenje. Razmotrite događaje: A- prva sijalica je nestandardna, V- druga sijalica je nestandardna, WITH- obe sijalice su nestandardne. To je jasno C = A∙V. događaj A favorizuju 3 slučaja od 50 mogućih, tj. P(A) = 3/50. Ako je događaj A se već desio, događaj V favorizuju dva slučaja od 49 mogućih, tj. P(B/A) = 2/49. dakle,
.
Zadatak 1.13. Dva sportista nezavisno pucaju u istu metu. Verovatnoća da pogodi metu prvog sportiste je 0,7, a drugog 0,8. Kolika je vjerovatnoća da će cilj biti pogođen?
Rješenje. Meta će biti pogođena ako je pogodi ili prvi strijelac, ili drugi, ili oboje, tj. desiće se događaj A+B, gdje je događaj A sastoji se u pogađanju mete od strane prvog sportiste i događaja V- sekunda. Onda
P(A+V)=P(A)+P(B)–P(A∙V)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problem 1.14. U čitaonici postoji šest udžbenika iz teorije vjerovatnoće, od kojih su tri ukoričena. Bibliotekarka je nasumce uzela dva udžbenika. Naći vjerovatnoću da će dva udžbenika biti povezana.
Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju događaja : A– prvi preuzeti udžbenik ima povez, V- Drugi udžbenik je ukoričen. Verovatnoća da prvi udžbenik ima uvez,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Vjerovatnoća da je drugi udžbenik ukoričen, s obzirom da je prva uzeta knjiga ukoričena, tj. uslovna verovatnoća događaja V, je li ovo: P(B/A) = 2/5.
Željena vjerovatnoća da oba udžbenika imaju vezu, prema teoremi množenja za vjerovatnoće događaja, jednaka je
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Problem 1.15. Radnja zapošljava 7 muškaraca i 3 žene. Tri osobe su nasumično odabrane prema broju osoblja. Pronađite vjerovatnoću da su sve odabrane osobe muškarci.
Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju događaja: A- prvi odabran muškarac V- drugi odabrani muškarac, SA - treći izabrani čovek. Vjerovatnoća da je muškarac prvi odabran P(A) = 7/10.
Verovatnoća da će muškarac biti izabran drugi, pod uslovom da je muškarac već izabran prvi, tj. uslovna verovatnoća događaja V sljedeći : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Verovatnoća da će muškarac biti izabran treći, pod uslovom da su dva muškarca već izabrana, tj. uslovna verovatnoća događaja WITH je: P(C/AB) = 5/8.
Željena vjerovatnoća da su sve tri odabrane osobe muškarci, P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula
Neka B 1 , B 2 ,…, B n su parno nekompatibilni događaji (hipoteze) i A- događaj koji se može dogoditi samo u vezi sa jednim od njih.
Obavijestite nas također R(B i) i P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Pod ovim uslovima važe formule: 
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se zove formula ukupne vjerovatnoće
. Izračunava vjerovatnoću događaja A(puna vjerovatnoća).
Formula (2.6) se zove Bayesova formula
. Omogućava vam da ponovo izračunate vjerovatnoće hipoteza ako je događaj A dogodilo.
Prilikom sastavljanja primjera zgodno je uzeti u obzir da hipoteze čine potpunu grupu.
Zadatak 1.16. Korpa sadrži jabuke sa četiri stabla iste sorte. Od prve - 15% svih jabuka, od druge - 35%, od treće - 20%, od četvrte - 30%. Zrele jabuke su 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrana jabuka zrela? A).
b) Pod uslovom da se slučajno uzeta jabuka pokazala zrelom, izračunajte vjerovatnoću da je sa prvog stabla.
Rješenje. a) Imamo 4 hipoteze:
B 1 - nasumično uzeta jabuka uzima se sa 1. drveta;
B 2 - nasumično uzeta jabuka se uzima sa 2. drveta;
B 3 - nasumično uzeta jabuka uzima se sa 3. drveta;
B 4 - nasumično uzeta jabuka se uzima sa 4. drveta.
Njihove vjerovatnoće prema uslovu: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Uslovne vjerovatnoće događaja A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Vjerovatnoća da će nasumično odabrana jabuka biti zrela nalazi se po formuli ukupne vjerovatnoće:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayesova formula za naš slučaj ima oblik: 
.
Problem 1.17. Bijela kugla se baci u urnu u kojoj se nalaze dvije kuglice, nakon čega se jedna loptica nasumično izvlači. Naći vjerovatnoću da će izvučena lopta biti bijela ako su sve moguće pretpostavke o početnom sastavu loptica (po boji) jednako moguće.
Rješenje. Označiti sa A događaj - izvučena je bijela lopta. Moguće su sljedeće pretpostavke (hipoteze) o početnom sastavu loptica: B1 nema bijelih kuglica U 2- jedna bela lopta U 3- dve bele lopte.
Pošto postoje ukupno tri hipoteze, a zbir vjerovatnoća hipoteza je 1 (pošto čine kompletnu grupu događaja), onda je vjerovatnoća svake od hipoteza 1/3, tj.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena, s obzirom na to da u urni u početku nije bilo bijelih loptica, P(A/B 1)=1/3. Uslovna vjerovatnoća da će biti izvučena bijela kugla, s obzirom da je urna prvobitno sadržavala jednu bijelu kuglu, P(A/B 2)=2/3. Uslovna vjerovatnoća da će biti izvučena bijela kugla, s obzirom da je urna prvobitno sadržavala dvije bijele kugle. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Željena vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena nalazi se po formuli ukupne vjerovatnoće:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Zadatak 1.18. Dvije mašine proizvode iste dijelove koji se dovode na zajednički transporter. Performanse prve mašine su dvostruko veće od druge. Prva mašina proizvodi u prosjeku 60% dijelova odličnog kvaliteta, a druga - 84%. Nasumično uzet dio sa montažne trake pokazao se odličnog kvaliteta. Pronađite vjerovatnoću da je ovaj predmet proizvela prva mašina.
Rješenje. Označiti sa A događaj je izuzetno kvalitetan predmet. Mogu se napraviti dvije pretpostavke: B1- dio proizvodi prva mašina, i (pošto prva mašina proizvodi dvostruko više dijelova od druge) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - dio je proizveden drugom mašinom, i P(B 2) = 1/3.
Uslovna vjerovatnoća da će dio biti odličnog kvaliteta ako ga proizvede prva mašina, P(A/B 1)=0,6.
Uslovna vjerovatnoća da će dio biti odličnog kvaliteta ako ga proizvodi druga mašina, P(A/B 1)=0,84.
Vjerovatnoća da će slučajno odabrani dio biti odličnog kvaliteta, prema formuli ukupne vjerovatnoće, jednaka je
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Željena vjerovatnoća da prvi automat proizvede odličan dio, prema Bayesovoj formuli, jednaka je
Zadatak 1.19. Postoje tri serije delova sa po 20 delova. Broj standardnih dijelova u prvoj, drugoj i trećoj seriji je 20, 15, odnosno 10. Dio koji se pokazao kao standardni je nasumično izvučen iz odabrane serije. Dijelovi se vraćaju u seriju, a dio se nasumično uklanja iz iste serije po drugi put, što se također ispostavlja standardno. Pronađite vjerovatnoću da su dijelovi uzeti iz treće serije.
Rješenje. Označiti sa A događaj - u svakom od dva testa (sa povratkom), preuzet je standardni dio. Mogu se postaviti tri hipoteze: B 1 - dijelovi se uklanjaju iz prve serije, V 2
– dijelovi se uzimaju iz druge serije, V 3 - dijelovi se uklanjaju iz treće serije.
Detalji su uzeti nasumično iz uzete serije, tako da su vjerovatnoće hipoteza iste: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Pronađite uslovnu vjerovatnoću P(A/B 1), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti izvučena uzastopno iz prve serije. Ovaj događaj je pouzdan, jer. u prvoj seriji svi dijelovi su standardni, dakle P(A/B 1) = 1.
Pronađite uslovnu vjerovatnoću P(A/B 2), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti sekvencijalno izdvojena (sa povratkom) iz druge serije: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Pronađite uslovnu vjerovatnoću P(A/B 3), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti sukcesivno uklonjena (sa vraćanjem) iz treće serije: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Željena vjerovatnoća da su oba ekstrahirana standardna dijela uzeta iz treće serije, prema Bayesovoj formuli, jednaka je 
1.2.7. Ponovni testovi
Ako se izvrši nekoliko testova, i vjerovatnoća događaja A u svakom ispitivanju ne zavisi od ishoda drugih ispitivanja, onda se takva ispitivanja nazivaju nezavisno u odnosu na događaj A. U različitim nezavisnim suđenjima, događaj A mogu imati ili različite vjerovatnoće ili istu vjerovatnoću. Dalje ćemo razmatrati samo takva nezavisna suđenja u kojima se događaj A ima istu vjerovatnoću.
Neka se proizvede P nezavisna ispitivanja, od kojih svaki događaj A može se pojaviti ili ne mora. Pretpostavimo da je vjerovatnoća događaja A u svakom testu je isti, odnosno jednak R. Dakle, vjerovatnoća da se događaj ne dogodi A u svakom testu je također konstantan i jednak 1– R. Takva probabilistička shema se naziva Bernoullijeva šema. Postavimo sebi zadatak da izračunamo vjerovatnoću da P Bernoulli događaj suđenja A tačno će se ostvariti k jednom ( k- broj uspjeha) i stoga neće biti realizovani P- jednom. Važno je naglasiti da nije potrebno da se događaj A tačno ponovljeno k puta u određenom nizu. Označite željenu vjerovatnoću R p (k).
Na primjer, simbol R 5 (3) znači vjerovatnoću da će se u pet pokušaja događaj pojaviti tačno 3 puta i stoga se neće dogoditi 2 puta.
Problem se može riješiti korištenjem tzv Bernoullijeve formule, koji izgleda ovako: 
.
Problem 1.20. Jednaka je vjerovatnoća da potrošnja električne energije u toku jednog dana neće premašiti utvrđenu normu R=0,75. Pronađite vjerovatnoću da u narednih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.
Rješenje. Vjerovatnoća normalne potrošnje električne energije tokom svakog od 6 dana je konstantna i jednaka R=0,75. Stoga je vjerovatnoća prekomjerne potrošnje električne energije svakog dana također konstantna i jednaka q= 1–R=1–0,75=0,25.
Željena vjerovatnoća prema Bernoullijevoj formuli je jednaka
.
Zadatak 1.21. Dva jednaka šahista igraju šah. Šta je vjerovatnije: pobijediti u dvije utakmice od četiri ili tri utakmice od šest (remi se ne uzimaju u obzir)?
Rješenje. Igraju jednaki šahisti, pa je vjerovatnoća pobjede R= 1/2, dakle vjerovatnoća gubitka q je takođe jednako 1/2. Jer u svim partijama je vjerovatnoća pobjede konstantna i nije bitno kojim redoslijedom se dobivaju partije, tada je primjenjiva Bernoullijeva formula.
Pronađite vjerovatnoću da će dvije od četiri igre biti dobijene:
Pronađite vjerovatnoću da će tri od šest igara biti dobijene:
Jer P 4 (2) > P 6 (3), veća je vjerovatnoća da će pobijediti dvije utakmice od četiri nego tri od šest.
Međutim, to se može vidjeti korištenjem Bernoullijeve formule za velike vrijednosti n prilično je teško, jer formula zahtijeva izvođenje operacija na ogromnim brojevima i stoga se greške akumuliraju u procesu proračuna; kao rezultat toga, konačni rezultat se može značajno razlikovati od pravog.
Za rješavanje ovog problema postoji nekoliko graničnih teorema koje se koriste za slučaj velikog broja pokušaja.
1. Poissonova teorema
Prilikom provođenja velikog broja testova prema Bernoullijevoj shemi (s n=> ∞) i sa malim brojem povoljnih ishoda k(pod pretpostavkom da je vjerovatnoća uspjeha str mala), Bernulijeva formula se približava Poissonovoj formuli 
.
Primjer 1.22. Verovatnoća braka u proizvodnji jedinice proizvodnje od strane preduzeća je jednaka str=0,001. Kolika je vjerovatnoća da će u proizvodnji 5000 jedinica proizvoda biti manje od 4 neispravna (događaj A Rješenje. Jer n je velika, koristimo lokalnu Laplaceovu teoremu: 
Izračunaj x:
Funkcija 
je paran, dakle φ(–1,67) = φ(1,67).
Prema tabeli Dodatka A.1 nalazimo φ(1,67) = 0,0989.
Željena vjerovatnoća P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplasova integralna teorema
Ako je vjerovatnoća R pojava događaja A u svakom ogledu prema Bernoullijevoj shemi je konstantan i različit od nule i jedan, zatim sa velikim brojem pokušaja n, vjerovatnoća R p (k 1 , k 2) pojava događaja A u ovim suđenjima k 1 to k 2 puta približno jednako
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), gdje 
je Laplaceova funkcija,
Definitivni integral u Laplaceovoj funkciji nije izračunat na klasi analitičkih funkcija, pa se za njegovo izračunavanje koristi tabela 1. Tačka 2, data u dodatku.
Primjer 1.24. Vjerovatnoća da se događaj dogodi u svakom od sto nezavisnih ispitivanja je konstantna i jednaka str= 0,8. Odrediti vjerovatnoću da će se događaj dogoditi: a) najmanje 75 puta i najviše 90 puta; b) najmanje 75 puta; c) ne više od 74 puta.
Rješenje. Koristimo Laplaceovu integralnu teoremu:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), gdje je F( x) je Laplaceova funkcija,
a) Po uslovu n = 100, str = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Izračunaj x"" i x" :
S obzirom da je Laplaceova funkcija neparna, tj. F(- x) = – F( x), dobijamo
P 100 (75; 90) = F (2,5) - F (-1,25) = F (2,5) + F (1,25).
Prema tabeli P.2. pronađi aplikacije:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Željena vjerovatnoća
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Zahtjev da se događaj dogodi najmanje 75 puta znači da broj pojavljivanja događaja može biti jednak 75, ili 76, ... ili 100. Dakle, u slučaju koji se razmatra treba uzeti k 1 = 75, k 2 = 100. Onda 
.
Prema tabeli P.2. aplikacijama, nalazimo F (1.25) = 0.3944; F(5) = 0,5.
Željena vjerovatnoća
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Događaj - " A pojavio najmanje 75 puta" i " A pojavio ne više od 74 puta” su suprotni, pa je zbir vjerovatnoća ovih događaja 1. Dakle, željena vjerovatnoća
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
