A b na Kubi. Izgradnja kocke. Odakle dolaze formule skraćenim množenjem
Vježba je operacija, usko povezana sa množenjem, ova operacija je rezultat višestrukog pomnožavanja bilo kojeg broja na sebi. Prikazujem formulu: A1 * A2 * ... * an \u003d an.
Na primjer, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Općenito, izložba se često koristi u raznim formulama u matematici i fizici. Ova značajka ima naučničku destinaciju od četiri glavna: dodatak, oduzimanje, množenje, podjela.
Erekcija
Elekcija broja nije komplicirana. Povezano je s množenjem sličnim množenjem i dodavanju. Snimanje an je sažetak N-TH, broj brojeva "" "pomnoženi jedan od drugog.
Razmotrite vježbu u mjeri u najvećim primjerima, prelazeći u kompleks.
Na primjer, 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Četiri kvadrata (drugi stepen) je šesnaest godina. Ako ne razumijete množenje od 4 * 4, a zatim pročitajte naše za množenje.
Razmotrite još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet na Kubi (u trećem stepenu) jednak je sto dvadeset pet.
Drugi primer: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet na Kubi jednako je sedam stotina od dvadeset devet.
Formule
Da biste kompetentno uspravili u mjeri, morate se sjetiti i znati dolje navedene formule. Nema ničeg prirodnog, glavno je razumjeti suštinu i tada se neće samo pamtiti, ali oni će izgledati svjetlo.
Podignut
Šta se predstavlja sama? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva - otrchene. A ovo je montaža takvih univerzija ovaj članak.
Iskoristite prednost formula za vježbu za izračunavanje izgradnje univerzalnog u mjeri neće biti teško.
Na primjer, (3x ^ 2Y ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4Y ^ 6; Ako je zauzet u diplomi, tada se svaki kompozit nepaže u diplomu.
Jednostavno u važbinoj mjeri već ima diplomu, stepen se pomnoženo. Na primjer, (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;
Negativan
Negativna diploma - suprotan broj. Koji je suprotan broj? Bilo koji broj X Reverse bit će 1 / x. To je, X-1 \u003d 1 / x. Ovo je suština negativnog stepena.
Razmislite o primjeru (3Y) ^ - 3:
(3y) ^ - 3 \u003d 1 / (27y ^ 3).
Žašto je to? Budući da postoji minus diplomu, tada se taj izraz jednostavno prenosi na nazivnik, a zatim je postavljen u treći stepen. Taman?
Unakrsna diploma
Počnimo s obzirom na to pitanje na određenom primjeru. 43/2. Šta radi stepen 3/2? 3 - Brojčanik, znači montažu broja (u ovom slučaju 4) u kocki. Broj 2 je denominator, to je vađenje korijena drugog stepena iz (u ovom slučaju 4).
Zatim dobivamo kvadratni korijen od 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Odgovor: 8.
Dakle, nazivnik frakcijskog stepena može biti i 3 i 4 i u beskonačnost bilo kojim brojem i taj broj određuje stupanj kvadratnog korijena izvučen iz navedenog broja. Naravno, nazivnik ne može biti nula.
Brz korijen
Ako se korijen postavlja u diplomu jednak stupnju samog korijena, tada će odgovor biti izraz hranjenja. Na primjer, (√h) 2 \u003d x. I tako u bilo kojem slučaju jednakost stepena korijena i stepen izgradnje korijena.
Ako (√x) ^ 4. To (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Da biste provjerili odluku prebacili izraz izraz s frakcijskim stupnjem. Budući da je korijen kvadrat, nazivnik je 2. i ako se korijen podiže u četvrti stepen, a zatim broj 4. Dobivamo 4/2 \u003d 2. Odgovor: x \u003d 2.
U svakom slučaju, najbolja opcija se jednostavno prenosi na izraz s frakcijskim stupnjem. Ako se frakcija ne smanji, tada će ovaj odgovor i biti pod uvjetom da se korijen određenog broja ne dodjeljuje.
Konstrukcija u stupnju integriranog broja
Šta je sveobuhvatan broj? Složeni broj je izraz koji ima formulu A + B * i; A, B - važeći brojevi. Ja - broj koji broj -1 daje na trgu.
Razmotrite primjer. (2 + 3i) ^ 2.
(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.
Prijavite se za tečaj "Ubrzajte usmeni račun, a ne mentalni aritmetički" da biste saznali kako brzo i ispravno preklopiti, odbiti, pomnožiti, podijeliti, uspraviti brojeve na kvadrat i čak izdvojiti korijenje. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne tehnike za pojednostavljivanje aritmetičkih operacija. U svakoj lekciji, nove tehnike, razumljivi primjeri i korisni zadaci.
Na mreži
Uz pomoć našeg kalkulatora, možete izračunati montažu broja do stepena:
7. razreda
Vježba počinje prolaziti školarci samo u sedmom razredu.
Vježba je operacija, usko povezana sa množenjem, ova operacija je rezultat višestrukog pomnožavanja bilo kojeg broja na sebi. Prikazujem formulu: A1 * A2 * ... * an \u003d an.
Na primjer, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Primjeri za rješavanje:
Prezentacija
Prezentacija o vježbi u mjeri u kojoj se izračunava na sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nerazumljive trenutke, ali vjerovatno neće biti takvih trenutaka zahvaljujući našem članku.
Ishod
Pregledali smo samo vrh ledenog brijega da bismo razumjeli matematiku bolje - prijavite se za naš kurs: ubrzati oralni račun nije mentalna aritmetika.
Od tečaja nećete samo prepoznati desetine tehnika za pojednostavljene i brzo množenje, dodavanje, množenje, podjele, izračunavanje kamate, ali i oni ih rade u posebnim zadacima i obrazovnim igrama! Usmeni račun također zahtijeva veliku pažnju i koncentracije koje su aktivno obučene za rješavanje zanimljivih zadataka.
Matematički izrazi (formule) skraćeno umnožavanje (Kvadratne količine i razlike, iznosi kocke i razlike, razlika kvadrata, količinu i razliku kockica) izuzetno su zamijenjeni u mnogim područjima tačnih nauka. Ovih 7 snimka znakova ne zamjenjuju pojednostavljivanje izraza, rješavajući jednadžbe, umnožavanjem polinoma, smanjujućim frakcijama, rešavanjem integrala i mnogih drugih stvari. Dakle, bit će vrlo korisno shvatiti kako se dobijaju, za koje su potrebne, a što je najvažnije, kako ih se sjetiti i zatim primijeniti. Zatim se prijavite formule skraćenim množenjem U praksi će najteže videti šta je H.i šta je y. Očito, nema ograničenja za sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b.ne, što znači da može biti bilo koji numerički ili slova slova.
I tako evo i oni:
Prvo x 2 - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . Da se izračuna kvadratna razlika Dva izraza trebaju umnožiti razliku između ovih izraza na svojim iznosima.
Sekunda (x + y) 2 \u003d x 2 + 2h + u 2 . Naći kvadratni iznos Potrebno je dodati dva izraza na kvadrat prvog izraza da doda dvostruki proizvod prvog izraza na drugom plus kvadratu drugog izražavanja.
Treće (x - y) 2 \u003d x 2 - 2h + u 2. Da se izračuna kvadratna razlikapotrebni su dva izraza sa kvadrata prvog izraza da se oduzme dvostruki proizvod prvog izraza na drugom plutu Trgu drugog izražavanja.
Četvrti (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 y + 3h 2 + 3. Da se izračuna iznos kockedva izraza treba dodati na Kubu prvog izraza da se dodaju utrostručeni rad kvadrata prvog izraza na drugom plutu udvostručenog proizvoda prvog izraza na trgu plus kocku drugog izražavanja.
Peti (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 y + 3h 2 - 3.. Da se izračuna razlika u kockidva izraza potrebna su od prve kocke za izraz da se utrostruirani rad kvadrata prvog izraza u drugom izrazu u drugom izrazu na drugom izrazu drugog izražavanja.
Šest x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - HU + U 2) Da se izračuna količina kockicadva izraza trebaju pomnožiti od svojih iznosa prvog i drugog izraza na nepotpunom kvadratu razlike u tim izrazima.
Sedmu x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + HU + U 2) Da biste napravili izračun kubične razlikedva izraza trebaju pomnožiti razliku između prvog i drugog izraza na nepotpunom kvadratu zbroja ovih izraza.
Nije teško zapamtiti da se sve formule primjenjuju na rad proračuna i u suprotnom smjeru (desno na lijevo).
Prije oko 4 hiljade godina na postojanje ovih obrazaca. Široko su ih koristili stanovnici drevnog Babilona i Egipta. Ali u tim epohom izrazili su verbalno ili geometrijski i tokom kalkulacija nisu koristili pisma.
Shvatićemo dokaz s kvadratnom suzmu(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2.
Prvo ovo matematički obrazac Dokazao je drevni grčki naučnik, koji je radio u Aleksandriji u III veku prije Krista, koristio je geometrijski način za evof formule, jer naučnici drevne ellale nisu koristili pisma za imenovanje brojeva. Oni su univerzalno koristili ne "a 2", ali "kvadrat na segmentu A", a ne "AB", već "pravokutnik, zaključen između segmenata A i B".
U prethodnoj lekciji bavili smo se razgradnjom množitelja. Dva puta su savladane: čineći zajednički faktor za nosače i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeći moćan način: formule skraćenim množenjem. U kratkom zapisu - FSU.
Formule skraćeno umnožavanje (kvadrat zbroja i razlike, kocke iznosa i razlike, razlika u kvadratima, sumu i razliku od kockica) u svim se dijelovima matematike izuzetno neophodne. Koriste se u pojednostavljivim izrazima, rješavanju jednadžbi, umnožavanja polinoma, smanjenja frakcija, rešavanje integrala itd. itd. Ukratko, postoji svaki razlog za rješavanje njih. Da biste shvatili kako su odvedeni, zašto su im potrebni, kako ih se sjetiti i kako se prijaviti.
Razumijemo?)
Odakle dolaze skraćene formule množenja?
Ravnopravnost 6 i 7 nisu napisane vrlo poznatim. Kao da je naprotiv. Ovo je posebno.) Svaka jednakost djeluje i s lijeva na desno i pravo na lijevo. U takvom je zapisu jasno odakle dolazi FSU.
Oni se uzimaju iz množenja.) Na primjer:
(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
To su sve, nema naučnih trikova. Samo promijenite zagrade i dajte ih. Pa se ispostavilo sve formule skraćenim množenjem. Skraćen Množenje je zato što u samim formulama ne postoji umnožavanje nosača i donose slično. Smanjeno.) Odmah je dao rezultate.
FSU treba znati srcem. Bez prve tri, ne možete sanjati o Trojki, bez ostalih - oko četvrtog sa pet.)
Zašto formule skraćene potrebe množenja?
Postoje dva razloga, naučite, čak i da biste dobili ove formule. Prvi - gotov odgovor na stroju oštro smanjuje broj grešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali drugi ...
Ako vam se sviđa ova stranica ...
Uzgred, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Može se pristupiti u rješavanju primjera i saznati vaš nivo. Ispitivanje sa trenutnim čekom. Naučite - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati sa karakteristikama i derivatima.
Formule ili skraćena pravila množenja koriste se u aritmetičkoj, ili bolje rečeno - u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebrijskih izraza. Sami formule dobivaju se iz pravila koja postoje u algebri za množenje nekoliko polinoma.
Upotreba ovih formula pruža prilično operativno rješenje različitih matematičkih zadataka, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarske transformacije omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, nakon što je moguće dobiti izraz s desne strane u lijevom dijelu ravnopravnosti ili za pretvorbu desnog dijela jednakosti (za postizanje desne strane izraz koji stoji na lijevoj strani nakon znaka ravnopravnosti).
Prikladno je znati formule koje se koriste za skraćeno umnožavanje, kao i oni se često koriste u rješavanju problema i jednadžbi. Ispod su osnovne formule uključene na ovaj popis i njihovo ime.
Kvadratni iznos
Da bi se izračunali kvadrat iznosa, potrebno je pronaći iznos koji se sastoji od kvadrata prvog izraza, udvostručen je proizvod prvog izraza na drugom i kvadratu druge. U obliku izražavanja, ovo je pravilo napisano na sljedeći način: (a + c) ² \u003d a² + 2as + c².
Kvadratna razlika
Da bi izračunali kvadrat razlike, potrebno je izračunati iznos koji se sastoji od kvadrata prvog broja dva puta prvi broj u sekundu (snimljeno sa suprotnim znakom) i kvadrat drugog broja. U obliku izražavanja, ovo je pravilo sljedeće: (a - c) ² \u003d a² - 2as + c².
Kvadratna razlika
Formula za razliku od dva broja postavljena u kvadrat jednaka je količini zbroja tih brojeva na njihovoj razlici. U obliku izražavanja, ovo je pravilo sljedeće: a² - c² \u003d (A + C) · (A - C).
Iznos kocke
Da bi se izračunala kocka od svojih dva komponenta, potrebno je izračunati iznos koji se sastoji od kocke prvog izraza, utrostručenog rada Trga prvog mandata, a drugi, utrostručen proizvod prvog izraza i Drugi na trgu, kao i kocku drugog mandata. U obliku izražavanja, ovo je pravilo sljedeće: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3AS² + c³.
Količina kockica
Prema formuli, jednak je iznosu iznosa odredbi komponenti na njihovom nepotpunom kvadratu razlike. U obliku izražavanja, ovo je pravilo sljedeće: A³ + C³ \u003d (A + C) · (a² - AC + C²).
Primjer. Potrebno je izračunati jačinu oblika, koji se formira dodavanjem dvije kocke. Takođe su poznate samo vrijednosti njihovih stranaka.
Ako su vrijednosti stranaka male, onda jednostavno izvedite proračune.
Ako se dužina strana izrazila u glomaznim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primjenjivati \u200b\u200bformulu "količina kockica", koja će značajno pojednostaviti proračune.
Razlika u kocki
Izraz za kubnu razliku zvuči ovako: kao zbroj trećeg stepena prvog mandata, utrostručio je negativan rad Trga prvog člana na drugom, utrostručio se prvog člana na Trg druge i negativne kocka drugog mandata. U obliku matematičkog izražavanja razlika u kocci izgleda ovako: (a - c) ³ \u003d a³ - 3A² + 3AS² - c³.
Kubične razlike
Formula za razliku kocke razlikuje se od količine kockica samo jedan znak. Dakle, razlika u kockica je formula jednaka proizvodu razlike podataka između njihovog nepotpunog kvadratnog iznosa. Razlika iz kockica je sljedeća: A 3 - od 3 \u003d (A - C) (i 2 + AC + C 2).
Primjer. Potrebno je izračunati jačinu količine broja koja će ostati nakon oduzimanja od glasnoće plave kocke žutog obrisa žute boje, što je ujedno i kocka. Poznato je samo jaknu bočne strane male i velike kocke.
Ako su vrijednosti strana male, tada su izračuni sasvim jednostavni. A ako su dužine stranaka izražene značajnim brojevima, potrebno je primijeniti formulu pod nazivom "Razlike kockica" (ili "kocke razlike"), što će značajno pojednostaviti proračun.
Tri greške, od kojih je svaka jednaka x. (\\ displaystyle x.) Ova aritmetička operacija naziva se "erekcija u kocki", naznačen je njegov rezultat X 3 (\\ DisplayStyle x ^ (3)):
x 3 \u003d x ⋅ x ⋅ x (\\ displaystyle x ^ (3) \u003d x \\ cdot x \\ cdot x)Za izgradnju kocke obrnuta operacija je vađenje kubnog korijena. Geometrijsko ime trećeg stepena " kubični"Zbog činjenice da su antikni matematičari smatrali kockama kubični brojevi, posebna vrsta figurednih brojeva (vidi dolje), od popisa brojeva X (\\ displaystyle x) jednak zapreminu kocke s dužinom rebra jednako X (\\ displaystyle x).
Slijed kocke
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Količina kockica prvo N (\\ displaystyle n) Pozitivni prirodni brojevi izračunavaju se formulom:
Σ I \u003d 1 ni 3 \u003d 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 \u003d (n (n + 1) 2) 2 (\\ displaystyle \\ suma _ (i \u003d 1) ^ (n) i ^ (3) \u003d 1 ^ (3) + 2 ^ (3) + 3 ^ (3) + \\ LDots + n ^ (3) \u003d \\ lijevo ((\\ frac (n (n + 1)) (2)) \\ Desno) ^ (2))Povlačenje formule
Količina kockica može se prikazati pomoću tabli za množenje i zbroj zbroja aritmetičkog napredovanja. S obzirom na ilustraciju metode, dva tabela množenja 5 × 5, izvedu rezonovanje za tablice n × n.
|
|
Iznos brojeva u K-OH (k \u003d 1,2, ...) Odabrano područje prve tablice:
K 2 + 2 k Σ Σ Σ \u003d 1 K - 1 L \u003d K 2 + 2 KK (K - 1) 2 \u003d K 3 (\\ DisplayStyle k ^ (2) + 2K \\ suma _ (l \u003d 1) ^ (k- 1) l \u003d k ^ (2) + 2k (\\ frac (k (k - 1)) (2)) \u003d k ^ (3))I zbroj brojeva u K-OH (k \u003d 1,2, ...) Odabrani prostor drugog stola, koji je aritmetički napredak:
k σ l \u003d 1 n l \u003d k n (n + 1) 2 (\\ displaystyle k \\ sume _ (l \u003d 1) ^ (n) l \u003d k (\\ frac (n (n + 1)) (2))Sažimamo kroz sva odabrana područja prve tablice, dobivamo isti broj kao i sažeti na svim odabranim područjima druge tablice:
Σ K \u003d 1 NK 3 \u003d Σ K \u003d 1 NKN (N + 1) 2 \u003d N (N + 1) 2 Σ K \u003d 1 NK \u003d (N (N + 1) 2) 2 (\\ DisplayStyle \\ suma _ (k) \u003d 1) ^ (n) k ^ (3) \u003d \\ suma _ (k \u003d 1) ^ (n) k (\\ frac (n (n + 1)) (\\ frac (n (n (n +) \u003d 1)) (2)) \\ suma _ (k \u003d 1) ^ (n) k \u003d \\ lijevo ((\\ frac (n (n + 1)) (2)) \\ desno) ^ (2))Neka svojstva
- U decimalnom zapisu, kocka može završiti na bilo kojoj cifri (za razliku od trg)
- U decimalnom zapisu, dvije posljednje kocke mogu biti 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 19, 21, 23, 29, 29, 21, 23, 29, 31 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 51, 52, 59, 61, 51, 52, 53, 61, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Zavisnost pretpostavke kocke iz potonjeg može biti zastupljena kao sljedeća tabela:
Kuba kao kovrčava brojevi
"Kubični broj" Q n \u003d n 3 (\\ displaystyle q_ (n) \u003d n ^ (3)) Povijesno, smatralo se raznim brojevima prostornih brojeva. Može se zastupno kao razlika kvadrata uzastopnih trokutastih brojeva. T n (\\ displaystyle t_ (n)):
Q n \u003d (t n) 2 - (t n - 1) 2, n ⩾ 2 (\\ chandStyle q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2) - (t_ (n - 1)) ^ (2), n \\ geqsLant 2) Q 1 + q 2 + q + ⋯ + q n \u003d (t n) 2 (\\ disptystyle q_ (1) + q_ (2) + q_ (3) + \\ dots + q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2)))Razlika između dva susjedna kubika je središta je šesterokutni broj.
Izraz kubnog broja putem tetraedrara Π N (3) (\\ Displaystyle \\ pi _ (n) ^ ((3))).
