Kreacija

Pronađite površinu romba pomoću formule prijavite se sa. Četiri formule koje se mogu koristiti za izračunavanje površine romba. Svojstva romba. Formule površine trapeza

Matematika je školski predmet koji izučavaju svi, bez obzira na profil razreda. Međutim, ona nije svima miljenica. Ponekad nezasluženo. Ova nauka studentima stalno postavlja izazove koji omogućavaju njihovom mozgu da se razvija. Matematika odlično održava dječije sposobnosti razmišljanja. Jedna od njegovih sekcija posebno se dobro nosi s tim - geometrija.

Bilo koja od tema koje se u njemu proučavaju vrijedna je pažnje i poštovanja. Geometrija je način da se razvije prostorna imaginacija. Primjer je tema o područjima oblika, posebno rombova. Ove zagonetke mogu dovesti do ćorsokaka ako ne razumijete detalje. Zato što su mogući različiti pristupi pronalaženju odgovora. Nekima je lakše zapamtiti različite verzije formula koje su napisane u nastavku, dok ih drugi mogu sami dobiti iz prethodno naučenog materijala. U svakom slučaju, bezizlaznih situacija nema. Ako malo razmislite, sigurno ćete pronaći rješenje.

Neophodno je odgovoriti na ovo pitanje kako bi se razumjeli principi dobijanja formula i tok zaključivanja u problemima. Uostalom, da biste razumjeli kako pronaći površinu romba, morate jasno razumjeti kakva je to figura i koja su njena svojstva.

Radi praktičnosti razmatranja paralelograma, koji je četverougao sa upareno paralelnim stranicama, uzet ćemo ga kao „roditelja“. Ima dvoje "djece": pravougaonik i romb. Oba su paralelograma. Ako nastavimo paralele, onda je ovo “prezime”. To znači da za pronalaženje površine romba možete koristiti već proučavanu formulu za paralelogram.

Ali, kao i sva djeca, i romb ima nešto svoje. To ga čini malo drugačijim od "roditelja" i omogućava da se posmatra kao zasebna figura. Na kraju krajeva, pravougaonik nije romb. Da se vratimo na paralele - oni su kao brat i sestra. Imaju mnogo toga zajedničkog, ali se ipak razlikuju. Ove razlike su njihova posebna svojstva koja treba koristiti. Bilo bi čudno znati za njih i ne primjenjivati ih u rješavanju problema.

Ako nastavimo analogiju i prisjetimo se još jedne figure - kvadrata, onda će to biti nastavak romba i pravokutnika. Ova figura kombinuje sva svojstva oba.

Svojstva romba

Ima ih pet i oni su navedeni u nastavku. Štaviše, neki od njih ponavljaju svojstva paralelograma, dok su neki svojstveni samo dotičnoj figuri.

Romb je paralelogram koji je poprimio poseban oblik. Iz ovoga slijedi da su njegove stranice parno paralelne i jednake. Štaviše, nisu jednaki u parovima, ali to je sve. Kao što bi to bilo za kvadrat.
Dijagonale ovog četvorougla seku se pod uglom od 90º. Ovo je zgodno i uvelike pojednostavljuje tok zaključivanja prilikom rješavanja problema.
Još jedno svojstvo dijagonala: svaka od njih je podijeljena točkom presjeka na jednake segmente.
Uglovi ove figure koja leži jedan naspram drugog su jednaki.
I posljednje svojstvo: dijagonale romba se poklapaju sa simetralama uglova.

Notacije usvojene u razmatranim formulama

U matematici rješavate probleme koristeći uobičajene slovne izraze koji se nazivaju formule. Tema o kvadratima nije izuzetak.

Da biste prešli na bilješke koje će vam reći kako pronaći površinu romba, morate se složiti oko slova koja zamjenjuju sve numeričke vrijednosti elemenata figure.

Sada je vrijeme da napišemo formule.

Podaci o problemu uključuju samo dijagonale romba

Pravilo kaže da da biste pronašli nepoznatu količinu, morate pomnožiti dužine dijagonala, a zatim proizvod podijeliti na pola. Rezultat podjele je površina romba kroz dijagonale.

Formula za ovaj slučaj će izgledati ovako:

Neka ova formula bude broj 1.

Problem daje stranu romba i njegovu visinu

Da biste izračunali površinu, morat ćete pronaći proizvod ove dvije veličine. Ovo je možda najjednostavnija formula. Štaviše, poznato je i iz teme o površini paralelograma. Tamo je takva formula već proučavana.

Matematička notacija:

Broj ove formule je 2.

Poznata strana i oštri ugao

U ovom slučaju, trebate kvadratirati veličinu stranice romba. Zatim pronađite sinus ugla. I s trećom radnjom, izračunajte proizvod dvije rezultirajuće količine. Odgovor će biti površina romba.

Doslovni izraz:

Njegov serijski broj je 3.

Zadate veličine: poluprečnik upisane kružnice i oštar ugao

Da biste izračunali površinu romba, morate pronaći kvadrat polumjera i pomnožiti ga sa 4. Odredite vrijednost sinusa kuta. Zatim podijelite proizvod s drugom količinom.

Formula ima sljedeći oblik:

Biće označen brojem 4.

Problem uključuje stranu i polumjer upisane kružnice

Da biste odredili kako pronaći površinu romba, morat ćete izračunati proizvod ovih količina i broja 2.

Formula za ovaj problem će izgledati ovako:

Njegov serijski broj je 5.

Primjeri mogućih zadataka

Problem 1

Jedna od dijagonala romba je 8 cm, a druga 14 cm. Potrebno je pronaći površinu figure i dužinu njegove stranice.

Rješenje

Da biste pronašli prvu količinu, trebat će vam formula 1, u kojoj je D 1 = 8, D 2 = 14. Tada se površina izračunava na sljedeći način: (8 * 14) / 2 = 56 (cm 2).

Dijagonale dijele romb na 4 trougla. Svaka od njih će sigurno biti pravokutna. Ovo se mora koristiti za određivanje vrijednosti druge nepoznate. Strana romba postat će hipotenuza trokuta, a noge će biti polovice dijagonala.

Tada je a 2 = (D 1 /2) 2 + (D 2 /2) 2. Nakon zamjene svih vrijednosti, dobijamo: a 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Ali ovo je kvadrat stranice. To znači da trebamo uzeti kvadratni korijen od 65. Tada će dužina stranice biti otprilike 8,06 cm.

Odgovor: površina je 56 cm2, a stranica 8,06 cm.

Problem 2

Stranica romba ima vrijednost jednaku 5,5 dm, a visina mu je 3,5 dm. Pronađite površinu figure.

Rješenje

Da biste pronašli odgovor, trebat će vam formula 2. U njoj je a = 5,5, H = 3,5. Zatim, zamjenjujući slova u formuli brojevima, nalazimo da je željena vrijednost 5,5 * 3,5 = 19,25 (dm 2).

Odgovor: Površina romba je 19,25 dm2.

Problem 3

Oštar ugao određenog romba je 60º, a njegova manja dijagonala je 12 cm. Potrebno je izračunati njegovu površinu.

Rješenje

Da biste dobili rezultat, trebat će vam formula broj 3. U njoj, umjesto Aće biti 60, a vrijednost A nepoznato.

Da biste pronašli stranu romba, morat ćete zapamtiti teoremu o sinusima. U pravouglu Aće biti hipotenuza, kraći krak jednak je polovini dijagonale, a ugao je podijeljen na pola (poznato iz svojstva gdje se spominje simetrala).

Onda na stranu A bit će jednak proizvodu kraka i sinusa ugla.

Nogu treba izračunati kao D/2 = 12/2 = 6 (cm). Sinus (A/2) će biti jednak njegovoj vrijednosti za ugao od 30º, odnosno 1/2.

Nakon jednostavnih proračuna, dobijamo sljedeću vrijednost za stranu romba: a = 3 (cm).

Sada je površina proizvod 3 2 i sinusa od 60º, odnosno 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (cm 2).

Odgovor: tražena vrijednost je (9√3)/2 cm 2.

Rezultati: sve je moguće

Ovdje smo pogledali neke opcije kako pronaći površinu romba. Ako u problemu nije direktno jasno koju formulu koristiti, onda morate malo razmisliti i pokušati povezati prethodno proučene teme. U drugim temama sigurno će biti nagovještaj koji će pomoći u povezivanju poznatih veličina s onima u formulama. I problem će biti riješen. Glavna stvar je zapamtiti da se sve prethodno naučeno može i treba koristiti.

Osim predloženih zadataka, mogući su i inverzni problemi, kada koristite površinu figure potrebno je izračunati vrijednost nekog elementa romba. Zatim trebate koristiti jednačinu koja je najbliža uvjetu. Zatim transformirajte formulu, ostavljajući nepoznatu količinu na lijevoj strani jednakosti.

Romb je posebna figura u geometriji. Zahvaljujući svojim posebnim svojstvima, ne postoji jedna, već nekoliko formula koje se mogu koristiti za izračunavanje površine romba. Koja su to svojstva i koje su najčešće formule za pronalaženje površine ove figure? Hajde da to shvatimo.

Koja geometrijska figura se naziva romb?

Prije nego što saznate koja je površina romba, vrijedi saznati o kakvoj se figuri radi.

Iz vremena euklidske geometrije, romb je simetričan četverougao, čije su sve četiri strane jednake po dužini i paralelne u parovima.

Poreklo termina

Naziv ove figure došao je u većinu modernih jezika iz grčkog, posredstvom latinskog. „Prethodnik“ reči „romb“ bila je grčka imenica ῥόμβος (tambura). Iako je stanovnicima dvadesetog veka, naviknutim na okrugle tambure, teško da ih zamisle u bilo kom drugom obliku, među Helenima su ovi muzički instrumenti tradicionalno bili ne okrugli, već u obliku dijamanta.

U većini modernih jezika ovaj matematički termin se koristi kao na latinskom: rombus. Međutim, na engleskom se rombovi ponekad nazivaju dijamant (dijamant ili dijamant). Ova figura je dobila ovaj nadimak zbog svog posebnog oblika, koji podsjeća na dragi kamen. U pravilu se sličan termin ne koristi za sve rombove, već samo za one kod kojih je ugao presjeka njegovih dviju strana jednak šezdeset ili četrdeset pet stupnjeva.

Ova figura se prvi put spominje u djelima grčkog matematičara koji je živio u prvom vijeku nove ere - Herona Aleksandrijskog.

Koja svojstva ima ova geometrijska figura?

Da biste pronašli površinu romba, prije svega morate znati koje karakteristike ima ova geometrijska figura.

Pod kojim uslovima je paralelogram romb?

Kao što znate, svaki romb je paralelogram, ali nije svaki paralelogram romb. Da bismo precizno rekli da je predstavljena figura zaista romb, a ne jednostavan paralelogram, ona mora odgovarati jednoj od tri glavne karakteristike koje razlikuju romb. Ili sva tri odjednom.

Dijagonale paralelograma seku se pod uglom od devedeset stepeni.
Dijagonale dijele uglove na dva dijela, djelujući kao njihove simetrale.
Ne samo paralelne, već i susjedne stranice imaju istu dužinu. Ovo je, inače, jedna od glavnih razlika između romba i paralelograma, jer druga figura ima samo paralelne stranice jednake dužine, ali ne i susjedne.

Pod kojim uslovima je romb kvadrat?

Prema svojim svojstvima, u nekim slučajevima romb može istovremeno postati kvadrat. Da biste jasno potvrdili ovu izjavu, jednostavno zarotirajte kvadrat u bilo kojem smjeru za četrdeset pet stupnjeva. Dobivena figura će biti romb, čiji je svaki ugl jednak devedeset stepeni.

Također, da biste potvrdili da je kvadrat romb, možete uporediti karakteristike ovih figura: u oba slučaja sve strane su jednake, a dijagonale su simetrale i sijeku se pod uglom od devedeset stepeni.

Kako saznati površinu romba koristeći njegove dijagonale

U modernom svijetu na Internetu možete pronaći gotovo sve materijale za obavljanje potrebnih proračuna. Dakle, postoji mnogo resursa opremljenih programima za automatsko izračunavanje površine određene figure. Štoviše, ako (kao u slučaju romba) postoji nekoliko formula za to, tada je moguće odabrati koja je najpogodnija za korištenje. Međutim, prije svega, morate biti u mogućnosti sami izračunati površinu romba bez pomoći računala i kretati se po formulama. Ima ih mnogo za romb, ali najpoznatija od njih su četiri.

Jedan od najjednostavnijih i najčešćih načina da saznate površinu ove figure je ako imate informacije o dužini njegovih dijagonala. Ako problem ima ove podatke, onda možete primijeniti sljedeću formulu da pronađete površinu: S = KM x LN/2 (KM i LN su dijagonale romba KLMN).

Pouzdanost ove formule možete provjeriti u praksi. Recimo da romb KLMN ima dužinu jedne dijagonale KM - 10 cm, a druge LN - 8 cm. Zatim ove podatke zamenimo u gornju formulu i dobijemo sledeći rezultat: S = 10 x 8/ 2 = 40 cm 2.

Formula za izračunavanje površine paralelograma

Postoji još jedna formula. Kao što je gore navedeno u definiciji romba, on nije samo četverougao, već i paralelogram, i ima sve karakteristike ove figure. U ovom slučaju, da biste pronašli njegovu površinu, preporučljivo je koristiti formulu koja se koristi za paralelogram: S = KL x Z. U ovom slučaju, KL je dužina stranice paralelograma (romba), a Z je dužina visine povučene na ovu stranu.

U nekim problemima dužina stranice nije navedena, ali je poznat obim romba. Budući da je formula za pronalaženje gore navedena, možete je koristiti da saznate dužinu stranice. Dakle, obim figure je 10 cm. Dužina stranice se može naći tako da se obimna formula obrne i podijeli 10 sa 4. Rezultat će biti 2,5 cm - ovo je željena dužina stranice romba.

Sada vrijedi pokušati zamijeniti ovaj broj u formulu, znajući da je dužina visine povučene u stranu također jednaka 2,5 cm. Sada pokušajmo staviti ove vrijednosti u gornju formulu za površinu a paralelogram. Ispada da je površina romba S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Drugi načini za izračunavanje površine romba

Oni koji su već savladali sinuse i kosinuse mogu koristiti formule koje ih sadrže da pronađu površinu romba. Klasičan primjer je sljedeća formula: S = KM 2 x Sin KLM. U ovom slučaju, površina figure je jednaka umnošku dviju strana romba pomnoženom sa sinusom kuta između njih. A pošto su sve strane u rombu iste, lakše je odmah kvadrirati jednu stranu, kao što je prikazano u formuli.

Ovu šemu provjeravamo u praksi, i to ne samo za romb, već i za kvadrat, koji, kao što znate, ima sve prave uglove, što znači da su jednaki devedeset stepeni. Recimo da je jedna od stranica 15 cm.Također je poznato da je sinus ugla od 90° jednak jedan. Tada je, prema formuli, S = 15 x 15 x Sin 90° = 255 x 1 = 255 cm 2.

Pored gore navedenog, u nekim slučajevima se koristi i druga formula, koristeći sinus za određivanje površine romba: S = 4 x R 2 /Sin KLM. U ovoj izvedbi koristi se polumjer kružnice upisane u romb. Podiže se na stepen kvadrata i množi sa četiri. A cijeli rezultat je podijeljen sa sinusom ugla najbližeg upisanoj figuri.

Kao primjer, radi jednostavnosti proračuna, uzmimo opet kvadrat (sinus njegovog ugla uvijek će biti jednak jedan). Poluprečnik kruga upisanog u njega je 4,4 cm. Tada će se površina romba izračunati na sljedeći način: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2

Gore navedene formule za pronalaženje polumjera romba daleko su od jedine takve vrste, ali ih je najlakše razumjeti i izvršiti proračune.

je paralelogram u kojem su sve strane jednake, onda na njega vrijede sve iste formule kao i za paralelogram, uključujući formulu za pronalaženje površine kroz proizvod visine i stranica.

Područje romba se može naći i poznavanjem njegovih dijagonala. Dijagonale dijele romb na četiri apsolutno identična pravokutna trougla. Ako ih sortiramo da dobijemo pravougaonik, tada će njegova dužina i širina biti jednake jednoj cijeloj dijagonali i polovini druge dijagonale. Stoga se površina romba nalazi množenjem dijagonala romba, smanjenih za dva (kao površina rezultirajućeg pravokutnika).

Ako imate na raspolaganju samo ugao i stranu, onda možete koristiti dijagonalu kao pomoćnika i nacrtati je nasuprot poznatog kuta. Zatim će podijeliti romb na dva podudarna trokuta, čije će se površine sabrati da bismo dobili površinu romba. Površina svakog od trokuta bit će jednaka polovini umnoška kvadrata stranice i sinusa poznatog ugla, kao površina jednakokračnog trokuta. Budući da postoje dva takva trokuta, koeficijenti se smanjuju, ostavljajući samo stranu na drugi stepen i sinus:

Ako upišete kružnicu unutar romba, tada će se njegov radijus odnositi na stranu pod uglom od 90°, što znači da će dvostruki polumjer biti jednak visini romba. Zamjenom umjesto visine h=2r u prethodnu formulu, dobijamo površinu S=ha=2ra

Ako uz polumjer upisane kružnice nije data stranica, već ugao, tada morate prvo pronaći stranu crtajući visinu na način da dobijete pravokutni trokut sa datim kutom. Tada se strana a može naći iz trigonometrijskih relacija koristeći formulu . Zamjenom ovog izraza u istu standardnu formulu za površinu romba, dobivamo

Romb (od starogrčkog ῥόμβος i od latinskog rombus "tamburin") je paralelogram koji se odlikuje prisustvom stranica jednake dužine. Kada su uglovi 90 stepeni (ili pravi ugao), takva geometrijska figura se naziva kvadrat. Romb je geometrijska figura, vrsta četverokuta. Može biti i kvadrat i paralelogram.

Poreklo ovog pojma

Razgovarajmo malo o povijesti ove figure, što će nam pomoći da otkrijemo malo tajanstvenih tajni drevnog svijeta. Nama poznata riječ, koja se često nalazi u školskoj literaturi, "romb", potiče od starogrčke riječi "tambura". U staroj Grčkoj, ovi muzički instrumenti su se proizvodili u obliku dijamanta ili kvadrata (za razliku od modernih uređaja). Sigurno ste primijetili da boja karata - dijamanti - ima rombični oblik. Formiranje ovog odijela datira iz vremena kada se okrugli dijamanti nisu koristili u svakodnevnom životu. Shodno tome, romb je najstarija istorijska ličnost koju je čovječanstvo izmislilo mnogo prije pojave točka.

Po prvi put su takve poznate ličnosti kao što su Heron i papa Aleksandrije upotrijebile riječ kao što je "romb".

Svojstva romba

Kako su stranice romba jedna naspram druge i paralelne su u parovima, onda je romb nesumnjivo paralelogram (AB || CD, AD || BC).
Rombične dijagonale se sijeku pod pravim uglom (AC ⊥ BD), pa su stoga okomite. Prema tome, presjek siječe dijagonale na pola.
Simetrale rombičnih uglova su dijagonale romba (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, itd.).
Iz identiteta paralelograma proizilazi da je zbir svih kvadrata dijagonala romba broj kvadrata stranice, koji se množi sa 4.

Znakovi dijamanta

Romb je paralelogram kada ispunjava sljedeće uslove:

Sve strane paralelograma su jednake.
Dijagonale romba sijeku pravi ugao, odnosno okomite su jedna na drugu (AC⊥BD). Ovo dokazuje pravilo tri strane (stranice su jednake i pod uglom od 90 stepeni).
Dijagonale paralelograma jednako dijele uglove jer su stranice jednake.

Područje romba

Površina romba jednaka je broju koji je polovina proizvoda svih njegovih dijagonala.
Budući da je romb neka vrsta paralelograma, površina romba (S) je proizvod stranice paralelograma i njegove visine (h).
Osim toga, površina romba se može izračunati pomoću formule, koja je proizvod kvadrata stranice romba i sinusa kuta. Sinus ugla je alfa - ugao koji se nalazi između strana originalnog romba.
Formula koja je proizvod dvostrukog ugla alfa i polumjera upisane kružnice (r) smatra se sasvim prihvatljivom za ispravno rješenje.

Šta je Rhombus? Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake.

ROMB, lik na ravni, četvorougao sa jednakim stranicama. Romb je poseban slučaj PARALELOGRAMA, u kojem su ili dvije susjedne strane jednake, ili se dijagonale sijeku pod pravim uglom, ili dijagonala siječe ugao na pola. Romb sa pravim uglovima naziva se kvadrat.

Klasična formula za površinu romba je izračunavanje vrijednosti kroz visinu. Površina romba jednaka je umnošku stranice i visine povučene na tu stranu.

1. Površina romba jednaka je umnošku stranice i visine povučene na ovu stranu:

\[ S = a \cdot h \]

2. Ako je poznata stranica romba (sve strane romba su jednake) i ugao između stranica, tada se površina može naći pomoću sljedeće formule:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Površina romba je također jednaka poluproizvodu dijagonala, odnosno:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Ako su poluprečnik r kružnice upisane u romb i stranica romba a poznati, tada se njegova površina izračunava po formuli:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Svojstva romba

Na gornjoj slici, \(ABCD\) je romb, \(AC = DB = CD = AD\) . Pošto je romb paralelogram, on ima sva svojstva paralelograma, ali postoje i svojstva koja su svojstvena samo rombu.

Možete uklopiti krug u bilo koji romb. Središte kružnice upisane u romb je presjek njegovih dijagonala. Radijus kruga jednako polovini visine romba:

\[ r = \frac( AH )(2) \]