Twisters

Примери за логаритмични изрази. Основни свойства на логаритмите. Формули за логаритми. Примери за решение на логаритми

Проблем B7 предоставя някакъв израз, който трябва да бъде опростен. В резултат на това трябва да получите обикновен номер, който можете да запишете в листа за отговори. Всички изрази са условно разделени на три типа:

логаритмичен,
Показателен,
Комбиниран.

Демонстративни и логаритмични изрази в чиста форма практически не се срещат. Все пак е задължително да знаете как се изчисляват.

Като цяло, проблем B7 може да бъде решен доста просто и е по силите на обикновения завършил. Липсата на ясни алгоритми се компенсира от стандарта и монотонността в него. Да се научите как да решавате такива проблеми може просто да се дължи на голям брой тренировки.

Логаритмични изрази

По-голямата част от проблемите B7 съдържат логаритми под една или друга форма. Тази тема традиционно се счита за трудна, тъй като нейното изучаване по правило попада в 11-ти клас - ерата на масовата подготовка за финални изпити. В резултат на това много завършили имат много бегло разбиране за логаритмите.

Но в тази задача никой не изисква дълбоки теоретични познания. Ще се натъкнем само на най-простите изрази, които изискват несложни разсъждения и могат да бъдат овладени сами. По-долу са основните формули, които трябва да знаете, за да се справите с логаритмите:

Освен това човек трябва да може да заменя корените и дробите със степени с рационален показател, в противен случай в някои изрази просто няма да има какво да се извади от знака на логаритъма. Формули за заместване:

Задача. Намерете стойности на израза:
log 6 270 - log 6 7.5
log 5 775 - log 5 6.2

Първите два израза се преобразуват като разлика на логаритмите:
log 6 270 - log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 - log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

За да изчислите третия израз, ще трябва да изберете степените - както в основата, така и в аргумента. Първо, нека намерим вътрешния логаритъм:

След това - външно:

Конструкциите на формата log a log b x изглеждат сложни и неразбираеми за мнозина. Междувременно това е само логаритъмът на логаритъма, т.е. log a (log b x). Първо се изчислява вътрешният логаритъм (поставя се log b x = c), а след това външният: log a c.

Илюстративни изрази

Експоненциален израз ще наричаме всяка конструкция от вида a k, където числата a и k са произволни константи, а a> 0. Методите за работа с такива изрази са доста прости и се разглеждат в уроците по алгебра в 8. клас.

По-долу са основните формули, които трябва да знаете. Прилагането на тези формули на практика, като правило, не създава проблеми.

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n - m;
(a n) m = a n m;
(a b) n = a n b n;
(a: b) n = a n: b n.

Ако се срещне сложен израз със степени и не е ясно как да се подходи към него, се използва универсален похват - факторизация. В резултат на това големите числа в основата на градусите се заменят с прости и разбираеми елементи. След това остава само да приложите горните формули - и проблемът ще бъде решен.

Задача. Намерете стойностите на изразите: 7 9 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Решение. Нека разложим всички бази на степените на прости множители:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Комбинирани задачи

Ако знаете формулите, тогава всички експоненциални и логаритмични изрази се решават буквално на един ред. В задача B7 обаче степените и логаритмите могат да се комбинират, образувайки доста силни комбинации.

раздели: математика

Тип урок:урок по обобщаване и систематизиране на знанията

цели:

да актуализира знанията на студентите за логаритмите и техните свойства в рамките на обобщено повторение и подготовка за изпит;
да насърчава развитието на умствената дейност на учениците, умения за прилагане на теоретични знания при изпълнение на упражнения;
насърчават развитието на личностните качества на учениците, уменията за самоконтрол и самооценка на дейността им; възпитават трудолюбие, търпение, постоянство, независимост.

Оборудване:компютър, проектор, презентация (Приложение 1), карти за домашна работа (можете да прикачите файл със заданието в електронния дневник).

По време на занятията

I. Организационен момент. Поздрави, настроение за урока.

II. Обсъждане на домашната работа.

III. Съобщаване на темата и целта на урока. Мотивация.(Слайд 1) Презентация.

Продължаваме обобщеното повторение на курса по математика в подготовка за изпита. И днес в урока ще говорим за логаритмите и техните свойства.

Задачите за изчисляване на логаритми и преобразуване на логаритмични изрази задължително присъстват в контролните и измервателни материали както на основното, така и на профилното ниво. Следователно целта на нашия урок е да възстановим представите за значението на понятието „логаритъм“ и да актуализираме уменията за преобразуване на логаритмични изрази. Запишете темата на урока в тетрадките си.

IV. Актуализация на знанията.

1. / Устно /Първо, нека си спомним какво се нарича логаритъм. (Слайд 2)

(Логаритъмът на положително число b спрямо основа a (където a> 0 и? 1) е степента, до която числото a трябва да се повиши, за да се получи числото b)

Log a b = n<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)

И така, „ЛОГАРИТЪМ“ е „ИНДИКАТОР НА ГРАДУС“!

(Слайд 3) Тогава a n = b може да се пренапише като = b - основна логаритмична идентичност.

Ако основата a = 10, тогава логаритъмът се нарича десетичен и означава lgb.

Ако a = e, тогава логаритъмът се нарича естествен и се означава с lnb.

2. / Писмено / (Слайд 4)Попълнете празните места, за да получите правилните равенства:

Дневник? x + Log a? = Дневник? (? у)

Регистрирайте се? - Дневник? y = Дневник? (х /?)

Регистрирайте x? = pLog? (?)

Преглед:

1; 1; а, у, х; x, a, a, y; р, а, х.

Това са свойства на логаритмите. И още една група имоти: (Слайд 5)

Преглед:

a, 1, n, x; n, x, p, a; x, b, a, y; а, х, б; а, 1, б.

V. Устна работа

(Слайд 6) #1. Изчисли:

a B C D); д).

Отговори : а) 4; б) - 2; в 2; г) 7; д) 27.

(Слайд 7) #2. Намерете X:

а) ; б) (Отговори: а) 1/4; б) 9).

номер 3 Има ли смисъл да се разглежда такъв логаритъм:

а) ; б); v) ? (Не)

Vi. Самостоятелна работав групи, силни обучаеми - консултанти. (Слайд 8)

№ 1. Изчислете: .

# 2. Опростете:

№ 3. Намерете значението на израза ако

# 4. Опростете израза:

№ 5. Изчислете:

№ 6. Изчислете:

№ 7. Изчислете:

№ 8. Изчислете:

След завършване - проверка и обсъждане на изготвеното решение или с помощта на документ камера.

VII. Решаване на задача с повишена сложност(силен ученик на черната дъска, останалите в тетрадките) (Слайд 9)

Намерете значението на израза:

VIII. Домашна работа(на карти) диференцирани.(Слайд 10)

#1. Изчисли:

#2. Намерете значението на израза:

FF Лисенко и др. Математика. Тематични тестове 10 - 11 клас. Част 1 / Ростов на Дон: "Легион", 2008 г

В. В. Кочагин Интензивно обучение. Единен държавен изпит по математика. / М: "Ексмо", 2008г

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСИ:

Л.В.Артамонова, учител по математика, МУ "Москаленски лицей" Презентация "В страната на логаритмите"
A.A.Kuksheva, МОУ "Егориевска СОУ" Презентация "Логаритми и техните свойства"

Логаритмите, както всички числа, могат да се добавят, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са точно обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Задължително е да знаете тези правила - без тях не може да се реши сериозна логаритмична задача. Освен това те са много малко – всичко може да се научи за един ден. Така че нека започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Да разгледаме два логаритъма с една и съща основа: log а хи дневник а г... След това те могат да се добавят и изваждат и:

дневник а х+ дневник а г= дневник а (х · г);
дневник а х- дневник а г= дневник а (х : г).

И така, сборът от логаритмите е равен на логаритъма на произведението, а разликата е логаритъмът на частното. Моля, обърнете внимание, ключовият момент тук е - идентични основания... Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се броят (вижте урока „ Какво е логаритъм"). Разгледайте примерите - и вижте:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 - log 2 3.

Основите са еднакви, използваме формулата за разлика:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 - log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се броят отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Но какъв контрол - такива изрази с пълна сериозност (понякога - практически непроменени) се предлагат на изпита.

Премахване на степента от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъма се основава на степен? Тогава степента на тази степен може да бъде извадена от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно е да се види, че последното правило следва първите две. Но е по-добре да го запомните все едно - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODV на логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата пред знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:
[Надпис на фигура]

Забележете, че знаменателят съдържа логаритъма, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ние имаме:

[Надпис на фигура]

Мисля, че последният пример се нуждае от малко пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на стоящия там логаритъм под формата на градуси и изведохме индикаторите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната дроб. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да премахнем дроба - знаменателят остава 2/4. Според правилата на аритметиката четирите могат да бъдат прехвърлени в числителя, което беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преминаване към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритмите, специално подчертах, че те работят само за едни и същи основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

На помощ идват формули за преход към нова основа. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека на логаритъма е даден log а х... След това за произволно число ° Стакъв, че ° С> 0 и ° С≠ 1, равенството е вярно:
[Надпис на фигура]
По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:
[Надпис на фигура]

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргумента на логаритъма, но в този случай целият израз е "обърнат", т.е. логаритъмът се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в конвенционалните числови изрази. Доколко са удобни е възможно да се прецени само при вземане на решение логаритмични уравненияи неравенства.

Има обаче задачи, които по принцип не се решават освен с прехода към нова основа. Помислете за няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Сега нека „превърнем“ втория логаритъм:

[Надпис на фигура]

Тъй като произведението не се променя от пермутацията на факторите, ние спокойно умножихме четирите и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 · lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от показателите:

[Надпис на фигура]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като се преместим към новата основа:

[Надпис на фигура]

Основна логаритмична идентичност

Често в процеса на решаване се изисква числото да се представи като логаритъм към дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай номерът нстава показател за степента на правоспособност в аргумента. номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така: основна логаритмична идентичност.

Всъщност, какво ще стане, ако номерът бдо такава степен, че числото бдо тази степен дава числото а? Точно така: получавате точно това число а... Прочетете внимателно този абзац отново - много хора се "окачват" на него.

Подобно на формулите за преход към нова основа, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:
[Надпис на фигура]

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто преместихте квадрата извън основата и аргумента логаритъм. Като се вземат предвид правилата за умножаване на градуси със същата основа, получаваме:

[Надпис на фигура]

Ако някой не е запознат, това беше истински проблем от изпита :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две идентичности, които трудно могат да се нарекат свойства – по-скоро са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се сблъскват с проблеми и изненадващо създават проблеми дори за "напреднали" ученици.

дневник а а= 1 е логаритмичната единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъм към всяка основа аот самата тази основа е равно на единица.
дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът е единица, логаритъмът е нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от дефиницията.

Това са всички имоти. Не забравяйте да практикувате прилагането им! Изтеглете листа за мами в началото на урока, разпечатайте го и решете проблемите.

Диапазон от валидни стойности (ODZ) на логаритъма

Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ е диапазонът на разрешените стойности на променливите).

Помним, че например квадратният корен не може да бъде извлечен от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде нула. Логаритмите имат подобни ограничения:

Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, а основата също не може да бъде равна.

Защо така?

Нека започнем просто: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като независимо каква степен вдигаме, винаги се оказва. Освен това не съществува за никого. Но в същото време той може да бъде равен на всичко (по същата причина е равен на всяка степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.

Имаме подобен проблем в случая: във всяка положителна степен е, но изобщо не може да се повиши до отрицателна степен, тъй като ще се получи разделение на нула (запомнете това).

Когато сме изправени пред проблема за повишаване на дробна степен (който е представен като корен:. Например, (тоест), но не съществува.

Следователно е по-лесно да изхвърлите негативните основания, отколкото да се занимавате с тях.

Е, тъй като основата а имаме само положително, то без значение в каква степен я повишаваме, винаги получаваме строго положително число. Следователно аргументът трябва да е положителен. Например, то не съществува, тъй като по никакъв начин няма да бъде отрицателно число (и дори нула, следователно и то не съществува).

При проблеми с логаритмите първата стъпка е да запишете ODV. Нека ви дам пример:

Нека решим уравнението.

Нека си спомним дефиницията: логаритъмът е степента, до която трябва да се повиши основата, за да се получи аргументът. И по условие тази степен е равна на:.

Получаваме обичайното квадратно уравнение:. Нека го решим с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна, а произведението. Лесно за избор, това са числа и.

Но ако веднага вземете и запишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за задачата. Защо? Нека помислим какво се случва, ако поставим тези корени в първоначалното уравнение?

Това очевидно е неправилно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е "отвън".

За да избегнете подобни неприятни трикове, трябва да запишете ODV дори преди да започнете да решавате уравнението:

След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.

Пример 1(опитайте се да го решите сами) :

Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете най-малкия от тях в отговора си.

Решение:

Първо, нека напишем ODZ:

Сега нека си спомним какво е логаритъм: до каква степен трябва да повишите основата, за да получите аргумент? Секундата. Това е:

Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е външен, тоест изобщо не е корен на даденото уравнение. Следователно уравнението има само един корен:.

Отговор: .

Основна логаритмична идентичност

Нека си спомним дефиницията на логаритъм най-общо:

Заместете във второто равенство вместо логаритъма:

Това равенство се нарича основна логаритмична идентичност... Въпреки че по същество това равенство е просто написано по различен начин дефиниция на логаритъм:

Това е степента, до която трябва да се повишите, за да получите.

Например:

Решете следните примери:

Пример 2.

Намерете значението на израза.

Решение:

Нека си припомним правилото от раздела: тоест при повишаване на степен в степен показателите се умножават. Нека го приложим:

Пример 3.

Докажи това.

Решение:

Свойства на логаритмите

За съжаление задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната му форма и едва след това ще бъде възможно да се изчисли стойността. Най-лесният начин да направите това е да знаете свойства на логаритмите... Така че нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всеки един от тях, защото всяко правило се запомня по-лесно, ако знаете откъде идва.

Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето проблеми с логаритмите не могат да бъдат решени.

И сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.

Свойство 1:

доказателство:

Нека тогава.

Имаме: и др.

Свойство 2: Сума от логаритми

Сборът от логаритмите със същите основи е равен на логаритъма на произведението: .

доказателство:

Нека тогава. Нека тогава.

пример:Намерете значението на израза:.

Решение: .

Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритмите, а не разликата, така че тези логаритми не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - "разделете" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: какво значение има?

Сега е очевидно, че.

Сега опростете се:

задачи:

Отговори:

Свойство 3: Разлика на логаритмите:

доказателство:

Всичко е точно както в точка 2:

Нека тогава.

Нека тогава. Ние имаме:

Примерът от последния параграф сега става още по-прост:

По-сложен пример:. Можете ли да познаете как да решите?

Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите в квадрата. Това е нещо подобно на израз - това не може да бъде опростено веднага.

Затова нека се отклоним от формулите за логаритмите и да помислим какви формули използваме най-често в математиката? Дори от 7-ми клас!

То - . Трябва да свикнете с факта, че те са навсякъде! Те се срещат в експоненциални, тригонометрични и ирационални задачи. Следователно те трябва да бъдат запомнени.

Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това разлика на квадратите:

Отговор за проверка:

Опростете се.

Примери за

Отговори.