Практиката на изучаване на случайни явления показва, че въпреки че резултатите от отделни наблюдения, дори и тези, проведени при едни и същи условия, могат да се различават значително, в същото време средните резултати за достатъчно голям брой наблюдения са стабилни и слабо зависят от резултати от индивидуални наблюдения.

Теоретичната основа за това забележително свойство на случайните явления е закон на големите числа. Наименованието „закон за големите числа“ обединява група от теореми, които установяват стабилността на средните резултати от голям брой случайни явления и обясняват причината за тази стабилност.

Най-простата форма на закона за големите числа и исторически първата теорема от този раздел е Теорема на Бернули, което гласи, че ако вероятността за дадено събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаването на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността на събитието и престава да бъде случайна.

Теоремата на Поасон гласи, че честотата на събитие в поредица от независими опити клони към средноаритметичната стойност на неговите вероятности и престава да бъде случайна.

Пределни теореми на теорията на вероятностите, теореми Моавр-Лапласобяснете естеството на стабилността на честотата на възникване на събитие. Това естество се крие във факта, че ограничаващото разпределение на броя на случванията на събитие с неограничено увеличение на броя на опитите (ако вероятността за събитието е една и съща във всички опити) е нормална дистрибуция.

Централната гранична теорема обяснява широко разпространеното нормален законразпределения. Теоремата гласи, че всеки път, когато случайна променлива се образува в резултат на добавянето на голям брой независими случайни променливи с крайни вариации, законът за разпределение на тази случайна променлива се оказва практически нормалнопо закон.

Теоремата, дадена по-долу, озаглавена " Закон за големите числа" заявява, че при определени, доста общи условия, с увеличаване на броя на случайните променливи, тяхната средна аритметична стойност клони към средната аритметична на математическите очаквания и престава да бъде случайна.

Теоремата на Ляпунов обяснява широко разпространеното нормален законразпространение и обяснява механизма на образуването му. Теоремата ни позволява да твърдим, че всеки път, когато случайна променлива се образува в резултат на добавянето на голям брой независими случайни променливи, чиито дисперсии са малки в сравнение с дисперсията на сбора, законът за разпределение на тази случайна променлива се обръща да бъде практически нормалнопо закон. И тъй като случайните променливи винаги се генерират от безкраен брой причини и най-често никоя от тях няма дисперсия, сравнима с дисперсията на самата случайна променлива, повечето случайни променливи, срещани в практиката, са подчинени на нормалния закон за разпределение.

Качествените и количествените твърдения на закона за големите числа се основават на Неравенство на Чебишев. Той определя горната граница на вероятността отклонението на стойността на случайна променлива от нейното математическо очакване да е по-голямо от определено определено число. Забележително е, че неравенството на Чебишев дава оценка на вероятността от събитие за случайна променлива, чието разпределение е неизвестно, са известни само нейното математическо очакване и дисперсия.

Неравенството на Чебишев.Ако случайна променлива x има дисперсия, тогава за всяко e > 0 е валидно следното неравенство: , Където М x и д x - математическо очакване и дисперсия на случайната величина x.

Теорема на Бернули.Нека m n е броят на успехите в n опита на Бернули и p вероятността за успех в индивидуален опит. Тогава за всяко e > 0 е вярно .

Централна гранична теорема.Ако случайните променливи x 1 , x 2 , …, x n , … са независими по двойки, еднакво разпределени и имат крайна дисперсия, тогава за n ® равномерно по x (- ,)

Каква е тайната на успешните продавачи? Ако наблюдавате най-добрите търговци във всяка компания, ще забележите, че те имат едно общо нещо. Всеки от тях се среща с повече хора и прави повече презентации от по-малко успешните продавачи. Тези хора разбират, че продажбите са игра на числа и колкото повече хора разкажат за своите продукти или услуги, толкова повече сделки ще сключат – това е всичко. Те разбират, че ако общуват не само с онези малцина, които със сигурност ще им кажат „да“, но и с онези, чийто интерес към предложението им не е толкова голям, тогава законът на средните ще работи в тяхна полза.

Вашият доход ще зависи от броя на продажбите, но в същото време ще бъде правопропорционален на броя на презентациите, които правите. След като разберете и практикувате закона на средните стойности, безпокойството, свързано със започването на нов бизнес или работата в нова сфера, ще започне да намалява. В резултат на това чувството за контрол и увереността в способността ви да печелите пари ще започнат да нарастват. Ако просто правите презентации и усъвършенствате уменията си в процеса, сделките ще дойдат.

Вместо да мислите за броя на сделките, мислете по-добре за броя на презентациите. Няма смисъл да се събуждате сутрин или да се прибирате вечер и да се чудите кой ще купи вашия продукт. Вместо това е най-добре да планирате колко разговора трябва да извършвате всеки ден. И тогава, независимо от всичко - направете всички тези обаждания! Този подход ще улесни работата ви - защото това е проста и специфична цел. Ако знаете, че имате конкретна и постижима цел, ще ви е по-лесно да осъществите планирания брой разговори. Ако чуете „да“ няколко пъти по време на този процес, толкова по-добре!

И ако „не“, тогава вечерта ще почувствате, че честно сте направили всичко, което сте могли, и няма да бъдете измъчвани от мисли колко пари сте спечелили или колко спътници сте придобили за един ден.

Във вашата компания или бизнес, да кажем, че средният продавач сключва една сделка на всеки четири презентации. Сега си представете, че теглите карти от тесте. Всяка карта от трите бои - пика, каро и купа - е презентация, в която професионално представяте продукт, услуга или възможност. Правите го възможно най-добре, но все още не сключвате сделката. И всяка сърдечна карта е сделка, която ви позволява да получите пари или да си купите нов спътник.

В такава ситуация не бихте ли искали да изтеглите възможно най-много карти от тестето? Да приемем, че ви се предлага да изтеглите толкова карти, колкото искате, като същевременно ви плащате или предлагате нов спътник всеки път, когато изтеглите сърдечна карта. Ще започнете да теглите карти с ентусиазъм, едва забелязвайки каква боя е картата, която току-що сте извадили.

Знаете, че в тесте от петдесет и две карти има тринадесет сърца. И в две тестета има двадесет и шест сърдечни карти и т.н. Ще бъдете ли разочаровани, когато изтеглите пика, каро или купа? Разбира се, че не! Само ще си помислите, че всяка такава „мис“ ви доближава до какво? Към сърдечната карта!

Но знаете ли какво? Вече ви беше дадена такава оферта. Вие сте в уникална позиция да печелите толкова, колкото искате, и да рисувате толкова сърца, колкото искате да рисувате в живота си. И ако просто „теглите карти“ съвестно, подобрите уменията си и издържите малко пика, каро и купа, ще станете отличен продавач и ще постигнете успех.

Едно от нещата, които правят продажбите толкова забавни, е, че всеки път, когато разбърквате тестето, картите се разбъркват по различен начин. Понякога всички сърца се озовават в началото на тестето и след щастлива серия (когато ни се струва, че никога няма да загубим!) ни очаква дълъг ред карти от различен цвят. А друг път, за да стигнете до първото сърце, трябва да преминете през безкраен брой пика, купа и каро. И понякога картите от различни цветове се появяват строго в ред. Но във всеки случай във всяко тесте от петдесет и две карти, в някакъв ред, винаги има тринадесет сърца. Просто извадете картите, докато ги намерите.

От: Лейля,  

Думите за големи числа се отнасят до броя на тестовете - разглежда се голям брой стойности на случайна променлива или кумулативният ефект на голям брой случайни променливи. Същността на този закон е следната: въпреки че е невъзможно да се предвиди каква стойност ще приеме отделна случайна променлива в един експеримент, общият резултат от действието на голям брой независими случайни променливи губи своята случайна природа и може да бъдат предвидени почти надеждно (т.е. с висока вероятност). Например, невъзможно е да се предвиди в каква посока ще кацне една монета. Въпреки това, ако хвърлите 2 тона монети, тогава с голяма увереност можем да кажем, че теглото на монетите, паднали с герба нагоре, е равно на 1 тон.

Законът за големите числа се отнася предимно до така нареченото неравенство на Чебишев, което оценява в един тест вероятността случайна променлива да приеме стойност, която се отклонява от средната стойност с не повече от дадена стойност.

Неравенството на Чебишев. Позволявам х– произволна случайна променлива, a=M(X) , А д(х) – неговата дисперсия. Тогава

Пример. Номиналната (т.е. необходимата) стойност на диаметъра на втулката, включена на машината, е равна на 5 мм, и дисперсията вече я няма 0.01 (това е допустимото отклонение на точността на машината). Оценете вероятността по време на производството на една втулка отклонението на нейния диаметър от номиналния да бъде по-малко от 0,5 мм .

Решение. Нека r.v. х– диаметър на произвежданата втулка. Съгласно условието, неговото математическо очакване е равно на номиналния диаметър (ако няма системна повреда в настройките на машината): a=M(X)=5 и дисперсията д(X)≤0,01. Прилагайки неравенството на Чебишев при ε = 0,5, получаваме:

По този начин вероятността от такова отклонение е доста висока и следователно можем да заключим, че при еднократно производство на част е почти сигурно, че отклонението на диаметъра от номиналния няма да надвишава 0,5 мм .

По смисъл стандартното отклонение σ характеризира средно аритметичноотклонението на случайна променлива от нейния център (т.е. от нейното математическо очакване). Защото това средно аритметичноотклонение, тогава по време на тестване са възможни големи (акцент върху o) отклонения. Колко големи отклонения са практически възможни? Когато изучавахме нормално разпределени случайни променливи, ние изведехме правилото на „трите сигми“: нормално разпределена случайна променлива х в един тестна практика не се отклонява от средното си повече от 3σ, Където σ= σ(X)– стандартно отклонение на r.v. х. Изведехме това правило от факта, че получихме неравенството

.

Нека сега оценим вероятността за произволенслучайна величина хприемете стойност, която се различава от средната с не повече от три пъти стандартното отклонение. Прилагайки неравенството на Чебишев при ε = 3σи предвид това д(Х)= σ 2 , получаваме:

.

По този начин, общо взетоможем да оценим вероятността случайна променлива да се отклонява от средната си стойност с не повече от три стандартни отклонения от числото 0.89 , докато за нормално разпределение това може да се гарантира с вероятност 0.997 .

Неравенството на Чебишев може да се обобщи до система от независими еднакво разпределени случайни променливи.

Обобщено неравенство на Чебишев. Ако независими случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н М(х аз )= аи вариации д(х аз )= д, Че

При н=1 това неравенство се трансформира в формулираното по-горе неравенство на Чебишев.

Неравенството на Чебишев, имащо самостоятелно значение за решаването на съответните задачи, се използва за доказване на т. нар. теорема на Чебишев. Първо ще говорим за същността на тази теорема, а след това ще дадем нейната формална формулировка.

Позволявам х 1 , Х 2 , … , Х н– голям брой независими случайни променливи с математически очаквания M(X 1 )=а 1 , … , M(X н )=а н. Въпреки че всеки от тях, в резултат на експеримент, може да приеме стойност, далеч от средната (т.е. математическото очакване), обаче, случайна променлива
, равно на тяхната средна аритметична стойност, най-вероятно ще приеме стойност, близка до фиксирано число
(това е средната стойност на всички математически очаквания). Това означава следното. Нека, като резултат от теста, независими случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н(има много от тях!) взе стойности съответно х 1 , Х 2 , … , Х нсъответно. Тогава, ако самите тези стойности могат да се окажат далеч от средните стойности на съответните случайни променливи, тяхната средна стойност
най-вероятно ще бъде близо до числото
. По този начин средната аритметична стойност на голям брой случайни променливи вече губи своя случаен характер и може да бъде предвидена с голяма точност. Това може да се обясни с факта, че случайните отклонения на стойностите х азот а азмогат да бъдат с различни знаци и следователно като цяло тези отклонения най-вероятно са компенсирани.

Терема Чебишев (закон на големите числавъв формата на Чебишев). Позволявам х 1 , Х 2 , … , Х н … – поредица от по двойки независими случайни променливи, чиито дисперсии са ограничени до един и същ брой. Тогава, без значение колко малко е числото ε, което вземаме, вероятността за неравенство

ще бъде възможно най-близо до единица, ако числото нвземете достатъчно големи случайни променливи. Формално това означава, че при условията на теоремата

Този тип конвергенция се нарича сходимост по вероятност и се означава:

По този начин теоремата на Чебишев казва, че ако има достатъчно голям брой независими случайни променливи, тогава тяхната средна аритметична стойност в един тест почти надеждно ще приеме стойност, близка до средната стойност на техните математически очаквания.

Най-често теоремата на Чебишев се прилага в ситуации, когато случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н … имат еднакво разпределение (т.е. същият закон на разпределение или същата плътност на вероятността). Всъщност това е просто голям брой екземпляри на една и съща случайна променлива.

Последица(обобщено неравенство на Чебишев). Ако независимите случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н … имат същото разпределение с математически очаквания М(х аз )= аи вариации д(х аз )= д, Че

, т.е.
.

Доказателството следва от обобщеното неравенство на Чебишев чрез преминаване към границата при н→∞ .

Нека отбележим още веднъж, че изписаните по-горе равенства не гарантират, че стойността на количеството
се стреми към Апри н→∞. Това количество все още остава случайна променлива и индивидуалните му стойности могат да бъдат доста далеч от А. Но вероятността от такова (далеч не А) стойности с нарастване нклони към 0.

Коментирайте. Изводът от следствието очевидно е валиден и в по-общия случай, когато независими случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н … имат различни разпределения, но еднакви математически очаквания (равни А) и съвместно ограничени отклонения. Това ни позволява да предвидим точността на измерването на определено количество, дори ако тези измервания са направени от различни инструменти.

Нека разгледаме по-подробно приложението на това следствие при измерване на количества. Нека използваме някакво устройство низмервания на една и съща величина, чиято истинска стойност е равна на Аи ние не знаем. Резултатите от такива измервания х 1 , Х 2 , … , Х нмогат да се различават значително един от друг (и от истинската стойност А) поради различни случайни фактори (промени в налягането, температура, случайни вибрации и др.). Помислете за r.v. х– показание на уред за еднократно измерване на величина, както и набор от р.в. х 1 , Х 2 , … , Х н– показание на уреда при първо, второ, ..., последно измерване. По този начин всяко от количествата х 1 , Х 2 , … , Х н има само един от случаите на s.v. х, и следователно всички те имат същото разпространение като r.v. х. Тъй като резултатите от измерването не зависят един от друг, тогава r.v. х 1 , Х 2 , … , Х нможе да се счита за независима. Ако устройството не дава систематична грешка (например нулата на скалата не е „изключена“, пружината не е опъната и т.н.), тогава можем да приемем, че математическото очакване M(X) = а, и следователно M(X 1 ) = ... = M(X н ) = а. По този начин условията на горното следствие са изпълнени и следователно като приблизителна стойност на количеството Аможем да вземем „реализация“ на случайна променлива
в нашия експеримент (състоящ се от провеждане на серия от низмервания), т.е.

.

При голям брой измервания добрата точност на изчислението по тази формула е практически сигурна. Това е обосновката на практическия принцип, че при голям брой измервания средноаритметичното им практически не се различава много от истинската стойност на измерената стойност.

Методът на „вземане на проби“, широко използван в математическата статистика, се основава на закона за големите числа, който позволява да се получат неговите обективни характеристики с приемлива точност от сравнително малка извадка от стойности на случайна променлива. Но това ще бъде обсъдено в следващия раздел.

Пример. Определено количество се измерва с измервателен уред, който не прави систематични изкривявания Аведнъж (получена стойност х 1 ), а след това още 99 пъти (получени стойности х 2 , … , Х 100 ). За истинската стойност на измерване Апърво се взема резултатът от първото измерване
, и след това средноаритметичната стойност на всички измервания
. Точността на измерване на устройството е такава, че стандартното отклонение на измерването σ е не повече от 1 (следователно дисперсията д=σ 2 също не надвишава 1). За всеки метод на измерване преценете вероятността грешката на измерването да не надвишава 2.

Решение. Нека r.v. х– показание на инструмента за едно измерване. Тогава по условие M(X)=a. За да отговорим на поставените въпроси, прилагаме обобщеното неравенство на Чебишев

при ε =2 първо за н=1 и след това за н=100 . В първия случай получаваме
, а във втория. Така вторият случай практически гарантира зададената точност на измерване, докато първият оставя големи съмнения в този смисъл.

Нека приложим горните твърдения към случайните променливи, възникващи в схемата на Бернули. Нека си припомним същността на тази схема. Нека се произвежда н независими опити, всеки от които съдържа някакво събитие Аможе да се появи със същата вероятност Р, А р=1–р(в смисъл, това е вероятността за обратното събитие - събитието да не се случи А) . Да похарчим малко нтакива тестове. Нека разгледаме случайните променливи: х 1 – брой появявания на събитието А V 1 -ти тест, ..., х н– брой появявания на събитието А V н-ти тест. Всички вписани с.в. може да приема стойности 0 или 1 (събитие Аможе или не може да се появи в теста), и стойността 1 според условието се приема във всеки опит с вероятност стр(вероятност за възникване на събитие Авъв всеки опит) и стойността 0 с вероятност р= 1 – стр. Следователно тези количества имат еднакви закони на разпределение:

х 1

х н

Следователно средните стойности на тези количества и техните дисперсии също са еднакви: M(X 1 )=0 ∙ р+1 ∙ p= p, …, M(X н )= стр ; д(х 1 )=(0 2 ∙ р+1 2 ∙ стр)− стр 2 = стр∙(1− стр)= стр ∙ q, …, д(х н )= стр ∙ р. Замествайки тези стойности в обобщеното неравенство на Чебишев, получаваме

.

Видно е, че р.в. х=х 1 +...+X не броят на повторенията на събитието Авъв всичко нтестове (както се казва - „броят на успехите“ в нтестове). Пуснете проведеното нсъбитие за тестване Асе появи в к от тях. Тогава предишното неравенство може да се запише като

.

Но величината
, равно на съотношението на броя повторения на събитието А V ннезависими опити, спрямо общия брой опити, преди се наричаше относителна честота на събитията А V нтестове. Следователно има неравенство

.

Сега се обръщаме към границата при н→∞, получаваме
, т.е.
(по вероятност). Това съставлява съдържанието на закона за големите числа във формата на Бернули. От това следва, че при достатъчно голям брой тестове нпроизволно малки отклонения на относителната честота
събития от неговата вероятност Р- почти надеждни събития, а големи отклонения - почти невъзможни. Полученото заключение за такава стабилност на относителните честоти (за което по-рано говорихме като експерименталенфакт) оправдава въведената по-рано статистическа дефиниция на вероятността от събитие като число, около което се колебае относителната честота на дадено събитие.

Като се има предвид, че изразът стр∙ р= стр∙(1− стр)= стр− стр 2 не надвишава интервала на промяна
(това е лесно да се провери чрез намиране на минимума на тази функция на този сегмент), от горното неравенство
лесно да се получи това

,

който се използва при решаване на съответни проблеми (един от тях ще бъде даден по-долу).

Пример. Монетата е хвърлена 1000 пъти. Оценете вероятността отклонението на относителната честота на появата на герба от неговата вероятност да бъде по-малко от 0,1.

Решение. Прилагане на неравенство
при стр= р=1/2 , н=1000 , ε=0,1, ще получим.

Пример. Оценете вероятността при условията на предишния пример числото кизпуснатите емблеми ще бъдат в диапазона от 400 преди 600 .

Решение. Състояние 400< к<600 означава, че 400/1000< к/ н<600/1000 , т.е. 0.4< У н (А)<0.6 или
. Както току-що видяхме от предишния пример, вероятността от такова събитие е не по-малка 0.975 .

Пример. За изчисляване на вероятността от някакво събитие АПроведени са 1000 експеримента, в които събитието Асе появява 300 пъти. Оценете вероятността относителната честота (равна на 300/1000 = 0,3) да е далеч от истинската вероятност Рне повече от 0,1.

Решение. Прилагайки горното неравенство
за n=1000, ε=0,1, получаваме .

Феноменът на стабилизиране на честотите на възникване на случайни събития, открит върху голям и разнообразен материал, първоначално нямаше никакво оправдание и се възприемаше като чисто емпиричен факт. Първият теоретичен резултат в тази област е известната теорема на Бернули, публикувана през 1713 г., която полага основите на законите на големите числа.

Теоремата на Бернули по своето съдържание е гранична теорема, т.е. твърдение с асимптотично значение, което казва какво ще се случи с вероятностните параметри при голям брой наблюдения. Прародителят на всички съвременни многобройни твърдения от този тип е именно теоремата на Бернули.

Днес изглежда, че математическият закон на големите числа е отражение на някакво общо свойство на много реални процеси.

Имайки желанието да даде на закона за големите числа възможно най-голям обхват, съответстващ на далеч не изчерпаните потенциални възможности за прилагане на този закон, един от най-големите математици на нашия век А. Н. Колмогоров формулира същността му по следния начин: законът за големите числа е „общият принцип, по силата на който общото действие на голям брой случайни фактори води до резултат, почти независим от случайността.“

Така законът за големите числа има две тълкувания. Единият е математически, свързан с конкретни математически модели, формулировки, теории, а вторият е по-общ, излизащ извън тази рамка. Второто тълкуване е свързано с феномена на формиране на повече или по-малко насочено действие, често наблюдавано на практика, на фона на голям брой скрити или видими действащи фактори, които външно нямат такава приемственост. Примери, свързани с второто тълкуване, са ценообразуването на свободен пазар и формирането на обществено мнение по определен въпрос.

След като отбелязахме това общо тълкуване на закона за големите числа, нека се обърнем към конкретни математически формулировки на този закон.

Както казахме по-горе, първата и фундаментално най-важна за теорията на вероятностите е теоремата на Бернули. Съдържанието на този математически факт, отразяващ един от най-важните закони на заобикалящия свят, се свежда до следното.

Помислете за поредица от несвързани (т.е. независими) тестове, чиито условия се възпроизвеждат последователно от тест на тест. Резултатът от всеки тест е настъпването или ненастъпването на събитието, което ни интересува А.

Тази процедура (схема на Бернули) очевидно може да се счита за типична за много практически области: "момче - момиче" в последователността на новородените, ежедневни метеорологични наблюдения ("валеше - не вали"), контрол на потока от произведени продукти ( „нормален - дефектен“) и т.н.

Честота на възникване на събитието Апри Птестове ( t A -

честота на събитието А V Птестове) има с растеж Птенденцията за стабилизиране на стойността му е емпиричен факт.

Теорема на Бернули.Нека изберем произволно малко положително число e

Подчертаваме, че математическият факт, установен от Бернули в определен математически модел (в схемата на Бернули), не трябва да се бърка с емпирично установената закономерност на честотната стабилност. Бернули не се задоволява само с посочване на формула (9.1), но, като взема предвид нуждите на практиката, дава оценка на неравенството, присъстващо в тази формула. Ще се обърнем към тази интерпретация по-долу.

Законът за големите числа на Бернули е бил обект на изследване от голям брой математици, които се стремят да го усъвършенстват. Едно от тези уточнения е получено от английския математик Моавър и в момента се нарича теорема на Моавър-Лаплас. В схемата на Бернули разгледайте последователността от нормализирани количества:

Интегрална теорема на Моавър - Лаплас.Нека изберем произволни две числа Х (И х 2.В този случай x, x 7, след това at П -» °°

Ако от дясната страна на формула (9.3) променливата x xклонят към безкрайност, тогава получената граница, в зависимост само от x 2 (индексът 2 може да бъде премахнат в този случай), ще бъде функция на разпределение, тя се нарича стандартно нормално разпределение,или Закон на Гаус.

Дясната страна на формула (9.3) е равна на y = F(x 2) - F(x x). F(x 2)-> 1 at х 2-> °° и F(x,) -> 0 при x, -> Поради избора на достатъчно голям

X] > 0 и X]n е достатъчно голямо по абсолютна стойност, получаваме следното неравенство:

Като вземем предвид формула (9.2), можем да извлечем практически надеждни оценки:

Ако нивото на доверие от y = 0,95 (т.е. вероятност за грешка от 0,05) може да изглежда недостатъчно за някого, можете да „играете на сигурно“ и да изградите малко по-широк доверителен интервал, като използвате правилото за три сигма, споменато по-горе:

Този интервал съответства на много високо ниво на достоверност y = 0,997 (вижте таблиците за нормално разпределение).

Помислете за пример с хвърляне на монета. Нека хвърлим монета n = 100 пъти. Може ли да се случи честотата Рще бъде много различно от вероятността Р= 0,5 (ако приемем, че монетата е симетрична), например, ще бъде ли равно на нула? За да направите това, е необходимо гербът да не изпада нито веднъж. Такова събитие е теоретично възможно, но ние вече сме изчислили подобни вероятности за това събитие, на което то ще бъде равно Тази стойност

изключително малък, редът му е число с 30 нули след десетичната запетая. Събитие с такава вероятност спокойно може да се счита за практически невъзможно. Какви отклонения на честотата от вероятността са практически възможни при голям брой експерименти? Използвайки теоремата на Moivre-Laplace, ние отговаряме на този въпрос, както следва: с вероятност при= 0,95 честота на герба Рсе вписва в доверителния интервал:

Ако грешка от 0,05 не изглежда малка, трябва да увеличите броя на експериментите (хвърляния на монети). При увеличаване Пширината на доверителния интервал намалява (за съжаление, не толкова бързо, колкото бихме искали, но обратно пропорционално на -Йн).Например, когато П= 10 000 получаваме това Рлежи в доверителния интервал с доверителната вероятност при= 0,95 : 0,5 ±0,01.

По този начин разбрахме количествено проблема с приближаването на честотата към вероятността.

Сега нека намерим вероятността за събитие въз основа на неговата честота и да оценим грешката на това приближение.

Нека проведем голям брой експерименти П(хвърлете монета), намерете честотата на събитието Аи искаме да оценим неговата вероятност Р.

От закона за големите числа Пследва, че:

Сега нека оценим практически възможната грешка на приблизителното равенство (9.7). За целта използваме неравенство (9.5) във формата:

Да намеря Рот Ртрябва да решим неравенство (9.8), за да направим това, трябва да го повдигнем на квадрат и да решим съответното квадратно уравнение. В резултат получаваме:

Където

За груба оценка Рот Рможе да бъде във формула (9.8) Рвдясно замени с Рили във формули (9.10), (9.11) приемаме, че

Тогава получаваме:

Нека влезе П= 400 експеримента е получена стойността на честотата Р= 0,25, тогава с ниво на достоверност y = 0,95 намираме:

Ами ако трябва да знаем вероятността по-точно, с грешка от, да кажем, не повече от 0,01? За да направите това, е необходимо да увеличите броя на експериментите.

Приемайки във формула (9.12) вероятността Р= 0,25, приравняваме стойността на грешката към дадената стойност 0,01 и получаваме уравнение за П:

Решавайки това уравнение, получаваме n~ 7500.

Нека сега разгледаме друг въпрос: може ли отклонението на честотата от вероятността, получено в експерименти, да се обясни със случайни причини или това отклонение показва, че вероятността не е това, което очаквахме да бъде? С други думи, опитът потвърждава ли приетата статистическа хипотеза или, обратно, изисква тя да бъде отхвърлена?

Нека, например, хвърли монета П= 800 пъти, получаваме честотата на появяване на герба Р= 0,52. Подозирахме, че монетата е асиметрична. Основателно ли е това подозрение? За да отговорим на този въпрос, ще изхождаме от предположението, че монетата е симетрична (p = 0,5). Нека намерим доверителния интервал (с вероятност за доверие при= 0,95) за честотата на появяване на герба. Ако получената в експеримента стойност Р= 0,52 се вписва в този интервал - всичко е нормално, приетата хипотеза за симетрията на монетата не противоречи на експерименталните данни. Формула (9.12) при Р= 0,5 дава интервал от 0,5 ± 0,035; получена стойност p = 0,52 се вписва в този интервал, което означава, че монетата ще трябва да бъде „изчистена“ от съмнения за асиметрия.

Подобни методи се използват, за да се прецени дали различните отклонения от математическите очаквания, наблюдавани при случайни явления, са случайни или „значителни“. Например случайно ли е установено поднорменото тегло в няколко мостри от опаковани стоки или говори за системна измама на клиентите? Случайно ли се е увеличил процентът на възстановяване при пациенти, използващи новото лекарство, или това се дължи на ефекта на лекарството?

Нормалният закон играе особено важна роля в теорията на вероятностите и нейните практически приложения. Вече видяхме по-горе, че една случайна променлива - броят на случванията на някакво събитие в схемата на Бернули - с П-» °° се свежда до нормалния закон. Има обаче много по-общ резултат.

Централна гранична теорема.Сумата от голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи, сравними една с друга по реда на техните дисперсии, се разпределя по нормален закон, независимо от това какви са законите на разпределение на членовете. Горното твърдение е груба качествена формулировка на теорията за централната граница. Тази теорема има много форми, различаващи се една от друга в условията, на които трябва да отговарят случайните променливи, за да може сумата им да бъде „нормализирана“ с увеличаване на броя на членовете.

Нормалната плътност на разпределение Dx) се изразява по формулата:

Където А -математическо очакване на случайна променлива X s= V7) е неговото стандартно отклонение.

За да се изчисли вероятността x да попадне в интервала (x 1? x 2), се използва интегралът:

Тъй като интегралът (9.14) при плътност (9.13) не се изразява чрез елементарни функции („не се взема“), тогава за изчисляване (9.14) те използват таблици на интегралната функция на разпределение на стандартното нормално разпределение, когато а = 0, a = 1 (такива таблици има във всеки учебник по теория на вероятностите):

Вероятност (9.14) с помощта на уравнение (10.15) се изразява с формулата:

Пример. Намерете вероятността случайната променлива Х,с нормално разпределение с параметри А, a, ще се отклони от своето математическо очакване по модул с не повече от 3.

Използвайки формула (9.16) и таблицата на функцията на разпределение на нормалния закон, получаваме:

Пример. Във всеки от 700 независими експеримента събитието Асе случва с постоянна вероятност Р= 0,35. Намерете вероятността събитието Аще се случи:

• 1) точно 270 пъти;
• 2) по-малко от 270 и повече от 230 пъти;
• 3) повече от 270 пъти.

Намиране на математическото очакване А = и т.ни стандартно отклонение:

случайна променлива - броят на случванията на събитието A:

Намиране на центрирана и нормализирана стойност Х:

От нормалните таблици за плътност на разпределението намираме f(x):

Нека го намерим сега R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) = = 1 - 0,97615 = 0,02385.

Сериозна стъпка в изследването на проблемите на големите числа е направена през 1867 г. от П. Л. Чебишев. Той разглежда много общ случай, когато не се изисква нищо от независими случайни променливи, освен наличието на математически очаквания и отклонения.

Неравенството на Чебишев.За произволно малко положително число e е валидно следното неравенство:

Теорема на Чебишев.Ако x x, x 2, ..., x p -по двойки независими случайни променливи, всяка от които има математическо очакване E(Xj) = ciи дисперсия D(x,) =), а дисперсиите са равномерно ограничени, т.е. 1,2 ..., тогава за всяко произволно малко положително число дважи следната връзка:

Последица. Ако а,= aio, -о 2 , т.е= 1,2 ..., тогава

Задача. Колко пъти трябва да се хвърли монета, така че вероятността да е не по-малка от y - 0,997, може да се твърди, че честотата на изпадане на герба ще бъде в интервала (0,499; 0,501)?

Да приемем, че монетата е симетрична, p - q - 0,5. Нека приложим теоремата на Чебишев във формула (9.19) към случайната променлива Х-честота на поява на герба в Пхвърляния на монети. Вече показахме това по-горе X = X x + X 2 + ... +X„,Където X t -случайна променлива, която приема стойност 1, ако монетата е глава, и стойност 0, ако е опашка. Така:

Нека запишем неравенство (9.19) за събитието, противоположно на събитието, посочено под знака на вероятността:

В нашия случай [e = 0,001, cj 2 = /?-p)]t е броят на срещанията на герба в Пхвърляне. Замествайки тези количества в последното неравенство и като вземем предвид, че според условията на задачата неравенството трябва да бъде изпълнено, получаваме:

Даденият пример илюстрира възможността за използване на неравенството на Чебишев за оценка на вероятностите за определени отклонения на случайни променливи (както и проблеми като този пример, свързани с изчисляването на тези вероятности). Предимството на неравенството на Чебишев е, че не изисква познаване на законите за разпределение на случайни променливи. Разбира се, ако такъв закон е известен, тогава неравенството на Чебишев дава твърде груби оценки.

Нека разгледаме същия пример, но като използваме факта, че хвърлянето на монета е специален случай на схемата на Бернули. Броят на успехите (в примера - броят на гербовете) се подчинява на биномния закон и с голям Птози закон може да бъде представен чрез нормален закон с математическо очакване поради интегралната теорема на Moivre - Laplace a = pr = n? 0,5 и със стандартно отклонение a = yfnpq - 25=0,5л/л. Случайната променлива - честотата на изпадане на герба - има математическо очакване = 0,5 и стандартно отклонение

Тогава имаме:

От последното неравенство получаваме:

От нормалните таблици за разпределение намираме:

Виждаме, че нормалното приближение дава броя на хвърлянията на монети, който осигурява дадена грешка при оценката на вероятността за герб, която е 37 пъти по-малка в сравнение с оценката, получена с помощта на неравенството на Чебишев (но неравенството на Чебишев позволява да се направи подобни изчисления в случай, че нямаме информация за закона на разпределение на изследваната случайна променлива).

Нека сега разгледаме приложен проблем, решен чрез формула (9.16).

Проблем с конкуренцията. Две конкурентни железопътни компании имат по един влак, който се движи между Москва и Санкт Петербург. Тези влакове са оборудвани приблизително по един и същи начин и също тръгват и пристигат приблизително по едно и също време. Нека се преструваме, че П= 1000 пътници независимо и на случаен принцип избират своя влак, следователно като математически модел за избор на влак от пътниците използваме схемата на Бернули с Ппредизвикателства и вероятност за успех Р= 0,5. Компанията трябва да реши колко места да осигури във влака, като вземе предвид две взаимно противоречиви условия: от една страна, не искате да имате празни места, от друга страна, не искате хората да са недоволни от липса на места (следващия път ще предпочетат конкурентни компании). Разбира се, може да се предостави във влака П= 1000 места, но тогава явно ще има празни места. Случайна променлива - броят на пътниците във влака - в рамките на възприетия математически модел, използващ интегралната теория на Moivre - Laplace, се подчинява на нормалния закон с математическо очакване a = pr = n/2 и дисперсия a 2 = npq = стр/4последователно. Вероятността, че повече от спътници, се определя от съотношението:

Задайте нивото на риск А, т.е. вероятността да дойдат повече спътници:

Оттук:

Ако Ае коренът на риска от последното уравнение, който се намира от таблиците на функцията на разпределение на нормалния закон, тогава получаваме:

ако напр. П = 1000, А= 0,01 (това ниво на риск означава, че броят на местата сще бъде достатъчно в 99 случая от 100), тогава x a ~ 2.33 и s = 537 места. Освен това, ако и двете компании приемат еднакви нива на риск А= 0,01, тогава двата влака ще имат общо 1074 места, 74 от които ще бъдат празни. По същия начин може да се изчисли, че 514 места биха били достатъчни в 80% от всички случаи и 549 места в 999 от 1000 случая.

Подобни съображения важат и за други проблеми с конкурентни услуги. Например ако Tкиносалоните се конкурират за същото Пзрители, тогава трябва да се приеме Р= -. Получаваме,

какъв е броят на местата св кино трябва да се определя от съотношението:

Общият брой празни места е равен на:

За А = 0,01, П= 1000 и T= 2, 3, 4 стойностите на това число са приблизително равни съответно на 74, 126, 147.

Нека да разгледаме друг пример. Нека влакът се състои от П - 100 вагона. Теглото на всяка кола е случайна променлива с математическо очакване А - 65 тона и средно квадратно очакване o = 9 тона Един локомотив може да превози влак, ако теглото му не надвишава 6600 тона; в противен случай трябва да закачите втори локомотив. Трябва да откриете вероятността да не ви се налага да правите това.

тегло на отделните автомобили: , имайки същото математическо очакване А - 65 и същата дисперсия д- o 2 = 81. Според правилото на математическите очаквания: E(x) - 100 * 65 = 6500. Според правилото за добавяне на отклонения: D(x) = 100 x 81 = 8100. Като извадим корена, намираме стандартното отклонение. За да може един локомотив да тегли влак, теглото на влака трябва да бъде хсе оказа лимитиращ, т.е. попадна в интервала (0; 6600). Случайната променлива x - сумата от 100 члена - може да се счита за нормално разпределена. Използвайки формула (9.16), получаваме:

От това следва, че локомотивът ще се "справи" с влака с приблизително вероятност от 0,864. Нека сега намалим броя на вагоните във влака с два, т.е П= 98. Сега изчислявайки вероятността локомотивът да се „справи“ с влака, получаваме стойност от порядъка на 0,99, т.е. почти сигурно събитие, въпреки че за това трябваше да бъдат премахнати само два вагона.

Така че, ако имаме работа със суми на голям брой случайни променливи, тогава можем да използваме нормалния закон. Естествено, това повдига въпроса: колко случайни променливи трябва да се добавят, така че законът за разпределение на сумата вече да е „нормализиран“? Зависи какви са законите на разпределение на термините. Има толкова сложни закони, че нормализацията се случва само с много голям брой членове. Но тези закони са измислени от математиците; природата, като правило, не създава умишлено такива проблеми. Обикновено на практика, за да може да се използва нормалният закон, са достатъчни пет-шест мандата.

Скоростта, с която се “нормализира” законът за разпределение на сума от еднакво разпределени случайни променливи, може да се илюстрира с примера на случайни променливи с равномерно разпределение на интервала (0, 1). Кривата на такова разпределение има формата на правоъгълник, което вече не е подобно на нормалния закон. Нека добавим две такива независими променливи - получаваме случайна променлива, разпределена по така наречения закон на Симпсън, чието графично представяне има формата на равнобедрен триъгълник. Също така не изглежда като нормален закон, но е по-добре. И ако съберете три такива равномерно разпределени случайни променливи, ще получите крива, състояща се от три сегмента от параболи, много подобна на нормална крива. Ако съберете шест такива случайни променливи, ще получите крива, която не се различава от нормалната. Това е основата за широко използван метод за получаване на нормално разпределена случайна променлива и всички съвременни компютри са оборудвани със сензори за равномерно разпределени (0, 1) случайни числа.

Следният метод се препоръчва като един практически начин да проверите това. Изграждаме доверителен интервал за честотата на събитие с ниво при= 0,997 според правилото на трите сигми:

и ако двата му края не се простират извън сегмента (0, 1), тогава може да се използва нормалният закон. Ако някоя от границите на доверителния интервал е извън сегмента (0, 1), тогава нормалният закон не може да се използва. Въпреки това, при някои условия биномният закон за честотата на някакво случайно събитие, ако не клони към нормалното, тогава може да клони към друг закон.

В много приложения схемата на Бернули се използва като математически модел на случаен експеримент, в който броят на опитите Пе голямо, случайно събитие е доста рядко, т.е. Р = и т.нне е малък, но не е и голям (колеба се в диапазона O -5-20). В този случай е валидно ограничаващото отношение:

Формулата (9.20) се нарича апроксимация на Поасон за биномния закон, тъй като вероятностното разпределение от дясната му страна се нарича закон на Поасон. За разпределението на Поасон се казва, че е разпределение на вероятностите за редки събития, тъй като се появява, когато ограниченията са удовлетворени: П -»°°, Р-»0, но х = pr oo.

Пример. Рождени дни. Каква е вероятността R t (k)че в общество от 500 души Да сехората са родени на Нова година? Ако тези 500 души са избрани на случаен принцип, тогава схемата на Бернули може да се приложи с вероятност за успех P = 1/365. Тогава

Вероятностни изчисления за различни Да седайте следните стойности: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Съответни приближения, използващи формулата на Поасон за X = 500 1/365 = 1,37

дайте следните стойности: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; R ъ = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Всички грешки са само в четвъртия знак след десетичната запетая.

Ето примери за ситуации, в които можете да използвате закона на Поасон за редките събития.

При телефонна централа с малка вероятност възниква неправилна връзка R,обикновено Р~0,005. Тогава формулата на Поасон ни позволява да намерим вероятността за неправилни връзки за даден общ брой връзки n~ 1000 когато X = пр =1000 0,005 = 5.

Когато печете кифли, добавете стафиди към тестото. Трябва да се очаква, че поради разбъркването честотата на кифличките със стафиди ще следва приблизително разпределението на Поасон R p (k, X),Където Х-плътност на стафидите в тестото.

Радиоактивно вещество излъчва i-частици. Събитието, което броят на d-частиците достига с времето Tдадена площ от пространството, приема фиксирана стойност Да се,се подчинява на закона на Поасон.

Броят на живите клетки с променени хромозоми, когато са изложени на рентгенови лъчи, следва разпределението на Поасон.

И така, законите на големите числа правят възможно решаването на проблема с математическата статистика, свързан с оценката на неизвестните вероятности на елементарни резултати от случаен експеримент. Благодарение на тези знания, ние правим методите на теорията на вероятностите практически значими и полезни. Законите на големите числа също позволяват да се реши проблемът с получаването на информация за неизвестни елементарни вероятности в друга форма - формата на тестване на статистически хипотези.

Нека разгледаме по-подробно формулировката и вероятностния механизъм за решаване на проблеми с тестване на статистически хипотези.

Закон за големите числав теорията на вероятностите заявява, че емпиричната средна (средноаритметична) на достатъчно голяма крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна (математическо очакване) на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията се прави разлика между слабия закон на големите числа, когато конвергенцията се проявява по вероятност, и силния закон на големите числа, когато конвергенцията се среща почти навсякъде.

Винаги има краен брой изпитания, в които, с дадена предварителна вероятност, има по-малко 1 относителната честота на възникване на дадено събитие ще се различава възможно най-малко от неговата вероятност.

Общото значение на закона за големите числа: съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

Методите за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка, се основават на това свойство. Ярък пример е прогнозата за изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Закон за големите числа

✪ 07 - Теория на вероятностите. Закон за големите числа

✪ 42 Закон за големите числа

✪ 1 - Законът на Чебишев за големите числа

✪ 11 клас, урок 25, крива на Гаус. Закон за големите числа

субтитри

Нека да разгледаме закона за големите числа, който е може би най-интуитивният закон в математиката и теорията на вероятностите. И тъй като се прилага за толкова много неща, понякога се използва и не се разбира. Нека първо да го дефинирам за точност, а след това ще говорим за интуицията. Да вземем случайна променлива, например X. Да кажем, че знаем нейното математическо очакване или средната стойност за популацията. Законът за големите числа просто казва, че ако вземем пример за n-тия брой наблюдения на случайна променлива и вземем средната стойност на всички тези наблюдения... Нека вземем една променлива. Нека го наречем X с долен индекс n и черта отгоре. Това е средноаритметичното на n-тия брой наблюдения на нашата случайна променлива. Ето първото ми наблюдение. Правя експеримента веднъж и правя това наблюдение, след това го правя отново и правя това наблюдение, и го правя отново и получавам това. Провеждам този експеримент n-тия брой пъти и след това разделям на броя на моите наблюдения. Ето моята примерна средна стойност. Ето средната стойност на всички наблюдения, които направих. Законът за големите числа ни казва, че моята примерна средна стойност ще се доближи до очакваната стойност на случайната променлива. Или мога също така да напиша, че моята извадкова средна ще се доближи до средната за съвкупността за n-тото количество, клонящо към безкрайност. Няма да правя ясна разлика между „приближаване“ и „конвергенция“, но се надявам, че интуитивно разбирате, че ако взема доста голяма извадка тук, ще получа очакваната стойност за съвкупността като цяло. Мисля, че повечето от вас интуитивно разбират, че ако направя достатъчно тестове с голяма извадка от примери, в крайна сметка тестовете ще ми дадат стойностите, които очаквам, като вземат предвид очакваната стойност и вероятността и всички тези глупости. Но мисля, че често не е ясно защо това се случва. И преди да започна да обяснявам защо това е така, нека дам конкретен пример. Законът за големите числа ни казва, че... Да кажем, че имаме случайна променлива X. Тя е равна на броя на главите в 100 хвърляния на честна монета. Първо, ние знаем математическото очакване на тази случайна променлива. Това е броят на хвърлянията на монети или опитите, умножен по шансовете за успех на всеки опит. Така че това е равно на 50. Тоест, законът за големите числа казва, че ако вземем проба или ако осредня тези опити, ще получа. .. Първият път, когато правя тест, ще хвърля монета 100 пъти или ще взема кутия със сто монети, ще я разклатя и след това ще преброя колко глави получавам и ще получа, да речем , числото 55. Това ще бъде X1. След това отново разклащам кутията и получавам числото 65. След това отново получавам 45. И правя това n пъти и след това го разделям на броя опити. Законът за големите числа ни казва, че тази средна стойност (средната от всички мои наблюдения) ще се доближава до 50, когато n се доближава до безкрайността. Сега бих искал да поговоря малко за това защо се случва това. Много хора вярват, че ако след 100 опита резултатът ми е над средния, то по законите на вероятността трябва да получа повече или по-малко глави, за да компенсирам, така да се каже, разликата. Това не е точно това, което ще се случи. Това често се нарича „заблуда на комарджията“. Нека ви покажа разликата. Ще използвам следния пример. Нека начертая графика. Да сменим цвета. Това е n, моята ос x е n. Това е броят на тестовете, които ще направя. И моята Y ос ще бъде средната стойност на извадката. Знаем, че математическото очакване на тази произволна променлива е 50. Нека го нарисувам. Това е 50. Нека се върнем към нашия пример. Ако n е... На първия си тест получих 55, това е средната ми стойност. Имам само една точка за въвеждане на данни. Тогава след два теста получавам 65. Така че средната ми стойност ще бъде 65+55 делено на 2. Това е 60. Средната ми стойност се е повишила малко. Тогава получих 45, което отново намали средното ми аритметично. Няма да начертая 45. Сега трябва да осредня всичко това. На колко е равно 45+65? Нека изчисля тази стойност, за да представя точката. Това е 165 делено на 3. Това е 53. Не, 55. Така че средната стойност се връща на 55. Можем да продължим тези тестове. След като направихме три опита и получихме тази средна стойност, много хора смятат, че боговете на вероятността ще се погрижат да получим по-малко глави в бъдеще, че следващите няколко опита ще имат по-ниски резултати, за да намалят средната стойност. Но не винаги е така. Това, че получавате непропорционално голям брой опашки, не означава, че в даден момент ще започнете да получавате непропорционално голям брой опашки. Това не е съвсем вярно. Законът за големите числа ни казва, че няма значение. Да кажем, че след определен краен брой тестове вашата средна... Вероятността за това е доста малка, но въпреки това... Да кажем, че средната ви стойност е достигнала тази граница - 70. Мислите си: „Уау, отдалечихме се от очакваната стойност.“ Но законът за големите числа казва, че няма значение колко теста правим. Все още имаме безкраен брой предизвикателства пред нас. Математическото очакване на този безкраен брой опити, особено в ситуация като тази, би било следното. Когато стигнете до крайно число, което изразява някаква голяма стойност, безкрайно число, което се сближава с него, отново ще доведе до очакваната стойност. Това, разбира се, е много свободно тълкуване, но това ни казва законът за големите числа. Важно е. Това не ни казва, че ако получим много глави, тогава по някакъв начин вероятността да получим опашки ще се увеличи, за да компенсира. Този закон ни казва, че няма значение какъв е резултатът от краен брой изпитания, стига да имате още безкраен брой изпитания. И ако направите достатъчно от тях, ще се върнете отново към очакваната стойност. Това е важен момент. Помисли за това. Ще се видим в следващото видео!

Слаб закон на големите числа

Слабият закон на големите числа се нарича още теорема на Бернули, след Якоб Бернули, който го доказва през 1713 г.

Нека има безкрайна последователност (последователно изброяване) от идентично разпределени и некорелирани случайни променливи. Тоест тяхната ковариация c o v (X i, X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Позволявам . Нека означим с примерната средна стойност на първото n (\displaystyle n)членове:

.

Тогава X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\до ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Тоест за всеки положителен ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Засилен Закон за големите числа

Нека има безкрайна последователност от независими еднакво разпределени случайни променливи ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), дефинирани на едно вероятностно пространство (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Позволявам E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Нека означим с X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))примерна средна стойност на първо n (\displaystyle n)членове:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Тогава X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )почти винаги.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ надясно)=1.) .

Като всеки математически закон, законът за големите числа може да се приложи към реалния свят само при определени предположения, които могат да бъдат изпълнени само с известна степен на точност. Например последователните тестови условия често не могат да се поддържат безкрайно и с абсолютна точност. Освен това законът за големите числа говори само за невероятностзначително отклонение на средната стойност от математическото очакване.