Голямата теорема на Ферма. Да разобличим! Доказана ли е последната теорема на Ферма? Как звучи теоремата за фермата
Пиер Ферма, четейки „Аритметиката“ на Диофант Александрийски и размишлявайки върху нейните задачи, имаше навика да записва резултатите от своите разсъждения в полетата на книгата под формата на кратки забележки. Срещу осмия проблем на Диофант в полетата на книгата Ферма пише: „ Напротив, невъзможно е да се разложи куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата и като цяло няма градус по-голям от квадрат с два градуса със същия степен. Открих наистина прекрасно доказателство за това, но тези полета са твърде тесни за него.» / E.T.Bell „Създателите на математиката“. М., 1979, стр. 69/. Предлагам на вашето внимание елементарно доказателство за теоремата на фермата, което може да бъде разбрано от всеки гимназист, който е любител на математиката.
Нека сравним коментара на Ферма върху проблема с Диофант със съвременната формулировка на голямата теорема на Ферма, която има формата на уравнение.
« Уравнението
x n + y n = z n(където n е цяло число, по-голямо от две)
няма решения в цели положителни числа»
Коментарът е в логическа връзка със задачата, аналогична на логическата връзка на сказуемото със субекта. Това, което се потвърждава от проблема за Диофант, напротив, се потвърждава от коментара на Ферма.
Коментарът на Ферма може да се тълкува по следния начин: ако квадратно уравнение с три неизвестни има безкраен набор от решения на множеството от всички тройки питагорови числа, тогава, напротив, уравнение с три неизвестни до степен по-голяма от квадрата
Няма дори и намек за връзката му с проблема за Диофант в уравнението. Твърдението му изисква доказателство, но при него няма условие, от което да следва, че няма решения в цели положителни числа.
Познатите ми варианти на доказване на уравнението се свеждат до следния алгоритъм.
- За заключение се приема уравнението на теоремата на Ферма, чиято валидност се проверява с помощта на доказателството.
- Същото уравнение се нарича оригиналенуравнението, от което трябва да се изхожда доказателството.
В резултат на това се формира тавтология: „ Ако уравнението няма решения в положителни цели числа, то няма решения в цели положителни числа“. Доказателството на тавтологията е умишлено неправилно и лишено от всякакъв смисъл. Но се доказва по противоречив метод.
- Направено е обратното предположение на това на уравнението, което искате да докажете. То не трябва да противоречи на първоначалното уравнение, но му противоречи. Няма смисъл да се доказва това, което се приема без доказателство, и да се приема без доказателство това, което се изисква да бъде доказано.
- Въз основа на приетото предположение се извършват абсолютно правилни математически операции и действия, за да се докаже, че то противоречи на оригиналното уравнение и е невярно.
Следователно вече 370 години доказателството на уравнението на последната теорема на Ферма остава неосъществима мечта на специалисти и аматьори по математика.
Приех уравнението като заключение на теоремата, а осмия проблем на Диофант и неговото уравнение като условие на теоремата.
„Ако уравнението x 2 + y 2 = z 2
(1) има безкраен набор от решения на множеството на всички тройки питагорови числа, тогава, обратно, уравнението x n + y n = z n
, където n> 2
(2) няма решения на множеството от положителни числа."
Доказателство.
а)Всеки знае, че уравнение (1) има безкраен набор от решения на множеството на всички тройки питагорови числа. Нека докажем, че нито една тройка питагорови числа, която е решение на уравнение (1), не е решение на уравнение (2).
Въз основа на закона за обратимостта на равенството страните на уравнение (1) се разменят. Питагорови числа (z, x, y) може да се интерпретира като дължини на страните на правоъгълен триъгълник и квадратите (x 2, y 2, z 2) може да се тълкува като площта на квадратите, изградена върху нейната хипотенуза и краката.
Квадратите на квадратите на уравнение (1) се умножават по произволна височина з :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Уравнение (3) може да се тълкува като равенството на обема на паралелепипеда на сбора от обемите на два паралелепипеда.
Нека височината на три паралелепипеда h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Обемът на куба се разлага на два обема от два паралелепипеда. Оставете обема на куба непроменен и намалете височината на първия паралелепипед до х и намалете височината на втория паралелепипед до г ... Обемът на един куб е по-голям от сбора от обемите на два куба:
z 3> x 3 + y 3 (5)
На набора от тройки питагорейски числа ( x, y, z ) при n = 3 не може да има решение на уравнение (2). Следователно на множеството от всички тройки питагорейски числа е невъзможно да се разложи куб на два куба.
Нека в уравнение (3) височината на три паралелепипеда h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Обемът на паралелепипеда се разлага на сбора от обемите на два паралелепипеда.
Оставете лявата страна на уравнение (6) непроменена. От дясната му страна е височината z 2
свеждам до х
през първия мандат и до на 2
във втория мандат.
Уравнение (6) се превърна в неравенство:
Обемът на паралелепипед се разлага на два обема от два паралелепипеда.
Оставете лявата страна на уравнение (8) непроменена.
От дясната страна височината z n-2
свеждам до x n-2
през първия мандат и намалете до y n-2
във втория мандат. Уравнение (8) се превръща в неравенство:
| z n> x n + y n | (9) |
В множеството от тройки питагорови числа не може да има едно единствено решение на уравнение (2).
Следователно, на множеството от всички тройки питагорейски числа за всички n> 2 уравнение (2) няма решения.
Получи "постинно чудо доказателство", но само за тризнаци Питагорови числа... Това е липса на доказателстваи причината за отказа на П. Ферма от него.
Б)Нека докажем, че уравнение (2) няма решения на множеството от тройки непитагорови числа, което е неуспех на семейството на произволно взета тройка питагорови числа z = 13, x = 12, y = 5 и семейството на произволна тройка от положителни цели числа z = 21, x = 19, y = 16
И двете тройки числа са членове на техните семейства:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Броят на членовете на семейството (10) и (11) е равен на половината от произведението на 13 на 12 и 21 на 20, тоест 78 и 210.
Всеки член на семейството (10) съдържа z = 13 и променливи х и в 13> x> 0 , 13> y> 0 1
Всеки член на семейството (11) съдържа z = 21 и променливи х и в които приемат стойностите на цели числа 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Променливите постепенно намаляват с 1 .
Тройките от числа в последователността (10) и (11) могат да бъдат представени като поредица от неравенства от трета степен:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
и под формата на неравенства от четвърта степен:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Правилността на всяко неравенство се потвърждава от издигането на числата на трета и четвърта степен.
Куб с по-голямо число не може да се разложи на два куба с по-малки числа. То е или по-малко, или повече от сбора на кубовете на двете по-малки числа.
Биквадратът на по-голямо число не може да бъде разложен на два биквадрата с по-малки числа. То е или по-малко, или повече от сбора на биквадратите на по-малки числа.
С увеличаване на експонента всички неравенства, с изключение на лявото крайно неравенство, имат същото значение:
Неравенствата, всички те имат едно и също значение: степента на по-голямо число е по-голяма от сумата на степените на по-малко от две числа със същия степен:
| 13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n; ...; 13 n> 7 n + 4 n; ...; 13 n> 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n | (13) |
Най-левият член на последователности (12) (13) е най-слабото неравенство. Неговата коректност определя правилността на всички следващи неравенства на последователност (12) за n> 8 и последователност (13) за n> 14 .
Не може да има нито едно равенство между тях. Произволна тройка от положителни цели числа (21,19,16) не е решение на уравнение (2) на голямата теорема на Ферма. Ако произволно взета тройка от положителни цели числа не е решение на уравнението, тогава уравнението няма решения на множеството от положителни числа, което трябваше да докажем.
С)Коментарът на Ферма относно проблема с Диофант гласи, че е невъзможно да се разложи “ като цяло, няма степен по-голяма от квадрата, с две степени със същия степен».
Целувкистепен, по-голяма от квадрат, е наистина невъзможно да се разложи на две степени с една и съща степен. Неподходящостепен, по-голяма от квадрата, може да се разложи на две степени със същия степен.
Всяка произволна тройка цели положителни числа (z, x, y) може да принадлежи към семейство, всеки член на което се състои от постоянно число z и две числа по-малко от z ... Всеки член на семейството може да бъде представен под формата на неравенство, а всички получени неравенства могат да бъдат представени като последователност от неравенства:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Поредицата от неравенства (14) започва с неравенства, при които лявата страна е по-малка от дясната, и завършва с неравенства, в които дясната страна е по-малка от лявата. С увеличаване на степента n> 2 броят на неравенствата от дясната страна на последователност (14) се увеличава. С показател n = k всички неравенства от лявата страна на поредицата променят значението си и придобиват значението на неравенствата от дясната страна на неравенствата в последователността (14). В резултат на увеличаване на степента за всички неравенства лявата страна се оказва по-голяма от дясната:
| z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k; ...; z k> 2 k + 1 k; z k> 1 k + 1 k | (15) |
С по-нататъшно увеличаване на степента n> k нито едно от неравенствата не променя смисъла си и не се превръща в равенство. На тази основа може да се твърди, че всяка произволно взета тройка от положителни цели числа (z, x, y) в n> 2 , z> x , z> y
В произволна тройка от положителни числа z може да бъде произволно голямо естествено число. За всички естествени числа, които не са по-големи от z , Последната теорема на Ферма е доказана.
Д)Без значение колко голям е броят z , в естествения ред от числа преди него има голям, но краен набор от цели числа, а след него - безкраен набор от цели числа.
Нека докажем, че цялото безкрайно множество естествени числа е по-голямо от z , образуват тройки числа, които не са решения на уравнението на Великата теорема на Ферма, например произволно взета тройка от положителни цели числа (z + 1, x, y) , при което z + 1> x и z + 1> y за всички стойности на експонента n> 2 не е решение на уравнението на теоремата на Великия Ферма.
Произволна тройка от положителни цели числа (z + 1, x, y) може да принадлежи към семейството на тройки числа, всеки член на които се състои от постоянно число z + 1 и две числа х и в приемане на различни стойности по-малко от z + 1 ... Членовете на семейството могат да бъдат представени под формата на неравенства, в които постоянната лява страна е по-малка или повече от дясната страна. Неравенствата могат да бъдат подредени по подреден начин като последователност от неравенства:
С по-нататъшно увеличаване на степента n> k до безкрайност нито едно от неравенствата в последователност (17) не променя смисъла си и не се превръща в равенство. В последователност (16) неравенството се образува от произволна тройка положителни цели числа (z + 1, x, y) , може да бъде от дясната му страна във формата (z + 1) n> x n + y n или да бъде в лявата му част във формата (z + 1) n< x n + y n .
Във всеки случай, тройката на положителните числа (z + 1, x, y) в n> 2 , z + 1> x , z + 1> y в последователност (16) е неравенство и не може да представлява равенство, т.е. не може да представлява решение на уравнението на Великата теорема на Ферма.
Лесно и лесно е да се разбере произходът на последователността от степенни неравенства (16), в която последното неравенство от лявата страна и първото неравенство от дясната страна са неравенства с противоположно значение. Напротив, не е лесно и не е лесно за учениците, гимназистите и гимназистите да разберат как се образува поредица от неравенства (17) от поредица от неравенства (16), в която всички неравенства имат едно и също значение .
В последователност (16) увеличаването на целочислената степен на неравенствата с 1 единица превръща последното неравенство от лявата страна в първото неравенство с противоположното значение от дясната страна. По този начин броят на неравенствата от деветата страна на последователността намалява, докато броят на неравенствата от дясната страна се увеличава. Между последното и първото неравенство на силата с противоположно значение задължително има равенство на силата. Степента му не може да бъде цяло число, тъй като между две последователни естествени числа има само нецели числа. Степенното равенство от нецела степен, съгласно хипотезата на теоремата, не може да се счита за решение на уравнение (1).
Ако в последователност (16) продължим да увеличаваме степента с 1 единица, тогава последното неравенство на лявата му страна ще се превърне в първото неравенство на противоположното значение на дясната страна. В резултат на това не остава нито едно ляво неравенство и остават само дясните неравенства, които представляват последователност от нарастващи неравенства на степента (17). По-нататъшно увеличаване на цялата им степен с 1 единица само засилва нейните силови неравенства и категорично изключва възможността за поява на равенство в цяла степен.
Следователно, най-общо, нито една цяла степен на естествено число (z + 1) от последователността от степенни неравенства (17) не може да бъде разложена на две цели степени с една и съща степен. Следователно, уравнение (1) няма решения на безкраен набор от естествени числа, което се изискваше да се докаже.
Следователно последната теорема на Ферма е доказана в цялата си универсалност:
- в раздел А) за всички тройки (z, x, y) Питагорови числа (откритието на Ферма е наистина прекрасно доказателство),
- в раздел B) за всички членове на семейството на всяка тройка (z, x, y) Питагорови числа,
- в раздел C) за всички тройки числа (z, x, y) , не големи числа z
- в раздел D) за всички тройки числа (z, x, y) естествен ред от числа.
|
Промените бяха направени на 09/05/2010. |
Кои теореми могат и не могат да се доказват от противоречие
В обяснителния речник на математическите термини е дадено определение на доказателство на обратната теорема, обратното на обратната теорема.
„Доказателството чрез противоречие е метод за доказване на теорема (предположение), който се състои в доказване не на самата теорема, а на нейния еквивалент (еквивалент), противоположен на обратната (обратна на противоположната) теорема. Доказателство от противоречие се използва винаги, когато пряката теорема е трудна за доказване, а обратното е по-лесно за доказване. При доказване от противоречие заключението на теоремата се заменя с нейното отрицание, а чрез разсъждение се стига до отрицание на условието, т.е. към противоречие, към обратното (противоположното на даденото; това свеждане до абсурд доказва теоремата."
Доказателството чрез противоречие е много често срещано в математиката. Доказателството чрез противоречие се основава на закона за изключеното трето, което е този на две твърдения (твърдения) A и A (отрицание A), едното от тях е вярно, а другото е невярно."/ Тълковен речник на математическите термини: Ръководство за учители / О. В. Мантуров [и др.]; изд. В. А. Диткина.- М.: Образование, 1965.- 539 с.: ил.-C.112 /.
Не би било по-добре открито да заявим, че методът за доказване чрез противоречие не е математически метод, въпреки че се използва в математиката, че е логически метод и принадлежи на логиката. Приемливо ли е да се каже, че доказателство от противоречие "се използва винаги, когато пряката теорема е трудна за доказване", когато всъщност се използва само ако няма заместител?
Характеризирането на връзката на директните и обратните теореми една към друга заслужава специално внимание. „Обратната теорема за дадена теорема (или за дадена теорема) е теорема, в която условието е заключение, а заключението е условието на дадената теорема. Тази теорема по отношение на обратната теорема се нарича директна теорема (оригинал). В същото време, обратната теорема към обратната теорема ще бъде дадена теорема; следователно директната и обратната теорема се наричат взаимно обратни. Ако директната (дадена) теорема е вярна, тогава обратната теорема не винаги е вярна. Например, ако четириъгълникът е ромб, тогава диагоналите му са взаимно перпендикулярни (директна теорема). Ако диагоналите в четириъгълника са взаимно перпендикулярни, тогава четириъгълникът е ромб - това не е вярно, тоест обратната теорема не е вярна."/ Тълковен речник на математическите термини: Ръководство за учители / О. В. Мантуров [и др.]; изд. В. А. Диткина.- М.: Образование, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.
Тази характеристика на връзката между пряката и обратната теорема не отчита факта, че условието на директната теорема се приема като дадено, без доказателство, така че нейната коректност не е гарантирана. Условието на обратната теорема не се приема за дадено, тъй като е заключение на доказана пряка теорема. Неговата правилност се доказва от доказателството на пряката теорема. Тази съществена логическа разлика между условията на директната и обратната теорема се оказва решаваща във въпроса кои теореми могат и кои не могат да бъдат доказани с логически метод чрез противоречие.
Нека приемем, че има предвид пряка теорема, която може да се докаже с обичайния математически метод, но е трудна. Нека го формулираме в общ вид в кратка форма, както следва: от АТрябва Е ... символ А даденото условие на теоремата, прието без доказателство, има значение. символ Е смисъла на заключението на теоремата, което се изисква да се докаже.
Ще докажем пряката теорема чрез противоречие, логичнометод. Използва се логически метод за доказване на теорема, която има не е математическисъстояние и логичносъстояние. Може да се получи, ако математическото условие на теоремата от АТрябва Е , допълват с обратното условие от Ане следва Е .
В резултат на това получихме логично противоречиво условие на новата теорема, която съдържа две части: от АТрябва Е и от Ане следва Е ... Полученото условие на новата теорема отговаря на логическия закон на изключената среда и съответства на доказателството на теоремата чрез противоречивия метод.
Според закона една част от противоречиво условие е невярна, друга част е вярна, а третата е изключена. Доказателството чрез противоречие има своята задача и цели да установи коя точно част от двете части на условието на теоремата е невярна. Веднага след като се определи фалшивата част на условието, ще се определи, че другата част е истинската част, а третата се изключва.
Според обяснителния речник на математическите термини, "Доказателството е разсъждение, по време на което се установява истинността или неверността на всяко твърдение (съждение, твърдение, теорема)"... Доказателство от противоречиеима разсъждение, по време на което се установява фалшивост(абсурдност) на извода, произтичащ от фалшивоусловия на теоремата, която се доказва.
дадено: от АТрябва Еи от Ане следва Е .
Докажи: от АТрябва Е .
Доказателство: Логическото условие на теоремата съдържа противоречие, което трябва да бъде разрешено. Противоречието на условието трябва да намери своето решение в доказателството и неговия резултат. Резултатът се оказва неверен с безупречни и безгрешни разсъждения. При логически правилни разсъждения причината за грешното заключение може да бъде само противоречиво условие: от АТрябва Е и от Ане следва Е .
Няма сянка на съмнение, че една част от условието е невярна, докато другата в този случай е вярна. И двете части на условието имат един и същ произход, приемат се като данни, допускат се, еднакво възможни, еднакво допустими и т. н. В хода на логическите разсъждения не се откри нито един логически признак, който да отличава една част от условието от другата. . Следователно в същата степен може да бъде от АТрябва Е и може би от Ане следва Е ... Изявление от АТрябва Е може би фалшиво, след това изявлението от Ане следва Е ще бъде вярно. Изявление от Ане следва Е може да е невярно, тогава твърдението от АТрябва Е ще бъде вярно.
Следователно е невъзможно пряката теорема да се докаже от противоречие.
Сега ще докажем същата пряка теорема по обичайния математически метод.
дадено: А .
Докажи: от АТрябва Е .
Доказателство.
1. От АТрябва Б
2. От БТрябва V (по доказаната по-рано теорема)).
3. От VТрябва г (по доказаната по-рано теорема).
4. От гТрябва д (по доказаната по-рано теорема).
5. От дТрябва Е (по доказаната по-рано теорема).
Въз основа на закона за транзитивността, от АТрябва Е ... Пряката теорема се доказва по обичайния метод.
Нека доказаната директна теорема има правилната обратна теорема: от ЕТрябва А .
Нека го докажем с обичайното математическиметод. Доказателството на обратната теорема може да бъде изразено символично под формата на алгоритъм от математически операции.
дадено: Е
Докажи: от ЕТрябва А .
Доказателство.
1. От ЕТрябва д
2. От дТрябва г (по доказаната по-рано обратна теорема).
3. От гТрябва V (по доказаната по-рано обратна теорема).
4. От Vне следва Б (обратната теорема не е вярна). Ето защо от Бне следва А .
В тази ситуация няма смисъл да продължаваме математическото доказателство на обратната теорема. Причината за ситуацията е логична. Невъзможно е да се замени неправилната обратна теорема с нищо. Следователно тази обратна теорема не може да бъде доказана с обичайния математически метод. Цялата надежда е за доказателство на тази обратна теорема чрез метода на противоречието.
За доказването му чрез противоречив метод се изисква математическото му условие да бъде заменено с логическо противоречиво условие, което по смисъла си съдържа две части – невярна и истинна.
Обратната теоремазаявява: от Ене следва А ... Нейното състояние Е , от което следва изводът А , е резултат от доказване на директната теорема по обичайния математически метод. Това условие трябва да бъде запазено и допълнено с изявлението от ЕТрябва А ... В резултат на добавянето се получава противоречиво условие на новата обратна теорема: от ЕТрябва А и от Ене следва А ... Въз основа на това логичнопротиворечиво условие, обратната теорема може да се докаже с помощта на правилното логичносамо разсъждения и само, логичнопо метода на противоречието. При доказване от противоречие всякакви математически действия и операции са подчинени на логическите и следователно не се броят.
В първата част на противоречивото твърдение от ЕТрябва А състояние Е беше доказано чрез доказателството на пряката теорема. Във втората част от Ене следва А състояние Е е прието и прието без доказателства. Някои от тях едното е невярно, а другото е вярно. Необходимо е да се докаже кое от тях е невярно.
Доказваме с помощта на правилните логичноразсъждения и да открият, че резултатът от него е невярно, абсурдно заключение. Причината за фалшивото логическо заключение е противоречивото логическо условие на теоремата, която съдържа две части – невярна и вярна. Само твърдение може да бъде фалшива част от Ене следва А , в който Е е прието без доказателства. По това се различава от Е одобрение от ЕТрябва А , което се доказва с доказателството на пряката теорема.
Следователно, следното твърдение е вярно: от ЕТрябва А , както се изисква за доказване.
Заключение: само обратната теорема се доказва с логически метод от противоречие, която има пряка теорема, доказана с математически метод и която не може да бъде доказана с математически метод.
Полученото заключение придобива изключително значение по отношение на метода на доказване в противоречие с теоремата на Великия Ферма. Преобладаващото мнозинство от опитите за доказване се основават не на обичайния математически метод, а на логическия метод за доказване чрез противоречие. Доказателството на голямата теорема на Ферма на Уайлс не е изключение.
Дмитрий Абраров в статията си „Теоремата на Ферма: Феноменът на доказателствата на Уайлс“ публикува коментар на доказателството на Великата теорема на Ферма от Уайлс. Според Абраров Уайлс доказва теоремата на Великия Ферма с помощта на забележителна находка на немския математик Герхард Фрей (р. 1944), който свързва потенциалното решение на уравнението на Ферма x n + y n = z n
, където n> 2
, с друго, напълно различно от него, уравнение. Това ново уравнение се дава от специална крива (наречена елиптична крива на Фрей). Кривата на Фрей се дава от уравнение с много проста форма:
.
„Именно Фрей отговаряше на всяко решение (а, б, в)Уравнението на Ферма, тоест числа, удовлетворяващи съотношението a n + b n = c nнад кривата. В този случай от тук следва голямата теорема на Ферма.(Цитат от: Абраров Д. "Теоремата на Ферма: Феноменът на доказателствата на Уайлс")
С други думи, Герхард Фрей предложи, че уравнението на голямата теорема на Ферма x n + y n = z n
, където n> 2
, има решения в цели положителни числа. Тези решения са, според предположението на Фрей, решения на неговото уравнение
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, което се дава от елиптичната му крива.
Андрю Уайлс прие тази забележителна находка от Фрей и с негова помощ успя математическиметодът доказа, че тази находка, тоест елиптичната крива на Фрей, не съществува. Следователно няма уравнение и неговите решения, които са дадени от несъществуваща елиптична крива. Следователно Уайлс е трябвало да приеме извода, че уравнението на Великата теорема на Ферма и самата теорема на Ферма не съществуват. Той обаче направи по-скромно заключение, че уравнението на Великата теорема на Ферма няма решения в цели положителни числа.
Може да е неопровержим факт, че Уайлс е приел предположение, което е точно обратното по смисъл на това, което се твърди в последната теорема на Ферма. Това задължава Уайлс да докаже последната теорема на Ферма чрез противоречие. Ще последваме неговия пример и ще видим какво ще излезе от този пример.
Последната теорема на Ферма гласи, че уравнението x n + y n = z n , където n> 2 , няма решения в цели положителни числа.
Съгласно логическия метод за доказване чрез противоречие, това твърдение се запазва, приема се като дадено без доказателство и след това се допълва с противоположното твърдение по значение: уравнението x n + y n = z n , където n> 2 , има решения в цели положителни числа.
Твърдяното твърдение също се приема за дадено, без доказателства. И двете твърдения, разгледани от гледна точка на основните закони на логиката, са еднакво валидни, равни и еднакво възможни. Чрез правилни разсъждения се изисква да се установи кое от тях е невярно, за да се установи, че другото твърдение е вярно.
Правилното разсъждение завършва с погрешно, абсурдно заключение, логическата причина за което може да бъде само противоречивото условие на доказваната теорема, която съдържа две части с противоположно значение. Те бяха логичната причина за абсурдното заключение, резултат от доказателство чрез противоречие.
В хода на логически правилните разсъждения обаче не беше открит нито един признак, по който да се установи кое конкретно твърдение е невярно. Това може да бъде твърдението: уравнението x n + y n = z n , където n> 2 , има решения в цели положителни числа. На същата основа може да бъде твърдението: уравнението x n + y n = z n , където n> 2 , няма решения в цели положителни числа.
В резултат на разсъжденията може да има само едно заключение: Последната теорема на Ферма не може да бъде доказана от противоречие.
Съвсем различен въпрос би бил, ако последната теорема на Ферма беше обратна теорема, която има пряка теорема, доказана с обичайния математически метод. В този случай може да се докаже от противоречие. И тъй като тя е пряка теорема, нейното доказателство трябва да се основава не на логическия метод за доказване чрез противоречие, а на обичайния математически метод.
Според Д. Абраров най-известният от съвременните руски математици, академик В. И. Арнолд, реагира на доказателството на Уайлс „активно скептично“. Академикът каза: “Това не е истинска математика – истинската математика е геометрична и силна във връзка с физиката.” (Цитат от: Абраров Д. “Теоремата на Ферма: феноменът на доказателствата на Уайлс.” Твърдението на академика изразява самата същност на Уайлс нематематическо доказателство на Великата теорема на Ферма.
От противоречие е невъзможно да се докаже нито че уравнението на Великата теорема на Ферма няма решения, нито че има решения. Грешката на Уайлс не е математическа, а логическа - използването на доказателство от противоречие, където използването му няма смисъл и не доказва теоремата на Великия Ферма.
Последната теорема на Ферма не се доказва с обичайния математически метод, ако е дадено: уравнението x n + y n = z n , където n> 2 , няма решения в цели положителни числа и ако се изисква да се докаже в него: уравнението x n + y n = z n , където n> 2 , няма решения в цели положителни числа. В тази форма няма теорема, а тавтология, лишена от смисъл.
Забележка.Доказателството ми за BTF беше обсъждано в един от форумите. Един от сътрудниците на Тротил, експерт по теория на числата, направи следното авторитетно изявление, озаглавено: „Кратко преразказване на това, което направи Миргородски“. Цитирам го дословно:
« А. Той доказа, че ако z 2 = x 2 + y , тогава z n> x n + y n ... Това е добре известен и доста очевиден факт.
V. Той взе две тройки - питагорейско и непитагорейско и с просто търсене показа, че за конкретно, конкретно семейство тройки (78 и 210 броя), BTF е изпълнен (и само за него).
С. И тогава авторът пропуска факта, че от < в последваща степен може да бъде = , не само > ... Прост контрапример - преход n = 1 v n = 2 в Питагоровата тройка.
Д. Тази точка не добавя нищо съществено към доказателството за BTF. Заключение: BTF не е доказано."
Ще разгледам заключението му точка по точка.
А.Доказа BTF за целия безкраен набор от тройки питагорейски числа. Доказано чрез геометричния метод, който според мен не беше открит от мен, а преоткрит. И той е открит, както вярвам, от самия П. Ферма. Това е, което Ферма може да е имал предвид, когато пише:
"Открих наистина прекрасно доказателство за това, но тези полета са твърде тесни за него." Това мое предположение се основава на факта, че в диофантовия проблем, срещу който в полетата на книгата пише Ферма, говорим за решения на диофантовото уравнение, които са тройки от питагоровите числа.
Безкраен набор от тройки питагорови числа са решения на Диофатичното уравнение, а в теоремата на Ферма, напротив, нито едно от решенията не може да бъде решение на уравнението на теоремата на Ферма. И наистина чудотворното доказателство на Ферма е пряко свързано с този факт. По-късно Ферма може да разшири своята теорема до множеството от всички естествени числа. На множеството от всички естествени числа BTF не принадлежи към „набора от изключително красиви теореми“. Това е моето предположение, което е невъзможно да се докаже или опровергае. Може да бъде както прието, така и отхвърлено.
V.В този момент доказвам, че както семейството на произволно взета питагорова тройка числа, така и семейството на произволно взета непитагорова тройка от BTF числа е удовлетворена. Това е необходима, но недостатъчна и междинна връзка в моето доказателство за BTF . Примерите, които взех за семейство от тройка питагорови числа и семейство от тройка от непитагорови числа, имат значението на конкретни примери, които предполагат и не изключват съществуването на подобни други примери.
Твърдението на Тротил, че „с едно просто търсене показах, че за конкретно, определено семейство тройки (78 и 210 броя), BTF е изпълнен (и само за него), е безпочвен. Той не може да опровергае факта, че мога също така да взема други примери за питагорейските и непитагорейските тройки, за да получа конкретно специфично семейство от едното и другото тризнаци.
Която и двойка тройки да взема, тяхната пригодност за решаване на проблема може да се провери според мен само по метода на „простото изброяване“. Всеки друг метод не ми е известен и не е задължителен. Ако Trotil не го харесва, тогава трябваше да предложи друг метод, който не го харесва. Без да предлагаме нищо в замяна, е неправилно да осъждаме „обикновената груба сила“, която в случая е незаменима.
С.Пропуснах = между< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), при което степента n> 2 — цялаположително число. От равенството между неравенствата следва задължителноразглеждане на уравнение (1) с нецела степен n> 2 ... Броене на тротил задължителенразглеждането на равенството между неравенствата всъщност разглежда необходимопри доказването на BTF, разглеждането на уравнение (1) за непълензначението на степента n> 2 ... Направих това за себе си и открих, че уравнението (1) за непълензначението на степента n> 2 има решение на три числа: z, (z-1), (z-1) с нецелочислен показател.
Григорий Перелман. Refusenik
Василий Максимов
През август 2006 г. бяха обявени имената на най-добрите математици на планетата, които получиха най-престижния медал на Фийлдс - своеобразен аналог на Нобеловата награда, от която математиците, по прищявка на Алфред Нобел, бяха лишени. Медалът на Фийлдс - в допълнение към почетния знак, лауреатите получават чек за петнадесет хиляди канадски долара - се присъжда от Международния конгрес на математиците на всеки четири години. Основан е от канадския учен Джон Чарлз Фийлдс и е награден за първи път през 1936 г. От 1950 г. медалът на Фийлдс се връчва редовно лично от краля на Испания за приноса му към развитието на математическата наука. Лауреати на наградата могат да бъдат от един до четирима учени под четиридесет години. Четиридесет и четирима математици вече са получили наградата, осем от които са руснаци.
Григорий Перелман. Анри Поанкаре.
През 2006 г. лауреати са французинът Венделин Вернер, австралиецът Терънс Тао и двама руснаци - Андрей Окунков, който работи в САЩ, и Григорий Перелман, учен от Санкт Петербург. В последния момент обаче се разбра, че Перелман е отказал тази престижна награда – както обявиха организаторите, „по принципни причини“.
Такава екстравагантна постъпка на руския математик не беше изненада за хората, които го познаваха. Той не за първи път отказва математически награди, обяснявайки решението си с факта, че не обича тържествените събития и прекомерната шумиха около името си. Преди десет години, през 1996 г., Перелман отхвърли наградата от Европейския математически конгрес, позовавайки се на факта, че не е завършил работата по научния проблем, номиниран за наградата, и това не е последният път. Руският математик сякаш си е поставил за цел на живота си да удивлява хората, противоречащи на общественото мнение и научната общност.
Григорий Яковлевич Перелман е роден на 13 юни 1966 г. в Ленинград. От ранна възраст той е любител на точните науки, блестящо завършва известното 239-то средно училище със задълбочено изучаване на математика, печели множество математически олимпиади: например през 1982 г., като част от екип от съветски ученици, той участва на Международната олимпиада по математика, проведена в Будапеща. Перелман без изпити е записан в механико-математическия факултет на Ленинградския университет, където учи отлично, продължавайки да печели в математически състезания на всички нива. След като завършва университета с отличие, той постъпва в аспирантура в Санкт Петербургския филиал на Математическия институт на Стеклов. Негов научен съветник е известният математик акад. Александров. След като защити докторска дисертация, Григорий Перелман остава в института, в лабораторията по геометрия и топология. Известна е неговата работа по теорията на пространствата на Александров, той успя да намери доказателства за редица важни хипотези. Въпреки многобройните предложения от водещи западни университети, Перелман предпочита да работи в Русия.
Най-силният му успех е решението през 2002 г. на известната хипотеза на Поанкаре, публикувана през 1904 г. и оттогава остава недоказана. Перелман работи върху него осем години. Хипотезата на Поанкаре се смята за една от най-големите математически мистерии и нейното решение е най-важното постижение в математическата наука: то незабавно ще даде напредък в изследванията на проблемите на физическите и математическите основи на Вселената. Най-известните умове на планетата предсказаха решението му само няколко десетилетия по-късно, а Институтът по математика на Клей в Кеймбридж, Масачузетс, включи проблема на Поанкаре сред седемте най-интересни нерешени математически задачи на хилядолетието, на всяка от които беше обещана награда от милион долара. (Проблеми с наградата на хилядолетието) ...
Една хипотеза (наричана понякога проблем) на френския математик Анри Поанкаре (1854–1912) е формулирана по следния начин: всяко затворено едносвързано триизмерно пространство е хомеоморфно на триизмерна сфера. За да изясните, използвайте илюстративен пример: ако увиете ябълка с гумена лента, тогава по принцип, като издърпате лентата, можете да стиснете ябълката до точка. Ако увиете багел със същата лента, тогава не можете да го стиснете до точка, без да разкъсате поничката или гумата. В този контекст ябълката се нарича "единично свързана" фигура, докато поничката не е просто свързана. Преди почти век Поанкаре установи, че двумерната сфера е просто свързана, и предположи, че триизмерната сфера също е просто свързана. Най-добрите математици в света не можаха да докажат тази хипотеза.
За да се класира за наградата на Института на глина, Перелман трябваше само да публикува своето решение в едно от научните списания и ако в рамките на две години никой не може да открие грешка в изчисленията си, тогава решението ще се счита за правилно. Въпреки това, Перелман се отклони от правилата от самото начало, публикувайки решението си на сайта за препринт на Научната лаборатория в Лос Аламос. Може би се страхуваше, че в изчисленията му се е промъкнала грешка - подобна история вече се беше случила в математиката. През 1994 г. английският математик Андрю Уайлс предлага решение на прочутата теорема на Ферма и няколко месеца по-късно се оказва, че в изчисленията му се е промъкнала грешка (макар че по-късно е поправена и сензацията все пак се е случила). Все още няма официална публикация за доказателството на хипотезата на Поанкаре - но има авторитетно мнение на най-добрите математици на планетата, потвърждаващо правилността на изчисленията на Перелман.
Медалът на Фийлдс е присъден на Григорий Перелман именно за решаването на проблема с Поанкаре. Но руският учен отхвърли наградата, която несъмнено заслужава. „Грегори ми каза, че се чувства изолиран от международната математическа общност, извън тази общност и затова не иска да получи награда“, каза на пресконференция в Мадрид президентът на Световния съюз на математиците (HCM) , англичанинът Джон Бол.
Говори се, че Григорий Перелман изобщо ще напусне науката: преди шест месеца той напусна родния си Математически институт Стеклов и казват, че вече няма да се занимава с математика. Може би руският учен вярва, че след като е доказал известната хипотеза, е направил всичко възможно за науката. Кой обаче би се заел да говори за хода на мислите на такъв блестящ учен и необикновена личност? .. Перелман отказва всякакви коментари, а пред The Daily Telegraph каза: „Нищо, което мога да кажа, не представлява и най-малък обществен интерес“. Водещи научни издания обаче бяха единодушни в оценките си, когато съобщиха, че „Григори Перелман, след като е решил теоремата на Поанкаре, е стоял наравно с най-големите гении от миналото и настоящето“.
Месечно литературно журналистическо списание и издателство.
Че Андрю Уайлс ще получи наградата Абел през 2016 г. за доказателството на предположението Танияма-Шимура за полустабилни елиптични криви и доказателството на теоремата на Ферма, следваща от тази хипотеза. Премията в момента е 6 милиона норвежки крони, или приблизително 50 милиона рубли. Според Уайлс наградата е била "пълна изненада" за него.
Теоремата на Ферма, доказана преди повече от 20 години, все още привлича вниманието на математиците. Отчасти това се дължи на неговата формулировка, която е разбираема дори за ученик: докажете, че за естествено n> 2 няма тройки от ненулеви цели числа, такива че a n + b n = c n. Пиер Ферма написа този израз в полетата на Аритметиката на Диофант с прекрасния подпис „Намерих наистина прекрасно доказателство за това [на това твърдение], но полетата на книгата са твърде тесни за него“. За разлика от повечето истории по математика, тази е истинска.
Връчването на наградата е чудесен повод да си припомним десет забавни истории, свързани с теоремата на Ферма.
1.
Преди Андрю Уайлс да докаже теоремата на Ферма, по-правилно е да я наречем хипотеза, тоест предположение на Ферма. Въпросът е, че теоремата по дефиниция е вече доказано твърдение. Въпреки това, по някаква причина такова име беше залепено за това твърдение.
2.
Ако поставим n = 2 в теоремата на Ферма, тогава такова уравнение има безкрайно много решения. Тези решения се наричат "питагорови тройки". Те получиха това име, защото отговарят на правоъгълни триъгълници, чиито страни се изразяват точно с такива набори от числа. Можете да генерирате питагорови тройки, като използвате тези три формули (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). Различни стойности на m и n трябва да бъдат заместени в тези формули и резултатът ще бъде тройките, от които се нуждаем. Основното тук обаче е да се уверите, че получените числа ще бъдат по-големи от нула - дължините не могат да бъдат изразени с отрицателни числа.
Между другото, лесно е да се види, че ако всички числа в питагоровата тройка се умножат по някаква различна нула, ще получите нова питагорова тройка. Следователно е разумно да се изследват тройки, в които трите числа в съвкупността нямат общ делител. Схемата, която описахме, ни позволява да получим всички такива тройки - това вече не е прост резултат.
3.
На 1 март, на срещата на Парижката академия на науките през 1847 г., двама математици наведнъж - Габриел Ламе и Огюстен Коши - обявиха, че са на път да докажат забележителна теорема. Те се състезават, като публикуват доказателства. Повечето учени подкрепяха Куцата, тъй като Коши беше самодоволен, нетолерантен религиозен фанатик (и, разбира се, абсолютно брилянтен математик в комбинация). Мачът обаче не беше предопределен да приключи – чрез своя приятел Джоузеф Лиувил немският математик Ернст Кумер каза на академиците, че доказателствата на Коши и Кумер имат същата грешка.
В училище се доказва, че разлагането на едно число в прости множители е уникално. И двамата математици вярваха, че ако погледнете разлагането на цели числа вече в сложния случай, тогава това свойство - уникалност - ще бъде запазено. Въпреки това не е така.
Прави впечатление, че ако разгледаме само m + i n, тогава разлагането е уникално. Такива числа се наричат гаусови. Но за работата на Лам и Коши се изискваше факторизация в циклотомични полета. Това са например числа, в които m и n са рационални, а i удовлетворява свойството i ^ k = 1.
4.
Теоремата на Ферма за n = 3 има ясен геометричен смисъл. Нека си представим, че имаме много малки кубчета. Да предположим, че сме събрали два големи куба от тях. В този случай, разбира се, страните ще бъдат цели числа. Възможно ли е да се намерят два толкова големи куба, че като ги разглобим на съставните им малки кубчета, да сглобим от тях един голям куб? Теоремата на Ферма казва, че никога не можете да направите това. Смешно е, че ако зададете същия въпрос за три куба, отговорът е да. Например има такива четири числа, открити от прекрасния математик Шринивас Рамануджан:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
В историята на теоремата на Ферма Леонард Ойлер отбеляза. Той наистина не успя да докаже твърдението (или дори да се доближи до доказателството), но формулира хипотеза, че уравнението
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
няма целочислено решение. Всички опити да се намери директно решение на такова уравнение са неуспешни. Едва през 1988 г. Наум Елкис от Харвард намери контрапример. Изглежда така:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Обикновено тази формула се запомня в контекста на числен експеримент. Като правило в математиката изглежда така: има някаква формула. Математикът проверява тази формула в прости случаи, проверява истинността и формулира някаква хипотеза. След това той (макар и по-често някои от неговите аспиранти или студенти) пише програма, за да провери дали формулата е правилна за достатъчно големи числа, които не могат да бъдат преброени с ръцете му (говорим за един такъв експеримент с прости числа). Това не е доказателство, разбира се, но отлична причина да се изложи хипотеза. Всички тези конструкции се основават на разумното предположение, че ако има контрапример за някаква разумна формула, тогава ще го намерим достатъчно бързо.
Хипотезата на Ойлер ни напомня, че животът е много по-разнообразен от нашите фантазии: първият контрапример може да бъде произволно голям.
6.
Всъщност, разбира се, Андрю Уайлс не се опитваше да докаже теоремата на Ферма – той решаваше по-труден проблем, наречен хипотезата Танияма-Шимура. Има два забележителни класа обекти в математиката. Първият се нарича модулни форми и по същество е функция в пространството на Лобачевски. Тези функции не се променят с движенията на тази равнина. Вторият се нарича "елиптични криви" и е криви, определени от уравнение от трета степен на комплексната равнина. И двата обекта са много популярни в теорията на числата.
През 50-те години на миналия век двама талантливи математици Ютака Танияма и Горо Шимура се срещат в библиотеката на Токийския университет. По това време в университета нямаше специална математика: просто нямаше време да се възстанови след войната. В резултат на това учените учат по стари учебници и анализират на семинари проблеми, които се смятат за решени в Европа и Съединените щати и не са особено актуални. Танияма и Шимура откриха, че има някакво съответствие между модулните форми и елиптичните функции.
Те тестваха хипотезата си върху някои прости класове криви. Оказа се, че работи. Така че те предположиха, че тази връзка винаги е налице. Така се появява хипотезата Танияма-Шимура, а три години по-късно Танияма се самоубива. През 1984 г. немският математик Герхард Фрей показа, че ако теоремата на Ферма е грешна, тогава предположението на Танияма-Шимура е грешно. От това следваше, че този, който е доказал това предположение, ще докаже и теоремата. Точно това направи Уайлс - но не по много общ начин.
7.
Уайлс прекара осем години в доказване на хипотезата. И по време на проверката рецензентите откриха грешка в нея, която „уби“ по-голямата част от доказателството, анулирайки всички години на работа. Един от рецензентите на име Ричард Тейлър се ангажира да поправи тази дупка с Уайлс. Докато работеха, се появи съобщение, че Елкис, този, който намери контрапример на предположението на Ойлер, намери контрапример на теоремата на Ферма (по-късно се оказа, че това е първоаприлска шега). Уайлс изпадна в депресия и не искаше да продължава - дупката в доказателствата не се затваряше по никакъв начин. Тейлър убеди Уайлс да се бие още един месец.
Случи се чудо и до края на лятото математиците направиха пробив - ето как Андрю Уайлс "Модулни елиптични криви и Великата теорема на Ферма" (pdf) и Ричард Тейлър и Андрю Уайлс "Теоретични свойства на пръстена на някои алгебри на Хеке са родени. Това вече беше правилното доказателство. Публикувана е през 1995 г.
8.
Математикът Пол Волфскел умира в Дармщат през 1908 г. След себе си той остави завещание, в което даде на математическата общност 99 години да намери доказателство за голямата теорема на Ферма. Авторът на доказателството трябваше да получи 100 хиляди марки (авторът на контрапримера, между другото, не би получил нищо). Според популярната легенда любовта е подтикнала Волфскел да направи такъв подарък на математиците. Ето как Саймън Сингх описва легендата в книгата си Последната теорема на Ферма:
Историята започва с увлечението на Волфскел по красива жена, чиято самоличност така и не е установена. За голямо съжаление на Волфскел, мистериозната жена го отхвърли. Той изпадна в толкова дълбоко отчаяние, че реши да се самоубие. Волфскел беше страстен човек, но не и импулсивен и затова започна да измисля смъртта си във всеки детайл. Той определи дата за самоубийството си и реши да се застреля в главата с първия удар на часовника точно в полунощ. През останалите дни Волфскел реши да подреди делата си, които вървяха чудесно, а в последния ден направи завещание и написа писма до близки приятели и роднини.
Волфскел работи толкова упорито, че свърши цялата си работа преди полунощ и, за да запълни по някакъв начин оставащите часове, отиде в библиотеката, където започна да преглежда математическите списания. Скоро той се натъкна на класическа статия на Кумер, в която той обяснява защо Коши и Куц са се провалили. Работата на Кумер беше една от най-значимите математически публикации на своята епоха и беше идеалното четиво за математик, който планира да се самоубие. Волфскел внимателно, ред по ред, следваше изчисленията на Кумер. Изведнъж на Волфскел му се стори, че е открил пропуск: авторът направи известно предположение и не обоснова тази стъпка в своите разсъждения. Волфскел се чудеше дали всъщност е открил сериозна празнина или предположението на Кумер е валидно. Ако се открие пропуск, тогава имаше шанс последната теорема на Ферма да бъде доказана много по-лесно, отколкото мнозина си мислеха.
Волфскел седна на масата, внимателно анализира „погрешната“ част от разсъжденията на Кумер и започна да очертава минидоказателство, което или трябва да подкрепя работата на Кумер, или да демонстрира погрешността на неговото предположение и в резултат на това да опровергае всички негови аргументи . До разсъмване Волфскел беше приключил с изчисленията си. Лошата новина (математически) беше, че доказателството на Кумер беше излекувано, а последната теорема на Ферма все още беше недостъпна. Но имаше добри новини: времето, определено за самоубийство, свърши и Волфскел беше толкова горд, че успя да намери и запълни празнина в творчеството на великия Ърнест Кумер, че отчаянието и тъгата му бяха разсеяни от само себе си. Математиката възроди жаждата му за живот.
Има обаче и алтернативна версия. Според нея Волфскел се е заел с математика (и всъщност теоремата на Ферма) поради прогресивна множествена склероза, която му пречи да прави това, което обича - да бъде лекар. И остави парите на математиците, за да не напусне жена си, която просто мразеше до края на живота си.
9.
Опитите да се докаже теоремата на Ферма с елементарни методи доведоха до появата на цял клас странни хора, наречени "ферматисти". Те бяха ангажирани с изготвянето на огромно количество доказателства и изобщо не се отчаяха, когато откриха грешка в тези доказателства.
В механико-математическия факултет на Московския държавен университет имаше легендарен герой на име Добрецов. Той събира сертификати от различни катедри и, използвайки ги, прониква в катедрата по механика и математика. Това е направено единствено с цел намиране на жертва. Някак си попадна на млад аспирант (бъдещ академик Новиков). Той, в своята наивност, започна внимателно да изучава купчината документи, които Добрецов му подхвърли с думите, казват, ето доказателството. След поредното "ето грешка..." Добрецов взе купчината и я пъхна в куфарчето си. От второто куфарче (да, той мина през механико-математическия факултет с две куфарчета) извади втора купчина, въздъхна и каза: „Е, тогава да видим вариант 7 Б”.
Между другото, повечето от тези доказателства започват с фразата „Да прехвърлим един от термините в дясната страна на равенството и да го разложим на множители“.
10.
Историята за теоремата няма да бъде пълна без прекрасния филм "Математикът и дяволът".
Изменение
В раздел 7 от тази статия първоначално се посочва, че Наум Елкис е намерил контрапример на теоремата на Ферма, който по-късно се оказва погрешен. Това не е вярно: докладът с контрапример беше първоаприлска шега. Извиняваме се за неточността.
Андрей Коняев
