كيفية إيجاد طول مقطع إذا كانت الإحداثيات معروفة. إيجاد إحداثيات منتصف المقطع ، أمثلة ، حلول. طريقة الإحداثيات في الفضاء

في هذا المقال سنتحدث عن إيجاد إحداثيات منتصف مقطع من إحداثيات نهاياته. أولاً ، سنقدم المفاهيم اللازمة ، ثم نحصل على الصيغ للعثور على إحداثيات منتصف المقطع ، وفي النهاية ، سننظر في حلول لأمثلة ومشكلات نموذجية.

التنقل في الصفحة.

مفهوم منتصف المقطع.

من أجل تقديم مفهوم نقطة الوسط للقطاع ، نحتاج إلى تعريفات المقطع وطوله.

يتم إعطاء مفهوم المقطع في دروس الرياضيات في الصف الخامس من المدرسة الثانوية على النحو التالي: إذا أخذنا نقطتين تعسفيتين غير متطابقتين A و B ، فقم بإرفاق مسطرة بهما ورسم خطًا من A إلى B (أو من B إلى أ) ، ثم نحصل على الجزء AB(أو الجزء ب أ). يتم استدعاء النقطتين A و B نهايات المقطع. يجب أن نضع في اعتبارنا أن الجزء AB والجزء BA هما نفس المقطع.

إذا امتد المقطع AB إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين من الأطراف ، فإننا نحصل على ذلك خط مستقيم AB(أو VA المباشر). القطعة AB هي جزء من الخط المستقيم AB محاط بين النقطتين A و B. وبالتالي ، فإن المقطع AB هو اتحاد النقاط A و B ومجموعة جميع نقاط الخط المستقيم AB الموزعة بين النقطتين A و B. إذا أخذنا نقطة عشوائية M للخط المستقيم AB الواقعة بين النقطتين A و B ، فإنهم يقولون إن النقطة M الأكاذيبفي الجزء AB.

طول المقطع AB هي المسافة بين النقطتين A و B بمقياس معين (جزء من طول الوحدة). سيتم الإشارة إلى طول المقطع AB بالشكل.

تعريف.

نقطة يسمى C منتصف المقطع AB إذا كان يقع على الجزء AB وعلى مسافة متساوية من طرفيه.

أي إذا كانت النقطة C هي نقطة منتصف القطعة AB ، فإنها تقع عليها و.

علاوة على ذلك ، ستكون مهمتنا العثور على إحداثيات منتصف المقطع AB إذا كانت إحداثيات النقطتين A و B معطاة على خط الإحداثيات أو في نظام إحداثيات مستطيل.

تنسيق نقطة منتصف المقطع على خط الإحداثيات.

دعونا نحصل على خط إحداثيات Ox ونقطتين غير متطابقتين A و B عليه ، والتي تتوافق مع الأرقام الحقيقية و. دع النقطة C تكون نقطة المنتصف للجزء AB. لنجد إحداثي النقطة ج.

نظرًا لأن النقطة C هي نقطة منتصف المقطع AB ، فإن المساواة صحيحة. في القسم الخاص بالمسافة من نقطة إلى نقطة على خط إحداثيات ، أوضحنا أن المسافة بين النقطتين تساوي مقياس الفرق بين إحداثياتهما ، بالتالي ،. ثم أو . من المساواة أوجد إحداثيات نقطة المنتصف للمقطع AB على خط الإحداثيات: - يساوي نصف مجموع إحداثيات طرفي المقطع. من المساواة الثانية نحصل عليه ، وهو أمر مستحيل ، لأننا أخذنا النقطتين غير المتزامنتين A و B.

وبالتالي، صيغة إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة AB ذات النهايات ولها الشكل .

إحداثيات نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة.

دعونا نقدم نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل Оxyz على المستوى. لنحصل على نقطتين ونعلم أن النقطة C هي نقطة منتصف القطعة AB. لنجد الإحداثيات والنقاط C.

عن طريق البناء ، على التوالي خطوط متوازية وكذلك متوازية ، لذلك ، من خلال نظرية طاليسمن المساواة بين المقاطع AC و CB يتبع المساواة بين المقاطع و ، وكذلك المقاطع و. لذلك ، فإن النقطة هي نقطة منتصف المقطع ، ونقطة منتصف المقطع. ثم بحكم الفقرة السابقة من هذه المادة و .

باستخدام هذه الصيغ ، يمكن للمرء أيضًا حساب إحداثيات منتصف المقطع AB في الحالات التي تقع فيها النقطتان A و B على أحد محاور الإحداثيات أو على خط مستقيم عمودي على أحد محاور الإحداثيات. دعونا نترك هذه الحالات دون تعليق ، ونقدم الرسوم التوضيحية.

في هذا الطريق، نقطة منتصف القطعة AB على مستوى ينتهي عند نقاط ولها إحداثيات .

إحداثيات منتصف المقطع في الفراغ.

دع نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz يتم تقديمه في مساحة ثلاثية الأبعاد ونقطتين و . نحصل على صيغ لإيجاد إحداثيات النقطة C ، وهي نقطة منتصف القطعة AB.

دعونا ننظر في الحالة العامة.

لنكن إسقاط النقاط A و B و C على محاور الإحداثيات Ox و Oy و Oz ، على التوالي.

وفقًا لنظرية طاليس ، فإن النقاط هي نقاط المنتصف للقطاعات على التوالى. ثم (انظر الفقرة الأولى من هذه المقالة). لذلك وصلنا صيغ لحساب إحداثيات منتصف مقطع من إحداثيات نهاياته في الفضاء.

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغ في الحالات التي تقع فيها النقطتان A و B على أحد محاور الإحداثيات أو على خط مستقيم عمودي على أحد محاور الإحداثيات ، وأيضًا إذا كانت النقطتان A و B تقعان في أحد مستويات الإحداثيات أو في مستوى موازٍ لأحد محاور الإحداثيات.

إحداثيات منتصف المقطع عبر إحداثيات متجهات نصف القطر لنهاياته.

من السهل الحصول على صيغ لإيجاد إحداثيات منتصف المقطع بالإشارة إلى جبر المتجهات.

دع نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل يُعطى Oxy على المستوى وتكون النقطة C هي نقطة المنتصف للجزء AB و و.

وفقًا للتعريف الهندسي للعمليات على المتجهات ، فإن المساواة (النقطة C هي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات ، أي النقطة C هي نقطة المنتصف لقطر متوازي الأضلاع). في مقالة إحداثيات متجه في نظام إحداثيات مستطيل ، اكتشفنا أن إحداثيات متجه نصف قطر نقطة ما تساوي إحداثيات هذه النقطة ، . ثم ، بعد إجراء العمليات المقابلة على المتجهات في الإحداثيات ، لدينا. كيف يمكننا استنتاج أن إحداثيات النقطة ج .

بالمثل تمامًا ، يمكن العثور على إحداثيات منتصف المقطع AB من خلال إحداثيات نهاياته في الفضاء. في هذه الحالة ، إذا كانت C هي نقطة منتصف القطعة AB ، ثم لدينا .

إيجاد إحداثيات منتصف المقطع ، أمثلة ، حلول.

في العديد من المشكلات ، يجب عليك استخدام الصيغ للعثور على إحداثيات نقطة المنتصف لمقطع ما. لنفكر في حلول أكثر الأمثلة المميزة.

لنبدأ بمثال يحتاج فقط إلى تطبيق صيغة.

مثال.

إحداثيات نقطتين معطاة على المستوى . أوجد إحداثيات نقطة المنتصف للمقطع AB.

المحلول.

دع النقطة C تكون نقطة المنتصف للجزء AB. إحداثياتها تساوي نصف مجموع إحداثيات النقطتين A و B:

وبالتالي ، فإن نقطة المنتصف للمقطع AB لها إحداثيات.

إذا لمست ورقة دفتر ملاحظات بقلم رصاص حاد ، سيبقى أثر يعطي فكرة عن النقطة. (تين. 3).

نحدد نقطتين A و B على ورقة ، ويمكن ربط هذه النقاط بخطوط مختلفة (الشكل 4). وكيف يتم ربط النقطتين A و B بأقصر خط؟ يمكن القيام بذلك باستخدام المسطرة (الشكل 5). يتم استدعاء الخط الناتج قطعة.

النقطة والخط - أمثلة الأشكال الهندسية.

يتم استدعاء النقطتين A و B نهايات المقطع.

يوجد مقطع واحد نهايته النقطتان A و B. لذلك ، يتم الإشارة إلى المقطع عن طريق تدوين النقاط التي تمثل نهاياته. على سبيل المثال ، تم تعيين المقطع في الشكل 5 بإحدى طريقتين: AB أو BA. قراءة: "الجزء AB" أو "الجزء BA".

يوضح الشكل 6 ثلاثة أجزاء. طول المقطع AB يساوي 1 سم ، ويوضع ثلاث مرات بالضبط في المقطع MN ، و 4 مرات بالضبط في المقطع EF. سنقول ذلك طول القطعة MN يساوي 3 سم ، وطول القطعة EF 4 سم.

من المعتاد أيضًا أن نقول: "المقطع MN 3 سم" ، "الجزء EF 4 سم". يكتبون: MN = 3 سم ، EF = 4 سم.

قمنا بقياس أطوال المقاطع MN و EF قطعة واحدةيبلغ طوله 1 سم ولقياس المقاطع يمكنك اختيار أخرى وحدات الطول، على سبيل المثال: 1 مم ، 1 دسم ، 1 كم. في الشكل 7 ، طول المقطع 17 مم. يقاس بقطعة واحدة طولها 1 مم باستخدام مسطرة بأقسام. أيضًا ، باستخدام المسطرة ، يمكنك بناء (رسم) مقطع بطول معين (انظر الشكل 7).

على الاطلاق، لقياس مقطع يعني حساب عدد أجزاء الوحدة المناسبة فيه.

طول المقطع له الخاصية التالية.

إذا تم تمييز النقطة C على المقطع AB ، فإن طول المقطع AB يساوي مجموع أطوال المقطعين AC و CB(الشكل 8).

يكتبون: AB = AC + CB.

يوضح الشكل 9 جزأين AB و CD. ستتزامن هذه الأجزاء عند فرضها.

يتم استدعاء جزأين متساويين إذا تزامنا عند فرضهما.

ومن ثم فإن المقطعين AB و CD متساويان. يكتبون: AB = CD.

الأجزاء المتساوية لها أطوال متساوية.

من بين الجزأين غير المتكافئين ، سنعتبر الجزء الأطول الطول أكبر. على سبيل المثال ، في الشكل 6 ، يكون الجزء EF أكبر من الجزء MN.

طول القطعة AB يسمى مسافه: بعدبين النقطتين أ و ب.

إذا تم ترتيب عدة مقاطع كما هو موضح في الشكل 10 ، فسيتم الحصول على شكل هندسي يسمى خط متقطع. لاحظ أن جميع الأجزاء في الشكل 11 لا تشكل خطًا متقطعًا. يُعتقد أن المقاطع تشكل خطًا متقطعًا إذا تزامنت نهاية المقطع الأول مع نهاية المقطع الثاني ، ويتزامن الطرف الآخر من المقطع الثاني مع نهاية المقطع الثالث ، إلخ.

النقاط أ ، ب ، ج ، د ، هـ - رؤوس متعددة الخطوط ABCDE ، النقطتان A و E - ينتهي الخط المكسور، والمقاطع AB ، BC ، CD ، DE هي الخاصة بها الروابط(انظر الشكل 10).

طول الخط المكسورهو مجموع أطوال كل روابطه.

يوضح الشكل 12 خطين متقطعين ، تتطابق نهايتهما. تسمى هذه الخطوط المتقطعة مغلق.

مثال 1 . القطعة BC أصغر بمقدار 3 سم من القطعة AB التي يبلغ طولها 8 سم (الشكل 13). أوجد طول القطعة AC.

المحلول. لدينا: BC = 8 - 3 = 5 (سم).

باستخدام خاصية طول القطعة ، يمكننا كتابة AC = AB + BC. ومن ثم فإن AC = 8 + 5 = 13 (سم).

الجواب: 13 سم.

مثال 2 . من المعروف أن MK = 24 سم ، NP = 32 سم ، MP = 50 سم (الشكل 14). أوجد طول القطعة NK.

المحلول. لدينا: MN = MP - NP.

ومن ثم MN = 50-32 = 18 (سم).

لدينا: NK = MK - MN.

ومن ثم NK = 24-18 = 6 (سم).

الجواب: 6 سم.

الطول ، كما لوحظ بالفعل ، يشار إليه بعلامة المقياس.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

ملحوظة:ستبقى الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: ولكن الخيار الأول هو معيار أكثر

مثال 3

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

من أجل الوضوح ، سأقوم برسم

الجزء - إنه ليس ناقل، ولا يمكنك نقله إلى أي مكان ، بالطبع. بالإضافة إلى ذلك ، إذا قمت بإكمال الرسم على مقياس: 1 وحدة. \ u003d 1 سم (خليتان رباعيتان) ، ثم يمكن التحقق من الإجابة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول المقطع مباشرة.

نعم ، الحل قصير ، لكن هناك نقطتان مهمتان فيهما أود توضيحهما:

أولاً ، في الإجابة حددنا البعد: "الوحدات". لا تذكر الحالة ما هو ، مليمترات ، سم ، أمتار ، أو كيلومترات. لذلك ، فإن الصيغة العامة ستكون حلاً مختصًا رياضيًا: "وحدات" - يُشار إليها باختصار "وحدات".

ثانيًا ، دعونا نكرر المادة المدرسية ، والتي تفيد ليس فقط في المشكلة المدروسة:

انتبه على خدعة فنية مهمة – إخراج المضاعف من تحت الجذر. كنتيجة للحسابات ، حصلنا على النتيجة والأسلوب الرياضي الجيد يتضمن إخراج العامل من تحت الجذر (إن أمكن). تبدو العملية هكذا بمزيد من التفصيل: بطبيعة الحال ، فإن ترك الإجابة في النموذج لن يكون خطأ - لكنه بالتأكيد خطأ وحجة قوية للتلاعب من جانب المعلم.

فيما يلي بعض الحالات الشائعة الأخرى:

غالبًا ما يتم الحصول على عدد كبير بدرجة كافية من الجذر ، على سبيل المثال. كيف تكون في مثل هذه الحالات؟ في الآلة الحاسبة ، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4 :. نعم تم تقسيمها بالكامل وهكذا:. أو ربما يمكن قسمة الرقم على 4 مرة أخرى؟ . في هذا الطريق: . الرقم الأخير من الرقم فردي ، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة غير ممكنة. يحاول القسمة على تسعة:. نتيجة ل:
مستعد.

انتاج:إذا حصلنا تحت الجذر على عدد صحيح لا يمكن استخراجه ، فإننا نحاول إخراج العامل من تحت الجذر - في الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، إلخ.

في سياق حل المشكلات المختلفة ، غالبًا ما يتم العثور على الجذور ، حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب انخفاض الدرجات والمشكلات غير الضرورية عند الانتهاء من الحلول وفقًا لملاحظة المعلم.

دعنا نكرر تربيع الجذور والقوى الأخرى في نفس الوقت:

يمكن العثور على قواعد الإجراءات ذات الدرجات في شكل عام في كتاب مدرسي عن الجبر ، لكنني أعتقد أن كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل من الأمثلة المقدمة.

مهمة لحل مستقل مع جزء في الفضاء:

مثال 4

نقاط معينة و. أوجد طول المقطع.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

يمكن تحديد طول المقطع بطرق مختلفة. لمعرفة كيفية العثور على طول المقطع ، يكفي وجود مسطرة أو معرفة الصيغ الخاصة للحساب.

طول الخط بالمسطرة

للقيام بذلك ، نطبق مسطرة بأقسام المليمتر على المقطع المبني على المستوى ، ويجب أن تكون نقطة البداية محاذية لصفر مقياس المسطرة. ثم يجب أن تحدد على هذا المقياس موقع نقطة نهاية هذا المقطع. سيكون العدد الناتج من الأقسام الكاملة للمقياس هو طول المقطع ، معبراً عنه بالسنتيمتر والمليمتر.

طريقة إحداثيات الطائرة

إذا كانت إحداثيات المقطع (x1 ؛ y1) و (x2 ؛ y2) معروفة ، فيجب حساب طوله على النحو التالي. من الإحداثيات على مستوى النقطة الثانية ، يجب طرح إحداثيات النقطة الأولى. يجب أن تكون النتيجة رقمين. يجب أن يتم تربيع كل من هذه الأرقام ، ثم إيجاد مجموع هذه المربعات. من الرقم الناتج ، يجب استخراج الجذر التربيعي ، والذي سيكون المسافة بين النقطتين. نظرًا لأن هذه النقاط هي نهايات المقطع ، ستكون هذه القيمة هي طوله.

ضع في اعتبارك مثالاً عن كيفية إيجاد طول المقطع حسب الإحداثيات. هناك إحداثيات نقطتين (-1 ؛ 2) و (4 ؛ 7). عند إيجاد الفرق في إحداثيات النقاط ، نحصل على القيم التالية: x = 5 ، y = 5. ستكون الأرقام الناتجة إحداثيات المقطع. ثم نقوم بتربيع كل رقم ونوجد مجموع النتائج ، وهو 50. من هذا الرقم نستخرج الجذر التربيعي. والنتيجة هي: 5 جذور 2. هذا هو طول القطعة.

طريقة الإحداثيات في الفضاء

للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك كيفية إيجاد طول المتجه. هو الذي سيكون قطعة في الفضاء الإقليدي. تم العثور عليه بنفس الطريقة تقريبًا مثل طول مقطع على مستوى. يحدث بناء المتجه في مستويات مختلفة. كيف تجد طول المتجه؟

1. ابحث عن إحداثيات المتجه ، لهذا ، من إحداثيات نقطة نهايته ، تحتاج إلى طرح إحداثيات نقطة البداية.
2. بعد ذلك ، تحتاج إلى تربيع كل إحداثي للمتجه.
3. ثم أضف مربعات الإحداثيات.
4. لإيجاد طول المتجه ، عليك أن تأخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعات الإحداثيات.

لنفكر في خوارزمية الحساب باستخدام مثال. من الضروري إيجاد إحداثيات المتجه AB. النقاط A و B لها الإحداثيات التالية: A (1 ؛ 6 ؛ 3) و B (3 ؛ -1 ؛ 7). تقع بداية المتجه عند النقطة A ، وتقع النهاية عند النقطة B. وبالتالي ، للعثور على إحداثياتها ، من الضروري طرح إحداثيات النقطة A من إحداثيات النقطة B: (3-1 ؛ -1 - 6 ؛ 7 - 3) = (2 ؛ - 3) 7 ؛ 4).

الآن نقوم بتربيع كل إحداثيات ونضيفها: 4 + 49 + 16 = 69. أخيرًا ، يستخرج الجذر التربيعي للرقم المحدد. من الصعب استخراجه ، لذلك نكتب النتيجة بهذه الطريقة: طول المتجه يساوي جذر 69.

إذا لم يكن من المهم بالنسبة لك حساب طول المقاطع والمتجهات بنفسك ، ولكنك تحتاج فقط إلى النتيجة ، فيمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، على سبيل المثال ، هذه الآلة.

الآن ، بعد دراسة هذه الطرق وبعد النظر في الأمثلة المقدمة ، يمكنك بسهولة العثور على طول المقطع في أي مشكلة.

قطعةقم باستدعاء الجزء من الخط المستقيم الذي يتكون من جميع نقاط هذا الخط الواقعة بين النقطتين المعينتين - يطلق عليهما نهايات المقطع.

لنفكر في المثال الأول. دع جزءًا معينًا يُعطى في مستوى الإحداثيات بنقطتين. في هذه الحالة ، يمكننا إيجاد طوله بتطبيق نظرية فيثاغورس.

لذلك ، في نظام الإحداثيات ، ارسم مقطعًا بالإحداثيات المحددة لنهاياته(x1؛ y1) و (x2؛ y2) . على المحور X و ص إسقاط الخطوط العمودية من نهايات المقطع. ضع علامة باللون الأحمر على المقاطع التي تمثل إسقاطات من المقطع الأصلي على محور الإحداثيات. بعد ذلك ، نقوم بنقل مقاطع الإسقاط الموازية لنهايات المقاطع. نحصل على مثلث (مستطيل). سيكون وتر هذا المثلث هو الجزء AB نفسه ، وأرجله هي الإسقاطات المنقولة.

دعونا نحسب طول هذه الإسقاطات. هكذا على المحور ص طول الإسقاط هو y2-y1 وعلى المحور X طول الإسقاط هو x2-x1 . دعنا نطبق نظرية فيثاغورس: | AB | ² = (y2 - y1) ² + (x2 - x1) ² . في هذه الحالة | AB | هو طول المقطع.

إذا كنت تستخدم هذا المخطط لحساب طول المقطع ، فلا يمكنك حتى إنشاء مقطع. الآن نحسب ما هو طول القطعة ذات الإحداثيات (1;3) و (2;5) . بتطبيق نظرية فيثاغورس نحصل على: | AB | ² = (2-1) ² + (5-3) ² = 1 + 4 = 5 . وهذا يعني أن طول المقطع لدينا يساوي 5:1/2 .

ضع في اعتبارك الطريقة التالية لإيجاد طول المقطع. للقيام بذلك ، نحتاج إلى معرفة إحداثيات نقطتين في نظام ما. ضع في اعتبارك هذا الخيار باستخدام نظام إحداثيات ديكارت ثنائي الأبعاد.

لذلك ، في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، يتم إعطاء إحداثيات النقاط القصوى للمقطع. إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة عبر هذه النقاط ، فلا بد أن تكون متعامدة مع محور الإحداثيات ، ثم نحصل على مثلث قائم الزاوية. سيكون الجزء الأصلي هو وتر المثلث الناتج. تشكل أرجل المثلث مقاطع ، طولها يساوي إسقاط الوتر على محاور الإحداثيات. بناءً على نظرية فيثاغورس ، نستنتج: لإيجاد طول مقطع معين ، عليك إيجاد أطوال الإسقاطات على محوري إحداثيات.

أوجد أطوال الإسقاط (X و Y) الجزء الأصلي لمحاور الإحداثيات. نحسبها بإيجاد الفرق في إحداثيات النقاط على طول محور منفصل: X = X2-X1 ، Y = Y2-Y1 .

احسب طول المقطع لكن ، لهذا نجد الجذر التربيعي:

أ = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1) ² + (Y2-Y1) ²) .

إذا كان الجزء الخاص بنا يقع بين النقاط التي إحداثياتها 2;4 و 4;1 ، ثم طوله ، على التوالي ، يساوي ((4-2) ² + (1-4) ²) = 13 ≈ 3.61 .