طرق التطوير

حاصل ضرب الأعداد بقوى مختلفة. الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2020). الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأس غير المنطقية

في المقالة السابقة ، تحدثنا عن ماهية المونوميل. في هذه المادة ، سنحلل كيفية حل الأمثلة والمشكلات التي يتم استخدامها فيها. هنا سننظر في إجراءات مثل الطرح والجمع والضرب وتقسيم المونوميرات ورفعها إلى قوة ذات أس طبيعي. سنوضح كيف يتم تعريف مثل هذه العمليات ، ونوضح القواعد الأساسية لتنفيذها وماذا يجب أن تكون النتيجة. سيتم توضيح جميع الأحكام النظرية ، كالعادة ، بأمثلة على مشاكل أوصاف الحلول.

من الأنسب العمل بالتدوين القياسي للمونومالات ، لذلك نقدم جميع التعبيرات التي سيتم استخدامها في المقالة في شكل قياسي. إذا تم تعيينهم في البداية بشكل مختلف ، فمن المستحسن إحضارهم أولاً إلى نموذج مقبول بشكل عام.

قواعد إضافة وطرح المونومرات

أبسط العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام المونوميل هي الطرح والجمع. في الحالة العامة ، ستكون نتيجة هذه الإجراءات متعددة الحدود (تكون أحادية الحدود ممكنة في بعض الحالات الخاصة).

عندما نضيف أو نطرح مونومال ، نكتب أولاً المجموع والفرق المقابل في الصيغة المقبولة عمومًا ، وبعد ذلك نبسط التعبير الناتج. إذا كانت هناك مصطلحات متشابهة ، فيجب تقديمها ، ويجب فتح الأقواس. دعنا نوضح بمثال.

مثال 1

شرط:أضف الأحاديات - 3 · x و 2 ، 72 · x 3 · y 5 · z.

المحلول

لنكتب مجموع المقادير الأصلية. أضف الأقواس وضع علامة الجمع بينهما. سوف نحصل على ما يلي:

(- 3 س) + (2 ، 72 × 3 ص 5 ض)

عندما نفك الأقواس ، نحصل على - 3 × + 2 ، 72 × 3 ص 5 ع. هذه كثيرة الحدود ، مكتوبة في شكل قياسي ، والتي ستكون نتيجة إضافة هذه المونوميرات.

إجابه:(- 3 س) + (2 ، 72 × 3 ص 5 ع) = - 3 س + 2 ، 72 × 3 ص 5 ض.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أربعة حدود أو أكثر ، فإننا ننفذ هذا الإجراء بنفس الطريقة.

مثال 2

شرط:إجراء العمليات المحددة مع كثيرات الحدود بالترتيب الصحيح

3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

المحلول

لنبدأ بفتح الأقواس.

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

نرى أنه يمكن تبسيط التعبير الناتج عن طريق اختزال المصطلحات المتشابهة:

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = = (3 أ 2 + أ 2 - 7 أ 2) + 4 أ ج - 2 2 3 أك + 4 9 = = - 3 أ 2 + 1 1 3 أك + 4 9

لدينا كثير الحدود ، والتي ستكون نتيجة هذا الإجراء.

إجابه: 3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = - 3 أ 2 + 1 1 3 أ ج + 4 9

من حيث المبدأ ، يمكننا إجراء جمع وطرح اثنين من المونوميرات ، مع بعض القيود ، حتى ننتهي مع مونوميل. للقيام بذلك ، من الضروري مراعاة بعض الشروط المتعلقة بالشروط وطرح monomials. سنصف كيف يتم ذلك في مقال منفصل.

قواعد ضرب المونومرات

لا يفرض إجراء الضرب أي قيود على المضاعفات. يجب ألا تستوفي المونوميرات المراد ضربها أي شروط إضافية حتى تكون النتيجة أحادية.

لإجراء مضاعفة المونوميل ، تحتاج إلى تنفيذ الخطوات التالية:

سجل القطعة بشكل صحيح.
قم بتوسيع الأقواس في التعبير الناتج.
جمِّع ، إن أمكن ، العوامل التي لها نفس المتغيرات والعوامل العددية بشكل منفصل.
نفذ الإجراءات اللازمة بالأرقام وطبق خاصية ضرب الأسس بنفس الأسس على العوامل المتبقية.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا.

مثال 3

شرط:اضرب المونومرات 2 · x 4 · y · z و - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11.

المحلول

لنبدأ بتكوين العمل.

نفتح الأقواس فيه ونحصل على الآتي:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2-7 16 ط 2 × 4 × 2 ص 3 ع 11

كل ما علينا فعله هو ضرب الأعداد بين الأقواس الأولى وتطبيق خاصية الأس على الثانية. نتيجة لذلك ، نحصل على ما يلي:

2-7 16 طن 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

إجابه: 2 × 4 ص ع - 7 16 ر 2 × 2 ع 11 = - 7 8 ر 2 × 6 ص ع 14.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أكثر من كثيرات الحدود في الشرط ، فإننا نضربهم باستخدام نفس الخوارزمية بالضبط. سننظر في مسألة تكاثر المونوميل بمزيد من التفصيل في مادة منفصلة.

قواعد رفع مونومال إلى قوة

نعلم أن حاصل ضرب عدد معين من العوامل المتطابقة يسمى درجة ذات أس طبيعي. يشار إلى عددهم بالرقم الموجود في المؤشر. وفقًا لهذا التعريف ، فإن رفع المونومال إلى قوة يعادل ضرب العدد المشار إليه من المونوميرات المتطابقة. دعونا نرى كيف يتم ذلك.

مثال 4

شرط:ارفع المونومال - 2 · أ · ب 4 للقوة 3.

المحلول

يمكننا استبدال الأس بضرب 3 مونومال - 2 · أ · ب 4. دعنا نكتب ونحصل على الإجابة المطلوبة:

(- 2 أ ب 4) 3 = (- 2 أ ب 4) (- 2 أ ب 4) (- 2 أ ب 4) = ((- 2) (- 2) (- 2)) (أأأ) (ب 4 ب 4) ب 4) = - 8 أ 3 ب 12

إجابه:(- 2 أ ب 4) 3 = - 8 أ 3 ب 12.

ولكن ماذا عن عندما يكون للدرجة أس كبير؟ تسجيل عدد كبير من المضاعفات غير مريح. بعد ذلك ، لحل مثل هذه المشكلة ، نحتاج إلى تطبيق خصائص الدرجة ، أي خاصية درجة المنتج وخاصية الدرجة في الدرجة.

لنحل المشكلة التي ذكرناها أعلاه بالطريقة الموضحة.

مثال 5

شرط:ارفع - 2 · أ · ب 4 إلى القوة الثالثة.

المحلول

بمعرفة خاصية الدرجة في الدرجة ، يمكننا المضي قدمًا في التعبير عن النموذج التالي:

(- 2 أ ب 4) 3 = (- 2) 3 أ 3 (ب 4) 3.

بعد ذلك نرفع إلى القوة - 2 ونطبق خاصية الأس:

(- 2) 3 (أ) 3 (ب 4) 3 = - 8 أ 3 ب 4 3 = - 8 أ 3 ب 12.

إجابه:- 2 · أ · ب 4 = - 8 · أ 3 · ب 12.

لقد كرسنا أيضًا مقالًا منفصلاً لرفع المونومال إلى قوة.

قواعد قسمة المونوميل

الإجراء الأخير مع monomials الذي سنحلله في هذه المادة هو قسمة monomial على monomial. نتيجة لذلك ، يجب أن نحصل على كسر منطقي (جبري) (في بعض الحالات ، من الممكن الحصول على مونوميل). دعونا نوضح على الفور أن القسمة على صفر أحادية لم يتم تعريفها ، لأن القسمة على 0 لم يتم تعريفها.

لإجراء القسمة ، نحتاج إلى كتابة المونوميرات المشار إليها في شكل كسر وتقليلها ، إن أمكن.

مثال 6

شرط:قسّم الضلع - 9 x 4 y 3 z 7 على - 6 p 3 t 5 x 2 y 2.

المحلول

لنبدأ بكتابة المونومال في صورة كسر.

9 × 4 ص 3 ض 7-6 ص 3 ر 5 × 2 ص 2

يمكن اختزال هذا الكسر. بعد القيام بذلك ، نحصل على:

3 × 2 ص ض 7 2 ص 3 ر 5

إجابه:- 9 × 4 ص 3 ض 7 - 6 ص 3 ن 5 × 2 ص 2 = 3 × 2 ص ز 7 2 ص 3 ر 5.

الشروط التي بموجبها ، نتيجة لتقسيم المونومال ، نحصل على مونومال في مقال منفصل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

صيغ القوةتستخدم في عملية تقليل وتبسيط التعبيرات المعقدة ، في حل المعادلات والمتباينات.

رقم جهو ن- القوة رقم أمتي:

عمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس القاعدة ، تضيف مؤشراتها ما يلي:

صباحاأ ن = أ م + ن.

2. في قسمة الدرجات التي لها نفس القاعدة ، تُطرح مؤشراتها:

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل:

(أبج ...) ن = أ ن ب ن ج ن ...

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم والمقسوم عليه:

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع قوة إلى قوة ، يتم مضاعفة الأس:

(ص) ن = أ م ن.

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

علي سبيل المثال. (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4.

عمليات مع الجذور.

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي حاصل ضرب جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم والمقسوم عليه من الجذور:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي رفع رقم الجذر إلى هذه القوة:

4. إذا قمنا بزيادة درجة الجذر فيها نمرة واحدة وفي نفس الوقت ارفع إلى نالقوة هي رقم جذر ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا خفضنا درجة الجذر فيها نالجذر في نفس الوقت نالدرجة من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

الدرجة مع الأس السالب.تُعرَّف درجة رقم معين مع الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنها واحدة مقسومة على درجة نفس الرقم مع أس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:

معادلة صباحا: أ ن = أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م> ن، ولكن أيضًا في م< ن.

علي سبيل المثال. أ4: أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

للصيغة صباحا: أ ن = أ م - نأصبح عادلا في م = ن، فأنت بحاجة إلى وجود درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر.قوة أي عدد غير صفري أس صفر يساوي واحدًا.

علي سبيل المثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة ذات أس كسري.لرفع رقم حقيقي لكنإلى حد ما م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر نالدرجة ال معشر قوة هذا الرقم لكن.

يتم تقديم مفهوم الشهادة في الرياضيات في وقت مبكر من الصف السابع في درس الجبر. وفي المستقبل ، طوال فترة دراسة الرياضيات ، يتم استخدام هذا المفهوم بنشاط في أشكاله المختلفة. الدرجات العلمية موضوع صعب إلى حد ما ، يتطلب حفظ القيم والقدرة على العد بشكل صحيح وسريع. من أجل الحصول على درجات في الرياضيات بشكل أسرع وأفضل ، توصلوا إلى خصائص الشهادة. إنها تساعد في تقليل العمليات الحسابية الكبيرة ، لتحويل مثال ضخم إلى رقم واحد إلى حد ما. لا توجد الكثير من الخصائص ، وكلها سهلة التذكر وتطبيقها في الممارسة العملية. لذلك ، يناقش المقال الخصائص الرئيسية للدرجة ، وكذلك مكان تطبيقها.

خصائص الدرجة

سننظر في 12 خاصية من الدرجة ، بما في ذلك خصائص قوى لها نفس الأسس ، وسنقدم مثالاً لكل خاصية. ستساعدك كل خاصية من هذه الخصائص في حل المشكلات باستخدام الدرجات بشكل أسرع ، بالإضافة إلى توفيرك من العديد من الأخطاء الحسابية.

الملكية الأولى.

غالبًا ما ينسى الكثير من الناس هذه الخاصية ، ويرتكبون أخطاء ، ويمثلون رقمًا إلى درجة الصفر على أنه صفر.

الملكية الثانية.

الملكية الثالثة.

يجب أن نتذكر أنه لا يمكن استخدام هذه الخاصية إلا عند ضرب الأرقام ، فهي لا تعمل مع المجموع! ويجب ألا ننسى أن هذه الخصائص والخصائص التالية تنطبق فقط على قوى لها نفس القاعدة.

الملكية الرابعة.

إذا تم رفع الرقم الموجود في المقام إلى أس سالب ، فعند الطرح ، يتم أخذ درجة المقام بين قوسين لتحل محل العلامة بشكل صحيح في حسابات أخرى.

الخاصية تعمل فقط عند القسمة وليس عند الطرح!

العقار الخامس.

العقار السادس.

يمكن أيضًا تطبيق هذه الخاصية في الاتجاه المعاكس. الوحدة المقسومة على رقم إلى حد ما هي ذلك الرقم إلى أس سالب.

الملكية السابعة.

لا يمكن تطبيق هذه الخاصية على المجموع والفرق! عند رفع مجموع أو فرق إلى أس ، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة ، وليس خصائص القوة.

العقار الثامن.

العقار التاسع.

تعمل هذه الخاصية مع أي درجة كسرية ببسط يساوي واحدًا ، وستكون الصيغة هي نفسها ، فقط درجة الجذر ستتغير اعتمادًا على مقام الدرجة.

أيضًا ، غالبًا ما تستخدم هذه الخاصية بترتيب عكسي. يمكن تمثيل جذر أي قوة لرقم على أنه هذا الرقم مرفوعًا إلى أس واحد مقسومًا على قوة الجذر. هذه الخاصية مفيدة للغاية في الحالات التي لا يتم فيها استخراج جذر الرقم.

العقار العاشر.

لا تعمل هذه الخاصية مع الجذر التربيعي والدرجة الثانية فقط. إذا كانت درجة الجذر ودرجة رفع هذا الجذر هي نفسها ، فستكون الإجابة تعبيرًا جذريًا.

العقار الحادي عشر.

يجب أن تكون قادرًا على رؤية هذه الخاصية في الوقت المناسب عند حلها لتنقذ نفسك من العمليات الحسابية الضخمة.

العقار الثاني عشر.

ستلتقي بك كل خاصية من هذه الخصائص أكثر من مرة في المهام ، ويمكن تقديمها في شكلها النقي ، أو قد تتطلب بعض التحولات واستخدام الصيغ الأخرى. لذلك ، بالنسبة للحل الصحيح ، لا يكفي معرفة الخصائص فقط ، فأنت بحاجة إلى ممارسة بقية المعرفة الرياضية وربطها.

تطبيق الدرجات وخصائصها

يتم استخدامها بنشاط في الجبر والهندسة. للدرجات في الرياضيات مكان منفصل ومهم. بمساعدتهم ، يتم حل المعادلات الأسية وعدم المساواة ، وكذلك القوى غالبًا ما تعقد المعادلات والأمثلة المتعلقة بأقسام أخرى من الرياضيات. تساعد الأسس على تجنب العمليات الحسابية الكبيرة والطويلة ، فمن السهل تقليل وحساب الأس. ولكن للعمل مع قوى كبيرة ، أو مع قوى أعداد كبيرة ، فأنت بحاجة إلى معرفة ليس فقط خصائص الدرجة ، ولكن أيضًا العمل بكفاءة مع القواعد ، لتكون قادرًا على تحليلها من أجل تسهيل مهمتك. للراحة ، يجب أن تعرف أيضًا معنى الأعداد المرفوعة إلى قوة. سيؤدي ذلك إلى تقليل وقتك في الحل من خلال التخلص من الحاجة إلى حسابات طويلة.

يلعب مفهوم الدرجة دورًا خاصًا في اللوغاريتمات. لأن اللوغاريتم ، في جوهره ، هو قوة الرقم.

صيغ الضرب المختصرة هي مثال آخر على استخدام القوى. لا يمكنهم استخدام خصائص الدرجات ، فهي تتحلل وفقًا لقواعد خاصة ، ولكن في كل صيغة ضرب مختصرة توجد درجات ثابتة.

تُستخدم الدرجات العلمية أيضًا بنشاط في الفيزياء وعلوم الكمبيوتر. تتم جميع الترجمات إلى نظام SI باستخدام الدرجات ، وفي المستقبل ، عند حل المشكلات ، يتم تطبيق خصائص الدرجة. في علوم الكمبيوتر ، يتم استخدام قوى الرقمين بشكل نشط ، لتسهيل عملية العد وتبسيط تصور الأرقام. يتم إجراء المزيد من الحسابات حول تحويلات وحدات القياس أو حسابات المشكلات ، تمامًا كما هو الحال في الفيزياء ، باستخدام خصائص الدرجة.

تعتبر الدرجات مفيدة أيضًا في علم الفلك ، حيث نادرًا ما تجد استخدام خصائص الدرجة ، ولكن الدرجات نفسها تُستخدم بنشاط لتقصير تسجيل الكميات والمسافات المختلفة.

تستخدم الدرجات أيضًا في الحياة اليومية ، عند حساب المساحات والأحجام والمسافات.

بمساعدة الدرجات ، تتم كتابة القيم الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا في أي مجال من مجالات العلوم.

المعادلات الأسية وعدم المساواة

تحتل خصائص الدرجة مكانًا خاصًا على وجه التحديد في المعادلات الأسية وعدم المساواة. هذه المهام شائعة جدًا ، سواء في الدورة المدرسية أو في الامتحانات. يتم حل كل منهم من خلال تطبيق خصائص الدرجة. المجهول دائمًا في الدرجة نفسها ، لذلك ، مع معرفة جميع الخصائص ، لن يكون من الصعب حل مثل هذه المعادلة أو عدم المساواة.

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة وهي فرق المربعات! نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم تبديلها ، يمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.

لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

كاملنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو بالضبط كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

كالعادة نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟

ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم كما كان -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

لنكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).

من ناحية أخرى ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، ستظل تحصل على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ماهية الدرجة السالبة ، دعنا نفعل نفس الشيء كما في المرة السابقة: نضرب بعض الأعداد العادية في نفس الدرجة في درجة سالبة:

من هنا يسهل بالفعل التعبير عن المطلوب:

الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:

الرقم مرفوعًا إلى أس سالب هو مقلوب العدد نفسه إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).

دعونا نلخص:

أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.

ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.

مهام الحل المستقل:

حسنًا ، كالعادة ، أمثلة لحل مستقل:

تحليل المهام للحل المستقل:

أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نواصل توسيع دائرة الأعداد "مناسبة" كأسس.

فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر وأين وأعداد صحيحة.

لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:

لنرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":

ما هو الرقم الذي يجب رفعه للحصول على قوة؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.

اسمحوا لي أن أذكركم: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.

أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.

تبين ذلك. من الواضح أنه يمكن تمديد هذه الحالة الخاصة:.

الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

تذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن مثل هذه الأعداد لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.

واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.

حتى إذا:

- عدد طبيعي؛
هو عدد صحيح

أمثلة:

القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:

5 أمثلة على الممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

1. لا تنس الخصائص المعتادة للدرجات:

2.. وهنا نتذكر أننا نسينا أن نتعلم جدول الدرجات:

بعد كل شيء - هذا أو. تم العثور على الحل تلقائيًا:.

حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مع الأس غير المنطقي.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء

في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح وعقلاني ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛

...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى "إعداد معين لـ" رقم "، أي رقم ؛

...الأس الصحيح السالب- يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))

علي سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:

الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

تبين أن:

إجابه: .

2. نضع الكسور في الأسس على نفس الصيغة: إما كلاهما عشري أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تعريف الدرجة

الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:

— قاعدة الدرجة
- الأس.

الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)

رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:

قوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

الانتصاب إلى الصفر السلطة:

التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنه من المستحيل القسمة).

مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

درجة مع الأس المنطقي

- عدد طبيعي؛
هو عدد صحيح

أمثلة:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : .

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون لها نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!

لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعنا نعيد ترتيبه هكذا:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً :!

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة.

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون مؤشرالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟

في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "ناقص ضرب سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. يمكنك صياغة هذه القواعد البسيطة:

حتى فيدرجة - رقم إيجابي.
رفع الرقم السالب إلى غريبدرجة - رقم نفي.
الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا تذكرت ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل تحليل القاعدة الأخيرة ، دعنا نحل بعض الأمثلة.

احسب قيم التعبيرات:

حلول :

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة وهي فرق المربعات!

نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن الاستعاضة عنه بتغيير واحد مرفوض لنا فقط!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

حتى الآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:

حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:

مثال:

درجة مع الأس غير المنطقي

بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها على أنها كسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح وعقلاني ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات عدد صحيح سالب - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يتم ضربه بنفسه ، ولكن تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، إنه كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

إذن ماذا سنفعل إذا رأينا أسًا غير منطقي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

علي سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

الإجابات:

تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغة الأساسية

درجةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

درجة مع الأس المنطقي

الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.

درجة مع الأس غير المنطقي

الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.

خصائص الدرجة

ميزات الدرجات.

رفع الرقم السالب إلى حتى فيدرجة - رقم إيجابي.
رفع الرقم السالب إلى غريبدرجة - رقم نفي.
الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
الصفر يساوي أي قوة.
أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك كلمة ...

كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك مع خصائص الطاقة.

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!

محتوى الدرس

ما هي الدرجة؟

درجةيسمى نتاج عدة عوامل متطابقة. علي سبيل المثال:

2 × 2 × 2

قيمة هذا التعبير هي 8

2 × 2 × 2 = 8

يمكن جعل الجانب الأيسر من هذه المعادلة أقصر - اكتب أولاً عامل التكرار ووضح عليه عدد مرات التكرار. المضاعف المكرر في هذه الحالة هو 2. يتكرر ثلاث مرات. لذلك ، فوق الشيطان ، نكتب الثلاثية:

2 3 = 8

يقرأ هذا التعبير على النحو التالي: اثنان أس ثالث يساوي ثمانية أو " القوة الثالثة للعدد 2 هي 8.

يتم استخدام الشكل المختصر لكتابة عملية ضرب نفس العوامل في كثير من الأحيان. لذلك ، يجب أن نتذكر أنه إذا تم تسجيل رقم آخر فوق عدد ما ، فهذا هو ضرب عدة عوامل متطابقة.

على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء التعبير 5 3 ، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار أن هذا التعبير يعادل كتابة 5 × 5 × 5.

الرقم الذي يتكرر يسمى قاعدة الدرجة. في التعبير 5 3 أساس الدرجة هو الرقم 5.

والرقم المدرج فوق الرقم 5 يسمى الأس. في التعبير 5 3 ، الأس هو الرقم 3. يُظهر الأس عدد مرات تكرار أساس الدرجة. في حالتنا ، يتكرر الأساس 5 ثلاث مرات.

تسمى عملية ضرب العوامل المتطابقة الأس.

على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إيجاد حاصل ضرب أربعة عوامل متطابقة ، كل منها يساوي 2 ، فإنهم يقولون إن الرقم 2 مرفوعة للقوة الرابعة:

نلاحظ أن العدد 2 أس أربعة هو الرقم 16.

لاحظ أننا نبحث في هذا الدرس درجات بمؤشر طبيعي. هذا نوع من الدرجة ، الأسه هو عدد طبيعي. تذكر أن الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة أكبر من الصفر. على سبيل المثال ، 1 و 2 و 3 وما إلى ذلك.

بشكل عام ، يكون تعريف الدرجة بمؤشر طبيعي كما يلي:

درجة أبمؤشر طبيعي نهو تعبير عن النموذج أ، وهو ما يساوي المنتج نالمضاعفات ، كل منها يساوي أ

أمثلة:

كن حذرًا عند رفع رقم إلى أس. في كثير من الأحيان ، من خلال عدم الانتباه ، يضرب الشخص قاعدة الدرجة بالأس.

على سبيل المثال ، الرقم 5 مرفوعًا للقوة الثانية هو حاصل ضرب عاملين ، كل منهما يساوي 5. هذا المنتج يساوي 25

تخيل الآن أننا ضربنا الأساس 5 عن غير قصد في الأس 2

حدث خطأ ، لأن الرقم 5 أس الثاني لا يساوي 10.

بالإضافة إلى ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن قوة الرقم مع الأس 1 هي الرقم نفسه:

على سبيل المثال ، الرقم 5 مرفوعًا للقوة الأولى هو الرقم 5 نفسه.

وفقًا لذلك ، إذا كان الرقم لا يحتوي على مؤشر ، فيجب أن نفترض أن المؤشر يساوي واحدًا.

على سبيل المثال ، يتم إعطاء الأرقام 1 ، 2 ، 3 بدون أس ، لذا فإن الأسس يساوي واحدًا. يمكن كتابة كل من هذه الأرقام بأس 1

وإذا رفعت 0 إلى بعض القوة ، فستحصل على 0. في الواقع ، بغض النظر عن عدد المرات التي يتم فيها ضرب أي شيء في نفسه ، فلن يحدث شيء. أمثلة:

والتعبير 0 0 لا معنى له. لكن في بعض فروع الرياضيات ، ولا سيما التحليل ونظرية المجموعات ، يمكن أن يكون التعبير 0 0 منطقيًا.

للتدريب ، سنحل عدة أمثلة لرفع الأعداد إلى قوة.

مثال 1ارفع الرقم 3 للقوة الثانية.

الرقم 3 مرفوعًا للقوة الثانية هو حاصل ضرب عاملين ، كل منهما يساوي 3

3 2 = 3 × 3 = 9

مثال 2ارفع الرقم 2 للقوة الرابعة.

العدد 2 أس الرابع هو حاصل ضرب أربعة عوامل ، كل منها يساوي 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

مثال 3ارفع الرقم 2 للقوة الثالثة.

العدد 2 أس الثالث هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل ، كل منها يساوي 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

أُس العدد 10

لرفع الرقم 10 إلى أس ، يكفي إضافة عدد الأصفار بعد الوحدة ، مساويًا للأس.

على سبيل المثال ، لنرفع الرقم 10 إلى القوة الثانية. أولاً ، نكتب الرقم 10 نفسه ونشير إلى الرقم 2 كمؤشر

10 2

الآن نضع علامة يساوي ، نكتب واحدًا وبعد هذا نكتب صفرين ، لأن عدد الأصفار يجب أن يساوي الأس

10 2 = 100

إذن ، العدد 10 مرفوعًا للقوة الثانية هو الرقم 100. هذا يرجع إلى حقيقة أن الرقم 10 مرفوعًا للقوة الثانية هو حاصل ضرب عاملين ، كل منهما يساوي 10

10 2 = 10 × 10 = 100

مثال 2. لنرفع الرقم 10 إلى القوة الثالثة.

في هذه الحالة ، سيكون هناك ثلاثة أصفار بعد الواحد:

10 3 = 1000

مثال 3. لنرفع الرقم 10 إلى أس أربعة.

في هذه الحالة ، سيكون هناك أربعة أصفار بعد الواحد:

10 4 = 10000

مثال 4. لنرفع الرقم 10 إلى القوة الأولى.

في هذه الحالة ، سيكون هناك صفر واحد بعد الواحد:

10 1 = 10

تمثيل الأعداد 10 ، 100 ، 1000 كقوة أساسها 10

لتمثيل الأعداد 10 و 100 و 1000 و 10000 كقوة أساسها 10 ، عليك كتابة الأساس 10 وتحديد عدد يساوي عدد الأصفار في الرقم الأصلي كأسس.

لنمثل العدد 10 كقوة أساسها 10. ونلاحظ أن لها صفرًا واحدًا. إذن ، العدد 10 باعتباره قوة للأساس 10 سيمثل 10 1

10 = 10 1

مثال 2. لنمثل العدد 100 كقوة أساسها 10. نلاحظ أن العدد 100 يحتوي على صفرين. إذن ، العدد 100 كقوة أساسها 10 سيمثلها 10 2

100 = 10 2

مثال 3. لنمثل العدد 1000 كقوة أساسها 10.

1 000 = 10 3

مثال 4. لنمثل العدد 10000 كقوة أساسها 10.

10 000 = 10 4

أس عدد سالب

عند رفع رقم سالب إلى أس ، يجب وضعه بين قوسين.

على سبيل المثال ، لنرفع الرقم السالب −2 إلى القوة الثانية. العدد −2 مرفوعًا للقوة الثانية هو حاصل ضرب عاملين ، كل منهما يساوي (−2)

(−2) 2 = (2) × (2) = 4

إذا لم نقسم الرقم -2 بين أقواس ، فسنجد أننا نحسب التعبير -2 2 ، والذي ليس متساوي 4. التعبير -2² سيساوي -4. لفهم السبب ، دعنا نتطرق إلى بعض النقاط.

عندما نضع ناقصًا أمام رقم موجب ، فإننا بذلك نؤدي عملية أخذ القيمة المعاكسة.

لنفترض أن الرقم 2 موجود ، وعليك إيجاد الرقم المقابل له. نعلم أن عكس 2 هو −2. بمعنى آخر ، لإيجاد الرقم المقابل لـ 2 ، يكفي وضع ناقص أمام هذا الرقم. يعتبر إدخال علامة ناقص أمام رقم بالفعل عملية كاملة في الرياضيات. تسمى هذه العملية ، كما ذكر أعلاه ، عملية أخذ القيمة المعاكسة.

في حالة التعبير -2 2 ، تحدث عمليتان: عملية أخذ القيمة المعاكسة والأس. رفع إلى قوة عملية ذات أولوية أعلى من أخذ القيمة المعاكسة.

لذلك ، يتم حساب التعبير −2 2 على خطوتين. أولاً ، يتم تنفيذ عملية الأس. في هذه الحالة ، تم رفع الرقم الموجب 2 إلى الأس الثاني.

ثم تم أخذ القيمة المعاكسة. تم إيجاد هذه القيمة المعاكسة للقيمة 4. والقيمة المقابلة لـ 4 هي −4

−2 2 = −4

الأقواس لها أعلى أسبقية تنفيذ. لذلك ، في حالة حساب التعبير (2) 2 ، يتم أخذ القيمة المعاكسة أولاً ، ثم يتم رفع الرقم السالب −2 إلى القوة الثانية. النتيجة هي إجابة موجبة 4 ، لأن حاصل ضرب الأعداد السالبة هو رقم موجب.

مثال 2. ارفع الرقم −2 للقوة الثالثة.

العدد −2 مرفوعًا للقوة الثالثة هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل ، كل منها يساوي (−2)

(−2) 3 = (2) × (2) × (−2) = −8

مثال 3. ارفع العدد −2 للقوة الرابعة.

العدد −2 مرفوعًا للقوة الرابعة هو حاصل ضرب أربعة عوامل ، كل منها يساوي (−2)

(−2) 4 = (2) × (2) × (−2) × (−2) = 16

من السهل ملاحظة أنه عند رفع رقم سالب إلى قوة ، يمكن الحصول على إجابة موجبة أو سالبة. تعتمد علامة الإجابة على أس الدرجة الأولية.

إذا كان الأس زوجيًا ، فالجواب هو نعم. إذا كان الأس فرديًا ، تكون الإجابة سالبة. دعنا نظهر هذا في مثال الرقم −3

في الحالتين الأولى والثالثة ، كان المؤشر غريبالعدد ، لذلك أصبح الجواب نفي.

في الحالتين الثانية والرابعة ، كان المؤشر حتى فيالعدد ، لذلك أصبح الجواب إيجابي.

مثال 7ارفع الرقم -5 للقوة الثالثة.

العدد -5 مرفوعًا للقوة الثالثة هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل ، كل منها يساوي -5. الأس 3 هو عدد فردي ، لذا يمكننا أن نقول مقدمًا أن الإجابة ستكون سلبية:

(−5) 3 = (5) × (−5) × (−5) = −125

المثال 8ارفع الرقم -4 مرفوعًا للقوة الرابعة.

العدد -4 أس الرابع هو حاصل ضرب أربعة عوامل ، كل منها يساوي -4. في هذه الحالة ، يكون المؤشر 4 متساويًا ، لذلك يمكننا القول مقدمًا أن الإجابة ستكون إيجابية:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

البحث عن قيم التعبير

عند البحث عن قيم التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس ، سيتم تنفيذ الأس أولاً ، ثم الضرب والقسمة بترتيبها ، ثم الجمع والطرح بترتيبها.

مثال 1. أوجد قيمة التعبير 2 + 5 2

أولاً ، يتم تنفيذ الأس. في هذه الحالة ، يتم رفع الرقم 5 إلى القوة الثانية - يتضح أنه 25. ثم يتم إضافة هذه النتيجة إلى الرقم 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

المثال 10. أوجد قيمة التعبير −6 2 × (−12)

أولاً ، يتم تنفيذ الأس. لاحظ أن الرقم −6 ليس بين قوسين ، لذلك سيتم رفع الرقم 6 إلى القوة الثانية ، ثم يتم وضع علامة ناقص أمام النتيجة:

−6 2 × (12) = 36 × (−12)

نكمل المثال بضرب −36 في (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

المثال 11. أوجد قيمة التعبير −3 × 2 2

أولاً ، يتم تنفيذ الأس. ثم يتم ضرب النتيجة بالرقم −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس ، فأنت بحاجة أولاً إلى إجراء العمليات بين هذه الأقواس ، ثم الأس ، ثم الضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح.

المثال 12. أوجد قيمة التعبير (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5

لنقم بالأقواس أولًا. داخل الأقواس ، نطبق القواعد التي تم تعلمها سابقًا ، وهي أولاً رفع الرقم 3 إلى القوة الثانية ، ثم إجراء الضرب 1 × 3 ، ثم إضافة نتائج رفع الرقم 3 إلى الأس وضرب 1 × 3. ثم يتم إجراء الطرح والجمع بالترتيب الذي تظهر به. لنرتب الترتيب التالي لتنفيذ الإجراء على التعبير الأصلي:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12-15 + 5 = 2

المثال 13. أوجد قيمة التعبير 2 × 5 3 + 5 × 2 3

أولاً ، نرفع الأرقام إلى أس ، ثم نقوم بالضرب ونضيف النتائج:

2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

تحولات القوى في الهوية

يمكن إجراء تحويلات متطابقة مختلفة على القوى ، وبالتالي تبسيطها.

افترض أنه كان مطلوبًا حساب التعبير (2 3) 2. في هذا المثال ، اثنان مرفوعًا للقوة الثالثة مرفوعًا للقوة الثانية. بمعنى آخر ، يتم رفع الدرجة إلى درجة أخرى.

(2 3) 2 هو حاصل ضرب قوتين كل منهما تساوي 2 3

علاوة على ذلك ، فإن كل من هذه القوى هي نتاج ثلاثة عوامل ، كل منها يساوي 2

حصلنا على حاصل الضرب 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ، وهو ما يساوي 64. إذن قيمة التعبير (2 3) 2 أو تساوي 64

يمكن تبسيط هذا المثال بشكل كبير. لهذا ، يمكن مضاعفة مؤشرات التعبير (2 3) 2 ويمكن كتابة هذا المنتج على الأساس 2

حصلت على 2 6. اثنان أس السادس هو حاصل ضرب ستة عوامل ، كل منها يساوي 2. هذا المنتج يساوي 64

تعمل هذه الخاصية لأن 2 3 هي حاصل ضرب 2 × 2 × 2 ، والذي بدوره يتكرر مرتين. ثم اتضح أن الأساس 2 يتكرر ست مرات. من هنا يمكننا أن نكتب أن 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 هي 2 6

بشكل عام ، لأي سبب من الأسباب أمع المؤشرات مو ن، المساواة التالية تحمل:

(أ)م = أ ن × م

يسمى هذا التحول المتطابق الأس. يمكن قراءتها على النحو التالي: "عند رفع قوة إلى قوة ، تُترك القاعدة كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس" .

بعد ضرب المؤشرات تحصل على درجة أخرى يمكن إيجاد قيمتها.

مثال 2. أوجد قيمة التعبير (3 2) 2

في هذا المثال ، الأساس هو 3 ، والأرقام 2 و 2 هي الأس. دعنا نستخدم قاعدة الأس. نترك القاعدة دون تغيير ، ونضرب المؤشرات:

حصلت على 3 4. والرقم 3 أس أربعة يساوي 81

دعونا نلقي نظرة على بقية التحولات.

مضاعفة القوة

لمضاعفة الدرجات ، تحتاج إلى حساب كل درجة على حدة وضرب النتائج.

على سبيل المثال ، لنضرب 2 2 في 3 3.

2 2 هو الرقم 4 و 3 3 هو الرقم 27. نضرب العددين 4 و 27 ، نحصل على 108

2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108

في هذا المثال ، كانت أسس القوى مختلفة. إذا كانت القواعد هي نفسها ، فيمكن كتابة قاعدة واحدة ، وكمؤشر ، اكتب مجموع مؤشرات الدرجات الأولية.

على سبيل المثال ، اضرب 2 2 في 2 3

في هذا المثال ، الأسس لها نفس الأساس. في هذه الحالة ، يمكنك كتابة أساس 2 واحد وكتابة مجموع الأسين 2 2 و 2 3 كمؤشر. بمعنى آخر ، اترك الأساس كما هو ، وأضف أسس الدرجات الأصلية. سيبدو مثل هذا:

حصلت على 2 5. العدد 2 أس خمسة يساوي 32

تعمل هذه الخاصية لأن 2 2 هو حاصل ضرب 2 × 2 و 2 3 هو حاصل ضرب 2 × 2 × 2. ثم يتم الحصول على ناتج خمسة عوامل متطابقة ، كل منها يساوي 2. يمكن تمثيل هذا المنتج كـ 2 5

بشكل عام ، لأي أوالمؤشرات مو نتحمل المساواة التالية:

يسمى هذا التحول المتطابق الخاصية الرئيسية للدرجة. يمكن قراءتها على النحو التالي: صعند ضرب الأسس بنفس الأساس ، تترك القاعدة كما هي ، وتضاف الأسس. .

لاحظ أنه يمكن تطبيق هذا التحويل على أي عدد من الدرجات. الشيء الرئيسي هو أن القاعدة هي نفسها.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير 2 1 × 2 2 × 2 3. الأساس 2

في بعض المشكلات ، قد يكون كافياً إجراء التحويل المقابل دون حساب الدرجة النهائية. هذا بالطبع مريح للغاية ، لأنه ليس من السهل حساب القوى الكبيرة.

مثال 1. عبر عن التعبير في صورة قوة 5 8 × 25

في هذه المسألة ، تحتاج إلى جعلها بحيث بدلاً من التعبير 5 8 × 25 ، يتم الحصول على درجة واحدة.

يمكن تمثيل الرقم 25 على أنه 5 2. ثم نحصل على التعبير التالي:

في هذا التعبير ، يمكنك تطبيق الخاصية الرئيسية للدرجة - اترك الأساس 5 دون تغيير ، وأضف المؤشرين 8 و 2:

لنكتب الحل باختصار:

مثال 2. عبر عن التعبير 2 9 × 32 في صورة قوة

يمكن تمثيل الرقم 32 بالشكل 2 5. ثم نحصل على التعبير 2 9 × 2 5. بعد ذلك ، يمكنك تطبيق الخاصية الأساسية للدرجة - اترك القاعدة 2 دون تغيير ، وأضف المؤشرين 9 و 5. سينتج عن ذلك الحل التالي:

مثال 3. احسب حاصل الضرب 3 × 3 باستخدام خاصية القوة الأساسية.

يدرك الجميع جيدًا أن ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة ، لكن المهمة تتطلب استخدام الخاصية الرئيسية للدرجة في مسار الحل. كيف افعلها؟

نتذكر أنه إذا تم إعطاء رقم بدون مؤشر ، فيجب اعتبار المؤشر مساويًا لواحد. إذن ، يمكن كتابة العوامل 3 و 3 بالشكل 3 1 و 3 1

3 1 × 3 1

الآن نستخدم الخاصية الرئيسية للدرجة. نترك القاعدة 3 دون تغيير ، ونضيف المؤشرين 1 و 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

مثال 4. احسب حاصل الضرب 2 × 2 × 3 2 × 3 3 باستخدام خاصية القوة الأساسية.

نستبدل المنتج 2 × 2 بـ 2 1 × 2 1 ، ثم 2 1 + 1 ، ثم 2 2. يتم استبدال حاصل ضرب 3 2 × 3 3 ب 3 2 + 3 ثم 3 5

مثال 5. نفذ عملية الضرب س × س

هذان عاملان أبجديان متطابقان مع المؤشرات 1. للتوضيح ، نقوم بتدوين هذه المؤشرات. قاعدة إضافية xاتركه دون تغيير ، وأضف المؤشرات:

كونك على السبورة ، لا ينبغي للمرء أن يكتب مضاعفة القوى بنفس الأسس بالتفصيل كما هو معمول به هنا. يجب أن تتم مثل هذه الحسابات في العقل. من المرجح أن يؤدي الإدخال التفصيلي إلى إزعاج المعلم وسيقوم بتخفيض العلامة لهذا الغرض. هنا ، يتم تقديم سجل مفصل بحيث يمكن الوصول إلى المواد قدر الإمكان للفهم.

يجب كتابة حل هذا المثال على النحو التالي:

مثال 6. نفذ عملية الضرب x 2 × س

مؤشر العامل الثاني يساوي واحدًا. دعنا نكتبها للتوضيح. بعد ذلك ، نترك القاعدة دون تغيير ، ونضيف المؤشرات:

مثال 7. نفذ عملية الضرب ذ 3 ذ 2 ذ

مؤشر العامل الثالث يساوي واحدًا. دعنا نكتبها للتوضيح. بعد ذلك ، نترك القاعدة دون تغيير ، ونضيف المؤشرات:

المثال 8. نفذ عملية الضرب أأ 3 أ 2 أ 5

مؤشر العامل الأول يساوي واحدًا. دعنا نكتبها للتوضيح. بعد ذلك ، نترك القاعدة دون تغيير ، ونضيف المؤشرات:

المثال 9. عبر عن قوة 3 8 كمنتج قوى لها نفس الأساس.

في هذه المسألة ، تحتاج إلى عمل حاصل ضرب قوى ، ستكون أساساتها مساوية لـ 3 ، ومجموع الأسس يساوي 8. يمكنك استخدام أي مؤشرات. نمثل الدرجة 3 8 على أنها حاصل ضرب الأسس 3 5 و 3 3

في هذا المثال ، اعتمدنا مرة أخرى على الخاصية الرئيسية للدرجة. بعد كل شيء ، يمكن كتابة التعبير 3 5 × 3 3 على النحو التالي 3 5 + 3 ، من حيث 3 8.

بالطبع ، كان من الممكن تمثيل القوة 3 8 على أنها نتاج قوى أخرى. على سبيل المثال ، في الصورة 3 7 × 3 1 ، لأن هذا المنتج هو أيضًا 3 8

إن تمثيل درجة ما على أنها نتاج قوى لها نفس القاعدة هو في الغالب عملاً إبداعيًا. لذلك لا تخافوا من التجربة.

المثال 10. إرسال الدرجة العلمية x 12 كمنتجات مختلفة من القوى ذات القواعد x .

دعنا نستخدم الخاصية الرئيسية للدرجة. يتصور x 12 كمنتجات مع قواعد x، ومجموع الأسس يساوي 12

تم تسجيل الإنشاءات مع مجموع المؤشرات من أجل الوضوح. يمكن تخطي معظم الوقت. ثم نحصل على حل مضغوط:

الأُس للمنتج

لرفع منتج إلى قوة ، تحتاج إلى رفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة المحددة ومضاعفة النتائج.

على سبيل المثال ، لنرفع حاصل الضرب 2 × 3 للقوة الثانية. نأخذ هذا المنتج بين قوسين ونشير إلى 2 كمؤشر

لنرفع الآن كل عامل من حاصل الضرب 2 × 3 إلى الأس الثاني ونضرب النتائج:

يعتمد مبدأ تشغيل هذه القاعدة على تعريف الدرجة التي تم إعطاؤها في البداية.

يعني رفع حاصل ضرب 2 × 3 إلى الأس الثاني إعادة هذا المنتج مرتين. وإذا كررتها مرتين ، يمكنك الحصول على ما يلي:

2 × 3 × 2 × 3

من تبديل أماكن العوامل ، لا يتغير المنتج. يتيح لك هذا تجميع نفس المضاعفات:

2 × 2 × 3 × 3

يمكن استبدال المضاعفات المتكررة بإدخالات قصيرة - القواعد مع الأس. يمكن استبدال منتج 2 × 2 بـ 2 2 ، ويمكن استبدال منتج 3 × 3 بـ 3 2. ثم يتحول التعبير 2 × 2 × 3 × 3 إلى التعبير 2 2 × 3 2.

اسمحوا ان أبالعمل الأصلي. لرفع هذا المنتج إلى السلطة ن، تحتاج إلى رفع العوامل بشكل منفصل أو بإلى الدرجة المحددة ن

هذه الخاصية صالحة لأي عدد من العوامل. العبارات التالية صالحة أيضًا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير (2 × 3 × 4) 2

في هذا المثال ، تحتاج إلى رفع الناتج 2 × 3 × 4 إلى القوة الثانية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى رفع كل عامل من هذا المنتج إلى الأس الثاني ومضاعفة النتائج:

مثال 3. ارفع المنتج للقوة الثالثة أ × ب × ج

نرفق هذا المنتج بين قوسين ، ونشير إلى الرقم 3 كمؤشر

مثال 4. ارفع المنتج للقوة الثالثة 3 xyz

نرفق هذا المنتج بين قوسين ، ونشير إلى الرقم 3 كمؤشر

(3xyz) 3

دعنا نرفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة الثالثة:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 ذ 3 ض 3

العدد 3 مرفوعًا للقوة الثالثة يساوي العدد 27. نترك الباقي دون تغيير:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 ذ 3 ض 3 = 27x 3 ذ 3 ض 3

في بعض الأمثلة ، يمكن استبدال ضرب الأسس بنفس الأسس بمنتج القواعد التي لها نفس الأس.

على سبيل المثال ، لنحسب قيمة التعبير 5 2 × 3 2. ارفع كل رقم للقوة الثانية واضرب النتائج:

5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225

لكن لا يمكنك حساب كل درجة على حدة. بدلاً من ذلك ، يمكن استبدال منتج القوى هذا بمنتج ذي أس واحد (5 × 3) 2. بعد ذلك ، احسب القيمة بين قوسين وارفع النتيجة إلى الأس الثاني:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

في هذه الحالة ، تم استخدام قاعدة الأس للمنتج مرة أخرى. بعد كل شيء ، إذا (أ س ب)ن = أ ن × ب ن ، ومن بعد أ ن × ب ن = (أ × ب) ن. أي أن الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة معكوسان.

الأس

اعتبرنا هذا التحول كمثال عندما حاولنا فهم جوهر التحولات المتطابقة في الدرجات.

عند رفع أس إلى أس ، تُترك القاعدة كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس:

(أ)م = أ ن × م

على سبيل المثال ، التعبير (2 3) 2 يرفع أسًا إلى أس - اثنان مرفوعًا للقوة الثالثة مرفوعًا للقوة الثانية. للعثور على قيمة هذا التعبير ، يمكن ترك الأساس دون تغيير ، ويمكن ضرب الأسس:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

تستند هذه القاعدة على القواعد السابقة: أس المنتج والممتلكات الأساسية للدرجة.

لنعد إلى التعبير (2 3) 2. التعبير الموجود بين قوسين 2 3 هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل متطابقة ، كل منها يساوي 2. ثم في التعبير (2 3) 2 يمكن استبدال القوة الموجودة داخل الأقواس بالحاصل الضرب 2 × 2 × 2.

(2 × 2 × 2) 2

وهذا هو الأُس للمنتج الذي درسناه سابقًا. تذكر أنه لرفع منتج إلى قوة ما ، تحتاج إلى رفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة المحددة ومضاعفة النتائج:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2

الآن نحن نتعامل مع الخاصية الرئيسية للدرجة. نترك القاعدة دون تغيير ، ونضيف المؤشرات:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

كما كان من قبل ، حصلنا على 2 6. قيمة هذه الدرجة هي 64

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

يمكن أيضًا رفع المنتج الذي تكون عوامله قوى أيضًا إلى قوة.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير (2 2 × 3 2) 3. هنا ، يجب ضرب مؤشرات كل مضاعف في المؤشر الإجمالي 3. بعد ذلك ، ابحث عن قيمة كل درجة واحسب المنتج:

(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656

يحدث نفس الشيء تقريبًا عند الارتقاء إلى قوة المنتج. قلنا أنه عند رفع منتج إلى قوة ، يتم رفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة المشار إليها.

على سبيل المثال ، لرفع حاصل ضرب 2 × 4 إلى الأس الثالث ، عليك كتابة التعبير التالي:

ولكن قيل سابقًا أنه إذا تم إعطاء رقم بدون مؤشر ، فيجب اعتبار المؤشر مساويًا لواحد. اتضح أن عوامل حاصل الضرب 2 × 4 لها في البداية أسس تساوي 1. وهذا يعني أن التعبير 2 1 × 4 1 قد تم رفعه إلى الأس الثالث. وهذا هو رفع درجة إلى قوة.

لنعد كتابة الحل باستخدام قاعدة الأس. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير (3 3) 2

نترك القاعدة دون تغيير ، ونضرب المؤشرات:

حصلت على 3 6. العدد 3 أس السادس هو الرقم 729

مثال 3س ص)³

مثال 4. نفذ الأس في التعبير ( abc)⁵

لنرفع كل عامل من عوامل الضرب إلى الأس الخامس:

مثال 5فأس) 3

دعنا نرفع كل عامل من عوامل الضرب إلى القوة الثالثة:

نظرًا لأنه تم رفع الرقم السالب −2 إلى الأس الثالث ، فقد تم وضعه بين قوسين.

مثال 6. نفذ الأس في التعبير (10 س ص) 2

مثال 7. نفذ الأس في التعبير (−5 x) 3

المثال 8. نفذ الأس في التعبير (−3 ذ) 4

المثال 9. نفذ الأس في التعبير (−2 أبكس)⁴

المثال 10. تبسيط التعبير x 5 × ( x 2) 3

درجة x 5 ستبقى دون تغيير في الوقت الحالي ، وفي التعبير ( x 2) 3 أداء الأس للقوة:

x 5 × (x 2) 3 = س 5 × س 2 × 3 = س 5 × س 6

لنقم الآن بعملية الضرب x 5 × س 6. للقيام بذلك ، نستخدم الخاصية الرئيسية للدرجة - القاعدة xاتركه دون تغيير ، وأضف المؤشرات:

x 5 × (x 2) 3 = س 5 × س 2 × 3 = س 5 × س 6 = x 5 + 6 = x 11

المثال 9. أوجد قيمة التعبير ٤ ٣ × ٢ ٢ باستخدام الخاصية الأساسية للدرجة.

يمكن استخدام الخاصية الرئيسية للدرجة إذا كانت قواعد الدرجات الأولية هي نفسها. في هذا المثال ، تختلف القواعد ، لذلك ، في البداية ، يحتاج التعبير الأصلي إلى تعديل طفيف ، أي لجعل قواعد الدرجات متماثلة.

لنلق نظرة فاحصة على قوة 4 3. أساس هذه الدرجة هو الرقم 4 ، والذي يمكن تمثيله بالرقم 2 2. ثم يأخذ التعبير الأصلي الصورة (2 2) 3 × 2 2. من خلال الأس إلى قوة في التعبير (2 2) 3 ، نحصل على 2 6. ثم يأخذ التعبير الأصلي الصورة 2 6 × 2 2 ، والتي يمكن حسابها باستخدام الخاصية الرئيسية للدرجة.

لنكتب حل هذا المثال:

تقسيم السلطات

لأداء قسمة القوة ، عليك إيجاد قيمة كل قوة ، ثم قسمة الأعداد العادية.

على سبيل المثال ، دعنا نقسم 4 3 على 2 2.

احسب ٤ ٣ ، نحصل على ٦٤. نحسب 2 2 ، نحصل على 4. الآن نقسم 64 على 4 ، نحصل على 16

إذا اتضح عند قسمة درجات القاعدة أنها متطابقة ، فيمكن ترك القاعدة كما هي ، ويمكن طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير 2 3: 2 2

نترك الأساس 2 دون تغيير ، ونطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم:

إذن ، فإن قيمة التعبير 2 3: 2 2 هي 2.

تعتمد هذه الخاصية على مضاعفة القوى بنفس الأسس ، أو كما اعتدنا القول ، على الخاصية الرئيسية للدرجة.

لنعد إلى المثال السابق 2 3: 2 2. هنا المقسوم هو 2 3 والمقسوم عليه 2 2.

يعني قسمة رقم على آخر إيجاد رقم ، عند ضربه في مقسوم عليه ، سيعطي المقسوم نتيجة لذلك.

في حالتنا هذه ، فإن قسمة 2 3 على 2 2 تعني إيجاد قوة ، عند ضرب المقسوم عليه 2 2 ، سينتج عنها 2 3. ما القوة التي يمكن ضربها في 2 2 لنحصل على 2 3؟ من الواضح ، فقط الدرجة 2 1. من الخاصية الرئيسية للدرجة لدينا:

يمكنك التحقق من أن قيمة التعبير 2 3: 2 2 هي 2 1 من خلال تقييم التعبير 2 3: 2 2 مباشرةً. للقيام بذلك ، نجد أولاً قيمة الدرجة 2 3 ، نحصل على 8. ثم نحصل على قيمة الدرجة 2 2 ، ونحصل على 4. قسّم 8 على 4 ، نحصل على 2 أو 2 1 ، لأن 2 = 2 1.

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

وهكذا ، عند قسمة السلطات على نفس القاعدة ، فإن المساواة التالية تصح:

قد يحدث أيضًا أنه ليس فقط القواعد ، ولكن أيضًا قد تكون المؤشرات هي نفسها. في هذه الحالة ، ستكون الإجابة واحدة.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير 2 2: 2 2. دعونا نحسب قيمة كل درجة ونقوم بقسمة الأرقام الناتجة:

عند حل المثال 2 2: 2 2 ، يمكنك أيضًا تطبيق قاعدة قسمة الدرجات بنفس الأسس. النتيجة هي رقم مرفوع للقوة الصفرية ، لأن الفرق بين الأس 2 2 و 2 2 يساوي صفرًا:

لماذا العدد 2 إلى درجة الصفر يساوي واحدًا ، كما اكتشفنا أعلاه. إذا قمت بحساب 2 2: 2 2 بالطريقة المعتادة ، بدون استخدام قاعدة قسمة الدرجات ، تحصل على واحدة.

مثال 2. أوجد قيمة التعبير 4 12: 4 10

نترك 4 بدون تغيير ، ونطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

مثال 3. إرسال خاص x 3: xكدرجة مع قاعدة x

دعونا نستخدم قاعدة قسمة القوى. يتمركز xاتركه دون تغيير ، واطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. الأس المقسوم عليه يساوي واحدًا. من أجل الوضوح ، دعنا نكتبها:

مثال 4. إرسال خاص x 3: x 2 كقوة لها قاعدة x

دعونا نستخدم قاعدة قسمة القوى. يتمركز x

يمكن كتابة قسمة الدرجات في صورة كسر. لذلك يمكن كتابة المثال السابق على النحو التالي:

يمكن كتابة بسط ومقام الكسر في شكل موسع ، أي في شكل منتجات ذات عوامل متطابقة. درجة x 3 يمكن كتابتها كـ س × س × س، والدرجة x 2 مثل س × س. ثم البناء xيمكن تخطي 3 - 2 واستخدام الاختزال الكسر. في البسط والمقام ، سيكون من الممكن تقليل عاملين لكل منهما x. ستكون النتيجة مضاعفًا واحدًا x

أو حتى أقصر:

من المفيد أيضًا أن تكون قادرًا على تقليل الكسور التي تتكون من قوى بسرعة. على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر إلى x 2. لتقليل الكسر بمقدار x 2 عليك قسمة بسط الكسر ومقامه على x 2

لا يمكن وصف تقسيم الدرجات بالتفصيل. يمكن جعل الاختصار أعلاه أقصر: