نظرية فييتا للمعادلات التربيعية والمعادلات الأخرى. نظرية فييت ، صيغة معكوس فيت وأمثلة مع حل للدمى نظرية الإقصاء فييت

أي معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 + ب س + ج = 0يمكن أن يجلب إلى الذهن س 2 + (ب / أ) س + (ج / أ) = 0، إذا قسمنا أولاً كل حد على المعامل a من قبل x2. وإذا قدمنا ​​تدوينًا جديدًا (ب / أ) = صو (ج / أ) = ف، ثم سيكون لدينا المعادلة س 2 + مقصف + س = 0، وهو ما يسمى في الرياضيات معادلة من الدرجة الثانية.

جذور المعادلة التربيعية المختصرة والمعاملات صو فمترابط. تم التأكيد نظرية فييتا، على اسم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييتا ، الذي عاش في نهاية القرن السادس عشر.

نظرية. مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + مقصف + س = 0يساوي المعامل الثاني ص، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور - إلى المصطلح الحر ف.

نكتب هذه النسب بالشكل التالي:

يترك × 1و x2الجذور المختلفة للمعادلة المختزلة س 2 + مقصف + س = 0. وفقًا لنظرية فييتا x1 + x2 = -pو × 1 × 2 = ف.

لإثبات ذلك ، لنعوض بكل من الجذور x 1 و x 2 في المعادلة. نحصل على مساوتين حقيقيتين:

س 1 2 + مقصف 1 + س = 0

س 2 2 + مقصف 2 + ف = 0

اطرح الثانية من المساواة الأولى. نحن نحصل:

× 1 2 - × 2 2 + ص (× 1 - × 2) = 0

نقوم بفك الحدين الأولين وفقًا لصيغة فرق المربعات:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

حسب الشرط ، الجذور x 1 و x 2 مختلفة. لذلك ، يمكننا تقليل المساواة بواسطة (x 1 - x 2) ≠ 0 والتعبير عن p.

(x 1 + x 2) + p = 0 ؛

(x 1 + x 2) = -p.

تم إثبات المساواة الأولى.

لإثبات المساواة الثانية ، نعوض بها في المعادلة الأولى

x 1 2 + px 1 + q \ u003d 0 بدلاً من المعامل p ، الرقم المتساوي هو (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \ u003d 0

بتحويل الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على:

× 1 2 - × 2 2 - × 1 × 2 + q \ u003d 0 ؛

x 1 x 2 = q ، الذي كان سيثبت.

نظرية فييتا جيدة لأن حتى بدون معرفة جذور المعادلة التربيعية ، يمكننا حساب مجموعها وحاصل ضربها .

تساعد نظرية فييتا في تحديد الجذور الصحيحة للمعادلة التربيعية المعطاة. لكن بالنسبة للعديد من الطلاب ، فإن هذا يسبب صعوبات بسبب حقيقة أنهم لا يعرفون خوارزمية عمل واضحة ، خاصة إذا كانت جذور المعادلة لها علامات مختلفة.

إذن ، فإن المعادلة التربيعية المعطاة لها الشكل x 2 + px + q \ u003d 0 ، حيث x 1 و x 2 هي جذورها. وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 = -p و x 1 x 2 = q.

يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي.

إذا كان الحد الأخير في المعادلة مسبوقًا بعلامة ناقص ، فإن الجذور x 1 و x 2 لها علامات مختلفة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن علامة الجذر الأصغر هي نفس علامة المعامل الثاني في المعادلة.

استنادًا إلى حقيقة أنه عند إضافة أرقام بعلامات مختلفة ، يتم طرح وحداتها النمطية ، وتوضع علامة الرقم الأكبر في المعامل أمام النتيجة ، يجب عليك المتابعة على النحو التالي:

1. تحديد عوامل الرقم q بحيث يكون اختلافها مساويًا للرقم p ؛
2. ضع علامة المعامل الثاني للمعادلة أمام الأصغر من الأرقام التي تم الحصول عليها ؛ سيكون للجذر الثاني إشارة معاكسة.

لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.

حل المعادلة x2-2x - 15 = 0.

المحلول.

دعنا نحاول حل هذه المعادلة باستخدام القواعد المقترحة أعلاه. ثم يمكننا القول بالتأكيد أن هذه المعادلة لها جذران مختلفان ، لأن د \ u003d ب 2-4ac \ u003d 4-4 (-15) \ u003d 64 \ u003e 0.

الآن ، من بين جميع عوامل الرقم 15 (1 و 15 و 3 و 5) ، نختار تلك التي يكون فرقها يساوي 2. سيكون هذان الرقمان 3 و 5. نضع علامة ناقص أمام الرقم الأصغر ، بمعنى آخر. علامة المعامل الثاني للمعادلة. وبالتالي ، نحصل على جذور المعادلة x 1 \ u003d -3 و x 2 \ u003d 5.

إجابه. س 1 = -3 و س 2 = 5.

مثال 2.

حل المعادلة x 2 + 5x - 6 = 0.

المحلول.

دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه المعادلة لها جذور. للقيام بذلك ، نجد المميز:

د \ u003d ب 2 - 4ac \ u003d 25 + 24 \ u003d 49 \ u003e 0. للمعادلة جذرين مختلفين.

العوامل المحتملة للرقم 6 هي 2 و 3 و 6 و 1. والفرق هو 5 لزوج من 6 و 1. في هذا المثال ، معامل الحد الثاني له علامة زائد ، وبالتالي فإن الرقم الأصغر سيكون له نفس العلامة. ولكن قبل الرقم الثاني ستكون هناك علامة ناقص.

الجواب: س 1 = -6 و س 2 = 1.

يمكن أيضًا كتابة نظرية فييتا لمعادلة تربيعية كاملة. لذلك إذا كانت المعادلة التربيعية الفأس 2 + ب س + ج = 0لها جذور x 1 و x 2 ، ثم تحقق المساواة

× 1 + × 2 = - (ب / أ)و × 1 × 2 = (ج / أ). ومع ذلك ، فإن تطبيق هذه النظرية في المعادلة التربيعية الكاملة يمثل مشكلة إلى حد ما ، منذ ذلك الحين إذا كان هناك جذور ، واحد منهم على الأقل هو عدد كسري. والعمل مع اختيار الكسور صعب للغاية. لكن لا يزال هناك مخرج.

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية الكاملة ax 2 + bx + c = 0. اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بالمعامل a. ستأخذ المعادلة الشكل (ax) 2 + b (ax) + ac = 0. لنقدم الآن متغيرًا جديدًا ، على سبيل المثال t = ax.

في هذه الحالة ، ستتحول المعادلة الناتجة إلى معادلة تربيعية مختصرة للصيغة t 2 + bt + ac = 0 ، يمكن تحديد جذورها t 1 و t 2 (إن وجدت) بواسطة نظرية Vieta.

في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة التربيعية الأصلية

x 1 = (t 1 / a) و x 2 = (t 2 / a).

مثال 3.

حل المعادلة 15x 2-11x + 2 = 0.

المحلول.

نصنع معادلة مساعدة. لنضرب كل حد من حدود المعادلة في 15:

15 2 × 2-11 × 15 + 15 2 = 0.

نجعل التغيير t = 15x. نملك:

ر 2-11 طن + 30 = 0.

وفقًا لنظرية فييتا ، فإن جذور هذه المعادلة ستكون t 1 = 5 و t 2 = 6.

نعود إلى البديل t = 15x:

5 = 15 × أو 6 = 15 ×. هكذا x 1 = 5/15 و x 2 = 6/15. نختصر ونحصل على الإجابة النهائية: x 1 = 1/3 و x 2 = 2/5.

إجابه. × 1 = 1/3 و × 2 = 2/5.

لإتقان حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فيتا ، يحتاج الطلاب إلى التدرب قدر الإمكان. هذا هو بالضبط سر النجاح.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

تسمح لنا نظرية فييتا (بتعبير أدق ، النظرية العكسية لنظرية فييتا) بتقليل وقت حل المعادلات التربيعية. تحتاج فقط إلى معرفة كيفية استخدامه. كيف تتعلم حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا؟ إنه سهل إذا كنت تفكر قليلاً.

الآن سنتحدث فقط عن حل المعادلة التربيعية المختصرة باستخدام نظرية فيتا ، المعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة يكون فيها a ، أي المعامل أمام x² يساوي واحدًا. يمكن أيضًا حل المعادلات التربيعية غير المعطاة باستخدام نظرية فييتا ، ولكن هناك بالفعل واحدًا على الأقل من الجذور ليس عددًا صحيحًا. من الصعب تخمينها.

تقول النظرية المعكوسة لنظرية فييتا: إذا كان الرقمان x1 و x2 هكذا

ثم x1 و x2 هي جذور المعادلة التربيعية

عند حل معادلة تربيعية باستخدام نظرية فييتا ، هناك 4 خيارات فقط ممكنة. إذا كنت تتذكر مسار التفكير ، فيمكنك أن تتعلم العثور على الجذور الكاملة بسرعة كبيرة.

1- إذا كانت q عددًا موجبًا ،

هذا يعني أن الجذور x1 و x2 هي أرقام من نفس العلامة (لأنه فقط عند ضرب الأرقام بنفس العلامات ، يتم الحصول على رقم موجب).

I ل. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (على التوالي ، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ب. إذا كان -p رقمًا سالبًا ، (على التوالي ، p> 0) ، ثم كلا الجذور عبارة عن أرقام سالبة (أضافوا أرقامًا من نفس العلامة ، وحصلوا على رقم سالب).

ثانيًا. إذا كان q رقمًا سالبًا ،

هذا يعني أن الجذور x1 و x2 لها علامات مختلفة (عند ضرب الأرقام ، يتم الحصول على رقم سالب فقط عندما تختلف علامات العوامل). في هذه الحالة ، لم يعد x1 + x2 مجموعًا ، بل فرقًا (بعد كل شيء ، عند إضافة أرقام بعلامات مختلفة ، نطرح الأصغر من النموذج الأكبر). لذلك ، يوضح x1 + x2 مدى اختلاف الجذور x1 و x2 ، أي مقدار جذر واحد أكثر من الآخر (modulo).

II.a. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (أي ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. إذا كان -p رقمًا سالبًا ، (p> 0) ، فإن الجذر الأكبر (modulo) هو رقم سلبي.

ضع في اعتبارك حل المعادلات التربيعية وفقًا لنظرية فييتا باستخدام الأمثلة.

حل المعادلة التربيعية المحددة باستخدام نظرية فييتا:

هنا q = 12> 0 ، لذا فإن الجذور x1 و x2 عددان من نفس العلامة. مجموعهم هو -p = 7> 0 ، لذا فإن كلا الجذور أعداد موجبة. نختار الأعداد الصحيحة التي يكون حاصل ضربها 12. هذه هي 1 و 12 ، 2 و 6 ، 3 و 4. المجموع 7 للزوج 3 و 4. وبالتالي ، 3 و 4 هما جذور المعادلة.

في هذا المثال ، q = 16> 0 ، مما يعني أن الجذور x1 و x2 أرقام من نفس العلامة. مجموعهم -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

هنا q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ، فالعدد الأكبر يكون موجبًا. إذن ، الجذور هي 5 و -3.

ف = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

تقريبًا أي معادلة تربيعية \ يمكن تحويلها إلى النموذج \ ومع ذلك ، هذا ممكن إذا تم تقسيم كل مصطلح مبدئيًا على المعامل \ أمام \ بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تقديم رمز جديد:

\ [(\ frac (b) (a)) = p \] و \ [(\ frac (c) (a)) = q \]

بفضل هذا ، سيكون لدينا معادلة \ تسمى في الرياضيات معادلة تربيعية مختصرة. جذور هذه المعادلة والمعاملات مترابطة ، وهو ما تؤكده نظرية فييتا.

نظرية فييتا: مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة \ يساوي المعامل الثاني \ مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور هو المصطلح الحر \

من أجل الوضوح ، نحل المعادلة بالشكل التالي:

نحل هذه المعادلة التربيعية باستخدام القواعد المكتوبة. بعد تحليل البيانات الأولية ، يمكننا أن نستنتج أن المعادلة سيكون لها جذران مختلفان ، لأن:

الآن ، من بين جميع عوامل العدد 15 (1 و 15 و 3 و 5) ، نختار تلك التي يكون فرقها يساوي 2. والأرقام 3 و 5 تندرج تحت هذا الشرط. نضع علامة ناقص أمام الأصغر رقم. وهكذا نحصل على جذور المعادلة \

الإجابة: \ [x_1 = -3 و x_2 = 5 \]

أين يمكنني حل المعادلة باستخدام نظرية فييتا على الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية ، بالإضافة إلى صيغ الجذر ، هناك علاقات مفيدة أخرى يتم تقديمها بواسطة نظرية فييتا. في هذه المقالة ، سنقدم صياغة وإثباتًا لنظرية فييتا لمعادلة تربيعية. بعد ذلك ، نعتبر نظرية معاكسة لنظرية فييتا. بعد ذلك ، سنقوم بتحليل حلول أكثر الأمثلة المميزة. أخيرًا ، نكتب صيغ Vieta التي تحدد العلاقة بين الجذور الحقيقية معادلة جبريةدرجة ن ومعاملاتها.

التنقل في الصفحة.

نظرية فييتا ، صياغة ، إثبات

من معادلات جذور المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0 من الصورة ، حيث د = ب 2 −4 أ ج ، العلاقات س 1 + س 2 = − ب / أ ، س 1 × 2 = ج / أ. تم تأكيد هذه النتائج نظرية فييتا:

نظرية.

اذا كان x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية a x 2 + b x + c = 0 ، ثم مجموع الجذور يساوي نسبة المعاملين b و a ، المأخوذتين بالعلامة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور تساوي نسبة المعاملين c و a ، أي.

دليل - إثبات.

سنثبت نظرية فييتا وفقًا للمخطط التالي: سنقوم بتكوين مجموع وحاصل جذر المعادلة التربيعية باستخدام صيغ الجذر المعروفة ، ثم سنقوم بتحويل التعبيرات الناتجة ، والتأكد من أنها تساوي −b / أ و ج / أ ، على التوالي.

لنبدأ بمجموع الجذور ، قم بتكوينه. والآن نضع الكسور في مقام مشترك ، وهو ما لدينا. في بسط الكسر الناتج ، وبعد ذلك:. أخيرًا ، بعد 2 ، نحصل على. هذا يثبت العلاقة الأولى لنظرية فييتا لمجموع جذور المعادلة التربيعية. دعنا ننتقل إلى الثانية.

نقوم بتكوين ناتج جذور المعادلة التربيعية :. وفقًا لقاعدة ضرب الكسور ، يمكن كتابة حاصل الضرب الأخير كـ. نقوم الآن بضرب القوس في القوس الموجود في البسط ، ولكن من الأسرع طي هذا المنتج بمقدار فرق صيغة المربعات، لذا . ثم ، تذكر ، نقوم بالانتقال التالي. وبما أن الصيغة D = b 2 −4 a · c تتوافق مع مميز المعادلة التربيعية ، فيمكن استبدال b 2 −4 · a · c في الكسر الأخير بدلاً من D ، نحصل على ذلك. بعد فتح الأقواس وتصغير الحدود المتشابهة ، نصل إلى الكسر ، وتقليله بمقدار 4 · a يعطي. هذا يثبت العلاقة الثانية لنظرية فييتا لحاصل ضرب الجذور.

إذا حذفنا التفسيرات ، فإن إثبات نظرية فييتا سيأخذ شكلًا موجزًا:
,
.

يبقى فقط أن نلاحظ أنه عندما يكون المميز مساويًا للصفر ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد. ومع ذلك ، إذا افترضنا أن المعادلة في هذه الحالة لها جذران متطابقان ، فإن المساواة من نظرية فييتا صحيحة أيضًا. في الواقع ، بالنسبة إلى D = 0 ، يكون جذر المعادلة التربيعية هو إذن ، وبما أن D = 0 ، أي ب 2 −4 · أ · ج = 0 ، ومن هنا فإن ب 2 = 4 · أ · ج ، إذن.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا فيما يتعلق بالمعادلة التربيعية المختصرة (مع أعلى معامل يساوي 1) للصيغة x 2 + p · x + q = 0. في بعض الأحيان يتم صياغتها للمعادلات التربيعية من هذا النوع فقط ، والتي لا تحد من العمومية ، حيث يمكن استبدال أي معادلة من الدرجة الثانية بمعادلة مكافئة عن طريق قسمة أجزائها على رقم غير صفري أ. هذه هي الصيغة المقابلة لنظرية فييتا:

نظرية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + p x + q \ u003d 0 يساوي المعامل عند x ، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور هو المصطلح المجاني ، أي x 1 + × 2 \ u003d −p ، × 1 × 2 \ u003d q.

نظرية معكوسة لنظرية فييتا

تشير الصيغة الثانية لنظرية فييتا ، الواردة في الفقرة السابقة ، إلى أنه إذا كانت x 1 و x 2 هي جذور المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + p x + q = 0 ، فإن العلاقات x 1 + x 2 = - ص ، س 1 × 2 = ف. من ناحية أخرى ، من العلاقات المكتوبة x 1 + x 2 = −p ، x 1 x 2 = q ، يتبع ذلك أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية x 2 + p x + q = 0. وبعبارة أخرى ، فإن التأكيد المقابل لنظرية فييتا صحيح. نصيغها في شكل نظرية ، ونثبتها.

نظرية.

إذا كان الرقمان x 1 و x 2 مثل x 1 + x 2 = −p و x 1 x 2 = q ، فإن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + p x + q = 0 .

دليل - إثبات.

بعد استبدال المعاملين p و q في المعادلة x 2 + p x + q = 0 من تعبيرهما من خلال x 1 و x 2 ، يتم تحويلها إلى معادلة مكافئة.

نعوض بالرقم x 1 بدلاً من x في المعادلة الناتجة ، لدينا المساواة x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0، والتي بالنسبة لأي x 1 و x 2 هي المساواة العددية الصحيحة 0 = 0 ، منذ ذلك الحين x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. إذن ، x 1 هو جذر المعادلة × 2 - (× 1 + × 2) × + × 1 × 2 \ u003d 0، مما يعني أن x 1 هو جذر المعادلة المكافئة x 2 + p x + q = 0.

إذا في المعادلة × 2 - (× 1 + × 2) × + × 1 × 2 \ u003d 0عوض بالرقم x 2 بدلاً من x ، ثم نحصل على المساواة x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. هذه هي المعادلة الصحيحة لأن x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 = 0. إذن ، x 2 هو أيضًا جذر المعادلة × 2 - (× 1 + × 2) × + × 1 × 2 \ u003d 0، ومن هنا المعادلات x 2 + p x + q = 0.

هذا يكمل إثبات النظرية عكس نظرية فييتا.

أمثلة على استخدام نظرية فييتا

حان الوقت للحديث عن التطبيق العملي لنظرية فييتا ونظريتها العكسية. في هذا القسم الفرعي ، سنقوم بتحليل الحلول للعديد من الأمثلة الأكثر شيوعًا.

نبدأ بتطبيق نظرية معاكسة لنظرية فييتا. من الملائم استخدامه للتحقق مما إذا كان الرقمان المعطىان يمثلان جذور معادلة تربيعية معينة. في هذه الحالة ، يتم حساب مجموعهم وفرقهم ، وبعد ذلك يتم التحقق من صحة العلاقات. إذا تم استيفاء كل من هذه العلاقات ، إذن ، بحكم النظرية المقابلة لنظرية فييتا ، يتم استنتاج أن هذه الأرقام هي جذور المعادلة. إذا لم يتم استيفاء واحدة على الأقل من العلاقات ، فإن هذه الأرقام ليست جذور المعادلة التربيعية. يمكن استخدام هذا الأسلوب عند حل المعادلات التربيعية للتحقق من الجذور الموجودة.

مثال.

أي من أزواج الأعداد 1) × 1 = 5 أم × 2 = 3 أم 2) أم 3) زوج من جذور المعادلة التربيعية 4 × 2 16 × + 9 = 0؟

المحلول.

معاملات المعادلة التربيعية المعطاة 4 × 2 16 × + 9 = 0 هي أ = 4 ، ب = −16 ، ج = 9. وفقًا لنظرية فييتا ، يجب أن يكون مجموع جذور المعادلة التربيعية مساويًا لـ b / a ، أي 16/4 = 4 ، ويجب أن يكون حاصل ضرب الجذور مساويًا لـ c / a ، أي 9 / 4.

لنحسب الآن مجموع وحاصل ضرب الأعداد في كل زوج من الأزواج الثلاثة ، ونقارنها بالقيم التي تم الحصول عليها للتو.

في الحالة الأولى ، لدينا x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2. تختلف القيمة الناتجة عن 4 ، لذلك لا يمكن إجراء مزيد من التحقق ، ولكن من خلال النظرية ، معكوس نظرية فييتا ، يمكننا أن نستنتج على الفور أن أول زوج من الأرقام ليس زوجًا من الجذور لمعادلة تربيعية معينة .

دعنا ننتقل إلى الحالة الثانية. هنا ، هذا هو الشرط الأول تم استيفائه. نتحقق من الشرط الثاني: القيمة الناتجة تختلف عن 9/4. لذلك ، فإن الزوج الثاني من الأرقام ليس زوجًا من جذور المعادلة التربيعية.

تبقى الحالة الأخيرة. هنا و . تم استيفاء كلا الشرطين ، لذا فإن هذين الرقمين x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المعطاة.

إجابه:

يمكن استخدام النظرية ، عكس نظرية فييتا ، عمليًا لتحديد جذور المعادلة التربيعية. عادة ، يتم تحديد الجذور الصحيحة للمعادلات التربيعية المعطاة مع معاملات عدد صحيح ، لأنه في حالات أخرى يصعب القيام بذلك. في نفس الوقت ، يستخدمون حقيقة أنه إذا كان مجموع رقمين يساوي المعامل الثاني للمعادلة التربيعية ، مأخوذ بعلامة ناقص ، وحاصل ضرب هذه الأرقام يساوي المصطلح المجاني ، فإن هذه الأرقام هي جذور هذه المعادلة التربيعية. دعونا نتعامل مع هذا بمثال.

لنأخذ المعادلة التربيعية x 2 −5 x + 6 = 0. لكي تكون الأرقام x 1 و x 2 هي جذور هذه المعادلة ، يجب استيفاء معادلتين x 1 + x 2 \ u003d 5 و x 1 x 2 \ u003d 6. يبقى اختيار هذه الأرقام. في هذه الحالة ، من السهل جدًا القيام بذلك: هذه الأرقام هي 2 و 3 ، حيث أن 2 + 3 = 5 و 2 3 = 6. وبالتالي ، 2 و 3 هما جذور هذه المعادلة التربيعية.

تعتبر النظرية العكسية لنظرية فييتا ملائمة بشكل خاص لإيجاد الجذر الثاني للمعادلة التربيعية المختصرة عندما يكون أحد الجذور معروفًا بالفعل أو واضحًا. في هذه الحالة ، تم العثور على الجذر الثاني من أي من العلاقات.

على سبيل المثال ، لنأخذ المعادلة التربيعية 512 × 2 509 × − 3 = 0. من السهل هنا ملاحظة أن الوحدة هي جذر المعادلة ، لأن مجموع معاملات هذه المعادلة التربيعية هو صفر. إذن x 1 = 1. يمكن إيجاد الجذر الثاني x 2 ، على سبيل المثال ، من العلاقة x 1 x 2 = c / a. لدينا 1 × 2 = −3 / 512 ، حيث × 2 = −3 / 512. لذلك حددنا جذري المعادلة التربيعية: 1 و −3/512.

من الواضح أن اختيار الجذور مناسب فقط في أبسط الحالات. في حالات أخرى ، لإيجاد الجذور ، يمكنك تطبيق صيغ جذور المعادلة التربيعية من خلال المميز.

تطبيق عملي آخر للنظرية ، وهو معكوس نظرية فييتا ، هو تجميع المعادلات التربيعية للجذور المعطاة x 1 و x 2. للقيام بذلك ، يكفي حساب مجموع الجذور ، والذي يعطي معامل x مع الإشارة المعاكسة للمعادلة التربيعية المعطاة ، وحاصل ضرب الجذور الذي يعطي المصطلح الحر.

مثال.

اكتب معادلة تربيعية جذورها العددين 11 و 23.

المحلول.

أشر إلى x 1 = −11 و x 2 = 23. نحسب مجموع ومنتج هذه الأرقام: x 1 + x 2 \ u003d 12 و x 1 x 2 \ u003d −253. لذلك ، فإن هذه الأرقام هي جذور المعادلة التربيعية المعطاة مع المعامل الثاني -12 والمصطلح الحر -253. أي أن x 2 −12 · x − 253 = 0 هي المعادلة المرغوبة.

إجابه:

س 2 −12 س − 253 = 0.

غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا في حل المهام المتعلقة بعلامات جذور المعادلات التربيعية. كيف ترتبط نظرية فييتا بعلامات جذور المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + p x + q = 0؟ فيما يلي بيانان ذو صلة:

• إذا كان المقطع q عددًا موجبًا وكانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية ، فإما أن يكون كلاهما موجبًا أو كلاهما سالب.
• إذا كان المصطلح المجاني q عددًا سالبًا وإذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية ، فإن إشاراتهما مختلفة ، بمعنى آخر ، أحدهما موجب والآخر سالب.

هذه العبارات تتبع الصيغة x 1 x 2 = q ، بالإضافة إلى قواعد ضرب الأعداد الموجبة والسالبة والأرقام بعلامات مختلفة. ضع في اعتبارك أمثلة لتطبيقها.

مثال.

R موجب. وفقًا للصيغة المميزة ، نجد D = (r + 2) 2 −4 1 (r − 1) = r 2 +4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8 ، قيمة التعبير r 2 +8 موجب لأي r حقيقي ، وبالتالي D> 0 لأي r حقيقي. لذلك ، فإن المعادلة التربيعية الأصلية لها جذران لأي قيم حقيقية للمعامل r.

لنكتشف الآن متى يكون للجذور علامات مختلفة. إذا كانت علامات الجذور مختلفة ، فإن ناتجها يكون سالبًا ، ووفقًا لنظرية فييتا ، فإن حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المصطلح المجاني. لذلك ، نحن مهتمون بقيم r التي يكون المصطلح المجاني r 1 لها سالبًا. وبالتالي ، من أجل العثور على قيم r التي تهمنا ، نحتاج إلى ذلك حل المتباينة الخطيةص − 1<0 , откуда находим r<1 .

إجابه:

في ص<1 .

صيغ فييتا

أعلاه ، تحدثنا عن نظرية فييتا للمعادلة التربيعية وقمنا بتحليل العلاقات التي تؤكدها. ولكن هناك صيغ تربط الجذور الحقيقية والمعاملات ليس فقط من المعادلات التربيعية ، ولكن أيضًا للمعادلات التكعيبية ، والمعادلات الرباعية ، وبشكل عام ، المعادلات الجبريةدرجة يطلق عليهم صيغ فييتا.

نكتب صيغ Vieta لمعادلة جبرية للدرجة n من الصورة ، بينما نفترض أن لها جذور n حقيقية x 1 ، x 2 ، ... ، x n (من بينها قد يكون هناك نفس الشيء):

الحصول على صيغ فييتا يسمح نظرية العامل متعدد الحدود، وكذلك تعريف كثيرات الحدود المتساوية من خلال المساواة بين جميع المعاملات المقابلة لها. إذن ، كثير الحدود والتوسع في العوامل الخطية للصورة متساويان. عند فتح الأقواس في المنتج الأخير ومساواة المعاملات المقابلة ، نحصل على صيغ Vieta.

على وجه الخصوص ، بالنسبة إلى n = 2 ، فقد اعتدنا بالفعل على صيغ Vieta للمعادلة التربيعية.

بالنسبة إلى المعادلة التكعيبية ، فإن صيغ فييتا لها الشكل

يبقى فقط أن نلاحظ أنه على الجانب الأيسر من صيغ Vieta هناك ما يسمى الابتدائية كثيرات الحدود المتماثل.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة ، ممحاة. - م: Mnemozina، 2009. - 215 ص: م. ردمك 978-5-346-01155-2.
• الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M.I Shabunin]؛ إد. A. B. Zhizhchenko. - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 2010. - 368 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-022771-1.

عند دراسة طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية في مقرر الجبر المدرسي ، ضع في اعتبارك خصائص الجذور التي تم الحصول عليها. تُعرف الآن باسم نظريات فييتا. يتم إعطاء أمثلة على استخدامه في هذه المقالة.

معادلة من الدرجة الثانية

معادلة الدرجة الثانية هي المساواة ، والتي تظهر في الصورة أدناه.

هنا الرموز أ ، ب ، ج هي بعض الأرقام التي تسمى معاملات المعادلة قيد الدراسة. لحل المساواة ، عليك إيجاد قيم x التي تجعلها صحيحة.

لاحظ أنه نظرًا لأن القيمة القصوى للقوة التي يتم رفع x إليها تساوي اثنين ، فإن عدد الجذور في الحالة العامة هو اثنان أيضًا.

هناك عدة طرق لحل هذا النوع من المساواة. في هذه المقالة ، سننظر في أحدها ، والذي يتضمن استخدام ما يسمى نظرية فييتا.

بيان نظرية فييتا

في نهاية القرن السادس عشر ، لاحظ عالم الرياضيات الشهير فرانسوا فيت (فرنسي) ، عند تحليل خصائص جذور المعادلات التربيعية المختلفة ، أن مجموعات معينة منها ترضي علاقات محددة. على وجه الخصوص ، هذه المجموعات هي نتاجها ومجموعها.

تؤسس نظرية فييتا ما يلي: جذور المعادلة التربيعية ، عند جمعها ، تعطي نسبة المعاملات الخطية إلى المعاملات التربيعية المأخوذة مع الإشارة المعاكسة ، وعندما يتم ضربها ، فإنها تؤدي إلى نسبة المصطلح الحر إلى المعامل التربيعي .

إذا كان الشكل العام للمعادلة مكتوبًا كما هو موضح في الصورة في القسم السابق من المقالة ، فيمكن كتابة هذه النظرية رياضيًا على هيئة مساوتين:

• ص 2 + ص 1 \ u003d -b / أ ؛
• ص 1 × ص 2 \ u003d ج ​​/ أ.

حيث r 1 ، r 2 هي قيمة جذور المعادلة المدروسة.

يمكن استخدام هاتين المعادلتين لحل عدد من المسائل الرياضية المختلفة جدًا. يتم إعطاء استخدام نظرية فييتا في الأمثلة مع الحل في الأقسام التالية من المقالة.