ابحث عن المنطقة بين الخطوط عبر الإنترنت. إيجاد مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = f (x)، x = g (y). طول قوس منحنى مسطح

دع الدالة تكون غير سالبة ومستمرة في الفترة. بعد ذلك ، وفقًا للمعنى الهندسي لتكامل معين ، فإن مساحة شبه منحني منحني الخط يحدها من الأعلى بالرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأسفل بالمحور ، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و (انظر الشكل 2) ) بواسطة الصيغة

المثال 9أوجد مساحة شكل يحده خط والمحور.

المحلول. رسم بياني وظيفي هو القطع المكافئ الذي تتجه فروعه إلى أسفل. دعونا نبنيها (الشكل 3). لتحديد حدود التكامل ، نجد نقاط تقاطع الخط (القطع المكافئ) مع المحور (الخط المستقيم). للقيام بذلك ، نحل نظام المعادلات

نحن نحصل: ، أين ، ؛ بالتالي، ، .

أرز. 3

تم العثور على مساحة الشكل بالصيغة (5):

إذا كانت الوظيفة غير موجبة ومستمرة على المقطع ، فإن مساحة شبه المنحني المنحني ، يحدها من الأسفل الرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأعلى بالمحور ، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و ، محسوبة بالصيغة

. (6)

إذا كانت الوظيفة متصلة على مقطع وعلامة التغييرات عند عدد محدود من النقاط ، فإن مساحة الشكل المظلل (الشكل 4) تساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة المقابلة:

أرز. أربعة

المثال 10احسب مساحة الشكل المحدد بالمحور والرسم البياني للدالة لـ.

أرز. 5

المحلول. لنقم برسم (الشكل 5). المنطقة المطلوبة هي مجموع المساحات و. دعونا نجد كل من هذه المجالات. أولاً ، نحدد حدود التكامل من خلال حل النظام نحن نحصل ، . بالتالي:

;

.

وبالتالي ، فإن مساحة الشكل المظلل هي

(وحدات مربعة).

أرز. 6

دعنا أخيرًا ، يتم تقييد شبه المنحني المنحني من أعلى وأسفل برسوم بيانية للوظائف المستمرة على المقطع و ،
وعلى اليسار واليمين - مستقيم و (الشكل 6). ثم يتم حساب مساحتها بواسطة الصيغة

. (8)

المثال 11.أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط و.

المحلول.يظهر هذا الرقم في الشكل. 7. نحسب مساحتها باستخدام الصيغة (8). حل نظام المعادلات نجد ؛ بالتالي، ، . في الجزء لدينا:. ومن ثم ، في الصيغة (8) نأخذ على النحو التالي x، و كما - . نحن نحصل:

(وحدات مربعة).

يتم حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لحساب المناطق عن طريق تقسيم الشكل إلى أجزاء غير متقاطعة وحساب مساحة الشكل بالكامل كمجموع مناطق هذه الأجزاء.

أرز. 7

المثال 12.أوجد مساحة الشكل المحصور بالخطوط ، ،.

المحلول. لنقم برسم (الشكل 8). يمكن اعتبار هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع يحده من الأسفل المحور ، من اليسار واليمين - بخطوط مستقيمة ، ومن أعلى - بواسطة الرسوم البيانية للوظائف و. نظرًا لأن الشكل محدد من الأعلى برسوم بيانية لوظيفتين ، لحساب مساحته ، سنقسم هذا الشكل المستقيم إلى جزأين (1 هو الحد الأقصى لنقطة تقاطع الخطين و). تم العثور على مساحة كل جزء من هذه الأجزاء بالصيغة (4):

(وحدات مربعة) ؛ (وحدات مربعة). بالتالي:

(وحدات مربعة).

أرز. ثمانية

X= ي ( في)

أرز. 9

في الختام ، نلاحظ أنه إذا كان شبه منحني منحني الأضلاع محددًا بخطوط مستقيمة وكان المحور ومستمرًا على المنحنى (الشكل 9) ، فسيتم العثور على مساحته بواسطة الصيغة

حجم جسم الثورة

دع شبه منحني منحني الخطي يحده رسم بياني لوظيفة متصلة على قطعة ، محور ، خطوط مستقيمة وتدور حول المحور (الشكل 10). ثم يتم حساب حجم الجسم الناتج للثورة بواسطة الصيغة

. (9)

المثال 13احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محور شبه منحني منحني الخط يحده قطع زائد وخطوط مستقيمة ومحور.

المحلول. لنقم برسم (الشكل 11).

ويترتب على حالة المشكلة أن ،. بالصيغة (9) نحصل عليها

.

أرز. عشرة

أرز. أحد عشر

يتم الحصول على حجم الجسم بالدوران حول محور OUشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط مستقيمة ص = جو ص = دالمحور OUوالرسم البياني لوظيفة متصلة على قطعة (الشكل 12) ، تحددها الصيغة

. (10)

X= ي ( في)

أرز. 12

المثال 14. احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محور OUشبه منحرف منحني الأضلاع تحده خطوط X 2 = 4في, ص = 4, س = 0 (الشكل 13).

المحلول. حسب حالة المشكلة نجد حدود التكامل:،. بالصيغة (10) نحصل على:

أرز. 13

طول قوس منحنى مسطح

دع منحنى المعادلة ، حيث ، يكمن في مستوى (الشكل 14).

أرز. أربعة عشرة

تعريف. يُفهم طول القوس على أنه الحد الذي يميل إليه طول الخط المتعدد المدرج في هذا القوس عندما يميل عدد روابط الخط المتعدد إلى اللانهاية ، ويميل طول الرابط الأكبر إلى الصفر.

إذا كانت الدالة ومشتقاتها متصلتين على المقطع ، فسيتم حساب طول قوس المنحنى بواسطة الصيغة

. (11)

المثال 15. احسب طول قوس المنحنى المحصور بين النقطتين .

المحلول. من حالة المشكلة لدينا . بالصيغة (11) نحصل على:

.

4. التكاملات غير الصحيحة
مع حدود تكامل لانهائية

عند تقديم مفهوم التكامل المحدد ، تم افتراض استيفاء الشرطين التاليين:

أ) حدود التكامل أومحدودة.

ب) يتم تقييد التكامل على المقطع.

إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل ، فسيتم استدعاء التكامل غير مناسب.

دعونا أولاً نفكر في التكاملات غير الصحيحة ذات حدود التكامل اللانهائية.

تعريف. دع الوظيفة تُحدد وتتواصل على الفاصل الزمني ، إذنوغير مقيد على اليمين (الشكل 15).

إذا تقارب التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة محدودة ؛ إذا تباعد التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة لا نهائية.

أرز. خمسة عشر

يتم تعريف التكامل غير المناسب مع حد أدنى لانهائي من التكامل بالمثل:

. (13)

يتقارب هذا التكامل إذا كان الحد على الجانب الأيمن من المساواة (13) موجودًا ومحدودًا ؛ وإلا سيقال أن التكامل متشعب.

يتم تعريف التكامل غير الصحيح مع حدين لا حصر لهما من التكامل على النحو التالي:

, (14)

حيث с هي أي نقطة في الفترة الزمنية. لا يتقارب التكامل إلا إذا التقى كلا التكاملات على الجانب الأيمن من المساواة (14).

;

ز) = [حدد المربع الكامل في المقام:] = [إستبدال:

] =

ومن ثم ، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي.

أدخل الوظيفة التي تريد إيجاد التكامل لها

توفر الآلة الحاسبة حلاً مفصلاً للتكاملات المحددة.

تحل هذه الآلة الحاسبة التكامل المحدد للدالة f (x) مع الحدين العلوي والسفلي المعينين.

أمثلة

مع استخدام الدرجة
(مربع ومكعب) وكسور

(س ^ 2-1) / (س ^ 3 + 1)

الجذر التربيعي

مربع (x) / (x + 1)

الجذر التكعيبي

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

باستخدام الجيب وجيب التمام

2 * الخطيئة (س) * جتا (س)

أركسين

X * arcsin (x)

قوس جيب التمام

x * arccos (x)

تطبيق اللوغاريتم

X * تسجيل (x ، 10)

اللوغاريتم الطبيعي

عارض

Tg (x) * الخطيئة (x)

ظل التمام

Ctg (x) * cos (x)

الكسور غير المنطقية

(الجذر التربيعي (س) - 1) / الجذر التربيعي (س ^ 2 - س - 1)

قوس ظل

X * arctg (x)

ظل القوس

X * arсctg (x)

الجيب الزائدي وجيب التمام

2 * ش (س) * الفصل (س)

ظل الزائدي وظل التمام

ctgh (x) / tgh (x)

قوس القوس الزائدي و قوس القوس الزائدي

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

قوس ظل زائدي وظل قوسي

X ^ 2 * arctgh (x) * arctgh (x)

قواعد إدخال التعبيرات والوظائف

يمكن أن تتكون التعبيرات من وظائف (يتم تقديم الرموز بترتيب أبجدي): مطلق (x)قيمه مطلقه x
(وحدة xأو | x |) arccos (x)الوظيفة - جيب التمام القوس x أركوش (x)قوس جيب التمام الزائدي من x قوسين (x)قوس من x arcsinh (x)قوس زائدي من x arctg (x)وظيفة - قوس ظل من x Arctgh (x)ظل القوس زائدي من x ه هرقم يساوي تقريبًا 2.7 إكسب (x)الوظيفة - الأس من x(الذي ه^x) تسجيل (x)أو تسجيل (x)اللوغاريتم الطبيعي لـ x
(ليحصل تسجيل 7 (x)، تحتاج إلى إدخال log (x) / log (7) (أو ، على سبيل المثال ، لـ log10 (x)= تسجيل (خ) / تسجيل (10)) بيالرقم هو "Pi" ، والذي يساوي 3.14 تقريبًا الخطيئة (x)الوظيفة - شرط x كوس (س)الوظيفة - جيب التمام x سينه (س)الوظيفة - شرط الجيب الزائدي x النقدية (x)الوظيفة - جيب التمام الزائدي لـ x الجذر التربيعي (x)الدالة هي الجذر التربيعي لـ x sqr (x)أو س ^ 2الوظيفة - مربع x tg (x)الوظيفة - الظل من x tgh (x)الوظيفة - الظل الزائدي لـ x cbrt (x)الوظيفة هي الجذر التكعيبي لـ x

يمكنك استخدام العمليات التالية في التعبيرات: الأعداد الحقيقيةأدخل في النموذج 7.5 ، ليس 7,5 2 * س- عمليه الضرب 3 / س- قطاع س ^ 3- الأس س +7- إضافة × - 6- الطرح
ميزات أخرى: الطابق (x)الوظيفة - التقريب xأسفل (نموذج الكلمة (4.5) == 4.0) سقف (x)الوظيفة - التقريب xأعلى (مثال السقف (4.5) == 5.0) علامة (x)الوظيفة - تسجيل x erf (x)دالة الخطأ (أو احتمال متكامل) لابلاس (x)وظيفة لابلاس

حساب مساحة الشكلربما تكون هذه واحدة من أصعب المشاكل في نظرية المنطقة. في الهندسة المدرسية ، يتم تعليمهم كيفية العثور على مناطق الأشكال الهندسية الأساسية مثل ، على سبيل المثال ، مثلث ، معين ، مستطيل ، شبه منحرف ، دائرة ، إلخ. ومع ذلك ، غالبًا ما يتعين على المرء التعامل مع حساب مناطق الأرقام الأكثر تعقيدًا. من السهل جدًا استخدام حساب التفاضل والتكامل في حل مثل هذه المشكلات.

تعريف.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى بعض الشكل G ، يحده الخطوط y \ u003d f (x) ، y \ u003d 0 ، x \ u003d a و x \ u003d b ، والوظيفة f (x) مستمرة في المقطع [a ؛ ب] ولا يغير علامته عليه (رسم بياني 1).يمكن الإشارة إلى منطقة شبه منحرف منحني الخطوط بواسطة S (G).

التكامل المحدد ʃ a b f (x) dx للدالة f (x) ، المستمر وغير السالب في المقطع [a ؛ ب] ، وهي مساحة شبه منحنية منحنية الأضلاع المقابلة.

أي للعثور على مساحة الشكل G ، التي تحدها الخطوط y \ u003d f (x) ، y \ u003d 0 ، x \ u003d a و x \ u003d b ، من الضروري حساب التكامل المحدد ʃ أ ب و (س) دكس.

في هذا الطريق، S (G) = ʃ أ ب و (س) دكس.

إذا كانت الدالة y = f (x) غير موجبة على [a ؛ ب] ، إذن يمكن إيجاد مساحة شبه المنحني المنحني الخطوط بواسطة الصيغة S (G) =-أ ب و (س) دكس.

مثال 1

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y \ u003d x 3 ؛ ص = 1 ؛ س = 2.

المحلول.

تشكل الخطوط المعطاة الشكل ABC ، ​​والذي يظهر من خلال التظليل أرز. 2.

المنطقة المرغوبة تساوي الفرق بين مناطق DACE المنحنية المنحنية ومربع DABE.

باستخدام الصيغة S = ʃ a b f (x) dx = S (b) - S (a) ، نجد حدود التكامل. للقيام بذلك ، نحل نظامًا من معادلتين:

(ص \ u003d × 3 ،
(ص = 1.

وبالتالي ، لدينا x 1 \ u003d 1 - الحد الأدنى و x \ u003d 2 - الحد الأعلى.

لذا ، S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2-1 \ u003d (16-1) / 4-1 \ u003d 11/4 (وحدات مربعة).

الجواب: 11/4 متر مربع. الوحدات

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط y \ u003d √x ؛ ص = 2 ؛ س = 9.

المحلول.

تشكل الخطوط المعطاة الشكل ABC ، ​​الذي يحده من أعلى الرسم البياني للدالة

y \ u003d √x ، ومن أسفل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 2. يظهر الشكل الناتج عن طريق التظليل أرز. 3.

المنطقة المرغوبة تساوي S = ʃ a b (√x - 2). لنجد حدود التكامل: ب = 9 ، لإيجاد a ، نحل نظام المعادلتين:

(ص = √x ،
(ص = 2.

وبالتالي ، فإن x = 4 = a هي الحد الأدنى.

إذن ، S = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx – 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 \ u003d (18-16/3) - (18-8) \ u003d 2 2/3 (وحدات مربعة).

الجواب: S = 2 2/3 sq. الوحدات

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y \ u003d x 3 - 4x ؛ ص = 0 ؛ س ≥ 0.

المحلول.

دعنا نرسم الدالة y \ u003d x 3 - 4x لـ x ≥ 0. للقيام بذلك ، نجد المشتق y ':

y ’= 3x 2-4 ، y’ = 0 عند х = ± 2 / √3 ≈ 1.1 هي نقاط حرجة.

إذا رسمنا النقاط الحرجة على المحور الحقيقي ووضعنا إشارات المشتق ، فسنحصل على أن الدالة تقل من صفر إلى 2/3 وتزيد من 2 / √3 إلى زائد اللانهاية. ثم x = 2 / √3 هي النقطة الدنيا ، والحد الأدنى لقيمة الدالة y هي min = -16 / (3√3) ≈ -3.

لنحدد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات:

إذا كانت x \ u003d 0 ، فإن y \ u003d 0 ، مما يعني أن A (0 ؛ 0) هي نقطة التقاطع مع محور Oy ؛

إذا كانت y \ u003d 0 ، ثم x 3 - 4x \ u003d 0 أو x (x 2-4) \ u003d 0 ، أو x (x - 2) (x + 2) \ u003d 0 ، من حيث x 1 \ u003d 0 ، × 2 \ u003d 2 ، × 3 \ u003d -2 (غير مناسب ، لأن x ≥ 0).

النقاط A (0 ؛ 0) و B (2 ؛ 0) هي نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور Ox.

تشكل الخطوط المعطاة شكل OAB ، والذي يظهر من خلال التظليل أرز. أربعة.

نظرًا لأن الوظيفة y \ u003d x 3 - 4x تأخذ (0 ؛ 2) قيمة سالبة ، إذن

S = | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

لدينا: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \ u003d -4 ، من حيث S = 4 متر مربع. الوحدات

الجواب: S = 4 متر مربع. الوحدات

مثال 4

أوجد مساحة الشكل الذي يحده القطع المكافئ y \ u003d 2x 2 - 2x + 1 ، والخطوط المستقيمة x \ u003d 0 ، y \ u003d 0 والماس لهذا القطع المكافئ عند النقطة مع الحد الفاصل x 0 \ u003d 2.

المحلول.

أولاً ، نقوم بتكوين معادلة الظل للقطع المكافئ y \ u003d 2x 2 - 2x + 1 عند النقطة مع الإحداثي x₀ \ u003d 2.

بما أن المشتق y '= 4x - 2 ، إذن بالنسبة إلى x 0 = 2 نحصل على k = y' (2) = 6.

أوجد إحداثيات نقطة اللمس: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5.

لذلك ، فإن معادلة الظل لها الشكل: y - 5 \ u003d 6 (x - 2) أو y \ u003d 6x - 7.

لنقم ببناء شكل محدد بخطوط:

ص \ u003d 2x 2 - 2x + 1 ، y \ u003d 0 ، x \ u003d 0 ، y \ u003d 6x - 7.

Г ص \ u003d 2x 2 - 2x + 1 - قطع مكافئ. نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: أ (0 ؛ 1) - مع محور أوي ؛ مع محور الثور - لا توجد نقاط تقاطع لأن المعادلة 2 س 2 - 2 س + 1 = 0 ليس لها حلول (د< 0). Найдем вершину параболы:

س ب \ u003d 2/4 \ u003d 1/2 ؛

y b \ u003d 1/2 ، أي رأس النقطة المكافئة B لها إحداثيات B (1/2 ؛ 1/2).

لذلك ، يتم عرض الشكل الذي سيتم تحديد مساحته من خلال الفقس أرز. 5.

لدينا: S O A B D \ u003d S OABC - S ADBC.

أوجد إحداثيات النقطة د من الحالة:

6 س - 7 = 0 ، أي x \ u003d 7/6 ، ثم DC \ u003d 2-7/6 \ u003d 5/6.

نحسب مساحة المثلث DBC باستخدام الصيغة S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. في هذا الطريق،

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 قدم مربع. الوحدات

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \ u003d 10/3 (وحدات مربعة).

أخيرًا نحصل على: S O A B D \ u003d S OABC - S ADBC ​​\ u003d 10/3 - 25/12 \ u003d 5/4 \ u003d 1 1/4 (وحدات مربعة).

الجواب: S = 1 1/4 متر مربع. الوحدات

لقد راجعنا الأمثلة إيجاد مناطق الأشكال المحددة بخطوط معينة. لحل مثل هذه المشكلات بنجاح ، يجب أن تكون قادرًا على بناء خطوط ورسوم بيانية للوظائف على مستوى ، والعثور على نقاط تقاطع الخطوط ، وتطبيق صيغة للعثور على المنطقة ، مما يعني القدرة والمهارات اللازمة لحساب تكاملات معينة.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

أ)

المحلول.

أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم.

لنرسم رسمًا:

المعادلة ص = 0 يحدد المحور السيني ؛

- س = -2 و س = 1 - مستقيم موازي للمحور OU ؛

- ص \ u003d × 2 +2 - قطع مكافئ تتجه فروعه لأعلى ، مع رأس عند النقطة (0 ؛ 2).

تعليق.لإنشاء القطع المكافئ ، يكفي العثور على نقاط تقاطعها مع محاور الإحداثيات ، أي وضع س = 0 ابحث عن التقاطع مع المحور OU وحل المعادلة التربيعية المقابلة ، أوجد التقاطع مع المحور أوه .

يمكن إيجاد رأس القطع المكافئ باستخدام الصيغ:

يمكنك رسم خطوط ونقطة بنقطة.

في الفترة [-2 ؛ 1] الرسم البياني للوظيفة ص = س 2 +2 تقع على المحور ثور ، لهذا:

إجابه: س = 9 وحدات مربعة

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور أوه؟

ب)احسب مساحة شكل محدد بخطوط y = -e x , س = 1 وتنسيق المحاور.

المحلول.

لنقم برسم.

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تماما تحت المحور أوه , ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:

إجابه: S = (ه -1) وحدة مربعة "1.72 وحدة مربعة

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو سبب ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، يقع الشكل غالبًا في كل من الطائرات النصفية العلوية والسفلية.

مع)أوجد مساحة الشكل المستوي المحدد بخطوط ص \ u003d 2x-x 2 ، ص \ u003d -x.

المحلول.

تحتاج أولاً إلى عمل رسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط ، ويمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية.

نحل المعادلة:

إذن ، الحد الأدنى للتكامل أ = 0 ، الحد الأعلى للتكامل ب = 3 .

نبني الخطوط المعطاة: 1. القطع المكافئ - قمة الرأس عند النقطة (1 ؛ 1) ؛ تقاطع المحور أوه -النقاط (0 ؛ 0) و (0 ؛ 2). 2. الخط المستقيم - منصف زاويتى الإحداثيات الثانية والرابعة. والانتباه! إذا كان على المقطع [ أ ؛ ب] بعض الوظائف المستمرة و (خ)أكبر من أو يساوي بعض الوظائف المستمرة ز (س)، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:. ولا يهم مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، ولكن من المهم تحديد الرسم البياني الأعلى (بالنسبة إلى مخطط آخر) وأيهما أقل. في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

من الممكن بناء خطوط نقطة بنقطة ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية).

يتم تحديد الشكل المطلوب بواسطة قطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.

في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه: س \ u003d 4.5 وحدات مربعة

احسب مساحة شكل محدد بخطوط.

المحلول.

نجد نقاط تقاطع الخطوط الآتية. للقيام بذلك ، نحل نظام المعادلات:

لإيجاد حدود نقاط تقاطع الخطوط المعينة ، نحل المعادلة:

نجد: x 1 = -2, x 2 = 4.

إذن ، هذه الخطوط ، التي هي قطع مكافئ وخط مستقيم ، تتقاطع عند نقاط أ(-2; 0), ب(4; 6).

تشكل هذه الخطوط شكلاً مغلقًا ، مساحة التي يتم حسابها باستخدام الصيغة أعلاه:

وفقًا لصيغة Newton-Leibniz ، نجد:

أوجد مساحة المنطقة التي يحدها القطع الناقص.

المحلول.

من معادلة القطع الناقص للربع الأول لدينا. من هنا ، وفقًا للصيغة ، نحصل عليها

لنطبق التعويض x = أالخطيئة ر, DX = أكوس ر د. حدود جديدة للتكامل ر = α و ر = β من المعادلات 0 = أالخطيئة ر, أ = أالخطيئة ر. يمكن وضعها α = 0 و β = π /2.

نجد ربع المساحة المطلوبة

من هنا س = باب.

أوجد مساحة شكل محدد بخطوطذ = - x 2 + x + 4 وذ = - x + 1.

المحلول.

أوجد نقاط تقاطع الخطوط ذ = -x 2 + x + 4, ذ = -x+ 1 ، معادلة إحداثيات الخطوط: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 أو x 2 - 2x- 3 = 0. أوجد الجذور x 1 = -1, x 2 = 3 والإحداثيات المقابلة لها ذ 1 = 2, ذ 2 = -2.

باستخدام صيغة مساحة الشكل ، نحصل على

أوجد المنطقة المحاطة بالقطع المكافئذ = x 2 + 1 ومباشرx + ذ = 3.

المحلول.

حل جملة المعادلات

أوجد حدود نقاط التقاطع x 1 = -2 و x 2 = 1.

بافتراض ذ 2 = 3 - xو ذ 1 = x 2 + 1 ، بناءً على الصيغة التي نحصل عليها

احسب المساحة الموجودة في Bernoulli lemniscateص 2 = أ 2 كوس 2 φ .

المحلول.

في نظام الإحداثيات القطبية ، منطقة الشكل يحدها قوس المنحنى ص = F(φ ) واثنين من نصف القطر القطبي φ 1 = ʅ و φ 2 = ʆ ، يتم التعبير عنها بالتكامل

نظرًا لتماثل المنحنى ، نحدد أولاً ربع المساحة المرغوبة

لذلك ، فإن المساحة الإجمالية س = أ 2 .

احسب طول قوس أسترويدx 2/3 + ذ 2/3 = أ 2/3 .

المحلول.

نكتب معادلة أسترويد بالشكل

(x 1/3) 2 + (ذ 1/3) 2 = (أ 1/3) 2 .

هيا نضع x 1/3 = أ 1/3 كوس ر, ذ 1/3 = أ 1/3 الخطيئة ر.

من هنا نحصل على المعادلات البارامترية للالسترويد

x = أكوس 3 ر, ذ = أالخطيئة 3 ر, (*)

حيث 0 ≤ ر ≤ 2π .

بالنظر إلى تناظر المنحنى (*) ، يكفي إيجاد ربع طول القوس إلالمقابلة لتغيير المعلمة رمن 0 إلى π /2.

نحن نحصل

DX = -3أكوس 2 رالخطيئة ر دت, دى = 3أالخطيئة 2 ركوس ر دت.

من هنا نجد

دمج التعبير الناتج في النطاق من 0 إلى π / 2 ، نحصل عليه

من هنا إل = 6أ.

أوجد المنطقة التي يحدها لولب أرخميدسص = أφ ومتجهان نصف قطر يتوافقان مع الزوايا القطبيةφ 1 وφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

المحلول.

منطقة يحدها منحنى ص = F(φ ) بواسطة الصيغة ، أين α و β - حدود تغير الزاوية القطبية.

وهكذا نحصل

(*)

من (*) يترتب على ذلك أن المنطقة التي يحدها المحور القطبي وأول منعطف لدوامة أرخميدس ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

وبالمثل ، نجد المنطقة التي يحدها المحور القطبي والدوران الثاني لولبية أرخميدس ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

المساحة المطلوبة تساوي الفرق بين هذه المناطق

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محورثور الشكل يحده قطع مكافئذ = x 2 وx = ذ 2 .

المحلول.

لنحل نظام المعادلات

واحصل على x 1 = 0, x 2 = 1, ذ 1 = 0, ذ 2 = 1 ومن أين تقاطع المنحنيات ا(0; 0), ب(أحد عشر). كما يتضح من الشكل ، فإن الحجم المطلوب لجسم الثورة يساوي الفرق بين المجلدين المتكونين بالدوران حول المحور ثورمنحنيات منحنية OCBAو ODBA:

احسب المنطقة التي يحدها المحورثور والجيوب الأنفيةذ = الخطيئةx على الأجزاء: أ) ؛ ب) .

المحلول.

أ) في المقطع ، دالة الخطيئة xيحافظ على العلامة ، وبالتالي بالصيغة ، على افتراض ذ= الخطيئة x، نجد

ب) على المقطع ، وظيفة الخطيئة xعلامة التغييرات. من أجل الحل الصحيح للمشكلة ، من الضروري تقسيم المقطع إلى قسمين و [ π , 2π ] ، وفي كل منها تحتفظ الوظيفة بعلامتها.

وفق قاعدة اللافتات ، على المقطع [ π , 2π ] منطقة مأخوذة بعلامة ناقص.

نتيجة لذلك ، فإن المنطقة المرغوبة تساوي

أوجد حجم الجسم المحدود بالسطح الناتج عن دوران القطع الناقصحول المحور الرئيسيأ .

المحلول.

بالنظر إلى أن القطع الناقص متماثل حول محاور الإحداثيات ، يكفي إيجاد الحجم الناتج عن الدوران حول المحور ثورمنطقة OAB، تساوي ربع مساحة القطع الناقص ، وتضاعف النتيجة.

دعونا نشير إلى حجم جسد الثورة من خلاله الخامس x؛ ثم ، بناءً على الصيغة ، لدينا ، حيث 0 و أ- حدود النقاط بو أ. من معادلة القطع الناقص نجد. من هنا

وبالتالي ، فإن الحجم المطلوب يساوي. (عندما يدور القطع الناقص حول المحور الثانوي ب، حجم الجسم)

أوجد المنطقة التي يحدها القطع المكافئذ 2 = 2 مقصف وx 2 = 2 السنة التحضيرية .

المحلول.

أولًا ، نجد إحداثيات نقاط تقاطع القطوع المكافئة من أجل تحديد فترة التكامل. تحويل المعادلات الأصلية ، نحصل على و. معادلة هذه القيم ، نحصل على أو x 4 - 8ص 3 x = 0.

x 4 - 8ص 3 x = x(x 3 - 8ص 3) = x(x - 2ص)(x 2 + 2مقصف + 4ص 2) = 0.

نجد جذور المعادلات:

معتبرا حقيقة أن النقطة أتقاطع القطع المكافئة في الربع الأول ، ثم حدود التكامل x= 0 و x = 2ص.

تم العثور على المنطقة المرغوبة بواسطة الصيغة