Funksiyalarning matematik tahlili. Matematik tahlil. Boshqa lug'atlarda "matematik tahlil" nima ekanligini ko'ring
Yu.V.Obrubov tomonidan tuzilgan
Kaluga - 2012 yil
Matematik tahlilga kirish.
Haqiqiy raqamlar. O'zgaruvchilar va konstantalar.
Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri raqam.
Sanoqda olinadigan musbat sonlar 1,2,3, ... deyiladi tabiiy.
... -3,-2,-1,0,1,2,3,... sonlar butun sonlar deyiladi. Ikki butun sonning chekli nisbati sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan raqamlar ( 
) deyiladi oqilona.
Bularga butun va kasrlar, musbat va manfiy sonlar kiradi. Cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar bilan ifodalangan raqamlar deyiladi mantiqsiz.
Irratsional sonlarga misollar 
,
. Irratsional sonlar to'plamida mavjud transsendental
raqamlar. Bu algebraik bo'lmagan amallarning natijasi bo'lgan raqamlardir. Ulardan eng mashhuri bu raqam 
va Neperovo raqami 
. Ratsional va irratsional sonlar deyiladi yaroqli
. Haqiqiy sonlar sonlar qatoridagi nuqtalar bilan ifodalanadi. Son chizig'idagi har bir nuqta bitta haqiqiy songa to'g'ri keladi va aksincha, har bir haqiqiy son son chizig'idagi bitta nuqtaga to'g'ri keladi. Shunday qilib, haqiqiy sonlar va sonlar chizig'idagi nuqtalar o'rtasida birma-bir moslik o'rnatiladi. Bu "a raqami" va "a nuqta" atamalarini teng ravishda ishlatish imkonini beradi.
Turli xil jismoniy, iqtisodiy va ijtimoiy jarayonlarni o'rganish jarayonida ko'pincha o'rganilayotgan hodisalar parametrlarining raqamli qiymatlarini ifodalovchi miqdorlar bilan shug'ullanish kerak. Shu bilan birga, ularning ba'zilari o'zgaradi, boshqalari esa o'z qadriyatlarini saqlab qoladi.
O'zgaruvchan
turli sonli qiymatlarni qabul qiluvchi kattalikdir. Berilgan masala yoki tajribada son qiymati o‘zgarmaydigan miqdor deyiladi doimiy.
O'zgaruvchan miqdorlar odatda lotin harflari bilan belgilanadi 
va konstantalar 
.
O'zgaruvchan qiymat 
qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami ma'lum bo'lsa, berilgan hisoblanadi. Bu to'plam o'zgaruvchining o'zgarish diapazoni deb ataladi.
Raqamli o'zgaruvchining qiymatlari to'plamining har xil turlari mavjud.
Interval
a va b raqamlari orasidagi x qiymatlari to'plami, a va b raqamlar esa ko'rib chiqilayotgan to'plamga tegishli emas. Interval quyidagicha belgilanadi: (a,b);a Segment bo'yicha
a va b raqamlari orasidagi x qiymatlari to'plami, a va b raqamlar esa ko'rib chiqilayotgan to'plamga tegishli. Segment ,a≤x≤b bilan belgilanadi. Barcha haqiqiy sonlar to'plami ochiq intervaldir. Belgilangan: (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R. X nuqtaning qo'shnisi
0
x 0 nuqtasini o'z ichiga olgan ixtiyoriy interval (a,b) bo'lib, bu intervalning barcha nuqtalari tengsizlikni qanoatlantiradi. ε
- a nuqtaning qo'shnisi
a-e tengsizlikni qanoatlantiradigan a nuqtada markazi bo'lgan interval Funksiya matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. X va Y haqiqiy sonlarning ixtiyoriy to'plami bo'lsin. Agar har bir x X soni, qandaydir qoida yoki qonunga ko‘ra, bitta aniq aniqlangan yY haqiqiy son bilan bog‘langan bo‘lsa, ular berilgan deyishadi. funktsiyasi
X ning aniqlanish sohasi va Y qiymatlari to'plami bilan. y = f (x) bilan belgilanadi. x o'zgaruvchisi deyiladi dalil
funktsiyalari. Funktsiyani aniqlashda ikkita nuqta muhim ahamiyatga ega: ta'rif sohasini ko'rsatish va muvofiqlik qonunini o'rnatish. Ta'rif sohasi
yoki mavjudlik maydoni
Funktsiya - bu funktsiya mavjud bo'lgan argument qiymatlari to'plami, ya'ni mantiqiy. Hududni o'zgartirish
Funktsiya bu x ning qabul qilinadigan qiymatlari berilgan y qiymatlari to'plamidir. Funktsiyani belgilash usullari.
Funksiyani belgilashning analitik usuli. Funktsiyani ko'rsatishning bu usuli bilan muvofiqlik qonuni formula (analitik ifoda) ko'rinishida yoziladi, u qanday matematik o'zgarishlar orqali y ning mos keladigan qiymatini x argumentining ma'lum qiymatidan topish mumkinligini ko'rsatadi. Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab bitta analitik ifoda bilan belgilanishi yoki bir nechta analitik ifodalar to'plamini ifodalashi mumkin. Masalan: y = sin (x 2 + 1) 2. Funksiyani belgilashning jadval usuli Har qanday hodisa yoki jarayonni bevosita kuzatish yoki eksperimental o'rganish natijasida x argumentining qiymatlari va y ning tegishli qiymatlari ma'lum bir tartibda yoziladi. Bu jadval x ning y funksiyasini aniqlaydi. Funktsiyani belgilashning jadval usuliga misol sifatida trigonometrik funktsiyalar jadvallari, logarifmlar jadvallari, sanalar va valyuta kurslari, havo harorati va namligi va boshqalar bo'lishi mumkin. 3. Funksiyani belgilashning grafik usuli. Funksiyani belgilashning grafik usuli texnik qurilmalar yordamida koordinata tekisligidagi nuqtalarni (x, y) tasvirlashdan iborat. Matematik tahlilda funktsiyani ko'rsatishning grafik usuli qo'llanilmaydi, lekin har doim analitik aniqlangan funktsiyalarni grafik tasvirlashdan foydalaniladi. Hamma narsa iloji boricha sodda bo'lishi kerak, lekin oddiyroq emas. Bizning sayohatimiz Jon Doe deb ataydigan xayoliy qahramon bilan uchrashishdan boshlanadi. U dunyoning istalgan shahrida osongina topilishi mumkin bo'lgan o'rtacha ishchi. Deyarli har kuni Jon budilnikning baland ovozidan uyg'onadi va mashinasida ishga boradi. U liftda ofisiga boradi, u yerda kompyuterni yuklaydi va foydalanuvchi nomi va parolini kiritadi. Jon bularning barchasini ularning qanday ishlashini zarracha ham bilmasdan qiladi. Ehtimol, u har kuni foydalanadigan qurilmalar va asboblar qanday ishlashi va ishlashini o'rganishga qiziqadi, ammo buni amalga oshirish uchun uning vaqti ham, kuchi ham yo'q. U avtomobillar, liftlar, kompyuterlar va budilniklarni bir-biri bilan hech qanday umumiylikga ega bo'lmagan butunlay boshqacha va murakkab mexanizmlar deb hisoblaydi. Jonning so'zlariga ko'ra, ularning har biri qanday ishlashini tushunish uchun yillar davomida o'rganish kerak. Ba'zi odamlar narsalarni bizning Jon Doega qaraganda bir oz boshqacha ko'rishadi. Ular lift qurilmalaridagi elektr motorlar avtomobil alternatorlariga juda o'xshashligini bilishadi. Ular liftni harakatga keltiradigan elektr motorini boshqaradigan dasturlashtiriladigan mantiqiy boshqaruvchi Jon Doning ishchi kompyuteriga juda o‘xshashligini bilishadi. Ular bilishadiki, fundamental darajada dasturlashtiriladigan mantiqiy kontrollerlar, budilniklar va kompyuterlarning ishlash printsipi nisbatan oddiy tranzistor nazariyasiga asoslanadi. Jon Dou va oddiy odam aql bovar qilmaydigan darajada murakkab deb hisoblagan narsa xaker uchun oddiy mexanik va elektr printsiplaridan eng keng tarqalgan foydalanishdir. Muammo shundaki, bu tamoyillar qanday qo'llaniladi. Murakkab g'oyalardan asosiy tamoyillarni ajratib olish, ularni Albert Eynshteynning yuqorida keltirilgan maslahatlarini hurmat qiladigan tarzda tushunish va soddalashtirish imkonini beradi. Ko'pchiligimiz hisoblashni qiyin deb hisoblaymiz. (Jon Do turli mexanizmlarning dizayni va ishlashining bir xil printsipini ko'rib chiqadi.) Siz murakkab, chalkash narsalarni ko'rasiz. Ularni tushunish uchun sizga ko'p vaqt va kuch kerak bo'ladi. Ammo, agar biz sizga matematik tahlil (hisoblash) birinchi qarashda ko'rinadigan darajada murakkab emasligini va ko'pchilik mexanizmlar emasligini aytsak-chi? Har bir inson tushunishi kerak bo'lgan bir nechta asosiy tamoyillar borligini va buni amalga oshirganingizdan so'ng, siz dunyo va uning qanday ishlashi haqida yangi nuqtai nazarga ega bo'lasizmi? Oddiy hisob-kitob darsligi taxminan ming sahifani o'z ichiga oladi. Oddiy Jon Dou unda tushunish va o'rganish qiyin bo'lgan minglab narsalarni ko'radi, xaker esa ikkita asosiy tamoyilni (hosil va integral) va bu tamoyillarning 998 ta misolini ko'radi. Biz birgalikda bu tamoyillar nima ekanligini aniqlashga harakat qilamiz. Ostindagi Texas universiteti professori Maykl Starbird tomonidan bajarilgan ishlarga asoslanib, biz hamma tushuna oladigan kundalik misollardan foydalanamiz. Matematik tahlil bizning dunyomizning o'ziga xos go'zalligini ochib beradi - uni statik emas, balki dinamik ravishda kuzatish imkoniga ega bo'lganingizda paydo bo'ladigan go'zallik. Umid qilamizki, hammasi siz uchun ishlaydi. Boshlashdan oldin, men matematik tahlilning paydo bo'lish tarixini qisqacha ko'rib chiqmoqchiman, uning ildizlari o'zgarish va harakatni juda ehtiyotkorlik bilan tahlil qilishda yotadi. Zenon paradoksi Eleyalik Zenon miloddan avvalgi IV asrda yashagan faylasuf edi. U bir nechta nozik, ammo chuqur paradokslarni ilgari surdi, ulardan ikkitasi oxir-oqibat hisob-kitoblarning tug'ilishiga olib keldi. Zenon paradokslarini hal qilish uchun insoniyatga ikki ming yildan ko'proq vaqt kerak bo'ldi. Siz tasavvur qilganingizdek, bu oson emas edi. Qiyinchiliklar asosan cheksizlik g'oyasi bilan bog'liq edi. Matematik nuqtai nazardan cheksizlik muammosi nima? 17-asrda Isaak Nyuton va Gotfrid Leybnits Zenon paradokslarini yechishga va matematik analiz yaratishga muvaffaq boʻldilar. Keling, nega ular haqida shunchalik shov-shuv bo'lganini tushunish uchun ushbu paradokslarni batafsil ko'rib chiqaylik. Ok Havoda uchayotgan o'qni tasavvur qiling. O'q harakatda ekanligini katta ishonch bilan aytishimiz mumkin. Keling, ma'lum bir vaqtning o'zida o'qni ko'rib chiqaylik. U endi qimirlamaydi, lekin dam olish holatida qoladi. Lekin biz aniq bilamizki, o'q harakatda, keyin u qanday qilib tinchlansin?! Bu paradoksning mohiyati. Bu ahmoqona tuyulishi mumkin, lekin aslida bu matematik nuqtai nazardan ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan juda murakkab tushunchadir. Keyinchalik biz bir lahzali o'zgarish tezligi tushunchasi bilan shug'ullanayotganimizni bilib olamiz, biz uni matematik tahlilning ikkita printsipidan biri (hisoblash) - lotin g'oyasi bilan bog'laymiz. Bu bizga ma'lum bir vaqtda o'q tezligini hisoblash imkonini beradi - bu insoniyat ikki ming yildan ortiq vaqt davomida qila olmagan. Dixotomiya Keling, yana o'sha o'qni ko'rib chiqaylik. Bu safar u biz tomonda uchayotganini tasavvur qilaylik. Zenon biz harakat qilmasligimiz kerak, chunki o'q bizga hech qachon tegmasligini aytdi. Tasavvur qiling-a, o'q havoda bo'lganda, u kamon va nishon orasidagi masofaning yarmini bosib o'tishi kerak. U ma'lum bir yarim nuqtaga yetganida, u yana yarim masofani bosib o'tishi kerak bo'ladi - bu safar bu nuqta va maqsad o'rtasidagi. Tasavvur qiling, agar biz buni davom ettirsak. Shunday qilib, o'q doimiy ravishda mos yozuvlar nuqtasi va nishon orasidagi masofaning yarmini qamrab oladi. Buni hisobga olsak, o'q bizga hech qachon tegmaydi, degan xulosaga kelishimiz mumkin! Haqiqiy hayotda o'q oxir-oqibat o'z maqsadiga etib boradi, bu bizni paradoksning ma'nosini taxmin qilishda qoldiradi. Birinchi paradoksda bo'lgani kabi, bu masalani matematik tahlil tamoyillaridan biri - integral yordamida qanday hal qilishni keyinroq ko'rib chiqamiz. Integral cheksizlik tushunchasini matematik funktsiya sifatida ko'rishga imkon beradi. Olimlar va muhandislarning fikriga ko'ra, bu juda kuchli vosita. Matematik tahlilning ikkita asosiy tamoyili Matematik analizning ikkita asosiy tamoyilining mohiyatini Zenon paradokslarini yechishda qo‘llash orqali ko‘rsatish mumkin. Hosil. Losin - bu Arrow paradoksida o'q tezligini hisoblash imkonini beradigan usul. Biz buni ketma-ket kamayib boruvchi vaqt oralig'ida o'qning holatini tahlil qilish orqali qilamiz. O'lchovlar orasidagi vaqt cheksiz kichik bo'lganda, o'qning aniq tezligi ma'lum bo'ladi. Integral. Integral - bu Dichotomy paradoksida o'qning o'rnini hisoblash imkonini beradigan usul. Biz buni o'q tezligini ketma-ket kamayib borayotgan vaqt oralig'ida tahlil qilish orqali qilamiz. O'lchovlar orasidagi vaqt cheksiz kichik bo'lganda, o'qning aniq pozitsiyasi bizga ma'lum bo'ladi. Hosil va integral o'rtasidagi o'xshashliklarni ko'rish oson. Ikkala miqdor ham asta-sekin kamayib borayotgan vaqt oraliqlarida bomning holati yoki tezligini tahlil qilish orqali hisoblanadi. Keyinchalik biz integral va lotin bir xil keramik kondansatörning ikki tomoni ekanligini bilib olamiz. Nega biz hisob asoslarini o'rganishimiz kerak? Biz hammamiz Ohm qonunini bilamiz, u oqim, kuchlanish va qarshilikni bitta oddiy tenglamaga bog'laydi. Keling, kondansatör misolida Ohm qonunini ko'rib chiqaylik. Kondensator oqimi kuchlanish va vaqtga bog'liq. Bu holda vaqt juda muhim o'zgaruvchidir va har qanday dinamik hodisada hisobga olinishi kerak. Matematik tahlil bizga narsalarning vaqt o'tishi bilan qanday o'zgarishini tushunish va baholash imkonini beradi. Kondensator bo'lsa, oqim sekundiga voltga ko'paytirilgan sig'imga teng yoki i = C (dv / dt), bu erda: i - oqim kuchi (lahzali); Ushbu sxemada kondansatkichda elektr toki yo'q. Voltmetr batareya kuchlanishini ko'rsatadi, ammo ampermetr hech narsani ko'rsatmaydi. Potansiyometr o'zgarmas ekan, kuchlanish o'zgarmaydi. Bunday holda, i = C (0/dt) = 0 amper. Ammo potansiyometrni sozlashni boshlasak nima bo'ladi? Tenglamaga ko'ra, hosil bo'lgan oqim kondansatkichda paydo bo'ladi. Ushbu oqim kuchlanishning o'zgarishiga bog'liq bo'ladi, bu potansiyometrning qanchalik tez harakatlanishi bilan bog'liq. Ushbu grafiklar kondansatkichdagi kuchlanish, oqim va potansiyometrni aylantiradigan tezlik o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadi. Biz buni birinchi navbatda sekin qilamiz. Tezlikning oshishi kuchlanishning o'zgarishiga olib keladi, bu esa o'z navbatida oqimning keskin o'sishiga olib keladi. Barcha bosqichlarda kondansatördagi oqim undagi kuchlanishning o'zgarish tezligiga mutanosibdir. Matematik tahlil yoki aniqrog'i, lotin, bizga ma'lum bir vaqtning o'zida kondansatkichdagi oqim qiymatini aniq bilishimiz uchun o'zgarish tezligini aniqlashga imkon beradi. Xuddi shunday, biz Zenon o'qining bir lahzalik tezligini hisoblashimiz mumkin. Bu sizning arsenalingizda bo'lishi kerak bo'lgan ajoyib kuchli vositadir. Material sayt uchun maxsus tayyorlangan - hackaday.com maqolasi asosida P.S. Mening ismim Aleksandr. Bu mening shaxsiy, mustaqil loyiham. Maqola sizga yoqqan bo'lsa juda xursandman. Saytga yordam berishni xohlaysizmi? Yaqinda qidirayotgan narsangiz uchun quyidagi reklamaga qarang. Mualliflik huquqi sayti © - Ushbu yangilik saytga tegishli bo'lib, blogning intellektual mulki hisoblanadi, mualliflik huquqi to'g'risidagi qonun bilan himoyalangan va manbaga faol havolasiz istalgan joyda foydalanish mumkin emas. Batafsil o'qing - "Mualliflik haqida" Bu siz qidirgan narsami? Ehtimol, bu siz uzoq vaqt davomida topa olmagan narsadir? MATEMATIK TAHLIL matematikaning bir qismi, unda funktsiyalari va ularning umumlashmalari metod orqali o‘rganiladi chegaralar. Chegara tushunchasi cheksiz kichik miqdor tushunchasi bilan chambarchas bog‘liq, shuning uchun ham M. a. funksiyalar va ularni umumlashtirishni cheksiz kichik metod yordamida o‘rganadi. "M. a" nomi. - matematikaning ushbu qismining eski nomining qisqartirilgan modifikatsiyasi - "Cheksiz kichiklar tahlili"; ikkinchisi mazmunni to'liqroq ochib beradi, lekin u ham qisqartiriladi ("Cheksiz kichiklar yordamida tahlil" sarlavhasi mavzuni yanada aniqroq tavsiflaydi). Klassik M.da. o'rganish (tahlil) ob'ektlari birinchi navbatda funktsiyalardir. "Birinchidan" chunki M. a.ning rivojlanishi. dan ko'ra murakkabroq shakllanishlarni o'z usullari bilan o'rganish imkoniyatiga olib keldi - funktsional, operator va boshqalar. Tabiatda va texnologiyada harakatlar va jarayonlar hamma joyda uchraydi, ular funktsiyalar bilan tavsiflanadi; tabiat hodisalarining qonuniyatlari ham odatda funksiyalar orqali tasvirlanadi. M. a.ning obyektiv ahamiyati shundan kelib chiqadi. funktsiyalarni o'rganish vositasi sifatida. M. a. atamaning keng ma'nosida matematikaning juda katta qismini qamrab oladi. O'z ichiga oladi differensial, integral hisob, kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi, nazariya oddiy differensial tenglamalar, nazariya qisman differentsial tenglamalar, nazariya integral tenglamalar, variatsiyalar hisobi, funktsional tahlil va boshqa matematik fanlar. Zamonaviy raqamlar nazariyasi Va ehtimollik nazariyasi MA usullarini qo'llash va ishlab chiqish. Shunga qaramay, M. a. ko'pincha faqat nazariyani birlashtirgan matematik tahlil asoslarini nomlash uchun ishlatiladi haqiqiy raqam chegaralar nazariyasi, nazariya qatorlar, differensial va integral hisoblar va ularning to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishi, masalan, maksimal va minimal nazariya, nazariya yashirin funksiyalar, Furye qatorlari, Furye integrallari. Funktsiya. M.da a. Lobachevskiy va Dirixlega ko‘ra funksiya ta’rifidan boshlang. Fnumberlarning ma'lum bir to'plamining har bir soni xy bo'lsa, k.-l tufayli. qonun qatoriga kiritilgan y, keyin bu funktsiyani belgilaydi bitta o'zgaruvchidan X. Funktsiya xuddi shunday aniqlanadi o'zgaruvchilardan, bu erda x=(x 1 , ..., x p) -
n o'lchovli fazodagi nuqta; funktsiyalarni ham ko'rib chiqing nuqtalardan x=(x 1 , X 2 ,
...) ma'lum bir cheksiz o'lchovli fazoning, ammo ular ko'pincha funktsional deb ataladi. Elementar funksiyalar. M.da fundamental ahamiyatga ega. o'ynash elementar funktsiyalar. Amalda, ular asosan elementar funktsiyalar bilan ishlaydi, ular murakkabroq xarakterdagi funktsiyalarni taxmin qilish uchun ishlatiladi. Elementar funksiyalarni nafaqat real, balki kompleks x uchun ham ko'rib chiqish mumkin, shunda bu funksiyalar haqidagi g'oyalar ma'lum ma'noda to'liq bo'ladi. Shu munosabat bilan M.ning muhim tarmogʻi paydo boʻlgan, deyiladi. murakkab o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi yoki nazariyasi analitik funktsiyalar. Haqiqiy raqam. Funksiya tushunchasi mohiyatan haqiqiy (ratsional va irratsional) son tushunchasiga asoslanadi. U nihoyat 19-asrning oxirida shakllangan. Xususan, raqamlar va geometrik nuqtalar o'rtasida mantiqiy jihatdan benuqson aloqa o'rnatildi. toʻgʻri chiziq, bu matematikaga toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasini kiritgan R.Dekart (R.Dekart, 17-asr oʻrtalari) gʻoyalarini rasmiy asoslashga olib keldi va ulardagi funksiyalarni grafiklar orqali tasvirlash. Cheklash. M.da a. funksiyalarni o'rganish usuli hisoblanadi. Ketma-ketlik chegarasi va funktsiya chegarasi o'rtasida farqlanadi. Bu tushunchalar nihoyat 19-asrda shakllangan, garchi qadimgi yunonlarda ular haqida tasavvurga ega boʻlsa ham. olimlar. Arximed (miloddan avvalgi 3-asr) biz chegaraga o'tish deb ataydigan jarayon yordamida parabola segmentini hisoblay olganligini aytish kifoya (qarang. Charchash usuli). Doimiy funktsiyalar. MA da o'rganiladigan muhim funktsiyalar shakllanadi uzluksiz funktsiyalar. Ushbu kontseptsiyaning mumkin bo'lgan ta'riflaridan biri: funktsiya y=f(x).bir oʻzgaruvchidan X, oraliqda berilgan ( a, b),
chaqirdi bir nuqtada uzluksiz X, Agar Funktsiya oraliqda uzluksiz ( a, b),
agar u barcha nuqtalarida uzluksiz bo'lsa; keyin bu so'zni kundalik tushunishda davomli egri chiziqdir. Hosil va . Uzluksiz funktsiyalar orasida biz mavjud funktsiyalarni ajratib ko'rsatishimiz kerak hosila. Funktsiyaning hosilasi bir nuqtada - bu nuqtadagi o'zgarish tezligi, ya'ni chegara Vaqt bo'yicha ordinat o'qi bo'ylab harakatlanadigan nuqtaning koordinatasiga ega bo'lsangiz X, u holda f" (x). nuqtaning vaqt momentidagi oniy tezligi X. f" (x) hosilasi belgisi bo'yicha .
f(x) dagi o'zgarish xarakterini baholang: agar f"(z)>0 ( f"(x) <0
).
oraliqda ( s, d), keyin funksiya / bu intervalda ortadi (kamayadi). Agar x nuqtada funktsiya mahalliy ekstremumga (maksimal yoki minimal) etib borsa va bu nuqtada hosilaga ega bo'lsa, ikkinchisi bu nuqtada nolga teng f "(x 0) = 0. Tenglik (1) ekvivalent tenglik bilan almashtirilishi mumkin bu erda cheksiz kichik, ya'ni f funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa X, keyin uning bu nuqtadagi ortishi ikki hadga ajraladi. Bulardan birinchisi dan (proportsional), ikkinchisi - nolga nisbatan tezroq intiladi Qiymat (2) chaqirildi. differensial Kichik o'sishga mos keladigan funktsiyalarni taxminan teng deb hisoblash mumkin dy: Differensial haqidagi yuqoridagi fikrlar MA uchun xosdir. Ular ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalariga va funktsionallarga taalluqlidir. Masalan, agar funktsiya o'zgaruvchilardan uzluksiz qisman hosilalari nuqtada x=(x 1 , ... , x n), keyin uning o'sishi
mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishiga mos keladigan shaklda yozilishi mumkin Qachon bu hammasi bo'lsa Bu erda (3) ning o'ng tomonidagi birinchi had differensialdir dz funktsiyalari f. Bu chiziqli bog'liq va ikkinchi atama tezroq nolga intiladi Berilsin (qarang. Variatsiyalar hisobi) x(t) funksiya sinflariga kengaytirilgan ,
segmentida uzluksiz hosilaga ega bo'lgan va chegaraviy shartlarni qondiradigan x( t 0)=x 0, x( t 1)=x l, Qayerda x 0, x 1 - ma'lumotlar raqamlari; bundan keyin h(t) funksiyaning sinfi bo‘lsin. ,
uzluksiz hosilasi bor va shundayki h( t 0)=h(t 1)=0. Shubhasiz, agar Variatsiyalarni hisoblashda L ga ma'lum sharoitlarda funktsional J(x) ning o'sishini ko'rinishda yozish mumkinligi isbotlangan. qayerda va shunday qilib, (4) ning o'ng tomonidagi ikkinchi a'zo ||h|| ga qaraganda tezroq nolga intiladi va birinchi a'zo (4) ning birinchi hadiga chiziqli bog'liq. funktsiyaning o'zgarishi va dJ() bilan belgilanadi. x, h). Integral. Hosil bilan bir qatorda matematikada fundamental ahamiyatga ega. Noaniq va aniq integrallar mavjud. Noaniq integral antiderivativ funktsiya bilan chambarchas bog'liq. F(x) funksiyasi chaqiriladi. oraliqdagi f funksiyaning anti hosilasi ( a, b), agar bu oraliqda bo'lsa F"(x) =f(x). Funktsiyaning aniq integrali (Rimann) / oralig'ida [ a, b] chegara bor Agar f funktsiya [ oraliqda musbat va uzluksiz bo'lsa a, b],
u holda uning ushbu segmentdagi integrali egri chiziq bilan chegaralangan shaklning maydoniga teng bo'ladi y=f(x), o'qi Oh va tekis x=a, x=b. Riemann integrallanuvchi funktsiyalari sinfi [ dagi barcha uzluksiz funksiyalarni o'z ichiga oladi. a, b]funksiyalar va ayrim uzluksiz funksiyalar. Ammo ularning barchasi, albatta, cheklangan. Tez o'smaydigan cheksiz funktsiyalar uchun, shuningdek, cheksiz intervallarda aniqlangan ba'zi funktsiyalar uchun, noto'g'ri integrallar, ularning ta'rifi uchun chegaraga ikki marta o'tishni talab qiladi. Bitta o‘zgaruvchining funksiyasi uchun Rieman integrali tushunchasi ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarga taalluqlidir (qarang. Ko'p integral). Boshqa tomondan, M. a.ning ehtiyojlari. integralni butunlay boshqacha yo'nalishda, ma'noda umumlashtirishga olib keldi Lebeg integrali yoki umumiyroq Lebeg-Stieljes integrali. Ushbu integrallarni aniqlashda o'lchanadigan deb ataladigan ma'lum to'plamlar uchun ularning o'lchovi tushunchasini va shu asosda o'lchanadigan funksiya tushunchasini kiritish muhim ahamiyatga ega. O'lchanadigan funksiyalar uchun Lebesg - Stieljes integrali kiritilgan. Bunday holda, turli xil o'lchovlarning keng doirasi va o'lchanadigan to'plamlar va funktsiyalarning tegishli sinflari ko'rib chiqiladi. Bu ma'lum bir muayyan muammoga u yoki bu integralni moslashtirish imkonini beradi. Nyuton-Leybnits formulasi. Hosil va integral o'rtasida Nyuton-Leybnits formulasi (teorema) bilan ifodalangan bog'lanish mavjud. Bu yerda f(x).uzluksiz [ da a, b]funksiya, a F(x) -
uning prototipi. Formula va Teylor. Matematik matematikada hosila va integral bilan bir qatorda eng muhim tushuncha (tadqiqot vositasi). bor Teylor va Teylor qatori. Agar f(x) funksiyasi , a chaqirdi Teylor ko‘phad (n darajasi) bo‘yicha).kuchlari bo‘yicha x-x 0: (Teylor formulasi); bu holda taxminiy xato sifatida nolga intiladi dan tezroq Shunday qilib, f(x).funksiya x 0 nuqtaga yaqin joyda, uni hisoblash uchun faqat arifmetikani talab qiladigan juda oddiy funksiya (polinom) orqali istalgan aniqlik darajasi bilan yaqinlashishi mumkin. amallar - qo'shish, ayirish va ko'paytirish. Ayniqsa, muhim deb ataladigan narsalar. x 0 ning ma'lum bir qo'shnisida analitik bo'lgan va cheksiz sonli hosilalarga ega bo'lgan funktsiyalar, shuning uchun ular uchun bu qo'shnilikda cheksiz Teylor kuch qatori shaklida ifodalanishi mumkin: Muayyan sharoitlarda Teylor kengaytmalari ko'plab o'zgaruvchilar, shuningdek, funktsiyalar va operatorlar uchun ham mumkin. Tarixiy ma'lumotnoma. 17-asrgacha M. a. alohida alohida muammolarni hal qilish to'plami edi; masalan, integral hisoblashda bu raqamlarning maydonlarini, egri chegaralari bo'lgan jismlarning hajmlarini, o'zgaruvchan kuchning ishi va boshqalarni hisoblash muammolari. Matematika tarixi uchun maqolaga qarang Cheksiz kichik hisob),
M. a. yagona va tizimli sifatida butun 17-18-asrlar I. Nyuton, G. Leybnits, L. Eyler, J. Lagranj va boshqa olimlarning asarlarida shakllangan va uning chegaralar nazariyasi O. Komi (A. Koshi) tomonidan ishlab chiqilgan. boshi. 19-asr MA ning dastlabki tushunchalarini chuqur tahlil qilish. 19—20-asrlardagi taraqqiyot bilan bogʻliq edi. to'plamlar nazariyasi, o'lchovlar nazariyasi, real o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi va turli umumlashtirishlarga olib keldi. Lit.: La Valle - P u s e n Sh.-J. d e, Cheksiz kichiklarni tahlil qilish kursi, trans. frantsuz tilidan, 1-2-jild, M., 1933; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Matematik tahlil asoslari, 3-nashr, 1-qism, M., 1971; 2-nashr, 2-qism, M., 1980; Il va N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Matematik tahlil, M., 1979; K u d r i v c e v L. D., Matematik tahlil, 2-nashr, 1-2-jildlar, M., 1973; Nikolskiy S. M., Matematik tahlil kursi, 2-nashr, 1-2-jild, M., 1975; U i t t e k e r E. T., V a t s o n D J. N., Zamonaviy tahlil kursi, trans. Ingliz tilidan, 1-2-qismlar, 2-nashr, M., 1962-63; F ixtengolts G.M., Differensial va integral hisoblar kursi, 7-nashr, 1-2-jild, M., 1970; 5-nashr, 3-jild, M., 1970 yil. S. M. Nikolskiy. Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar. MATEMATİK TAHLIL, funksiyalarni differentsial hisoblash va integral hisoblash usullari bilan oʻrganishga bagʻishlangan matematika boʻlimlari toʻplami... Zamonaviy ensiklopediya Funksiyalarni differentsial va integral hisoblash usullari bilan o'rganishga bag'ishlangan matematika bo'limlari to'plami. Bu atama ilmiydan ko'ra pedagogikroqdir: matematik tahlil kurslari universitet va texnikumlarda o'qitiladi... Katta ensiklopedik lug'at Ingliz matematik tahlil nemis Matematik tahlil. Matematikaning funksiyalarni differentsial va integral hisoblash usullari bilan o'rganishga bag'ishlangan bo'limi. Antinazi. Sotsiologiya entsiklopediyasi, 2009 yil ... Sotsiologiya entsiklopediyasi Mavjud., sinonimlar soni: 2 matan (2) matematik tahlil (2) ASIS sinonimlar lug‘ati. V.N. Trishin. 2013… Sinonim lug'at MATEMATIK TAHLIL- MATEMATIK TAHLIL. Matematik funktsiyalarni differentsial va integral hisoblash usullari bilan o'rganishga bag'ishlangan matematika bo'limlari to'plami. M. a. usullaridan foydalanish. eng muhim... ... hal qilishning samarali vositasidir. Yangi uslubiy atama va tushunchalar lug‘ati (til o‘qitish nazariyasi va amaliyoti) matematik tahlil- — UZ matematik tahlil. Matematikaning chegaraviy jarayon yoki konvergentsiya tushunchasi bilan eng aniq bog'langan bo'limi; farqlash nazariyalarini o'z ichiga oladi, ... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma Matematik tahlil- MATEMATIK TAHLIL, funksiyalarni differentsial hisoblash va integral hisoblash usullari bilan o'rganishga bag'ishlangan matematika bo'limlari to'plami. ... Illustrated entsiklopedik lug'at "...Agar men bolaning tabiiy qiziqishini va uning modellashtirishga bo'lgan muhabbatini yo'q qilish uchun mexanizm yaratishim kerak bo'lsa, men buni allaqachon amalga oshirilganidan yaxshiroq qilgan bo'lardim - men shunchaki bunday qilmasdim. Matematikani o'rganishning zamonaviy usullarida mujassamlangan bunday befarq, zerikarli g'oyalar bilan raqobat qilish uchun etarli tasavvur ". Bunday san'atni o'rganishni tasavvur qiling: Bolalar, bolalar bog'chasida rasm chizish yo'q. Buning o'rniga, bo'yoq mahsulotlari kimyosini, yorug'lik fizikasini va ko'z anatomiyasini o'rganamiz. 12 yil davomida ushbu jihatlarni o'rgangandan so'ng, agar bolalar (aniqrog'i o'smirlar) hali ham san'atni yomon ko'rmasalar, ular mustaqil ravishda rasm chizishni boshlashlari mumkin. Oxir oqibat, ular endi san'atni hurmat qilishni boshlash uchun to'liq poydevorga ega. To'g'rimi? She'riyat bilan ham xuddi shunday. Ushbu iqtibosni (formula) o'rganayotganingizni tasavvur qiling: “Ammo asosiysi: o‘zingga sodiq bo‘l; Shunda tun kunduzga ergashganidek, siz boshqalarga xiyonat qilmaysiz”. - Uilyam Shekspir, Gamlet Bu "o'zing bo'l" deyishning nafis usulidir (agar bu matematika haqida hurmatsiz yozishni anglatsa, shunday bo'lsin). Ammo agar biz matematika darsida she'riyatni o'rgangan bo'lsak, ma'no izlash o'rniga, bo'g'inlar sonini sanab, iambik pentametrni tahlil qilib, ot, fe'l va sifatlarni belgilagan bo'lardik. Matematika va she'riyat bir xil narsani tushuntirish va tavsiflashning turli usullariga o'xshaydi. Formulalar maqsadga erishish vositasi, matematik haqiqatni ifodalash usulidir. Biz matematika g'oyalar bilan harakat qilishini unutdik; bu g'oyalarni ifodalovchi formulalarning mexanik manipulyatsiyasi emas. Men nima qilmayman: allaqachon yozilgan darsliklarni qaytadan takrorlamayman. Agar sizga bu erda va hozir javob kerak bo'lsa, ko'plab veb-saytlar, video darsliklar va 20 daqiqa yordamlashmoq. Buning o'rniga, keling, matematik tahlilning asosiy tamoyillarini bilib olaylik. Tenglamalar etarli emas - men evrika daqiqalarini xohlayman, shunda siz ularning ma'nosini ko'rasiz va matematika tilini tushunasiz. Rasmiy matematik til shunchaki muloqot usulidir. Grafiklar, ma'lumot beruvchi animatsion modellar va oddiy til ma'nosiz dalillar sahifasidan ko'ra ko'proq ma'lumot berishi mumkin. O'ylaymanki, har kim matematik tahlilning asosiy tamoyillarini tushunishi mumkin. Shekspir asarlaridan zavqlanish uchun shoir bo‘lish shart emas. Agar siz algebrani bilsangiz va matematikaga qiziqsangiz, bu sizga ancha oson bo'ladi. Yaqinda o'qish va yozish maxsus tayyorlangan ulamolarning ishi edi. Va bugungi kunda har qanday 10 yoshli bola buni qila oladi. Nega? Chunki biz buni kutamiz. Imkoniyatlarni rivojlantirishda umidlar katta rol o'ynaydi. Shunday qilib, hisob-kitoblarni boshqa mavzu bo'lishini kuting. Ba'zi odamlar eng kichik tafsilotlarga tushishadi (yozuvchilar/matematiklar). Ammo qolganlarimiz nima bo'layotganiga qoyil qolishimiz va uni tushunishga harakat qilishimiz mumkin. Men hamma hisobning asosiy tushunchalarini egallashini va “Voy!” deyishini istardim. Bu oddiy misol edi, lekin siz bu fikrni tushundingizmi? Biz diskni olib, uni bo'linib, qismlarni biroz boshqacha tarzda birlashtirdik. Matematik tahlil shuni ko'rsatdiki, disk va halqa bir-biri bilan chambarchas bog'liq: disk haqiqatan ham halqalar to'plamidir. Bu hisoblashda juda mashhur mavzu: Katta ob'ektlar kichikroq narsalardan iborat. Va ba'zida bu kichik narsalar bilan ishlash osonroq va aniqroq. Hisoblashdagi ko'plab misollar fizikaga asoslangan. Bu, albatta, ajoyib, lekin ularni idrok etish qiyin bo'lishi mumkin: rostini aytsam, har doim ham har xil jismoniy formulalarni, masalan, ob'ektning tezligi formulasini yodda tutish mumkin emas. Men oddiy vizual misollar bilan boshlashni yaxshi ko'raman, chunki bizning miyamiz shunday ishlaydi. Biz o'rgangan halqa/doira - siz turli diametrli quvurlarning bir nechta bo'laklari yordamida bir xil narsani taqlid qilishingiz mumkin: ularni ajratib oling, ularni bir qatorga qo'ying va matematika haqiqatan ham ishlayotganligini bilish uchun ularni qo'pol uchburchak shaklida joylashtiring. Oddiy jismoniy formula bilan bu mumkin emas. Men pedantik matematiklar klaviaturalarini yoqib yuborayotgandek his qilaman. Shuning uchun men "qat'iylik" haqida bir necha so'z qo'shaman. Bilasizmi, biz hisobni Nyuton yoki Leybnits kashf etganidek o'rgatmaymiz? Ular chegaralar bilan almashtirilgan "flyusiya" va "cheksiz kichiklar" intuitiv g'oyalaridan foydalanganlar, chunki "Albatta, bu amalda ishlaydi. Ammo bu nazariy jihatdan ishlaydimi? Biz hisobni "aniq" isbotlash uchun murakkab mexanik modellarni yaratdik, ammo bunday isbotlar jarayonida biz mavzuni intuitiv tushunishimizni yo'qotdik. Biz shakarning shirinligini ilmiy jihatdan tushuntirish o‘rniga, miya kimyosi nuqtai nazaridan qaraymiz: “Shakar juda ko‘p energiyaga ega. Uni yeng." Men talabalarga hisobni o'rgatishni yoki olimlarni tayyorlashni xohlamayman (va qila olmayman). Ammo har bir kishi hisobni Nyuton tushungan "noaniq" darajada tushuna olsa, yomon bo'ladimi? Shunday qilib, u bir vaqtlar u uchun o'zgarganidek, siz uchun ham dunyoni o'zgartiradimi? Aniqlikka bevaqt e'tibor berish o'quvchilarni tarqatib yuboradi va matematikani o'rganishni qiyinlashtiradi. Mana yaxshi misol: e soni texnik jihatdan chegara sifatida belgilangan, ammo u ning o'sishi haqidagi intuitiv taxmin yordamida aniqlangan. Tabiiy logarifm integral yoki o'sishi kerak bo'lgan vaqt kabi ko'rinishi mumkin. Yangi boshlanuvchilar uchun qaysi tushuntirishlar yaxshiroq? Keling, bir oz qo'l bilan chizamiz va yo'lda kimyoga sho'ng'iymiz. Baxtli hisoblash. (P.S: Bir mehribon o'quvchi ushbu g'oyani yanada aniqroq taqdim etishga yordam beradigan animatsion powerpoint slayd-shousini yaratdi (uni PowerPoint-da ko'rganingiz ma'qul, siz animatsiyalarni ko'rasiz). Rahmat!) Rus tili lug'atiga ko'ra tahlil biror narsaning alohida tomonlari, xossalari va tarkibiy qismlarini hisobga olgan holda ilmiy tadqiqot usulidir. Matematikaning eng muhim sohalaridan biri deyiladi matematik tahlil, va ko'pincha hatto tahlil qilish. Darhol savol tug'iladi: aniq nima matematik tahlil bilan tahlil qilinadi? Javob aniq - funktsiyalari tahlil qilinadi. Funktsiya(lotincha "functionio" - amalga oshirishdan) o'zgaruvchan sonli qiymatlar orasidagi munosabatni ifodalaydi. Tahlil tadqiqot usuli ekan, ikkinchi savol tug'iladi: bu qanday usul? Javob matematik tahlilning ikkinchi nomi bilan berilgan - differensial va integral hisoblar. Hisoblash - matematikaning hisoblash qoidalarini belgilaydigan bo'limi. so'z " differensial" lotincha "differentsiatsiya" so'zidan kelib chiqqan, ya'ni. farq. so'z " integral"bunday aniq kelib chiqishi yo'q ("integer" - butun; "integra" - tiklash), lekin u qismlarni bir butunga birlashtirish, farqlarga bo'lingan narsalarni tiklash ma'nosiga ega. Ushbu tiklanish yordamida erishiladi jamlash. Keling, birinchi natijalarni umumlashtiramiz: · Asosiy ob'ektlar, o'rgangan matematik analizda funksiyalar. · Funktsiyalar o'zgaruvchan raqamli qiymatlar orasidagi har xil turdagi bog'liqliklardir. · Matematik tahlil usuli - differensiallash– funksiya qiymatlaridagi farqlar bilan ishlash va integratsiya- summalarni hisoblash. Shunday qilib, matematik tahlilni o'zlashtirish uchun, birinchi navbatda, funktsiya tushunchasini tushunish kerak. Funktsiya muhim matematik tushunchadir, chunki funksiyalar harakat va o'zgarishlarni tavsiflashning matematik usulidir. Funktsiya - bu jarayon. Harakatning eng muhim turi to'g'ri chiziqda mexanik harakatdir. Harakatlanayotganda ob'ekt bosib o'tgan masofalar o'lchanadi, ammo bu harakatni to'liq tasvirlash uchun etarli emas. Axilles ham, toshbaqa ham boshlang'ich nuqtadan bir xil masofani bosib o'tishlari mumkin, ammo ularning harakati tezlikda farq qiladi va vaqtni o'lchamasdan tezlikni o'lchash mumkin emas. Ushbu misolni ko'rib chiqqach, harakat va o'zgarishlarni tasvirlash uchun bitta o'zgaruvchining o'zi etarli emasligi ayon bo'ladi. Vaqt bir xilda o'zgarishi intuitiv ravishda aniq, lekin masofa tezroq yoki sekinroq o'zgarishi mumkin. Har bir vaqtning har bir daqiqasida ob'ektning boshlang'ich nuqtasidan qanchalik uzoqqa o'tganligi ma'lum bo'lsa, harakat to'liq tasvirlangan. Shunday qilib, mexanik harakat bilan ikkita o'zgaruvchan miqdorning qiymatlari o'rtasida moslik paydo bo'ladi - hech narsadan qat'iy nazar o'zgarib turadigan vaqt va vaqtga bog'liq bo'lgan masofa. Bu fakt funktsiyani aniqlash uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Bunday holda, ikki o'zgaruvchi endi vaqt va masofa deb nomlanmaydi. Funktsiya ta'rifi: funktsiyasi – bu qoidami yoki qonunmi, mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymatiga belgilash X
qaram o'zgaruvchining o'ziga xos qiymati da
. Mustaqil o'zgaruvchi X
argument va tobe deyiladi da
- funksiya. Ba'zan funktsiya ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi bog'liqlik deyiladi. O'zgaruvchi nima ekanligini qanday tasavvur qilish mumkin? O'zgaruvchi - bu nuqta (termometr yoki munchoqli naqshli igna) harakatlanadigan raqam chizig'i (o'lchagich yoki masshtab). Funktsiya ikkita x va y oynali viteslar mexanizmi. Ushbu mexanizm oynaga o'rnatish imkonini beradi X
har qanday qiymat va oynada da
Funktsiya qiymati viteslar yordamida avtomatik ravishda paydo bo'ladi. Muammo 1. Bemorning harorati har soatda o'lchanadi. Funktsiya mavjud - haroratning vaqtga bog'liqligi. Ushbu funktsiyani qanday taqdim etish kerak? Javob: jadval va grafik. Harakat uzluksiz bo'lgani kabi funktsiya ham uzluksizdir, lekin amalda bu uzluksizlikni tuzatish mumkin emas. Siz faqat individual argument va funktsiya qiymatlarini olishingiz mumkin. Biroq, nazariy jihatdan davomiylikni ta'riflash hali ham mumkin. Muammo 2. Galiley Galiley erkin tushayotgan jism birinchi soniyada bir birlik, ikkinchi soniyada 3 birlik, uchinchi soniyada 5 birlik va hokazo masofani bosib o‘tishini aniqladi.Vaqtning masofaga bog‘liqligini aniqlang. Eslatma: bosib o'tilgan masofaning masofa soniga bog'liqligining umumiy formulasini chiqaring. Funktsiyalarni belgilash usullari. Matematik tahlil masalalari. Funksiyaning bir tasviridan ikkinchisiga o‘tish (funksiya qiymatlarini hisoblash, eksperimental son va grafik ma’lumotlardan taqribiy analitik funksiyalarni qurish, funksiyalarni o‘rganish va grafiklarni tuzish). Funksiyaning jarayon sifatida xossalarini matematik tadqiq qilish. 1-misol: vaqtga nisbatan yo'lning ma'lum funksiyasidan foydalangan holda tezlikni qidirish (farqlash). 2-misol: vaqtga nisbatan tezlikning ma'lum funksiyasidan foydalangan holda yo'lni topish (integratsiya).Funktsiya. Asosiy ta'riflar va tushunchalar.
Albert Eynshteyn
C - faradlarda o'lchanadigan sig'im;
dv - kuchlanishning o'zgarishi;
dt - vaqt o'zgarishi. 
Boshqa lug'atlarda "MATEMATİK TAHLIL" nima ekanligini ko'ring:
Xo'sh, bularning barchasi aniq, sizning ajoyib fikringiz nima?
Ammo matematik tahlil qilish qiyin!
Xo'sh, hisob nima haqida?
Misollar haqida bir oz
Matematik qat'iylik haqida bir oz (bu fanning fanatiklari uchun)
|
keyingi ma'ruza ==>
Ijodiy buyum: Daftarlarni X (kim?) o’qituvchi tekshiradi |
