Poezi për fëmijë

Llogaritja e proporcioneve dhe raporteve. Si llogaritet proporcioni?Cili është raporti

Formula e proporcionit

Proporcioni është barazia e dy raporteve kur a:b=c:d

raporti 1 : 10 është e barabartë me raportin 7 : 70, i cili mund të shkruhet edhe si thyesë: 1 10 = 7 70 lexon: "një është në dhjetë, si shtatë është në shtatëdhjetë"

Vetitë themelore të proporcionit

Prodhimi i termave ekstremë është i barabartë me produktin e termave të mesëm (kryq): nëse a:b=c:d , atëherë a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Përmbysja e proporcionit: nëse a:b=c:d , atëherë b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutacioni i anëtarëve të mesëm: nëse a:b=c:d , atëherë a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutacioni i anëtarëve ekstremë: nëse a:b=c:d , atëherë d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Zgjidhja e një proporcioni me një të panjohur | Ekuacioni

1 : 10 = x : 70 ose 1 10 = x 70

Për të gjetur x, duhet të shumëzoni dy numra të njohur në mënyrë tërthore dhe të pjesëtoni me vlerën e kundërt

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Si të llogarisni proporcionin

Një detyrë: ju duhet të pini 1 tabletë qymyr aktiv për 10 kilogramë peshë. Sa tableta duhet të merren nëse një person peshon 70 kg?

Le të bëjmë një proporcion: 1 tabletë - 10 kg x tableta - 70 kg Për të gjetur x, duhet të shumëzoni dy numra të njohur në mënyrë tërthore dhe të pjesëtoni me vlerën e kundërt: 1 tabletë x tableta✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Përgjigje: 7 tableta

Një detyrë: Vasya shkruan dy artikuj në pesë orë. Sa artikuj do të shkruajë në 20 orë?

Le të bëjmë një proporcion: 2 artikuj - 5 orë x artikuj - 20 orë x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Përgjigje: 8 artikuj

Mund t'u them të diplomuarve të ardhshëm të shkollës se aftësia për të bërë përmasa ishte e dobishme për mua si për të reduktuar në mënyrë proporcionale fotot, ashtu edhe në paraqitjen HTML të një faqe në internet dhe në situata të përditshme.

Një marrëdhënie është një marrëdhënie e caktuar midis entiteteve të botës sonë. Këto mund të jenë numra, sasi fizike, objekte, produkte, dukuri, veprime, madje edhe njerëz.

Në jetën e përditshme, kur bëhet fjalë për raportet, themi "raporti i kësaj dhe asaj". Për shembull, nëse ka 4 mollë dhe 2 dardha në një vazo, atëherë themi raporti mollë-dardhë raporti i dardhës me mollën.

Në matematikë, raporti përdoret shpesh si "lidhja e diçkaje me diçka". Për shembull, raporti i katër mollëve dhe dy dardhave, të cilin e kemi konsideruar më lart, në matematikë do të lexohet si "Raporti i katër mollëve me dy dardha" ose nëse ndërroni mollët dhe dardhat, atëherë "Raporti i dy dardhave me katër mollë".

Raporti shprehet si a te b(ku në vend të a dhe bçdo numër), por më shpesh mund të gjeni një hyrje që është kompozuar duke përdorur dy pika si a:b. Ju mund ta lexoni këtë hyrje në mënyra të ndryshme:

a te b
a i referohet b
qëndrim a te b

Ne shkruajmë raportin e katër mollëve dhe dy dardhave duke përdorur simbolin e raportit:

4: 2

Nëse ndërrojmë mollët dhe dardhat, atëherë do të kemi një raport 2: 4. Ky raport mund të lexohet si "dy deri në katër" ose ndonjërin "dy dardha janë të barabarta me katër mollë" .

Në atë që vijon, ne do t'i referohemi relacionit si një marrëdhënie.

Përmbajtja e mësimit

Çfarë është një qëndrim?

Lidhja, siç u përmend më herët, shkruhet si a:b. Mund të shkruhet edhe si thyesë. Dhe ne e dimë se një rekord i tillë në matematikë do të thotë ndarje. Atëherë rezultati i relacionit do të jetë herësi i numrave a dhe b.

Në matematikë, një raport është herësi i dy numrave.

Raporti ju lejon të zbuloni se sa është një entitet për njësi të një tjetri. Le të kthehemi te raporti i katër mollëve me dy dardha (4:2). Ky raport do të na lejojë të zbulojmë se sa mollë ka për njësi dardhe. Një njësi do të thotë një dardhë. Së pari, le të shkruajmë raportin 4:2 si një thyesë:

Ky raport është pjesëtimi i numrit 4 me numrin 2. Nëse e kryejmë këtë pjesëtim, do të marrim përgjigjen e pyetjes se sa mollë ka për njësi dardhe.

Ne morëm 2. Pra, katër mollë dhe dy dardha (4: 2) janë të ndërlidhura (të ndërlidhura me njëra-tjetrën) kështu që ka dy mollë për dardhë

Figura tregon se si katër mollë dhe dy dardha lidhen me njëra-tjetrën. Mund të shihet se ka dy mollë për çdo dardhë.

Lidhja mund të ndryshohet duke shkruar si . Më pas marrim raportin e dy dardhave dhe katër mollëve, ose “raportin e dy dardhave me katër mollët”. Ky raport do të tregojë sa dardha ka për njësi mollë. Njësia e një mollë do të thotë një mollë.

Për të gjetur vlerën e një thyese, duhet të mbani mend se si të ndani një numër më të vogël me një më të madh.

Mori 0.5. Le ta kthejmë këtë thyesë dhjetore në një të zakonshme:

Zvogëloni fraksionin e zakonshëm që rezulton me 5

Mori një përgjigje (gjysmë dardhe). Pra, dy dardha dhe katër mollë (2: 4) janë të ndërlidhura (të ndërlidhura me njëra-tjetrën) kështu që një mollë llogaritet për gjysmë dardhe

Figura tregon se si dy dardha dhe katër mollë janë të lidhura me njëra-tjetrën. Mund të shihet se për çdo mollë ka gjysmë dardhe.

Numrat që përbëjnë një marrëdhënie quhen anëtarët e marrëdhënies. Për shembull, në relacionin 4:2, anëtarët janë numrat 4 dhe 2.

Konsideroni shembuj të tjerë të marrëdhënieve. Bëhet një recetë për të përgatitur diçka. Receta është ndërtuar nga raportet midis produkteve. Për shembull, përgatitja e tërshërës zakonisht kërkon një gotë drithëra në dy gota qumësht ose ujë. Kjo rezulton në një raport 1:2 ("një me dy" ose "një gotë drithëra me dy gota qumësht").

Le ta kthejmë raportin 1: 2 në një fraksion, marrim. Duke llogaritur këtë fraksion, marrim 0.5. Kjo do të thotë që një gotë drithëra dhe dy gota qumësht janë të ndërlidhura (në korrelacion) në mënyrë që të ketë gjysmë gote drithëra për një gotë qumësht.

Nëse ndryshoni raportin 1:2, merrni një raport 2:1 ("dy me një" ose "dy gota qumësht me një gotë drithëra"). Duke e kthyer raportin 2:1 në një fraksion, marrim. Duke llogaritur këtë fraksion, marrim 2. Pra, dy gota qumësht dhe një gotë drithëra janë të lidhura (në korrelacion me njëra-tjetrën) kështu që për një gotë drithëra janë dy gota qumësht.

Shembulli 2 Në klasë janë 15 nxënës. Prej tyre 5 janë djem, 10 janë vajza. Është e mundur të shënohet një raport i vajzave ndaj djemve prej 10:5 dhe të shndërrohet ky raport në një fraksion. Duke llogaritur këtë thyesë, marrim 2. Pra, vajzat dhe djemtë janë të lidhur me njëri-tjetrin, kështu që për çdo djalë ka dy vajza.

Figura tregon se si dhjetë vajza dhe pesë djem lidhen me njëri-tjetrin. Mund të shihet se për çdo djalë ka dy vajza.

Nuk është gjithmonë e mundur të shndërrohet një raport në një thyesë dhe të gjendet një herës. Në disa raste do të jetë e palogjikshme.

Pra, nëse e ktheni raportin përmbys, dhe ky është raporti i djemve me vajzat. Nëse e llogaritni këtë thyesë, merrni 0,5. Rezulton se pesë djem janë të lidhur me dhjetë vajza, kështu që për çdo vajzë ka gjysmë djali. Matematikisht, kjo është sigurisht e vërtetë, por nga pikëpamja e realitetit, nuk është plotësisht e arsyeshme, sepse djali është një person i gjallë dhe nuk mund të merret dhe të ndahet thjesht si një dardhë apo një mollë.

Aftësia për të ndërtuar qëndrimin e duhur është një aftësi e rëndësishme në zgjidhjen e problemeve. Pra, në fizikë, raporti i distancës së përshkuar me kohën është shpejtësia e lëvizjes.

Distanca shënohet me variablin S, koha - përmes një ndryshoreje t, shpejtësia - përmes ndryshores v. Pastaj fraza "Raporti i distancës së përshkuar me kohën është shpejtësia e lëvizjes" do të përshkruhet me shprehjen e mëposhtme:

Supozoni se një makinë udhëton 100 kilometra në 2 orë. Pastaj raporti prej 100 kilometrash të udhëtuar me 2 orë do të jetë shpejtësia e makinës:

Shpejtësia është distanca e përshkuar nga një trup për njësi të kohës. Njësia e kohës është 1 orë, 1 minutë ose 1 sekondë. Dhe raporti, siç u përmend më herët, ju lejon të zbuloni se sa është një entitet për njësi të një tjetri. Në shembullin tonë, raporti prej njëqind kilometrash me dy orë tregon sa kilometra ka për një orë lëvizje. Shohim se për çdo orë lëvizje ka 50 kilometra

Pra, shpejtësia matet në km/h, m/min, m/s. Simboli i fraksionit (/) tregon raportin e distancës me kohën: kilometra në orë , metra në minutë dhe metra në sekondë përkatësisht.

Shembulli 2. Raporti i vlerës së një malli me sasinë e tij është çmimi i një njësie të mallit.

Nëse merrnim 5 çokollatë në dyqan dhe kostoja totale e tyre ishte 100 rubla, atëherë mund të përcaktojmë çmimin e një bari. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni raportin prej njëqind rubla me numrin e shufrave. Pastaj marrim se një shirit llogaritet për 20 rubla

Krahasimi i vlerave

Më parë mësuam se raporti midis sasive të natyrës së ndryshme formojnë një sasi të re. Kështu, raporti i distancës së përshkuar me kohën është shpejtësia e lëvizjes. Raporti i vlerës së një malli me sasinë e tij është çmimi i një njësie të mallit.

Por raporti mund të përdoret gjithashtu për të krahasuar vlerat. Rezultati i një lidhjeje të tillë është një numër që tregon se sa herë vlera e parë është më e madhe se e dyta, ose cila pjesë është vlera e parë nga e dyta.

Për të zbuluar se sa herë vlera e parë është më e madhe se e dyta, duhet të shkruani një vlerë më të madhe në numëruesin e raportit dhe një vlerë më të vogël në emërues.

Për të zbuluar se cila pjesë është vlera e parë nga e dyta, duhet të shkruani një vlerë më të vogël në numëruesin e raportit dhe një vlerë më të madhe në emërues.

Konsideroni numrat 20 dhe 2. Le të zbulojmë se sa herë numri 20 është më i madh se numri 2. Për ta bërë këtë, gjejmë raportin e numrit 20 me numrin 2. Shkruani numrin 20 në numëruesin e raportit , dhe numri 2 në emërues

Vlera e këtij raporti është dhjetë

Raporti i numrit 20 me numrin 2 është numri 10. Ky numër tregon se sa herë numri 20 është më i madh se numri 2. Pra, numri 20 është dhjetë herë më i madh se numri 2.

Shembulli 2 Në klasë janë 15 nxënës. Prej tyre 5 janë djem, 10 janë vajza. Përcaktoni sa herë më shumë janë vajzat se djemtë.

Shkruani qëndrimin e vajzave ndaj djemve. Në numëruesin e raportit shkruajmë numrin e vajzave, në emëruesin e raportit - numrin e djemve:

Vlera e këtij raporti është 2. Do të thotë se në një klasë 15-vjeçare ka dy herë më shumë vajza se djem.

Nuk ka më pyetje se sa vajza ka për një djalë. Në këtë rast, raporti përdoret për të krahasuar numrin e vajzave me numrin e djemve.

Shembulli 3. Cila pjesë e numrit 2 është nga numri 20.

Ne gjejmë raportin e numrit 2 me numrin 20. Në numëruesin e raportit shkruajmë numrin 2, dhe në emërues - numrin 20

Për të gjetur kuptimin e kësaj marrëdhënieje, duhet të mbani mend,

Vlera e raportit të numrit 2 me numrin 20 është numri 0.1

Në këtë rast, thyesa dhjetore 0.1 mund të shndërrohet në një të zakonshme. Kjo përgjigje do të jetë më e lehtë për t'u kuptuar:

Pra, numri 2 i numrit 20 është një e dhjeta.

Ju mund të bëni një kontroll. Për ta bërë këtë, do të gjejmë nga numri 20. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, duhet të marrim numrin 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Morëm numrin 2. Pra, një e dhjeta e numrit 20 është numri 2. Nga kjo arrijmë në përfundimin se problema është zgjidhur saktë.

Shembulli 4 Në klasë janë 15 veta. Prej tyre 5 janë djem, 10 janë vajza. Përcaktoni se çfarë përqindje e numrit të përgjithshëm të nxënësve janë djem.

Shkruajmë raportin e djemve me numrin e përgjithshëm të nxënësve. Në numëruesin e raportit shkruajmë pesë djem dhe në emërues numrin e përgjithshëm të nxënësve. Numri i përgjithshëm i nxënësve është 5 djem plus 10 vajza, kështu që ne shkruajmë numrin 15 në emëruesin e raportit.

Për të gjetur vlerën e këtij raporti, duhet të mbani mend se si të ndani një numër më të vogël me një më të madh. Në këtë rast, numri 5 duhet të ndahet me numrin 15

Kur pjesëtoni 5 me 15, merrni një thyesë periodike. Le ta kthejmë këtë thyesë në një të zakonshme

Mori përgjigjen përfundimtare. Pra, djemtë përbëjnë një të tretën e të gjithë klasës

Figura tregon se në një klasë me 15 nxënës, një e treta e klasës janë 5 djem.

Nëse për verifikim gjejmë nga 15 nxënës, atëherë do të marrim 5 djem

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Shembulli 5 Sa herë është numri 35 më i madh se numri 5?

Ne shkruajmë raportin e numrit 35 me numrin 5. Në numëruesin e raportit, duhet të shkruani numrin 35, në emërues - numrin 5, por jo anasjelltas

Vlera e këtij raporti është 7. Pra, numri 35 është shtatë herë më i madh se numri 5.

Shembulli 6 Në klasë janë 15 veta. Prej tyre 5 janë djem, 10 janë vajza. Përcaktoni se çfarë përqindje e numrit të përgjithshëm janë vajza.

Shkruajmë raportin e vajzave me numrin e përgjithshëm të nxënësve. Në numëruesin e raportit shkruajmë dhjetë vajza dhe në emërues numrin e përgjithshëm të nxënësve. Numri i përgjithshëm i nxënësve është 5 djem plus 10 vajza, kështu që ne shkruajmë numrin 15 në emëruesin e raportit.

Për të gjetur vlerën e këtij raporti, duhet të mbani mend se si të ndani një numër më të vogël me një më të madh. Në këtë rast, numri 10 duhet të ndahet me numrin 15

Kur pjesëtoni 10 me 15, merrni një thyesë periodike. Le ta kthejmë këtë thyesë në një të zakonshme

Le të zvogëlojmë thyesën që rezulton me 3

Mori përgjigjen përfundimtare. Pra, vajzat përbëjnë dy të tretat e të gjithë klasës

Figura tregon se në një klasë me 15 nxënës, dy të tretat e klasës janë 10 vajza.

Nëse për verifikim gjejmë nga 15 nxënës, atëherë kemi 10 vajza

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Shembulli 7 Cila pjesë e 10 cm është 25 cm

Shkruani raportin dhjetë centimetra me njëzet e pesë centimetra. Në numëruesin e raportit shkruajmë 10 cm, në emërues - 25 cm

Për të gjetur vlerën e këtij raporti, duhet të mbani mend se si të ndani një numër më të vogël me një më të madh. Në këtë rast, numri 10 duhet të ndahet me numrin 25

Le ta kthejmë thyesën dhjetore që rezulton në një të zakonshme

Le të zvogëlojmë thyesën që rezulton me 2

Mori përgjigjen përfundimtare. Pra, 10 cm është 25 cm.

Shembulli 8 Sa herë është 25 cm më i madh se 10 cm

Shkruani raportin prej njëzet e pesë centimetra me dhjetë centimetra. Në numëruesin e raportit shkruajmë 25 cm, në emërues - 10 cm

Mora përgjigjen 2.5. Pra, 25 cm është 2.5 herë më shumë se 10 cm (dy herë e gjysmë)

Shënim i rëndësishëm. Me rastin e gjetjes së raportit të të njëjtave madhësi fizike, këto madhësi duhet të shprehen në një njësi matëse, përndryshe përgjigja do të jetë e gabuar.

Për shembull, nëse kemi të bëjmë me dy gjatësi dhe duam të dimë se sa herë gjatësia e parë është më e madhe se e dyta, ose cila pjesë është gjatësia e parë nga e dyta, atëherë të dyja gjatësitë duhet së pari të shprehen në një njësi matëse.

Shembulli 9 Sa herë është 150 cm më shumë se 1 metër?

Së pari, le të sigurohemi që të dy gjatësitë të shprehen në të njëjtën njësi. Për ta bërë këtë, konvertoni 1 metër në centimetra. Një metër është njëqind centimetra

1 m = 100 cm

Tani gjejmë raportin njëqind e pesëdhjetë centimetra me njëqind centimetra. Në numëruesin e raportit shkruajmë 150 centimetra, në emërues - 100 centimetra

Le të gjejmë vlerën e kësaj lidhjeje

Mora përgjigjen 1.5. Pra, 150 cm është më shumë se 100 cm me 1.5 herë (një herë e gjysmë).

Dhe nëse nuk do të fillonim të kthenim metra në centimetra dhe menjëherë do të përpiqeshim të gjenim raportin prej 150 cm në një metër, atëherë do të merrnim sa vijon:

Do të rezultonte se 150 cm është njëqind e pesëdhjetë herë më shumë se një metër, por kjo nuk është e vërtetë. Prandaj, është e domosdoshme t'i kushtohet vëmendje njësive matëse të madhësive fizike që përfshihen në relacion. Nëse këto sasi shprehen në njësi të ndryshme matëse, atëherë për të gjetur raportin e këtyre sasive, duhet të shkoni në një njësi matëse.

Shembulli 10 Muajin e kaluar, paga e një personi ishte 25,000 rubla, dhe këtë muaj paga është rritur në 27,000 rubla. Përcaktoni se sa është rritur paga

Ne shkruajmë raportin prej njëzet e shtatë mijë deri në njëzet e pesë mijë. Në numëruesin e raportit shkruajmë 27000, në emërues - 25000

Le të gjejmë vlerën e kësaj lidhjeje

Mora përgjigjen 1.08. Pra paga u rrit me 1.08 herë. Në të ardhmen, kur të njihemi me përqindjet, tregues të tillë si paga do t'i shprehim në përqindje.

Shembulli 11. Ndërtesa është 80 metra e gjerë dhe 16 metra e lartë. Sa herë është gjerësia e shtëpisë më e madhe se lartësia e saj?

Ne shkruajmë raportin e gjerësisë së shtëpisë me lartësinë e saj:

Vlera e këtij raporti është 5. Kjo do të thotë se gjerësia e shtëpisë është pesëfishi i lartësisë së saj.

vetia e relacionit

Raporti nuk do të ndryshojë nëse termat e tij shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër.

Kjo një nga vetitë më të rëndësishme të një relacioni rrjedh nga vetia e herësit. Ne e dimë se nëse dividenti dhe pjesëtuesi shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, atëherë herësi nuk do të ndryshojë. Dhe meqenëse raporti nuk është gjë tjetër veçse një ndarje, vetia koeficient funksionon edhe për të.

Le të kthehemi te qëndrimi i vajzave ndaj djemve (10:5). Ky raport tregoi se për çdo djalë ka dy vajza. Le të kontrollojmë se si funksionon vetia e relacionit, domethënë, le të përpiqemi të shumëzojmë ose pjesëtojmë anëtarët e saj me të njëjtin numër.

Në shembullin tonë, është më e përshtatshme të ndajmë termat e relacionit me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët (GCD).

GCD e anëtarëve 10 dhe 5 është numri 5. Prandaj, mund t'i ndani termat e relacionit me numrin 5

Mori një qëndrim të ri. Është një raport dy me një (2:1). Ky raport, si dhe raporti i mëparshëm 10:5, tregon se për çdo djalë ka dy vajza.

Figura tregon një raport 2:1 (dy me një). Ashtu si në raportin e mëparshëm 10:5, ka dy vajza për djalë. Me fjalë të tjera, qëndrimi nuk ka ndryshuar.

Shembulli 2. Në një klasë janë 10 vajza dhe 5 djem. Në një klasë tjetër janë 20 vajza dhe 10 djem. Sa herë më shumë vajza ka se djemtë në klasën e parë? Sa herë më shumë ka vajza se sa djem në klasën e dytë?

Ka dy herë më shumë vajza se djem në të dyja klasat, pasi raportet dhe janë të barabartë me të njëjtin numër.

Vetia e marrëdhënieve ju lejon të ndërtoni modele të ndryshme që kanë parametra të ngjashëm me objektin real. Supozoni se një ndërtesë apartamentesh është 30 metra e gjerë dhe 10 metra e lartë.

Për të nxjerrë një shtëpi të ngjashme në letër, duhet ta vizatoni në të njëjtin raport prej 30:10.

Pjesëtoni të dy termat e këtij raporti me numrin 10. Më pas marrim raportin 3:1. Ky raport është 3, si raporti i mëparshëm është 3

Shndërroni metra në centimetra. 3 metra është 300 centimetra dhe 1 metër është 100 centimetra.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Ne kemi një raport 300 cm: 100 cm.Pjestojme termat e këtij raporti me 100. Marrim një raport 3 cm: 1 cm Tani mund të vizatojmë një shtëpi me gjerësi 3 cm dhe lartësi 1 cm

Sigurisht, shtëpia e vizatuar është shumë më e vogël se shtëpia e vërtetë, por raporti i gjerësisë dhe lartësisë mbetet i pandryshuar. Kjo na lejoi të vizatojmë një shtëpi sa më afër asaj reale.

Qëndrimi mund të kuptohet në një mënyrë tjetër. Fillimisht u tha se një shtëpi e vërtetë ka një gjerësi 30 metra dhe një lartësi 10 metra. Totali është 30 + 10, domethënë 40 metra.

Këto 40 metra mund të kuptohen si 40 pjesë. Një raport prej 30:10 do të thotë 30 pjesë për gjerësinë dhe 10 pjesë për lartësinë.

Më tej, anëtarët e raportit 30: 10 u ndanë me 10. Rezultati ishte një raport 3: 1. Ky raport mund të kuptohet si 4 pjesë, tre prej të cilave bien në gjerësi, një në lartësi. Në këtë rast, zakonisht duhet të zbuloni saktësisht se sa metra për gjerësi dhe lartësi.

Me fjalë të tjera, duhet të zbuloni se sa metra bien në 3 pjesë dhe sa metra në 1 pjesë. Së pari ju duhet të zbuloni se sa metra bien në një pjesë. Për ta bërë këtë, totali 40 metra duhet të ndahet me 4, pasi ka vetëm katër pjesë në një raport 3: 1.

Le të përcaktojmë sa metra është gjerësia:

10 m × 3 = 30 m

Le të përcaktojmë sa metra bien në lartësi:

10 m × 1 = 10 m

Anëtarë të shumtë të një relacioni

Nëse në një relacion jepen disa anëtarë, atëherë ata mund të kuptohen si pjesë të diçkaje.

Shembulli 1. Bleva 18 mollë. Këto mollë u ndanë midis nënës, babit dhe vajzës në një raport 2: 1: 3. Sa mollë mori secila?

Raporti 2: 1: 3 tregon se nëna mori 2 pjesë, babai - 1 pjesë, vajza - 3 pjesë. Me fjalë të tjera, çdo anëtar i raportit 2:1:3 është një pjesë e caktuar prej 18 mollësh:

Nëse shtoni kushtet e raportit 2: 1: 3, atëherë mund të zbuloni se sa pjesë janë gjithsej:

2 + 1 + 3 = 6 (pjesë)

Zbuloni sa mollë bien në një pjesë. Për ta bërë këtë, ndani 18 mollë me 6

18:6 = 3 (mollë për pjesë)

Tani le të përcaktojmë se sa mollë ka marrë secila. Duke shumëzuar tre mollë me secilin pjesëtar të raportit 2:1:3, mund të përcaktoni sa mollë mori nëna, sa mori babi dhe sa mori vajza.

Zbuloni sa mollë ka marrë nëna:

3 × 2 = 6 (mollë)

Zbuloni sa mollë ka marrë babai:

3 × 1 = 3 (mollë)

Zbuloni sa mollë mori vajza:

3 × 3 = 9 (mollë)

Shembulli 2. Argjendi i ri (alpaka) është një aliazh i nikelit, zinkut dhe bakrit në një raport 3:4:13. Sa kilogramë të çdo metali duhet të merren për të marrë 4 kg argjend të ri?

4 kilogramë argjend i ri do të përmbajë 3 pjesë nikel, 4 pjesë zink dhe 13 pjesë bakër. Së pari, ne zbulojmë se sa pjesë do të ketë në katër kilogram argjend:

3 + 4 + 13 = 20 (pjesë)

Përcaktoni sa kilogramë do të bien në një pjesë:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Le të përcaktojmë se sa kilogramë nikel do të përmbahen në 4 kg argjend të ri. Në raportin 3:4:13, tre pjesë të aliazhit thuhet se përmbajnë nikel. Pra, ne shumëzojmë 0.2 me 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikel

Tani le të përcaktojmë se sa kilogramë zink do të përmbahen në 4 kg argjend të ri. Në raportin 3:4:13, katër pjesë të aliazhit thuhet se përmbajnë zink. Pra, ne shumëzojmë 0.2 me 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg zink

Tani le të përcaktojmë se sa kilogramë bakër do të përmbahen në 4 kg argjend të ri. Në raportin 3:4:13, trembëdhjetë pjesë të aliazhit thuhet se përmbajnë bakër. Prandaj, ne shumëzojmë 0.2 me 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakër

Pra, për të marrë 4 kg argjend të ri, duhet të merrni 0,6 kg nikel, 0,8 kg zink dhe 2,6 kg bakër.

Shembulli 3. Tunxh është një aliazh i bakrit dhe zinkut, raporti i masës së të cilit është 3:2. Duhen 120 g bakër për të bërë një copë bronzi. Sa zink nevojitet për të bërë këtë copë bronzi?

Le të përcaktojmë se sa gram aliazh bie në një pjesë. Kushti thotë se për të bërë një copë bronzi nevojiten 120 g bakër. Thuhet gjithashtu se tre pjesë të aliazhit përmbajnë bakër. Nëse e ndajmë 120 me 3, zbulojmë se sa gram aliazh ka në një pjesë:

120: 3 = 40 gram për copë

Tani le të përcaktojmë se sa zink nevojitet për të bërë një copë bronzi. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë 40 gram me 2, pasi në një raport 3: 2 tregohet se dy pjesë përmbajnë zink:

40 g × 2 = 80 gram zink

Shembulli 4. Ata morën dy lidhje ari dhe argjendi. Në një, raporti i këtyre metaleve është 1: 9, dhe në tjetrin, 2: 3. Sa nga secila aliazh duhet të merret për të marrë 15 kg aliazh të ri në të cilin ari dhe argjendi do të lidheshin si 1:4. ?

Zgjidhje

15 kg aliazh i ri duhet të jetë në një raport 1: 4. Ky raport tregon se një pjesë e aliazhit do të ketë ar dhe katër pjesë do të ketë argjend. Janë pesë pjesë gjithsej. Skematikisht, kjo mund të përfaqësohet si më poshtë

Le të përcaktojmë masën e një pjese. Për ta bërë këtë, së pari shtoni të gjitha pjesët (1 dhe 4), pastaj ndani masën e lidhjes me numrin e këtyre pjesëve

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Një pjesë e aliazhit do të ketë një masë prej 3 kg. Atëherë 15 kg aliazh i ri do të përmbajë 3 × 1 = 3 kg ar dhe 3 × 4 = 12 kg argjend.

Prandaj, për të marrë një aliazh që peshon 15 kg, na duhen 3 kg ar dhe 12 kg argjend.

Tani le t'i përgjigjemi pyetjes së detyrës - " Sa për të marrë çdo aliazh? »

Do të marrim 10 kg të lidhjes së parë, pasi ari dhe argjendi në të janë në një raport 1: 9. Kjo do të thotë, kjo lidhje e parë do të na japë 1 kg ar dhe 9 kg argjend.

Do të marrim 5 kg të lidhjes së dytë, pasi ari dhe argjendi janë në të në një raport 2: 3. Kjo do të thotë, kjo lidhje e dytë do të na japë 2 kg ar dhe 3 kg argjend.

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri Vkontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Proporcionet janë një kombinim kaq i njohur, që ndoshta dihet që në klasat fillore të një shkolle gjithëpërfshirëse. Në kuptimin më të përgjithshëm, proporcioni është barazia e dy ose më shumë raporteve.

Kjo do të thotë, nëse ka disa numra A, B dhe C

pastaj proporcioni

nëse ka katër numra A, B, C dhe D

ose është gjithashtu një proporcion

Shembulli më i thjeshtë ku përdoret proporcioni është llogaritja e përqindjeve.

Në përgjithësi, përdorimi i përmasave është aq i gjerë sa është më e lehtë të dallosh se ku nuk zbatohen.

Proporcionet mund të përdoren për të përcaktuar distancat, masat, vëllimet, si dhe sasinë e çdo gjëje, me një kusht të rëndësishëm: në proporcion, duhet të ketë varësi lineare midis objekteve të ndryshme. Më poshtë, duke përdorur shembullin e ndërtimit të një plan urbanistik prej bronzi, do të shihni se si të llogaritni proporcionet ku ka varësi jolineare.

Përcaktoni sa kilogramë oriz do të jetë nëse merrni 17 për qind të vëllimit të përgjithshëm të orizit prej 150 kilogramësh?

Le të bëjmë një proporcion me fjalë: 150 kilogramë është vëllimi i përgjithshëm i orizit. Pra, le ta marrim si 100%. Pastaj 17% e 100% do të llogaritet si një proporcion i dy raporteve: 100 për qind është për 150 kilogramë njësoj si 17 për qind për një numër të panjohur.

Tani numri i panjohur llogaritet në mënyrë elementare

Kjo është, përgjigja jonë është 25.5 kilogramë oriz.

Ka edhe mistere interesante që lidhen me përmasat, të cilat tregojnë se nuk është e nevojshme të aplikohen me nxitim përmasat për të gjitha rastet.

Këtu është një prej tyre, pak i modifikuar:

Për demonstrim në zyrën e kompanisë, drejtori urdhëroi të krijonte një model të skulpturës "Kalorësi prej bronzi" pa një piedestal graniti. Një nga kushtet është që maketi të jetë nga të njëjtat materiale si origjinali, të respektohen përmasat dhe lartësia e make-upit të jetë saktësisht 1 metër. Pyetje: Sa do të jetë pesha e paraqitjes?

Le të fillojmë me librat referencë.

Lartësia e kalorësit është 5.35 metra dhe pesha e tij është 8000 kg.

Nëse përdorim mendimin e parë - për të bërë një proporcion: 5.35 metra lidhet me 8000 kilogramë si 1 metër me një vlerë të panjohur, atëherë mund të mos fillojmë as llogaritjen, pasi përgjigja do të jetë e gabuar.

Bëhet fjalë për një nuancë të vogël që duhet marrë parasysh. Gjithçka ka të bëjë me lidhjen ndërmjet masës dhe lartësisë skulptura jolineare d.m.th., nuk mund të thuhet se duke e rritur, për shembull, një kub me 1 metër (duke respektuar përmasat që të mbetet kub), do të rrisim peshën e tij me të njëjtën sasi.

Kjo është e lehtë për t'u kontrolluar me shembuj:

1. ngjitni një kub me gjatësi buzë 10 centimetra. Sa ujë do të hyjë atje? Është logjike që 10 * 10 * 10 \u003d 1000 centimetra kub, domethënë 1 litër. Epo, meqenëse ata derdhën ujë atje (dendësia është e barabartë me një), dhe jo një lëng tjetër, atëherë masa do të jetë e barabartë me 1 kg.

2. ngjitni një kub të ngjashëm, por me gjatësi brinjë 20 cm Vëllimi i ujit të derdhur në të do të jetë i barabartë me 20 * 20 * 20 = 8000 centimetra kub, domethënë 8 litra. Epo, pesha është natyrisht 8 kg.

Është e lehtë të shihet se marrëdhënia midis masës dhe ndryshimit në gjatësinë e skajit të kubit është jolineare, ose më mirë kub.

Kujtoni se vëllimi është produkt i lartësisë, gjerësisë dhe thellësisë.

Kjo do të thotë, kur një figurë ndryshon (në varësi të përmasave / formës) të një madhësie lineare (lartësia, gjerësia, thellësia), masa / vëllimi i një figure tredimensionale ndryshon në mënyrë kubike.

Ne argumentojmë:

Dimensioni ynë linear ka ndryshuar nga 5,35 metra në 1 metër, atëherë masa (vëllimi) do të ndryshojë si rrënja kubike prej 8000/x

Dhe merrni atë plan urbanistik Kalorësi prej bronzi në zyrën e kompanisë me lartësi 1 metër do të peshojë 52 kilogramë 243 gram.

Por nga ana tjetër, nëse detyra do të vendosej kështu " faqosja duhet të bëhet nga të njëjtat materiale si origjinali, përmasat dhe vëllimi 1 metër kub "Pastaj duke ditur se ekziston një marrëdhënie lineare midis vëllimit dhe masës, ne thjesht do të përdorim raportin standard, vëllimin e vjetër me të ri dhe masën e vjetër me një numër të panjohur.

Por roboti ynë ndihmon për të llogaritur përmasat në raste të tjera, më të zakonshme dhe praktike.

Sigurisht, do të jetë e dobishme për të gjitha amvisat që gatuajnë ushqim.

Situatat lindin kur gjendet një recetë për një tortë të mahnitshme prej 10 kg, por vëllimi i saj është shumë i madh për t'u përgatitur. vëllimet e përbërësve?

Këtu do t'ju ndihmojë një bot, i cili do të jetë në gjendje të llogarisë parametrat e rinj të një keku 2 kilogramësh.

Gjithashtu, roboti do të ndihmojë në llogaritjet për burrat punëtorë që po ndërtojnë një shtëpi dhe ata duhet të llogarisin sa përbërës betoni duhet të marrin nëse kanë vetëm 50 kilogramë rërë.

Sintaksë

Për përdoruesit e klientit XMPP: pro<строка>

ku vargu ka elemente të kërkuara

numri 1 / numri 2 - gjetja e proporcionit.

Për të mos pasur frikë nga një përshkrim kaq i shkurtër, ne japim një shembull këtu.

200 300 100 3 400/100

Që thotë, për shembull, sa vijon:

200 gram miell, 300 mililitra qumësht, 100 gram gjalpë, 3 vezë - rendimenti i petullave është 400 gram.

Sa përbërës duhet të merrni për të pjekur vetëm 100 gram petulla?

Sa e lehtë është të vërehet

400/100 është raporti i recetës tipike me rendimentin që duam.

Ne do t'i shqyrtojmë shembujt në më shumë detaje në seksionin përkatës.

Shembuj

Një mik ndau një recetë të mrekullueshme

Brumë: 200 gram fara lulekuqe, 8 vezë, 200 sheqer pluhur, 50 gramë role të grira, 200 gramë arra të bluara, 3 gota mjaltë.
Lulëkuqja ziehet për 30 minuta në zjarr të ulët, grihet me një shtypës, shtohet mjalti i shkrirë, krisurat e bluara, arrat.
Rrihni vezët me sheqer pluhur, shtoni në masë.
Përziejeni brumin butësisht, derdhni në një myk, piqni.
Tortën e ftohur e ndajmë në 2 shtresa, e lyejmë me reçel kosi, më pas me krem.
Dekoroni me manaferrat e reçelit.
Kremi: 1 filxhan salcë kosi, 1/2 filxhan sheqer, rrihni.

Një raport (në matematikë) është një marrëdhënie midis dy ose më shumë numrave të të njëjtit lloj. Raportet krahasojnë vlerat absolute ose pjesët e një tërësie. Raportet llogariten dhe shkruhen në mënyra të ndryshme, por parimet bazë janë të njëjta për të gjitha raportet.

Hapat

Pjesa 1

Përkufizimi i raporteve

Përdorimi i raporteve. Raportet përdoren si në shkencë ashtu edhe në jetën e përditshme për të krahasuar sasitë. Raportet më të thjeshta lidhen vetëm me dy numra, por ka raporte që krahasojnë tre ose më shumë vlera. Në çdo situatë në të cilën ka më shumë se një sasi, mund të shkruhet një raport. Duke lidhur disa vlera, raportet, për shembull, mund të sugjerojnë se si të rritet sasia e përbërësve në një recetë ose substancave në një reaksion kimik.

Përkufizimi i raporteve. Një marrëdhënie është një marrëdhënie midis dy (ose më shumë) vlerave të të njëjtit lloj. Për shembull, nëse një kek kërkon 2 gota miell dhe 1 filxhan sheqer, atëherë raporti i miellit me sheqerin është 2 me 1.
- Raportet mund të përdoren gjithashtu kur dy sasi nuk janë të lidhura me njëra-tjetrën (si në shembullin e tortës). Për shembull, nëse në klasë ka 5 vajza dhe 10 djem, atëherë raporti i vajzave ndaj djemve është 5 me 10. Këto sasi (numri i djemve dhe numri i vajzave) nuk varen nga njëra-tjetra, d.m.th. vlerat e tyre do të ndryshojnë nëse dikush largohet nga klasa ose një student i ri do të vijë në klasë. Raportet thjesht krahasojnë vlerat e sasive.
Vini re mënyrat e ndryshme në të cilat paraqiten raportet. Marrëdhëniet mund të përfaqësohen me fjalë ose me simbole matematikore.
- Shumë shpesh raportet shprehen me fjalë (siç tregohet më lart). Sidomos kjo formë e paraqitjes së raporteve përdoret në jetën e përditshme, larg shkencës.
- Gjithashtu, raportet mund të shprehen përmes një dy pika. Kur krahasoni dy numra në një raport, do të përdorni një dy pika të vetme (për shembull, 7:13); kur krahasoni tre ose më shumë vlera, vendosni dy pika midis çdo çifti numrash (për shembull, 10:2:23). Në shembullin tonë të klasës, ju mund të shprehni raportin e vajzave ndaj djemve si kjo: 5 vajza: 10 djem. Ose si kjo: 5:10.
- Më rrallë, raportet shprehen duke përdorur një prerje. Në shembullin e klasës, mund të shkruhet kështu: 5/10. Megjithatë, kjo nuk është një thyesë dhe një raport i tillë nuk lexohet si një thyesë; për më tepër, mbani mend se në një raport, numrat nuk janë pjesë e një tërësie të vetme.
Pjesa 2
Përdorimi i raporteve
1. Thjeshtoni raportin. Raporti mund të thjeshtohet (i ngjashëm me thyesat) duke pjesëtuar çdo term (numër) të raportit me . Megjithatë, mos harroni vlerat origjinale të raportit.
  - Në shembullin tonë, ka 5 vajza dhe 10 djem në klasë; raporti është 5:10. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i termave të raportit është 5 (pasi që edhe 5 edhe 10 pjesëtohen me 5). Pjesëtoni çdo numër raporti me 5 për të marrë një raport prej 1 vajzë me 2 djem (ose 1:2). Sidoqoftë, kur thjeshtoni raportin, mbani parasysh vlerat origjinale. Në shembullin tonë, nuk ka 3 nxënës në klasë, por 15. Raporti i thjeshtuar krahason numrin e djemve dhe numrin e vajzave. Domethënë, për çdo vajzë ka 2 djem, por nuk ka 2 djem dhe 1 vajzë në klasë.
  - Disa marrëdhënie nuk janë thjeshtuar. Për shembull, raporti 3:56 nuk është i thjeshtuar sepse këta numra nuk kanë pjesëtues të përbashkët (3 është numër i thjeshtë dhe 56 nuk pjesëtohet me 3).
2. Përdorni shumëzimin ose pjesëtimin për të rritur ose ulur raportin. Një problem i zakonshëm është rritja ose zvogëlimi i dy vlerave që janë proporcionale me njëra-tjetrën. Nëse ju jepet një raport dhe duhet të gjeni një raport më të madh ose më të vogël që përputhet me të, shumëzojeni ose pjesëtojeni raportin origjinal me një numër të caktuar.
  - Për shembull, një bukëpjekës duhet të trefishojë sasinë e përbërësve të dhënë në një recetë. Nëse receta thotë se raporti i miellit me sheqerin është 2:1 (2:1), atëherë bukëpjekësi do të shumëzojë çdo term me 3 për të marrë një raport 6:3 (6 gota miell me 3 gota sheqer).
  - Nga ana tjetër, nëse furrtari duhet të përgjysmojë sasinë e përbërësve të dhënë në recetë, atëherë bukëpjekësi do të ndajë çdo term raporti me 2 dhe do të marrë një raport 1:½ (1 filxhan miell me 1/2 filxhan sheqer).
3. Kërkoni për një vlerë të panjohur kur jepen dy raporte ekuivalente. Ky është një problem në të cilin ju duhet të gjeni një variabël të panjohur në një relacion duke përdorur një relacion të dytë që është ekuivalent me të parën. Për të zgjidhur probleme të tilla, përdorni. Shkruani çdo raport si një thyesë, vendosni një shenjë të barabartë midis tyre dhe shumëzojini termat e tyre në mënyrë tërthore.
  - Për shembull, jepet një grup studentësh, në të cilin janë 2 djem dhe 5 vajza. Sa do të jetë numri i djemve nëse numri i vajzave rritet në 20 (proporcioni ruhet)? Së pari, shkruani dy raporte - 2 djem:5 vajza dhe X djem: 20 vajza. Tani shkruajini këto raporte si thyesa: 2/5 dhe x/20. Shumëzoni termat e thyesave në mënyrë tërthore dhe merrni 5x = 40; pra x = 40/5 = 8.
Pjesa 3
Gabimet e zakonshme
1. Shmangni mbledhjen dhe zbritjen në problemet e raportit të tekstit. Shumë probleme fjalësh duken diçka si kjo: “Receta kërkon 4 zhardhokë patate dhe 5 karota me rrënjë. Nëse dëshironi të shtoni 8 patate, sa karota ju nevojiten për të mbajtur raportin e njëjtë?” Kur zgjidhin probleme të tilla, nxënësit shpesh bëjnë gabim duke shtuar të njëjtën sasi përbërësish në numrin origjinal. Megjithatë, për të mbajtur raportin, duhet të përdorni shumëzimin. Këtu janë shembuj të zgjidhjeve të drejta dhe të gabuara:
  - E pasaktë: “8 - 4 = 4 - kështu shtuam 4 zhardhokët e patates. Pra, ju duhet të merrni 5 rrënjë karrota dhe të shtoni 4 të tjera në to ... Stop! Raportet nuk funksionojnë në këtë mënyrë. Ia vlen të provohet përsëri."
  - E saktë: "8 ÷ 4 = 2 - kështu që ne shumëzuam numrin e patateve me 2. Prandaj, 5 rrënjë karrota gjithashtu duhet të shumëzohen me 2. 5 x 2 = 10 - 10 rrënjë karrota duhet të shtohen në recetë."

bazë kërkimi matematikor është aftësia për të fituar njohuri për sasi të caktuara duke i krahasuar ato me sasi të tjera që janë ose të barabartë, ose më shumë ose më pak sesa ato që janë objekt studimi. Kjo zakonisht bëhet me një seri ekuacionet dhe përmasat. Kur përdorim ekuacione, përcaktojmë sasinë që kërkojmë duke e gjetur atë barazisë me ndonjë sasi ose sasi të tjera tashmë të njohura.

Megjithatë, shpesh ndodh që ne po krahasojmë një sasi të panjohur me të tjerat që jo të barabartë ajo, por pak a shumë e saj. Këtu na duhet një qasje e ndryshme për përpunimin e të dhënave. Mund të na duhet të dimë, për shembull, sa shumë njëra vlerë është më e madhe se tjetra, ose sa herë njëri përmban tjetrin. Për të gjetur përgjigje për këto pyetje, do të zbulojmë se çfarë është raport dy madhësi. Një raport quhet aritmetike, dhe nje tjeter gjeometrike. Edhe pse vlen të theksohet se të dyja këto terma nuk janë miratuar rastësisht ose thjesht për hir të dallimit. Të dyja marrëdhëniet aritmetike dhe gjeometrike vlejnë si për aritmetikën ashtu edhe për gjeometrinë.

Duke qenë një komponent i një teme të gjerë dhe të rëndësishme, proporcioni varet nga raportet, ndaj është i nevojshëm një kuptim i qartë dhe i plotë i këtyre koncepteve.

338. Raporti aritmetik kjo është ndryshimndërmjet dy sasive ose një serie sasish. Quhen vetë sasitë anëtarët raportet, pra termat ndërmjet të cilëve ka një raport. Pra, 2 është raporti aritmetik i 5 dhe 3. Kjo shprehet duke vendosur një shenjë minus midis dy vlerave, pra 5 - 3. Sigurisht, termi raport aritmetik dhe përcaktimi i tij është praktikisht i padobishëm, pasi vetëm fjala zëvendësohet. ndryshim në shenjën minus në shprehje.

339. Nëse të dy anëtarët e një relacioni aritmetik shumohen ose ndajnë me të njëjtën sasi, atëherë raport, përfundimisht do të shumëzohet ose pjesëtohet me atë shumë.
Kështu, nëse kemi a - b = r
Më pas shumëzojini të dyja anët me h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
Dhe pjesëtimi me h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Nëse termat e një raporti aritmetik shtohen ose zbresin nga termat përkatës të një tjetri, atëherë raporti i shumës ose i ndryshimit do të jetë i barabartë me shumën ose ndryshimin e dy raporteve.
Nëse a - b
Dhe d-h
janë dy raporte,
Pastaj (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Që në secilin rast = a + d - b - h.
Dhe (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Që në secilin rast = a - d - b + h.
Pra, raporti aritmetik 11 - 4 është 7
Dhe raporti aritmetik 5 - 2 është 3
Raporti i shumës së termave 16 - 6 është 10, - shuma e raporteve.
Raporti i diferencës së anëtarëve 6 - 2 është 4, - diferenca e raporteve.

341. raporti gjeometrik është marrëdhënia ndërmjet sasive, e cila shprehet PRIVAT nëse një vlerë pjesëtohet me një tjetër.
Pra, raporti 8 me 4 mund të shkruhet si 8/4 ose 2. Kjo do të thotë, herësi i 8 i pjesëtuar me 4. Me fjalë të tjera, tregon se sa herë 4 përmbahet në 8.

Në të njëjtën mënyrë, raporti i çdo sasie me një tjetër mund të përcaktohet duke pjesëtuar të parën me të dytën, ose, që në thelb është e njëjta gjë, duke e bërë të parën numërues të thyesës dhe të dytën emërues.
Pra, raporti i a ndaj b është $\frac(a)(b)$
Raporti d + h me b + c është $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Raporti gjeometrik shkruhet edhe duke vendosur dy pika njëra mbi tjetrën ndërmjet vlerave të krahasuara.
Kështu a:b është raporti i a me b, dhe 12:4 është raporti 12 me 4. Të dy sasitë së bashku formojnë çift, në të cilin termi i parë quhet paraardhës, dhe e fundit është rrjedhimore.

343. Ky shënim me pika dhe tjetri, në formën e një thyese, janë të këmbyeshëm sipas nevojës, ku paraardhësi bëhet numërues i thyesës dhe rrjedhimor emërues.
Pra 10:5 është e njëjtë me $\frac(10)(5)$ dhe b:d është e njëjtë me $\frac(b)(d)$.

344. Nëse ndonjërit nga këto tre kuptime: paraardhës, rrjedhim dhe relacion jepet ndonjë dy, atëherë mund të gjendet i treti.

Le të a= paraardhës, c= rrjedhim, r= raport.
Sipas përkufizimit, $r=\frac(a)(c)$, domethënë, raporti është i barabartë me paraardhësin e ndarë me konsekuencën.
Duke shumëzuar me c, a = cr, domethënë, paraardhësi është i barabartë me shumëfishin pasues të raportit.
Pjestojeni me r, $c=\frac(a)(r)$, domethënë, konsekuenca është e barabartë me paraardhësin e pjesëtuar me raportin.

Resp. 1. Nëse dy çifte kanë paraardhës dhe pasues të barabartë, atëherë edhe raportet e tyre janë të barabartë.

Resp. 2. Nëse raportet dhe pasardhësit e dy çifteve janë të barabarta, atëherë pasuesit janë të barabartë, e nëse raportet dhe pasardhësit janë të barabartë, atëherë pararendësit janë të barabartë.

345. Nëse krahasohen dy sasi të barabartë, atëherë raporti i tyre është i barabartë me unitet ose barazi. Raporti 3 * 6:18 është i barabartë me një, pasi koeficienti i çdo vlere të ndarë në vetvete është i barabartë me 1.

Nëse paraardhësi i çiftit me shume, se konsekuenca, atëherë raporti është më i madh se një. Meqenëse dividenti është më i madh se pjesëtuesi, herësi është më i madh se një. Pra, raporti 18:6 është 3. Ky quhet raport pabarazi më të madhe.

Nga ana tjetër, nëse paraardhësi më pak se konsekuenca, atëherë raporti është më i vogël se një, dhe ky quhet raport më pak pabarazi. Pra, raporti 2:3 është më i vogël se një, sepse dividenti është më i vogël se pjesëtuesi.

346. E kundërta raporti është raporti i dy reciprokeve.
Pra, raporti i inversit 6 me 3 është me, domethënë:.
Lidhja e drejtpërdrejtë e a me b është $\frac(a)(b)$, pra paraardhësi i pjesëtuar me konsekuencën.
Lidhja e anasjelltë është $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ose $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a) $.
pra kosekuenca b e pjestuar me paraardhësin a.

Prandaj shprehet marrëdhënia e anasjelltë duke përmbysur një thyesë, e cila shfaq një lidhje të drejtpërdrejtë, ose, kur shënimi bëhet duke përdorur pika, duke përmbysur radhën e shkrimit të anëtarëve.
Kështu a lidhet me b në mënyrë të kundërt që b lidhet me a.

347. Raporti kompleks këtë raport punon termat përkatës me dy ose më shumë marrëdhënie të thjeshta.
Pra, raporti është 6:3, është i barabartë me 2
Dhe raporti 12:4 është e barabartë me 3
Raporti i përbërë prej tyre është 72:12 = 6.

Këtu përftohet një relacion kompleks duke shumëzuar së bashku dy pararendës dhe gjithashtu dy konsekuenca të marrëdhënieve të thjeshta.
Pra, raporti është i përbërë
Nga raporti a:b
Dhe raportet c:d
dhe raporti h:y
Ky është raporti $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Një marrëdhënie komplekse nuk ndryshon në të natyrës nga çdo raport tjetër. Ky term përdoret për të treguar origjinën e një lidhjeje në raste të caktuara.

Resp. Një raport kompleks është i barabartë me produktin e raporteve të thjeshta.
Raporti a:b është i barabartë me $\frac(a)(b)$
Raporti c:d është i barabartë me $\frac(c)(d)$
Raporti h:y është i barabartë me $\frac(h)(y)$
Dhe raporti i shtuar i këtyre treve do të jetë ach/bdy, që është prodhimi i thyesave që shprehin raporte të thjeshta.

348. Nëse në sekuencën e relacioneve në çdo çift të mëparshëm pasuesja është paraardhësi në tjetrin, atëherë raporti i paraardhësit të parë dhe pasues i fundit është i barabartë me atë të marrë nga raportet e ndërmjetme.
Pra, në një sërë raportesh
a:b
b:c
c:d
d:h
raporti a:h është i barabartë me raportin e mbledhur nga raportet a:b dhe b:c dhe c:d dhe d:h. Pra, lidhja komplekse në artikullin e fundit është $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, ose a:h.

Në të njëjtën mënyrë, të gjitha sasitë që janë njëkohësisht paraardhëse dhe pasuese zhduken, kur prodhimi i thyesave do të thjeshtohet në termat e tij më të ulët dhe në pjesën e mbetur lidhja komplekse do të shprehet me paraardhësin e parë dhe me pasuesin e fundit.

349. Një klasë e veçantë marrëdhëniesh komplekse fitohet duke shumëzuar një lidhje të thjeshtë me vetë ose tek një tjetër të barabartë raport. Këto raporte quhen dyfishtë, trefishtë, katërfishtë, dhe kështu me radhë, sipas numrit të shumëzimeve.

Raporti i përbërë nga dy proporcione të barabarta, d.m.th. katrore dyfishtë raport.

E përbërë nga tre, kjo eshte, kubik raport i thjeshtë quhet trefishtë, dhe kështu me radhë.

Në mënyrë të ngjashme, raporti rrënjë katrore dy sasi quhet raporti rrenja katrore, dhe raporti rrënjët kubike- raport rrënjë kubike, dhe kështu me radhë.
Pra, raporti i thjeshtë i a me b është a:b
Raporti i dyfishtë i a ndaj b është 2:b 2
Raporti i trefishtë i a ndaj b është 3:b 3
Raporti i rrënjës katrore të a me b është √a :√b
Raporti i rrënjës kubike të a me b është 3 √a : 3 √b , e kështu me radhë.
Kushtet dyfishtë, trefishtë, dhe kështu me radhë nuk kanë nevojë të përzihen me dyfishuar, trefishuar, dhe kështu me radhë.
Raporti 6 me 2 është 6:2 = 3
Nëse e dyfishojmë këtë raport, domethënë raportin dy herë, marrim 12:2 = 6
Ne e trefishojmë këtë raport, domethënë këtë raport tre herë, marrim 18: 2 = 9
POR dyfishtë raporti, pra katrore raporti është 6 2:2 2 = 9
Dhe trefishtë raporti, pra kubi i raportit, është 6 3:2 3 = 27

350. Në mënyrë që sasitë të jenë të ndërlidhura me njëra-tjetrën, ato duhet të jenë të të njëjtit lloj, në mënyrë që të mund të thuhet me siguri nëse ato janë të barabarta me njëra-tjetrën, ose nëse njëra prej tyre është më e madhe apo më e vogël. Një këmbë është në një inç si 12 me 1: është 12 herë më e madhe se një inç. Por nuk mund të thuhet, për shembull, se një orë është më e gjatë ose më e shkurtër se një shkop, ose një hektar është më i madh ose më pak se një shkallë. Megjithatë, nëse këto vlera shprehen në numrat, atëherë mund të ketë një lidhje midis këtyre numrave. Kjo do të thotë, mund të ketë një lidhje midis numrit të minutave në një orë dhe numrit të hapave në një milje.

351. Duke u kthyer në natyrës raportet, hapi tjetër që duhet të kemi parasysh është se si ndryshimi në një ose dy terma që krahasohen me njëri-tjetrin do të ndikojë në vetë raportin. Kujtojmë se një raport i drejtpërdrejtë shprehet si thyesë, ku paraardhëseçiftet janë gjithmonë numërues, a rrjedhimore - emërues. Atëherë do të jetë e lehtë të përftohet nga vetia e fraksioneve që ndryshimet në raport ndodhin duke ndryshuar sasitë e krahasuara. Raporti i dy sasive është i njëjtë si kuptimi thyesat, secila prej të cilave përfaqëson private: numëruesi i pjesëtuar me emëruesin. (Neni 341.) Tani është treguar se shumëzimi i numëruesit të një thyese me çdo vlerë është i njëjtë me shumëzimin kuptimi me të njëjtën sasi dhe pjesëtimi i numëruesit është i njëjtë me pjesëtimin e vlerave të një thyese. Prandaj,

352. Të shumëzosh paraardhësin e një çifti me çdo vlerë do të thotë të shumëzosh raportet me këtë vlerë, dhe të pjesëtosh paraardhësin do të thotë të pjesëtosh këtë raport..
Pra, raporti 6:2 është 3
Dhe raporti 24:2 është 12.
Këtu paraardhësi dhe raporti në çiftin e fundit janë 4 herë më të mëdha se në çiftin e parë.
Relacioni a:b është i barabartë me $\frac(a)(b)$
Dhe relacioni na:b është i barabartë me $\frac(na)(b)$.

Resp. Me një pasojë të njohur, aq më shumë paraardhës, më shumë raport, dhe anasjelltas, sa më i madh të jetë raporti, aq më i madh është paraardhësi.

353. Duke shumëzuar konsekuencën e një çifti me çdo vlerë, si rezultat, marrim pjesëtimin e raportit me këtë vlerë, dhe duke pjesëtuar rrjedhojën, shumëzojmë raportin. Duke shumëzuar emëruesin e një thyese, pjesëtojmë vlerën, dhe duke pjesëtuar emëruesin, vlera shumëzohet.
Pra, raporti 12:2 është 6
Dhe raporti 12:4 është 3.
Këtu është konsekuenca e çiftit të dytë në dy herë më shumë, por raporti dy herë më pak se i pari.
Raporti a:b është $\frac(a)(b)$
Dhe raporti a:nb është i barabartë me $\frac(a)(nb)$.

Resp. Për një paraardhës të caktuar, sa më i madh të jetë konsekuenca, aq më i vogël është raporti. Në të kundërt, sa më i madh të jetë raporti, aq më i vogël është pasoja.

354. Nga dy nenet e fundit rezulton se paraardhës i shumëzimitçiftet sipas çdo vlere do të kenë të njëjtin efekt në raport si ndarja e pasojës me këtë shumë dhe ndarje paraardhëse, do të ketë të njëjtin efekt si shumëzimi pasues.
Pra, raporti 8:4 është 2
Duke shumëzuar paraardhësin me 2, raporti 16:4 është 4
Duke e pjesëtuar paraardhësin me 2, raporti 8:2 është 4.

Resp. Çdo faktor ose ndarës mund të kalohet nga paraardhësi i një çifti në pasues, ose nga pasues në pararendës, pa ndryshuar relacionin.

Vlen të theksohet se kur një faktor transferohet kështu nga një term në tjetrin, atëherë ai bëhet pjesëtues dhe pjesëtuesi i transferuar bëhet faktor.
Pra, raporti është 3.6:9 = 2
Zhvendosja e faktorit 3, $6:\frac(9)(3)=2$
të njëjtin raport.

Relacioni $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(nga)$
Lëvizja y $ma:by=\frac(ma)(nga)$
Duke lëvizur m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(nga)$.

355. Siç shihet nga nenet. 352 dhe 353, nëse paraardhësi dhe konsekuenti shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtën shumë, atëherë raporti nuk ndryshon.

Resp. 1. Raporti i dy thyesat, të cilat kanë një emërues të përbashkët, të njëjtë me raportin e tyre numëruesit.
Kështu raporti a/n:b/n është i njëjtë me a:b.

Resp. 2. e drejtpërdrejtë raporti i dy thyesave që kanë një numërues të përbashkët është i barabartë me raportin e tyre reciprok emërues.

356. Është e lehtë të përcaktohet raporti i çdo dy thyese nga artikulli. Nëse çdo term shumëzohet me dy emërues, atëherë raporti do të jepet me shprehje integrale. Kështu, duke shumëzuar termat e çiftit a/b:c/d me bd, marrim $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, e cila bëhet ad:bc, duke reduktuar vlerat totale nga numëruesit dhe emëruesit.

356 b. Raport pabarazi më të madhe rritet e tij
Le të jepet raporti më i madh i pabarazisë si 1+n:1
Dhe çdo raport a:b
Një raport kompleks do të jetë (Neni 347,) a + na:b
Çfarë është më e madhe se raporti a:b (neni 351 përkatësisht)
Por raporti më pak pabarazi, shtuar me një raport tjetër, zvogëlon e tij.
Lëreni raportin e diferencës më të vogël 1-n:1
Çdo raport i caktuar a:b
Raporti kompleks a - na:b
Çfarë është më pak se a:b.

357. Nëse për ose nga anëtarët e ndonjë çiftishtoni ose zbres dy sasi të tjera që janë në të njëjtin raport, atëherë shumat ose mbetjet do të kenë të njëjtin raport.
Le të jetë raporti a:b
Do të jetë njësoj si c:d
Pastaj relacioni shumat paraardhësit e shumës së pasojave, domethënë, a + c në b + d, është gjithashtu e njëjtë.
Domethënë, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dëshmi.

1. Sipas supozimit, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Shumëzo me b dhe me d, ad = bc
3. Shto cd në të dyja anët, ad + cd = bc + cd
4. Pjestojeni me d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Pjestohet me b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Raport ndryshim paraardhësit e ndryshimit të pasojave janë gjithashtu të njëjta.

358. Nëse raportet në disa çifte janë të barabarta, atëherë shuma e të gjithë paraardhësve është me shumën e të gjitha pasojave siç është çdo paraardhës ndaj pasojës së saj.
Kështu raporti
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Kështu raporti (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Raport pabarazi më të madhezvogëlohet, duke shtuar të njëjtën sasi për të dy anëtarët.
Le të marrim një lidhje të dhënë a+b:a ose $\frac(a+b)(a)$
Duke shtuar x në të dy termat, marrim a+b+x:a+x ose $\frac(a+b)(a)$.

E para bëhet $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Dhe e fundit është $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Meqenëse numëruesi i fundit është padyshim më i vogël se tjetri, atëherë raport duhet të jetë më pak. (Neni 351 respekt.)

Por raporti më pak pabarazi rritet, duke shtuar të njëjtën vlerë për të dy termat.
Le të jetë relacioni i dhënë (a-b):a, ose $\frac(a-b)(a)$.
Duke shtuar x në të dy termat, ai bëhet (a-b+x):(a+x) ose $\frac(a-b+x)(a+x)$
Duke i sjellë ato në një emërues të përbashkët,
E para bëhet $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Dhe e fundit, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Meqenëse numëruesi i fundit është më i madh se tjetri, atëherë raport më shumë.
Nëse në vend që të shtohet e njëjta vlerë heq nga dy terma, është e qartë se efekti në raport do të jetë i kundërt.

Shembuj.

1. Cili është më i madh: raporti 11:9 apo raporti 44:35?

2. Cili është më i madh: raporti $(a+3):\frac(a)(6)$, apo raporti $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Në qoftë se paraardhësi i një çifti është 65 dhe raporti është 13, cila është pasoja?

4. Nëse konsekuenca e një çifti është 7 dhe raporti është 18, sa është paraardhësi?

5. Si duket një raport kompleks i përbërë nga 8:7, dhe 2a:5b, dhe gjithashtu (7x+1):(3y-2)?

6. Si duket një raport kompleks i përbërë nga (x + y): b, dhe (x-y): (a + b), dhe gjithashtu (a + b): h? Reps. (x 2 - y 2): bh.

7. Nëse relacionet (5x+7):(2x-3), dhe $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\djathtas)$ formojnë një relacion kompleks, atëherë çfarë relacioni do të merrni: pak a shumë pabarazi? Reps. Raporti i pabarazisë më të madhe.

8. Cili është raporti i përbërë nga (x + y):a dhe (x - y):b, dhe $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Reps. Raporti i barazisë.

9. Cili është raporti 7:5 dhe dyfishi i 4:9 dhe trefishi i 3:2?
Reps. 14:15.

10. Cili është raporti i përbërë nga 3:7, dhe trefishi i raportit x:y, dhe nxjerrja e rrënjës nga raporti 49:9?
Reps. x3: y3.