Kako najti dolžino segmenta, če so koordinate znane. Iskanje koordinat sredine segmenta, primeri, rešitve. Metoda koordinat v prostoru

V tem članku bomo govorili o iskanju koordinat sredine segmenta iz koordinat njegovih koncev. Najprej bomo podali potrebne koncepte, nato bomo dobili formule za iskanje koordinat sredine segmenta in na koncu razmislili o rešitvah tipičnih primerov in problemov.

Navigacija po straneh.

Koncept sredine segmenta.

Za uvedbo koncepta sredine segmenta potrebujemo definicije segmenta in njegove dolžine.

Pojem segmenta je pri pouku matematike v petem razredu srednje šole podan takole: če vzamemo dve poljubni nesovpadajoči točki A in B, jima pritrdimo ravnilo in narišemo črto od A do B (oz. od B). do A), potem dobimo segment AB(ali segment B A). Točki A in B se imenujeta konci segmenta. Upoštevati moramo, da sta segment AB in segment BA isti segment.

Če je odsek AB od koncev neskončno podaljšan v obe smeri, dobimo ravna črta AB(ali neposredno VA). Odsek AB je del premice AB, zaprt med točkama A in B. Tako je odsek AB zveza točk A, B in množica vseh točk premice AB, ki se nahajajo med točkama A in B. Če vzamemo poljubno točko M premice AB, ki se nahaja med točkama A in B, potem pravijo, da je točka M laži na segmentu AB.

Dolžina segmenta AB je razdalja med točkama A in B v danem merilu (odsek dolžine enote). Dolžina segmenta AB bo označena kot .

Opredelitev.

Dot C se imenuje sredino segmenta AB, če leži na odseku AB in je na enaki razdalji od njegovih koncev.

Se pravi, če je točka C središče segmenta AB, potem leži na njej in.

Nadalje bo naša naloga najti koordinate sredine segmenta AB, če so koordinate točk A in B podane na koordinatni črti ali v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Koordinata sredine odseka na koordinatni črti.

Naj nam je dana koordinatna premica Ox in na njej dve nesovpadajoči točki A in B, ki ustrezata realnim številom in . Naj bo točka C središče segmenta AB. Poiščimo koordinate točke C.

Ker je točka C središče odseka AB, je enakost resnična. V odseku o razdalji od točke do točke na koordinatni črti smo pokazali, da je razdalja med točkami enaka modulu razlike med njihovimi koordinatami, torej . Potem oz . Od enakosti poiščite koordinato sredine odseka AB na koordinatni črti: - je enak polovici vsote koordinat koncev segmenta. Iz druge enakosti dobimo , kar je nemogoče, saj smo vzeli točki A in B, ki ne sovpadata.

torej formula za iskanje koordinate središča segmenta AB s konci in ima obliko .

Koordinate središča odseka črte.

Na ravnini uvedemo pravokoten kartezijev koordinatni sistem Оxyz. Dajmo nam dve točki in vemo, da je točka C središče odseka AB. Poiščimo koordinate in točke C.

Po konstrukciji naravnost vzporedne kot tudi vzporedne črte , torej po Thalesov izrek iz enakosti odsekov AC in CB sledi enakost odsekov in , kot tudi odsekov in . Zato je točka središče segmenta in središče segmenta. Nato na podlagi prejšnjega odstavka tega člena in .

S temi formulami lahko izračunamo tudi koordinate sredine segmenta AB v primerih, ko točki A in B ležita na eni od koordinatnih osi ali na ravni črti, pravokotni na eno od koordinatnih osi. Pustimo te primere brez komentarja in damo grafične ilustracije.

V to smer, središče segmenta AB na ravnini s konci v točkah in ima koordinate .

Koordinate sredine segmenta v prostoru.

Naj bo pravokotni koordinatni sistem Oxyz uveden v tridimenzionalni prostor in dve točki in . Dobimo formule za iskanje koordinat točke C, ki je središče odseka AB.

Razmislimo o splošnem primeru.

Naj so in so projekcije točk A, B in C na koordinatne osi Ox, Oy in Oz.

Po Thalesovem izreku so torej točke središča segmentov oz. Nato (glej prvi odstavek tega člena). Torej smo dobili formule za izračun koordinat sredine segmenta iz koordinat njegovih koncev v prostoru.

Te formule je mogoče uporabiti tudi v primerih, ko točki A in B ležita na eni od koordinatnih osi ali na ravni črti, pravokotni na eno od koordinatnih osi, in tudi, če točki A in B ležita v eni od koordinatnih ravnin ali v ravnina, vzporedna z eno od koordinatnih osi.ravnine.

Koordinate sredine segmenta skozi koordinate polmernih vektorjev njegovih koncev.

Formule za iskanje koordinat sredine segmenta je enostavno dobiti s sklicevanjem na algebro vektorjev.

Naj je pravokotni kartezijev koordinatni sistem Oxy podan na ravnini in točka C je središče segmenta AB, z in .

Po geometrijski definiciji operacij nad vektorji je enakost (točka C je presečišče diagonal paralelograma, zgrajenega na vektorjih in , to je točka C središče diagonale paralelograma). V članku koordinate vektorja v pravokotnem koordinatnem sistemu smo ugotovili, da so koordinate vektorja polmera točke enake koordinatam te točke, torej . Potem, po izvedbi ustreznih operacij na vektorjih v koordinatah, imamo . Kako lahko sklepamo, da ima točka C koordinate .

Povsem podobno je mogoče najti koordinate sredine segmenta AB skozi koordinate njegovih koncev v prostoru. V tem primeru, če je C središče segmenta AB in , potem imamo .

Iskanje koordinat sredine segmenta, primeri, rešitve.

Pri številnih težavah morate uporabiti formule za iskanje koordinat sredine segmenta. Razmislimo o rešitvah najbolj značilnih primerov.

Začnimo s primerom, ki mora uporabiti samo formulo.

Primer.

Na ravnini so podane koordinate dveh točk . Poiščite koordinate središča odseka AB.

Rešitev.

Naj bo točka C središče segmenta AB. Njegove koordinate so enake polovičnim vsotam ustreznih koordinat točk A in B:

Tako ima središče segmenta AB koordinate.

Če se lista zvezka dotaknete z dobro nabrušenim svinčnikom, bo ostala sled, ki daje predstavo o bistvu. (slika 3).

Na listu papirja označimo dve točki A in B. Ti točki lahko povežemo z različnimi črtami (slika 4). In kako povezati točki A in B z najkrajšo črto? To lahko storite z ravnilom (slika 5). Nastala vrstica se imenuje segmentu.

Točka in črta - Primeri geometrijske oblike.

Točki A in B se imenujeta konci segmenta.

Obstaja en sam odsek, katerega konca sta točki A in B. Zato je segment označen tako, da zapišemo točke, ki so njegovi konci. Na primer, segment na sliki 5 je označen na enega od dveh načinov: AB ali BA. Preberite: "segment AB" ali "segment BA".

Slika 6 prikazuje tri segmente. Dolžina odseka AB je enaka 1 cm. V odsek MN je postavljen natanko trikrat, v odsek EF pa natančno 4-krat. To bomo rekli dolžina segmenta MN je 3 cm, dolžina segmenta EF pa 4 cm.

Običajno je tudi reči: "segment MN je 3 cm", "segment EF je 4 cm". Pišejo: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Izmerili smo dolžine odsekov MN in EF en segment, katerega dolžina je 1 cm Za merjenje segmentov lahko izberete drugo dolžinske enote, na primer: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na sliki 7 je dolžina segmenta 17 mm. Meri se z enim segmentom, katerega dolžina je 1 mm, z ravnilom z delitvami. Prav tako lahko z ravnilom zgradite (narišete) segment določene dolžine (glej sliko 7).

Nasploh, izmeriti segment pomeni prešteti, koliko enotnih segmentov se vanj prilega.

Dolžina segmenta ima naslednjo lastnost.

Če je točka C označena na segmentu AB, je dolžina segmenta AB enaka vsoti dolžin odsekov AC in CB(slika 8).

Pišejo: AB = AC + CB.

Slika 9 prikazuje dva segmenta AB in CD. Ti segmenti bodo sovpadali, ko se naložijo.

Dva segmenta se imenujeta enaka, če sovpadata, ko se naložita.

Zato sta odseka AB in CD enaka. Pišejo: AB = CD.

Enaki segmenti imajo enake dolžine.

Od dveh neenakih segmentov bomo za večjega šteli tistega z daljšo dolžino. Na primer, na sliki 6 je segment EF večji od segmenta MN.

Dolžina segmenta AB se imenuje razdalja med točkama A in B.

Če je več segmentov razporejenih, kot je prikazano na sliki 10, dobimo geometrijsko figuro, ki se imenuje prekinjena črta. Upoštevajte, da vsi segmenti na sliki 11 ne tvorijo prekinjene črte. Menijo, da segmenti tvorijo lomljeno črto, če konec prvega segmenta sovpada s koncem drugega, drugi konec drugega segmenta pa s koncem tretjega itd.

Točke A, B, C, D, E − oglišča polilinije ABCDE, točki A in E − konča zlomljena črta, in odseki AB, BC, CD, DE so njeni povezave(glej sliko 10).

Dolžina prekinjene črte je vsota dolžin vseh njegovih povezav.

Slika 12 prikazuje dve lomljeni črti, katerih konca sovpadata. Takšne lomljene črte se imenujejo zaprto.

Primer 1 . Odsek BC je za 3 cm manjši od segmenta AB, katerega dolžina je 8 cm (slika 13). Poiščite dolžino odseka AC.

Rešitev. Imamo: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

S pomočjo lastnosti dolžine odseka lahko zapišemo AC = AB + BC. Torej AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Odgovor: 13 cm.

Primer 2 . Znano je, da je MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (slika 14). Poiščite dolžino odseka NK.

Rešitev. Imamo: MN = MP − NP.

Zato je MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Imamo: NK = MK − MN.

Zato je NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Odgovor: 6 cm.

Dolžina, kot je bilo že omenjeno, je označena z znakom modula.

Če sta podani dve točki ravnine in, potem lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Če sta podani dve točki v prostoru in, potem lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Opomba:Formule bodo ostale pravilne, če se zamenjajo ustrezne koordinate: in , vendar je prva možnost bolj standardna

Primer 3

rešitev: po ustrezni formuli:

odgovor:

Zaradi jasnosti bom naredil risbo

Oddelek - ni vektor, in ga seveda ne morete premakniti nikamor. Poleg tega, če dokončate risbo v merilu: 1 enota. \u003d 1 cm (dve tetradni celici), potem lahko odgovor preverite z navadnim ravnilom z neposrednim merjenjem dolžine segmenta.

Da, rešitev je kratka, vendar je v njej nekaj pomembnih točk, ki bi jih rad pojasnil:

Najprej v odgovoru nastavimo dimenzijo: "enote". Pogoj ne pove, KAJ je, milimetri, centimetri, metri ali kilometri. Zato bo splošna formulacija matematično kompetentna rešitev: "enote" - skrajšano kot "enote".

Drugič, ponovimo šolsko gradivo, ki je uporabno ne samo za obravnavano težavo:

Bodi pozoren na pomemben tehnični trik – vzeti množitelj izpod korena. Kot rezultat izračunov smo dobili rezultat in dober matematični slog vključuje odvzem množitelja izpod korena (če je mogoče). Postopek izgleda bolj podrobno: Seveda, če pustite odgovor v obrazcu, ne bo napaka – vsekakor pa gre za napako in tehten argument za zbadanje s strani učitelja.

Tu so še drugi pogosti primeri:

Pogosto se pod korenom dobi na primer dovolj veliko število. Kako biti v takih primerih? Na kalkulatorju preverimo, ali je število deljivo s 4:. Da, bilo je popolnoma razdeljeno, tako: . Ali pa je mogoče število spet deliti s 4? . V to smer: . Zadnja številka števila je liha, tako da tretjič deljenje s 4 očitno ni mogoče. Poskušam deliti z devet: . Kot rezultat:
Pripravljen.

Izhod:če pod korenom dobimo celo število, ki ga ni mogoče izluščiti, potem poskušamo faktor vzeti izpod korena - na kalkulatorju preverimo, ali je število deljivo s: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , itd

Pri reševanju različnih problemov se pogosto najdejo korenine, vedno poskušajte izvleči faktorje izpod korena, da bi se izognili nižjemu rezultatu in nepotrebnim težavam z dodeljevanjem svojih rešitev po pripombi učitelja.

Ponovimo istočasno kvadraturo korenin in drugih potenk:

Pravila za dejanja s stopnjami v splošni obliki lahko najdete v šolskem učbeniku algebre, vendar mislim, da je vse ali skoraj vse jasno že iz navedenih primerov.

Naloga za samostojno rešitev s segmentom v prostoru:

Primer 4

Dane točke in . Poiščite dolžino segmenta.

Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Dolžino segmenta je mogoče določiti na različne načine. Če želite izvedeti, kako najti dolžino segmenta, je dovolj, da imate na voljo ravnilo ali poznate posebne formule za izračun.

Dolžina črte z ravnilom

Če želite to narediti, na segment, zgrajen na ravnini, nanesemo ravnilo z milimetrskimi delitvami, začetna točka pa mora biti poravnana z ničlo lestvice ravnila. Nato na tej lestvici označite lokacijo končne točke tega segmenta. Dobljeno število celih delitev lestvice bo dolžina segmenta, izražena v cm in mm.

Koordinatna metoda ravnine

Če so koordinate segmenta (x1; y1) in (x2; y2) znane, je treba njegovo dolžino izračunati na naslednji način. Od koordinat na ravnini druge točke je treba odšteti koordinate prve točke. Rezultat bi morali biti dve številki. Vsako od teh številk je treba kvadrirati in nato poiskati vsoto teh kvadratov. Iz nastalega števila je treba izvleči kvadratni koren, ki bo razdalja med točkama. Ker so te točke konci segmenta, bo ta vrednost njegova dolžina.

Razmislite o primeru, kako najti dolžino segmenta po koordinatah. Obstajajo koordinate dveh točk (-1;2) in (4;7). Ko najdemo razliko v koordinatah točk, dobimo naslednje vrednosti: x = 5, y = 5. Dobljene številke bodo koordinate segmenta. Nato vsako število kvadriramo in poiščemo vsoto rezultatov, ta je 50. Iz tega števila izvlečemo kvadratni koren. Rezultat je: 5 korenov iz 2. To je dolžina segmenta.

Metoda koordinat v prostoru

Če želite to narediti, razmislite, kako najti dolžino vektorja. Prav on bo segment v evklidskem prostoru. Najdemo ga na skoraj enak način kot dolžina segmenta na ravnini. Konstrukcija vektorja poteka v različnih ravninah. Kako najti dolžino vektorja?

1. Poiščite koordinate vektorja, za to morate od koordinat njegove končne točke odšteti koordinate njegove začetne točke.
2. Po tem morate kvadrirati vsako koordinato vektorja.
3. Nato dodajte kvadrate koordinat.
4. Če želite najti dolžino vektorja, morate vzeti kvadratni koren vsote kvadratov koordinat.

Oglejmo si algoritem izračuna na primeru. Najti je treba koordinate vektorja AB. Točki A in B imata naslednje koordinate: A (1;6;3) in B (3;-1;7). Začetek vektorja leži v točki A, konec se nahaja v točki B. Torej, da bi našli njegove koordinate, je treba od koordinat točke B odšteti koordinate točke A: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7; 4).

Zdaj kvadriramo vsako koordinato in jih dodamo: 4+49+16=69. Na koncu izvleče kvadratni koren danega števila. Težko ga je izluščiti, zato rezultat zapišemo na ta način: dolžina vektorja je enaka korenu iz 69.

Če vam ni pomembno, da sami izračunate dolžino segmentov in vektorjev, ampak potrebujete le rezultat, potem lahko uporabite spletni kalkulator, na primer ta.

Zdaj, ko smo preučili te metode in upoštevali predstavljene primere, lahko enostavno najdete dolžino segmenta v katerem koli problemu.

segmentu imenujemo del premice, ki je sestavljen iz vseh točk te premice, ki se nahajajo med tema dvema točkama - imenujemo se konci segmenta.

Poglejmo prvi primer. Naj bo določen segment v koordinatni ravnini podan z dvema točkama. V tem primeru lahko njegovo dolžino najdemo z uporabo Pitagorejskega izreka.

Torej, v koordinatnem sistemu narišite segment z danimi koordinatami njegovih koncev(x1; y1) in (x2; y2) . na osi X in Y spustite pravokotnice s koncev segmenta. Z rdečo označite segmente, ki so projekcije iz prvotnega segmenta na koordinatno os. Po tem prenesemo projekcijske segmente vzporedno s konci segmentov. Dobimo trikotnik (pravokotnik). Hipotenuza tega trikotnika bo sam odsek AB, njegovi kraki pa so prenesene projekcije.

Izračunajmo dolžino teh projekcij. Torej na osi Y dolžina projekcije je y2-y1 , in na osi X dolžina projekcije je x2-x1 . Uporabimo Pitagorov izrek: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . V tem primeru |AB| je dolžina segmenta.

Če uporabite to shemo za izračun dolžine segmenta, potem segmenta sploh ne morete zgraditi. Zdaj izračunamo, kakšna je dolžina segmenta s koordinatami (1;3) in (2;5) . Z uporabo Pitagorovega izreka dobimo: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . In to pomeni, da je dolžina našega segmenta enaka 5:1/2 .

Razmislite o naslednji metodi za iskanje dolžine segmenta. Za to moramo poznati koordinate dveh točk v nekem sistemu. Razmislite o tej možnosti z uporabo dvodimenzionalnega kartezijanskega koordinatnega sistema.

Torej, v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu so podane koordinate skrajnih točk segmenta. Če skozi te točke narišemo ravne črte, morajo biti pravokotne na koordinatno os, potem dobimo pravokoten trikotnik. Prvotni segment bo hipotenuza nastalega trikotnika. Noge trikotnika tvorijo segmente, njihova dolžina je enaka projekciji hipotenuze na koordinatne osi. Na podlagi Pitagorejskega izreka sklepamo: da bi našli dolžino danega segmenta, morate najti dolžine projekcij na dveh koordinatnih oseh.

Poiščite dolžine projekcij (X in Y) prvotni segment na koordinatne osi. Izračunamo jih tako, da poiščemo razliko v koordinatah točk vzdolž ločene osi: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Izračunajte dolžino segmenta AMPAK , za to najdemo kvadratni koren:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Če se naš segment nahaja med točkami, katerih koordinate 2;4 in 4;1 , potem je njegova dolžina enaka √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .