Razvojne metode

Zmnožek števil z različnimi močmi. Stopnja in njene lastnosti. Izčrpen vodnik (2020). Osnovne lastnosti stopinj z iracionalnimi eksponenti

V prejšnjem članku smo govorili o tem, kaj so monomi. V tem gradivu bomo analizirali, kako rešiti primere in probleme, v katerih se uporabljajo. Tu bomo obravnavali dejanja, kot so odštevanje, seštevanje, množenje, deljenje monomov in njihovo dvigovanje na pot z naravnim eksponentom. Pokazali bomo, kako so takšne operacije opredeljene, navedli osnovna pravila za njihovo izvajanje in kakšen naj bi bil rezultat. Vsa teoretična določila bomo kot običajno ponazorili s primeri nalog z opisi rešitev.

Najbolj priročno je delati s standardnim zapisom monomov, zato vse izraze, ki bodo uporabljeni v članku, predstavljamo v standardni obliki. Če so sprva nastavljeni drugače, jih je priporočljivo najprej spraviti v splošno sprejeto obliko.

Pravila za seštevanje in odštevanje monomeov

Najpreprostejše operacije, ki jih lahko izvedemo z monomi, sta odštevanje in seštevanje. V splošnem primeru bo rezultat teh dejanj polinom (v nekaterih posebnih primerih je možen monom).

Ko seštevamo ali odštevamo monome, najprej zapišemo ustrezno vsoto in razliko v splošno sprejeti obliki, nato pa dobljeni izraz poenostavimo. Če obstajajo podobni izrazi, jih je treba navesti, oklepaje je treba odpreti. Pojasnimo s primerom.

Primer 1

Pogoj: seštej monome − 3 · x in 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Rešitev

Zapišimo vsoto izvirnih izrazov. Dodajte oklepaje in mednje postavite znak plus. Dobili bomo naslednje:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Ko razširimo oklepaje, dobimo - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . To je polinom, zapisan v standardni obliki, ki bo rezultat seštevanja teh monomov.

odgovor:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Če imamo podane tri, štiri ali več izrazov, to dejanje izvedemo na enak način.

Primer 2

Pogoj: izvedite podane operacije s polinomi v pravilnem vrstnem redu

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Rešitev

Začnimo z odpiranjem oklepajev.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vidimo, da je dobljeni izraz mogoče poenostaviti z zmanjšanjem podobnih izrazov:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Imamo polinom, ki bo rezultat tega dejanja.

odgovor: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Načeloma lahko izvedemo seštevanje in odštevanje dveh monomov, z nekaterimi omejitvami, tako da na koncu dobimo monom. Za to je potrebno upoštevati nekatere pogoje glede členov in odštetih monomov. Kako se to naredi, bomo opisali v ločenem članku.

Pravila za množenje monomov

Dejanje množenja ne nalaga nobenih omejitev za množitelje. Monomi, ki jih je treba pomnožiti, ne smejo izpolnjevati nobenih dodatnih pogojev, da bi bil rezultat monom.

Če želite izvesti množenje monomov, morate izvesti naslednje korake:

Pravilno zapišite del.
Razširite oklepaje v dobljenem izrazu.
Po možnosti združi faktorje z enakimi spremenljivkami in številčne faktorje ločeno.
Izvedite potrebna dejanja s številkami in uporabite lastnost množenja potenk z enakimi osnovami za preostale faktorje.

Poglejmo, kako se to izvaja v praksi.

Primer 3

Pogoj: pomnožimo monome 2 · x 4 · y · z in - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Rešitev

Začnimo s sestavo dela.

Če v njem odpremo oklepaje in dobimo naslednje:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Vse kar moramo storiti je, da pomnožimo številke v prvih oklepajih in uporabimo lastnost moči v drugem. Kot rezultat dobimo naslednje:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

odgovor: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Če imamo v pogoju tri ali več polinomov, jih pomnožimo po popolnoma enakem algoritmu. Vprašanje množenja monomov bomo podrobneje obravnavali v ločenem gradivu.

Pravila za dvig monoma na potenco

Vemo, da se produkt določenega števila enakih faktorjev imenuje stopnja z naravnim eksponentom. Njihovo število je označeno s številko v indeksu. Po tej definiciji je dvig monoma na potenco enakovreden pomnoženju navedenega števila enakih monomov. Poglejmo, kako se to naredi.

Primer 4

Pogoj: dvignemo monom − 2 · a · b 4 na potenco 3 .

Rešitev

Povečanje lahko nadomestimo z množenjem 3 monomov − 2 · a · b 4 . Zapišimo in dobimo želeni odgovor:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

odgovor:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Kaj pa, ko ima diploma velik eksponent? Snemanje velikega števila množiteljev je neprijetno. Nato moramo za rešitev takšnega problema uporabiti lastnosti stopnje, in sicer lastnost stopnje produkta in lastnost stopnje v stopnji.

Rešimo problem, ki smo ga navedli zgoraj na naveden način.

Primer 5

Pogoj: dvigni − 2 · a · b 4 na tretjo potenco.

Rešitev

Če poznamo lastnost stopnje v stopnji, lahko nadaljujemo z izrazom v naslednji obliki:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Po tem dvignemo na potenco - 2 in uporabimo lastnost eksponenta:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

odgovor:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Poseben članek smo posvetili tudi dvigu monoma na potenco.

Pravila za deljenje monomov

Zadnje dejanje z monomi, ki ga bomo analizirali v tem gradivu, je delitev monoma z monomom. Kot rezultat, bi morali dobiti racionalni (algebraični) ulomek (v nekaterih primerih je mogoče dobiti monom). Takoj pojasnimo, da deljenje z nič monomom ni definirano, saj deljenje z 0 ni definirano.

Za deljenje moramo navedene monome zapisati v obliki ulomka in ga po možnosti zmanjšati.

Primer 6

Pogoj: monom − 9 x 4 y 3 z 7 delimo z − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Rešitev

Začnimo z zapisovanjem monomeov v obliki ulomka.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ta delež je mogoče zmanjšati. Ko to naredimo, dobimo:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

odgovor:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Pogoji, pod katerimi kot rezultat delitve monomov, dobimo monom, so podani v ločenem članku.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Formule moči uporabljamo v procesu reduciranja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenakosti.

Številka c je n--ta moč števila a kdaj:

Operacije s pooblastili.

1. Če pomnožimo stopinje z isto bazo, se njihovi kazalci seštejejo:

a ma n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto bazo se njihovi kazalniki odštejejo:

3. Stopnja produkta 2 ali več faktorjev je enaka zmnožku stopenj teh faktorjev:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stopnja ulomka je enaka razmerju med stopnjami dividende in delitelja:

(a/b) n = a n / b n .

5. Povečanje stopnje na potenco se eksponenti pomnožijo:

(am) n = a m n .

Vsaka zgornja formula je pravilna v smereh od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenov:

3. Ko korenino dvignemo na potenco, je dovolj, da korensko številko dvignemo na to stopnjo:

4. Če povečamo stopnjo korena v n enkrat in hkrati dvignite na n th power je korensko število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšamo stopnjo korena v n root hkrati n stopnje od radikalnega števila, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Stopnja določenega števila z nepozitivnim (celoštevilnim) eksponentom je definirana kot stopnja, deljena s stopnjo istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti nepozitivnega eksponenta:

Formula a m:a n = a m - n se lahko uporablja ne samo za m> n, ampak tudi pri m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n = a m - n postal pravičen pri m=n, potrebujete prisotnost ničelne stopnje.

Stopnja z ničelnim eksponentom. Moč katerega koli števila, ki ni nič, z ničelnim eksponentom je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zvišati pravo število ampak do neke stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnja m potenco tega števila ampak.

Pojem diplome iz matematike se uvede že v 7. razredu pri pouku algebre. In v prihodnosti se med študijem matematike ta koncept aktivno uporablja v različnih oblikah. Stopnje so precej težka tema, ki zahteva pomnjenje vrednosti in sposobnost pravilnega in hitrega štetja. Za hitrejše in boljše delo z diplomami iz matematike so si omislili lastnosti diplome. Pomagajo zmanjšati velike izračune, do neke mere pretvoriti ogromen primer v eno samo številko. Lastnosti ni toliko in vse si jih je enostavno zapomniti in uporabiti v praksi. Zato članek obravnava glavne lastnosti diplome in kje se uporabljajo.

lastnosti stopnje

Upoštevali bomo 12 lastnosti stopnje, vključno z lastnostmi potenk z isto bazo, in dali primer za vsako lastnost. Vsaka od teh lastnosti vam bo pomagala hitreje rešiti težave s stopinjami in vas prihranila pred številnimi računskimi napakami.

1. lastnost.

Mnogi ljudje zelo pogosto pozabijo na to lastnost, delajo napake in predstavljajo število na ničelno stopnjo kot nič.

2. lastnost.

3. lastnina.

Ne smemo pozabiti, da se ta lastnost lahko uporablja samo pri množenju števil, ne deluje z vsoto! In ne smemo pozabiti, da ta in naslednje lastnosti veljajo samo za moči z isto bazo.

4. lastnost.

Če se število v imenovalcu dvigne na negativno potenco, se pri odštevanju stopnja imenovalca vzame v oklepaju, da se znak pravilno nadomesti v nadaljnjih izračunih.

Lastnost deluje samo pri deljenju, ne pri odštevanju!

5. lastnina.

6. lastnina.

To lastnost je mogoče uporabiti tudi v obratni smeri. Enota, deljena s številom do neke mere, je to število na negativno potenco.

7. lastnost.

Te lastnosti ni mogoče uporabiti za vsoto in razliko! Pri dvigu vsote ali razlike na stopnjo se uporabljajo skrajšane formule za množenje in ne lastnosti potenca.

8. lastnina.

9. lastnost.

Ta lastnost deluje za katero koli ulomno stopnjo s števcem enakim ena, formula bo enaka, le stopnja korena se bo spremenila glede na imenovalec stopnje.

Tudi ta lastnost se pogosto uporablja v obratnem vrstnem redu. Koren katerega koli potenca števila lahko predstavimo kot to število na potenco enega, deljeno s potenco korena. Ta lastnost je zelo uporabna v primerih, ko koren števila ni izvlečen.

10. lastnina.

Ta lastnost ne deluje samo s kvadratnim korenom in drugo stopnjo. Če sta stopnja korena in stopnja, do katere je ta koren dvignjena, enaki, bo odgovor radikalen izraz.

11. lastnina.

To lastnost morate biti sposobni pravočasno videti pri reševanju, da se rešite velikih izračunov.

12. lastnina.

Vsaka od teh lastnosti vas bo večkrat srečala pri nalogah, lahko je podana v svoji čisti obliki ali pa zahteva nekaj transformacij in uporabo drugih formul. Zato za pravilno rešitev ni dovolj vedeti le lastnosti, treba je vaditi in povezati preostalo matematično znanje.

Uporaba stopenj in njihove lastnosti

Aktivno se uporabljajo v algebri in geometriji. Diplome iz matematike imajo ločeno, pomembno mesto. Z njihovo pomočjo se rešujejo eksponentne enačbe in neenakosti, pa tudi stopnje pogosto zapletejo enačbe in primere, povezane z drugimi oddelki matematike. Eksponenti pomagajo preprečiti velike in dolge izračune, lažje je zmanjšati in izračunati eksponente. Toda za delo z velikimi potenci ali s potenci velikih števil morate poznati ne le lastnosti stopnje, ampak tudi kompetentno delati z bazami, jih znati razgraditi, da si olajšate nalogo. Za udobje bi morali poznati tudi pomen števil, povišanih na potenco. To bo skrajšalo vaš čas pri reševanju, saj boste odpravili potrebo po dolgih izračunih.

Koncept stopnje ima posebno vlogo pri logaritmih. Ker je logaritem v bistvu moč števila.

Skrajšane formule za množenje so še en primer uporabe potenk. Ne morejo uporabljati lastnosti stopenj, razčlenijo jih po posebnih pravilih, vendar so v vsaki skrajšani formuli za množenje vedno stopnje.

Diplome se aktivno uporabljajo tudi v fiziki in računalništvo. Vsi prevodi v sistem SI so narejeni z uporabo stopenj, v prihodnosti pa se pri reševanju problemov uporabljajo lastnosti stopnje. V računalništvu se potenci dvojke aktivno uporabljajo za udobje štetja in poenostavitve zaznavanja števil. Nadaljnji izračuni pri pretvorbah merskih enot ali izračunih problemov, tako kot v fiziki, potekajo z uporabo lastnosti stopnje.

Stopnje so zelo uporabne tudi v astronomiji, kjer le redko najdemo uporabo lastnosti stopnje, vendar se same stopnje aktivno uporabljajo za skrajšanje zapisovanja različnih količin in razdalj.

Stopnje se uporabljajo tudi v vsakdanjem življenju, pri izračunu površin, prostornin, razdalj.

S pomočjo stopinj so na katerem koli področju znanosti zapisane zelo velike in zelo majhne vrednosti.

eksponentne enačbe in neenakosti

Lastnosti stopenj zasedajo posebno mesto prav v eksponentnih enačbah in neenakostih. Te naloge so zelo pogoste, tako pri šolskem tečaju kot pri izpitih. Vse se rešijo z uporabo lastnosti stopnje. Neznana je vedno v sami stopnji, zato ob poznavanju vseh lastnosti ne bo težko rešiti takšne enačbe ali neenakosti.

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Poglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula za množenje, in sicer razlika kvadratov! Dobimo:

Pozorno pogledamo imenovalec. Izgleda zelo podobno enemu od faktorjev števcev, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi jih zamenjali, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to storiti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Izrazi so magično zamenjali mesta. Ta "fenomen" velja za vsak izraz v enaki meri: znake v oklepajih lahko poljubno spreminjamo.

Vendar je pomembno zapomniti: vsi znaki se spreminjajo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cel poimenujemo naravna števila, njihova nasprotja (torej vzeta z znakom "") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti točno tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število z ničelno močjo je enako ena:

Kot vedno se vprašamo: zakaj je temu tako?

Razmislite o nekaj moči z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili s in dobili enako, kot je bilo -. S katerim številom je treba pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubno številko:

Ponovimo pravilo:

Vsako število z ničelno močjo je enako ena.

Toda od mnogih pravil obstajajo izjeme. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enaka kateri koli stopnji - ne glede na to, koliko nič pomnožite samo s seboj, še vedno dobite nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti tako kot vsako število na ničelni stopnji enako. Kaj je torej resnica tega? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vmešavali, in so zavrnili dvig nič na potenco nič. Se pravi, zdaj ne moremo le deliti z nič, ampak jo tudi dvigniti na ničelno moč.

Gremo dalje. Cela števila poleg naravnih števil in števil vključujejo negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, naredimo enako kot prejšnjič: neko normalno število pomnožimo z enako v negativni stopnji:

Od tu je že enostavno izraziti želeno:

Sedaj nastalo pravilo razširimo na poljubno stopnjo:

Torej, formulirajmo pravilo:

Število na negativno potenco je obratno od istega števila na pozitivno potenco. Toda hkrati osnova ne more biti nična:(ker je nemogoče razdeliti).

Naj povzamemo:

I. Izraz ni opredeljen v primeru. Če, potem.

II. Vsako število z ničelno močjo je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativni potenci, je obratno od istega števila k pozitivni potenci: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za samostojno rešitev:

Analiza nalog za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, a na izpitu moraš biti pripravljen na vse! Rešite te primere ali analizirajte njihovo rešitev, če je niste mogli rešiti in naučili se boste, kako se z njimi zlahka spopasti na izpitu!

Nadaljujmo s širjenjem obsega številk, ki so "primerni" kot eksponent.

Zdaj razmislite racionalna števila. Katere številke se imenujejo racionalne?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer in so cela števila, poleg tega.

Da bi razumeli, kaj je "delna stopnja" Razmislimo o ulomku:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj se spomnite pravila "stopnja do stopnje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potenca števila () je število, ki je enako, ko je dvignjeno na potenco.

To pomeni, da je koren th stopnje inverzna operacija stopnjevanja: .

Izkazalo se je, da. Očitno je ta poseben primer mogoče razširiti: .

Zdaj dodajte števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti s pravilom moči na moč:

Toda ali je osnova lahko katera koli številka? Navsezadnje korena ni mogoče izluščiti iz vseh številk.

Nobena!

Ne pozabite na pravilo: vsako število, dvignjeno na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je iz negativnih številk nemogoče izluščiti korenine sode stopnje!

In to pomeni, da takšnih številk ni mogoče dvigniti na ulomno potenco s sodim imenovalcem, torej izraz nima smisla.

Kaj pa izražanje?

Toda tukaj se pojavi problem.

Število lahko predstavimo kot druge, reducirane ulomke, na primer oz.

In izkazalo se je, da obstaja, a ne obstaja, in to sta le dva različna zapisa istega števila.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišete. Toda takoj, ko indikator zapišemo na drugačen način, imamo spet težave: (torej, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, razmislite samo pozitivni osnovni eksponent z ulomnim eksponentom.

Torej če:

- naravno število;
je celo število;

Primeri:

Potenci z racionalnim eksponentom so zelo uporabni za preoblikovanje izrazov s koreninami, na primer:

5 primerov iz prakse

Analiza 5 primerov za usposabljanje

1. Ne pozabite na običajne lastnosti stopinj:

2. . Spomnimo se, da smo se pozabili naučiti tabele stopinj:

navsezadnje - to oz. Rešitev se najde samodejno: .

No, zdaj - najtežje. Zdaj bomo analizirali stopnje z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopenj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnje z racionalnim eksponentom, z izjemo

Dejansko so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer in so cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri študiju stopenj z naravnim, celim in racionalnim indikatorjem smo si vsakič sestavili neko »podobo«, »analogijo« ali opis z bolj znanimi izrazi.

Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...nič moči- to je tako rekoč število, pomnoženo s samim seboj enkrat, se pravi, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se število samo še ni pojavilo - zato je rezultat le določena "priprava številka", in sicer številka;

...negativni celoštevilski eksponent- kot da je prišlo do določenega "obratnega procesa", to pomeni, da število ni bilo pomnoženo samo po sebi, ampak razdeljeno.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja stopnjo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent ni niti realno število.

Toda v šoli o takšnih težavah ne razmišljamo, te nove pojme boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

KAMER SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati takšne primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z že običajnim pravilom za dvig stopnje na stopnjo:

Zdaj pa poglejte rezultat. Vas na kaj spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru,

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih pripeljemo do enake oblike: bodisi oba decimalna bodisi oba navadna. Dobimo npr.:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNI NIVO

Opredelitev stopnje

Stopnja je izraz v obliki: , kjer:

— osnova stopnje;
- eksponent.

Stopnja z naravnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Povečanje števila na naravno potenco n pomeni pomnoženje števila s samim seboj krat:

Moč s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

erekcijo na nič moči:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani do katere koli stopnje to, po drugi strani pa je katero koli število do te stopnje to.

Če je eksponent celo število negativnoštevilka:

(ker je nemogoče razdeliti).

Še enkrat o ničelnih vrednostih: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Stopnja z racionalnim eksponentom

- naravno število;
je celo število;

Primeri:

Lastnosti diplom

Da bi olajšali reševanje težav, poskusimo razumeti: od kod te lastnosti? Dokažimo jih.

Poglejmo: kaj je in?

Po definiciji:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je to moč števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

Rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

Rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu nujno mora imeti enako osnovo. Zato združimo stopnje z bazo, vendar ostanemo ločen faktor:

Še ena pomembna opomba: to pravilo - samo za produkte moči!

Tega v nobenem primeru ne bi smel napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti, se obrnimo na definicijo stopnje:

Prerazporedimo ga takole:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, torej po definiciji je to --ta potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaje indikatorja". Ampak tega ne moreš nikoli narediti v celoti:!

Spomnimo se na formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to res ni res.

Moč z negativno bazo.

Do te točke smo razpravljali le o tem, kaj bi moralo biti indikator stopnje. Toda kaj bi morala biti osnova? V stopinjah od naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko med seboj pomnožimo katero koli število, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih številk?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? AMPAK? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih številk med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Negativni pa so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo -.

In tako naprej do neskončnosti: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Lahko oblikujete ta preprosta pravila:

celo stopnja, - številka pozitivno.
Negativno število zvišano na Čuden stopnja, - številka negativno.
Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
Nič na kateri koli moči je enaka nič.

Sami določite, kakšen znak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvih štirih primerih upam, da je vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen kadar je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnite, postane to jasno, kar pomeni, da je osnova manjša od nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabljamo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo med seboj, jih razdelimo v pare in dobimo:

Preden analiziramo zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte vrednosti izrazov:

Rešitve :

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Poglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula za množenje, in sicer razlika kvadratov!

Dobimo:

Pozorno pogledamo imenovalec. Izgleda zelo podobno enemu od faktorjev števcev, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili obrnjeni, bi lahko uporabili pravilo 3. Toda kako to storiti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa izgleda takole:

Izrazi so magično zamenjali mesta. Ta "fenomen" velja za vsak izraz v enaki meri: znake v oklepajih lahko poljubno spreminjamo. Vendar je pomembno zapomniti: vsi znaki se spreminjajo hkrati! Ne moremo ga nadomestiti tako, da nam spremenimo samo en sporen minus!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Torej, zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo pojem stopnje in poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk bo? krat po množiteljih - kako to izgleda? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: skupaj se je izkazalo, da so množitelji. To pomeni, da je po definiciji moč števila z eksponentom:

Primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg informacij o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z neracionalnim indikatorjem. Vsa pravila in lastnosti stopenj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer in so cela števila (tj. iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih).

Pri študiju stopenj z naravnim, celim in racionalnim indikatorjem smo si vsakič sestavili neko »podobo«, »analogijo« ali opis z bolj znanimi izrazi. Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število na ničelno stopnjo je tako rekoč število, pomnoženo enkrat s seboj, torej se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se število samo še ni pojavilo - torej je rezultat le določena "priprava številke", in sicer številka; stopnja z negativnim celim številom - kot da je prišlo do določenega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo po sebi, ampak razdeljeno.

Izredno težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). Namesto tega je čisto matematični predmet, ki so ga matematiki ustvarili za razširitev koncepta stopnje na celoten prostor števil.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja stopnjo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent ni niti realno število. Toda v šoli o takšnih težavah ne razmišljamo, te nove pojme boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

Kaj torej storimo, če vidimo iracionalni eksponent? Trudimo se po najboljših močeh, da se ga znebimo! :)

Na primer:

Odločite se sami:

odgovori:

Ne pozabite na formulo razlike kvadratov. Odgovor: .
Ulomke pripeljemo v isto obliko: bodisi obe decimalki, bodisi obe navadni. Dobimo na primer: .
Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK RAZDELKA IN OSNOVNA FORMULA

Stopnja se imenuje izraz v obliki: , kjer:

Stopnja s celim eksponentom

stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo število in pozitivno).

Stopnja z racionalnim eksponentom

stopnje, katere indikator so negativna in ulomna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

eksponent, katerega eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti diplom

Značilnosti diplom.

Negativno število zvišano na celo stopnja, - številka pozitivno.
Negativno število zvišano na Čuden stopnja, - številka negativno.
Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
Nič je enaka kateri koli moči.
Vsako število z ničelno močjo je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? Sporočite mi v spodnjih komentarjih, če vam je bilo všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z lastnostmi moči.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapišite v komentarje.

In veliko sreče pri izpitih!

Vsebina lekcije

Kaj je diploma?

Stopnja imenujemo produkt več enakih faktorjev. Na primer:

2×2×2

Vrednost tega izraza je 8

2 x 2 x 2 = 8

Levo stran te enačbe je mogoče skrajšati – najprej zapišite faktor ponavljanja in nad njim označite, kolikokrat se ponovi. Ponavljajoči se množitelj v tem primeru je 2. Ponovi se trikrat. Zato čez dvojko zapišemo trojko:

2 3 = 8

Ta izraz se glasi takole: dva na tretjo potenco je enako osem ali " tretja potenca 2 je 8.

Pogosteje se uporablja kratka oblika zapisa množenja istih faktorjev. Zato se moramo spomniti, da če je na neko število vpisano drugo število, potem je to množenje več enakih faktorjev.

Na primer, če je podan izraz 5 3, potem je treba upoštevati, da je ta izraz enak pisanju 5 × 5 × 5.

Številka, ki se ponavlja, se kliče osnova stopnje. V izrazu 5 3 je osnova stopnje število 5 .

In število, ki je vpisano nad številko 5, se imenuje eksponent. V izrazu 5 3 je eksponent število 3. Eksponent kaže, kolikokrat se ponovi osnova stopnje. V našem primeru se osnova 5 ponovi trikrat.

Operacija množenja enakih faktorjev se imenuje eksponentiranje.

Na primer, če morate najti zmnožek štirih enakih faktorjev, od katerih je vsak enak 2, potem pravijo, da je število 2 dvignjen na četrto potenco:

Vidimo, da je številka 2 na četrto potenco številka 16.

Upoštevajte, da v tej lekciji gledamo stopinj z naravnim indikatorjem. To je neke vrste stopnja, katere eksponent je naravno število. Spomnimo se, da so naravna števila cela števila, ki so večja od nič. Na primer 1, 2, 3 in tako naprej.

Na splošno je definicija diplome z naravnim kazalnikom naslednja:

Stopnja a z naravnim indikatorjem n je izraz oblike a n, kar je enako produktu n množiteljev, od katerih je vsak enak a

Primeri:

Bodite previdni pri dvigovanju števila na potenco. Pogosto zaradi nepazljivosti oseba pomnoži osnovo stopnje z eksponentom.

Na primer, število 5 na drugo potenco je zmnožek dveh faktorjev, od katerih je vsak enak 5. Ta zmnožek je enak 25

Zdaj si predstavljajte, da smo nehote pomnožili bazo 5 z eksponentom 2

Prišlo je do napake, ker število 5 na drugi potenek ni enako 10.

Poleg tega je treba omeniti, da je moč števila z eksponentom 1 samo število:

Na primer, številka 5 na prvi potenci je sama številka 5.

V skladu s tem, če številka nima indikatorja, potem moramo domnevati, da je kazalnik enak eni.

Na primer, števila 1, 2, 3 so podana brez eksponenta, zato bodo njihovi eksponenti enaki ena. Vsako od teh številk lahko zapišemo z eksponentom 1

In če dvignete 0 na katero koli stopnjo, dobite 0. Dejansko, ne glede na to, kolikokrat se nič ne pomnoži samo po sebi, se ne bo nič izkazalo. Primeri:

In izraz 0 0 nima smisla. Toda v nekaterih vejah matematike, zlasti v analizi in teoriji množic, je izraz 0 0 lahko smiseln.

Za trening bomo rešili več primerov dvigovanja števil na stepen.

Primer 1 Dvignite številko 3 na drugo potenco.

Število 3 na drugo potenco je zmnožek dveh faktorjev, od katerih je vsak enak 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Primer 2 Dvignite številko 2 na četrto potenco.

Število 2 na četrto potenco je zmnožek štirih faktorjev, od katerih je vsak enak 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Primer 3 Dvignite številko 2 na tretjo potenco.

Število 2 na tretjo potenco je zmnožek treh faktorjev, od katerih je vsak enak 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Eksponentiranje števila 10

Za dvig števila 10 na potenco je dovolj, da za enoto dodamo število ničel, enako eksponentu.

Na primer, dvignimo številko 10 na drugo potenco. Najprej napišemo samo številko 10 in označimo številko 2 kot indikator

10 2

Zdaj postavimo znak enakosti, zapišemo eno in za tem zapišemo dve ničli, saj mora biti število ničel enako eksponentu

10 2 = 100

Število 10 na drugi potenek je torej število 100. To je posledica dejstva, da je število 10 na drugi potenci zmnožek dveh faktorjev, od katerih je vsak enak 10

10 2 = 10 × 10 = 100

Primer 2. Dvignimo številko 10 na tretjo potenco.

V tem primeru bodo za eno tri ničle:

10 3 = 1000

Primer 3. Dvignimo številko 10 na četrto potenco.

V tem primeru bodo za enoto štiri ničle:

10 4 = 10000

Primer 4. Dvignimo številko 10 na prvo potenco.

V tem primeru bo za enoto ena nič:

10 1 = 10

Predstavitev številk 10, 100, 1000 kot potenca z osnovo 10

Če želite številke 10, 100, 1000 in 10000 predstaviti kot potenco z bazo 10, morate zapisati bazo 10 in kot eksponent podati število, ki je enako številu ničel v izvirnem številu.

Predstavimo število 10 kot potenco z bazo 10. Vidimo, da ima eno ničlo. Torej bo število 10 kot potenca z bazo 10 predstavljeno kot 10 1

10 = 10 1

Primer 2. Predstavimo število 100 kot potenco z osnovo 10. Vidimo, da število 100 vsebuje dve ničli. Torej bo število 100 kot potenca z bazo 10 predstavljeno kot 10 2

100 = 10 2

Primer 3. Predstavimo število 1000 kot potenco z osnovo 10.

1 000 = 10 3

Primer 4. Predstavimo število 10.000 kot potenco z bazo 10.

10 000 = 10 4

Eksponentiranje negativnega števila

Ko negativno število dvignemo na potenco, ga moramo zajeti v oklepaju.

Na primer, dvignimo negativno število −2 na drugo potenco. Število −2 na drugo potenco je zmnožek dveh faktorjev, od katerih je vsak enak (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Če števila -2 ne bi v oklepaju, bi se izkazalo, da izračunamo izraz -2 2 , ki ni enak 4 . Izraz -2² bo enak -4. Da bi razumeli, zakaj, se dotaknimo nekaterih točk.

Ko pred pozitivno številko postavimo minus, s tem nastopamo operacija prevzema nasprotne vrednosti.

Recimo, da je podana številka 2 in poiskati morate njeno nasprotno število. Vemo, da je nasprotje 2 −2. Z drugimi besedami, da bi našli nasprotno število za 2, je dovolj, da pred to številko postavite minus. Vstavljanje minusa pred številko že velja za popolno operacijo v matematiki. Ta operacija, kot je navedeno zgoraj, se imenuje operacija prevzema nasprotne vrednosti.

V primeru izraza -2 2 se zgodita dve operaciji: operacija prevzema nasprotne vrednosti in stopnjevanje. Dvig na stopnjo je operacija višje prioritete kot prevzem nasprotne vrednosti.

Zato se izraz −2 2 izračuna v dveh korakih. Najprej se izvede operacija eksponentiranja. V tem primeru je bilo pozitivno število 2 dvignjeno na drugo potenco.

Nato je bila vzeta nasprotna vrednost. Ta nasprotna vrednost je bila najdena za vrednost 4. In nasprotna vrednost za 4 je −4

−2 2 = −4

Oklepaji imajo najvišjo prednost pri izvajanju. Zato se v primeru izračuna izraza (−2) 2 najprej vzame nasprotna vrednost, nato pa se negativno število −2 dvigne na drugo potenco. Rezultat je pozitiven odgovor 4, saj je zmnožek negativnih števil pozitivno število.

Primer 2. Dvignite število −2 na tretjo potenco.

Število −2 na tretjo potenco je zmnožek treh faktorjev, od katerih je vsak enak (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Primer 3. Dvignite število −2 na četrto potenco.

Število −2 na četrto potenco je zmnožek štirih faktorjev, od katerih je vsak enak (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Preprosto je opaziti, da lahko pri dvigu negativnega števila na potenco dobimo pozitiven ali negativen odgovor. Predznak odgovora je odvisen od eksponenta začetne stopnje.

Če je eksponent sod, je odgovor pritrdilen. Če je eksponent lih, je odgovor negativen. Pokažimo to na primeru števila −3

V prvem in tretjem primeru je bil indikator Čudenštevilka, tako je bil odgovor negativno.

V drugem in četrtem primeru je bil indikator celoštevilka, tako je bil odgovor pozitivno.

Primer 7 Dvignite številko -5 na tretjo potenco.

Število -5 na tretjo potenco je zmnožek treh faktorjev, od katerih je vsak enak -5. Eksponent 3 je liho število, zato lahko vnaprej rečemo, da bo odgovor negativen:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Primer 8 Dvignite številko -4 na četrto potenco.

Število -4 na četrto potenco je zmnožek štirih faktorjev, od katerih je vsak enak -4. V tem primeru je kazalnik 4 soden, tako da lahko vnaprej rečemo, da bo odgovor pozitiven:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Iskanje izraznih vrednosti

Pri iskanju vrednosti izrazov, ki ne vsebujejo oklepajev, se najprej izvede stopnjevanje, nato množenje in deljenje v njihovem vrstnem redu, nato pa seštevanje in odštevanje v njihovem vrstnem redu.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza 2 + 5 2

Najprej se izvede eksponentacija. V tem primeru se število 5 dvigne na drugo potenco - izkaže se 25. Nato se ta rezultat doda številki 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Primer 10. Poiščite vrednost izraza −6 2 × (−12)

Najprej se izvede eksponentacija. Upoštevajte, da število −6 ni v oklepajih, zato bo število 6 dvignjeno na drugo potenco, nato pa bo pred rezultatom postavljen minus:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Primer dokončamo tako, da −36 pomnožimo z (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Primer 11. Poiščite vrednost izraza −3 × 2 2

Najprej se izvede eksponentacija. Nato se rezultat pomnoži s številom −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Če izraz vsebuje oklepaje, morate najprej izvesti operacije v teh oklepajih, nato stopnjevanje, nato množenje in deljenje ter nato seštevanje in odštevanje.

Primer 12. Poiščite vrednost izraza (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Najprej naredimo oklepaje. Znotraj oklepajev uporabimo prej naučena pravila, in sicer najprej dvignemo število 3 na drugo potenco, nato izvedemo množenje 1 × 3, nato dodamo rezultate dviga števila 3 na potenco in množenje 1 × 3. Nato se odštevanje in seštevanje izvedeta v vrstnem redu, v katerem se pojavljata. Uredimo naslednji vrstni red izvajanja dejanja na izvirnem izrazu:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Primer 13. Poiščite vrednost izraza 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Najprej povišamo številke na potenco, nato izvedemo množenje in seštejemo rezultate:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Identitetne transformacije moči

Različne identične transformacije lahko izvedemo na potekih in jih tako poenostavimo.

Recimo, da je bilo potrebno izračunati izraz (2 3) 2 . V tem primeru se dva na tretjo potenco dvigne na drugo potenco. Z drugimi besedami, stopnja se dvigne na drugo stopnjo.

(2 3) 2 je zmnožek dveh potenk, od katerih je vsaka enaka 2 3

Poleg tega je vsaka od teh moči produkt treh faktorjev, od katerih je vsak enak 2

Dobili smo produkt 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , ki je enak 64. Torej je vrednost izraza (2 3) 2 ali enaka 64

Ta primer je mogoče močno poenostaviti. Za to lahko kazalnike izraza (2 3) 2 pomnožimo in ta zmnožek zapišemo preko osnove 2

Dobil sem 26. Dva na šesto potenco je zmnožek šestih faktorjev, od katerih je vsak enak 2. Ta zmnožek je enak 64

Ta lastnost deluje, ker je 2 3 zmnožek 2 × 2 × 2 , ki se nato dvakrat ponovi. Potem se izkaže, da se osnova 2 ponovi šestkrat. Od tu lahko zapišemo, da je 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6

Na splošno iz kakršnega koli razloga a z indikatorji m in n, velja naslednja enakost:

(a n)m = a n × m

Ta identična transformacija se imenuje eksponentiranje. Lahko se prebere takole: "Ko dvignemo potenco na potenco, osnova ostane nespremenjena, eksponenti pa se pomnožijo" .

Ko pomnožite kazalnike, dobite še eno stopnjo, katere vrednost je mogoče najti.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza (3 2) 2

V tem primeru je osnova 3, številki 2 in 2 pa sta eksponenta. Uporabimo pravilo stopnjevanja. Osnovo pustimo nespremenjeno in kazalnike pomnožimo:

Dobil sem 34. In številka 3 na četrto potenco je 81

Poglejmo si ostale transformacije.

Množenje moči

Če želite pomnožiti stopinje, morate ločeno izračunati vsako stopnjo in pomnožiti rezultate.

Na primer, pomnožimo 2 2 s 3 3 .

2 2 je število 4 in 3 3 je število 27 . Pomnožimo številki 4 in 27, dobimo 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

V tem primeru so bile osnove pooblastil drugačne. Če so osnove enake, potem lahko zapišemo eno osnovo in kot indikator napišemo vsoto kazalnikov začetnih stopinj.

Na primer, pomnožite 2 2 z 2 3

V tem primeru imajo eksponenti enako osnovo. V tem primeru lahko zapišete eno osnovo 2 in zapišete vsoto eksponentov 2 2 in 2 3 kot indikator. Z drugimi besedami, pustite bazo nespremenjeno in dodajte eksponente prvotnih stopinj. Videti bo takole:

Dobil sem 25. Število 2 na peto potenco je 32

Ta lastnost deluje, ker je 2 2 produkt 2 × 2 in 2 3 je produkt 2 × 2 × 2 . Nato dobimo zmnožek petih enakih faktorjev, od katerih je vsak enak 2. Ta izdelek je mogoče predstaviti kot 2 5

Na splošno za katero koli a in kazalniki m in n velja naslednja enakost:

Ta identična transformacija se imenuje glavna lastnost diplome. Lahko se prebere takole: PPri množenju potenk z isto osnovo ostane osnova nespremenjena, eksponenti pa se dodajo. .

Upoštevajte, da je to transformacijo mogoče uporabiti za poljubno število stopinj. Glavna stvar je, da je osnova enaka.

Na primer, poiščimo vrednost izraza 2 1 × 2 2 × 2 3 . Temelj 2

Pri nekaterih težavah je morda dovolj, da izvedemo ustrezno transformacijo brez izračuna končne stopnje. To je seveda zelo priročno, saj ni tako enostavno izračunati velikih moči.

Primer 1. Izraz 5 8 × 25 izrazi kot potenco

V tem problemu morate narediti tako, da namesto izraza 5 8 × 25 dobimo eno stopnjo.

Število 25 lahko predstavimo kot 5 2 . Nato dobimo naslednji izraz:

V tem izrazu lahko uporabite glavno lastnost stopnje - pustite osnovo 5 nespremenjeno in dodajte indikatorja 8 in 2:

Rešitev zapišemo na kratko:

Primer 2. Izraz 2 9 × 32 izrazi kot potenco

Število 32 lahko predstavimo kot 2 5 . Nato dobimo izraz 2 9 × 2 5 . Nato lahko uporabite osnovno lastnost stopnje - pustite osnovo 2 nespremenjeno in dodajte indikatorja 9 in 5. To bo povzročilo naslednjo rešitev:

Primer 3. Izračunajte produkt 3 × 3 z uporabo osnovne lastnosti moči.

Vsi se dobro zavedajo, da je trikrat tri enako devet, vendar naloga zahteva uporabo glavne lastnosti stopnje pri reševanju. Kako narediti?

Spomnimo se, da če je številka podana brez kazalnika, je treba kazalnik šteti za enakega eni. Tako lahko faktorja 3 in 3 zapišemo kot 3 1 in 3 1

3 1 × 3 1

Zdaj uporabljamo glavno lastnost diplome. Osnovo 3 pustimo nespremenjeno in dodamo indikatorja 1 in 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Primer 4. Izračunajte produkt 2 × 2 × 3 2 × 3 3 z uporabo osnovne lastnosti moči.

Zmnožek 2 × 2 zamenjamo z 2 1 × 2 1 , nato z 2 1 + 1 in nato z 2 2 . Zmnožek 3 2 × 3 3 se nadomesti s 3 2 + 3 in nato s 3 5

Primer 5. Izvedite množenje x × x

Gre za dva enaka abecedna faktorja s kazalnikoma 1. Zaradi jasnosti zapišemo ta indikatorja. Nadaljnja baza x pustite nespremenjeno in dodajte indikatorje:

Ko ste pri tabli, ne bi smeli tako podrobno zapisovati množenja potenk z enakimi osnovami, kot je to storjeno tukaj. Takšne izračune je treba opraviti v mislih. Podroben vpis bo učitelja najverjetneje razjezil in bo za to znižal oceno. Tukaj je podroben zapis, da je gradivo čim bolj dostopno za razumevanje.

Rešitev tega primera bi morala biti zapisana takole:

Primer 6. Izvedite množenje x 2 × x

Indeks drugega faktorja je enak eni. Zapišimo ga zaradi jasnosti. Nato pustimo osnovo nespremenjeno in dodamo indikatorje:

Primer 7. Izvedite množenje y 3 y 2 y

Indeks tretjega faktorja je enak eni. Zapišimo ga zaradi jasnosti. Nato pustimo osnovo nespremenjeno in dodamo indikatorje:

Primer 8. Izvedite množenje aa 3 a 2 a 5

Indeks prvega faktorja je enak eni. Zapišimo ga zaradi jasnosti. Nato pustimo osnovo nespremenjeno in dodamo indikatorje:

Primer 9. Izrazite moč 3 8 kot zmnožek potenk z isto osnovo.

V tem problemu morate narediti zmnožek potenk, katerih osnove bodo enake 3, vsota eksponentov pa bo enaka 8. Uporabite lahko poljubne kazalnike. Stopnjo 3 8 predstavljamo kot produkt potenk 3 5 in 3 3

V tem primeru smo se spet zanašali na glavno lastnost diplome. Konec koncev lahko izraz 3 5 × 3 3 zapišemo kot 3 5 + 3, od koder je 3 8 .

Seveda je bilo mogoče moč 3 8 predstaviti kot produkt drugih moči. Na primer v obliki 3 7 × 3 1 , saj je ta produkt tudi 3 8

Predstavljanje diplome kot produkta moči z enako osnovo je večinoma ustvarjalno delo. Zato se ne bojte eksperimentirati.

Primer 10. Predložite diplomo x 12 kot različni produkti moči z osnovami x .

Uporabimo glavno lastnost stopnje. Predstavljajte si x 12 kot izdelki z osnovami x in katerega vsota eksponentov je enaka 12

Zaradi jasnosti smo zabeležili konstrukcije z vsoti kazalnikov. Večino časa jih je mogoče preskočiti. Nato dobimo kompaktno rešitev:

Eksponentiranje izdelka

Če želite izdelek dvigniti na potenco, morate vsak faktor tega produkta dvigniti na določeno moč in rezultate pomnožiti.

Na primer, dvignimo produkt 2 × 3 na drugo potenco. Ta izdelek vzamemo v oklepaje in označimo 2 kot indikator

Zdaj pa dvignimo vsak faktor produkta 2 × 3 na drugo potenco in pomnožimo rezultate:

Načelo delovanja tega pravila temelji na definiciji stopnje, ki je bila podana na samem začetku.

Dvig produkta 2 × 3 na drugo potenco pomeni dvakrat ponoviti ta produkt. In če ga ponovite dvakrat, lahko dobite naslednje:

2×3×2×3

Iz permutacije mest faktorjev se produkt ne spremeni. To vam omogoča, da združite iste množitelje:

2×2×3×3

Ponavljajoče se množitelje lahko nadomestimo s kratkimi vnosi – osnovami z eksponenti. Produkt 2 × 2 lahko zamenjate z 2 2 , izdelek 3 × 3 pa s 3 2 . Nato se izraz 2 × 2 × 3 × 3 spremeni v izraz 2 2 × 3 2 .

Naj bo ab izvirno delo. Da bi ta izdelek dvignili na moč n, morate ločeno dvigniti faktorje a in b do določene stopnje n

Ta lastnost velja za poljubno število dejavnikov. Veljajo tudi naslednji izrazi:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza (2 × 3 × 4) 2

V tem primeru morate izdelek 2 × 3 × 4 dvigniti na drugo potenco. Če želite to narediti, morate vsak faktor tega izdelka dvigniti na drugo potenco in rezultate pomnožiti:

Primer 3. Dvignite izdelek na tretjo potenco a×b×c

Ta izdelek zapremo v oklepaje in kot indikator označimo številko 3

Primer 4. Dvignite izdelek na tretjo potenco 3 xyz

Ta izdelek zapremo v oklepaje in kot indikator označimo 3

(3xyz) 3

Vsak faktor tega produkta dvignimo na tretjo potenco:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Število 3 na tretji potenci je enako številu 27. Ostalo pustimo nespremenjeno:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

V nekaterih primerih lahko množenje potenk z enakimi eksponenti nadomestimo z zmnožkom baz z enakim eksponentom.

Na primer, izračunajmo vrednost izraza 5 2 × 3 2 . Dvignite vsako številko na drugo potenco in pomnožite rezultate:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Vendar ne morete izračunati vsake stopnje posebej. Namesto tega lahko ta produkt potenk nadomestimo s produktom z enim eksponentom (5 × 3) 2 . Nato izračunajte vrednost v oklepajih in dvignite rezultat na drugo potenco:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

V tem primeru je bilo ponovno uporabljeno pravilo stopnjevanja produkta. Konec koncev, če (a x b)n = a n × b n , potem a n × b n = (a × b) n. To pomeni, da sta leva in desna stran enačbe obrnjeni.

Eksponentiranje

To transformacijo smo obravnavali kot primer, ko smo poskušali razumeti bistvo enakih transformacij stopenj.

Ko potenco dvignemo na potenco, ostane osnova nespremenjena, eksponenti pa se pomnožijo:

(a n)m = a n × m

Na primer, izraz (2 3) 2 je dvig potenca na potenco - dva na tretjo potenco se dvigne na drugo potenco. Če želite najti vrednost tega izraza, lahko osnovo pustite nespremenjeno, eksponente pa pomnožite:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

To pravilo temelji na prejšnjih pravilih: stopnjevanje produkta in osnovna lastnost stopnje.

Vrnimo se k izrazu (2 3) 2 . Izraz v oklepajih 2 3 je zmnožek treh enakih faktorjev, od katerih je vsak enak 2. Potem lahko v izrazu (2 3) 2 moč znotraj oklepajev nadomestimo z zmnožkom 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

In to je eksponentacija produkta, ki smo ga preučevali prej. Spomnimo se, da za dvig produkta na potenco morate vsak faktor tega produkta dvigniti na določeno moč in rezultate pomnožiti:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Zdaj imamo opravka z glavno lastnostjo diplome. Osnovo pustimo nespremenjeno in dodamo indikatorje:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Kot prej smo dobili 2 6 . Vrednost te stopnje je 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Izdelek, katerega dejavniki so tudi moči, se lahko dvigne tudi na moč.

Na primer, poiščimo vrednost izraza (2 2 × 3 2) 3 . Tu je treba kazalnike vsakega množitelja pomnožiti s skupnim kazalnikom 3. Nato poiščite vrednost vsake stopnje in izračunajte produkt:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Približno enako se zgodi pri dvigu na moč izdelka. Rekli smo, da se pri dvigu produkta na stopnjo vsak faktor tega produkta dvigne na navedeno moč.

Če želite na primer dvigniti produkt 2 × 4 na tretjo potenco, morate napisati naslednji izraz:

Toda prej je bilo rečeno, da če je številka podana brez kazalnika, potem je treba kazalnik šteti za enak eni. Izkazalo se je, da imajo faktorji produkta 2 × 4 sprva eksponente enake 1. To pomeni, da je bil izraz 2 1 × 4 1 povišan na tretjo potenco. In to je dvig stopnje na moč.

Prepišimo rešitev z uporabo pravila stopnjevanja. Dobili bi enak rezultat:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza (3 3) 2

Osnovo pustimo nespremenjeno in kazalnike pomnožimo:

Dobil sem 36. Število 3 na šesto potenco je število 729

Primer 3xy)³

Primer 4. Izvedite stopnjevanje v izrazu ( abc)⁵

Vsak faktor produkta dvignimo na peto potenco:

Primer 5sekira) 3

Vsak faktor produkta dvignimo na tretjo potenco:

Ker smo negativno število −2 dvignili na tretjo potenco, smo ga vzeli v oklepaje.

Primer 6. Izvedite stopnjevanje v izrazu (10 xy) 2

Primer 7. Izvedite stopnjevanje v izrazu (−5 x) 3

Primer 8. Izvedite stopnjevanje v izrazu (−3 y) 4

Primer 9. Izvedite stopnjevanje v izrazu (−2 abx)⁴

Primer 10. Poenostavite izraz x 5×( x 2) 3

Stopnja x 5 bo za zdaj ostal nespremenjen, v izrazu ( x 2) 3 izvedite eksponentacijo na potenco:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Zdaj pa naredimo množenje x 5 × x 6. Za to uporabimo glavno lastnost stopnje - bazo x pustite nespremenjeno in dodajte indikatorje:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Primer 9. Poiščite vrednost izraza 4 3 × 2 2 z uporabo osnovne lastnosti stopnje.

Glavno lastnost stopnje je mogoče uporabiti, če so osnove začetnih stopenj enake. V tem primeru so osnove različne, zato je za začetek treba prvotni izraz nekoliko spremeniti, in sicer, da postanejo baze stopinj enake.

Poglejmo si natančno moč 4 3 . Osnova te stopnje je število 4, ki ga lahko predstavimo kot 2 2 . Potem bo prvotni izraz dobil obliko (2 2) 3 × 2 2 . Z eksponentiranjem na stopnjo v izrazu (2 2) 3 dobimo 2 6 . Potem bo prvotni izraz dobil obliko 2 6 × 2 2 , ki jo je mogoče izračunati z uporabo glavne lastnosti stopnje.

Zapišimo rešitev tega primera:

Delitev stopenj

Če želite izvesti delitev moči, morate najti vrednost vsake moči in nato izvesti deljenje navadnih števil.

Na primer, delimo 4 3 z 2 2 .

Izračunaj 4 3 , dobimo 64 . Izračunamo 2 2 , dobimo 4. Sedaj 64 delimo s 4, dobimo 16

Če se pri deljenju stopenj osnove izkaže, da so enake, potem lahko osnovo pustimo nespremenjeno, eksponent delitelja pa odštejemo od eksponenta dividende.

Na primer, poiščimo vrednost izraza 2 3: 2 2

Osnovo 2 pustimo nespremenjeno in od eksponenta dividende odštejemo eksponent delitelja:

Torej je vrednost izraza 2 3: 2 2 2 .

Ta lastnost temelji na množenju potenk z enakimi osnovami ali, kot smo rekli, na glavni lastnosti stopnje.

Vrnimo se k prejšnjemu primeru 2 3: 2 2 . Tukaj je dividenda 2 3, delilec pa 2 2.

Deliti eno število z drugim pomeni najti število, ki bo, če ga pomnožimo z delilnikom, dalo kot rezultat dividendo.

V našem primeru deljenje 2 3 z 2 2 pomeni iskanje potenca, ki bo, če ga pomnožimo z delilnikom 2 2, povzročil 2 3 . Kakšno moč je mogoče pomnožiti z 2 2, da dobimo 2 3? Očitno je samo stopnja 2 1 . Iz glavne lastnosti diplome imamo:

Lahko preverite, ali je vrednost izraza 2 3: 2 2 2 1, tako da neposredno ocenite izraz 2 3: 2 2 . Če želite to narediti, najprej poiščemo vrednost stopnje 2 3 , dobimo 8 . Potem najdemo vrednost stopnje 2 2 , dobimo 4 . 8 delimo s 4, dobimo 2 ali 2 1 , saj je 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Tako pri delitvi potenk z isto osnovo velja naslednja enakost:

Lahko se tudi zgodi, da niso samo osnove, ampak tudi kazalniki enaki. V tem primeru bo odgovor en.

Na primer, poiščimo vrednost izraza 2 2: 2 2 . Izračunajmo vrednost vsake stopnje in izvedemo delitev dobljenih števil:

Pri reševanju primera 2 2: 2 2 lahko uporabite tudi pravilo za deljenje stopinj z enakimi osnovami. Rezultat je število na ničelno potenco, saj je razlika med eksponentoma 2 2 in 2 2 enaka nič:

Zakaj je število 2 na ničelni stopnji enako ena, smo ugotovili zgoraj. Če izračunate 2 2: 2 2 na običajen način, ne da bi uporabili pravilo za deljenje stopinj, dobite eno.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza 4 12: 4 10

Pustimo 4 nespremenjeno in od eksponenta dividende odštejemo eksponent delitelja:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Primer 3. Pošlji zasebno x 3: x kot diploma z bazo x

Uporabimo pravilo delitve stopinj. Osnova x pustite nespremenjeno in odštejte eksponent delitelja od eksponenta dividende. Eksponent delitelja je enak ena. Zaradi jasnosti zapišemo:

Primer 4. Pošlji zasebno x 3: x 2 kot moč z osnovo x

Uporabimo pravilo delitve stopinj. Osnova x

Delitev stopinj lahko zapišemo kot ulomek. Torej, prejšnji primer lahko zapišemo takole:

Števec in imenovalec ulomka lahko zapišemo v razširjeni obliki, in sicer v obliki produktov enakih faktorjev. Stopnja x 3 se lahko zapiše kot x × x × x, in diplomo x 2 kot x × x. Nato gradnja x 3 − 2 lahko preskočite in uporabite zmanjšanje ulomkov. V števcu in imenovalcu bo mogoče zmanjšati vsak po dva faktorja x. Rezultat bo en množitelj x

Ali še krajše:

Prav tako je koristno, da lahko hitro zmanjšate ulomke, sestavljene iz potenk. Na primer, ulomek se lahko zmanjša na x 2. Za zmanjšanje ulomka za x 2 morate števec in imenovalec ulomka deliti z x 2

Delitve stopenj ni mogoče podrobno opisati. Zgornjo okrajšavo lahko skrajšamo: