Točka a krožne poti. Težave s krožnim gibanjem. I. Težave s krožnim gibanjem
Oddelki: Matematika
Članek obravnava težave za pomoč učencem: razviti spretnosti pri reševanju besednih problemov pri pripravi na enotni državni izpit, pri učenju reševanja problemov za ustvarjanje matematičnega modela resničnih situacij v vseh vzporednicah osnovne in srednje šole. Predstavlja naloge: na gibanje v krogu; najti dolžino premikajočega se predmeta; najti povprečno hitrost.
I. Problemi gibanja v krogu.
Težave s krožnim gibanjem so se izkazale za težke za mnoge šolarje. Rešujejo se skoraj enako kot navadne gibalne težave. Uporabljajo tudi formulo. Toda obstaja točka, na katero bi radi posvetili pozornost.
Naloga 1. S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. 10 minut po odhodu je prvič dohitel kolesarja, še 30 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 30 km. Odgovorite v km/h.
rešitev. Upoštevane bodo hitrosti udeležencev X km/h in y km/h. Prvič se je zgodilo, da je motorist prehitel kolesarja 10 minut kasneje, torej uro po startu. Do te točke je bil kolesar na cesti 40 minut, to je ur, udeleženci gibanja so prevozili enake razdalje, to je y = x. Vpišimo podatke v tabelo.
Tabela 1
Motorist je nato še drugič prehitel kolesarja. To se je zgodilo 30 minut kasneje, torej uro po prvem prehitevanju. Kako daleč so potovali? Motorist je prehiteval kolesarja. To pomeni, da je prevozil še en krog. To je trenutek
na katere morate biti pozorni. En krog je dolžina proge, ta je 30 km. Ustvarimo še eno tabelo.
tabela 2
Dobimo drugo enačbo: y - x = 30. Imamo sistem enačb: 
V odgovoru navedemo hitrost motorista.
Odgovor: 80 km/h.
Naloge (samostojno).
I.1.1. Točko A krožne poti je zapeljal kolesar, čez 40 minut pa mu je sledil motorist. 10 minut po speljevanju je prvič dohitel kolesarja, še 36 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 36 km. Odgovorite v km/h.
I.1. 2. Kolesar je zapeljal s točke »A« krožne poti, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. 8 minut po speljevanju je prvič dohitel kolesarja, še 12 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 15 km. Odgovorite v km/h.
I.1. 3. Kolesar je zapeljal s točke »A« krožne poti, čez 50 minut pa mu je sledil motorist. 10 minut po speljevanju je kolesarja prvič dohitel, še 18 minut za tem pa drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 15 km. Odgovorite v km/h.
Dva motorista štartata istočasno v isto smer iz dveh diametralno nasprotnih točk na krožni progi, katere dolžina je 20 km. V koliko minutah se bosta motorista prvič srečala, če bo hitrost enega od njiju za 15 km/h večja od hitrosti drugega?
rešitev.
Slika 1
Pri hkratnem štartu je motorist, ki je štartal iz “A” prevozil pol kroga več kot tisti, ki je startal iz “B”. Se pravi 10 km. Ko se dva motorista premikata v isto smer, je hitrost oddaljevanja v = -. Glede na pogoje problema je v = 15 km/h = km/min = km/min – hitrost odstranjevanja. Ugotovimo čas, po katerem motorista prvič dosežeta drug drugega.
10:= 40 (min).
odgovor: 40 min.
Naloge (samostojno).
I.2.1. Dva motorista startata hkrati v isto smer iz dveh diametralno nasprotnih točk na krožni progi, katere dolžina je 27 km. V koliko minutah se bosta motorista prvič srečala, če bo hitrost enega od njiju za 27 km/h večja od hitrosti drugega?
I.2.2. Dva motorista startata hkrati v isto smer iz dveh diametralno nasprotnih točk na krožni progi, katere dolžina je 6 km. V koliko minutah se bosta motorista prvič srečala, če bo hitrost enega od njiju za 9 km/h večja od hitrosti drugega?
Z ene točke na krožni progi, katere dolžina je 8 km, sta v isti smeri hkrati štartala dva avtomobila. Hitrost prvega avtomobila je 89 km/h, 16 minut po štartu pa je imel en krog prednosti pred drugim avtomobilom. Poiščite hitrost drugega avtomobila. Odgovorite v km/h.
rešitev.
x km/h je hitrost drugega avtomobila.
(89 – x) km/h – hitrost odstranjevanja.
8 km je dolga krožna pot.
Enačba.
(89 – x) = 8,
89 – x = 2 15,
odgovor: 59 km/h.
Naloge (samostojno).
I.3.1. Z ene točke na krožni progi, katere dolžina je 12 km, sta v isti smeri hkrati štartala dva avtomobila. Hitrost prvega avtomobila je 103 km/h, 48 minut po štartu pa je imel en krog prednosti pred drugim avtomobilom. Poiščite hitrost drugega avtomobila. Odgovorite v km/h.
I.3.2. Z ene točke na krožni progi, katere dolžina je 6 km, sta v isti smeri hkrati štartala dva avtomobila. Hitrost prvega avtomobila je 114 km/h, 9 minut po startu pa je bil en krog pred drugim avtomobilom. Poiščite hitrost drugega avtomobila. Odgovorite v km/h.
I.3.3. Z ene točke na krožni progi, katere dolžina je 20 km, sta v isti smeri hkrati štartala dva avtomobila. Hitrost prvega avtomobila je 105 km/h, 48 minut po startu pa je imel en krog prednosti pred drugim avtomobilom. Poiščite hitrost drugega avtomobila. Odgovorite v km/h.
I.3.4. Z ene točke na krožni progi, katere dolžina je 9 km, sta v isti smeri hkrati štartala dva avtomobila. Hitrost prvega avtomobila je 93 km/h, 15 minut po štartu pa je bil en krog pred drugim avtomobilom. Poiščite hitrost drugega avtomobila. Odgovorite v km/h.
Ura s kazalci kaže 8 ur 00 minut. Čez koliko minut se bo minutni kazalec že četrtič poravnal z urnim?
rešitev. Predvidevamo, da problema ne rešujemo eksperimentalno.
V eni uri minutni kazalec prevozi en krog, urni kazalec pa en krog. Naj bodo njihove hitrosti 1 (krogov na uro) in 
Začetek - ob 8.00. Poiščimo čas, ki je potreben, da minutni kazalec prvič dohiti urni kazalec.
Minutni kazalec se bo premaknil dlje, tako da dobimo enačbo
To pomeni, da se bodo puščice prvič poravnale
Puščici naj se drugič poravnata po času z. Minutni kazalec bo prevozil razdaljo 1·z, urni kazalec pa en krog več. Zapišimo enačbo:
Ko jo rešimo, dobimo to.
Torej, skozi puščice se bodo poravnale drugič, za drugim - tretjič in za drugim - četrtič.
Torej, če je bil štart ob 8.00, se bodo kazalci že četrtič poravnali
4h = 60 * 4 min = 240 min.
Odgovor: 240 minut.
Naloge (samostojno).
I.4.1. Ura s kazalci kaže 4 ure 45 minut. Čez koliko minut se bo minutni kazalec že sedmič poravnal z urnim?
I.4.2 Ura s kazalci kaže točno 2. uro. Čez koliko minut se bo minutni kazalec že desetič poravnal z urnim?
I.4.3. Ura s kazalci kaže 8 ur 20 minut. Čez koliko minut se bo minutni kazalec že četrtič poravnal z urnim? četrti
II. Težave pri iskanju dolžine premikajočega se predmeta.
Vlak, ki se giblje enakomerno s hitrostjo 80 km/h, prevozi obcestni drog v 36 s. Poiščite dolžino vlaka v metrih.
rešitev. Ker je hitrost vlaka navedena v urah, bomo sekunde pretvorili v ure.
1) 36 sekund = 
2) poiščite dolžino vlaka v kilometrih.
80· 
Odgovor: 800 m.
Naloge (samostojno).
II.2 Vlak, ki se giblje enakomerno s hitrostjo 60 km/h, prevozi obcestni drog v 69 s. Poiščite dolžino vlaka v metrih. Odgovor: 1150 m.
II.3. Vlak, ki se giblje enakomerno s hitrostjo 60 km/h, prevozi gozdni pas dolžine 200 m v 1 min 21 s. Poiščite dolžino vlaka v metrih. Odgovor: 1150 m.
III. Težave s srednjo hitrostjo.
Na izpitu iz matematike lahko naletite na težavo pri iskanju povprečne hitrosti. Ne smemo pozabiti, da povprečna hitrost ni enaka aritmetični sredini hitrosti. Povprečna hitrost je določena s posebno formulo:
Če bi bila dva odseka poti, torej 
.
Razdalja med obema vasema je 18 km. Kolesar je iz ene vasi v drugo potoval 2 uri, vračal pa se je po isti cesti 3 ure. Kolikšna je povprečna hitrost kolesarja na celotni poti?
rešitev:
2 uri + 3 ure = 5 ur - porabljeno za celotno gibanje,
.Turist je hodil s hitrostjo 4 km/h, nato pa natanko toliko časa s hitrostjo 5 km/h. Kolikšna je povprečna hitrost turista na celotni poti?
Turist naj hodi t h s hitrostjo 4 km/h in t h s hitrostjo 5 km/h. Nato je v 2t urah prevozil 4t + 5t = 9t (km). Povprečna hitrost turista je = 4,5 (km/h).
Odgovor: 4,5 km/h.
Ugotavljamo, da se je povprečna hitrost turista izkazala za enako aritmetični sredini obeh danih hitrosti. Lahko preverite, da če je čas potovanja na dveh odsekih poti enak, potem je povprečna hitrost gibanja enaka aritmetični sredini obeh danih hitrosti. Da bi to naredili, rešimo isti problem v splošni obliki.
Turist je hodil s hitrostjo km/h, nato pa natanko toliko časa s hitrostjo km/h. Kolikšna je povprečna hitrost turista na celotni poti?
Turist naj hodi t h s hitrostjo km/h in t h s hitrostjo km/h. Nato je v 2t urah prevozil t + t = t (km). Povprečna hitrost turista je
= (km/h).Avto je nekaj poti v klanec prevozil s hitrostjo 42 km/h, navzdol pa s hitrostjo 56 km/h.
.
Povprečna hitrost gibanja je 2 s: (km/h).
Odgovor: 48 km/h.
Avto je prevozil nekaj razdalje navzgor s hitrostjo km/h, navzdol po gori pa s hitrostjo km/h.
Kakšna je povprečna hitrost avtomobila na celotni poti?
Naj bo dolžina odseka poti s km. Nato je avto prevozil 2 s km v obe smeri in porabil celotno pot 
.
Povprečna hitrost gibanja je 2 s: 
(km/h).
Odgovor: km/h.
Razmislite o problemu, v katerem je podana povprečna hitrost, eno od hitrosti pa je treba določiti. Zahtevana bo uporaba enačbe.
Kolesar je vozil navzgor s hitrostjo 10 km/h, navzdol pa z neko drugo konstantno hitrostjo. Kot je izračunal, je bila povprečna hitrost 12 km/h.
.III.2. Polovico časa, preživetega na cesti, je avto vozil s hitrostjo 60 km/h, drugo polovico časa pa s hitrostjo 46 km/h. Poiščite povprečno hitrost avtomobila na celotni poti.
III.3 Na poti iz ene vasi v drugo je avto nekaj časa hodil s hitrostjo 60 km/h, nato točno toliko časa s hitrostjo 40 km/h, nato točno toliko časa ob hitrost, ki je enaka povprečni hitrosti na prvih dveh odsekih poti. Kolikšna je povprečna hitrost potovanja na celotni poti od ene vasi do druge?
III.4. Kolesar se vozi od doma v službo s povprečno hitrostjo 10 km/h, nazaj pa s povprečno hitrostjo 15 km/h, saj gre cesta rahlo navzdol. Poiščite povprečno hitrost kolesarja na vsej poti od doma do službe in nazaj.
III.5. Avto je od točke A do točke B potoval prazen s konstantno hitrostjo, vračal pa se je po isti cesti s tovorom s hitrostjo 60 km/h. S kakšno hitrostjo je vozil prazen, če je bila povprečna hitrost 70 km/h?
III.6. Avto se je prvih 100 km vozil s hitrostjo 50 km/h, naslednjih 120 km s hitrostjo 90 km/h, nato pa 120 km s hitrostjo 100 km/h. Poiščite povprečno hitrost avtomobila na celotni poti.
III.7. Avto je prvih 100 km vozil s hitrostjo 50 km/h, naslednjih 140 km s hitrostjo 80 km/h in nato 150 km s hitrostjo 120 km/h. Poiščite povprečno hitrost avtomobila na celotni poti.
III.8. Avto je prvih 150 km vozil s hitrostjo 50 km/h, naslednjih 130 km s hitrostjo 60 km/h, nato pa 120 km s hitrostjo 80 km/h. Poiščite povprečno hitrost avtomobila na celotni poti.
III. 9. Avto se je prvih 140 km vozil s hitrostjo 70 km/h, naslednjih 120 km s hitrostjo 80 km/h, nato pa 180 km s hitrostjo 120 km/h. Poiščite povprečno hitrost avtomobila na celotni poti.
Več kot 80.000 resničnih problemov Enotnega državnega izpita 2020
Niste prijavljeni v sistem "". To ne moti gledanja in reševanja nalog Odprta banka nalog enotnega državnega izpita iz matematike, temveč za sodelovanje v uporabniškem tekmovanju za reševanje teh nalog.
Rezultat iskanja nalog za enotni državni izpit iz matematike za poizvedbo:
« Kolo je zapustilo točko A krožne steze» — Najdenih 251 nalog
(ogledi: 606 , odgovori: 13 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 10 minut pa mu je sledil motorist. 2 minuti po odpeljevanju je kolesarja dohitel prvič, 3 minute za tem pa še drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 5 km. Odgovorite v km/h.
Naloga B14 ()(ogledi: 625 , odgovori: 11 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 20 minut pa mu je sledil motorist. 5 minut po odhodu je prvič dohitel kolesarja, še 10 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 10 km. Odgovorite v km/h.
Pravilen odgovor še ni določen
Naloga B14 ()(ogledi: 691 , odgovori: 11 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 10 minut pa mu je sledil motorist. 5 minut po odhodu je prvič dohitel kolesarja, še 15 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 10 km. Odgovorite v km/h.
odgovor: 60
Naloga B14 ()(ogledi: 613 , odgovori: 11 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. 5 minut po odhodu je prvič dohitel kolesarja, še 47 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 47 km. Odgovorite v km/h.
Pravilen odgovor še ni določen
Naloga B14 ()(ogledi: 610 , odgovori: 9 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 20 minut pa mu je sledil motorist. 5 minut po speljevanju je prvič dohitel kolesarja, še 19 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 19 km. Odgovorite v km/h.
Pravilen odgovor še ni določen
Naloga B14 ()(ogledi: 618 , odgovori: 9 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 20 minut pa mu je sledil motorist. 2 minuti po odhodu je prvič dohitel kolesarja, še 30 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 50 km. Odgovorite v km/h.
Pravilen odgovor še ni določen
Naloga B14 ()(ogledi: 613 , odgovori: 9 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. 5 minut po speljevanju je prvič dohitel kolesarja, še 26 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 39 km. Odgovorite v km/h.
Pravilen odgovor še ni določen
Naloga B14 ()(ogledi: 622 , odgovori: 9 )
S točke A krožne steze je zapeljal kolesar, čez 50 minut pa mu je sledil motorist. 5 minut po odhodu je prvič dohitel kolesarja, še 12 minut za tem pa ga je dohitel drugič. Poišči hitrost motorista, če je pot dolga 20 km. Odgovorite v km/h.
Pravilen odgovor še ni določen
Naloga B14 (Iz točke A krožne proge, katere dolžina je 75 km, sta v isti smeri hkrati štartala dva avtomobila. Hitrost prvega avtomobila je 89 km/h, hitrost drugega avtomobila pa 59 km/h. Koliko minut po štartu bo prvi avtomobil imel prednost pred drugim za natanko en krog?
Rešitev problema
Ta lekcija prikazuje, kako z uporabo fizikalne formule za določanje časa med enakomernim gibanjem: ustvarite razmerje za določitev časa, ko bo en avto prehitel drugega v krogu. Pri reševanju problema je navedeno jasno zaporedje dejanj za reševanje podobnih problemov: vnesemo določeno oznako za tisto, kar želimo najti, zapišemo čas, v katerem en in drugi avto prevozita določeno število krogov, pri čemer upoštevamo, da je ta čas enaka vrednost - dobljene enakosti izenačimo. Rešitev vključuje iskanje neznane količine v linearni enačbi. Če želite dobiti rezultate, ne pozabite nadomestiti dobljenega števila krogov v formulo za določanje časa.
Rešitev tega problema priporočamo učencem 7. razreda pri preučevanju teme "Matematični jezik. Matematični model (Linearna enačba z eno spremenljivko). Pri pripravi na OGE se lekcija priporoča pri ponavljanju teme "Matematični jezik. Matematični model".
“Lekcija Tangenta na krog” - Dokažite, da je premica AC tangenta na dani krog. Naloga 1. Podano: env.(O;OM), MR – tangenta, kot KMR=45?. Izračunaj dolžino BC, če je OD=3cm. Splošna lekcija. Na dano krožnico nariši tangento. Tema: "krog". Rešitev: Rešitev problema. Praktično delo. Naredite opombe in opombe.
"Tangenta na krog" - Lastnost tangente. Naj bo d razdalja od središča O do premice KM. Odseki AK in AM imenujemo tangentne odseke, ki jih vlečemo iz A. Tangenta na krožnico. Potem. Tangenta na krožnico je pravokotna na polmer, narisan na točko dotika. Dokaz. Dokažimo, da če sta AK in AM tangentna odseka, potem je AK = AM, ?OAK = ? OAM.
"Obseg in krog" - Izračunaj. Poišči obseg. Poiščite polmer kroga. Poiščite območje zasenčene figure. Krog. Krožni sektor. Nariši krog s središčem K in polmerom 2 cm Dopolni trditev. Samostojno delo. Obseg. Krog. Območje kroga. Izračunaj dolžino ekvatorja. Igra.
»Enačba kroga« - V zvezku sestavite kroge, ki jih podajajo enačbe: Središče kroga O(0;0), (x – 0)2 + (y – 0)2 = R 2, x2 + y2 = R 2? enačba kroga s središčem v izhodišču. . O (0;0) – središče, R = 4, nato x2 + y2 = 42; x2 + y2 = 16. Poiščite koordinate središča in polmer, če je AB premer danega kroga.
"Dolžina kroga 6. razred" - Moto lekcije: Zgodovina števil?. Premer kolesa dizelske lokomotive je 180 cm Lambert je našel? prvih sedemindvajset ustreznih ulomkov. Lekcija matematike v 6. razredu Učiteljica matematike: Nikonorova Lyubov Arkadyevna. Učni načrt. Tekmovanje "Mozaik predstavitev". Lahko pa najdete neskončno zaporedje ustreznih ulomkov.
To delo Kolesar je zapeljal iz točke A krožne poti, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. Po 10 minutah (Kontrola) pri predmetu (Makroekonomija in javna uprava) so ga strokovnjaki našega podjetja po individualnem naročilu zaključili in opravili uspešen zagovor. Delo - Kolesar je zapeljal iz točke A krožne steze, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. V 10 minutah predmet Makroekonomija in javna uprava odraža svojo temo in logično komponento njenega razkritja, razkrije se bistvo problematike, ki se preučuje, poudarijo se glavne določbe in vodilne ideje te teme.
Delo - Kolesar je zapeljal iz točke A krožne steze, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. Po 10 minutah vsebuje: tabele, risbe, najnovejše literarne vire, leto oddaje in zagovora dela - 2017. V delu je kolesar zapeljal s točke A krožne poti, čez 30 minut pa mu je sledil motorist. Po 10 minutah (makroekonomija in javna uprava) se razkrije relevantnost raziskovalne teme, stopnja razvitosti problema se odraža na podlagi poglobljene ocene in analize znanstvene in metodološke literature v delu na temo. makroekonomije in javne uprave, predmet analize in njegova vprašanja so celovito obravnavana, tako s teoretične kot praktične strani, cilj in posebni cilji obravnavane teme so oblikovani, obstaja logika predstavitve gradiva in njegovega zaporedje.
