teorema lui Vieta. Exemple de soluții. Teorema lui Vieta pentru ecuații pătratice și alte ecuații Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind exemple de teoremă a lui Vieta

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta pentru ecuații patratice. Teorema inversă Vieta. Teorema lui Vieta pentru ecuații cubice și ecuații de ordin arbitrar.

Conţinut

Vezi si: Rădăcinile unei ecuații pătratice

Ecuații cuadratice

teorema lui Vieta

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1) .
Atunci suma rădăcinilor este egală cu coeficientul la luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.

O notă despre mai multe rădăcini

Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.

Dovada unu

Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
;
;
.

Aflarea sumei rădăcinilor:
.

Pentru a găsi produsul, aplicăm formula:
.
Apoi

.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada a doua

Dacă numerele și sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschidem parantezele.

.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema inversă Vieta

Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2) ;
(3) .

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Luați în considerare ecuația pătratică
(1) .
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).

Înlocuiți (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4) .

Înlocuitor în (4):
;
.

Înlocuitor în (4):
;
.
Ecuația este îndeplinită. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).

Teorema a fost demonstrată.

Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică completă

Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5) ,
unde , și sunt câteva numere. Și .

Împărțim ecuația (5) la:
.
Adică am obținut ecuația de mai sus
,
Unde ; .

Atunci teorema Vieta pentru ecuația pătratică completă are următoarea formă.

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație cubică

În mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6) ,
unde , , , sunt unele numere. Și .
Să împărțim această ecuație la:
(7) ,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi

.

Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea

În același mod, puteți găsi legături între rădăcinile , , ... , , pentru ecuația de gradul al n-lea
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea are următoarea formă:
;
;
;

.

Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația sub următoarea formă:
.
Apoi echivalăm coeficienții la , , , ... , și comparăm termenul liber.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: un manual pentru clasa a VIII-a a instituțiilor de învățământ, Moscova, Educație, 2006.

Vezi si:

Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) ne permite să reducem timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta? Este ușor dacă te gândești puțin.

Acum vom vorbi doar despre soluția ecuației pătratice reduse folosind teorema Vieta.Ecuația pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul în fața lui x², este egal cu unu. Ecuațiile pătratice care nu sunt date pot fi rezolvate și folosind teorema Vieta, dar deja cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.

Teorema inversă la teorema lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât

atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice

Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți cursul raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.

I. Dacă q este un număr pozitiv,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (pentru că numai la înmulțirea numerelor cu aceleași semne se obține un număr pozitiv).

In absenta. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (au adăugat numere de același semn, au primit un număr negativ).

II. Dacă q este un număr negativ,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, atunci când adunăm numere cu semne diferite, le scădem pe cel mai mic din modul mai mare). Prin urmare, x1 + x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mult decât cealaltă (modulo).

II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.

Luați în considerare soluția ecuațiilor pătratice conform teoremei lui Vieta folosind exemple.

Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:

Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Prin urmare, 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.

În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Vieta (1540-1603) - matematician, creatorul celebrelor formule Vieta

teorema lui Vieta necesare pentru a rezolva rapid ecuații pătratice (în termeni simpli).

Mai detaliat, t Teorema lui Vieta - aceasta este suma rădăcinilor acestei ecuații pătratice este egală cu al doilea coeficient, care este luat cu semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber. Această proprietate are orice ecuație pătratică dată care are rădăcini.

Folosind teorema Vieta, puteți rezolva cu ușurință ecuații patratice prin selecție, așa că să-i spunem „mulțumesc” acestui matematician cu o sabie în mână pentru fericita noastră clasă a VII-a.

Dovada teoremei lui Vieta

Pentru a demonstra teorema, puteți folosi formulele rădăcinilor binecunoscute, datorită cărora vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice. Abia după aceea ne putem asigura că sunt egale și, în consecință, .

Să presupunem că avem o ecuație: . Această ecuație are următoarele rădăcini: și . Să demonstrăm că , .

Conform formulelor rădăcinilor ecuației pătratice:

1. Aflați suma rădăcinilor:

Să analizăm această ecuație, deoarece am obținut-o exact așa:

= .

Pasul 1. Reducem fracțiile la un numitor comun, rezultă:

= = .

Pasul 2. Avem o fracțiune în care trebuie să deschideți paranteze:

Reducem fracția cu 2 și obținem:

Am demonstrat relația pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta.

2. Aflați produsul rădăcinilor:

= = = = = .

Să demonstrăm această ecuație:

Pasul 1. Există o regulă pentru înmulțirea fracțiilor, conform căreia înmulțim această ecuație:

Acum ne amintim definiția rădăcinii pătrate și luăm în considerare:

= .

Pasul 3. Reamintim discriminantul ecuației pătratice: . Prin urmare, în loc de D (discriminant), înlocuim în ultima fracție, apoi obținem:

= .

Pasul 4. Deschideți parantezele și adăugați termeni similari la fracții:

Pasul 5. Reducem „4a” și obținem.

Deci am demonstrat relația pentru produsul rădăcinilor conform teoremei lui Vieta.

IMPORTANT!Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o singură rădăcină.

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

Conform teoremei, inversul teoremei lui Vieta, putem verifica dacă ecuația noastră este rezolvată corect. Pentru a înțelege teorema în sine, trebuie să o luăm în considerare mai detaliat.

Dacă numerele sunt:

Și apoi sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Pasul 1.Să substituim expresii pentru coeficienții săi în ecuație:

Pasul 2Să transformăm partea stângă a ecuației:

Pasul 3. Să găsim rădăcinile ecuației și pentru aceasta folosim proprietatea că produsul este egal cu zero:

Sau . De unde vine: sau.

Exemple cu soluții după teorema lui Vieta

Exemplul 1

Exercițiu

Aflați suma, produsul și suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice fără a găsi rădăcinile ecuației.

Soluţie

Pasul 1. Amintiți-vă formula discriminantă. Înlocuim numerele noastre sub litere. Adică , este un substitut pentru , și . Asta implică:

Se dovedește:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin suma și produsul lor:

Răspuns

7; 12; 25.

Exemplul 2

Exercițiu

Rezolvați ecuația. În acest caz, nu utilizați formulele ecuației pătratice.

Soluţie

Această ecuație are rădăcini care sunt mai mari decât zero în ceea ce privește discriminantul (D). În consecință, conform teoremei Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este 4, iar produsul este 5. În primul rând, determinăm divizorii numărului, a căror sumă este 4. Acestea sunt numerele „5” și „-1”. Produsul lor este egal cu - 5, iar suma - 4. Prin urmare, conform teoremei, inversul teoremei lui Vieta, ele sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns

Și Exemplul 4

Exercițiu

Scrieți o ecuație în care fiecare rădăcină este de două ori rădăcina corespunzătoare a ecuației:

Soluţie

După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este 12, iar produsul = 7. Prin urmare, cele două rădăcini sunt pozitive.

Suma rădăcinilor noii ecuații va fi egală cu:

Și munca.

Printr-o teoremă inversă cu teorema lui Vieta, noua ecuație are forma:

Răspuns

Rezultatul a fost o ecuație, fiecare rădăcină a cărei rădăcină este de două ori mai mare:

Deci, ne-am uitat la cum să rezolvăm o ecuație folosind teorema lui Vieta. Este foarte convenabil să folosiți această teoremă dacă sunt rezolvate sarcini care sunt asociate cu semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Adică, dacă termenul liber din formulă este un număr pozitiv și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele pot fi fie negative, fie pozitive.

Și dacă termenul liber este un număr negativ și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele semne vor fi diferite. Adică, dacă o rădăcină este pozitivă, atunci cealaltă rădăcină va fi doar negativă.

Surse utile:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovici E. A. Algebră Clasa a 8-a: Moscova „Iluminismul”, 2016 – 318 p.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - manual Algebră Clasa 8: Moscova „Balass”, 2015 - 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebră clasa a 8-a: Moscova „Iluminismul”, 2014 – 300

Teorema lui Vieta, formula Vieta inversă și exemple cu soluție pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților folosesc o singură metodă atunci când rezolvă ecuații pătratice complete - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții cu abilități bune de numărare orală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. În opinia mea, atunci când studiem ecuațiile pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție aplicării teoremei Vieta (conform programului lui A.G. Mordkovich Algebra-8, sunt planificate doar două ore pentru a studia subiectul „Teorema Vieta. Descompunerea lui un trinom pătrat în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru o ecuație pătratică redusă și spune că dacă ecuația are rădăcini și , atunci ele satisfac egalitățile , . Apoi, se formulează o afirmație conversată cu teorema lui Vieta și se oferă o serie de exemple pentru a lucra pe această temă.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției pe ele folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume, și . Apoi, după teorema lui Vieta, egalitățile

Rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Deci, rădăcinile ecuației au același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică dată folosind teorema Vieta:

notează afirmația teoremei lui Vieta

(*)

• determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative.Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite.În plus, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv, iar dacă suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
• selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
• din perechile de numere găsite, alegeți perechea care, atunci când este înlocuită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;
• indicați în răspuns rădăcinile găsite ale ecuației.

Să mai dăm câteva exemple.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, după teorema lui Vieta Rețineți că produsul este pozitiv și suma este negativă. Deci ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau produsul lui 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Deci numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: -2; -5.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta Rețineți că produsul este negativ. Deci rădăcinile sunt de semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Prin urmare, rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Deci numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: 2; -5.

Rețineți că teorema Vieta poate fi formulată în principiu pentru ecuația pătratică completă: dacă ecuaţia pătratică are rădăcini și , atunci ele satisfac egalitățile , . Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece în ecuația pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient Ași scrieți ecuația sub forma . Introducem o nouă variabilă și obținem o ecuație pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă există) pot fi găsite folosind teorema Vieta. Atunci rădăcinile ecuației inițiale vor fi . Rețineți că este foarte ușor să scrieți ecuația redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient este egal cu produsul as. Cu o anumită abilitate, elevii compun imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația .

Să facem o ecuație auxiliară iar prin teorema lui Vieta îi găsim rădăcinile. Deci rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Exemplul 5. Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . După teorema lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsim rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Este ușor să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema Vieta și este egală cu . Inca o afirmatie: astfel încât numărul -1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru a. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică redusă.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci rădăcinile ecuației .

Răspuns: .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci rădăcinile ecuației .

Răspuns: ..

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă folosind trecerea la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

Când studiați modalități de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, luați în considerare proprietățile rădăcinilor obținute. Ele sunt acum cunoscute ca teoremele lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.

Ecuație pătratică

Ecuația de ordinul doi este o egalitate, care este prezentată în fotografia de mai jos.

Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere care se numesc coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile x care o fac adevărată.

Rețineți că, deoarece valoarea maximă a puterii la care este ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.

Există mai multe moduri de a rezolva acest tip de egalitate. În acest articol, vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.

Enunțul teoremei lui Vieta

La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician Francois Viet (francez) a observat, analizând proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.

Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .

Dacă forma generală a ecuației este scrisă așa cum este arătată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, atunci matematic această teoremă poate fi scrisă ca două egalități:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Unde r 1 , r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației considerate.

Aceste două egalități pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice foarte diferite. Utilizarea teoremei Vieta în exemple cu o soluție este dată în următoarele secțiuni ale articolului.