Creare

Forme cu linii limitate. Calculați aria exemplelor de figuri. Volumul unui corp de revoluție

În acest articol, veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată, întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când studiul anumitor integrale tocmai a fost finalizat și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor acumulate în practică.

Deci, ceea ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

Abilitatea de a desena corect desene;
Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
Capacitatea de a „vedea” o soluție mai profitabilă - de ex. pentru a înțelege cum în acest sau acel caz va fi mai convenabil să se realizeze integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
Ei bine, unde fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvi acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o bucată de hârtie în cușcă, la scară mare. Semnăm cu un creion deasupra fiecărui grafic numele acestei funcții. Semnătura graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit graficul cifrei dorite, în cele mai multe cazuri va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt stabilite în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică se potrivește cu cea analitică.

3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt localizate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi zona figurii. Luați în considerare diverse exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.

3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți aria unui trapez curbiliniu. Ce este un trapez curbiliniu? Aceasta este o figură plată delimitată de axa x (y=0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b. În același timp, această cifră nu este negativă și este situată nu mai jos decât axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită calculată folosind formula Newton-Leibniz:

Exemplul 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ce linii definesc figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole sunt pozitive. Apoi, date drepte x = 1și x = 3 care merg paralel cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, ea este axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se vede în figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbiliniu, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.

3.2. În paragraful anterior 3.1 a fost analizat cazul când trapezul curbiliniu este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Cum să rezolvăm o astfel de problemă, vom analiza în continuare.

Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

În acest exemplu, avem o parabolă y=x2+6x+2, care provine de sub ax OH, Drept x=-4, x=-1, y=0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei de găsire a zonei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe interval. [-4; -1] . Ce nu înseamnă pozitiv? După cum se poate vedea din figură, figura care se află în x-ul dat are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă, am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o anumită curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construcția unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiți un plan, vă recomand următoarea ordine: primul este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai după- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punct cu punct, tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință.

Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției peste axă, de aceea:

Răspuns:

Pentru cei care au dificultăți în calcularea integralei definite și în aplicarea formulei Newton-Leibniz, vă rugăm să consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluție: Să facem un desen:

Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax, atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Este mai bine să nu utilizați această metodă dacă este posibil.

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiți liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite diagrame este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Repet că la construcția punctuală, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Daca pe un segment vreo functie continua mai mare sau egal o funcție continuă, atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), si care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei. Deoarece axa este dată de ecuație, iar graficul funcției este situat sub axă, atunci

Și acum câteva exemple pentru o soluție independentă

Exemplul 5

Exemplul 6

Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .

În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a încurcat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Iată un caz real:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Să desenăm mai întâi:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, se întâmplă adesea că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile într-o formă „școală” și să realizăm un desen punct cu punct:

Din desen se vede că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că. Sau rădăcină. Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?

În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

Prin urmare, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.

Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,

Soluție: Desenați această figură în desen.

Pentru construcția punct cu punct a unui desen, este necesar să se cunoască aspectul sinusoidei (și, în general, este util să se cunoască grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

(1) Modul în care sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare poate fi văzut în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Aceasta este o tehnică tipică, ciupim un sinus.

(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază în formă

(3) Să schimbăm variabila , apoi:

Noi redistribuiri ale integrării:

Cine are cu adevărat o afacere proastă cu înlocuirile, te rog să mergi la lecție Metoda de înlocuire în integrală nedefinită. Pentru cei care nu sunt foarte clari despre algoritmul de înlocuire într-o integrală definită, vizitați pagina Integrala definita. Exemple de soluții. Exemplul 5: Soluție: deci:

Răspuns:

Notă: observați cum este luată integrala tangentei în cub, aici este folosit corolarul identității trigonometrice de bază.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Cuvinte cheie: trapez integral, curbiliniu, zonă de figuri delimitată de crini

Echipamente: tabla alba, calculator, proiector multimedia

Tipul de lecție: lecție-prelecție

Obiectivele lecției:

educational: să formeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev, să formeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
în curs de dezvoltare: formarea independenței gândirii elevului în aplicarea cunoștințelor în diverse situații, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
educational: pentru a forma concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, pentru a stăpâni abilitățile de calcul a ariilor figurilor plate

Metoda de predare: explicative și ilustrative.

În timpul orelor

În clasele anterioare, am învățat cum să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii întrerupte. În matematică, există metode care vă permit să calculați aria figurilor delimitate de curbe. Astfel de cifre sunt numite trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.

trapez curbiliniu ( slide 1)

Un trapez curbiliniu este o figură delimitată de graficul funcției, ( w.m.), Drept x = ași x = b si abscisa

Diferite tipuri de trapezi curbilinii ( slide 2)

Luăm în considerare diferite tipuri de trapeze curbilinii și observăm: una dintre drepte este degenerată în punct, rolul funcției de limitare este jucat de linie.

Aria unui trapez curbiliniu (diapozitivul 3)

Fixați capătul din stânga al intervalului A, si drept X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este antiderivată F pentru functie f

Iar pe segmentul [ A; b] aria trapezului curbiliniu format de funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Exercitiul 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții: f(x) = x 2 si direct y=0, x=1, x=2.

Soluție: ( conform algoritmului slide 3)

Desenați un grafic al funcției și al liniilor

Găsiți una dintre antiderivatele funcției f(x) = x 2 :

Slide Self-Verificare

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu dat de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor curbilinii mai mici. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbiliniu. Cu cât rupem segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Scriem aceste considerații sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți cu puncte x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Lungime k- th notează prin xk = xk - xk-1. Să rezumam

Din punct de vedere geometric, această sumă este aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sch.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obține prin trecerea la limită. Imaginează-ți că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, aria figurii compuse se va apropia de aria trapezului curbiliniu. Putem spune că aria unui trapez curbiliniu este egală cu limita sumelor integrale, Sk.t. (sch.m.) sau integral, adică

Definiție:

integrală a funcției f(x) din A inainte de b se numește limita sumelor integrale

= (sch.m.)

formula Newton-Leibniz.

Amintiți-vă că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, deci putem scrie:

Sk.t. = (sch.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbiliniu este calculată prin formula

S la t. (sch.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

= (sch.m.)

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru comoditatea calculelor, formula este scrisă astfel:

= = (sch.m.)

Sarcini: (sch.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compilați integralele conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Găsiți aria unei figuri mărginite de linii: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbilinii?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sch.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sch.m.). Figura în cauză este un trapez curbiliniu? Și cum puteți găsi zona sa, folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbilinie și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( w.m.)

Să facem un algoritm pentru găsirea zonei din animația de pe diapozitiv:

Funcții grafice
Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
Umbriți figura obținută prin încrucișarea graficelor
Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
Calculați aria fiecăruia
Găsiți diferența sau suma de suprafețe

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Teme pentru acasă: Elaborați rezumatul, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografie

Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminismul, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 10-11 de gimnaziu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
Bashmakov M.I. Matematică: un manual pentru instituțiile care încep. și avg. prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra și începutul analizei: un manual pentru 10-11 celule. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Iluminismul, 2010.
Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru lecție? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primul septembrie 2010.

Calculați aria unei figuri delimitate de linii.

Soluţie.

Găsim punctele de intersecție ale dreptelor date. Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații:

Pentru a găsi abscisele punctelor de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm ecuația:

Găsim: X 1 = -2, X 2 = 4.

Deci, aceste drepte, care sunt o parabolă și o dreaptă, se intersectează în puncte A(-2; 0), B(4; 6).

Aceste linii formează o figură închisă, aria lui care este calculată folosind formula de mai sus:

Conform formulei Newton-Leibniz, găsim:

Găsiți aria unei zone delimitate de o elipsă.

Soluţie.

Din ecuația elipsei pentru cadranul I avem . De aici, conform formulei, obținem

Să aplicăm înlocuirea X = A păcat t, dx = A cos t dt. Noi limite ale integrării t = α și t = β sunt determinate din ecuațiile 0 = A păcat t, A = A păcat t. Poate fi pus α = 0 și β = π /2.

Găsim un sfert din suprafața necesară

De aici S = pab.

Găsiți aria unei figuri delimitate de liniiy = - X 2 + X + 4 șiy = - X + 1.

Soluţie.

Găsiți punctele de intersecție ale liniilor y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, echivalând ordonatele dreptelor: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 sau X 2 - 2X- 3 = 0. Aflați rădăcinile X 1 = -1, X 2 = 3 și ordonatele corespunzătoare y 1 = 2, y 2 = -2.

Folosind formula suprafeței figurii, obținem

Găsiți aria cuprinsă de parabolăy = X 2 + 1 și directX + y = 3.

Soluţie.

Rezolvarea sistemului de ecuații

găsiți abscisele punctelor de intersecție X 1 = -2 și X 2 = 1.

Presupunând y 2 = 3 - Xși y 1 = X 2 + 1, pe baza formulei pe care o obținem

Calculați aria conținută în lemniscate Bernoullir 2 = A 2 cos 2 φ .

Soluţie.

În sistemul de coordonate polare, aria figurii delimitată de arcul curbei r = f(φ ) și două raze polare φ 1 = ʅ și φ 2 = ʆ , se exprimă prin integrală

Datorită simetriei curbei, determinăm mai întâi un sfert din aria dorită

Prin urmare, suprafața totală este S = A 2 .

Calculați lungimea arcului unui astroidX 2/3 + y 2/3 = A 2/3 .

Soluţie.

Scriem ecuația astroidului în formă

(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .

Sa punem X 1/3 = A 1/3 cos t, y 1/3 = A 1/3 păcat t.

De aici obținem ecuațiile parametrice ale astroidului

X = A cos 3 t, y = A păcatul 3 t, (*)

unde 0 ≤ t ≤ 2π .

Având în vedere simetria curbei (*), este suficient să găsim o pătrime din lungimea arcului L corespunzătoare modificării parametrului t de la 0 la π /2.

Primim

dx = -3A cos 2 t păcat t dt, dy = 3A păcatul 2 t cos t dt.

De aici găsim

Integrarea expresiei rezultate în intervalul de la 0 la π /2, obținem

De aici L = 6A.

Găsiți aria delimitată de spirala lui Arhimeder = aφ și doi vectori cu rază care corespund unghiurilor polareφ 1 șiφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Soluţie.

Arie delimitată de o curbă r = f(φ ) se calculează prin formula , unde α și β - limitele de modificare a unghiului polar.

Astfel, primim

(*)

Din (*) rezultă că aria delimitată de axa polară și prima întoarcere a spiralei lui Arhimede ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

În mod similar, găsim aria delimitată de axa polară și a doua tură a spiralei lui Arhimede ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Suprafața necesară este egală cu diferența acestor zone

Calculați volumul unui corp obținut prin rotație în jurul unei axeBou figură delimitată de paraboley = X 2 șiX = y 2 .

Soluţie.

Să rezolvăm sistemul de ecuații

si ia X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, de unde punctele de intersecție ale curbelor O(0; 0), B(unsprezece). După cum se poate observa în figură, volumul dorit al corpului de revoluție este egal cu diferența dintre cele două volume formate prin rotație în jurul axei Bou trapezoizi curbilinii OCBAși ODBA:

Calculați aria delimitată de axăBou și sinusoidy = păcatX pe segmente: a); b) .

Soluţie.

a) Pe segment, funcția sin X păstrează semnul, și deci prin formula , presupunând y= păcat X, găsim

b) Pe segmentul , funcţia sin X schimba semnul. Pentru rezolvarea corectă a problemei, este necesar să se împartă segmentul în două și [ π , 2π ], în fiecare dintre care funcția își păstrează semnul.

Conform regulii semnelor, pe segmentul [ π , 2π ] zona este luată cu semnul minus.

Ca urmare, aria dorită este egală cu

Determinați volumul corpului delimitat de suprafața obținută din rotația elipseiîn jurul axei majoreA .

Soluţie.

Având în vedere că elipsa este simetrică față de axele de coordonate, este suficient să găsim volumul format prin rotație în jurul axei Bou zonă OAB, egal cu un sfert din aria elipsei și dublu rezultatul.

Să notăm volumul corpului de revoluție prin V X; apoi, pe baza formulei, avem , unde 0 și A- abscisele punctelor Bși A. Din ecuația elipsei găsim . De aici

Astfel, volumul necesar este egal cu . (Când elipsa se rotește în jurul axei minore b, volumul corpului este de )

Aflați aria delimitată de paraboley 2 = 2 px șiX 2 = 2 py .

Soluţie.

În primul rând, găsim coordonatele punctelor de intersecție ale parabolelor pentru a determina intervalul de integrare. Transformând ecuațiile originale, obținem și . Echivalând aceste valori, obținem sau X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Găsim rădăcinile ecuațiilor:

Având în vedere faptul că punctul A intersecția parabolelor este în primul trimestru, apoi limitele de integrare X= 0 și X = 2p.

Zona dorită este găsită prin formulă

Exemplul 1 . Calculați aria figurii mărginite de linii: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi fig.) Construim o linie dreaptă x + 2y - 4 \u003d 0 de-a lungul a două puncte A (4; 0) și B (0; 2). Exprimând y în termeni de x, obținem y \u003d -0,5x + 2. Conform formulei (1), unde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vom găsi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mp. unitati

Exemplul 2 Calculați aria figurii mărginite de linii: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 și y \u003d 0.

Soluţie. Să construim o figură.

Să construim o dreaptă x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Aflați punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C, este o linie dreaptă.

Pentru triunghiul AMN avem: ; y \u003d 0,5x + 2, adică f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu mărginit de o parabolă y = x 2 , linii drepte x \u003d 2 și x \u003d 3 și axa Ox (a se vedea fig.) Conform formulei (1), găsim aria unui trapez curbiliniu

= = 6kv. unitati

Exemplul 4 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y \u003d - x 2 + 4 și y = 0

Să construim o figură. Zona dorită este închisă între parabola y \u003d - x 2 + 4 și axa Oh.

Aflați punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Presupunând y \u003d 0, găsim x \u003d Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul: \u003d + 4x] mp. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5 Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici este necesar să se calculeze aria trapezului curbiliniu delimitată de ramura superioară a parabolei y 2 \u003d x, axa Ox și liniile drepte x \u003d 1x \u003d 4 (vezi fig.)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități sq.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona dorită este limitată de o sinusoidă cu jumătate de undă și de axa Ox (vezi Fig.).

Avem - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri pătrați. unitati

Exemplul 7 Calculați aria figurii delimitată de linii: y \u003d - 6x, y \u003d 0 și x \u003d 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi Fig.).

Prin urmare, aria sa este găsită prin formula (3)

= =

Exemplul 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile: y \u003d și x \u003d 2. Vom construi curba y \u003d de puncte (a se vedea figura). Astfel, aria figurii se găsește prin formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria delimitată de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc de rază r centrat la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone, luând limitele integrării de la 0

dor; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10 Calculați aria figurii mărginite de linii: y \u003d x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y \u003d x 2 și linie dreaptă y \u003d 2x (vezi Fig.) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= }