A b în Cuba. Construcția cubului. Unde provin formulele de multiplicare abreviată
Exercițiul este o operațiune, strâns legată de multiplicare, această operațiune este rezultatul unei multiplicări multiple a oricărui număr pe sine. Voi descrie formula: A1 * A2 * ... * A \u003d an.
De exemplu, A \u003d 2, N \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
În general, expoziția este adesea folosită în diferite formule în matematică și fizică. Această caracteristică are o destinație mai științifică decât patru principale: adăugarea, scăderea, multiplicarea, diviziunea.
Erecție
Erecția numărului nu este complicată. Este asociată cu multiplicarea similară cu multiplicarea și adăugarea. Înregistrarea A este un rezumat al n-th, numărul de numere "a" înmulțit unul cu celălalt.
Luați în considerare exercițiul în măsura în cele mai ușoare exemple, deplasându-se la complex.
De exemplu, 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Patru pătrați (gradul al doilea) este de șaisprezece ani. Dacă nu înțelegeți multiplicarea de 4 * 4, citiți-vă că suntem despre multiplicare.
Luați în considerare un alt exemplu: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinci în Cuba (în gradul 3) este egal cu o sută douăzeci și cinci.
Un alt exemplu: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nouă în Cuba este egală cu șapte sute de douăzeci și nouă.
Formule
Pentru a întări competent în măsura în care trebuie să vă amintiți și să cunoașteți formulele enumerate mai jos. Nu este nimic peste natural, principalul lucru este de a înțelege esența și apoi ei nu numai că vor fi amintiți, dar ei vor părea lumină.
Ridicarea
Ce reprezintă singur? Acesta este un produs al numerelor și variabilelor în orice cantitate. De exemplu, două - Unlochen. Și aceasta este erecția unor astfel de universități Acest articol.
Profitând de formulele pentru exercițiul de a calcula construcția universală la gradul nu va fi dificilă.
De exemplu, (3x ^ 2y ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4y ^ 6; Dacă este neocupat de gradul, atunci fiecare compozit este neobișnuit în grad.
Ușor la variabila de gradul având deja o diplomă, gradul se înmulțește. De exemplu, (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;
Negativ
Gradul negativ - numărul opus. Care este numărul opus? Orice număr x Reverse va fi 1 / x. Care este, x-1 \u003d 1 / x. Aceasta este esența unui grad negativ.
Luați în considerare un exemplu (3y) ^ - 3:
(3Y) ^ - 3 \u003d 1 / (27Y ^ 3).
De ce este asta? Deoarece există un minus în grad, atunci această expresie este pur și simplu transferată la numitor și apoi ridicată în gradul său al treilea. Doar nu?
Cross-grad.
Să începem să luăm în considerare problema pe un exemplu specific. 43/2. Ce are gradul 3/2? 3 - Numerator, înseamnă erecția numărului (în acest caz 4) în cub. Numărul 2 este numitorul, este extracția rădăcinii celui de-al doilea grad de la (în acest caz 4).
Apoi avem o rădăcină pătrată de 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Răspuns: 8.
Deci, numitorul diplomei fracționate poate fi, atât 3, cât și 4 și infinit prin orice număr și acest număr determină gradul de rădăcină pătrată extrasă din numărul specificat. Desigur, numitorul nu poate fi zero.
Rădăcină rapidă
Dacă rădăcina este ridicată într-o diplomă egală cu gradul de rădăcină în sine, atunci răspunsul va fi o expresie de hrănire. De exemplu, (√h) 2 \u003d x. Și astfel, în orice caz, egalitatea gradului de rădăcină și gradul de construcție a rădăcinii.
Dacă (√x) ^ 4. Că (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Pentru a verifica decizia transferați expresia expresiei cu o diplomă fracționată. Deoarece rădăcina este pătrată, numitorul este 2. și dacă rădăcina este ridicată în gradul al patrulea, atunci număratorul 4. Avem 4/2 \u003d 2. Răspuns: x \u003d 2.
În orice caz, cea mai bună opțiune este pur și simplu transferată în expresia cu o diplomă fracțională. Dacă fracțiunea nu se micsorează, atunci acest răspuns va fi și va fi, cu condiția ca rădăcina numărului specificat să nu fie alocată.
Consurbarea în gradul de număr integrat
Ce este un număr cuprinzător? Un număr complex este o expresie având formula A + B * I; A, B - Numere valide. I - Numărul că numărul -1 dă în piață.
Luați în considerare un exemplu. (2 + 3i) ^ 2.
(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.
Înscrieți-vă pentru curs "Accelerați contul oral, nu aritmetica mentală" pentru a afla cum să pliați rapid și corect, deducere, să multiplicați, să împărțiți numerele ridicate într-un pătrat și chiar să extrageți rădăcinile. Timp de 30 de zile, veți învăța cum să utilizați tehnici ușoare pentru a simplifica operațiile aritmetice. În fiecare lecție, noi tehnici, exemple de înțeles și sarcini utile.
Pe net
Cu ajutorul calculatorului nostru, puteți calcula erecția numărului în grad:
Gradul 7
Exercițiul începe să treacă elevii numai în clasa a șaptea.
Exercițiul este o operațiune, strâns legată de multiplicare, această operațiune este rezultatul unei multiplicări multiple a oricărui număr pe sine. Voi descrie formula: A1 * A2 * ... * A \u003d an.
De exemplu, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Exemple de rezolvare:
Prezentare
Prezentarea la exercițiu în măsura în care a fost calculată pe cel de-al șaptelea clasa. Prezentarea poate clarifica unele momente incomprehensibile, dar probabil că nu vor exista astfel de momente datorită articolului nostru.
Rezultat
Am revizuit numai partea de sus a aisbergului pentru a înțelege mai bine matematica - Înscrieți-vă pentru cursul nostru: Accelerați contul oral nu este un aritmetic mental.
De la curs nu veți recunoaște doar zeci de tehnici pentru multiplicare simplificată și rapidă, adăugare, multiplicare, diviziuni, calcularea interesului, dar și le-au lucrat în sarcini speciale și jocuri educaționale! Contul oral necesită, de asemenea, o mulțime de atenție și concentrații care sunt instruite în mod activ în rezolvarea sarcinilor interesante.
Expresii matematice (formule) multiplicare abreviată (Sume pătrate și diferențe, cantități și diferențe ale cubului, diferența de pătrate, cantitatea și diferența de cuburi) sunt extrem de înlocuite în multe zone de științe exacte. Aceste 7 înregistrări de caractere nu sunt înlocuite cu simplificarea expresiilor, rezolvarea ecuațiilor, cu multiplicarea polinomilor, reducerea fracțiunilor, rezolvarea integrelor și multe alte lucruri. Deci, va fi foarte util să dați seama cum sunt obținute, pentru care sunt necesare și, cel mai important, cum să le amintiți și apoi să aplicați. Apoi aplicați. formule de multiplicare abreviată În practică, cea mai dificilă va vedea ce este H.Și ce este y. Evident, fără restricții a. și b.nu, ceea ce înseamnă că poate fi orice expresii numerice sau de scrisoare.
Și astfel aici:
Primul x 2. - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . A calcula diferența pătrată Două expresii trebuie să multiplice diferența dintre aceste expresii pe sumele lor.
Al doilea (x + y) 2 \u003d x 2. + 2H + în 2 . A găsi suma pătrată Două expresii trebuie adăugate în pătratul primei expresii pentru a adăuga un produs dublu al primei expresii pe al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
Al treilea (x - y) 2 \u003d x 2. - 2h + în 2. A calcula diferența pătratădouă expresii sunt necesare din pătratul primei expresii pentru a lua un produs dublu al primei expresii de pe al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
Al patrulea (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 Y + 3H 2 + 3. A calcula suma cubuluidouă expresii trebuie adăugate la Cuba primei expresii pentru a adăuga o lucrare triplă a pătratului primei expresii de pe cel de-al doilea plus produsul triplat al primei expresii de pe pătrat plus cubul celei de-a doua expresii.
a cincea (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 Y + 3H 2 - 3.. A calcula diferența cubuluidouă expresii sunt necesare din primul cub de expresie pentru a lua lucrarea trifată a pătratului primei expresii de pe cel de-al doilea plus produsul triplat al primei expresii de pe cel de-al doilea minus cub al celei de-a doua expresii.
Şase x 3. + 3. \u003d (x + y) (x 2 - HU + U 2) A calcula cantitatea de cuburidouă expresii trebuie să multiplice sumele primei și celei de-a doua expresii pe o piață incompletă a diferenței dintre aceste expresii.
Al șaptelea x 3. - 3. \u003d (x - y) (x 2 + HU + U 2) Pentru a face calculul diferențele cubicedouă expresii trebuie să multiplice diferența dintre prima și a doua expresie pe piața incompletă a sumei acestor expresii.
Nu este greu să vă amintiți că toate formulele sunt aplicate activității de calcule și în direcția opusă (spre stânga).
Cu aproximativ 4 mii de ani în urmă cu privire la existența acestor modele. Acestea au fost utilizate pe scară largă de locuitorii vechiului Babilon și Egipt. Dar în acele epoci, ei exprimau verbal sau geometric și în timpul calculelor nu au folosit literele.
Vom înțelege dovada pătratului summa(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B2.
Primul acest lucru modelul matematic A demonstrat un om de știință străvechi Euclid, care a lucrat în Alexandria în secolul III î.Hr., a folosit o modalitate geometrică de a evita formula, deoarece oamenii de știință din vechea Ellala nu au folosit scrisori pentru a desemna numerele. Ei au fost folosiți universal nu "2", dar "pătrat pe segmentul A", nu "AB", ci "dreptunghi, încheiat între segmentele A și B".
În lecția anterioară, ne-am ocupat de descompunerea multiplicatorilor. Două moduri au fost stăpânite: făcând un factor comun pentru paranteze și grupare. În această lecție - următorul mod puternic: formule de multiplicare abreviată. Într-o scurtă înregistrare - FSU.
Formulele multiplicării abreviare (pătratul sumei și diferenței, cubul cantității și diferenței, diferența de pătrate, suma și diferența de cuburi) sunt extrem de necesare în toate secțiunile matematicii. Acestea sunt utilizate în simplificarea expresiilor, rezolvarea ecuațiilor, multiplicarea polinomilor, reducerea fracțiunilor, rezolvarea integrală etc. etc. Pe scurt, există toate motivele să se ocupe de ele. Pentru a înțelege cum sunt luate, de ce sunt necesare, cum să le amintiți și cum să aplicați.
Înțelegem?)
De unde provin formulele de multiplicare abreviate?
Egalitatea 6 și 7 nu sunt scrise foarte familiare. Ca și cum ar fi, dimpotrivă. Acest lucru este în mod special.) Orice egalitate funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și la dreapta la stânga. Într-o astfel de înregistrare, este clar unde provine FSU.
Ele sunt luate din multiplicare.) De exemplu:
(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
Asta-i tot, fără trucuri științifice. Schimbați doar parantezele și dați-le. Așa că se dovedește toate formulele de multiplicare abreviată. Abreviat Multiplicarea se datorează faptului că, în formulele, nu există o multiplicare a parantezelor și aducerea similară. Redus.) Având imediat rezultatul.
FSU trebuie să știe prin inimă. Fără primele trei, nu puteți visa despre troică, fără restul - despre al patrulea cu cinci.)
De ce formule de nevoie de multiplicare abreviată?
Există două motive, învățați, chiar și pentru a obține aceste formule. Primul - răspunsul finit pe mașină reduce brusc numărul de erori. Dar acesta nu este motivul principal. Dar al doilea ...
Dacă vă place acest site ...
Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)
Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.
Formulele sau regulile de multiplicare abreviate sunt utilizate în aritmetică sau mai degrabă - în algebră, pentru un proces mai rapid de calculare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt obținute din regulile existente în algebră pentru a multiplica mai multe polinomii.
Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de operațională a diferitelor sarcini matematice și, de asemenea, ajută la simplificarea expresiilor. Regulile transformărilor algebrice vă permit să efectuați anumite manipulări cu expresii, după care este posibil să se obțină o expresie pe partea dreaptă din partea stângă a egalității sau să convertiți partea dreaptă a egalității (pentru a obține un an expresie care stă în partea stângă după semnul egalității).
Este convenabil să se cunoască formulele utilizate pentru multiplicarea abreviată, precum și ele sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și a ecuațiilor. Mai jos sunt formulele de bază incluse în această listă și numele lor.
Suma pătrată
Pentru a calcula pătratul sumei, este necesar să se găsească suma constând din Piața primului termen, a dublat produsul primului termen pe a doua și pătratul al doilea. În forma de exprimare, această regulă este scrisă după cum urmează: (a + c) ² \u003d a² + 2as + c².
Diferența pătrată
Pentru a calcula pătratul diferenței, este necesar să se calculeze suma constând din pătratul primului număr de două ori primul număr la al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. În forma de exprimare, această regulă este după cum urmează: (a-c) ² \u003d a² - 2as + c².
Diferențe pătrate
Formula pentru diferența dintre cele două numere ridicate în pătrat este egală cu cantitatea de sumă a acestor numere pe diferența lor. În forma de exprimare, această regulă este după cum urmează: A² - c² \u003d (A + C) · (A - C).
Suma cubului
Pentru a calcula cubul sumelor celor două componente, este necesar să se calculeze suma constând din cubul primului termen, o muncă triplă a pătratului primului termen și al doilea, triplat produs al primului termen și al doilea în piață, precum și cubul celui de-al doilea termen. În forma de exprimare, această regulă este după cum urmează: (a + c) ³ \u003d A3 + 3A² + 3AS2 + c³.
Cantitatea de cuburi
Conform formulei, este egal cu cantitatea de cantitate a termenilor componentelor din pătratul lor incomplet al diferenței. În forma de exprimare, această regulă este după cum urmează: A3 + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul formei, care este format prin adăugarea a două cuburi. De asemenea, cunoscute doar valorile părților lor.
Dacă valorile părților sunt mici, efectuați pur și simplu calcule.
Dacă lungimea părților este exprimată în numere voluminoase, atunci în acest caz este mai ușor să se aplice formula "cantitate de cuburi", care va simplifica în mod semnificativ calculele.
Diferența cubului
Expresia pentru diferența cubică se pare așa: ca suma gradului al treilea al primului termen, lucrarea negativă triplă a Piaței primului membru al celui de-al doilea, a triplat munca primului membru până la piața celui de-al doilea și negativ cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii matematice, o diferență de cub arată astfel: (A - c) ³ \u003d A³ - 3A² + 3AS2 - c³.
Diferențele cubice
Formula Diferența cubului diferă de cantitatea de cuburi doar un semn. Astfel, diferența dintre cuburi este o formulă egală cu produsul diferenței de date între suma lor incompletă pătrată. Diferența de cuburi este după cum urmează: A 3 - de la 3 \u003d (A - C) (și 2 + AC + C2).
Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul cifrei care va rămâne după scăderea de la volumul cubului albastru al unei figuri galbene de contur, care este, de asemenea, un cub. Numai amploarea laterală a unui cub mic și mare este cunoscută.
Dacă valorile părților sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile părților sunt exprimate în număr semnificativ, este necesar să se aplice formula intitulată "Diferențele de cuburi" (sau "cubul diferenței"), ceea ce va simplifica în mod semnificativ calculele.
Trei defecte, fiecare dintre acestea fiind egală X. (\\ displaystyle x.) Această operație aritmetică se numește "erecție în cub", rezultatul este indicat X 3 (\\ AfișajStyle x ^ (3)):
x 3 \u003d x ⋅ x ⋅ x (\\ displaystyle x ^ (3) \u003d x \\ cdot x \\ cdot x)Pentru construcția cubului, operațiunea inversă este extracția rădăcinii cubice. Numele geometric al gradului al treilea " cub"Se datorează faptului că matematicienii antic au considerat cuburile ca numerele cubice, tipuri speciale de numere (a se vedea mai jos), de la lista numerelor X (\\ displaystyle x) egal cu volumul cubului cu lungimea nervurii egală X (\\ displaystyle x).
CUBE SECENDE
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Cantitatea de cuburi în primul rând N (\\ displaystyle n) Numerele naturale pozitive se calculează cu formula:
Σ i \u003d 1 Ni3 \u003d 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + N 3 \u003d (N (N + 1) 2) 2 (\\ DisplayStyle \\ suma _ (i \u003d 1) ^ (n) i ^ (3) \u003d 1 ^ (3) + 2 ^ (3) + 3 ^ (3) + \\ ldots + n ^ (3) \u003d \\ stânga ((\\ frac (n (n (N + 1)) (2)) \\ Dreapta) ^ (2))Retragerea formulei
Cantitatea de cuburi poate fi afișată utilizând tabelul de multiplicare și suma sumei progresiei aritmetice. Având în vedere ca o ilustrare a metodei, două tabele de multiplicare 5 × 5, efectuează raționament pentru tabelele N × N.
|
|
Cantitatea de numere din K-OH (K \u003d 1,2, ...) Zona selectată a primei tabele:
K2 + 2 K Σ L \u003d 1 K - 1 L \u003d K2 + 2 KK (K - 1) 2 \u003d K3 (\\ DisplayStyle K ^ (2) + 2K \\ suma _ (L \u003d 1) ^ (k- 1) l \u003d k ^ (2) + 2k (\\ frac (k (k - 1)) (2)) \u003d k ^ (3))Și suma numerelor din K-OH (K \u003d 1,2, ...) Zona selectată a celui de-al doilea tabel, care este o progresie aritmetică:
k σ l \u003d 1 n l \u003d k n (n + 1) 2 (\\ displaystyle k \\ sum _ (L \u003d 1) ^ (n) l \u003d k (\\ frac (n (n + 1)) (2)))Rezumând prin toate zonele selectate ale primului tabel, obținem același număr ca însumarea în toate zonele selectate ale celui de-al doilea tabel:
Σ k \u003d 1 NK 3 \u003d Σ k \u003d 1 NKN (N + 1) 2 \u003d N (n + 1) 2 Σ k \u003d 1 NK \u003d (N (n + 1) 2) 2 (\\ DisplayStyle \\ suma _ (k \u003d 1) ^ (n) k ^ (3) \u003d \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (n) k (\\ frac (n (n + 1)) (2)) \u003d (\\ frac (n (n + 1)) (2)) \\ suma _ (k \u003d 1) ^ (n) k \u003d \\ stânga ((\\ frac (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (n (N + 1)) (2)) \\ dreapta) ^ (2))Unele proprietăți
- În recordul zecimal, cubul se poate termina pe orice cifră (spre deosebire de pătrat)
- În recordul zecimal, cele două cuburi pot fi 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 19, 21, 29, 29, 21, 23, 29, 31 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 51, 52, 59, 61, 51, 52, 53, 61, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Dependența unei cifre penultimă a cubului din acesta din urmă poate fi reprezentată ca tabelul următor:
Cuba ca numere curly
"Număr cubic" Q n \u003d n 3 (\\ displaystyle q_ (n) \u003d n ^ (3)) Din punct de vedere istoric, a fost considerată o varietate de numere de figură spațială. Acesta poate fi reprezentat ca o diferență de pătrate de numere triunghiulare succesive. T n (\\ displaystyle t_ (n)):
Q n \u003d (t n) 2 - (t n - 1) 2, n ⩾ 2 (\\ displaystyle q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2) - (t_ (n - 1)) ^ (2), n \\ geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q N \u003d (T N) 2 (\\ DisplayStyle Q_ (1) + Q_ (2) + Q_ (3) + \\ DOTS + Q_ (N) \u003d (T_ (N)) ^ (2))Diferența dintre două numere cubice adiacente este un număr hexagonal centrat.
Expresia unui număr cubic prin tetraedru Π n (3) (\\ displaystyle \\ pi _ (n) ^ ((3))).
