Meşteşuguri

Cum se rezolvă un sistem de ecuații diferențiale folosind metoda operațională? Metodă operațională de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare și a sistemelor acestora Rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale prin metoda Laplace

Să luăm în considerare metoda operațională de rezolvare a ecuațiilor diferențiale folosind exemplul unei ecuații de ordinul trei.

Să presupunem că trebuie să găsim o anumită soluție la o ecuație diferențială liniară de ordinul trei cu coeficienți constanți

indeplinirea conditiilor initiale:

c 0, c 1, c 2 - numere date.

Folosind proprietatea de diferențiere a originalului, scriem:

În ecuația (6.4.1), să trecem de la originale la imagini

Ecuația rezultată se numește operator sau o ecuație în imagini. Rezolvați-l relativ la Y.

Polinoame algebrice într-o variabilă R.

Egalitatea se numește soluție operator a ecuației diferențiale (6.4.1).

Găsirea originalului YT), corespunzător imaginii găsite, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale.

Exemplu: folosind metoda calculului operațional, găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condițiile inițiale date

Să trecem de la originale la imagini

Să scriem ecuația originală în imagini și să o rezolvăm Y

Pentru a găsi originalul imaginii rezultate, factorizăm numitorul fracției și scriem fracția rezultată ca sumă de fracții simple.

Să găsim coeficienții A, B,Și CU.

Folosind tabelul, înregistrăm originalul imaginii rezultate

Soluție particulară a ecuației inițiale.

Metoda operațională se aplică în mod similar pentru rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți

Funcții necunoscute.

Să trecem la imagini

Obținem un sistem de reprezentare a ecuațiilor

Rezolvăm sistemul folosind metoda lui Cramer. Găsim determinanții:

Găsirea unei soluții pentru sistemul de imagistică X(p), Y(p), Z(p).

Am obținut soluția necesară a sistemului

Folosind calculul operațional, puteți găsi soluții la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți variabili și ecuații diferențiale parțiale; calcula integrale. În același timp, rezolvarea problemelor este mult simplificată. Este folosit în rezolvarea problemelor de ecuații de fizică matematică.

Întrebări pentru autocontrol.

1. Ce funcție se numește originală?

2. Ce funcție se numește imaginea originalului?

3. Funcția Heaviside și imaginea acesteia.

4. Obțineți o imagine pentru funcțiile originalelor folosind definiția imaginii: f(t) =t , .

5. Obțineți imagini pentru funcții folosind proprietățile transformărilor Laplace.

6. Găsiți funcțiile originalelor folosind tabelul de imagini: ;

7. Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație diferențială liniară folosind metode de calcul operațional.

Literatură: p. 411-439, p. 572-594.

Exemple: pp. 305-316.

LITERATURĂ

1. Danko P.E. Matematică superioară în exerciții și probleme. În 2 părți.Partea I: Manual. manual pentru colegii/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Mai înaltă. şcoală, 1997.– 304 p.

2. Danko P.E. Matematică superioară în exerciții și probleme. În 2 părți.Partea a II-a: Manual. manual pentru colegii./ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Mai înaltă. şcoală, 1997.– 416 p.

3. Kaplan I.A. Curs practice de matematică superioară. Partea 4./ I.A. Kaplan - Editura Universității de Stat din Harkov, 1966, 236 p.

4. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. În 2 volume, volumul 1: manual. manual pentru colegii./ N.S. Piskunov - M.: ed. „Știință”, 1972. – 456 p.

5. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral pentru colegii. În 2 volume, volumul 2: manual. Un manual pentru colegii../ N.S. Piskunov – M.: ed. „Știință”, 1972. – 456 p.

6. Scris D.T. Note de curs de matematică superioară: curs complet.–ed. a IV-a/ D.T. Scris – M.: Iris-press, 2006.–608 p. - (Educatie inalta).

7. Slobodskaya V.A. Curs scurt de matematică superioară. Ed. al 2-lea, reluat si suplimentare Manual manual pentru colegii/V.A. Slobodskaya - M.: Mai înaltă. şcoală, 1969.– 544 p.

Note de curs Matematică superioară

pentru studenții direcției 6.070104 „Transport maritim și fluvial”

specialitatea „Exploarea centralelor electrice de nave”

cursuri full-time și part-time anul 2

Tiraj______ exemplare Semnat pentru publicare ______________

Comandă nu.__________. Volum__2,78__p.l.

Editura „Universitatea Tehnologică Marină de Stat Kerch”

98309 Kerci, Ordzhonikidze, 82

Afară este o perioadă înfățișată, puful de plop zboară, iar vremea aceasta este propice relaxării. Pe parcursul anului școlar, toată lumea a acumulat oboseală, dar anticiparea vacanțelor/sărbătorilor de vară ar trebui să te inspire să treci cu succes la examene și teste. Apropo, profesorii sunt și plictisiți în timpul sezonului, așa că în curând îmi voi face și eu o pauză să-mi descarc creierul. Și acum este cafeaua, zumzetul ritmic al unității de sistem, câțiva țânțari morți pe pervaz și o stare complet de funcționare... ...oh, la naiba... poetul dracului.

Până la punctul. Cui îi pasă, dar astăzi este 1 iunie pentru mine și ne vom uita la o altă problemă tipică a analizei complexe - găsirea unei anumite soluții la un sistem de ecuații diferențiale folosind metoda calculului operațional. Ce trebuie să știi și să poți face pentru a învăța cum să o rezolvi? În primul rând, recomand cu caldura consultați lecția. Vă rugăm să citiți partea introductivă, să înțelegeți enunțul general al subiectului, terminologia, notația și cel puțin două sau trei exemple. Cert este că cu sistemele de difuzoare totul va fi aproape la fel și chiar mai simplu!

Desigur, trebuie să înțelegeți ce este sistem de ecuații diferențiale, ceea ce înseamnă găsirea unei soluții generale pentru sistem și a unei soluții particulare pentru sistem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că sistemul de ecuații diferențiale poate fi rezolvat în mod „tradițional”: prin eliminare sau folosind ecuația caracteristică. Metoda de calcul operațional care va fi discutată este aplicabilă sistemului de control de la distanță atunci când sarcina este formulată după cum urmează:

Găsiți o anumită soluție pentru un sistem omogen de ecuații diferențiale , corespunzător condiţiilor iniţiale .

Alternativ, sistemul poate fi eterogen - cu „greutăți suplimentare” sub formă de funcții și în partea dreaptă:

Dar, în ambele cazuri, trebuie să acordați atenție două puncte fundamentale ale afecțiunii:

1) Este vorba despre doar despre o soluție privată.
2) În paranteze de condiții inițiale sunt strict zerouri, si nimic altceva.

Cursul general și algoritmul vor fi foarte asemănătoare cu rezolvarea unei ecuații diferențiale folosind metoda operațională. Din materialele de referință veți avea nevoie de același lucru tabel cu originale și imagini.

Exemplul 1

, ,

Soluţie:Începutul este banal: folosirea Tabelele de transformare Laplace Să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare. Într-o problemă cu sistemele de control de la distanță, această tranziție este de obicei simplă:

Folosind formulele tabelare nr. 1, 2, ținând cont de condiția inițială, obținem:

Ce să faci cu „jocuri”? Schimbați mental „X”-urile din tabel în „I”. Folosind aceleași transformări nr. 1, 2, ținând cont de condiția inițială, găsim:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală :

Acum în părțile din stânga trebuie colectate ecuații Toate termeni în care sau este prezent. La părțile potrivite ecuațiile trebuie „formalizate” alte termeni:

Apoi, în partea stângă a fiecărei ecuații, efectuăm bracketing:

În acest caz, următoarele ar trebui plasate în primele poziții și în a doua poziție:

Sistemul rezultat de ecuații cu două necunoscute este de obicei rezolvat după formulele lui Cramer. Să calculăm principalul determinant al sistemului:

În urma calculului determinantului s-a obţinut un polinom.

Tehnica importanta! Acest polinom este mai bun O datăîncercați să o factorizați. În aceste scopuri, ar trebui să încercați să rezolvați ecuația pătratică , dar mulți cititori cu un ochi antrenat de anul doi vor observa asta .

Astfel, principalul nostru determinant al sistemului este:

Dezasamblarea suplimentară a sistemului, mulțumesc Kramer, este standard:

Ca rezultat obținem soluția de operator a sistemului:

Avantajul sarcinii în cauză este că, de obicei, fracțiile se dovedesc a fi simple, iar rezolvarea lor este mult mai ușoară decât cu fracțiile din probleme. găsirea unei anumite soluții la un DE folosind metoda operațională. Premoniția ta nu te-a înșelat - bătrânul bun metoda coeficienților nesiguri, cu ajutorul căruia descompunem fiecare fracție în fracții elementare:

1) Să ne ocupăm de prima fracție:

Prin urmare:

2) Descompunem a doua fracție conform unei scheme similare, dar este mai corect să folosim alte constante (coeficienți nedefiniti):

Prin urmare:

Îi sfătuiesc pe manechini să scrie soluția de operator descompusă în următoarea formă:
- acest lucru va face etapa finală mai clară - transformarea Laplace inversă.

Folosind coloana din dreapta a tabelului, să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Conform regulilor bunelor maniere matematice, vom ordona puțin rezultatul:

Răspuns:

Răspunsul este verificat conform unei scheme standard, care este discutată în detaliu în lecție. Cum se rezolvă un sistem de ecuații diferențiale?Încercați întotdeauna să o finalizați pentru a adăuga un mare plus sarcinii.

Exemplul 2

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale care corespunde condițiilor inițiale date.
, ,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O mostră aproximativă a formei finale a problemei și răspunsul la sfârșitul lecției.

Rezolvarea unui sistem neomogen de ecuații diferențiale nu este diferită din punct de vedere algoritmic, cu excepția faptului că din punct de vedere tehnic va fi puțin mai complicată:

Exemplul 3

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale care corespunde condițiilor inițiale date.
, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace, ținând cont de condițiile inițiale , să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare:

Dar asta nu este tot, există constante singuratice în partea dreaptă a ecuațiilor. Ce să faci în cazurile în care constanta este complet singură? Acest lucru a fost deja discutat în clasă. Cum se rezolvă un DE folosind metoda operațională. Să repetăm: constantele individuale trebuie înmulțite mental cu unu și următoarea transformată Laplace ar trebui aplicată unităților:

Să înlocuim imaginile găsite în sistemul original:

Să mutăm termenii care conțin , la stânga și să plasăm termenii rămași în partea dreaptă:

În părțile din stânga vom efectua bracketing, în plus, vom aduce partea dreaptă a celei de-a doua ecuații la un numitor comun:

Să calculăm principalul determinant al sistemului, fără a uita că este recomandabil să încercăm imediat să factorizezi rezultatul:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Sa trecem peste:

Astfel, soluția operatorului a sistemului este:

Uneori, una sau chiar ambele fracții pot fi reduse și, uneori, atât de bine încât nici nu trebuie să extindeți nimic! Și în unele cazuri, primești imediat un freebie, apropo, următorul exemplu al lecției va fi un exemplu orientativ.

Folosind metoda coeficienților nedeterminați obținem sumele fracțiilor elementare.

Să descompunăm prima fracție:

Și îl obținem pe al doilea:

Ca rezultat, soluția operator ia forma de care avem nevoie:

Folosind coloana din dreapta tabele cu originale și imagini efectuăm transformarea Laplace inversă:

Să substituim imaginile rezultate în soluția operator a sistemului:

Răspuns: solutie privata:

După cum puteți vedea, într-un sistem eterogen este necesar să se efectueze calcule mai intensive în muncă în comparație cu un sistem omogen. Să ne uităm la câteva exemple cu sinusuri și cosinusuri și este suficient, deoarece vor fi luate în considerare aproape toate tipurile de problemă și majoritatea nuanțelor soluției.

Exemplul 4

Folosind metoda calculului operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale cu condiții inițiale date,

Soluţie: Voi analiza și eu acest exemplu, dar comentariile vor viza doar momente speciale. Presupun că sunteți deja bine versat în algoritmul de soluție.

Să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare:

Să înlocuim imaginile găsite în sistemul original de telecomandă:

Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Polinomul rezultat nu poate fi factorizat. Ce să faci în astfel de cazuri? Absolut nimic. O va face și acesta.

Ca urmare, soluția de operator a sistemului este:

Iată biletul norocos! Nu este deloc nevoie să folosiți metoda coeficienților nedeterminați! Singurul lucru este că, pentru a aplica transformări de tabel, rescriem soluția în următoarea formă:

Să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Să substituim imaginile rezultate în soluția operator a sistemului:

Formula de expansiune Heaviside

Fie imaginea funcției o funcție rațională fracțională.

Teorema. Fie, unde și sunt funcții diferențiabile. Să introducem ambii polii ai funcției, i.e. rădăcinile (zerourile) numitorului său. Atunci, dacă obținem formula Heaviside:

Efectuăm demonstrația pentru cazul în care și sunt polinoame de grade TȘi Pîn consecinţă, în timp ce T P. Atunci este o fracție rațională adecvată. Să o prezentăm ca o sumă de fracții simple:

De aici găsim coeficienții din identitate (17.2), rescriindu-i sub forma

Să înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu și să mergem la limita la. Având în vedere asta și, obținem

de unde rezultă (17.1). Teorema a fost demonstrată.

Nota 1. Dacă coeficienții polinoamelor sunt reali, atunci rădăcinile complexe ale polinomului sunt conjugate în perechi. În consecință, în formula (17.1) mărimile complexe conjugate vor fi termenii corespunzători rădăcinilor complexe conjugate ale polinomului, iar formula Heaviside va lua forma

unde prima sumă este extinsă la toate rădăcinile reale ale polinomului, a doua - la toate rădăcinile sale complexe cu părți imaginare pozitive.

Nota 2. Fiecare termen al formulei (17.1) reprezintă o oscilație scrisă în formă complexă, unde. Astfel, rădăcinile reale () corespund oscilațiilor aperiodice, rădăcinilor complexe cu părți reale negative corespund oscilațiilor amortizate, iar rădăcinilor pur imaginare corespund oscilațiilor armonice neamortizate.

Dacă numitorul nu are rădăcini cu părți reale pozitive, atunci pentru valori suficient de mari obținem o stare de echilibru:

Rădăcini pur imaginare ale unui polinom cu părți imaginare pozitive.

Oscilațiile corespunzătoare rădăcinilor cu părți reale negative se diminuează exponențial la și, prin urmare, nu intră în starea staționară.

Exemplul 1. Găsiți imaginea originală

Soluţie. Avem. Să notăm rădăcinile polinomului: .

Conform formulei (17.1)

Aici, deoarece numerele sunt rădăcinile ecuației. Prin urmare,

Exemplul 2. Găsiți imaginea originală

Unde A 0; .

Soluţie. Aici funcția, pe lângă rădăcina evidentă, are infinit de rădăcini, care sunt zerouri ale funcției. Rezolvând ecuația, ajungem unde

Astfel, rădăcinile numitorului au forma și, unde

Folosind formula (17.3) găsim originalul

Metoda operatorului pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale

Ecuatii diferentiale. Luați în considerare problema Cauchy pentru o ecuație diferențială liniară

(aici) cu condiții inițiale

Trecând la imaginile din (18.1), datorită liniarității transformării Laplace, vom avea

Folosind teorema 3 din § 16 și condițiile inițiale (18.2), scriem imaginile derivatelor sub forma

Înlocuind (18.4) în (18.3), după transformări simple obținem ecuația operatorului

unde (polinom caracteristic); .

Din ecuația (18.5) găsim soluția operatorului

Soluția problemei Cauchy (18.1), (18.2) este soluția originală a operatorului (18.6):

Pentru problema Cauchy, în notația acceptată putem scrie

Ecuația operatorului are forma

Să descompunăm soluția operatorului în fracții simple:

Folosind formulele obținute la § 15, obținem originalele:

Astfel, rezolvarea problemei Cauchy va avea forma

Exemplul 1. Rezolvați problema Cauchy pentru o ecuație diferențială cu condiții inițiale, unde.

Soluţie.

Soluția sa are forma

Folosind teorema 2 din § 16, găsim în mod constant:

Exemplul 2. Rezolvați problema Cauchy pentru o ecuație diferențială cu condiții inițiale zero, unde este funcția impuls de pas.

Soluţie. Să scriem ecuația operatorului

si decizia lui

Din teorema 2 din § 16 rezultă

în conformitate cu teorema retardării (§ 15)

In cele din urma,

Exemplul 3. Masa pe punct T, prins de arc printr-o rigiditate Cu si situata pe un plan orizontal neted actioneaza o forta in schimbare periodica. La un moment dat, punctul a fost supus unui impact purtând un impuls. Neglijând rezistența, găsiți legea mișcării unui punct dacă la momentul inițial de timp acesta era în repaus la originea coordonatelor.

Soluţie. Scriem ecuația de mișcare sub forma

unde este forța elastică; - Funcția Dirac. Să rezolvăm ecuația operatorului

Dacă (caz de rezonanță), atunci

Prin teorema de întârziere

In cele din urma,

Integrala lui Duhamel (formula). Să luăm în considerare problema Cauchy pentru ecuația (18.1) în condiții inițiale. Soluția operatorului în acest caz are forma

Lăsați funcția de greutate să fie originalul pentru. apoi prin Teorema 1 din § 16 obţinem

Relația (18.7) se numește integrală (formula) a lui Duhamel.

Cometariu. Pentru condițiile inițiale diferite de zero, formula lui Duhamel nu este direct aplicabilă. În acest caz, este necesar să se transforme mai întâi problema inițială într-o problemă cu condiții inițiale omogene (zero). Pentru a face acest lucru, introducem o nouă funcție, presupunând

unde sunt valorile inițiale ale soluției dorite.

Cât de ușor este de văzut și, prin urmare, .

Astfel, funcția este o soluție a ecuației (18.1) cu partea dreaptă obținută prin înlocuirea (18.8) în (18.1), cu date inițiale zero.

Folosind (18.7), găsim și.

Exemplul 4. Folosind integrala Duhamel, găsiți o soluție la problema Cauchy

cu conditiile initiale.

Soluţie. Datele inițiale sunt diferite de zero. Presupunem, în conformitate cu (18.8), . Apoi, pentru definiție, obținem o ecuație cu condiții inițiale omogene.

Pentru problema luată în considerare, un polinom caracteristic, o funcție de pondere. Conform formulei lui Duhamel

In cele din urma,

Sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Problema Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale liniare în notație matriceală are forma

unde este vectorul funcțiilor necesare; - vector de laturi drepte; - matricea coeficientilor; - vector de date inițiale.

Desigur, trebuie să înțelegeți ce este sistem de ecuații diferențiale, ceea ce înseamnă găsirea unei soluții generale pentru sistem și a unei soluții particulare pentru sistem.

Găsiți o anumită soluție pentru un sistem omogen de ecuații diferențiale , corespunzător condiţiilor iniţiale .

Alternativ, sistemul poate fi eterogen - cu „greutăți suplimentare” sub formă de funcții și în partea dreaptă:

Dar, în ambele cazuri, trebuie să acordați atenție două puncte fundamentale ale afecțiunii:

1) Este vorba despre doar despre o soluție privată.
2) În paranteze de condiții inițiale sunt strict zerouri, si nimic altceva.

Exemplul 1

, ,

Folosind formulele tabelare nr. 1, 2, ținând cont de condiția inițială, obținem:

Ce să faci cu „jocuri”? Schimbați mental „X”-urile din tabel în „I”. Folosind aceleași transformări nr. 1, 2, ținând cont de condiția inițială, găsim:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală :

Acum în părțile din stânga trebuie colectate ecuații Toate termeni în care sau este prezent. La părțile potrivite ecuațiile trebuie „formalizate” alte termeni:

Apoi, în partea stângă a fiecărei ecuații, efectuăm bracketing:

În acest caz, următoarele ar trebui plasate în primele poziții și în a doua poziție:

Sistemul rezultat de ecuații cu două necunoscute este de obicei rezolvat după formulele lui Cramer. Să calculăm principalul determinant al sistemului:

În urma calculului determinantului s-a obţinut un polinom.

Astfel, principalul nostru determinant al sistemului este:

Dezasamblarea suplimentară a sistemului, mulțumesc Kramer, este standard:

Ca rezultat obținem soluția de operator a sistemului:

1) Să ne ocupăm de prima fracție:

Prin urmare:

2) Descompunem a doua fracție conform unei scheme similare, dar este mai corect să folosim alte constante (coeficienți nedefiniti):

Prin urmare:

Îi sfătuiesc pe manechini să scrie soluția de operator descompusă în următoarea formă:
- acest lucru va face etapa finală mai clară - transformarea Laplace inversă.

Folosind coloana din dreapta a tabelului, să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Conform regulilor bunelor maniere matematice, vom ordona puțin rezultatul:

Răspuns:

Exemplul 2

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale care corespunde condițiilor inițiale date.
, ,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O mostră aproximativă a formei finale a problemei și răspunsul la sfârșitul lecției.

Rezolvarea unui sistem neomogen de ecuații diferențiale nu este diferită din punct de vedere algoritmic, cu excepția faptului că din punct de vedere tehnic va fi puțin mai complicată:

Exemplul 3

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale care corespunde condițiilor inițiale date.
, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace, ținând cont de condițiile inițiale , să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare:

Să înlocuim imaginile găsite în sistemul original:

Să mutăm termenii care conțin , la stânga și să plasăm termenii rămași în partea dreaptă:

În părțile din stânga vom efectua bracketing, în plus, vom aduce partea dreaptă a celei de-a doua ecuații la un numitor comun:

Să calculăm principalul determinant al sistemului, fără a uita că este recomandabil să încercăm imediat să factorizezi rezultatul:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Sa trecem peste:

Astfel, soluția operatorului a sistemului este:

Folosind metoda coeficienților nedeterminați obținem sumele fracțiilor elementare.

Să descompunăm prima fracție:

Și îl obținem pe al doilea:

Ca rezultat, soluția operator ia forma de care avem nevoie:

Folosind coloana din dreapta tabele cu originale și imagini efectuăm transformarea Laplace inversă:

Să substituim imaginile rezultate în soluția operator a sistemului:

Răspuns: solutie privata:

Exemplul 4

Folosind metoda calculului operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale cu condiții inițiale date,

Soluţie: Voi analiza și eu acest exemplu, dar comentariile vor viza doar momente speciale. Presupun că sunteți deja bine versat în algoritmul de soluție.

Să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare:

Să înlocuim imaginile găsite în sistemul original de telecomandă:

Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Polinomul rezultat nu poate fi factorizat. Ce să faci în astfel de cazuri? Absolut nimic. O va face și acesta.

Ca urmare, soluția de operator a sistemului este:

Să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Să substituim imaginile rezultate în soluția operator a sistemului:

Cum se rezolvă o ecuație diferențială
metoda de calcul operațional?

În această lecție, o sarcină tipică și larg răspândită de analiză complexă va fi discutată în detaliu - găsirea unei anumite soluții la un DE de ordinul 2 cu coeficienți constanți folosind metoda calculului operațional. Din nou și din nou, vă scap de preconcepția că materialul este inimaginabil de complex și inaccesibil. Este amuzant, dar pentru a stăpâni exemplele, este posibil să nu poți să diferențiezi, să integrezi și chiar să nu știi ce este numere complexe. Este necesară abilitățile de aplicare metoda coeficienților nesiguri, despre care se discută în detaliu în articol Integrarea Funcțiilor Fracționale-Raționale. De fapt, piatra de temelie a temei sunt operațiile algebrice simple și sunt încrezător că materialul este accesibil chiar și unui elev de liceu.

În primul rând, informații teoretice concise despre secțiunea de analiză matematică luată în considerare. Punctul principal calcul operațional este după cum urmează: funcţia valabil variabilă folosind așa-numita Transformarea Laplace afisat in funcţie cuprinzătoare variabil :

Terminologie și denumiri:
funcția este numită original;
funcția este numită imagine;
litera mare denotă Transformarea Laplace.

În termeni simpli, o funcție reală (originală) după anumite reguli trebuie convertită într-o funcție complexă (imagine). Săgeata indică tocmai această transformare. Și „anumite reguli” în sine sunt Transformarea Laplace, pe care o vom lua în considerare doar formal, ceea ce va fi destul de suficient pentru rezolvarea problemelor.

Transformarea Laplace inversă este de asemenea fezabilă, atunci când imaginea este transformată în original:

De ce este nevoie de toate acestea? Într-un număr de probleme de matematică superioare, poate fi foarte benefic să treceți de la originale la imagini, deoarece în acest caz soluția problemei este simplificată semnificativ (doar glumesc). Și vom lua în considerare doar una dintre aceste probleme. Dacă ați trăit pentru a vedea calculul operațional, atunci formularea ar trebui să vă fie foarte familiară:

Găsiți o soluție specială pentru o ecuație neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți pentru condiții inițiale date.

Notă: uneori, ecuația diferențială poate fi omogenă: , pentru aceasta în formularea de mai sus este aplicabilă și metoda de calcul operațional. Cu toate acestea, în exemple practice DE omogen de ordinul II este extrem de rar, iar în continuare vom vorbi despre ecuații neomogene.

Și acum va fi discutată a treia metodă - rezolvarea ecuațiilor diferențiale folosind calculul operațional. Încă o dată subliniez faptul că vorbim despre găsirea unei anumite soluții, In afara de asta, conditiile initiale au strict forma(„X-urile” egale cu zerouri).

Apropo, despre „X”. Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
, unde „x” este o variabilă independentă, iar „y” este o funcție. Nu este o coincidență că vorbesc despre asta, deoarece în problema luată în considerare sunt cele mai des folosite alte litere:

Adică, rolul variabilei independente este jucat de variabila „te” (în loc de „x”), iar rolul funcției este jucat de variabila „x” (în loc de „y”)

Înțeleg că este incomod, desigur, dar este mai bine să rămânem la notațiile care se găsesc în majoritatea cărților cu probleme și a manualelor de instruire.

Deci, problema noastră cu alte litere este scrisă după cum urmează:

Găsiți o soluție specială pentru o ecuație neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți pentru condiții inițiale date .

Sensul sarcinii nu s-a schimbat deloc, ci doar literele s-au schimbat.

Cum se rezolvă această problemă folosind metoda calculului operațional?

În primul rând, vei avea nevoie tabel cu originale și imagini. Acesta este un instrument cheie de soluție și nu vă puteți descurca fără el. Prin urmare, dacă este posibil, încercați să tipăriți materialul de referință furnizat. Permiteți-mi să explic imediat ce înseamnă litera „pe”: o variabilă complexă (în loc de „z”) obișnuit. Deși acest fapt nu este deosebit de important pentru rezolvarea problemelor, „pe” este „pe”.

Folosind tabelul, originalele trebuie transformate în niște imagini. Ceea ce urmează este o serie de acțiuni tipice și este folosită transformarea Laplace inversă (de asemenea, în tabel). Astfel, se va găsi soluția particulară dorită.

Toate problemele, ceea ce este frumos, sunt rezolvate conform unui algoritm destul de strict.

Exemplul 1

, ,

Soluţie:În primul pas, vom trece de la originale la imaginile corespunzătoare. Folosim partea stângă.

Mai întâi, să ne uităm la partea stângă a ecuației originale. Pentru transformarea Laplace avem reguli de liniaritate, deci ignorăm toate constantele și lucrăm separat cu funcția și derivatele ei.

Folosind formula tabulară nr. 1, transformăm funcția:

Conform formulei nr.2 , ținând cont de condiția inițială, transformăm derivata:

Folosind formula nr. 3, luând în considerare condițiile inițiale, transformăm derivata a doua:

Nu vă încurcați de semne!

Recunosc că este mai corect să spunem „transformări” decât „formule”, dar pentru simplitate, din când în când voi numi conținutul tabelului formule.

Acum să ne uităm la partea dreaptă, care conține polinomul. Datorita acelorasi reguli de liniaritate Transformarea Laplace, lucrăm cu fiecare termen separat.

Să ne uităm la primul termen: - aceasta este variabila independentă „te” înmulțită cu o constantă. Ignorăm constanta și, folosind punctul nr. 4 din tabel, efectuăm transformarea:

Să ne uităm la al doilea termen: –5. Când o constantă este găsită singură, nu mai poate fi omisă. Cu o singură constantă, ei fac acest lucru: pentru claritate, poate fi reprezentat ca un produs: , iar transformarea poate fi aplicată unității:

Astfel, pentru toate elementele (originalele) ecuației diferențiale, imaginile corespunzătoare au fost găsite folosind tabelul:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală:

Următoarea sarcină este de a exprima soluție de operator prin orice altceva, și anume printr-o fracție. În acest caz, este recomandabil să urmați următoarea procedură:

Mai întâi, deschideți parantezele din partea stângă:

Prezentăm termeni similari în partea stângă (dacă există). În acest caz, adunăm numerele –2 și –3. Recomand cu tărie ca ceainicele să nu săriți peste acest pas:

În stânga lăsăm termenii care conțin și mutam termenii rămași la dreapta cu o schimbare de semn:

În partea stângă punem soluția operatorului din paranteze, în partea dreaptă reducem expresia la un numitor comun:

Polinomul din stânga ar trebui factorizat (dacă este posibil). Rezolvarea ecuației pătratice:

Prin urmare:

Resetăm la numitorul din partea dreaptă:

Scopul a fost atins - soluția operatorului este exprimată în termeni de o fracție.

Actul doi. Folosind metoda coeficienților nesiguri, soluția operatorului a ecuației ar trebui extinsă într-o sumă de fracții elementare:

Să echivalăm coeficienții la puterile corespunzătoare și să rezolvăm sistemul:

Dacă aveți probleme cu vă rog să ajungeți din urmă cu articolele Integrarea unei funcții fracționale-raționaleȘi Cum se rezolvă un sistem de ecuații? Acest lucru este foarte important deoarece fracțiile sunt în esență cea mai importantă parte a problemei.

Deci, se găsesc coeficienții: , iar soluția operatorului ne apare sub formă dezasamblată:

Vă rugăm să rețineți că constantele nu sunt scrise în numărătoare de fracții. Această formă de înregistrare este mai profitabilă decât . Și este mai profitabil, deoarece acțiunea finală va avea loc fără confuzie și erori:

Etapa finală a problemei este de a folosi transformarea Laplace inversă pentru a trece de la imagini la originalele corespunzătoare. Folosind coloana din dreapta tabele cu originale și imagini.

Poate că nu toată lumea înțelege conversia. Formula punctului nr. 5 din tabel se utilizează aici: . In detaliu: . De fapt, pentru cazuri similare formula poate fi modificată: . Și toate formulele tabelare de la punctul nr. 5 sunt foarte ușor de rescris într-un mod similar.

După tranziția inversă, soluția parțială dorită a DE este obținută pe un platou de argint:

A fost:

A devenit:

Răspuns: solutie privata:

Dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să efectuați o verificare. Verificarea se efectuează conform schemei standard, care a fost deja discutată la clasă. Ecuații diferențiale neomogene de ordinul 2. Să repetăm:

Să verificăm îndeplinirea condiției inițiale:
- Terminat.

Să găsim prima derivată:

Să verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții inițiale:
- Terminat.

Să găsim derivata a doua:

Să înlocuim , și în partea stângă a ecuației inițiale:

Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Concluzie: sarcina a fost finalizată corect.

Un mic exemplu pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 2

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale în condiții inițiale date.

O mostră aproximativă din tema finală la sfârșitul lecției.

Cel mai obișnuit invitat în ecuațiile diferențiale, după cum mulți au observat de mult, este exponențiale, așa că să luăm în considerare câteva exemple cu ei, rudele lor:

Exemplul 3

, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace (partea stângă a tabelului), trecem de la originale la imaginile corespunzătoare.

Să ne uităm mai întâi la partea stângă a ecuației. Nu există nicio derivată întâi acolo. Şi ce dacă? Grozav. Mai puțină muncă. Ținând cont de condițiile inițiale, folosind formulele tabelare Nr. 1, 3 găsim imaginile:

Acum priviți partea dreaptă: – produsul a două funcții. Pentru a profita proprietăți de liniaritate Transformarea Laplace, trebuie să deschideți parantezele: . Deoarece constantele sunt în produse, uităm de ele și folosind grupul nr. 5 de formule tabelare, găsim imaginile:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală:

Permiteți-mi să vă reamintesc că următoarea sarcină este de a exprima soluția operatorului în termenii unei singure fracțiuni.

În partea stângă lăsăm termenii care conțin și mutam termenii rămași în partea dreaptă. În același timp, în partea dreaptă începem să reducem încet fracțiile la un numitor comun:

În stânga îl scoatem din paranteze, în dreapta aducem expresia la un numitor comun:

În partea stângă obținem un polinom care nu poate fi factorizat. Dacă polinomul nu poate fi factorizat, atunci bietul trebuie să fie imediat aruncat în partea de jos a laturii drepte, cu picioarele betonate în bazin. Și în numărător deschidem parantezele și prezentăm termeni similari:

A sosit etapa cea mai minuțioasă: metoda coeficienților nedeterminați Să extindem soluția operatorului a ecuației într-o sumă de fracții elementare:

Prin urmare:

Observați cum se descompune fracția: , voi explica în curând de ce este așa.

Finalizare: să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare, folosiți coloana din dreapta a tabelului:

În cele două transformări inferioare, s-au folosit formulele nr. 6 și 7 din tabel, iar fracția a fost pre-extinsă doar pentru a o „potrivi” la transformările din tabel.

Ca urmare, o soluție specială:

Răspuns: soluția specială necesară:

Un exemplu similar pentru o soluție DIY:

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale folosind metoda calculului operațional.

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În exemplul 4, una dintre condițiile inițiale este zero. Acest lucru simplifică cu siguranță soluția, iar opțiunea cea mai ideală este atunci când ambele condiții inițiale sunt zero: . În acest caz, derivatele sunt convertite în imagini fără cozi:

După cum sa menționat deja, cel mai dificil aspect tehnic al problemei este extinderea fracției metoda coeficienților nedeterminați, și am la dispoziție exemple destul de laborioase. Cu toate acestea, nu voi intimida pe nimeni cu monștri; să luăm în considerare câteva variante tipice ale ecuației:

Exemplul 5

Folosind metoda calculului operațional, găsiți o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condițiile inițiale date.
, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace, trecem de la originale la imaginile corespunzătoare. Avand in vedere conditiile initiale :

Nici cu partea dreaptă nu există probleme:

(Rețineți că constantele multiplicatorului sunt ignorate)

Să înlocuim imaginile rezultate în ecuația originală și să efectuăm acțiuni standard, pe care, sper, le-ați funcționat deja bine:

Luăm constanta din numitor în afara fracției, principalul lucru este să nu uităm de ea mai târziu:

Mă gândeam dacă să scot încă doi de la numărător, totuși, după ce am făcut bilanțul, am ajuns la concluzia că acest pas practic nu ar simplifica decizia ulterioară.

Particularitatea sarcinii este fracția rezultată. Se pare că descompunerea ei va fi lungă și dificilă, dar aparențele sunt înșelătoare. Desigur, există lucruri dificile, dar în orice caz - înainte, fără teamă și îndoială:

Faptul că unele cote s-au dovedit a fi fracționale nu ar trebui să fie confuz; această situație nu este neobișnuită. Dacă tehnologia de calcul nu ar eșua. În plus, există întotdeauna posibilitatea de a verifica răspunsul.

Ca urmare, soluția operatorului: