Векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдал.
Векторуудын үндэс. Аффины координатын систем

Танхимд шоколадтай тэрэг байдаг бөгөөд өнөөдөр зочлон ирсэн хүн бүр шугаман алгебр бүхий аналитик геометр гэсэн сайхан хосыг авах болно. Энэ нийтлэл нь дээд математикийн хоёр хэсгийг нэг дор хөндөх бөгөөд бид тэдгээр нь нэг цаасан дээр хэрхэн зэрэгцэн оршиж байгааг харах болно. Завсарлага аваад Twix идээрэй! ...хараал ид, ямар дэмий юм бэ. Хэдий тийм ээ, би оноо авахгүй ч эцэст нь та суралцахдаа эерэг хандлагатай байх ёстой.

Векторуудын шугаман хамаарал, шугаман векторын бие даасан байдал, векторуудын үндэсболон бусад нэр томъёо нь зөвхөн геометрийн тайлбар биш, харин хамгийн чухал нь алгебрийн утгатай. Шугаман алгебрийн үүднээс авч үзвэл "вектор" гэсэн ойлголт нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд дүрсэлж болох "энгийн" вектор биш юм. Та холоос баталгаа хайх шаардлагагүй, таван хэмжээст орон зайн вектор зурж үзээрэй . Эсвэл миний саяхан Gismeteo руу очсон цаг агаарын вектор: температур ба атмосферийн даралт. Мэдээжийн хэрэг, жишээ нь векторын орон зайн шинж чанарын үүднээс буруу боловч эдгээр параметрүүдийг вектор болгон албан ёсны болгохыг хэн ч хориглодоггүй. Намрын амьсгал...

Үгүй ээ, би чамайг онол, шугаман вектор орон зайгаар уйдаахгүй, даалгавар бол хийх явдал юм ойлгохтодорхойлолт ба теоремууд. Шинэ нэр томъёо (шугаман хамаарал, бие даасан байдал, шугаман хослол, суурь гэх мэт) нь алгебрийн үүднээс бүх векторуудад хамаарах боловч геометрийн жишээг өгөх болно. Тиймээс бүх зүйл энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой байдаг. Аналитик геометрийн асуудлуудаас гадна бид зарим ердийн алгебрийн бодлогуудыг авч үзэх болно. Материалыг эзэмшихийн тулд хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна Дамми нарт зориулсан векторуудТэгээд Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хавтгай векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Хавтгай суурь ба аффины координатын систем

Компьютерийн ширээний хавтгайг (зөвхөн ширээ, орны дэргэдэх ширээ, шал, тааз, дуртай зүйлээ) авч үзье. Даалгавар нь дараахь үйлдлүүдээс бүрдэнэ.

1) Хавтгай суурь сонгох. Товчоор хэлбэл, ширээний тавцан нь урт ба өргөнтэй байдаг тул суурийг бий болгоход хоёр вектор шаардлагатай болно. Нэг вектор хангалттай биш, гурван вектор хэт их байна.

2) Сонгосон суурь дээр үндэслэнэ координатын системийг тохируулах(координатын тор) ширээн дээрх бүх объектод координат оноох.

Гайхах хэрэггүй, эхлээд тайлбарууд нь хуруун дээр байх болно. Түүнээс гадна, таных. Та байрлуулна уу зүүн долоовор хурууширээний ирмэг дээр тэр дэлгэц рүү хардаг. Энэ нь вектор байх болно. Одоо байрлуул баруун жижиг хурууширээний ирмэг дээр ижил аргаар - дэлгэцийн дэлгэц рүү чиглэсэн байхаар байрлуулна. Энэ нь вектор байх болно. Инээмсэглэ, чи гайхалтай харагдаж байна! Векторуудын талаар бид юу хэлж чадах вэ? Өгөгдлийн векторууд collinear, юу гэсэн үг вэ гэхээр шугаманбие биенээ илэрхийлсэн:
, сайн, эсвэл эсрэгээр: , хаана ямар нэг тоо тэгээс ялгаатай байна.

Та энэ үйлдлийн зургийг ангид харж болно. Дамми нарт зориулсан векторууд, энд би векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг тайлбарлав.

Таны хуруу компьютерийн ширээний тавцан дээр суурь тавих уу? Мэдээж үгүй. Коллинеар векторууд нааш цааш хөдөлдөг ганцаараачиглэл, онгоц нь урт ба өргөнтэй байдаг.

Ийм векторуудыг нэрлэдэг шугаман хамааралтай.

Лавлагаа: "Шугаман", "шугаман" гэсэн үгс нь математикийн тэгшитгэл, илэрхийлэлд квадрат, шоо, бусад хүч, логарифм, синус гэх мэт зүйл байхгүй гэдгийг илэрхийлдэг. Зөвхөн шугаман (1-р зэрэг) илэрхийлэл ба хамаарал байдаг.

Хоёр хавтгай вектор шугаман хамааралтайхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал.

Ширээн дээр хуруугаа хооронд нь 0 эсвэл 180 градусаас өөр өнцөг байхаар гатлаарай. Хоёр хавтгай векторшугаман ҮгүйХэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд л хамааралтай. Тиймээс суурь нь бүрддэг. Суурь нь янз бүрийн урттай перпендикуляр бус векторуудаар "тазайлгасан" болсонд ичиж зовох хэрэггүй юм. Тун удахгүй бид үүнийг бүтээхэд зөвхөн 90 градусын өнцөг төдийгүй ижил урттай нэгж векторууд тохиромжтой биш гэдгийг харах болно.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замүндэслэлээр өргөтгөсөн:
, бодит тоо хаана байна. Тоонуудыг дуудаж байна вектор координатэнэ үндсэн дээр.

Бас тэгж хэлдэг векторбайдлаар танилцуулсан шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг вектор задралүндсэн дээрэсвэл шугаман хослолсуурь векторууд.

Жишээлбэл, вектор нь хавтгайн ортонормаль суурийн дагуу задардаг эсвэл векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдсэн гэж хэлж болно.

Томьёолъё суурийн тодорхойлолталбан ёсоор: Онгоцны үндэсхос шугаман бие даасан (коллинеар бус) векторууд гэж нэрлэдэг. , үүнд ямар чХавтгай вектор нь суурь векторуудын шугаман хослол юм.

Тодорхойлолтын чухал цэг бол векторуудыг авсан явдал юм тодорхой дарааллаар. Суурь - Эдгээр нь огт өөр хоёр суурь юм! Тэдний хэлснээр та зүүн гарын жижиг хурууг баруун гарын хурууны оронд сольж болохгүй.

Бид үндсийг нь олж мэдсэн боловч координатын сүлжээг тогтоож, компьютерийн ширээн дээрх зүйл бүрт координат оноох нь хангалтгүй юм. Яагаад хүрэлцэхгүй байна вэ? Векторууд чөлөөтэй бөгөөд бүхэл бүтэн онгоцоор тэнүүчилдэг. Зэрлэг амралтын өдрүүдээс үлдсэн ширээн дээрх жижиг бохир цэгүүдийн координатыг хэрхэн хуваарилах вэ? Эхлэх цэг хэрэгтэй. Ийм тэмдэглэгээ бол хүн бүрт танил болсон цэг юм - координатын гарал үүсэл. Координатын системийг ойлгоцгооё.

Би "сургуулийн" системээс эхэлье. Танилцуулгын хичээл дээр аль хэдийн орсон Дамми нарт зориулсан векторуудТэгш өнцөгт координатын систем ба ортонормаль суурь хоорондын зарим ялгааг би онцолсон. Энд стандарт зураг байна:

Тэд ярих үед тэгш өнцөгт координатын систем, дараа нь ихэнхдээ тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуух гарал үүсэл, координатын тэнхлэг, масштабыг илэрхийлдэг. Хайлтын системд "тэгш өнцөгт координатын систем" гэж бичээд үзээрэй, олон эх сурвалж танд 5-6-р ангиасаа мэддэг координатын тэнхлэгүүд болон хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурах талаар хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, тэгш өнцөгт координатын системийг ортонормаль суурийн үүднээс бүрэн тодорхойлж болох юм шиг санагддаг. Мөн энэ нь бараг үнэн юм. Үг хэллэг нь дараах байдалтай байна.

гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт хавтгай координатын систем . Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем юм гарцаагүйнь нэг цэг ба хоёр нэгж ортогональ вектороор тодорхойлогддог. Тийм ч учраас та миний дээр өгсөн зургийг харж байна - геометрийн бодлогод вектор ба координатын тэнхлэгийг хоёуланг нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) зурдаг.

Цэг (гарал үүсэл) болон ортонормаль суурь ашиглахыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна Онгоцны аль ч цэг, онгоцонд ямар ч ВЕКТОРкоординатыг зааж өгч болно. Дүрслэлээр хэлбэл, "онгоцонд байгаа бүх зүйлийг дугаарлаж болно."

Координатын векторууд нэгж байх шаардлагатай юу? Үгүй ээ, тэд дур мэдэн тэгээс өөр урттай байж болно. Дурын тэгээс урттай цэг ба хоёр ортогональ векторыг авч үзье.

Ийм суурь гэж нэрлэдэг ортогональ. Векторуудтай координатын гарал үүслийг координатын тороор тодорхойлдог бөгөөд хавтгай дээрх аль ч цэг, аль ч вектор нь өгөгдсөн үндсэн дээр координаттай байдаг. Жишээлбэл, эсвэл. Илэрхий таагүй зүйл бол координатын векторууд юм ерөнхийдөөнэгдлээс өөр урттай. Хэрэв урт нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү бол ердийн ортонормаль үндэслэлийг олж авна.

! Анхаарна уу : ортогональ суурь, түүнчлэн хавтгай ба орон зайн аффин суурийн доор тэнхлэгийн дагуух нэгжүүдийг авч үзнэ. НӨХЦӨЛТ. Жишээлбэл, х тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 4 см, ордны тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 2 см-ийг агуулдаг.Энэ мэдээлэл нь шаардлагатай бол "стандарт бус" координатыг "манай ердийн сантиметр" болгон хувиргахад хангалттай.

Хоёрдахь асуулт нь аль хэдийн хариулагдсан бөгөөд суурь векторуудын хоорондох өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байх ёстой юу? Үгүй! Тодорхойлолтод дурдсанчлан суурь векторууд байх ёстой зөвхөн шугаман бус. Үүний дагуу өнцөг нь 0 ба 180 градусаас бусад бүх зүйл байж болно.

Онгоцны нэг цэг дуудлаа гарал үүсэл, Мөн шугаман бусвекторууд, , тогтоосон аффин хавтгай координатын систем :

Заримдаа ийм координатын системийг дууддаг ташуусистем. Жишээлбэл, зураг нь цэг ба векторуудыг харуулж байна:

Таны ойлгож байгаагаар аффины координатын систем нь бүр ч тохиромжгүй тул хичээлийн хоёр дахь хэсэгт бидний авч үзсэн вектор ба сегментийн уртын томъёонууд ажиллахгүй байна. Дамми нарт зориулсан векторууд, холбоотой олон амттай жор векторуудын скаляр үржвэр. Гэхдээ вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмүүд, сегментийг энэ харьцаагаар хуваах томъёо, түүнчлэн бидний удахгүй авч үзэх бусад төрлийн асуудлууд хүчинтэй байна.

Дүгнэлт нь аффин координатын системийн хамгийн тохиромжтой онцгой тохиолдол бол декартын тэгш өнцөгт систем юм. Тийм ч учраас чи түүнтэй байнга уулзах хэрэгтэй болдог, хонгор минь. ...Гэхдээ энэ амьдралд бүх зүйл харьцангуй байдаг - ташуу өнцөг (эсвэл өөр нэг, жишээлбэл, туйл) координатын систем. Мөн гуманоид ийм системд дуртай байж магадгүй =)

Практик хэсэг рүү шилжье. Энэ хичээлийн бүх бодлого нь тэгш өнцөгт координатын систем болон ерөнхий аффины тохиолдолд хоёуланд нь хүчинтэй байна. Энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бүх материал нь сургуулийн сурагчдад ч хүртээмжтэй байдаг.

Хавтгай векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Ердийн зүйл. Хоёр хавтгай векторын хувьд collinear байсан тул тэдгээрийн харгалзах координатууд пропорциональ байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юмҮндсэндээ энэ нь тодорхой харилцааг координатаар нарийн тусгах явдал юм.

Жишээ 1

a) Векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгана уу .
б) Векторууд суурь болдог уу? ?

Шийдэл:
a) Векторууд байгаа эсэхийг олж мэдье тэнцүү байдлыг хангасан пропорциональ коэффициент:

Практикт маш сайн ажилладаг энэ дүрмийг хэрэгжүүлэх "хөөрхөн" хувилбарын талаар би танд хэлэх болно. Гол санаа нь тэр даруй пропорцийг бүрдүүлж, зөв ​​эсэхийг шалгах явдал юм.

Векторуудын харгалзах координатуудын харьцаанаас пропорцийг гаргая.

Богино болгоё:
, тиймээс харгалзах координатууд нь пропорциональ байна, тиймээс,

Харилцааг эсрэгээр нь хийж болно; энэ нь ижил сонголт юм:

Өөрийгөө шалгахын тулд та коллинеар векторууд бие биенээсээ шугаман илэрхийлэгддэг болохыг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгш байдал үүсдэг . Тэдгээрийн хүчинтэй байдлыг векторуудтай энгийн үйлдлээр хялбархан шалгаж болно.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Бид векторуудыг коллинеараар шалгадаг . Системийг үүсгэцгээе:

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс энэ нь гарч ирнэ гэсэн үг систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Шийдлийн хялбаршуулсан хувилбар дараах байдалтай байна.

Векторуудын харгалзах координатуудаас пропорцийг гаргая :
, энэ нь эдгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Ихэнхдээ энэ сонголтыг хянагчид үгүйсгэдэггүй, гэхдээ зарим координатууд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуудал үүсдэг. Үүн шиг: . Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл иймэрхүү: . Энд пропорцоор хэрхэн ажиллах вэ? (үнэхээр та тэгээр хувааж болохгүй). Тийм ч учраас би хялбаршуулсан шийдлийг "фоппи" гэж нэрлэсэн.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Өөрийн шийдэлд зориулсан жижиг бүтээлч жишээ:

Жишээ 2

Параметрийн ямар утгад векторууд байна тэд хоорондоо уялдаатай байх уу?

Дээжний уусмалд параметрийг пропорцоор олно.

Векторуудын уялдаа холбоог шалгах нэгэн гоёмсог алгебрийн арга бий.Мэдлэгээ системчлээд тав дахь цэг болгон нэмье.

Хоёр хавтгай векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:

2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд нь коллинеар биш;

+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

тус тус, дараах эсрэг заалтууд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман хамааралтай;
2) векторууд нь суурь болдоггүй;
3) векторууд нь коллинеар;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлж болно;
+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Та одоо тулгарсан бүх нэр томьёо, мэдэгдлийг аль хэдийн ойлгосон гэдэгт би үнэхээр найдаж байна.

Шинэ, тав дахь цэгийг нарийвчлан авч үзье: хоёр хавтгай вектор Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л коллинеар байна.:. Энэ функцийг ашиглахын тулд мэдээжийн хэрэг та чадвартай байх хэрэгтэй тодорхойлогчдыг олох.

ШийдьеХоёр дахь аргаар жишээ 1:

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг бодъё :
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар байна гэсэн үг.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Энэ нь пропорцтой шийдлээс хамаагүй илүү авсаархан, үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Боловсруулсан материалын тусламжтайгаар зөвхөн векторуудын харилцан уялдаа холбоог тогтоох төдийгүй сегмент ба шулуун шугамын параллель байдлыг батлах боломжтой. Тодорхой геометрийн хэлбэртэй хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батал.

Баталгаа: Асуудлын шийдэл нь зөвхөн аналитик байх тул зураг зурах шаардлагагүй. Параллелограммын тодорхойлолтыг санацгаая.
Параллелограмм Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель дөрвөн өнцөгтийг гэнэ.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотлох шаардлагатай.
1) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба;
2) эсрэг талын параллелизм ба.

Бид баталж байна:

1) Векторуудыг ол:

2) Векторуудыг ол:

Үр дүн нь ижил вектор ("сургуулийн дагуу" - тэнцүү векторууд). Хамтарсан байдал нь маш тодорхой боловч шийдвэрийг тодорхой, зохицуулалттай албан ёсны болгох нь дээр. Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар гэсэн үг бөгөөд .

Дүгнэлт: Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хос хосоороо параллелограмм гэсэн үг юм. Q.E.D.

Илүү сайн, өөр өөр тоонууд:

Жишээ 4

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь трапец гэдгийг батал.

Нотлох баримтыг илүү нарийн томъёолохын тулд трапецын тодорхойлолтыг авах нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь ямар харагддагийг санахад л хангалттай.

Энэ бол та өөрөө шийдэх ёстой ажил юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл.

Одоо онгоцноос аажим аажмаар сансарт шилжих цаг болжээ.

Сансрын векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Дүрэм нь маш төстэй юм. Хоёр орон зайн векторууд хоорондоо уялдаатай байхын тулд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай..

Жишээ 5

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг олж мэд.

A) ;
б)
V)

Шийдэл:
a) Векторуудын харгалзах координатуудад пропорциональ коэффициент байгаа эсэхийг шалгая:

Системд шийдэл байхгүй тул векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

"Хялбаршуулсан" нь пропорцийг шалгах замаар албан ёсны болно. Энэ тохиолдолд:
– харгалзах координатууд нь пропорциональ биш, энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

Хариулт:векторууд нь коллинеар биш юм.

b-c) Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах цэгүүд юм. Үүнийг хоёр аргаар туршаад үзээрэй.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчоор орон зайн векторуудыг коллинеар байдлыг шалгах арга байдаг бөгөөд энэ аргыг нийтлэлд авч үзсэн болно. Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн.

Хавтгайн тохиолдлын нэгэн адил авч үзсэн хэрэгслийг орон зайн сегмент ба шулуун шугамын параллелизмыг судлахад ашиглаж болно.

Хоёр дахь хэсэгт тавтай морилно уу:

Гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Орон зайн суурь ба аффины координатын систем

Онгоцонд бидний судалж үзсэн олон хэв маяг сансар огторгуйд хүчинтэй байх болно. Мэдээллийн арслангийн хувийг аль хэдийн зажилсан тул би онолын тэмдэглэлийг багасгахыг хичээсэн. Гэхдээ шинэ нэр томьёо, ойлголт гарч ирэх тул оршил хэсгийг анхааралтай уншихыг зөвлөж байна.

Одоо бид компьютерийн ширээний хавтгайн оронд гурван хэмжээст орон зайг судалж байна. Эхлээд түүний суурийг бий болгоё. Одоо хэн нэгэн дотор, хэн нэгэн гадаа байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд бид өргөн, урт, өндөр гэсэн гурван хэмжээсээс зугтаж чадахгүй. Тиймээс суурийг бий болгохын тулд орон зайн гурван вектор шаардлагатай болно. Нэг эсвэл хоёр вектор хангалттай биш, дөрөв дэх нь илүүдэхгүй.

Дахин бид хуруугаараа дулаацдаг. Гараа дээш өргөж, янз бүрийн чиглэлд тараана уу эрхий, долоовор, дунд хуруу. Эдгээр нь векторууд байх болно, тэдгээр нь өөр өөр чиглэлд харагддаг, өөр өөр урттай, өөр өөр өнцөгтэй байдаг. Баяр хүргэе, гурван хэмжээст орон зайн суурь бэлэн боллоо! Энэ дашрамд хуруугаа хэчнээн мушгисан ч багш нарт үзүүлэх шаардлагагүй, гэхдээ тодорхойлолтоос мултрахгүй =)

Дараа нь өөрөөсөө нэг чухал асуулт асууя: дурын гурван вектор гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог уу? Компьютерийн ширээний дээд хэсэгт гурван хуруугаа чанга дарна уу. Юу болсон бэ? Гурван вектор нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд бид хэмжээсүүдийн нэг болох өндрийг алдсан байна. Ийм векторууд хавтгайГурван хэмжээст орон зайн суурь нь бүрдээгүй нь тодорхой юм.

Копланар векторууд нэг хавтгайд хэвтэх албагүй, зэрэгцээ хавтгайд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (үүнийг хуруугаараа бүү хий, зөвхөн Сальвадор Дали л хийсэн =)).

Тодорхойлолт: векторуудыг дуудна хавтгай, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ байрласан хавтгай байвал. Хэрэв ийм хавтгай байхгүй бол векторууд хоорондоо уялдаатай биш гэдгийг энд нэмэх нь логик юм.

Гурван coplanar вектор нь үргэлж шугаман хамааралтай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энгийн байхын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна гэж дахин төсөөлье. Нэгдүгээрт, векторууд нь зөвхөн хос хавтгай биш, мөн коллинеар байж болно, дараа нь дурын векторыг дурын вектороор илэрхийлж болно. Хоёрдахь тохиолдолд, жишээлбэл, векторууд нь коллинеар биш бол гурав дахь векторыг тэдгээрээр дамжуулан өвөрмөц байдлаар илэрхийлнэ. (мөн яагаад өмнөх хэсгийн материалаас таахад хялбар байдаг).

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: гурван хосгүй вектор нь үргэлж шугаман бие даасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь бие биенээ ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй. Гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг зөвхөн ийм векторууд бүрдүүлж чадах нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Гурван хэмжээст орон зайн үндэсШугаман бие даасан (компланар бус) векторуудын гурвалсан гэж нэрлэдэг, тодорхой дарааллаар авсан, мөн огторгуйн дурын вектор цорын ганц арга замөгөгдсөн үндсэн дээр задардаг бөгөөд энэ суурь дээрх векторын координатууд хаана байна

Векторыг хэлбэрээр илэрхийлсэн гэж хэлж болно гэдгийг сануулъя шугаман хослолсуурь векторууд.

Координатын системийн тухай ойлголтыг хавтгайн тохиолдолтой яг ижил байдлаар танилцуулсан бөгөөд нэг цэг болон шугаман бие даасан гурван вектор хангалттай.

гарал үүсэл, Мөн тэгш бусвекторууд, тодорхой дарааллаар авсан, тогтоосон гурван хэмжээст орон зайн аффин координатын систем :

Мэдээжийн хэрэг, координатын сүлжээ нь "ташуу" бөгөөд тохиромжгүй боловч баригдсан координатын систем нь бидэнд үүнийг зөвшөөрдөг. гарцаагүйдурын векторын координат ба огторгуйн дурын цэгийн координатыг тодорхойлох. Хавтгайтай адил миний дурдсан зарим томьёо нь орон зайн координатын аффин системд ажиллахгүй.

Хүн бүрийн таамаглаж байгаагаар аффин координатын системийн хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой онцгой тохиолдол нь юм тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем:

Орон зайн цэг гэж нэрлэдэг гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем . Танил зураг:

Практик даалгавар руу шилжихээсээ өмнө мэдээллийг дахин системчилье.

Гурван сансрын векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман бие даасан;
2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд хоорондоо уялдаатай биш;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлэх боломжгүй;
5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

Эсрэг заалтууд нь ойлгомжтой гэж бодож байна.

Сансрын векторуудын шугаман хамаарал/бие даасан байдлыг тодорхойлогч ашиглан шалгадаг (5-р цэг). Үлдсэн практик даалгаврууд нь тодорхой алгебрийн шинж чанартай байх болно. Геометрийн саваагаа өлгөж, шугаман алгебрийн бейсболын цохиурыг ашиглах цаг болжээ.

Орон зайн гурван векторӨгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л копланар байна: .

Техникийн жижиг нюансуудад анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна: векторуудын координатыг зөвхөн баганаар төдийгүй мөрөнд бичиж болно (үүнээс болж тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй - тодорхойлогчдын шинж чанарыг харна уу). Гэхдээ энэ нь зарим практик асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ашигтай тул баганад илүү сайн байдаг.

Тодорхойлогчдыг тооцоолох аргуудыг бага зэрэг мартсан, эсвэл тэдгээрийн талаар огт ойлгодоггүй уншигчдад би хамгийн эртний хичээлүүдийн нэгийг санал болгож байна: Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Жишээ 6

Дараах векторууд гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл: Үнэн хэрэгтээ бүх шийдэл тодорхойлогчийг тооцоолоход л ирдэг.

a) Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё (тодорхойлогчийг эхний мөрөнд харуулав):

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй (компланар биш) бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: эдгээр векторууд суурь болдог

б) Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах цэг юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Мөн бүтээлч ажлууд байдаг:

Жишээ 7

Параметрийн ямар утгад векторууд хоорондоо уялдаатай байх вэ?

Шийдэл: Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд векторууд хоорондоо уялдаатай байна:

Үндсэндээ та тодорхойлогчтой тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид онгоц дээрх цаасан шувуу шиг тэг дээр унадаг - хоёр дахь мөрөнд тодорхойлогчийг нээж, тэр даруй хасах зүйлсээс салах нь дээр.

Бид илүү хялбаршуулж, асуудлыг хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл болгон бууруулна.

Хариулт: цагт

Энд шалгахад хялбар, үүнийг хийхийн тулд та үр дүнгийн утгыг анхны тодорхойлогчоор орлуулж, дараах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. , дахин нээх.

Дүгнэж хэлэхэд, бид илүү алгебрийн шинж чанартай, шугаман алгебрийн хичээлд уламжлалт байдлаар ордог өөр нэг ердийн бодлогыг авч үзэх болно. Энэ нь маш түгээмэл тул өөрийн гэсэн сэдэвтэй байх ёстой:

Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь 3 вектор байдгийг батал
Үүний үндсэн дээр 4-р векторын координатыг ол

Жишээ 8

Векторууд өгөгдсөн. Гурван хэмжээст орон зайд векторууд суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл: Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье. Нөхцөлөөр дөрвөн вектор өгөгдсөн бөгөөд таны харж байгаагаар тэдгээр нь аль хэдийн ямар нэгэн үндэслэлээр координаттай байдаг. Энэ үндэслэл нь юу вэ гэдэг нь бидний сонирхлыг татахгүй байна. Дараахь зүйл сонирхолтой байна: гурван вектор нь шинэ суурь болж магадгүй юм. Эхний үе шат нь 6-р жишээний шийдэлтэй бүрэн давхцаж байгаа тул векторууд үнэхээр шугаман бие даасан эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

! Чухал : вектор координат Заавалбичих багана болгонтодорхойлогч, утсанд биш. Үгүй бол цаашдын шийдлийн алгоритмд төөрөгдөл үүсэх болно.

Вектор систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, наад зах нь нэг нь тэгээс ялгаатай тоо байгаа бол тэгш байдал https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=" ">.

Хэрэв энэ тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л хангагдвал векторын системийг дуудна шугаман бие даасан.

Теорем.Вектор систем болно шугаман хамааралтайХэрэв түүний векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байвал.

Жишээ 1.Олон гишүүнт олон гишүүнтийн шугаман хослол https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Олон гишүүнтүүд нь шугаман бие даасан системийг бүрдүүлдэг. олон гишүүнт https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Жишээ 2.Матрицын систем, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> нь шугаман хамааралгүй, учир нь шугаман хослол нь дараахтай тэнцүү байна. Тэг матриц зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text тохиолдолд л байна. /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> шугаман хамааралтай.

Шийдэл.

Эдгээр векторуудын шугаман хослолыг хийцгээе https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" өндөр = "22">.

Тэнцүү векторуудын ижил координатыг тэгшитгэснээр бид https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">г авна.

Эцэст нь бид авдаг

Тэгээд

Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тул эдгээр векторуудын шугаман хослол нь бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байна. Иймээс энэ векторын систем шугаман бие даасан байна.

Жишээ 4.Векторууд нь шугаман бие даасан байна. Вектор системүүд ямар байх вэ?

a).;

б).?

Шийдэл.

a).Шугаман хослол хийж, тэгтэй тэнцүүлье

Шугаман орон зай дахь векторуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичдэг

Векторууд нь шугаман хамааралгүй тул at коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл..gif" width="12" height="23 src=">

Үүссэн тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг .

Тэгш байхаас хойш (*) зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - шугаман хамааралгүй үед л гүйцэтгэгддэг;

б).Тэгш тэгш байдлыг хийцгээе https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашигласнаар бид олж авна

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдэж, бид олж авна

эсвэл

Сүүлчийн систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Иймээс бус байдаг. тэгш байдлыг хангасан коэффициентүүдийн тэг багц (**) . Тиймээс векторуудын систем - шугаман хамааралтай.

Жишээ 5Векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй, векторуудын систем нь шугаман хамааралтай..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Тэгш байдлаар (***) . Үнэн хэрэгтээ, үед систем нь шугаман хамааралтай байх болно.

Харилцаанаас (***) бид авдаг эсвэл гэж тэмдэглэе .

Бид авдаг

Бие даан шийдвэрлэх асуудлууд (анги танхимд)

1. Тэг вектор агуулсан систем нь шугаман хамааралтай.

2. Нэг вектороос бүрдэх систем А, шугаман хамааралтай, хэрэв зөвхөн, хэрэв, a=0.

3. Хоёр вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн векторууд пропорциональ байвал (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөс нь тоогоор үржүүлээд гаргавал) шугаман хамааралтай болно.

4. Хэрэв та шугаман хамааралтай системд вектор нэмбэл шугаман хамааралтай систем гарч ирнэ.

5. Хэрэв шугаман бие даасан системээс векторыг хасвал үүссэн векторуудын систем нь шугаман бие даасан байна.

6. Хэрэв систем Сшугаман хамааралгүй боловч вектор нэмэхэд шугаман хамааралтай болдог б, дараа нь вектор бсистемийн вектороор шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ С.

в).Хоёрдугаар эрэмбийн матрицуудын орон зайд , , матрицын систем.

10. Векторуудын системийг үзье а,б,ввектор орон зай нь шугаман хамааралгүй. Дараах вектор системийн шугаман бие даасан байдлыг батал.

a).a+б, б, в.

б).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" өргөн "15" өндөр "19">–дурын тоо

в).a+b, a+c, b+c.

11. Болъё а,б,в– гурвалжин үүсгэж болох хавтгай дээрх гурван вектор. Эдгээр векторууд шугаман хамааралтай байх уу?

12. Хоёр вектор өгөгдсөн a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Дөрвөн хэмжээст хоёр векторыг ол a3 баa4Ингэснээр систем a1,a2,a3,a4шугаман бие даасан байсан .

Тодорхойлолт 1. Хэрэв системийн векторуудын аль нэг нь системийн үлдсэн векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдэх боломжтой бол векторуудын системийг шугаман хамааралтай, өөрөөр хэлбэл шугаман хамаарал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 1'. Хэрэв тоонууд байгаа бол векторуудын системийг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг -тай 1 , -тай 2 , …, -тай k , бүгд тэгтэй тэнцүү биш, ингэснээр өгөгдсөн коэффициент бүхий векторуудын шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байна: =, эс тэгвээс системийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь тэнцүү гэдгийг харуулъя.

1-р тодорхойлолтыг хангая, өөрөөр хэлбэл. Системийн векторуудын нэг нь бусдын шугаман хослолтой тэнцүү байна:

Векторын системийн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү бөгөөд энэ хослолын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. 1´-ийн тодорхойлолтыг хангаж байна.

Тодорхойлолт 1-ийг хэвээр үлдээгээрэй. Векторуудын системийн шугаман хослол нь -тэй тэнцүү бөгөөд нэгдлийн бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш, жишээлбэл, векторын коэффициентүүд .

Бид системийн векторуудын аль нэгийг бусдын шугаман хослол болгон танилцуулсан, өөрөөр хэлбэл. 1-р тодорхойлолтыг хангаж байна.

Тодорхойлолт 2. Нэгж вектор буюу нэгж векторыг нэрлэдэг n хэмжээст вектор, аль нь би-р координат нь нэгтэй тэнцүү, бусад нь тэг байна.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорем 1. Төрөл бүрийн нэгж векторууд n-хэмжээст орон зай шугаман хамааралгүй.

Баталгаа.Эдгээр векторуудын дурын коэффициент бүхий шугаман хослолыг тэг вектортой тэнцүү болгоё.

Энэ тэгшитгэлээс харахад бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна. Бидэнд зөрчилдөөн гарсан.

Вектор бүр n- хэмжээст орон зай ā (А 1 , А 2 , ..., А n) вектор координаттай тэнцүү коэффициент бүхий нэгж векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдэж болно

Теорем 2. Хэрэв векторын системд тэг вектор байгаа бол энэ нь шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа.Векторуудын систем өгөгдөх ба векторуудын аль нэг нь тэг, жишээ нь =. Дараа нь энэ системийн векторуудын тусламжтайгаар та тэг вектортой тэнцэх шугаман хослолыг хийж болох бөгөөд бүх коэффициентүүд тэг болохгүй.

Тиймээс систем нь шугаман хамааралтай байдаг.

Теорем 3. Хэрэв векторын системийн зарим дэд систем шугаман хамааралтай бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа.Векторуудын системийг өгөв. Систем нь шугаман хамааралтай гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. тоонууд байдаг -тай 1 , -тай 2 , …, -тай r , бүгд тэгтэй тэнцүү биш, тэгэхээр =.Дараа нь

Бүхэл системийн векторуудын шугаман хослол нь тэнцүү бөгөөд энэ хослолын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү биш байна. Үүний үр дүнд векторуудын систем нь шугаман хамааралтай байдаг.

Үр дагавар.Хэрэв векторын систем нь шугаман бие даасан байвал түүний аль нэг дэд систем нь шугаман бие даасан байна.

Баталгаа.

Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. зарим дэд систем нь шугаман хамааралтай байдаг. Теоремоос харахад бүхэл бүтэн систем шугаман хамааралтай байдаг. Бид зөрчилдөж байна.

Теорем 4 (Стейницийн теорем).Хэрэв вектор бүр нь векторуудын шугаман хослол ба м>n, тэгвэл векторуудын систем нь шугаман хамааралтай байна.

Үр дагавар.Ямар ч n хэмжээст векторын системд n-ээс илүү шугаман бие даасан вектор байж болохгүй.

Баталгаа.Бүр n-хэмжээт векторыг n нэгж векторын шугаман хослолоор илэрхийлнэ. Тиймээс хэрэв систем нь агуулж байгаа бол мвекторууд ба м>n, тэгвэл теоремын дагуу энэ систем нь шугаман хамааралтай байна.

Маягтын илэрхийлэл дуудсан векторуудын шугаман хослол A 1 , A 2 ,...,A nмагадлал бүхий λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Векторын системийн шугаман хамаарлыг тодорхойлох

Вектор систем A 1 , A 2 ,...,A nдуудсан шугаман хамааралтай, хэрэв тэгээс өөр тооны тоо байгаа бол λ 1, λ 2 ,...,λ n, Үүнд векторуудын шугаман хослол λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nтэг вектортой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн систем: тэгээс өөр шийдэлтэй.
Тоонуудын багц λ 1, λ 2 ,...,λ n Хэрэв тоонуудын ядаж нэг нь тэг биш байна λ 1, λ 2 ,...,λ n тэгээс ялгаатай.

Векторын системийн шугаман бие даасан байдлыг тодорхойлох

Вектор систем A 1 , A 2 ,...,A nдуудсан шугаман бие даасан, хэрэв эдгээр векторуудын шугаман хослол λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nзөвхөн тэг олонлогийн хувьд тэг вектортой тэнцүү λ 1, λ 2 ,...,λ n , өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн систем: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θөвөрмөц тэг шийдэлтэй.

Жишээ 29.1

Векторуудын систем шугаман хамааралтай эсэхийг шалгана уу

Шийдэл:

1. Бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг:

2. Бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг. Системийн Жорданогийн хувиргалтыг Хүснэгт 29.1-д үзүүлэв. Тооцоолохдоо системийн баруун гар тал нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд Жорданы хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй тул бичдэггүй.

3. Хүснэгтийн сүүлийн гурван эгнээнээс анхны системтэй дүйцэхүйц шийдэгдсэн системийг бичнэ үүсистем:

4. Бид системийн ерөнхий шийдлийг олж авдаг:

5. Чөлөөт хувьсагчийн утгыг x 3 =1 өөрийн үзэмжээр тохируулсны дараа, Бид тэгээс өөр тодорхой шийдлийг олж авдаг X=(-3,2,1).

Хариулт: Иймээс тэг биш олон тооны (-3,2,1) векторуудын шугаман хослол нь тэг вектор -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, вектор систем шугаман хамааралтай.

Вектор системийн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө (1)
Хэрэв векторын систем нь шугаман хамааралтай бол векторуудын ядаж нэг нь бусдынхаа хувьд, харин эсрэгээр системийн ядаж нэг вектор нь бусдынх нь хувьд тэлэгдсэн байвал векторуудын систем болно. шугаман хамааралтай байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө (2)
Хэрэв векторуудын аль нэг дэд систем нь шугаман хамааралтай бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө (3)
Хэрэв векторын систем шугаман бие даасан байвал түүний аль нэг дэд систем нь шугаман бие даасан байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө (4)
Тэг вектор агуулсан аливаа векторын систем нь шугаман хамааралтай байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө (5)
Хэрэв n векторын тоо хэмжээсээсээ (n>m) их байвал m хэмжээст векторуудын систем үргэлж шугаман хамааралтай байна.

Вектор системийн үндэс

Вектор системийн үндэс A 1 , A 2 ,..., A n ийм дэд системийг B 1 , B 2 ,...,B r гэнэ.(B 1,B 2,...,B r вектор бүр нь A 1, A 2,..., A n векторуудын нэг) бөгөөд дараах нөхцөлүүдийг хангана.
1. B 1 ,B 2 ,...,B rвекторуудын шугаман бие даасан систем;
2. дурын векторА ж A 1 , A 2 ,..., A n систем нь B 1 , B 2 ,..., B r векторуудаар шугаман илэрхийлэгдэнэ.

r- суурьт багтсан векторуудын тоо.

Теорем 29.1 Векторын системийн нэгж суурь дээр.

Хэрэв m хэмжээст векторуудын системд m өөр нэгж вектор E 1 E 2 ,..., E m байвал тэдгээр нь системийн үндэс болно.

Векторын системийн үндсийг олох алгоритм

A 1 ,A 2 ,...,A n векторуудын системийн үндсийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

• Векторын системд тохирох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг үүсгэ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Энэ системийг авчир

Шугаман хамаарал ба векторын бие даасан байдал

Шугаман хамааралтай ба бие даасан вектор системийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 22

n-векторын систем ба тооны олонлогтой байцгаая
, Дараа нь

(11)

өгөгдсөн коэффициент бүхий өгөгдсөн векторын системийн шугаман хослол гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 23

Вектор систем
ийм багц коэффициент байгаа бол шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг
, үүний дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш, өгөгдсөн векторын системийн шугаман хослол нь энэ олонлогийн коэффициенттэй тэг вектортой тэнцүү байна:

Болъё
, Дараа нь

Тодорхойлолт 24 (системийн нэг векторыг бусдын шугаман хослол болгон дүрслэх замаар)

Вектор систем
Хэрэв энэ системийн ядаж нэг векторыг энэ системийн үлдсэн векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлж чадвал шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Мэдэгдэл 3

23 ба 24-р тодорхойлолтууд нь ижил утгатай.

Тодорхойлолт 25(тэг шугаман хослолоор)

Вектор систем
Хэрэв энэ системийн тэг шугаман хослол нь зөвхөн бүх хүнд боломжтой бол шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг
тэгтэй тэнцүү.

Тодорхойлолт 26(системийн нэг векторыг бусдын шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүйгээс)

Вектор систем
Хэрэв энэ системийн векторуудын аль нэгийг нь энэ системийн бусад векторуудын шугаман хослолоор дүрслэх боломжгүй бол шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

Шугаман хамааралтай ба бие даасан вектор системийн шинж чанарууд

Теорем 2 (векторын систем дэх тэг вектор)

Хэрэв векторын систем тэг вектортой бол систем нь шугаман хамааралтай байна.

 Болъё
, Дараа нь.

Бид авдаг
, тиймээс тэг шугаман хослолоор дамжуулан векторуудын шугаман хамааралтай системийн тодорхойлолтоор (12) систем нь шугаман хамааралтай. 

Теорем 3 (вектор систем дэх хамааралтай дэд систем)

Хэрэв векторын систем нь шугаман хамааралтай дэд системтэй бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.

 Болъё
- шугаман хамааралтай дэд систем
, тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байна:

Энэ нь 23-р тодорхойлолтоор систем нь шугаман хамааралтай гэсэн үг юм. 

Теорем 4

Шугаман бие даасан системийн аливаа дэд систем нь шугаман бие даасан байдаг.

 Эсрэг талаас нь. Систем нь шугаман хамааралгүй, шугаман хамааралтай дэд системтэй байг. Харин дараа нь Теорем 3-ын дагуу бүхэл систем нь мөн шугаман хамааралтай байх болно. Зөрчилдөөн. Иймээс шугаман бие даасан системийн дэд систем нь шугаман хамааралтай байж болохгүй. 

Векторын системийн шугаман хамаарал ба бие даасан байдлын геометрийн утга

Теорем 5

Хоёр вектор Тэгээд шугаман хамааралтай байдаг бол зөвхөн, хэрэв
.

 Хэрэгцээ.

Тэгээд - шугаман хамааралтай
нөхцөл хангагдсан байна
. Дараа нь
, өөрөөр хэлбэл
.

Хангалттай байдал.

Шугаман хамааралтай. 

Дүгнэлт 5.1

Тэг вектор нь ямар ч вектортой коллинеар байна

Дүгнэлт 5.2

Хоёр вектор шугаман бие даасан байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм уялдаа холбоогүй байсан .

Теорем 6

Гурван векторын систем шугаман хамааралтай байхын тулд эдгээр векторууд хоорондоо уялдаатай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. .

 Хэрэгцээ.

- шугаман хамааралтай тул нэг векторыг нөгөө хоёрын шугаман хослолоор төлөөлж болно.

, (13)

Хаана
Тэгээд
. Параллелограммын дүрмийн дагуу талуудтай параллелограммын диагональ байдаг
, гэхдээ параллелограмм нь хавтгай дүрс юм
хавтгай
- мөн ижил төстэй.

Хангалттай байдал.

- хавтгай. О цэгт гурван векторыг хэрэглэцгээе.

C

B`

– шугаман хамааралтай 

Дүгнэлт 6.1

Тэг вектор нь дурын хос вектортой ижил байна.

Дүгнэлт 6.2

Векторуудын хувьд
шугаман бие даасан байсан тул тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай биш байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Дүгнэлт 6.3

Хавтгайн дурын векторыг нэг хавтгайн аль ч хоёр векторын шугаман хослолоор дүрсэлж болно.

Теорем 7

Орон зайн дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байдаг .

 4 тохиолдлыг авч үзье:

Хавтгайг векторуудаар, дараа нь векторуудаар дамжуулан хавтгайг, векторуудаар дамжуулан хавтгайг зуръя. Дараа нь бид хос векторуудтай параллель D цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцуудыг зурна; ; тус тус. Бид онгоцны огтлолцлын шугамын дагуу параллелепипед барьдаг О.Б. 1 Д 1 C 1 ABDC.

Ингээд авч үзье О.Б. 1 Д 1 C 1 – параллелограммын дүрмийн дагуу бүтээн байгуулалтаар параллелограмм
.

OADD 1 - параллелограммыг (параллелепипедийн шинж чанараас) авч үзье.
, Дараа нь

EMBED Equation.3 .

Теорем 1-ээр
ийм . Дараа нь
, мөн тодорхойлолтоор 24 векторын систем нь шугаман хамааралтай байна. 

Дүгнэлт 7.1

Сансар огторгуйн гурван хавтгай биш векторын нийлбэр нь эдгээр гурван вектор дээр баригдсан параллелепипедийн диагональ нь нийтлэг гарал үүсэлтэй давхцаж байгаа вектор бөгөөд нийлбэр векторын гарал үүсэл нь эдгээр гурван векторын нийтлэг гарал үүсэлтэй давхцаж байна.

Дүгнэлт 7.2

Хэрэв бид огторгуйд 3 ижил биш векторыг авбал энэ орон зайн дурын векторыг эдгээр гурван векторын шугаман хослол болгон задалж болно.