Тетраэдр дэх хэсгүүдийг барих. Тетраэдр ба түүний хэсэг Гурван цэгээс тетраэдр огтлолцох

Сэдвийн хичээл:

"Тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг барих"

Хичээлийн зорилго

1. Тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг хавтгайгаар барихтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн ойлголтуудтай танилц.

2. Хэсэг барих асуудлын төрлийг тодорхойлох.

3. Тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг байгуулахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх.

4. Орон зайн төсөөллийг бий болгох.

Хичээлийн үеэр.

I Зохион байгуулалтын мөч.

II Гэрийн даалгавар шалгах.

Залуус аа, бид сүүлийн хичээлүүддээ ямар геометрийн биетүүдийг судалсан бэ? (тетраэдр, параллелепипед).

Тетраэдрийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Параллелепипедийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Одоо аман гэрийн даалгавраа шалгацгаая.

Сурах бичгийн 31-р хуудсанд бид 14,15-р асуултуудыг уншиж, хариулдаг.

14. Таван шулуун булантай тетраэдр бий юу?

(Үгүй, учир нь дөрвөн гурвалжинд зөвхөн дөрвөн тэгш өнцөг байж болно, хамгийн ихдээ нэг нь).

15. Үүнд: параллелепипед байна уу.

А) Зөвхөн нэг нүүр нь тэгш өнцөгт юм. (Үгүй, учир нь параллелепипедийн эсрэг талууд тэнцүү).

б) Зөвхөн хоёр зэргэлдээ нүүр нь ромбус юм. (Үгүй ээ, зөвхөн эсрэг талын нүүр нь алмааз байж болно).

В) Бүх ирмэгийн өнцөг нь хурц байна. (Үгүй, параллелограмм нь хурц ба мохоо өнцөгтэй бөгөөд нүүр бүр нь параллелограмм юм).

Г) Нүүрний бүх өнцөг зөв байна. (Тийм ээ, тэгш өнцөгт параллелепипед дээр).

г) Нүүрний бүх хурц өнцгийн тоо нь нүүрний бүх мохоо өнцгийн тоотой тэнцүү биш юм. (Үгүй ээ, нүүр бүрт ижил хэмжээний хурц ба мохоо өнцөгүүд байдаг).

III Шинэ сэдвийн тайлбар.

Одоо шинэ сэдэв рүүгээ орцгооё. Хичээлийн сэдвийг бичнэ үү. Өнөөдрийн хичээлийн зорилго:

1. Тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг хавтгайгаар барихтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн ойлголтуудтай танилц.

2. Хэсэг барих асуудлын төрлийг тодорхойлох.

3. Тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг байгуулахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх.

4. Орон зайн төсөөллийг бий болгох.

Тиймээс тетраэдр ба параллелепипедтэй холбоотой олон геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тэдгээрийн хэсгүүдийг өөр өөр хавтгайд зурах чадвартай байх нь ашигтай байдаг.

Бид юу гэсэн үг вэ огтлох онгоц ? Сурах бичгийн 27-р хуудаснаас бид энэ асуултын хариултыг олох болно.

Таслах онгоц Хоёр талдаа өгөгдсөн олон өнцөгтийн цэгүүд байгаа аливаа хавтгайг нэрлэнэ.

Дараагийн ойлголт бол Хэсэг. Дахин бид сурах бичигт тусламж хүсч байна. Одоо энэ хэсгийн яг тодорхой тодорхойлолт ямар байгааг хараарай.

v Хэсэг болох олон өнцөгтийн талууд хаана байдаг вэ?

v Хэсэг болох олон өнцөгтийн оройнууд хаана байна вэ?

Одоо асуултанд хариулъя. Хавтгайтай олон өнцөгтийн огтлолыг барих нь юу гэсэн үг вэ. Тиймээс нүүр бүрт бид зүсэх хавтгай нь нүүрийг огтолж буй сегментүүдийг барих болно.

Хөндлөн огтлолыг зөв барихын тулд та янз бүрийн теорем, шинж чанарыг ашиглах чадвартай байх ёстой. гэсэн асуултад хариулъя.

Хэсэг барихад эдгээр мэдэгдлүүдийн аль нь хэрэг болох вэ?

1. Хэрэв хоёр хавтгай нийтлэг цэгтэй бол энэ цэгийг агуулсан шулуун шугамын дагуу огтлолцоно.

2. Хэрэв огтлолцох хавтгайн аль нэгэнд байрлах шулуун шугам өөр хавтгайтай огтлолцох бол энэ нь хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг огтолно.

3. Хэрэв хоёр зэрэгцээ хавтгайг гуравны нэгээр огтолж байвал хавтгайнуудын огтлолцлын шугамууд параллель байна.

4. Таслагч хавтгай нь олон өнцөгтийн нүүрийг тасархай шугамын дагуу огтолж байна.

5. Хавтгайгаар параллелепипедийн огтлолд дараахь зүйл гарч ирж болно.

v шугамын сегмент

v гурвалжин

v дөрвөлжин

v таван өнцөгт

v зургаан өнцөгт

v Долоон өнцөгт

Одоо онгоцыг хэрхэн тодорхойлохыг санацгаая.

Хэсэг барихдаа дараахь зүйлийг мэдэх нь чухал юм.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" өргөн "559" өндөр "288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" өргөн "564" өндөр "355 src=">

Одоо сурах бичигт бид хэсгүүдийг барих үндсэн ажлуудыг авч үзэх болно. Тиймээс, нэг хавтгайд байрлах хоёр нь нэг хавтгайд, гурав дахь нь өөр хавтгайд байрлах гурван цэгийг ашиглан тетраэдрийн хэсгийг байгуулах шаардлагатай нэгдүгээр даалгавар.
.jpg" өргөн "588" өндөр "359 src=">

Асуудал шийдэх. Слайд ашиглан уусмалын зөв эсэхийг шалгах.

V Хичээлийн хураангуй.

Нөхцөл байдлыг төсөөлөөд үз дээ:

Танай ангийн хүүхэд өвдөж, "Олон талтуудын хэсгүүдийг бүтээх нь" сэдвээр хичээлээ тасалжээ. Та энэ сэдвийг утсаар тайлбарлах хэрэгтэй. Алхам алхмаар алгоритм боловсруулах.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" өргөн "600" өндөр "284 src=">

Одоо би туршилт хийх болно. Та гурван минутын дотор гурван ажлыг гүйцэтгэх хэрэгтэй. Тетраэдр ба параллелепипедийн зөв зүсэлт, зөв ​​зургийг харуулсан зургийн тоог сонгон бич.

VI Гэрийн даалгавар . n.14, асуулт 16, дугаар 000,106. Тетраэдр эсвэл параллелепипедийн огтлолыг барих нэг асуудлыг бодож олоорой.

Өнөөдөр бид яаж гэдгийг дахин харах болно хавтгайтай тетраэдрийн хэсгийг байгуулна.
Хэсгийн хавтгайн 2 цэг нь нэг нүүрэнд, гурав дахь цэг нь өөр нүүрэнд хамаарах хамгийн энгийн тохиолдлыг (заавал түвшин) авч үзье.

Танд сануулъя хэсгүүдийг бүтээх алгоритмэнэ төрлийн (тохиолдол: 2 оноо нь нэг нүүрэнд хамаарна).

1. Бид зүсэлтийн хавтгайн 2 цэгийг агуулсан нүүр царайг хайж байна. Нэг нүүрэн дээр хэвтэж буй хоёр цэгээр шулуун шугам зур. Бид тетраэдрийн ирмэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олдог. Шулуун шугамын нүүрэнд дуусдаг хэсэг нь хэсгийн хажуу тал юм.

2. Хэрэв олон өнцөгтийг хаах боломжтой бол огтлолыг барьсан байна. Хэрэв хаах боломжгүй бол баригдсан шугамын огтлолцлын цэг ба гурав дахь цэгийг агуулсан хавтгайг олно.

1. Бид E ба F цэгүүд нэг нүүрэн дээр хэвтэж байгааг харж байна (BCD), хавтгайд EF шулуун шугамыг (BCD) зур.
2. EF шулуун шугамын BD тетраэдрийн ирмэгтэй огтлолцох цэгийг олъё, энэ нь Н цэг юм.
3. Одоо та EF шулуун шугам ба гурав дахь G цэгийг агуулсан хавтгайн огтлолцох цэгийг олох хэрэгтэй, i.e. онгоц (ADC).
CD шулуун шугам нь (ADC) ба (BDC) хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь EF шулуун шугамыг огтолж байгаа гэсэн үг бөгөөд K цэг нь EF шулуун ба хавтгай (ADC) огтлолцох цэг юм.
4. Дараа нь бид нэг хавтгайд хэвтэж буй өөр хоёр цэгийг оллоо. Эдгээр нь G ба K цэгүүд бөгөөд хоёулаа зүүн талын нүүрний хавтгайд байрладаг. Бид GK шугамыг зурж, энэ шугам нь тетраэдрийн ирмэгийг огтолж буй цэгүүдийг тэмдэглэнэ. Эдгээр нь M ба L цэгүүд юм.
4. Хэсгийг "хаах" хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл нэг нүүрэн дээр хэвтэж буй цэгүүдийг холбоно. Эдгээр нь M ба H, мөн L ба F цэгүүд юм. Эдгээр сегментүүдийн аль аль нь үл үзэгдэх, бид тэдгээрийг тасархай шугамаар зурдаг.

Хөндлөн огтлол нь дөрвөлжин MHFL болж хувирав. Түүний бүх орой нь тетраэдрийн ирмэг дээр байрладаг. Үр дүнгийн хэсгийг сонгоцгооё.

Одоо томъёолъё Зөв баригдсан хэсгийн "шинж чанар":

1. Хэсэг болох олон өнцөгтийн бүх орой нь тетраэдр (параллелепипед, олон өнцөгт)-ийн ирмэг дээр байрладаг.

2. Хэсгийн бүх талууд нь олон өнцөгтийн нүүрэн дээр байрладаг.
3. Олон өнцөгтийн нүүр бүр нь хэсгийн нэгээс илүүгүй (нэг эсвэл аль нь ч биш!) талыг агуулж болно

Хичээлийн хөгжил

10 "А" ангийн "Тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг барих" сэдвээр

Хичээлийн зорилго:

тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг хавтгайтай хэрхэн бүтээхийг заах;

дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх;

оюутнуудын бие даасан үйл ажиллагааны ур чадвар, багаар ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: проектор, интерактив самбар, тараах материал.

Хичээлийн төрөл: шинэ материал сурах хичээл.

Хичээлд ашигласан арга, техник: харааны, практик, асуудал хайх, бүлэг, судалгааны үйл ажиллагааны элементүүд.

I . Зохион байгуулах цаг.

Багш хичээлийн сэдэв, зорилгыг зарлана (слайдын дугаар 1 ).

II . Мэдлэгийг шинэчлэх.

Багш: Гэрийн даалгавраа хийхдээ шулуун ба хавтгайн уулзвар болох олон өнцөгтийн гадаргуугийн хавтгай дээрх зүсэгч онгоцны ул мөрийг олох шаардлагатай байв. Үүний тулд юу хийх хэрэгтэй талаар тайлбар бичээрэй.

(Оюутнууд гэрийн даалгаврын талаар тайлбар хийдэг (слайд № 2-3 ).

Багш: Шинэ сэдвийг судлахын тулд дараахь асуултуудад хариулж онолын материалыг давтан авч үзье.

огтлох онгоц гэж юу вэ (слайдын дугаар 4 )? (Оюутнууд тодорхойлолт өгдөг.)

Олон өнцөгтийн хэсэг гэж юу вэ (слайдын дугаар 5 )? (Тодорхойлолтыг томъёолсон.)

Олон өнцөгтийн хэсгийг онгоцоор бүтээхийн тулд юу хийх хэрэгтэй вэ?

Хэсэг барих нь огтлох хавтгай ба олон өнцөгтийн нүүрний хавтгайн огтлолцлын шугамыг барихад хүргэдэг.)

Олон өнцөгтийн бүх нүүрний хавтгайг огтлох хавтгай огтлолцох шаардлагатай юу?

Багш: Бяцхан судалгаа хийж, "Тетраэдр эсвэл параллелепипедийн хэсэгт ямар дүрсийг онгоцоор авч болох вэ?" Гэсэн асуултад хариулъя.

(Оюутнууд бүлгээрээ ажиллаж, тавьсан асуултын хариултыг хай.)

(Хэдэн минутын дараа тэд өөрсдийн таамаглалыг боловсруулж, жагсаал эхэлнэслайд 6-7 .)

Багш: Олон өнцөгт хэсгүүдийг барихдаа санаж байх ёстой дүрмүүдийг давтъя (оюутнууд шаардлагатай аксиом, теорем, шинж чанарыг санаж, томъёолдог):

Хэрэв хоёр цэг нь зүсэх хавтгай ба олон өнцөгтийн аль нэг нүүрний хавтгайд хамаарах бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь нүүрний хавтгай дээрх зүсэх онгоцны ул мөр болно.

Хэрэв огтлох хавтгай нь тодорхой хавтгайд байрлах шулуунтай параллель бөгөөд энэ хавтгайг огтолж байвал эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугам нь энэ шулуунтай параллель байна.

Зэрэгцээ хоёр хавтгайг огтлох хавтгайгаар огтлолцох үед зэрэгцээ шугамууд үүснэ.

Хэрэв огтлох хавтгай нь тодорхой хавтгайтай параллель байвал эдгээр хоёр хавтгай нь хоорондоо параллель шулуун шугамын дагуу гурав дахь хавтгайг огтолно.

Хэрэв огтлох хавтгай ба хоёр огтлолцох нүүрний хавтгай нь нийтлэг цэгтэй бол тэдгээр нь эдгээр нүүрний нийтлэг ирмэгийг агуулсан шулуун дээр байрладаг.

Багш: Эдгээр зураг дээрх алдааг олж, мэдэгдлээ зөвтгөөрэй (слайд8-9 ).

Багш: Залуус аа, бид олон өнцөгтийн хэсгүүдийг хавтгайгаар, ялангуяа тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг хэрхэн бүтээх талаар сурах онолын үндэслэлийг бэлдсэн. Та ихэнх ажлыг бие даан хийж, бүлгээрээ ажиллах тул та бүгдэд хэсэг хэсгүүдийг бүтээх олон талт хоосон зураг бүхий ажлын хуудас байна. Шаардлагатай бол та бүлгийн багш эсвэл ахлагчаас зөвлөгөө авч болно.

Ингээд та бүхний анхааралд хүргэж байнаэхний даалгавар : ( слайдын дугаар 10 ) өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай тетраэдрийн хэсгийг байгуулнаМ, Н, К. (Хөндлөн огтлол нь гурвалжин болж хувирсан, шалгана уу -слайдын дугаар 11 .)

Багш: Ингээд авч үзьехоёр дахь даалгавар : Тетраэдр өгөгдсөнDABC. Онгоцтой тетраэдрийн хэсгийг байгуулMNK, ХэрэвМDC, НМЭ, КAB. ( Слайд №12 )

(Ангитай холбоотой асуудлыг шийдэж, барилгын талаар тайлбар хий.)

( Даалгавар №3 - бүлэгт бие даасан ажил (слайд №14 ). Шалгалт -слайдын дугаар 15 .)

Даалгавар No4 : Тетраэдрийн зүсэлтийг хавтгайгаар байгуулMNK, ХаанаМТэгээдН- хавирганы дунд хэсэгABТэгээдМЭӨ ( слайдын дугаар 16 ). (Шалгана ууслайд №17 .)

Багш аа : Хичээлийн дараагийн хэсэг рүү орцгооё. Параллелепипедийн хэсгүүдийг хавтгайгаар барих асуудлыг авч үзье. Параллелепипедийг хавтгайд хуваахад гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт эсвэл зургаан өнцөгт хэлбэртэй болохыг бид олж мэдсэн. Хэсэг барих дүрэм ижил байна. Би та өөрөө шийдэх дараагийн асуудал руу шилжихийг санал болгож байна.

(Үзүүлсэнслайд №18 )

Асуудал №5

Параллелепипедийн хөндлөн огтлолыг байгуулABCDA 1 Б 1 C 1 Д 1 онгоцMNK, ХэрэвМА.А. 1 , НБ.Б 1 , КCC 1 . (Шалгана ууслайдын дугаар 19 ).

Асуудал №6 : ( Слайдын дугаар 20 ) Параллелепипедийн огтлолыг байгуулABCDA 1 Б 1 C 1 Д 1 онгоцPTO, Хэрэв П, Т, ОАА ирмэгүүдэд тус тус хамаарна 1, BB 1, SS 1.

(Шийдлийн талаар ярилцаж, оюутнууд бие даасан хуудсан дээр хэсэг байгуулж, барилгын ажлын явцыг тэмдэглэнэ (слайдын дугаар 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL- шаардлагатай хэсэг.

Даалгавар №7: (слайд №22) Хавтгайтай параллелепипедийн хэсгийг байгуулKMN, ХэрэвКА 1 Д 1 , Н, МAB.

Шийдэл: (слайдын дугаар 23)

М.Н∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

PM;

NE II PK; KF II MN;

Ф.Э.

MPKFENхүссэн хэсэг.

Бүтээлч даалгавар (сонголтуудын дагуу картууд):

Ердийн гурвалжин пирамидСC оройгоор ABC бахавирганы дунд хэсэгСПирамидын хэсгийг параллель зурС.Б.. AB ирмэг дээр цэгийг авнаФтиймээс АФ: ФB=3:1. Цэгээр дамжууланФТэгээдхавирганы дунд хэсэгСC цэгээс шулуун шугам татсан. Энэ мөр байх ууогтлолын хавтгайтай параллель?

AB 1 ХАМТ -тэгш өнцөгт параллелепипед ABC хэсэгДА 1 IN 1 ХАМТ 1 Д 1. E цэгүүдээр дамжуулан,Ф, K, тэдгээр нь тус тус байнахавирганы дунд хэсэгДД 1 , А 1 Д 1 , Д 1 C 1 хоёр дахь хэсгийг гүйцэтгэсэн.Гурвалжин E гэдгийг баталФК ба AB 1 Cүүнтэй төстэй, суулгахЭдгээр гурвалжны аль өнцөг нь хоорондоо тэнцүү вэ?

Хичээлийн хураангуй: Тиймээс бид тетраэдр ба параллелепипедийн хэсгүүдийг барих дүрмүүдтэй танилцаж, хэсгүүдийн төрлүүдийг судалж, хэсгүүдийг барих хамгийн энгийн асуудлыг шийдсэн. Дараагийн хичээл дээр бид сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж, илүү төвөгтэй асуудлуудыг авч үзэх болно.

Одоо уламжлалт асуултууддаа хариулж хичээлээ дүгнэе.слайдын дугаар 24 ):

"Би хичээл таалагдсан (дургүй) учир нь..."

"Өнөөдөр би ангидаа сурсан ..."

"Би хүсч байна ..."

(Хичээлд дүн тавих.)

Гэрийн даалгавар: догол мөр 14 No 105, 106. (слайдын дугаар 25 )

105-р нэмэлт даалгавар : Хавтгай ямар харьцаатай байгааг олMNKирмэгийг хуваадагAB, ХэрэвCN : Н.Д = 2:1, Б.М. = М.Д.ба хугацааК- дундаж хэсгийн дундALгурвалжинABC.

(Бүтээлч даалгавраа дуусга.)

Слайд 2

Багш нарт зориулсан мэдээлэл. Энэхүү үзүүлэнг бүтээх зорилго нь шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэг, хавтгайн огтлолцлын шугам, тетраэдрийн огтлолын шугамыг тодорхой харуулах явдал юм. Багш энэ сэдвээр хичээл заахдаа илтгэлийг ашиглах, эсвэл ямар нэг шалтгаанаар хичээлээ тасалсан оюутнуудад бие даан судлах, эсвэл тодорхой асуултуудыг давтахыг санал болгож болно. Оюутнууд илтгэлийг судлахдаа товч хураангуйг бөглөж дагалддаг.

Слайд 3

Оюутанд зориулсан мэдээлэл. Энэхүү танилцуулгыг бүтээх зорилго нь сансар огторгуйд барилгын ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмуудыг тодорхой харуулах явдал юм. Дуудлага дээрх тайлбарыг анхааралтай, аажмаар судалж, зурагтай харьцуулахыг хичээ. Дүгнэлт дэх бүх хоосон зайг бөглөнө үү. Асуудлыг бие даан шийдвэрлэхдээ эхлээд шийдлийг өөрөө бодож, дараа нь зохиогчийн санал болгосон хувилбарыг үзэх хэрэгтэй. Багшид өгөх асуултуудыг бичиж, ангидаа асуу.

Слайд 4

I. Шулуун а нь α хавтгайтай огтлолцоно. Уулзвар цэгийг байгуул.

α β P m a Хариулт: I. Шулуун а шулуун ба α хавтгайн огтлолцох цэгийг барихын тулд: 1) а шулууныг дайран өнгөрч буй β хавтгайг м шулуун шугамын дагуу огтлолцох β хавтгайг зурах (олх) 2) байгуулах шаардлагатай. a ба m шугамын огтлолцлын P цэг. Шулуун а шугамаар t шулуун шугамын дагуу α хавтгайг огтолж буй β хавтгайг зурна.А шулууныг α ба β хавтгайн огтлолцлын шугамтай огтлолцоно: шулуун t. P цэг нь a ба шулуун шугамын нийтлэг цэг юм. α хавтгай, учир нь шулуун шугам m нь α хавтгайд оршдог. Алгоритмыг товч хураангуй хэлбэрээр бичнэ үү.

Слайд 5

1) MN шулуун ба BDC хавтгайн огтлолцох цэгийг байгуул.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Хариулт: ABC хавтгай MN шулууныг дайран өнгөрч, BC шулууны дагуу BDC хавтгайг огтолно. MN шулуун нь BC шулууныг P цэгээр огтолж байна. ВС шулуун нь BDC хавтгайд орших бөгөөд энэ нь MN шулуун нь BDC хавтгайг P цэг дээр огтолж байна гэсэн үг юм.

Слайд 6

2) MN шулуун ба ABD хавтгайн огтлолцох цэгийг байгуул.

D B A C M N P Хариулт: Шийдэл харах MN шулуун нь АВD хавтгайг DB шулууны дагуу огтолж байгаа ВDC хавтгайд хамаарах MN ба DB шулуунуудыг огтолцгооё. Цаашид

Слайд 7

II. AB шулуун нь α хавтгайтай параллель байх ёсгүй. С цэг α хавтгайд хамаарах бол α ба ABC хавтгайн огтлолцлын шугамыг байгуул

B C A α β P m АВ шулуун шугамын α хавтгайтай огтлолцох цэгийг байгуулъя. Нөхцөл ба бүтээцээр C ба P цэгүүд нь ABC ба α хавтгайд нийтлэг байдаг. Нөхцөл ба бүтээцээр C ба P цэгүүд нь ABC ба α хавтгайд нийтлэг байдаг. Энэ нь CP шулуун шугам нь ABC ба α хавтгайнуудын огтлолцохыг хүссэн шулуун шугам гэсэн үг юм. II. α хавтгай ба ABC (C α, (A, B) α, AB || α) хавтгайн огтлолцох шугамыг барихын тулд: AB шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэгийг барих шаардлагатай. α - цэг P; 2) P ба C цэгүүд нь (ABC) ба α хавтгайнуудын нийтлэг цэгүүд бөгөөд энэ нь (ABC) α = CP гэсэн үг юм. Алгоритмыг товч хураангуй хэлбэрээр бичнэ үү.

Слайд 8

3).MNP ба АХБ-ны хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг байгуул.

MNP хавтгай ба АХБ-ны нүүрний огтлолцлыг байгуулна. M D B A C N P X Q R Хариулт: MR шулуун шугамын АХБ хавтгайтай огтлолцох цэгийг (Х цэг) байгуулъя. MR шулуун шугам нь AD шулуун шугамын дагуу АХБ хавтгайтай огтлолцдог ADC хавтгайд оршдог. MR шулуун шугам нь AD шулуун шугамын дагуу АХБ хавтгайтай огтлолцдог ADC хавтгайд оршдог. X ба N цэгүүд нь АХБ ба MNP онгоцны нийтлэг цэгүүд юм. Энэ нь тэд XN шулуун шугамын дагуу огтлолцдог гэсэн үг юм. Барилгын ажлын явцыг товч хураангуй хэлбэрээр тэмдэглэ.

Слайд 9

Тетраэдрийн хэсэг.

C D B A M N P α Зүсэгч хавтгай нь олон өнцөгтийн нүүрийг огтолж буй хэрчмүүдээс тогтсон олон өнцөгтийг олон өнцөгтийн хэсэг гэнэ. Хэсгийг бүрдүүлдэг сегментүүдийг нүүрэн дээрх зүсэх онгоцны ул мөр гэж нэрлэдэг. ∆ MNP – хэсэг. Онгоц тетраэдртэй огтлолцвол түүнийг огтлох хавтгай гэнэ.Тетраэдрийн ирмэгүүдийг M, N, P цэгүүдээр, мөн MN, MP, NP хэрчмүүдийн дагуух нүүрүүдийг огтолно... MNP гурвалжинг гэнэ. тетраэдрийг энэ хавтгайгаар огтолж... Богино тэмдэглэлд бичнэ үү.

Слайд 10

Тетраэдрийн хөндлөн огтлол нь мөн дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно.

A C D B M N P Q α MNPQ – хэсэг.

Слайд 11

Өгөгдсөн M, N, P гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайтай тетраэдрийн огтлолыг байгуулах алгоритм.

MNPQ бол шаардлагатай хэсэг юм. D B A C M N P Q X Түүнтэй нийтлэг 2 цэгтэй нүүрэн дээр зүсэх хавтгайн ул мөрийг байгуул. 3) Сонгосон нүүрний ABC хавтгайтай огтлолцох хавтгай огтлолцох хийгдэх цэгүүдээр шулуун шугамыг зур. 4) Энэ шугам нь ABC нүүрний ирмэгийг огтолж буй цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдэглээд үлдсэн ул мөрийг гүйцээнэ. 2) Одоогоор ул мөр үлдээгүй царайг сонго. Сонгосон нүүрний хавтгайтай аль хэдийн баригдсан мөрүүдийг агуулсан шулуун шугамын огтлолцлын цэгүүдийг байгуулна: ABC.

Слайд 12

Тетраэдр хавтгай MNP.2 аргыг ашиглан зүсэлт байгуул.

D B A C M N P Q X MNPQ – шаардлагатай хэсэг.

Слайд 13

№1. (Асуудлыг өөрөө шийд). MNP хавтгайг ашиглан тетраэдрийн хэсгийг байгуул.

Q D A C M N P X B X Шийдэл харах Хоёр дахь арга: Дараа нь

Слайд 14

№2. (Өөрийнхөө төлөө шийдээрэй). Хэрэв P нь нүүрний ADC-д хамаарах бол MNP хавтгайг ашиглан тетраэдрийн хэсгийг байгуул.

Слайд 15

№3. CD ирмэгтэй параллель, DBC хавтгай дээр хэвтэх F цэгийг дайран өнгөрөх α тетраэдр хавтгай ба М цэгийг ашиглан зүсэлт байгуул.

3)α (АХБ)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Өгөгдсөн: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. DABC тетраэдрийн хэсгийг байгуул. α||DC, дараа нь (DBC) α=FP ба FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) α||DC тул (DAC) α=MQ ба MQ||DC, MQ AC=Q байна. DC || NP ба NP α нь DC||α гэсэн утгатай тул MNPQ нь хүссэн хэсэг юм. Өгүүлбэрийг үргэлжлүүлнэ үү: Хэрэв өгөгдсөн шулуун а нь тодорхой α хавтгайтай параллель байвал α хавтгайд параллель биш, энэ а шулууныг дайран өнгөрөх аливаа хавтгай α хавтгайг b шулууны дагуу огтолно.………………… ……………… А шулуунтай параллель. Үргэлжлүүлэн... α||DC, дараа нь BDC хавтгай нь тогтмол гүйдэлтэй параллель шулуун шугамын дагуу α-г огтолж, F α||DC цэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь ADC хавтгай нь DC-тэй параллель шулуун шугамын дагуу α-г огтолж, шулуун шугамыг дайран өнгөрнө. цэг М

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. BDC нүүртэй параллель, M цэгийг дайран өнгөрөх тетраэдр хавтгай α бүхий огтлолыг байгуул. B A C M N D Өгөгдсөн: α||DBC, M α, M AD. DABC тетраэдрийн зүсэлтийг α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD хавтгайгаар байгуул. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP нь шаардлагатай хэсэг, учир нь ………. Өгүүлбэрийг үргэлжлүүлээрэй: Хэрэв хоёр зэрэгцээ хавтгайг гурав дахь хавтгайгаар огтолж байвал тэдгээрийн огтлолцлын шугамууд ………………………………………………………… α хавтгайн MN ба MP хоёр огтлолцох шулуунууд нь хавтгайн (DBC) DB ба DC огтлолцох хоёр шулуунтай параллель байна, энэ нь α||(DBC) гэсэн утгатай. α||DВC, дараа нь AV ба ADC хавтгайнууд α ба (ВДС) хавтгайг MN ба МР шулуунуудын дагуу DB ба DC-тэй параллель тус тус огтолж, M цэгээр дамжин өнгөрнө.

Слайд 17

Дараах М Р Б А К Н No 5. Өөрөө шийдэж, шийдлийг бич. PN||AB ба M нь хавтгайд (ABC) хамаарах бол M цэг ба PN хэрчмийг дайран өнгөрөх α хавтгайгаар тетраэдрийн зүсэлтийг байгуул. P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2) MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. RNPQ-шаардлагатай хөндлөн огтлол. NP||(ABC) шийдлийг харна уу, энэ нь MNP хавтгай нь NP-тэй параллель MQ шулуун шугамын дагуу ABC хавтгайг огтолж, M цэгийг дайран өнгөрдөг гэсэн үг юм.

Слайд 18

Хэрэв ямар нэг зүйл ойлгомжгүй байвал багшид зориулсан асуулт, мөн энэ танилцуулгыг сайжруулах зөвлөмж гаргахаа бүү мартаарай.

Слайд 19

Танилцуулга бүтээхдээ сурах бичиг, гарын авлагыг ашигласан: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов болон бусад.Геометр 10-11. М."Гэгээрэл" 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мэйлер, A.G. Баханский Геометрийн асуудлууд 7-11.М. "Гэгээрэл" 2000 он

Бүх слайдыг үзэх

, слайд 1-2)

асуудлыг шийдвэрлэхдээ стереометрийн аксиомуудыг хэрэглэж сурах;

тетраэдрийн ирмэгүүдтэй огтлох хавтгайн огтлолцох цэгүүдийн байрлалыг олж сурах;

Эдгээр хэсгүүдийг бүтээх мастер аргууд

танин мэдэхүйн үйл ажиллагаа, логик сэтгэлгээний чадварыг бий болгох;

мэдлэг, ур чадвар эзэмшихэд өөрийгөө хянах нөхцөлийг бүрдүүлэх.

Хичээлийн төрөл: Шинэ мэдлэгийг бий болгох.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч

II. Оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх

Урд талын судалгаа. (Стереометрийн аксиомууд, зэрэгцээ хавтгайн шинж чанарууд)

Багшийн үг

Тетраэдртэй холбоотой геометрийн олон асуудлыг шийдэхийн тулд тэдгээрийг зурах чадвартай байх нь ашигтай байдагхэсгүүд өөр өөр онгоцууд. (слайд 3). За дуудъяогтлох онгоц тетраэдр гэдэг нь өгөгдсөн тетраэдрийн цэгүүд бүхий хоёр талдаа аль ч хавтгай юм. Таслах хавтгай нь сегментүүдийн дагуу тетраэдрийн нүүрийг огтолж байна. Талууд нь эдгээр хэрчмүүд болох олон өнцөгтийг нэрлэдэгтетраэдрийн хөндлөн огтлол . Тетраэдр нь дөрвөн нүүртэй тул түүний хэсгүүд нь зөвхөн гурвалжин ба дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно. Хэсэг барихын тулд огтлох хавтгайн огтлолцох цэгүүдийг тетраэдрийн ирмэгүүдээр барихад хангалттай бөгөөд үүний дараа нэг нүүрэн дээр байрлах хоёр баригдсан цэг бүрийг холбосон сегментүүдийг зурахад л үлддэг гэдгийг анхаарна уу.

Энэ хичээлээр та тетраэдрийн хэсгүүдийг нарийвчлан судалж, эдгээр хэсгүүдийг бүтээх аргуудыг эзэмших боломжтой болно. Та олон талт хэсгүүдийг барих таван дүрмийг сурч, тетраэдрийн ирмэгүүдтэй огтлох хавтгай огтлолцох цэгүүдийн байрлалыг олж сурах болно.

Туслах үзэл баримтлалыг шинэчлэх

Эхний дүрэм. Хэрэв хоёр цэг нь зүсэх хавтгай ба олон өнцөгтийн аль нэг нүүрний хавтгайд хоёуланд нь хамаарах бол эдгээр хоёр цэгийг дайран өнгөрч буй шулуун шугам нь зүсэх хавтгайг энэ нүүрний хавтгайтай огтлолцох шугам юм (аксиомын үр дагавар). онгоцуудын огтлолцол).

Хоёр дахь дүрэм . Хэрэв огтлох хавтгай нь тодорхой хавтгайтай параллель байвал эдгээр хоёр хавтгай нь параллель шугамын дагуу аль ч нүүртэй огтлолцоно (гуравны нэгээр огтлолцсон хоёр зэрэгцээ хавтгайн өмч).

Гурав дахь дүрэм. Хэрэв огтлох хавтгай нь тодорхой хавтгайд байрлах шулуунтай параллель байвал (жишээлбэл, зарим нүүрний хавтгай) огтлох хавтгайн энэ хавтгай (нүүр) -тэй огтлолцох шугам нь энэ шулуунтай параллель байна (хэрэв шинж чанар). хавтгайтай параллель шугам).

Дөрөв дэх дүрэм. Зүсэх хавтгай нь параллель шугамын дагуу параллель нүүрийг огтолдог (гуравны нэгээр огтлолцсон параллель хавтгайн өмч).

Тав дахь дүрэм . А ба В хоёр цэг нь огтлох хавтгайд хамаарагдах ба А цэгүүд байг 1 болон Б 1 Эдгээр цэгүүдийн зарим нүүрэн дээрх зэрэгцээ проекцууд юм. Хэрэв AB ба А шулуун шугамууд 1 Б 1 параллель байвал огтлох хавтгай нь А-тай параллель шулуун шугамын дагуу энэ нүүрийг огтолно 1 Б 1 . Хэрэв AB ба А шулуун шугамууд 1 Б 1 тодорхой цэг дээр огтлолцох бол энэ цэг нь огтлох хавтгай ба энэ нүүрний хавтгайд хоёуланд нь хамаарна (энэ теоремын эхний хэсэг нь хавтгайтай параллель шугамын шинж чанараас, хоёр дахь нь параллель шугамын нэмэлт шинж чанараас хамаарна. төсөөлөл).

III. Шинэ материал сурах (мэдлэг, ур чадварыг бий болгох)

Хамтын асуудлыг тайлбартайгаар шийдвэрлэх (слайд 4)

Даалгавар 1. K є AD, M є DS, E є BC цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайтай DABC тетраэдрийн огтлолыг байгуул.

Зургийг анхааралтай авч үзье. K ба M цэгүүд нь нэг хавтгайд хамаарах тул бид огтлох хавтгайн ADS нүүртэй огтлолцох хэсгийг олдог - энэ бол KM сегмент юм. M ба E цэгүүд нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь огтлох хавтгайн огтлолцол ба VDS-ийн нүүр нь ME сегмент юм. Бид ижил ADS хавтгайд орших KM ба AC шулуун шугамуудын огтлолцох цэгийг олдог. Одоо X цэг нь ABC нүүрэнд байрладаг, дараа нь E цэгтэй холбогдож болно. Бид XE шулуун шугамыг зурж, AB-тай P цэг дээр огтлолцдог. PE сегмент нь зүсэх хавтгайн ABC нүүртэй огтлолцох хэсэг бөгөөд сегмент KP нь зүсэх хавтгайн ABC нүүртэй огтлолцох хэсэг юм. Тиймээс дөрвөлжин KMER бол бидний хүссэн хэсэг юм. Шийдлийг дэвтэртээ тэмдэглэнэ үү:

Шийдэл.

KM = α ∩ ЗАР

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ АС

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER - шаардлагатай хэсэг

Даалгавар 2. (слайд 5)

K = ABC, M = VDS, N = AD цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайтай DABC тетраэдрийн хэсгийг байгуул.

Зарим хоёр цэгийн төсөөллийг авч үзье. Тетраэдрт цэгүүдийн проекцууд нь оройноос суурь хавтгай хүртэл олддог, өөрөөр хэлбэл. М→М 1 , N→A. NM ба AM шугамуудын огтлолцлыг олох 1 цэг X. Энэ цэг нь NM шулуун дээр байрладаг тул огтлох хавтгайд хамаарна, AM шулуун дээр байрладаг тул ABC хавтгайд хамаарна. 1 . Энэ нь одоо ABC хавтгайд бид холбогдож болох хоёр цэг байгаа бөгөөд бид KX шулуун шугамыг авна гэсэн үг юм. Шулуун шугам нь BC тал нь L цэг дээр, AB тал нь H цэг дээр огтлолцдог. ABC нүүрэнд бид огтлолцлын шугамыг олж, H ба K цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг - энэ нь NL юм. ABP нүүрэнд огтлолцлын шугам нь НN, VDS нүүрэнд L ба M цэгүүдээр огтлолцох шугамыг зурдаг - энэ бол LQ, ADS нүүрэнд бид NQ сегментийг авдаг. Дөрвөн талт HNQL нь шаардлагатай хэсэг юм.

Шийдэл

М → М 1 N → А

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ЗАР

HNQL – шаардлагатай хэсэг

IV. Мэдлэгийг нэгтгэх

Дараагийн баталгаажуулалтаар асуудлыг шийдвэрлэх

Даалгавар 3. (слайд 6)

K є BC, M є ADV, N є VDS цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайтай DAWS тетраэдрийн хэсгийг байгуул.

Шийдэл

1. М → М 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 М 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK - шаардлагатай хэсэг

V. Бие даасан ажил (сонголтуудын дагуу)

(слайд 7)

Даалгавар 4. M = AB, N = AC, K = AD цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай DABC тетраэдрийн зүсэлтийг байгуул.

Шийдэл

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN - шаардлагатай хэсэг

Даалгавар 5. M = AB, K = DS, N = DV цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай DABC тетраэдрийн зүсэлтийг байгуул.

Шийдэл

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP - шаардлагатай хэсэг

Даалгавар 6. M = ABC, K = VD, N = DS цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай DABC тетраэдрийн зүсэлтийг байгуул.

Шийдэл

KN = α ∩ МӨС

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ AVR = TX ∩ АС

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

TP N K - шаардлагатай хэсэг

VI. Хичээлийн хураангуй.

(слайд 8)

Тиймээс өнөөдөр бид тетраэдр огтлолын хамгийн энгийн бодлогуудыг хэрхэн бүтээх талаар сурлаа. Олон өнцөгтийг тодорхой хавтгайтай огтолсны үр дүнд олж авсан олон өнцөгтийг олон өнцөгтийн огтлол гэдгийг сануулъя. Онгоцыг өөрөө огтлох онгоц гэж нэрлэдэг. Хэсэг барих гэдэг нь огтлох хавтгай нь аль ирмэгүүдтэй огтлолцох, үүссэн хэсгийн төрөл, эдгээр ирмэгүүдтэй огтлох хавтгай огтлолцох цэгүүдийн яг байрлалыг тодорхойлох гэсэн үг юм. Энэ нь хичээл дээр тавьсан зорилгодоо хүрсэн гэсэн үг юм.

VII. Гэрийн даалгавар.

(слайд 9)

"Тетраэдрийн хэсгүүдийг бүтээх" практик ажил цахим хэлбэрээр эсвэл цаасан хувилбарт. (Хүн бүр бие даасан даалгавар өгсөн