Įvairūs Pitagoro teoremos įrodymo būdai: pavyzdžiai, aprašymas ir apžvalgos. Savarankiškas problemų sprendimas
Klasė: 8
Pamokos tikslai:
- Švietimas: pasiekti Pitagoro teoremos įsisavinimą, įskiepyti įgūdžius apskaičiuoti nežinomą stačiakampio trikampio kraštinę naudojant dvi žinomas, išmokyti pritaikyti Pitagoro teoremą sprendžiant paprastus uždavinius
- Kuriama: prisidėti prie gebėjimo lyginti, stebėti, dėmesingumo ugdymo, analitinio ir sintetinio mąstymo gebėjimų ugdymo, akiračio praplėtimo
- Švietimas:žinių poreikio formavimas, domėjimasis matematika
Pamokos tipas: naujos medžiagos pristatymo pamoka
Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, pristatymas pamokai ( 1 priedas)
Pamokos planas:
- Laiko organizavimas
- burnos pratimai
- Tiriamasis darbas, hipotezės iškėlimas ir jos tikrinimas konkrečiais atvejais
- Naujos medžiagos paaiškinimas
a) Apie Pitagorą
b) Teoremos teiginys ir įrodymas - Aukščiau pateiktų dalykų konsolidavimas sprendžiant problemas
- Namų darbai, pamokos apibendrinimas.
Per užsiėmimus
2 skaidrė: Atlikite pratimus
- Išskleisti skliaustus: (3 + x) 2
- Apskaičiuokite 3 2 + x 2, kai x = 1, 2, 3, 4
– Ar yra natūralusis skaičius, kurio kvadratas yra 10, 13, 18, 25? - Raskite kvadrato, kurio kraštinės yra 11 cm, 50 cm, 7 dm, plotą.
Kokia yra kvadrato ploto formulė?
Kaip rasti stačiojo trikampio plotą?
3 skaidrė: Klausimo atsakymas
– Kampas, kurio matmenys yra 90°. (Tiesiai)
Kraštinė, priešinga stačiajam trikampio kampui. (hipotenuzė)
- Trikampis, kvadratas, trapecija, apskritimas - tai geometriniai ... (Formos)
- Mažoji stačiojo trikampio kraštinė. (Katet)
- Figūra, sudaryta iš dviejų spindulių, sklindančių iš vieno taško. (Kampas)
- Statmens atkarpa, nubrėžta nuo trikampio viršūnės iki linijos, kurioje yra priešinga kraštinė. (aukštis)
- Trikampis su dviem lygiomis kraštinėmis . (Lygiašoniai)
4 skaidrė: Užduotis
Sukurkite stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3 cm, 4 cm ir 6 cm.
Užduotis suskirstyta į eilutes.
| 1 eilutė | 2 eilutė | 3 eilutė | |
| koja a | 3 | 3 | |
| koja b | 4 | 4 | |
| Hipotenuzė Su | 6 | 6 |
Klausimai:
– Ar kas nors gavo trikampį su nurodytomis kraštinėmis?
– Kokia gali būti išvada? (Stačiakampis trikampis negali būti savavališkai apibrėžtas. Tarp jo kraštinių yra priklausomybė).
- Išmatuokite gautas puses. ( Apytikslis vidutinis rezultatas iš kiekvienos eilutės įvedamas į lentelę)
| 1 eilutė | 2 eilutė | 3 eilutė | |
| koja a | 3 | 3 | ~4,5 |
| koja b | 4 | ~5,2 | 4 |
| Hipotenuzė Su | ~5 | 6 | 6 |
- Kiekvienu atveju pabandykite nustatyti ryšį tarp kojų ir hipotenuzės.
(Siūloma prisiminti žodinius pratimus ir patikrinti tą patį ryšį tarp kitų skaičių).
– Atkreipiamas dėmesys, kad tikslaus rezultato nepavyks, nes. matavimai negali būti laikomi tiksliais.
Mokytojas prašo spėlioti (hipotezės): studentai formuluoja.
– Taip, tikrai, tarp hipotenuzės ir kojų yra ryšys, o pirmasis tai įrodė mokslininkas, kurio vardą įvardinsite patys. Ši teorema pavadinta jo vardu.
5 skaidrė: Iššifruoti
6 skaidrė: Pitagoras iš Samoso
Kas įvardins šios dienos pamokos temą?
Mokiniai į sąsiuvinius užrašo pamokos temą: „Pitagoro teorema“
Pitagoro teorema yra viena iš pagrindinių geometrijos teoremų. Jo pagalba įrodoma daug kitų teoremų ir sprendžiami įvairių sričių uždaviniai: fizika, astronomija, statyba ir kt. Tai buvo žinoma gerokai anksčiau nei Pitagoras tai įrodė. Senovės egiptiečiai jį naudojo statydami stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5 vienetai, naudodami virvę statydami stačius kampus, klojant pastatus, piramides. Todėl toks trikampis vadinamas Egipto trikampis.
Šiai teoremai įrodyti yra daugiau nei trys šimtai būdų. Šiandien apžvelgsime vieną iš jų.
7 skaidrė: Pitagoro teorema
Teorema: Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.
Duota:
Taisyklingas trikampis,
a, b - kojos, Su- hipotenuzė
Įrodykite:
Įrodymas.
1. Mes tęsiame stačiojo trikampio kojas: koją a- dėl ilgio b, koja b- dėl ilgio a.
Kokią formą galima sukurti trikampį? Kodėl iki kvadrato? Kokia bus aikštės pusė?
2. Trikampį užbaigiame iki kvadrato su kraštine a + b.
Kaip rasti šios aikštės plotą?
3. Aikštės plotas yra
- Suskaidykime kvadratą į dalis: 4 trikampius ir kvadratą su kraštine c.
Kaip dar galite rasti pradinės aikštės plotą?
Kodėl gauti stačiakampiai trikampiai yra vienodi?
4. Kita vertus,
5. Sulyginkite gautas lygybes:
Teorema įrodyta.
Yra komiška šios teoremos formuluotė: „Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis“. Tikriausiai ši formuluotė atsirado dėl to, kad ši teorema iš pradžių buvo nustatyta lygiašoniam stačiakampiui trikampiui. Be to, tai skambėjo šiek tiek kitaip: „Kvadrato, pastatyto ant stačiojo trikampio hipotenuzės, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, plotų sumai“.
8 skaidrė: Kita Pitagoro teoremos formuluotė
Ir aš pateiksiu jums kitą šios teoremos formuluotę eilėraštyje:
Jei mums duotas trikampis
Ir, be to, stačiu kampu,
Tai yra hipotenuzės kvadratas
Visada galime lengvai rasti:
Mes statome kojas į kvadratą,
Randame laipsnių sumą
Ir tokiu paprastu būdu
Prieisime prie rezultato.
– Taigi, šiandien susipažinote su garsiausia planimetrijos teorema – Pitagoro teorema. Kaip suformuluota Pitagoro teorema? Kaip kitaip tai galima suformuluoti?
Pirminis medžiagos fiksavimas
9 skaidrė: Užduočių sprendimas pagal paruoštus brėžinius.
10 skaidrė: Užduočių sprendimas sąsiuvinyje
Trys mokiniai vienu metu kviečiami prie lentos spręsti uždavinių.
11 skaidrė: XII amžiaus Indijos matematiko Bhaskaros problema
Apibendrinant pamoką:
Ką naujo išmokote šiandien pamokoje?
- Suformuluokite Pitagoro teoremą.
– Ką išmokote daryti pamokoje?
Namų darbai:
- Išmokite Pitagoro teoremą su įrodymais
- Užduotys iš vadovėlio Nr.483 c, d; Nr. 484 in, miestas
– Labiau pažengusiems: suraskite kitus Pitagoro teoremos įrodymus, išmokite vieną iš jų.
Vertinamas visos klasės darbas, išskiriant atskirus mokinius.
Pamoka tema: "Pitagoro teorema"
Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis. (pagal vadovėlį „Geometrija, 7–9“, vadovėlis ugdymo įstaigoms; L.S. Atanasyan ir kt. - 12 leidimas - M .: Edukacija, 2009).
Tikslas:
supažindinti mokinius su Pitagoro teorema ir su šia teorema susijusia istorine informacija; ugdyti susidomėjimą matematikos studijomis, loginį mąstymą; Dėmesio.
Užsiėmimų metu:
1. Organizacinis momentas.
2 SKAIDRĖ Pasaka „Namas“.
Mūsų pamokos tema „Pitagoro teorema“. Šiandien pamokoje susipažinsime su Pitagoro biografija, tyrinėsime vieną žinomiausių senovės geometrinių teoremų, vadinamą Pitagoro teorema, viena pagrindinių planimetrijos teoremų.
2. Žinių aktualizavimas.(Ruošiamasi naujos medžiagos studijoms, pakartojama medžiaga, kurios prireiks teoremos įrodymui)
1) Klausimai:
Koks keturkampis vadinamas kvadratu?
Kaip rasti kvadrato plotą?
Kuris trikampis vadinamas stačiu trikampiu?
Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės?
Kaip rasti stačiojo trikampio plotą?
3. Naujos medžiagos mokymasis.
1) Istorijos nuoroda.
3 ir 4 SKAIDRĖ.
Didysis mokslininkas Pitagoras gimė apie 570 m.pr.Kr. Samos saloje. Pitagoro tėvas buvo brangakmenių drožėjas Mnesarchas. Pitagoro motinos vardas nežinomas. Remiantis daugeliu senovės liudijimų, gimęs berniukas buvo pasakiškai gražus ir netrukus parodė savo išskirtinius sugebėjimus. Kaip ir bet kuris tėvas, Mnesarchas svajojo, kad jo sūnus tęs savo darbą – auksakalio amatą. Gyvenimas nusprendė kitaip. Būsimasis didis matematikas ir filosofas jau vaikystėje parodė didelius sugebėjimus mokslams.
Pitagorui priskiriamas sveikųjų skaičių ir proporcijų savybių tyrimas, Pitagoro teoremos įrodinėjimas ir kt. Pitagoras yra ne vardas, o slapyvardis, kurį filosofas gavo už tai, kad visada kalbėjo teisingai ir įtikinamai, kaip graikų orakulas. (Pitagoras – „įtikinama kalba“.)
Savo kalbomis jis įgijo 2000 mokinių, kurie kartu su šeimomis suformavo mokyklą-valstybę, kurioje galiojo Pitagoro įstatymai ir taisyklės. Pitagoro mokykla arba, kaip dar vadinama, Pitagoro sąjunga, tuo pat metu buvo ir filosofinė mokykla, ir politinė partija, ir religinė brolija.
Mėgstamiausia pitagoriečių geometrinė figūra buvo pentagrama, dar vadinama Pitagoro žvaigžde. Pitagoriečiai naudojo šią figūrą, piešdami ją smėlyje, norėdami pasveikinti ir atpažinti vienas kitą. Pentagrama buvo jų slaptažodis ir buvo sveikatos bei laimės simbolis.
Tradicija sako, kad Pitagoras, priėjęs prie teoremos, pavadintos jo vardu, atnešė dievams 100 jaučių. 500 m. pr. Kr. Pitagoras žuvo gatvės kovoje per liaudies sukilimą. Šiuo metu yra apie 200 Pitagoro teoremos įrodymų.
Teoremos teiginys
2) Teoremos įrodymas.
Pastatykime stačiakampį į kvadratą, kurio kraštinė a + b.
Vaikai, padedami mokytojos, pagal piešinį įrodo teoremą, tada surašo įrodymą į sąsiuvinį.
Įrodymas:
kvadratinis plotas
- teorema įrodyta.
4. Pirminis žinių įtvirtinimas.
Vadovėlio darbas (Pitagoro teoremos taikymas uždavinių sprendimui).
Uždaviniai sprendžiami lentoje ir sąsiuviniuose.
Išvada: naudodami Pitagoro teoremą galite išspręsti dviejų tipų problemas:
1. Raskite stačiojo trikampio hipotenuzę, jei žinomos kojos.
2. Raskite koją, jei žinomos hipotenuzė ir kita koja.
.
5. Savarankiškas problemų sprendimas.
Nr. 483 (b), 484 (b)
6. Namų darbai: P 54, Nr.483 (d), 484 (d).
7. Pamokos rezultatas.
Ką naujo išmokote šiandien pamokoje?
Kuriems trikampiams taikoma Pitagoro teorema?
Pamoką užbaikite eilėraščiu.
Daugelis žmonių žino Chamisso sonetą:
Tiesa liks amžina, kaip greitai
Silpnas žmogus tai žinos!
O dabar Pitagoro teorema
Verna, kaip tolimame amžiuje.
Auka buvo gausi
Dievai iš Pitagoro. Šimtas jaučių
Jis atidavė skerdimui ir sudeginimui
Už šviesos yra iš debesų sklindantis spindulys.
Todėl nuo tada
Maža tiesos gimsta pasaulyje,
Jaučiai riaumoja, jausdami ją, sekdami.
Jie negali sustabdyti šviesos
Ir gali tik užmerkti akis, kad drebėtų
Iš baimės, kurią jiems sukėlė Pitagoras.
Klausimas – atsakymas Kampas, kurio matas yra 90° TIESIOGINĖ Kraštinė, esanti priešinga trikampio stačiajam kampui HIPOTENIZĖ Trikampis, kvadratas, trapecija, apskritimas yra geometriniai ... FIGŪRAS Mažoji stačiojo trikampio kraštinė CATETH Figūra, sudaryta iš dviejų spindulių, sklindančių iš vienas taškas ANGLE Statmena atkarpa, nubrėžta iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga kraštinė AUKŠTIS Trikampis, kurio abi kraštinės yra lygiašonės
Pitagoras iš Samos (apie 580 m. – apie 500 m. pr. Kr.) Senovės graikų matematikas ir filosofas. Gimė Samos saloje. Jis organizavo savo mokyklą – Pitagoro mokyklą (Pitagoro sąjunga), kuri tuo pat metu buvo ir filosofinė mokykla, ir politinė partija, ir religinė brolija. Jis pirmasis įrodė ryšį tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojų.
XII amžiaus indų matematiko Bhaskaros problema Upės krante augo vieniša tuopa. Staiga vėjo gūsis sulaužė jo kamieną. Nukrito vargšė tuopa. O tiesios linijos kampas Su upės tėkme jos kamienas buvo. Prisiminkite dabar, kad šioje vietoje upė B buvo tik keturių pėdų pločio. Galva pasviro į upės pakraštį. Nuo kamieno liko tik trys pėdos, prašau, dabar greičiau pasakyk: Kokio aukščio tuopa?
Shapovalova L.A. (stotis Egorlykskaya, MBOU ESOSH Nr. 11)
1. Glazer G.I. Matematikos istorija mokykloje VII - VIII kl., vadovas mokytojams, - M: Ugdymas, 1982 m.
2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Už matematikos vadovėlio puslapių“ Vadovėlis 5-6 klasių mokiniams. – M.: Švietimas, 1989 m.
3. Zenkevičius I.G. „Matematikos pamokos estetika“. – M.: Švietimas, 1981 m.
4. Litzmanas V. Pitagoro teorema. - M., 1960 m.
5. Vološinovas A.V. "Pitagoras". - M., 1993 m.
6. Pičurinas L.F. „Anapus algebros vadovėlio puslapių“. - M., 1990 m.
7. Zemliakovas A.N. „Geometrija 10 klasėje“. - M., 1986 m.
8. Laikraštis "Matematika" 1996/17.
9. Laikraštis "Matematika" 3/1997.
10. Antonovas N.P., Vygodskis M.Ya., Nikitinas V.V., Sankinas A.I. „Pradinės matematikos uždavinių rinkinys“. - M., 1963 m.
11. Dorofejevas G.V., Potapovas M.K., Rozovas N.Kh. „Matematikos vadovas“. - M., 1973 m.
12. Ščetnikovas A.I. "Pitagoro doktrina apie skaičių ir dydį". - Novosibirskas, 1997 m.
13. „Realieji skaičiai. Neracionalios išraiškos» 8 klasė. Tomsko universiteto leidykla. – Tomskas, 1997 m.
14. Atanasyanas M.S. „Geometrija“ 7-9 kl. – M.: Švietimas, 1991 m.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
Šiais mokslo metais susipažinau su įdomia, kaip paaiškėjo, nuo senų senovės žinoma, teorema:
"Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai."
Paprastai šio teiginio atradimas priskiriamas senovės graikų filosofui ir matematikui Pitagorui (VI a. pr. Kr.). Tačiau senovinių rankraščių tyrimas parodė, kad šis teiginys buvo žinomas dar ilgai prieš Pitagoro gimimą.
Pagalvojau, kodėl šiuo atveju jis siejamas su Pitagoro vardu.
Temos aktualumas: Pitagoro teorema turi didelę reikšmę: geometrijoje ji naudojama pažodžiui kiekviename žingsnyje. Tikiu, kad Pitagoro darbai tebėra aktualūs, nes kur bežiūrėtume, visur matome jo puikių idėjų vaisius, įkūnytus įvairiose šiuolaikinio gyvenimo šakose.
Mano tyrimo tikslas buvo: išsiaiškinti, kas buvo Pitagoras ir koks jo ryšys su šia teorema.
Studijuodamas teoremos istoriją nusprendžiau išsiaiškinti:
Ar yra kitų šios teoremos įrodymų?
Kokia šios teoremos reikšmė žmonių gyvenimui?
Kokį vaidmenį Pitagoras atliko matematikos raidoje?
Iš Pitagoro biografijos
Pitagoras iš Samoso yra puikus graikų mokslininkas. Jos šlovė siejama su Pitagoro teoremos pavadinimu. Nors dabar jau žinome, kad ši teorema buvo žinoma senovės Babilone 1200 metų prieš Pitagorą, o Egipte 2000 metų prieš jį buvo žinomas stačiakampis trikampis su 3, 4, 5 kraštinėmis, vis dar vadiname ją šio senovės vardu. mokslininkas.
Beveik nieko nežinoma apie Pitagoro gyvenimą, tačiau su jo vardu siejama daugybė legendų.
Pitagoras gimė 570 m. pr. Kr. Samos saloje.
Pitagoras buvo gražios išvaizdos, nešiojo ilgą barzdą ir auksinę diademą ant galvos. Pitagoras yra ne vardas, o slapyvardis, kurį filosofas gavo už tai, kad visada kalbėjo teisingai ir įtikinamai, kaip graikų orakulas. (Pitagoras – „įtikinama kalba“).
550 m. pr. Kr. Pitagoras priima sprendimą ir išvyksta į Egiptą. Taigi, prieš Pitagorą atsiveria nežinoma šalis ir nežinoma kultūra. Pitagoras šioje šalyje labai nustebino ir nustebino, o kiek egiptiečių gyvenimo stebėjimų, Pitagoras suprato, kad kelias į pažinimą, saugomas kunigų kastos, eina per religiją.
Po vienuolikos studijų metų Egipte Pitagoras išvyksta į tėvynę, kur pakeliui patenka į Babilono nelaisvę. Ten jis susipažįsta su Babilonijos mokslu, kuris buvo labiau išvystytas nei egiptietiškas. Babiloniečiai mokėjo spręsti tiesines, kvadratines ir kai kurių tipų kubines lygtis. Pabėgęs iš nelaisvės, jis negalėjo ilgai išbūti tėvynėje dėl ten tvyrojusios smurto ir tironijos atmosferos. Jis nusprendė persikelti į Krotoną (graikų koloniją šiaurės Italijoje).
Būtent Krotone prasideda šlovingiausias Pitagoro gyvenimo laikotarpis. Ten jis įkūrė kažką panašaus į religinę-etinę broliją ar slaptą vienuolišką ordiną, kurios nariai buvo įpareigoti vadovautis vadinamuoju pitagorietišku gyvenimo būdu.
Pitagoras ir pitagoriečiai
Pitagoras Graikijos kolonijoje Apeninų pusiasalio pietuose suorganizavo religinę ir etinę broliją, pavyzdžiui, vienuolijų ordiną, kuri vėliau bus pavadinta Pitagoro sąjunga. Sąjungos nariai turėjo laikytis tam tikrų principų: pirma, siekti to, kas gražu ir šlovinga, antra, būti naudingais, trečia – siekti didelio malonumo.
Moralės ir etikos taisyklių sistema, kurią Pitagoras paliko savo mokiniams, buvo sudaryta į savotišką pitagoriečių moralinį kodeksą „Aukso eilėraščiai“, kurie buvo labai populiarūs Antikos, Viduramžių ir Renesanso epochoje.
Pitagoro studijų sistemą sudarė trys skyriai:
Pamokos apie skaičius – aritmetika,
Pamokos apie figūras – geometrija,
Pamokymai apie visatos sandarą – astronomiją.
Pitagoro sukurta švietimo sistema gyvavo daugelį amžių.
Pitagoro mokykla daug padarė, kad geometrijai būtų suteiktas mokslo pobūdis. Pagrindinis Pitagoro metodo bruožas buvo geometrijos derinimas su aritmetika.
Pitagoras daug nagrinėjo proporcijas ir progresijas bei, ko gero, figūrų panašumą, nes jam priskiriamas uždavinio sprendimas: „Remiantis pateikti du skaičiai“.
Pitagoras ir jo mokiniai pristatė daugiakampių, draugiškų, tobulų skaičių sampratą ir tyrinėjo jų savybes. Aritmetika, kaip skaičiavimo praktika, Pitagoro nedomino, ir jis išdidžiai pareiškė, kad „aritmetiką iškelia aukščiau už pirklio interesus“.
Pitagoro sąjungos nariai buvo daugelio Graikijos miestų gyventojai.
Pitagoriečiai taip pat priėmė moteris į savo visuomenę. Sąjunga klestėjo daugiau nei dvidešimt metų, tada prasidėjo jos narių persekiojimas, daugelis studentų žuvo.
Apie paties Pitagoro mirtį sklandė daug įvairių legendų. Tačiau Pitagoro ir jo mokinių mokymai gyvavo ir toliau.
Iš Pitagoro teoremos sukūrimo istorijos
Šiuo metu žinoma, kad šios teoremos neatrado Pitagoras. Tačiau kai kurie mano, kad Pitagoras pirmasis pateikė visapusišką įrodymą, o kiti neigia jo nuopelnus. Kai kas priskiria Pitagorui įrodymą, kurį Euklidas pateikia pirmoje savo elementų knygoje. Kita vertus, Proklas teigia, kad įrodymas elementuose yra paties Euklido dėka. Kaip matome, matematikos istorija beveik neturi patikimų konkrečių duomenų apie Pitagoro gyvenimą ir jo matematinę veiklą.
Istorinę Pitagoro teoremos apžvalgą pradėkime nuo senovės Kinijos. Čia matematinė Chu-pei knyga patraukia ypatingą dėmesį. Šiame rašinyje apie Pitagoro trikampį su 3, 4 ir 5 kraštinėmis rašoma taip:
"Jei stačiakampis yra padalintas į jo sudedamąsias dalis, tada linija, jungianti jo kraštų galus, bus 5, kai pagrindas yra 3, o aukštis - 4."
Labai lengva atkartoti jų konstravimo būdą. Paimkite 12 m ilgio virvę ir pririškite prie jos spalvota juostele 3 m atstumu. iš vieno galo ir 4 metrai nuo kito. Status kampas bus uždarytas tarp 3 ir 4 metrų ilgio kraštų.
Induistų geometrija buvo glaudžiai susijusi su kultu. Labai tikėtina, kad hipotenuzės kvadrato teorema Indijoje buvo žinoma jau maždaug VIII amžiuje prieš Kristų. Greta grynai ritualinių nurodymų yra ir geometriškai teologinio pobūdžio kūrinių. Šiuose raštuose, datuojamuose IV ar V amžiuje prieš Kristų, mes susiduriame su stačiojo kampo konstravimu, naudojant trikampį, kurio kraštinės yra 15, 36, 39.
Viduramžiais Pitagoro teorema apibrėžė jei ne didžiausių įmanomų, tai bent jau gerų matematinių žinių ribą. Būdingas Pitagoro teoremos piešinys, kurį dabar moksleiviai kartais paverčia, pavyzdžiui, profesoriaus ar vyro chalatu apsirengusiu cilindru, tais laikais dažnai buvo naudojamas kaip matematikos simbolis.
Pabaigoje pateikiame įvairias Pitagoro teoremos formuluotes, išverstas iš graikų, lotynų ir vokiečių kalbų.
Euklido teorema skamba (pažodinis vertimas):
"Stačiame trikampyje kraštinės, apimančios stačią kampą, kvadratas yra lygus kvadratams tose pusėse, kurios apima stačią kampą."
Kaip matote, įvairiose šalyse ir skirtingomis kalbomis yra skirtingos žinomos teoremos formulavimo versijos. Skirtingu laiku ir skirtingomis kalbomis sukurti jie atspindi vieno matematinio modelio esmę, kurio įrodymas taip pat turi keletą galimybių.
Penki būdai įrodyti Pitagoro teoremą
senovės kinų įrodymas
Senovės kinų piešinyje keturi vienodi stačiakampiai trikampiai su kojomis a, b ir hipotenuze c yra sukrauti taip, kad jų išorinis kontūras sudarytų kvadratą, kurio kraštinė a + b, o vidinis – kvadratą su kraštine c, pastatytą ant hipotenuzė
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
J. Gardfieldo įrodymas (1882)
Išdėliokime du vienodus stačiakampius trikampius taip, kad vieno iš jų kojelė būtų kito tęsinys.
Nagrinėjamos trapecijos plotas randamas kaip pusės pagrindų sumos ir aukščio sandauga
Kita vertus, trapecijos plotas yra lygus gautų trikampių plotų sumai:
Sulyginę šias išraiškas, gauname:
Įrodymas paprastas
Šis įrodymas gaunamas paprasčiausiu lygiašonio stačiojo trikampio atveju.
Ko gero, teorema prasidėjo nuo jo.
Iš tiesų, tereikia pažvelgti į lygiašonių stačiakampių trikampių plyteles, kad pamatytumėte, ar teorema yra teisinga.
Pavyzdžiui, trikampiui ABC: kvadrate, pastatytame ant hipotenuzės AC, yra 4 pradiniai trikampiai, o kvadratuose, pastatytuose ant kojų, yra du. Teorema įrodyta.
Senovės induistų įrodymas
Kvadratas su kraštine (a + b) gali būti padalintas į dalis, kaip parodyta pav. 12. a, arba kaip pav. 12b. Akivaizdu, kad abiejuose paveiksluose 1, 2, 3, 4 dalys yra vienodos. O jei iš lygiųjų (plotų) atimti lygūs, tai liks lygūs, t.y. c2 = a2 + b2.
Euklido įrodymas
Du tūkstantmečius labiausiai paplitęs buvo Pitagoro teoremos, kurią išrado Euklidas, įrodymas. Jis įtrauktas į garsiąją jo knygą „Pradžia“.
Euklidas nuleido aukštį BH nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės ir įrodė, kad jo tęsinys padalija ant hipotenuzos užpildytą kvadratą į du stačiakampius, kurių plotai lygūs atitinkamų kvadratų, pastatytų ant kojų, plotams.
Šios teoremos įrodyme panaudotas piešinys juokais vadinamas „Pitagoro kelnėmis“. Ilgą laiką jis buvo laikomas vienu iš matematinio mokslo simbolių.
Pitagoro teoremos taikymas
Pitagoro teoremos reikšmė slypi tame, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų ir išspręsti daugybę problemų. Be to, Pitagoro teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinė reikšmė yra ta, kad pagal juos galima rasti atkarpų ilgius nematuojant pačių atkarpų. Tai tarsi atveria kelią iš tiesios linijos į plokštumą, iš plokštumos į tūrinę erdvę ir toliau. Būtent dėl šios priežasties Pitagoro teorema yra tokia svarbi žmonijai, kuri siekia atrasti daugiau dimensijų ir sukurti šių dimensijų technologijas.
Išvada
Pitagoro teorema yra tokia garsi, kad sunku įsivaizduoti žmogų, kuris apie tai negirdėjo. Sužinojau, kad yra keletas būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Išstudijavau daugybę istorinių ir matematinių šaltinių, įskaitant informaciją internete, ir supratau, kad Pitagoro teorema įdomi ne tik savo istorija, bet ir tuo, kad ji užima svarbią vietą gyvenime ir moksle. Tai liudija įvairios mano šiame darbe pateiktos šios teoremos teksto interpretacijos ir jos įrodinėjimo būdai.
Taigi, Pitagoro teorema yra viena pagrindinių ir, galima sakyti, svarbiausių geometrijos teoremų. Jo reikšmė slypi tame, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Pitagoro teorema nuostabi ir tuo, kad pati savaime ji nėra visiškai akivaizdi. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio savybes galima pamatyti tiesiai brėžinyje. Bet kad ir kiek žiūrėtumėte į stačiakampį trikampį, niekada nepastebėsite, kad tarp jo kraštinių yra paprastas ryšys: c2 = a2 + b2. Todėl tam įrodyti dažnai pasitelkiama vizualizacija. Pitagoro nuopelnas buvo tas, kad jis pateikė išsamų šios teoremos mokslinį įrodymą. Įdomi pati mokslininko asmenybė, kurios atminimą neatsitiktinai išsaugo ši teorema. Pitagoras – nuostabus kalbėtojas, mokytojas ir auklėtojas, savo mokyklos organizatorius, orientuotas į muzikos ir skaičių harmoniją, gėrį ir teisingumą, žinias ir sveiką gyvenimo būdą. Jis gali būti pavyzdys mums, tolimiems palikuonims.
Bibliografinė nuoroda
Tumanova S.V. KELI BŪDAI ĮRODYTI PITAGORO TEOREMĄ // Pradėkite nuo mokslo. - 2016. - Nr. 2. - P. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (prisijungimo data: 2020-01-10).
Pitagoro teorema- viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatančių ryšį
tarp stačiojo trikampio kraštinių.
Manoma, kad tai įrodė graikų matematikas Pitagoras, kurio vardu jis ir pavadintas.
Geometrinė Pitagoro teoremos formuluotė.
Iš pradžių teorema buvo suformuluota taip:
Stačiakampiame trikampyje ant hipotenuzos pastatyto kvadrato plotas yra lygus kvadratų plotų sumai,
pastatytas ant kateterių.
Pitagoro teoremos algebrinė formuluotė.
Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų ilgių kvadratų sumai.
Tai yra, reiškiantis trikampio hipotenuzės ilgį c, o kojų ilgiai per a ir b:
Abi formulės Pitagoro teoremos yra lygiaverčiai, tačiau antroji formuluotė yra elementaresnė, tai nėra
reikalauja ploto sampratos. Tai yra, antrąjį teiginį galima patikrinti nieko nežinant apie sritį ir
matuojant tik stačiojo trikampio kraštinių ilgius.
Atvirkštinė Pitagoro teorema.
Jei trikampio vienos kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tada
trikampis yra stačiakampis.
Arba, kitaip tariant:
Bet kuriam teigiamų skaičių trigubui a, b ir c, toks
yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuzė c.
Lygiašonio trikampio Pitagoro teorema.
Lygiakraščio trikampio Pitagoro teorema.
Pitagoro teoremos įrodymai.
Šiuo metu mokslinėje literatūroje yra užfiksuoti 367 šios teoremos įrodymai. Tikriausiai teorema
Pitagoras yra vienintelė teorema, turinti tokį įspūdingą įrodymų skaičių. Tokia įvairovė
galima paaiškinti tik pagrindine teoremos reikšme geometrijai.
Žinoma, konceptualiai visas jas galima suskirstyti į nedidelį skaičių klasių. Garsiausios iš jų:
įrodymas ploto metodas, aksiominis ir egzotiškų įrodymų(pavyzdžiui,
naudojant diferencialines lygtis).
1. Pitagoro teoremos įrodymas panašių trikampių atžvilgiu.
Šis algebrinės formuluotės įrodymas yra paprasčiausias iš sukonstruotų įrodymų
tiesiai iš aksiomų. Visų pirma, jame nenaudojama figūros ploto sąvoka.
Leisti ABC yra stačiakampis trikampis C. Nubrėžkime aukštį iš C ir žymėti
per jo pamatą H.
Trikampis ACH panašus į trikampį AB C ant dviejų kampų. Lygiai taip pat ir trikampis CBH panašus ABC.
Įvesdami užrašą:
mes gauname:
,
kas atitinka -
Sulenkęs a 2 ir b 2, gauname:
arba , kuris turėjo būti įrodytas.
2. Pitagoro teoremos įrodymas ploto metodu.
Šie įrodymai, nepaisant akivaizdaus jų paprastumo, nėra tokie paprasti. Visi jie
naudokite srities savybes, kurių įrodymas yra sudėtingesnis nei pačios Pitagoro teoremos įrodymas.
- Įrodymas naudojant lygiavertį papildymą.
Išdėstykite keturis vienodus stačiakampius
trikampis, kaip parodyta paveikslėlyje
Dešinėje.
Keturkampis su šonais c- kvadratas,
kadangi dviejų smailiųjų kampų suma yra 90°, ir
išvystytas kampas yra 180°.
Visos figūros plotas yra, viena vertus,
kvadrato su kraštine plotas ( a+b), ir, kita vertus, keturių trikampių plotų suma ir
Q.E.D.
3. Pitagoro teoremos įrodymas be galo mažu metodu.
Atsižvelgiant į brėžinį, parodytą paveikslėlyje, ir
stebint, kaip keičiasi pusėa, mes galime
parašykite tokį ryšį su begaliniu
mažas šoniniai prieaugiaiSu ir a(naudojant panašumą
trikampiai):
Naudodami kintamųjų atskyrimo metodą, randame:
Bendresnė hipotenuzės keitimo išraiška, kai auga abi kojos:
Integravę šią lygtį ir naudodami pradines sąlygas, gauname:
Taigi gauname norimą atsakymą:
Kaip nesunku pastebėti, kvadratinė priklausomybė galutinėje formulėje atsiranda dėl tiesinės
proporcingumas tarp trikampio kraštinių ir prieaugių, o suma yra susijusi su nepriklausomu
įnašai iš skirtingų kojų prieaugio.
Paprastesnį įrodymą galima gauti, jei manome, kad viena iš kojų nepatiria prieaugio
(šiuo atveju koja b). Tada integravimo konstantai gauname:
