Žodinis kvadratinių lygčių sprendimas ir Vietos teorema. Vietos teorema kvadratinėms ir kitoms lygtims Vietos teoremos taikymas
Šioje paskaitoje susipažinsime su kurioziškais kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų ryšiais. Šiuos ryšius pirmasis atrado prancūzų matematikas Francois Viet (1540-1603).
Pavyzdžiui, lygčiai Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, neradę jos šaknų, naudodamiesi Vieta teorema galite iš karto pasakyti, kad šaknų suma yra , o šaknų sandauga yra
y. - 2. O lygčiai x 2 - 6x + 8 \u003d 0 darome išvadą: šaknų suma yra 6, šaknų sandauga yra 8; beje, nesunku atspėti, kam lygios šaknys: 4 ir 2.
Vietos teoremos įrodymas. Kvadratinės lygties ax 2 + bx + c \u003d 0 šaknys x 1 ir x 2 randamos pagal formules
Kur D \u003d b 2 - 4ac yra lygties diskriminantas. Šių šaknų klojimas
mes gauname
Dabar apskaičiuojame sandaugą iš šaknų x 1 ir x 2 Turime
Antrasis ryšys įrodytas:
komentuoti.
Vietos teorema galioja ir tuo atveju, kai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį (t.y. kai D \u003d 0), tiesiog šiuo atveju laikoma, kad lygtis turi dvi identiškas šaknis, kurioms taikomi aukščiau pateikti ryšiai.
Sumažintos kvadratinės lygties x 2 + px + q \u003d 0 įrodyti ryšiai įgauna ypač paprastą formą. Šiuo atveju gauname:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
tie. duotosios kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.
Naudojant Vieta teoremą, taip pat galima gauti kitus ryšius tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų. Pavyzdžiui, tegul x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 + px + q = 0 šaknys.
Tačiau pagrindinis Vietos teoremos tikslas nėra tai, kad ji išreiškia tam tikrus ryšius tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų. Daug svarbiau yra tai, kad Vietos teoremos pagalba išvedama kvadratinio trinalio faktorinavimo formulė, be kurios neapsieisime ir ateityje.
Įrodymas. Mes turime
1 pavyzdys. Padalinkite kvadratinį trinarį koeficientą 3x 2 - 10x + 3.
Sprendimas. Išsprendę lygtį Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, randame kvadratinio trinalio Zx 2 - 10x + 3 šaknis: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Naudodami 2 teoremą gauname
Tikslinga vietoj to parašyti Zx - 1. Tada pagaliau gauname Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Atkreipkite dėmesį, kad nurodytą kvadratinį trinarį galima apskaičiuoti nenaudojant 2 teoremos, naudojant grupavimo metodą:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Tačiau, kaip matote, naudojant šį metodą sėkmė priklauso nuo to, ar pavyks rasti sėkmingą grupavimą, ar ne, o naudojant pirmąjį metodą sėkmė yra garantuota.
1 pavyzdys. Sumažinti frakciją
Sprendimas. Iš lygties 2x 2 + 5x + 2 = 0 randame x 1 = - 2,
Iš lygties x2 - 4x - 12 = 0 randame x 1 = 6, x 2 = -2. Štai kodėl
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Dabar sumažinkime duotąją trupmeną:
3 pavyzdys. Faktorizuoti išraiškas:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Sprendimas.a) Įvedame naują kintamąjį y = x 2 . Tai leis mums perrašyti pateiktą išraišką kvadratinio trinario pavidalu kintamojo y atžvilgiu, būtent forma y 2 + bу + 6.
Išsprendę lygtį y 2 + bу + 6 \u003d 0, randame kvadratinio trinalio y 2 + 5y + 6 šaknis: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Dabar naudojame 2 teoremą; mes gauname
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Belieka atsiminti, kad y \u003d x 2, t.y., grįžti į pateiktą išraišką. Taigi,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Įveskime naują kintamąjį y = . Tai leis mums perrašyti pateiktą išraišką kvadratinio trinalio forma kintamojo y atžvilgiu, būtent forma 2y 2 + y - 3. Išsprendę lygtį
2y 2 + y - 3 = 0, raskite kvadratinio trinalio 2y 2 + y - 3 šaknis:
y 1 = 1, y 2 = . Be to, naudodamiesi 2 teorema, gauname:
Belieka atsiminti, kad y \u003d, t.y., grįžti į pateiktą išraišką. Taigi,
Skyriaus pabaigoje kai kurie argumentai, vėlgi susiję su Vieta teorema, tiksliau, su priešingu teiginiu:
jei skaičiai x 1, x 2 yra tokie, kad x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, tai šie skaičiai yra lygties šaknys
Naudodamiesi šiuo teiginiu, galite žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių, nenaudodami sudėtingų šaknies formulių, taip pat sudaryti kvadratines lygtis su nurodytomis šaknimis. Pateikime pavyzdžių.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Čia x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Nesunku atspėti, kad x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Čia x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Nesunku atspėti, kad x 1 = -5, x 2 = -6.
Atkreipkite dėmesį, kad jei lygties laisvasis narys yra teigiamas skaičius, tada abi šaknys yra teigiamos arba neigiamos; į tai svarbu atsižvelgti renkantis šaknis.
3) x 2 + x - 12 = 0. Čia x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Nesunku atspėti, kad x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Atkreipkite dėmesį: jei lygties laisvasis narys yra neigiamas skaičius, tada šaknys skiriasi ženklu; į tai svarbu atsižvelgti renkantis šaknis.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Nesunku pastebėti, kad x = 1 tenkina lygtį, t.y. x 1 \u003d 1 - lygties šaknis. Kadangi x 1 x 2 \u003d - ir x 1 \u003d 1, gauname x 2 \u003d -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Čia x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Jei atkreipsite dėmesį į tai, kad 2830 = 283. 10 ir 293 \u003d 283 + 10, tada tampa aišku, kad x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (dabar įsivaizduokite, kokius skaičiavimus reikėtų atlikti norint išspręsti šią kvadratinę lygtį naudojant standartines formules).
6) Kvadratinę lygtį sudarome taip, kad jos šaknys būtų skaičiai x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Paprastai tokiais atvejais jie sudaro redukuotą kvadratinę lygtį x 2 + px + q \u003d 0.
Turime x 1 + x 2 \u003d -p, todėl 8 - 4 \u003d -p, tai yra, p \u003d -4. Toliau x 1 x 2 = q, t.y. 8"(-4) = q, iš kur gauname q = -32. Taigi, p \u003d -4, q \u003d -32, o tai reiškia, kad norima kvadratinė lygtis yra x 2 -4x-32 \u003d 0.
Bet kuri pilna kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = 0 galima atvesti į galvą x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jei pirmiausia kiekvieną narį padalinsime iš koeficiento a prieš x2. O jei įvesime naują žymėjimą (b/a) = p ir (c/a) = q, tada turėsime lygtį x 2 + px + q = 0, kuris matematikoje vadinamas redukuota kvadratinė lygtis.
Sumažintos kvadratinės lygties ir koeficientų šaknys p ir q tarpusavyje susiję. Tai patvirtinta Vietos teorema, pavadintas XVI amžiaus pabaigoje gyvenusio prancūzų matematiko Francois Vietos vardu.
Teorema. Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 + px + q = 0 lygus antrajam koeficientui p, paimtas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga – į laisvąjį terminą q.
Šiuos santykius rašome tokia forma:
Leisti x 1 ir x2įvairios redukuotos lygties šaknys x 2 + px + q = 0. Pagal Vietos teoremą x1 + x2 = -p ir x 1 x 2 = q.
Norėdami tai įrodyti, pakeiskime kiekvieną iš šaknų x 1 ir x 2 į lygtį. Gauname dvi tikras lygybes:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Iš pirmosios lygybės atimkite antrąją. Mes gauname: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Išplečiame pirmuosius du terminus pagal kvadratų skirtumo formulę:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
Pagal sąlygą šaknys x 1 ir x 2 skiriasi. Todėl lygybę galime sumažinti (x 1 - x 2) ≠ 0 ir išreikšti p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Pirmoji lygybė įrodyta.
Norėdami įrodyti antrąją lygybę, pakeičiame pirmąją lygtį
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 vietoj koeficiento p, jo lygus skaičius yra (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Transformuodami kairę lygties pusę, gauname:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, kurį reikėjo įrodyti.
Vietos teorema yra gera, nes net ir nežinodami kvadratinės lygties šaknų, galime apskaičiuoti jų sumą ir sandaugą .
Vietos teorema padeda nustatyti duotosios kvadratinės lygties sveikąsias šaknis. Tačiau daugeliui studentų tai sukelia sunkumų dėl to, kad jie nežino aiškaus veiksmų algoritmo, ypač jei lygties šaknys turi skirtingus ženklus.
Taigi, duota kvadratinė lygtis turi formą x 2 + px + q \u003d 0, kur x 1 ir x 2 yra jos šaknys. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -p ir x 1 x 2 = q.
Galime padaryti tokią išvadą.
Jei lygtyje prieš paskutinįjį narį yra minuso ženklas, tada šaknys x 1 ir x 2 turi skirtingus ženklus. Be to, mažesnės šaknies ženklas yra toks pat kaip ir antrojo lygties koeficiento ženklas.
Atsižvelgiant į tai, kad sudėjus skaičius su skirtingais ženklais, jų moduliai atimami, o didesnio skaičiaus modulyje ženklas dedamas prieš rezultatą, turėtumėte elgtis taip:
- nustatyti tokius skaičiaus q veiksnius, kad jų skirtumas būtų lygus skaičiui p;
- antrojo lygties koeficiento ženklą pastatykite prieš mažesnįjį iš gautų skaičių; antroji šaknis turės priešingą ženklą.
Pažvelkime į keletą pavyzdžių.
1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį x 2 - 2x - 15 = 0.
Sprendimas.
Pabandykime išspręsti šią lygtį naudodamiesi aukščiau pasiūlytomis taisyklėmis. Tada galime tvirtai pasakyti, kad ši lygtis turės dvi skirtingas šaknis, nes D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Dabar iš visų skaičiaus 15 faktorių (1 ir 15, 3 ir 5) atrenkame tuos, kurių skirtumas lygus 2. Tai bus skaičiai 3 ir 5. Prieš mažesnį skaičių dedame minuso ženklą , t.y. antrojo lygties koeficiento ženklas. Taigi gauname lygties x 1 \u003d -3 ir x 2 \u003d 5 šaknis.
Atsakymas. x 1 = -3 ir x 2 = 5.
2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį x 2 + 5x - 6 = 0.
Sprendimas.
Patikrinkime, ar ši lygtis turi šaknis. Norėdami tai padaryti, randame diskriminantą:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Lygtis turi dvi skirtingas šaknis.
Galimi skaičiaus 6 koeficientai yra 2 ir 3, 6 ir 1. Skirtumas yra 5, kai pora yra 6 ir 1. Šiame pavyzdyje antrojo nario koeficientas turi pliuso ženklą, todėl mažesnis skaičius turės tas pats ženklas. Tačiau prieš antrąjį skaičių bus minuso ženklas.
Atsakymas: x 1 = -6 ir x 2 = 1.
Vietos teoremą taip pat galima parašyti visai kvadratinei lygčiai. Taigi, jei kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = 0 turi šaknis x 1 ir x 2 , tada jos tenkina lygybes
x 1 + x 2 = -(b/a) ir x 1 x 2 = (c/a). Tačiau šios teoremos taikymas pilnoje kvadratinėje lygtyje yra gana problemiškas, nes jei yra šaknų, bent viena iš jų yra trupmeninis skaičius. O dirbti su frakcijų atranka yra gana sunku. Bet vis tiek yra išeitis.
Panagrinėkime pilną kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0. Jos kairiąją ir dešiniąją puses padauginkite iš koeficiento a. Lygtis bus tokia: (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Dabar įveskime naują kintamąjį, pavyzdžiui, t = ax.
Tokiu atveju gauta lygtis pavirs redukuota kvadratine lygtimi, kurios forma yra t 2 + bt + ac = 0, kurios šaknis t 1 ir t 2 (jei yra) galima nustatyti Vieta teorema.
Šiuo atveju pradinės kvadratinės lygties šaknys bus
x 1 = (t 1 / a) ir x 2 = (t 2 / a).
3 pavyzdys.
Išspręskite lygtį 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Sprendimas.
Sudarome pagalbinę lygtį. Padauginkime kiekvieną lygties narį iš 15:
15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.
Keičiame t = 15x. Mes turime:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Pagal Vietos teoremą šios lygties šaknys bus t 1 = 5 ir t 2 = 6.
Grįžtame prie pakeitimo t = 15x:
5 = 15x arba 6 = 15x. Taigi x 1 = 5/15 ir x 2 = 6/15. Sumažiname ir gauname galutinį atsakymą: x 1 = 1/3 ir x 2 = 2/5.
Atsakymas. x 1 = 1/3 ir x 2 = 2/5.
Norėdami įsisavinti kvadratinių lygčių sprendimą, naudodami Vieta teoremą, studentai turi kuo daugiau praktikuotis. Tai kaip tik ir yra sėkmės paslaptis.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų, be šaknies formulių, yra ir kitų naudingų ryšių, kuriuos pateikia Vietos teorema. Šiame straipsnyje pateiksime kvadratinės lygties Vietos teoremos formuluotę ir įrodymą. Toliau nagrinėjame teoremą, priešingą Vietos teoremai. Po to analizuosime charakteringiausių pavyzdžių sprendinius. Galiausiai užrašome Vietos formules, kurios apibrėžia ryšį tarp tikrųjų šaknų algebrinė lygtis n laipsnis ir jo koeficientai.
Puslapio naršymas.
Vietos teorema, formuluotė, įrodymas
Iš kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 formos šaknų formulių, kur D=b 2 −4 a c , ryšiai x 1 +x 2 = -b/a, x 1 x 2 = c/a . Šie rezultatai patvirtinami Vietos teorema:
Teorema.
Jeigu x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 šaknys, tada šaknų suma lygi koeficientų b ir a santykiui, paimtam su priešingu ženklu, ir sandauga šaknys yra lygios koeficientų c ir a santykiui, tai yra, .
Įrodymas.
Vietos teoremą įrodysime pagal tokią schemą: kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą sudarysime naudodami žinomas šaknų formules, tada gautas išraiškas transformuosime ir įsitikinsime, kad jos lygios −b /a ir c/a atitinkamai.
Pradėkime nuo šaknų sumos, sudarykime ją. Dabar mes suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, turime. Gautos trupmenos skaitiklyje , po kurio : . Galiausiai po 2 gauname . Tai įrodo pirmąjį Vietos teoremos ryšį su kvadratinės lygties šaknų suma. Pereikime prie antrojo.
Sudarome kvadratinės lygties šaknų sandaugą:. Pagal trupmenų daugybos taisyklę, paskutinė sandauga gali būti rašoma kaip. Dabar skliaustą padauginame iš skaitiklio skliausto, tačiau šį gaminį sutraukti greičiau kvadratų formulės skirtumo, Taigi. Tada, prisimindami , atliekame kitą perėjimą . O kadangi formulė D=b 2 −4 a·c atitinka kvadratinės lygties diskriminantą, tai b 2 −4·a·c vietoj D gali būti pakeista paskutine trupmena, gauname . Atidarę skliaustus ir sumažinę panašius terminus, gauname trupmeną , kurią sumažinus 4·a gaunama . Tai įrodo antrąjį Vietos teoremos santykį su šaknų sandauga.
Jei praleisime paaiškinimus, Vieta teoremos įrodymas bus glaustas:
,
.
Belieka tik pažymėti, kad kai diskriminantas yra lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Tačiau jei darysime prielaidą, kad šiuo atveju lygtis turi dvi identiškas šaknis, tada galioja ir Vieta teoremos lygybės. Iš tiesų, kai D=0 kvadratinės lygties šaknis yra , tada ir , o kadangi D=0, tai yra b 2 −4·a·c=0 , iš kur b 2 =4·a·c , tada .
Praktikoje Vietos teorema dažniausiai naudojama redukcinei kvadratinei lygčiai (kurios didžiausias koeficientas a lygus 1 ), kurios formos x 2 +p·x+q=0 . Kartais jis suformuluojamas tik tokio tipo kvadratinėms lygtims, o tai neriboja bendrumo, nes bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi, padalijus abi jos dalis iš nulinio skaičiaus a. Čia yra atitinkama Vietos teoremos formuluotė:
Teorema.
Sumažintos kvadratinės lygties x 2 + p x + q \u003d 0 šaknų suma yra lygi koeficientui x, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys, ty x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Teorema atvirkštinė Vietos teoremai
Antroji Vieta teoremos formuluotė, pateikta ankstesnėje pastraipoje, rodo, kad jei x 1 ir x 2 yra redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys, tada santykiai x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. Kita vertus, iš užrašytų ryšių x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q išplaukia, kad x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. Kitaip tariant, teiginys, priešingas Vietos teoremai, yra teisingas. Suformuluojame jį teoremos forma ir įrodome.
Teorema.
Jei skaičiai x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 +x 2 =−p ir x 1 x 2 =q, tai x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. .
Įrodymas.
Pakeitus koeficientus p ir q jų išraiškos lygtyje x 2 +p x+q=0 per x 1 ir x 2, ji paverčiama lygiaverte lygtimi.
Gautoje lygtyje vietoj x pakeičiame skaičių x 1, gauname lygybę x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kuri bet kuriai x 1 ir x 2 yra teisinga skaitinė lygybė 0=0, nes x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Todėl x 1 yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, o tai reiškia, kad x 1 yra lygiavertės lygties x 2 +p x+q=0 šaknis.
Jei lygtyje x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 vietoj x pakeiskite skaičių x 2, tada gausime lygybę x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Tai teisinga lygtis, nes x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Todėl x 2 taip pat yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, taigi ir lygtys x 2 +p x+q=0 .
Tai užbaigia teoremos, priešingos Vietos teoremai, įrodymą.
Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai
Atėjo laikas pakalbėti apie Vietos teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinį taikymą. Šiame poskyryje panagrinėsime kelių tipiškiausių pavyzdžių sprendimus.
Pradedame taikydami teoremą, atvirkštinę Vietos teoremai. Patogu jį naudoti norint patikrinti, ar du skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tokiu atveju apskaičiuojama jų suma ir skirtumas, po to tikrinamas ryšių pagrįstumas. Jei tenkinami abu šie ryšiai, tai remiantis Vietos teorema atvirkštine teorema, daroma išvada, kad šie skaičiai yra lygties šaknys. Jei bent vienas iš santykių netenkinamas, tai šie skaičiai nėra kvadratinės lygties šaknys. Šis metodas gali būti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis rastoms šaknims patikrinti.
Pavyzdys.
Kuri iš skaičių porų 1) x 1 =−5, x 2 =3 arba 2) arba 3) yra kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 šaknų pora?
Sprendimas.
Duotos kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 koeficientai yra a=4 , b=−16 , c=9 . Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi −b/a, tai yra 16/4=4, o šaknų sandauga turi būti lygi c/a, tai yra 9 /4.
Dabar apskaičiuokime skaičių sumą ir sandaugą kiekvienoje iš trijų nurodytų porų ir palyginkime jas su ką tik gautomis reikšmėmis.
Pirmuoju atveju turime x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Gauta reikšmė skiriasi nuo 4, todėl tolesnio patikrinimo atlikti negalima, tačiau pagal teoremą, atvirkštinę Vietos teoremą, galime iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra duotosios kvadratinės lygties šaknų pora. .
Pereikime prie antrojo atvejo. Tai yra, pirmoji sąlyga yra įvykdyta. Patikriname antrąją sąlygą: , gauta reikšmė skiriasi nuo 9/4 . Todėl antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknų pora.
Lieka paskutinis atvejis. Čia ir. Tenkinamos abi sąlygos, todėl šie skaičiai x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.
Atsakymas:
Teorema, atvirkštinė Vietos teorema, gali būti naudojama praktiškai kvadratinės lygties šaknims parinkti. Paprastai parenkamos sveikosios duotųjų kvadratinių lygčių šaknys su sveikaisiais koeficientais, nes kitais atvejais tai padaryti gana sunku. Tuo pačiu metu jie naudojasi tuo, kad jei dviejų skaičių suma yra lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga yra lygi laisvajam nariui, tada šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys. Panagrinėkime tai pavyzdžiu.
Paimkime kvadratinę lygtį x 2 −5 x+6=0 . Kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų šios lygties šaknys, turi būti įvykdytos dvi lygybės x 1 +x 2 \u003d 5 ir x 1 x 2 \u003d 6. Belieka pasirinkti tokius skaičius. Šiuo atveju tai padaryti gana paprasta: tokie skaičiai yra 2 ir 3, nes 2+3=5 ir 2 3=6 . Taigi 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.
Vietos teoremai atvirkštinė teorema ypač patogi norint rasti antrąją redukuotos kvadratinės lygties šaknį, kai viena iš šaknų jau žinoma arba akivaizdi. Šiuo atveju antroji šaknis randama iš bet kurio ryšio.
Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 512 x 2 −509 x−3=0 . Čia nesunku pastebėti, kad vienetas yra lygties šaknis, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi x 1 = 1 . Antrąją šaknį x 2 galima rasti, pavyzdžiui, iš santykio x 1 x 2 =c/a. Turime 1 x 2 = −3/512 , iš kur x 2 = −3/512 . Taigi apibrėžėme abi kvadratinės lygties šaknis: 1 ir −3/512.
Aišku, kad šaknis pasirinkti tikslinga tik pačiais paprasčiausiais atvejais. Kitais atvejais, norėdami rasti šaknis, per diskriminantą galite pritaikyti kvadratinės lygties šaknų formules.
Kitas praktinis teoremos taikymas, atvirkštinė Vietos teorema, yra kvadratinių lygčių sudarymas duotoms šaknims x 1 ir x 2. Tam pakanka apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia x koeficientą su priešingu duotosios kvadratinės lygties ženklu, ir šaknų sandaugą, kuri suteikia laisvąjį terminą.
Pavyzdys.
Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai –11 ir 23.
Sprendimas.
Pažymėkite x 1 =−11 ir x 2 =23 . Apskaičiuojame šių skaičių sumą ir sandaugą: x 1 + x 2 \u003d 12 ir x 1 x 2 \u003d −253. Todėl šie skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys su antruoju koeficientu -12 ir laisvuoju nariu -253. Tai yra, x 2 −12·x−253=0 yra norima lygtis.
Atsakymas:
x 2 −12 x −253=0 .
Vietos teorema labai dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Kaip Vietos teorema susijusi su redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknų ženklais? Štai du svarbūs teiginiai:
- Jei laisvasis narys q yra teigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tada jie abu yra teigiami arba abu yra neigiami.
- Jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tai jų ženklai yra skirtingi, kitaip tariant, viena šaknis yra teigiama, o kita – neigiama.
Šie teiginiai išplaukia iš formulės x 1 x 2 =q, taip pat iš teigiamų, neigiamų skaičių ir skaičių su skirtingais ženklais dauginimo taisyklių. Apsvarstykite jų taikymo pavyzdžius.
Pavyzdys.
R yra teigiamas. Pagal diskriminanto formulę randame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, raiškos r 2 reikšmę. +8 yra teigiamas bet kuriam realiam r , taigi D>0 bet kuriam realiam r . Todėl pradinė kvadratinė lygtis turi dvi šaknis bet kurioms tikrosioms parametro r reikšmėms.
Dabar išsiaiškinkime, kada šaknys turi skirtingus ženklus. Jei šaknų ženklai yra skirtingi, tai jų sandauga yra neigiama, o pagal Vietos teoremą duotosios kvadratinės lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Todėl mus domina tos r reikšmės, kurių laisvasis terminas r−1 yra neigiamas. Taigi, norėdami rasti mus dominančias r reikšmes, turime išspręsti tiesinę nelygybę r−1<0 , откуда находим r<1 .
Atsakymas:
adresu r<1 .
Vietos formulės
Aukščiau kalbėjome apie Vietos teoremą kvadratinei lygčiai ir išanalizavome jos teigiamus ryšius. Tačiau yra formulių, jungiančių tikrąsias šaknis ir koeficientus ne tik kvadratinių lygčių, bet ir kubinių lygčių, keturkampių lygčių ir apskritai, algebrines lygtis laipsnis n. Jie vadinami Vietos formulės.
Formos n laipsnio algebrinei lygčiai rašome Vietos formules, tuo tarpu darome prielaidą, kad ji turi n realių šaknų x 1, x 2, ..., x n (tarp jų gali būti tokios pačios): 
Leidžia gauti Vieta formules daugianario faktorizavimo teorema, taip pat lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę. Taigi daugianaris ir jo plėtimas į formos tiesinius veiksnius yra lygūs. Atidarę skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginę atitinkamus koeficientus, gauname Vietos formules.
Visų pirma, kai n = 2, mes jau žinome kvadratinės lygties Vieta formules.
Kubinei lygčiai Vietos formulės turi formą 
Belieka tik pastebėti, kad kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamosios elementarios simetriniai daugianariai.
Bibliografija.
- Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Kolyaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; red. A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Vienas iš kvadratinės lygties sprendimo būdų yra taikymas VIETA formulės, kuris buvo pavadintas FRANCOIS VIETE vardu.
Jis buvo garsus teisininkas ir XVI amžiuje tarnavo pas Prancūzijos karalių. Laisvalaikiu studijavo astronomiją ir matematiką. Jis nustatė ryšį tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų.
Formulės pranašumai:
1 . Taikydami formulę galite greitai rasti sprendimą. Nes į kvadratą nereikia įvesti antrojo koeficiento, tada iš jo atimti 4ac, rasti diskriminantą, pakeisti jo reikšmę į šaknų radimo formulę.
2 . Be sprendimo galite nustatyti šaknų požymius, pasiimti šaknų vertes.
3 . Išsprendus dviejų įrašų sistemą, nesunku rasti ir pačias šaknis. Aukščiau pateiktoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrojo koeficiento reikšmei su minuso ženklu. Aukščiau pateiktoje kvadratinėje lygtyje esančių šaknų sandauga yra lygi trečiojo koeficiento reikšmei.
4 . Pagal pateiktas šaknis parašykite kvadratinę lygtį, tai yra išspręskite atvirkštinę problemą. Pavyzdžiui, šis metodas naudojamas sprendžiant teorinės mechanikos uždavinius.
5 . Patogu taikyti formulę, kai pirmaujantis koeficientas lygus vienetui.
Trūkumai:
1
. Formulė nėra universali.
Vietos teorema 8 klasė
Formulė
Jei x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties x 2 + px + q \u003d 0 šaknys, tada:
Pavyzdžiai
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - lygties šaknys x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Atvirkštinė teorema
Formulė
Jei skaičiai x 1 , x 2 , p, q yra sujungti tokiomis sąlygomis:
Tada x 1 ir x 2 yra lygties x 2 + px + q = 0 šaknys.
Pavyzdys
Sudarykime kvadratinę lygtį pagal jos šaknis:
X 1 \u003d 2 -? 3 ir x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Norima lygtis yra tokia: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Vietos formulė aukštesniųjų laipsnių polinomams (lygtims).
Vietos išvestos kvadratinių lygčių formulės galioja ir aukštesnio laipsnio daugianariams.
Tegul daugianario
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Turi n skirtingų šaknų x 1 , x 2 …, x n .
Šiuo atveju jis turi formos faktorizaciją:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)
Abi šios lygybės dalis padalinkime iš 0 ≠ 0 ir išplėskime skliaustus pirmoje dalyje. Gauname lygybę:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Bet du daugianariai yra identiški tada ir tik tada, kai koeficientai, esant tokiems pat laipsniams, yra lygūs. Iš to išplaukia, kad lygybė
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Pavyzdžiui, trečiojo laipsnio daugianariams
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Mes turime tapatybes
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Kalbant apie kvadratines lygtis, ši formulė vadinama Vietos formulėmis. Šių formulių kairiosios dalys yra simetriški daugianariai iš duotosios lygties šaknų x 1 , x 2 ..., x n, o dešiniosios dalys išreiškiamos daugianario koeficientu.
2.6 Lygtys, redukuojamos į kvadratus (bikvadratinės)
Ketvirtojo laipsnio lygtys redukuojamos į kvadratines lygtis:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
vadinamas bikvadratiniu, be to, a ≠ 0.
Pakanka į šią lygtį įdėti x 2 \u003d y, todėl
ay² + by + c = 0
raskite gautos kvadratinės lygties šaknis
y 1,2 = 
Norėdami iš karto rasti šaknis x 1, x 2, x 3, x 4, pakeiskite y į x ir gaukite
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Jei ketvirtojo laipsnio lygtis turi x 1, tada ji taip pat turi šaknį x 2 \u003d -x 1,
Jei yra x 3, tada x 4 \u003d - x 3. Tokios lygties šaknų suma lygi nuliui.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Lygtį pakeičiame į formulę, skirtą dvikvadratinių lygčių šaknims:
x 1,2,3,4 = 
,
žinant, kad x 1 \u003d -x 2 ir x 3 \u003d -x 4, tada:
x 3,4 = 
Atsakymas: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Bikvadratinių lygčių tyrimas
Paimkime bikvadratinę lygtį
ax 4 + bx 2 + c = 0,
kur a, b, c yra tikrieji skaičiai, o a > 0. Įvesdami pagalbinį nežinomąjį y = x², išnagrinėjame šios lygties šaknis, o rezultatus įrašome į lentelę (žr. priedą Nr. 1)
2.8 Cardano formulė
Jei naudosime šiuolaikinę simboliką, Cardano formulės išvedimas gali atrodyti taip:
x = 
Ši formulė nustato trečiojo laipsnio bendrosios lygties šaknis:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Ši formulė yra labai sudėtinga ir sudėtinga (joje yra keletas sudėtingų radikalų). Tai ne visada taikoma, nes. labai sunku užbaigti.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Įdomiausias vietas išvardinkite arba išsirinkite iš 2-3 tekstų. Taigi, atsižvelgėme į bendrąsias pasirenkamųjų kursų kūrimo ir vedimo nuostatas, į kurias bus atsižvelgta rengiant pasirenkamąjį algebros kursą 9 klasei „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“. II skyrius. Pasirenkamojo kurso „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“ vedimo metodika 1.1. Generolas...
Skaitinio skaičiavimo metodų sprendimai. Norint nustatyti lygties šaknis, nereikia išmanyti Abelio, Galois, Lie grupių teorijų ir kt., naudoti specialią matematinę terminiją: žiedus, laukus, idealus, izomorfizmus ir kt. Norint išspręsti n-ojo laipsnio algebrinę lygtį, reikia tik gebėjimo išspręsti kvadratines lygtis ir iš kompleksinio skaičiaus išskirti šaknis. Šaknis galima nustatyti naudojant...
Su fizinių dydžių matavimo vienetais MathCAD sistemoje? 11. Išsamiai apibūdinkite tekstinius, grafinius ir matematinius blokus. 2 paskaita. Tiesinės algebros uždaviniai ir diferencialinių lygčių sprendimas MathCAD aplinkoje Tiesinės algebros uždaviniuose beveik visada atsiranda būtinybė atlikti įvairias operacijas su matricomis. Matricos operatoriaus skydelis yra matematikos skydelyje. ...
