amatai

Vietos teorema kvadratinėms ir kitoms lygtims. Vieto teorema, atvirkštinė vieto formulė ir pavyzdžiai su manekenų sprendimu Vieto eliminavimo teorema

Bet kuri pilna kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = 0 galima atvesti į galvą x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jei pirmiausia kiekvieną narį padalinsime iš koeficiento a prieš x2. O jei įvesime naują žymėjimą (b/a) = p ir (c/a) = q, tada turėsime lygtį x 2 + px + q = 0, kuris matematikoje vadinamas redukuota kvadratinė lygtis.

Sumažintos kvadratinės lygties ir koeficientų šaknys p ir q tarpusavyje susiję. Tai patvirtinta Vietos teorema, pavadintas XVI amžiaus pabaigoje gyvenusio prancūzų matematiko Francois Vietos vardu.

Teorema. Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 + px + q = 0 lygus antrajam koeficientui p, paimtas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga – į laisvąjį terminą q.

Šiuos santykius rašome tokia forma:

Leisti x 1 ir x2įvairios redukuotos lygties šaknys x 2 + px + q = 0. Pagal Vietos teoremą x1 + x2 = -p ir x 1 x 2 = q.

Norėdami tai įrodyti, pakeiskime kiekvieną iš šaknų x 1 ir x 2 į lygtį. Gauname dvi tikras lygybes:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Iš pirmosios lygybės atimkite antrąją. Mes gauname:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Išplečiame pirmuosius du terminus pagal kvadratų skirtumo formulę:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

Pagal sąlygą šaknys x 1 ir x 2 skiriasi. Todėl lygybę galime sumažinti (x 1 - x 2) ≠ 0 ir išreikšti p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Pirmoji lygybė įrodyta.

Norėdami įrodyti antrąją lygybę, pakeičiame pirmąją lygtį

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 vietoj koeficiento p, jo lygus skaičius yra (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Transformuodami kairę lygties pusę, gauname:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, kurį reikėjo įrodyti.

Vietos teorema yra gera, nes net ir nežinodami kvadratinės lygties šaknų, galime apskaičiuoti jų sumą ir sandaugą .

Vietos teorema padeda nustatyti duotosios kvadratinės lygties sveikąsias šaknis. Tačiau daugeliui studentų tai sukelia sunkumų dėl to, kad jie nežino aiškaus veiksmų algoritmo, ypač jei lygties šaknys turi skirtingus ženklus.

Taigi, duota kvadratinė lygtis turi formą x 2 + px + q \u003d 0, kur x 1 ir x 2 yra jos šaknys. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -p ir x 1 x 2 = q.

Galime padaryti tokią išvadą.

Jei lygtyje prieš paskutinįjį narį yra minuso ženklas, tada šaknys x 1 ir x 2 turi skirtingus ženklus. Be to, mažesnės šaknies ženklas yra toks pat kaip ir antrojo lygties koeficiento ženklas.

Atsižvelgiant į tai, kad sudėjus skaičius su skirtingais ženklais, jų moduliai atimami, o didesnio skaičiaus modulyje ženklas dedamas prieš rezultatą, turėtumėte elgtis taip:

nustatyti tokius skaičiaus q veiksnius, kad jų skirtumas būtų lygus skaičiui p;
antrojo lygties koeficiento ženklą pastatykite prieš mažesnįjį iš gautų skaičių; antroji šaknis turės priešingą ženklą.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį x 2 - 2x - 15 = 0.

Sprendimas.

Pabandykime išspręsti šią lygtį naudodamiesi aukščiau pasiūlytomis taisyklėmis. Tada galime tvirtai pasakyti, kad ši lygtis turės dvi skirtingas šaknis, nes D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Dabar iš visų skaičiaus 15 faktorių (1 ir 15, 3 ir 5) atrenkame tuos, kurių skirtumas lygus 2. Tai bus skaičiai 3 ir 5. Prieš mažesnį skaičių dedame minuso ženklą , t.y. antrojo lygties koeficiento ženklas. Taigi gauname lygties x 1 \u003d -3 ir x 2 \u003d 5 šaknis.

Atsakymas. x 1 = -3 ir x 2 = 5.

2 pavyzdys.

Išspręskite lygtį x 2 + 5x - 6 = 0.

Sprendimas.

Patikrinkime, ar ši lygtis turi šaknis. Norėdami tai padaryti, randame diskriminantą:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Lygtis turi dvi skirtingas šaknis.

Galimi skaičiaus 6 koeficientai yra 2 ir 3, 6 ir 1. Skirtumas yra 5, kai pora yra 6 ir 1. Šiame pavyzdyje antrojo nario koeficientas turi pliuso ženklą, todėl mažesnis skaičius turės tas pats ženklas. Tačiau prieš antrąjį skaičių bus minuso ženklas.

Atsakymas: x 1 = -6 ir x 2 = 1.

Vietos teoremą taip pat galima parašyti visai kvadratinei lygčiai. Taigi, jei kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = 0 turi šaknis x 1 ir x 2 , tada jos tenkina lygybes

x 1 + x 2 = -(b/a) ir x 1 x 2 = (c/a). Tačiau šios teoremos taikymas pilnoje kvadratinėje lygtyje yra gana problemiškas, nes jei yra šaknų, bent viena iš jų yra trupmeninis skaičius. O dirbti su frakcijų atranka yra gana sunku. Bet vis tiek yra išeitis.

Panagrinėkime pilną kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0. Jos kairiąją ir dešiniąją puses padauginkite iš koeficiento a. Lygtis bus tokia: (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Dabar įveskime naują kintamąjį, pavyzdžiui, t = ax.

Tokiu atveju gauta lygtis pavirs redukuota kvadratine lygtimi, kurios forma yra t 2 + bt + ac = 0, kurios šaknis t 1 ir t 2 (jei yra) galima nustatyti Vieta teorema.

Šiuo atveju pradinės kvadratinės lygties šaknys bus

x 1 = (t 1 / a) ir x 2 = (t 2 / a).

3 pavyzdys.

Išspręskite lygtį 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Sprendimas.

Sudarome pagalbinę lygtį. Padauginkime kiekvieną lygties narį iš 15:

15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.

Keičiame t = 15x. Mes turime:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Pagal Vietos teoremą šios lygties šaknys bus t 1 = 5 ir t 2 = 6.

Grįžtame prie pakeitimo t = 15x:

5 = 15x arba 6 = 15x. Taigi x 1 = 5/15 ir x 2 = 6/15. Sumažiname ir gauname galutinį atsakymą: x 1 = 1/3 ir x 2 = 2/5.

Atsakymas. x 1 = 1/3 ir x 2 = 2/5.

Norėdami įsisavinti kvadratinių lygčių sprendimą, naudodami Vieta teoremą, studentai turi kuo daugiau praktikuotis. Tai kaip tik ir yra sėkmės paslaptis.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Vietos teorema (tiksliau, teorema, atvirkštinė Vietos teoremai) leidžia sumažinti kvadratinių lygčių sprendimo laiką. Jums tereikia žinoti, kaip juo naudotis. Kaip išmokti išspręsti kvadratines lygtis naudojant Vietos teoremą? Tai lengva, jei šiek tiek pagalvoji.

Dabar kalbėsime tik apie redukuotos kvadratinės lygties sprendimą taikant Vieta teoremą Redukuota kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje a, tai yra koeficientas prieš x², yra lygus vienetui. Neduotos kvadratinės lygtys taip pat gali būti išspręstos naudojant Vieta teoremą, tačiau ten jau bent viena iš šaknų nėra sveikasis skaičius. Juos sunkiau atspėti.

Teorema, atvirkštinė Vietos teoremai, sako: jei skaičiai x1 ir x2 yra tokie, kad

tada x1 ir x2 yra kvadratinės lygties šaknys

Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant Vietos teoremą, galimi tik 4 variantai. Jei prisimenate samprotavimo eigą, galite labai greitai išmokti rasti visas šaknis.

I. Jei q yra teigiamas skaičius,

tai reiškia, kad šaknys x1 ir x2 yra to paties ženklo skaičiai (nes tik padauginus skaičius su tais pačiais ženklais gaunamas teigiamas skaičius).

I.a. Jei -p yra teigiamas skaičius, (atitinkamai p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jei -p yra neigiamas skaičius, (atitinkamai p>0), tada abi šaknys yra neigiami skaičiai (sudėjo to paties ženklo skaičius, gavo neigiamą skaičių).

II. Jei q yra neigiamas skaičius,

tai reiškia, kad šaknys x1 ir x2 turi skirtingus ženklus (dauginant skaičius, neigiamas skaičius gaunamas tik tada, kai faktorių ženklai skiriasi). Šiuo atveju x1 + x2 jau ne suma, o skirtumas (juk sudėjus skaičius su skirtingais ženklais iš didesnio modulio atimame mažesnį). Todėl x1 + x2 rodo, kiek skiriasi šaknys x1 ir x2, tai yra, kiek viena šaknis yra daugiau už kitą (modulo).

II.a. Jei -p yra teigiamas skaičius, (t.y. p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jei -p yra neigiamas skaičius, (p>0), tada didesnė (modulio) šaknis yra neigiamas skaičius.

Apsvarstykite kvadratinių lygčių sprendimą pagal Vietos teoremą naudodami pavyzdžius.

Išspręskite pateiktą kvadratinę lygtį naudodami Vietos teoremą:

Čia q=12>0, taigi šaknys x1 ir x2 yra to paties ženklo skaičiai. Jų suma yra -p=7>0, todėl abi šaknys yra teigiami skaičiai. Mes pasirenkame sveikuosius skaičius, kurių sandauga yra 12. Tai yra 1 ir 12, 2 ir 6, 3 ir 4. Poros 3 ir 4 suma yra 7. Vadinasi, 3 ir 4 yra lygties šaknys.

Šiame pavyzdyje q=16>0, o tai reiškia, kad šaknys x1 ir x2 yra to paties ženklo skaičiai. Jų suma -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Čia q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tada didesnis skaičius yra teigiamas. Taigi šaknys yra 5 ir -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Beveik bet kurią kvadratinę lygtį \ galima konvertuoti į formą \ Tačiau tai įmanoma, jei kiekvienas narys iš pradžių yra padalintas iš koeficiento \ priešais \ Be to, galima įvesti naują žymėjimą:

\[(\frac (b)(a))= p\] ir \[(\frac (c)(a)) = q\]

Dėl to mes turėsime lygtį \, matematikoje vadinamą sumažinta kvadratine lygtimi. Šios lygties šaknys ir koeficientai \ yra tarpusavyje susiję, tai patvirtina Vieta teorema.

Vietos teorema: redukuotos kvadratinės lygties \ šaknų suma lygi antrajam koeficientui \, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys \

Aiškumo dėlei išsprendžiame šios formos lygtį:

Šią kvadratinę lygtį išsprendžiame naudodami parašytas taisykles. Išanalizavę pradinius duomenis, galime daryti išvadą, kad lygtis turės dvi skirtingas šaknis, nes:

Dabar iš visų skaičiaus 15 faktorių (1 ir 15, 3 ir 5) atrenkame tuos, kurių skirtumas lygus 2. Šiai sąlygai priklauso skaičiai 3 ir 5. Prieš mažesnįjį dedame minuso ženklą. numerį. Taigi gauname lygties \ šaknis

Atsakymas: \[ x_1 = -3 ir x_2 = 5\]

Kur galiu išspręsti lygtį naudojant Vietos teoremą internete?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https: //. Nemokamas internetinis sprendėjas leis per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetinę lygtį. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei turite klausimų, galite juos užduoti mūsų „Vkontakte“ grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų, be šaknies formulių, yra ir kitų naudingų ryšių, kuriuos pateikia Vietos teorema. Šiame straipsnyje pateiksime kvadratinės lygties Vietos teoremos formuluotę ir įrodymą. Toliau nagrinėjame teoremą, priešingą Vietos teoremai. Po to analizuosime charakteringiausių pavyzdžių sprendinius. Galiausiai užrašome Vietos formules, kurios apibrėžia ryšį tarp tikrųjų šaknų algebrinė lygtis n laipsnis ir jo koeficientai.

Puslapio naršymas.

Vietos teorema, formuluotė, įrodymas

Iš kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 formos šaknų formulių, kur D=b 2 −4 a c , ryšiai x 1 +x 2 = -b/a, x 1 x 2 = c/a . Šie rezultatai patvirtinami Vietos teorema:

Teorema.

Jeigu x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 šaknys, tada šaknų suma lygi koeficientų b ir a santykiui, paimtam su priešingu ženklu, ir sandauga šaknys yra lygios koeficientų c ir a santykiui, tai yra, .

Įrodymas.

Vietos teoremą įrodysime pagal tokią schemą: kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą sudarysime naudodami žinomas šaknų formules, tada gautas išraiškas transformuosime ir įsitikinsime, kad jos lygios −b /a ir c/a atitinkamai.

Pradėkime nuo šaknų sumos, sudarykime ją. Dabar mes suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, turime. Gautos trupmenos skaitiklyje , po kurio : . Galiausiai po 2 gauname . Tai įrodo pirmąjį Vietos teoremos ryšį su kvadratinės lygties šaknų suma. Pereikime prie antrojo.

Sudarome kvadratinės lygties šaknų sandaugą:. Pagal trupmenų daugybos taisyklę, paskutinė sandauga gali būti rašoma kaip. Dabar skliaustą padauginame iš skaitiklio skliausto, tačiau šį gaminį sutraukti greičiau kvadratų formulės skirtumo, Taigi. Tada, prisimindami , atliekame kitą perėjimą . O kadangi formulė D=b 2 −4 a·c atitinka kvadratinės lygties diskriminantą, tai b 2 −4·a·c vietoj D gali būti pakeista paskutine trupmena, gauname . Atidarę skliaustus ir sumažinę panašius terminus, gauname trupmeną , kurią sumažinus 4·a gaunama . Tai įrodo antrąjį Vietos teoremos santykį su šaknų sandauga.

Jei praleisime paaiškinimus, Vieta teoremos įrodymas bus glaustas:
,
.

Belieka tik pažymėti, kad kai diskriminantas yra lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Tačiau jei darysime prielaidą, kad šiuo atveju lygtis turi dvi identiškas šaknis, tada galioja ir Vieta teoremos lygybės. Iš tiesų, kai D=0 kvadratinės lygties šaknis yra , tada ir , o kadangi D=0, tai yra b 2 −4·a·c=0 , iš kur b 2 =4·a·c , tada .

Praktikoje Vietos teorema dažniausiai naudojama redukcinei kvadratinei lygčiai (kurios didžiausias koeficientas a lygus 1 ), kurios formos x 2 +p·x+q=0 . Kartais jis suformuluojamas tik tokio tipo kvadratinėms lygtims, o tai neriboja bendrumo, nes bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi, padalijus abi jos dalis iš nulinio skaičiaus a. Čia yra atitinkama Vietos teoremos formuluotė:

Teorema.

Sumažintos kvadratinės lygties x 2 + p x + q \u003d 0 šaknų suma yra lygi koeficientui x, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys, ty x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema atvirkštinė Vietos teoremai

Antroji Vieta teoremos formuluotė, pateikta ankstesnėje pastraipoje, rodo, kad jei x 1 ir x 2 yra redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys, tada santykiai x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. Kita vertus, iš užrašytų ryšių x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q išplaukia, kad x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. Kitaip tariant, teiginys, priešingas Vietos teoremai, yra teisingas. Suformuluojame jį teoremos forma ir įrodome.

Teorema.

Jei skaičiai x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 +x 2 =−p ir x 1 x 2 =q, tai x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. .

Įrodymas.

Pakeitus koeficientus p ir q jų išraiškos lygtyje x 2 +p x+q=0 per x 1 ir x 2, ji paverčiama lygiaverte lygtimi.

Gautoje lygtyje vietoj x pakeičiame skaičių x 1, gauname lygybę x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kuri bet kuriai x 1 ir x 2 yra teisinga skaitinė lygybė 0=0, nes x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Todėl x 1 yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, o tai reiškia, kad x 1 yra lygiavertės lygties x 2 +p x+q=0 šaknis.

Jei lygtyje x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 vietoj x pakeiskite skaičių x 2, tada gausime lygybę x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Tai teisinga lygtis, nes x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Todėl x 2 taip pat yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, taigi ir lygtys x 2 +p x+q=0 .

Tai užbaigia teoremos, priešingos Vietos teoremai, įrodymą.

Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai

Atėjo laikas pakalbėti apie Vietos teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinį taikymą. Šiame poskyryje panagrinėsime kelių tipiškiausių pavyzdžių sprendimus.

Pradedame taikydami teoremą, atvirkštinę Vietos teoremai. Patogu jį naudoti norint patikrinti, ar du skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tokiu atveju apskaičiuojama jų suma ir skirtumas, po to tikrinamas ryšių pagrįstumas. Jei tenkinami abu šie ryšiai, tai remiantis Vietos teorema atvirkštine teorema, daroma išvada, kad šie skaičiai yra lygties šaknys. Jei bent vienas iš santykių netenkinamas, tai šie skaičiai nėra kvadratinės lygties šaknys. Šis metodas gali būti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis rastoms šaknims patikrinti.

Pavyzdys.

Kuri iš skaičių porų 1) x 1 =−5, x 2 =3 arba 2) arba 3) yra kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 šaknų pora?

Sprendimas.

Duotos kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 koeficientai yra a=4 , b=−16 , c=9 . Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi −b/a, tai yra 16/4=4, o šaknų sandauga turi būti lygi c/a, tai yra 9 /4.

Dabar apskaičiuokime skaičių sumą ir sandaugą kiekvienoje iš trijų nurodytų porų ir palyginkime jas su ką tik gautomis reikšmėmis.

Pirmuoju atveju turime x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Gauta reikšmė skiriasi nuo 4, todėl tolesnio patikrinimo atlikti negalima, tačiau pagal teoremą, atvirkštinę Vietos teoremą, galime iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra duotosios kvadratinės lygties šaknų pora. .

Pereikime prie antrojo atvejo. Tai yra, pirmoji sąlyga yra įvykdyta. Patikriname antrąją sąlygą: , gauta reikšmė skiriasi nuo 9/4 . Todėl antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknų pora.

Lieka paskutinis atvejis. Čia ir. Tenkinamos abi sąlygos, todėl šie skaičiai x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Teorema, atvirkštinė Vietos teorema, gali būti naudojama praktiškai kvadratinės lygties šaknims parinkti. Paprastai parenkamos sveikosios duotųjų kvadratinių lygčių šaknys su sveikaisiais koeficientais, nes kitais atvejais tai padaryti gana sunku. Tuo pačiu metu jie naudojasi tuo, kad jei dviejų skaičių suma yra lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga yra lygi laisvajam nariui, tada šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys. Panagrinėkime tai pavyzdžiu.

Paimkime kvadratinę lygtį x 2 −5 x+6=0 . Kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų šios lygties šaknys, turi būti įvykdytos dvi lygybės x 1 +x 2 \u003d 5 ir x 1 x 2 \u003d 6. Belieka pasirinkti tokius skaičius. Šiuo atveju tai padaryti gana paprasta: tokie skaičiai yra 2 ir 3, nes 2+3=5 ir 2 3=6 . Taigi 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.

Teoremą, atvirkštinę Vietos teoremą, ypač patogu taikyti ieškant redukuotos kvadratinės lygties antrosios šaknies, kai viena iš šaknų jau žinoma arba akivaizdi. Šiuo atveju antroji šaknis randama iš bet kurio ryšio.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 512 x 2 −509 x−3=0 . Čia nesunku pastebėti, kad vienetas yra lygties šaknis, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi x 1 = 1 . Antrąją šaknį x 2 galima rasti, pavyzdžiui, iš santykio x 1 x 2 =c/a. Turime 1 x 2 = −3/512 , iš kur x 2 = −3/512 . Taigi apibrėžėme abi kvadratinės lygties šaknis: 1 ir −3/512.

Aišku, kad šaknis pasirinkti tikslinga tik pačiais paprasčiausiais atvejais. Kitais atvejais, norėdami rasti šaknis, per diskriminantą galite pritaikyti kvadratinės lygties šaknų formules.

Kitas praktinis teoremos taikymas, atvirkštinė Vietos teorema, yra kvadratinių lygčių sudarymas duotoms šaknims x 1 ir x 2. Tam pakanka apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia x koeficientą su priešingu duotosios kvadratinės lygties ženklu, ir šaknų sandaugą, kuri suteikia laisvąjį terminą.

Pavyzdys.

Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai –11 ir 23.

Sprendimas.

Pažymėkite x 1 =−11 ir x 2 =23 . Apskaičiuojame šių skaičių sumą ir sandaugą: x 1 + x 2 \u003d 12 ir x 1 x 2 \u003d −253. Todėl šie skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys su antruoju koeficientu -12 ir laisvuoju nariu -253. Tai yra, x 2 −12·x−253=0 yra norima lygtis.

Atsakymas:

x 2 −12 x −253=0 .

Vietos teorema labai dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Kaip Vietos teorema susijusi su redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknų ženklais? Štai du svarbūs teiginiai:

Jei kirtis q yra teigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tada jos abi yra teigiamos arba abi yra neigiamos.
Jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tai jų ženklai yra skirtingi, kitaip tariant, viena šaknis yra teigiama, o kita – neigiama.

Šie teiginiai išplaukia iš formulės x 1 x 2 =q, taip pat iš teigiamų, neigiamų skaičių ir skaičių su skirtingais ženklais dauginimo taisyklių. Apsvarstykite jų taikymo pavyzdžius.

Pavyzdys.

R yra teigiamas. Pagal diskriminanto formulę randame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, raiškos r 2 reikšmę. +8 yra teigiamas bet kuriam realiam r , taigi D>0 bet kuriam realiam r . Todėl pradinė kvadratinė lygtis turi dvi šaknis bet kurioms tikrosioms parametro r reikšmėms.

Dabar išsiaiškinkime, kada šaknys turi skirtingus ženklus. Jei šaknų ženklai yra skirtingi, tai jų sandauga yra neigiama, o pagal Vietos teoremą duotosios kvadratinės lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Todėl mus domina tos r reikšmės, kurių laisvasis terminas r−1 yra neigiamas. Taigi, norėdami rasti mus dominančias r reikšmes, turime išspręsti tiesinę nelygybę r−1<0 , откуда находим r<1 .

Atsakymas:

adresu r<1 .

Vietos formulės

Aukščiau kalbėjome apie Vietos teoremą kvadratinei lygčiai ir išanalizavome jos teigiamus ryšius. Tačiau yra formulių, jungiančių tikrąsias šaknis ir koeficientus ne tik kvadratinių lygčių, bet ir kubinių lygčių, keturkampių lygčių ir apskritai, algebrines lygtis laipsnis n. Jie vadinami Vietos formulės.

Formos n laipsnio algebrinei lygčiai rašome Vietos formules, tuo tarpu darome prielaidą, kad ji turi n realių šaknų x 1, x 2, ..., x n (tarp jų gali būti tokios pačios):

Leidžia gauti Vieta formules daugianario faktorizavimo teorema, taip pat lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę. Taigi daugianaris ir jo plėtimas į formos tiesinius veiksnius yra lygūs. Atidarę skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginę atitinkamus koeficientus, gauname Vietos formules.

Visų pirma, kai n = 2, mes jau žinome kvadratinės lygties Vieta formules.

Kubinei lygčiai Vietos formulės turi formą

Belieka tik pastebėti, kad kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamosios elementarios simetriniai daugianariai.

Bibliografija.

Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Kolyaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; red. A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Studijuodami antrosios eilės lygčių sprendimo būdus mokykliniame algebros kurse, atsižvelkite į gautų šaknų savybes. Dabar jos žinomos kaip Vietos teoremos. Jo naudojimo pavyzdžiai pateikiami šiame straipsnyje.

Kvadratinė lygtis

Antrosios eilės lygtis yra lygybė, kuri parodyta toliau esančioje nuotraukoje.

Čia simboliai a, b, c yra kai kurie skaičiai, kurie vadinami nagrinėjamos lygties koeficientais. Norėdami išspręsti lygybę, turite rasti x reikšmių, kurios paverčia ją tiesa.

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi maksimali galios, į kurią pakeliama x, reikšmė yra dvi, tada šaknų skaičius bendruoju atveju taip pat yra du.

Yra keletas būdų, kaip išspręsti tokio tipo lygybę. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime vieną iš jų, kuris apima vadinamosios Vietos teoremos naudojimą.

Vietos teoremos teiginys

XVI amžiaus pabaigoje žymus matematikas Francois Vietas (prancūzas), analizuodamas įvairių kvadratinių lygčių šaknų savybes, pastebėjo, kad tam tikros jų kombinacijos tenkina konkrečius ryšius. Visų pirma, šie deriniai yra jų sandauga ir suma.

Vietos teorema nustato taip: kvadratinės lygties šaknys, susumuotos, duoda tiesinių ir kvadratinių koeficientų, paimtų priešingu ženklu, santykį, o juos padauginus gaunamas laisvojo nario ir kvadratinio koeficiento santykis. .

Jei bendroji lygties forma parašyta taip, kaip parodyta ankstesnėje straipsnio dalyje esančioje nuotraukoje, tada matematiškai šią teoremą galima parašyti kaip dvi lygybes:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kur r 1 , r 2 yra nagrinėjamos lygties šaknų reikšmė.

Šios dvi lygybės gali būti naudojamos sprendžiant daugybę labai skirtingų matematinių problemų. Vietos teoremos panaudojimas pavyzdžiuose su sprendimu pateiktas tolesniuose straipsnio skyriuose.