Бөлшектері бойынша интеграция. Шешімдердің мысалдары

Қайтадан сәлем. Бүгін сабақта біз бөліктер бойынша біріктіруді үйренеміз. Бөлшектер бойынша интегралдау әдісі интегралдық есептеудің іргетастарының бірі болып табылады. Сынақтар немесе емтихандар кезінде студенттерге әрдайым дерлік интегралдардың келесі түрлерін шешу ұсынылады: ең қарапайым интеграл (мақаланы қараңыз)немесе айнымалыны ауыстыру арқылы интегралды (мақаланы қараңыз)немесе интеграл қосылып тұр бөлшектер әдісімен біріктіру.

Әдеттегідей, қолыңызда болуы керек: Интегралдар кестесіЖәне Туындылар кестесі. Егер сізде олар әлі жоқ болса, менің веб-сайтымның сақтау бөлмесіне кіріңіз: Математикалық формулалар мен кестелер. Мен қайталаудан жалықпаймын – бәрін басып шығарған дұрыс. Мен барлық материалды дәйекті, қарапайым және анық беруге тырысамын, бөліктерді біріктіруде ерекше қиындықтар жоқ.

Бөлшектер бойынша біріктіру әдісі қандай мәселені шешеді? Бөлшектер бойынша біріктіру әдісі өте маңызды мәселені шешеді, ол кестеде жоқ кейбір функцияларды біріктіруге мүмкіндік береді, жұмысфункциялар, ал кейбір жағдайларда – тіпті бөліктер. Біздің есімізде, ыңғайлы формула жоқ: . Бірақ мынау бар: – жеке бөліктер бойынша интеграция формуласы. Білемін, білемін, сен жалғызсың - біз онымен сабақ бойы жұмыс істейміз (қазір оңайырақ).

Тізімді бірден студияға жіберіңіз. Келесі типтегі интегралдар бөліктер бойынша қабылданады:

1) , , – логарифм, логарифмді кейбір көпмүшелерге көбейту.

2) ,кейбір көпмүшеге көбейтілген көрсеткіштік функция. Бұған сонымен қатар интегралдар кіреді - көрсеткіштік функция көпмүшеге көбейтілген, бірақ іс жүзінде бұл 97 пайызды құрайды, интегралдың астында әдемі «e» әрпі бар. ... мақала біршама лирикалық болып шығады, иә ... көктем келді.

3) , , кейбір көпмүшелерге көбейтілген тригонометриялық функциялар.

4) , – кері тригонометриялық функциялар («доғалар»), «доғалар» кейбір көпмүшелерге көбейтілген.

Кейбір бөлшектер де бөліктерге бөлінеді, біз сәйкес мысалдарды егжей-тегжейлі қарастырамыз.

Логарифмдердің интегралдары

1-мысал

Классикалық. Уақыт өте келе бұл интегралды кестелерден табуға болады, бірақ дайын жауапты пайдалану ұсынылмайды, өйткені мұғалім көктемгі витамин тапшылығына ұшырайды және қатты ант береді. Өйткені қарастырылып отырған интеграл ешбір жағдайда кестелік емес – ол бөліктерге бөлінеді. Біз шешеміз:

Аралық түсініктемелер үшін шешімді үземіз.

Бөлшектер формуласы бойынша интеграцияны қолданамыз:

Формула солдан оңға қарай қолданылады

Біз сол жаққа қараймыз: . Әлбетте, біздің мысалда (және біз қарастыратын барлық басқаларында) бірдеңені , ал бірдеңені деп белгілеу керек.

Қарастырылып отырған типті интегралдарда логарифм әрқашан белгіленеді.

Техникалық тұрғыдан шешімнің дизайны келесідей жүзеге асырылады, біз бағанға жазамыз:

Яғни, логарифмді - арқылы белгіледік. қалған бөлігіинтегралды өрнек.

Келесі кезең: дифференциалды табыңыз:

Дифференциал туындымен бірдей дерлік, біз оны қалай табуға болатынын алдыңғы сабақтарда талқылаған болатынбыз.

Енді функцияны табамыз. Функцияны табу үшін біріктіру керек оң жақтөменгі теңдік:

Енді шешімімізді ашып, формуланың оң жағын саламыз: .
Айтпақшы, мұнда кейбір ескертулермен соңғы шешімнің үлгісі берілген:

Жұмыстағы бірден-бір мәселе, мен бірден ауыстырдым және -ді ауыстырдым, өйткені логарифмнің алдында көбейткішті жазу әдетке айналған.

Көріп отырғаныңыздай, бөліктер формуласы бойынша интеграцияны қолдану біздің шешімімізді екі қарапайым интегралға азайтты.

Кейбір жағдайларда ескеріңіз содан кейінформуланы қолдану, жеңілдету міндетті түрде қалған интеграл бойынша жүзеге асырылады - қарастырылып отырған мысалда біз интегралды «x» мәніне келтірдік.

Тексерейік. Ол үшін жауаптың туындысын алу керек:

Бастапқы интеграл функциясы алынды, бұл интегралдың дұрыс шешілгенін білдіреді.

Сынақ барысында біз өнімді саралау ережесін қолдандық: . Және бұл кездейсоқ емес.

Бөлшектері бойынша интегралдау формуласы және формула – бұл екі өзара кері ереже.

2-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Интеграл логарифм мен көпмүшенің көбейтіндісі болып табылады.
Шешейік.

Мен ережені қолдану тәртібін тағы бір рет егжей-тегжейлі сипаттаймын, болашақта мысалдар қысқаша беріледі, ал егер сіз оны өз бетіңізше шешуде қиындықтар туындаса, сабақтың алғашқы екі мысалына оралуыңыз керек. .

Жоғарыда айтылғандай, логарифмді белгілеу керек (оның қуат екендігі маңызды емес). арқылы белгілейміз қалған бөлігіинтегралды өрнек.

Біз бағанға жазамыз:

Алдымен дифференциалды табамыз:

Мұнда күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз . Тақырыптың бірінші сабағында бұл кездейсоқ емес Анықталмаған интеграл. Шешімдердің мысалдарыМен интегралды меңгеру үшін туындыларды «қолыңа алу» керек екеніне назар аудардым. Туынды құралдармен бірнеше рет айналысуға тура келеді.

Енді функцияны табамыз, ол үшін біріктіреміз оң жақтөменгі теңдік:

Интеграция үшін біз ең қарапайым кестелік формуланы қолдандық

Енді формуланы қолдануға бәрі дайын . Жұлдызшамен ашыңыз және оң жаққа сәйкес шешімді «құрыңыз».

Интегралдың астында бізде тағы да логарифм үшін көпмүшелік бар! Сондықтан шешім қайтадан үзіліп, бөліктер бойынша біріктіру ережесі екінші рет қолданылады. Ұқсас жағдайларда логарифм әрқашан белгіленетінін ұмытпаңыз.

Осы уақытқа дейін ең қарапайым интегралдар мен туындыларды ауызша табуды білсеңіз жақсы болар еді.

(1) Белгілер туралы шатастырмаңыз! Көбінесе бұл жерде минус жоғалады, сонымен қатар минус сілтеме жасайтынын ескеріңіз барлығынажақша , және бұл жақшаларды дұрыс кеңейту керек.

(2) Жақшаларды ашыңыз. Соңғы интегралды жеңілдетеміз.

(3) Соңғы интегралды аламыз.

(4) Жауапты «тарақтау».

Бөлшектермен біріктіру ережесін екі рет (тіпті үш рет) қолдану қажеттілігі өте сирек туындамайды.

Ал енді өз шешіміңізге бірнеше мысал:

3-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Бұл мысал айнымалыны өзгерту (немесе дифференциалдық белгінің астына ауыстыру) арқылы шешіледі! Неге болмайды - сіз оны бөліктерге бөліп көріңіз, бұл күлкілі нәрсе болып шығады.

4-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Бірақ бұл интеграл бөліктермен (уәде етілген бөлшек) біріктірілген.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысалдар, сабақ соңында шешімдер мен жауаптар.

3 және 4 мысалдардағы интегралдар ұқсас сияқты, бірақ шешу әдістері әртүрлі! Бұл интегралдарды меңгерудің басты қиындығы – егер сіз интегралды шешудің қате әдісін таңдасаңыз, онда сіз онымен нақты басқатырғыш сияқты бірнеше сағат бойы айналыса аласыз. Сондықтан әртүрлі интегралдарды неғұрлым көп шешсеңіз, соғұрлым жақсырақ, тест пен емтихан оңайырақ болады. Сонымен қатар, екінші курста дифференциалдық теңдеулер пайда болады, ал интегралдар мен туындыларды шешу тәжірибесі болмаса, онда ештеңе жоқ.

Логарифмдерге келетін болсақ, бұл жеткілікті болуы мүмкін. Сонымен қатар, мен инженерлік студенттердің әйелдер кеудесін шақыру үшін логарифмдерді қолданатынын есіме аламын =). Айтпақшы, негізгі элементар функциялардың графиктерін жатқа білу пайдалы: синус, косинус, арктангенс, көрсеткіш, үшінші, төртінші дәрежелі көпмүшелік және т.б. Жоқ, әрине, жер шарындағы презерватив
Мен оны созбаймын, бірақ енді сіз бөлімнен көп нәрсені есте сақтайсыз Диаграммалар және функциялар =).

Көрсеткіштің көпмүшеге көбейтіндісінің интегралдары

Жалпы ереже:

5-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Таныс алгоритмді пайдалана отырып, біз бөліктер бойынша біріктіреміз:

Егер сізде интегралмен қиындықтар туындаса, мақалаға оралу керек Анықталмаған интегралдағы айнымалыны өзгерту әдісі.

Сіз жасай алатын жалғыз нәрсе - жауапты өзгерту:

Бірақ егер сіздің есептеу техникаңыз өте жақсы болмаса, онда ең тиімді нұсқа - оны жауап ретінде қалдыру немесе тіпті

Яғни, соңғы интеграл алынғанда мысал шешілген болып саналады. Бұл қате болмайды; мұғалім сізден жауапты жеңілдетуді сұрауы мүмкін басқа мәселе.

6-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Бұл интеграл бөліктер арқылы екі рет интегралданады. Белгілерге ерекше назар аудару керек - оларда шатасу оңай, біз бұл күрделі функция екенін есте ұстаймыз.

Экспонент туралы бұдан артық ештеңе айта алмаймын. Мен тек экспоненциалды және натурал логарифмнің өзара кері функциялар екенін қоса аламын, бұл мен жоғары математиканың қызықты графиктері тақырыбы бойыншамын =) Тоқта, тоқта, уайымдама, лектор байсалды.

Көпмүшеге көбейтілген тригонометриялық функциялардың интегралдары

Жалпы ереже: for әрқашан көпмүшені білдіреді

7-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Бөлшектері бойынша біріктірейік:

Ммм...және түсініктеме беретін ештеңе жоқ.

8-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге үлгі

9-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бөлшегі бар тағы бір мысал. Алдыңғы екі мысалдағыдай for көпмүшені білдіреді.

Бөлшектері бойынша біріктірейік:

Егер сізде интегралды табуда қиындықтар немесе түсінбеушілік туындаса, сабаққа қатысуды ұсынамын Тригонометриялық функциялардың интегралдары.

10-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал.

Нұсқау: Бөлшектері бойынша интегралдау әдісін қолданбас бұрын, екі тригонометриялық функцияның туындысын бір функцияға айналдыратын кейбір тригонометриялық формуланы қолдану керек. Формуланы бөліктер бойынша біріктіру әдісін қолданған кезде де қолдануға болады, қайсысы сізге ыңғайлы болса.

Мұның бәрі осы абзацта болса керек. Неге екені белгісіз, физика-математика әнұранындағы «Ал синус графигі абсцисса осі бойымен толқын артынан толқын жүреді» деген жол есіме түсті...

Кері тригонометриялық функциялардың интегралдары.
Көпмүшеге көбейтілген кері тригонометриялық функциялардың интегралдары

Жалпы ереже: әрқашан кері тригонометриялық функцияны білдіреді.

Естеріңізге сала кетейін, кері тригонометриялық функцияларға арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс жатады. Жазбаның қысқалығы үшін мен оларды «арка» деп атаймын.

Күрделі интегралдар

Бұл мақала анықталмаған интегралдар тақырыбын аяқтайды және мен өте күрделі деп санайтын интегралды қамтиды. Сабақ күрделі мысалдарды сайтта талдаса деген тілектерін білдірген келушілердің бірнеше рет өтініші бойынша құрылды.

Бұл мәтінді оқырман жақсы дайындалған және негізгі интеграциялық әдістерді қалай қолдану керектігін біледі деп болжанады. Манекендер мен интегралдарға сенімді емес адамдар бірінші сабаққа жүгінуі керек - Анықталмаған интеграл. Шешімдердің мысалдары, онда тақырыпты нөлден дерлік меңгеруге болады. Тәжірибелі студенттер менің мақалаларымда әлі кездеспеген интеграцияның әдістері мен әдістерімен таныс бола алады.

Қандай интегралдар қарастырылады?

Алдымен түбірі бар интегралды қарастырамыз, оларды шешу үшін біз дәйекті түрде қолданамыз айнымалы ауыстыруЖәне бөліктер бойынша біріктіру. Яғни, бір мысалда екі техника бірден біріктірілген. Және одан да көп.

Содан кейін біз қызықты және түпнұсқамен танысамыз интегралды өзіне келтіру әдісі. Бірнеше интегралдар осылай шешіледі.

Бағдарламаның үшінші шығарылымы алдыңғы мақалалардағы кассадан өткен күрделі бөлшектердің интегралдары болмақ.

Төртіншіден, тригонометриялық функциялардан қосымша интегралдар талданады. Атап айтқанда, көп уақытты қажет ететін әмбебап тригонометриялық ауыстыруды болдырмайтын әдістер бар.

(2) Интегралдық функцияда алымды бөлгіш мүшесіне бөлеміз.

(3) Анықталмаған интегралдың сызықтық қасиетін қолданамыз. Соңғы интегралда бірден функцияны дифференциалдық таңбаның астына қойыңыз.

(4) Қалған интегралдарды аламыз. Логарифмде модульді емес, жақшаларды қолдануға болатынын ескеріңіз, өйткені .

(5) Біз тікелей ауыстырудан «te» білдіретін кері ауыстыруды орындаймыз:

Мазохистік студенттер жауапты саралап, мен сияқты бастапқы интегралды ала алады. Жоқ, жоқ, мен дұрыс мағынада тексеру жасадым =)

Көріп отырғаныңыздай, шешім кезінде бізге тіпті екіден көп шешу әдістерін қолдануға тура келді, сондықтан мұндай интегралдармен күресу үшін сенімді интеграциялық дағдылар мен біршама тәжірибе қажет.

Тәжірибеде, әрине, квадрат түбір жиі кездеседі, оны өзіңіз шешуге арналған үш мысал:

2-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

3-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

4-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл мысалдар бір типті, сондықтан мақаланың соңындағы толық шешім тек 2-мысалға арналған; 3-4 мысалдарда бірдей жауаптар бар. Шешімдердің басында қандай ауыстыруды қолдану керек, менің ойымша, анық. Неліктен мен бір типтегі мысалдарды таңдадым? Көбінесе олардың рөлінде кездеседі. Көбінесе, мүмкін, бір нәрсе сияқты .

Бірақ әрқашан емес, арктангенс, синус, косинус, экспоненциалды және басқа функциялардың астында сызықтық функцияның түбірі болғанда, бірден бірнеше әдісті қолдануға тура келеді. Бірқатар жағдайларда «оңай кетуге» болады, яғни ауыстырудан кейін бірден оңай қабылданатын қарапайым интеграл алынады. Жоғарыда ұсынылған тапсырмалардың ең оңайы 4-мысал болып табылады, онда ауыстырғаннан кейін салыстырмалы түрде қарапайым интеграл алынады.

Интегралды өзіне келтіру арқылы

Тапқыр және әдемі әдіс. Жанрдың классиктеріне назар аударайық:

5-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Түбірдің астында квадрат бином бар және бұл мысалды біріктіруге тырысу шәйнектің бірнеше сағат бойы бас ауруын тудыруы мүмкін. Мұндай интеграл бөліктерге бөлініп, өзіне келтіріледі. Негізінде бұл қиын емес. Қалай білсеңіз.

Қарастырылып отырған интегралды латын әрпімен белгілеп, шешімін бастайық:

Бөлшектері бойынша біріктірейік:

(1) Терминге бөлу үшін интегралдық функцияны дайындаңыз.

(2) Интегралдық функция мүшесін мүшеге бөлеміз. Бұл бәріне түсініксіз болуы мүмкін, бірақ мен оны толығырақ сипаттаймын:

(3) Анықталмаған интегралдың сызықтық қасиетін қолданамыз.

(4) Соңғы интегралды («ұзын» логарифм) алайық.

Енді шешімнің ең басына қарайық:

Және соңына дейін:

Не болды? Біздің айла-шарғыларымыздың нәтижесінде интеграл өзіне қысқарды!

Басы мен соңын теңестірейік:

Белгіні өзгерту арқылы сол жаққа жылжытыңыз:

Ал біз екеуін оң жаққа жылжытамыз. Нәтижесінде:

Тұрақты, қатаң айтқанда, бұрын қосылуы керек еді, бірақ мен оны соңында қостым. Мен мұнда қатаңдықтың не екенін оқуды ұсынамын:

Ескерту: Дәлірек айтқанда, шешімнің соңғы кезеңі келесідей көрінеді:

Осылайша:

Тұрақтыны келесі арқылы қайта белгілеуге болады. Неліктен оны қайта атауға болады? Өйткені ол әлі де қабылдайды кез келгенмәндер, және бұл мағынада тұрақтылар мен арасында ешқандай айырмашылық жоқ.
Нәтижесінде:

Тұрақты ренотациясы бар ұқсас трюк кеңінен қолданылады дифференциалдық теңдеулер. Ал сонда мен қатал боламын. Міне, мен мұндай еркіндікке сізді қажетсіз нәрселермен шатастырмау және интеграция әдісінің өзіне назар аудару үшін ғана рұқсат етемін.

6-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Тәуелсіз шешім үшін тағы бір типтік интеграл. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру. Алдыңғы мысалдағы жауаппен айырмашылық болады!

Егер квадрат түбірдің астында шаршы үшмүше болса, онда шешім кез келген жағдайда талданған екі мысалға келеді.

Мысалы, интегралды қарастырайық . Сізге бірінші істеу керек толық шаршыны таңдаңыз:
.
Әрі қарай сызықтық ауыстыру жүзеге асырылады, ол «ешбір салдарсыз» жасайды:
, нәтижесінде интеграл шығады. Таныс нәрсе, солай ма?

Немесе бұл мысал, квадрат биноммен:
Толық шаршыны таңдаңыз:
Ал, сызықтық ауыстырудан кейін біз интегралды аламыз, ол да бұрын талқыланған алгоритм арқылы шешіледі.

Интегралды өзіне азайтудың тағы екі типтік мысалын қарастырайық:
– көрсеткіштің синусқа көбейтіндісінің интегралы;
– көрсеткіштің косинусқа көбейтіндісінің интегралы.

Бөлшектері бойынша аталған интегралдарда екі рет интегралдауға тура келеді:

7-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Интеграл – экспоненциалды синусқа көбейту.

Бөлшектері бойынша екі рет интегралдаймыз және интегралды өзіне азайтамыз:

Бөлшектері бойынша қосарланған интегралдау нәтижесінде интеграл өзіне қысқарды. Шешімнің басы мен соңын теңестіреміз:

Оны таңбасын өзгерту арқылы сол жаққа жылжытамыз және интегралды көрсетеміз:

Дайын. Сонымен қатар, оң жағын тараған жөн, яғни. жақшаның ішінен көрсеткішті алыңыз да, жақшаға синусы мен косинусын «әдемі» ретпен орналастырыңыз.

Енді мысалдың басына, дәлірек айтқанда, бөліктер бойынша интеграцияға оралайық:

Біз дәрежені белгіледік. Сұрақ туындайды: бұл көрсеткіш әрқашан арқылы белгіленуі керек пе? Міндетті емес. Шын мәнінде, қарастырылатын интегралда түбегейлі бәрі бір, деп нені айтамыз, біз басқа жолмен жүруіміз мүмкін еді:

Неліктен бұл мүмкін? Көрсеткіш өзіне айналатындықтан (дифференциалдау кезінде де, интегралдау кезінде де), синус пен косинус өзара бір-біріне айналады (қайтадан дифференциалдау кезінде де, интеграция кезінде де).

Яғни, тригонометриялық функцияны да белгілей аламыз. Бірақ, қарастырылған мысалда бұл ұтымды емес, өйткені фракциялар пайда болады. Қаласаңыз, осы мысалды екінші әдіс арқылы шешуге болады, жауаптар сәйкес болуы керек.

8-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Шешім бермес бұрын ойланыңыз, бұл жағдайда экспоненциалды немесе тригонометриялық функцияны белгілеу тиімдірек пе? Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Және, әрине, осы сабақтағы жауаптардың көпшілігін саралау арқылы тексеру өте оңай екенін ұмытпаңыз!

Қарастырылған мысалдар ең күрделі емес еді. Тәжірибеде интегралдар тұрақты мән көрсеткіште де, тригонометриялық функцияның аргументінде де болатын жерде жиі кездеседі, мысалы: . Көптеген адамдар мұндай интегралда шатастырады, мен өзімді жиі шатастырамын. Өйткені, ерітіндіде фракциялардың пайда болу ықтималдығы жоғары және абайсыздықтан бір нәрсені жоғалту өте оңай. Сонымен қатар, белгілерде қате болу ықтималдығы жоғары; көрсеткіштің минус таңбасы бар екенін ескеріңіз және бұл қосымша қиындық тудырады.

Соңғы кезеңде нәтиже жиі келесідей болады:

Шешімнің соңында сіз өте мұқият болуыңыз керек және фракцияларды дұрыс түсінуіңіз керек:

Күрделі бөлшектерді интегралдау

Біз сабақтың экваторына баяу жақындап келеміз және бөлшектердің интегралдарын қарастырамыз. Тағы да, олардың барлығы өте күрделі емес, тек бір себептермен мысалдар басқа мақалалардағы «тақырыптан тыс» болды.

Түбір тақырыбын жалғастыру

9-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Түбірдің астындағы бөлгіште квадрат үшмүше плюс түбірдің сыртында «Х» түріндегі «қосымша» бар. Бұл түрдегі интегралды стандартты алмастыру арқылы шешуге болады.

Біз шешеміз:

Мұнда ауыстыру қарапайым:

Ауыстырудан кейінгі өмірді қарастырайық:

(1) Ауыстырудан кейін түбір астындағы мүшелерді ортақ бөлімге келтіреміз.
(2) Біз оны тамырдың астынан шығарамыз.
(3) Алым мен бөлгіш -ге азайтылады. Сонымен қатар, түбірдің астында мен терминдерді ыңғайлы ретпен қайта реттедім. Кейбір тәжірибелермен (1), (2) қадамдарды ауызша түсіндірме әрекеттерді орындау арқылы өткізіп жіберуге болады.
(4) Сабақтан есте қалғандай нәтижелі интеграл Кейбір бөлшектерді интегралдау, шешілуде толық квадратты алу әдісі. Толық шаршыны таңдаңыз.
(5) Интегралдау арқылы біз кәдімгі «ұзын» логарифм аламыз.
(6) Біз кері ауыстыруды орындаймыз. Егер бастапқыда , содан кейін кері: .
(7) Қорытынды әрекет нәтижені түзетуге бағытталған: түбірдің астындағы терминдерді қайтадан ортақ бөлгішке келтіреміз және оларды түбірдің астынан шығарамыз.

10-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Мұнда жалғыз «X» константасы қосылады және ауыстыру бірдей дерлік:

Сізге қосымша істеу керек жалғыз нәрсе - орындалып жатқан ауыстырудан «x» белгісін көрсету:

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Кейде мұндай интегралда түбір астында квадрат бином болуы мүмкін, бұл шешу әдісін өзгертпейді, ол одан да қарапайым болады. Айырмашылықты сезініңіз:

11-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

12-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Сабақтың соңындағы қысқаша шешімдер мен жауаптар. Айта кету керек, 11-мысал дәл биномдық интеграл, шешу әдісі сыныпта талқыланды Иррационал функциялардың интегралдары.

Бөлінбейтін 2-дәрежелі көпмүшенің дәрежесіне интегралы

(бөлгіштегі көпмүше)

Интегралдың сирек кездесетін түрі, бірақ соған қарамастан практикалық мысалдарда кездеседі.

13-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бірақ 13 бақытты саны бар мысалға оралайық (шынымды айтсам, мен дұрыс ойламадым). Бұл интеграл да, егер сіз шешу жолын білмесеңіз, қатты ренжітетіндердің бірі.

Шешім жасанды түрлендіруден басталады:

Менің ойымша, әркім алыммен бөлшекті мүшеге бөлуді түсінді.

Алынған интеграл бөліктерге бөлінеді:

( – натурал сан) түрінің интегралы үшін шығарамыз қайталанатыназайту формуласы:
, Қайда – дәрежеден төмен интегралды.

Шешілген интеграл үшін осы формуланың дұрыстығын тексерейік.
Бұл жағдайда: , , формуласын қолданамыз:

Көріп отырғаныңыздай, жауаптар бірдей.

14-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Үлгі шешім жоғарыдағы формуланы қатарынан екі рет пайдаланады.

Егер дәрежесі төмен болса бөлінбейтінквадрат үшмүше, содан кейін шешім идеал квадратты оқшаулау арқылы биномға келтіріледі, мысалы:

Алымдағы қосымша көпмүше болса ше? Бұл жағдайда анықталмаған коэффициенттер әдісі қолданылады, ал интеграл функциясы бөлшектердің қосындысына кеңейтіледі. Бірақ менің тәжірибемде мұндай мысал бар ешқашан кездеспеді, сондықтан мен мақалада бұл істі жіберіп алдым Бөлшек-рационал функциялардың интегралдары, Мен оны қазір өткізіп жіберемін. Егер сіз әлі де осындай интегралды кездестірсеңіз, оқулықты қараңыз - онда бәрі қарапайым. Мен материалды (тіпті қарапайым) қосуды жөн деп санамаймын, кездесу ықтималдығы нөлге тең.

Күрделі тригонометриялық функцияларды интегралдау

Көптеген мысалдар үшін «күрделі» сын есім қайтадан негізінен шартты болып табылады. Жоғары дәрежедегі тангенс пен котангенстен бастайық. Қолданылатын шешу әдістері тұрғысынан тангенс пен котангенс бірдей дерлік, сондықтан мен тангенс туралы көбірек айтамын, бұл интегралды шешудің көрсетілген әдісі котангенс үшін де жарамды екенін білдіреді.

Жоғарыдағы сабақта біз қарастырдық әмбебап тригонометриялық алмастырутригонометриялық функциялардың интегралдарының белгілі бір түрін шешуге арналған. Әмбебап тригонометриялық алмастырудың кемшілігі - оны пайдалану көбінесе қиын есептеулермен ауыр интегралдарға әкеледі. Кейбір жағдайларда әмбебап тригонометриялық ауыстырудан аулақ болуға болады!

Басқа канондық мысалды, синусқа бөлінген бір интегралды қарастырайық:

17-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Мұнда сіз әмбебап тригонометриялық ауыстыруды қолданып, жауап ала аласыз, бірақ одан да ұтымды әдіс бар. Мен әр қадамға түсініктемелермен толық шешімді ұсынамын:

(1) Қос бұрыштың синусы үшін тригонометриялық формуланы қолданамыз.
(2) Жасанды түрлендіруді орындаймыз: Бөлгішке бөлеміз және көбейтеміз.
(3) Бөлгіштегі белгілі формуланы пайдаланып, бөлшекті жанамаға айналдырамыз.
(4) Функцияны дифференциалдық таңбаның астына келтіреміз.
(5) Интегралды алыңыз.

Өз бетіңізше шешуге болатын бірнеше қарапайым мысалдар:

18-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Ескертпе: Ең бірінші қадам азайту формуласын пайдалану болуы керек және алдыңғы мысалға ұқсас әрекеттерді мұқият орындаңыз.

19-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл өте қарапайым мысал.

Сабақ соңында шешімдер мен жауаптарды аяқтаңыз.

Менің ойымша, енді ешкімде интегралдармен проблемалар болмайды:
және т.б.

Әдістің идеясы қандай? Идея тек жанамаларды және жанама туындыны интегралға ұйымдастыру үшін түрлендірулер мен тригонометриялық формулаларды пайдалану болып табылады. Яғни, біз ауыстыру туралы айтып отырмыз: . 17-19 мысалдарда біз бұл ауыстыруды қолдандық, бірақ интегралдардың қарапайым болғаны сонша, біз эквивалентті әрекетті орындадық - функцияны дифференциалдық таңбаның астына қосу.

Ұқсас пайымдауды мен жоғарыда айтқанымдай, котангенс үшін де жасауға болады.

Жоғарыда көрсетілген ауыстыруды қолданудың ресми алғы шарты да бар:

Косинус пен синустың дәрежелерінің қосындысы теріс бүтін ЖҰП сан, Мысалы:

интеграл үшін – теріс бүтін EVEN саны.

! Ескерту : егер интегралда ТЕК синус немесе ТЕК косинус болса, онда интеграл да теріс тақ дәреже үшін қабылданады (ең қарапайым жағдайлар № 17, 18 мысалдарда).

Осы ережеге негізделген бірнеше маңызды тапсырмаларды қарастырайық:

20-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Синус пен косинустың дәрежелерінің қосындысы: 2 – 6 = –4 теріс бүтін ЖҰП сан, бұл интегралды тангенстерге және оның туындысына келтіруге болатынын білдіреді:

(1) Бөлгішті түрлендірейік.
(2) Белгілі формуланы қолданып, аламыз.
(3) Бөлгішті түрлендірейік.
(4) Біз формуланы қолданамыз .
(5) Функцияны дифференциалдық таңбаның астына келтіреміз.
(6) Біз ауыстыруды орындаймыз. Тәжірибелі студенттер ауыстыруды орындамауы мүмкін, бірақ тангентті бір әріппен ауыстырған дұрыс - шатасу қаупі аз.

21-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал.

Күте тұрыңыз, чемпионат раундтары басталғалы жатыр =)

Көбінесе интегралда «ходгеподж» болады:

22-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл интеграл бастапқыда тангенсті қамтиды, ол бірден бұрыннан таныс ойға әкеледі:

Мен жасанды түрлендіруді ең басында, ал қалған қадамдарды түсініктемесіз қалдырамын, өйткені бәрі жоғарыда талқыланды.

Жеке шешіміңізге бірнеше шығармашылық мысалдар:

23-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

24-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Иә, оларда, әрине, синус пен косинустың қуаттарын төмендетіп, әмбебап тригонометриялық алмастыруды қолдануға болады, бірақ егер ол жанама арқылы жүзеге асырылса, шешім әлдеқайда тиімді және қысқа болады. Толық шешім және сабақ соңында жауаптар

Антитуындылар кестесі («интегралдар»). Интегралдар кестесі. Кестелік анықталмаған интегралдар. (Ең қарапайым интегралдар және параметрі бар интегралдар). Бөлшектер бойынша интегралдау формулалары. Ньютон-Лейбниц формуласы.

Антитуындылар кестесі («интегралдар»). Кестелік анықталмаған интегралдар. (Ең қарапайым интегралдар және параметрі бар интегралдар).
Дәрежелік функцияның интегралы.	Дәрежелік функцияның интегралы.
Дифференциалдық таңбаның астына x жүргізілсе, дәрежелік функцияның интегралына келтіретін интеграл.
	Көрсеткіштің интегралы, мұндағы a тұрақты сан.
Күрделі көрсеткіштік функцияның интегралы.	Көрсеткіштік функцияның интегралы.
Натурал логарифмге тең интеграл.	Интегралдық: «Ұзын логарифм».
	Интегралдық: «Ұзын логарифм».
Интеграл: «Жоғары логарифм».	Алымдағы x дифференциалдық таңбаның астына орналастырылған интеграл (белгі астындағы тұрақтыны қосуға немесе азайтуға болады) ең соңында натурал логарифмге тең интегралға ұқсас.
Интеграл: «Жоғары логарифм».
Косинус интегралы.	Синус интегралы.
Интеграл жанамаға тең.	Котангенске тең интеграл.
Арксинус пен арккосинға тең интеграл
Арксинусқа да, арксинусқа да тең интеграл.	Арктангенс пен арккотангенске тең интеграл.
Косекантқа тең интеграл.	Бөлімге тең интеграл.
Арксекантқа тең интеграл.	Арккосекантқа тең интеграл.
Арксекантқа тең интеграл.	Арксекантқа тең интеграл.
Гиперболалық синусына тең интеграл.	Гиперболалық косинусқа тең интеграл.
Интеграл гиперболалық синусқа тең, мұндағы sinhx ағылшын тіліндегі нұсқадағы гиперболалық синус.	Интеграл гиперболалық косинусқа тең, мұндағы sinhx ағылшын тіліндегі нұсқадағы гиперболалық синус.
Гиперболалық тангенске тең интеграл.	Гиперболалық котангенске тең интеграл.
Гиперболалық секантқа тең интеграл.	Гиперболалық косекантқа тең интеграл.

Бөлшектер бойынша интегралдау формулалары. Интеграция ережелері.

Бөлшектер бойынша интегралдау формулалары. Ньютон-Лейбниц формуласы.Интегралдау ережелері.
Өнімді (функцияны) тұрақты шама арқылы интегралдау:
Функциялар қосындысын интегралдау:
анықталмаған интегралдар:
Бөлшектері бойынша интегралдау формуласы Анықталған интегралдар:
Ньютон-Лейбниц формуласы Анықталған интегралдар:	Мұндағы F(a),F(b) сәйкесінше b және a нүктелеріндегі антитуындылардың мәндері.

Туындылар кестесі. Кестелік туындылар. Өнімнің туындысы. Бөлімшенің туындысы. Күрделі функцияның туындысы.

Егер x тәуелсіз айнымалы болса, онда:

Туындылар кестесі. Кестелік туындылар."кесте туындысы" - иә, өкінішке орай, оларды Интернетте дәл осылай іздейді.
	Дәрежелік функцияның туындысы
	Көрсеткіштің туындысы
Күрделі көрсеткіштік функцияның туындысы	Көрсеткіштік функцияның туындысы
Логарифмдік функцияның туындысы	Натурал логарифмнің туындысы
	Функцияның натурал логарифмінің туындысы
Синустың туындысы	Косинустың туындысы
Косеканттың туындысы	Секанттың туындысы
Арксинус туындысы	Косинус доғасының туындысы
Арксинус туындысы	Косинус доғасының туындысы
Тангенс туындысы	Котангенс туындысы
Арктангенс туындысы	Доға котангенсінің туындысы
Арктангенс туындысы	Доға котангенсінің туындысы
Арксеканттың туындысы	Арккосеканттың туындысы
Арксеканттың туындысы	Арккосеканттың туындысы
Гиперболалық синустың туындысы Ағылшын тіліндегі нұсқадағы гиперболалық синустың туындысы	Гиперболалық косинустың туындысы Ағылшын тіліндегі гиперболалық косинустың туындысы
Гиперболалық тангенстің туындысы	Гиперболалық котангенстің туындысы
Гиперболалық секанттың туындысы	Гиперболалық косеканттың туындысы

Дифференциация ережелері. Өнімнің туындысы. Бөлімшенің туындысы. Күрделі функцияның туындысы.
Тұрақты шама арқылы туындының (функцияның) туындысы:
Қосындының туындысы (функциялар):
Өнімнің (функцияның) туындысы:
Бөлімнің (функциялардың) туындысы:
Күрделі функцияның туындысы:

Логарифмдердің қасиеттері. Логарифмдердің негізгі формулалары. Ондық (lg) және натурал логарифмдер (ln).

Негізгі логарифмдік сәйкестік
a b түріндегі кез келген функцияның экспоненциалды қалай жасауға болатынын көрсетейік. e x түріндегі функция көрсеткіштік деп аталатындықтан, онда
a b түріндегі кез келген функция онның дәрежесі ретінде көрсетілуі мүмкін

Натурал логарифм ln (негізгі логарифм e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Тейлор сериясы. Функцияның Тейлор қатарын кеңейту.

Көпшілік екені белгілі болды іс жүзінде кездестіматематикалық функцияларды белгілі бір нүктеге жақын жерде айнымалының дәрежелерін өсу ретімен қамтитын дәрежелік қатарлар түрінде кез келген дәлдікпен беруге болады. Мысалы, x=1 нүктесіне жақын жерде:

Серияларды пайдаланған кезде шақырылады Тейлор қатарларыҚұрамында алгебралық, тригонометриялық және көрсеткіштік функциялар бар аралас функцияларды таза алгебралық функциялар ретінде көрсетуге болады. Серияларды пайдалана отырып, жиі дифференциация мен интеграцияны жылдам орындауға болады.

a нүктесінің маңайындағы Тейлор қатары келесі пішінге ие:

1) , мұндағы f(x) – x = a кезіндегі барлық ретті туындылары бар функция. R n – Тейлор қатарындағы қалдық мүшесі өрнек арқылы анықталады

2)

Қатардың k-ші коэффициенті (x k кезінде) формуламен анықталады

3) Тейлор сериясының ерекше жағдайы Маклаурин (=McLaren) сериясы болып табылады (кеңейу a=0 нүктесінің айналасында жүреді)

a=0 кезінде

қатардың мүшелері формула бойынша анықталады

Тейлор қатарын қолдану шарттары.

1. f(x) функциясының (-R;R) интервалында Тейлор қатарына кеңеюі үшін бұл үшін Тейлор (Маклаурин (=Мкларен)) формуласындағы қалған мүшесі қажет және жеткілікті. функция көрсетілген интервалда (-R;R) k →∞ ретінде нөлге ұмтылады.

2. Тейлор қатарын тұрғызғалы жатқан жақын нүктеде берілген функция үшін туындылар болуы қажет.

Тейлор қатарының қасиеттері.

Егер f аналитикалық функция болса, онда оның Тейлор қатары f анықтау облысындағы кез келген а нүктесіндегі a-ның кейбір маңайында f-қа жиналады.

Шексіз дифференциалданатын функциялар бар, олардың Тейлор қатарлары жинақталады, бірақ сонымен бірге а-ның кез келген маңындағы функциядан ерекшеленеді. Мысалы:

Тейлор қатарлары функцияны көпмүшелер арқылы жуықтауда (апроксимация – кейбір объектілерді басқалармен, сол немесе басқа мағынада бастапқыға жақын, бірақ қарапайымырақ ауыстырудан тұратын ғылыми әдіс) қолданылады. Атап айтқанда, сызықтық жүйені зерттеу сызықтық жүйені талдаумен ауыстырылатын, қандай да бір мағынада бастапқыға тең келетін тұйық сызықты емес жүйелерді жуықтап көрсету әдістерінің бірі - linearization ((linearis - сызықтық) .) теңдеулер Тейлор қатарын кеңейту және бірінші реттегі барлық мүшелерді кесу арқылы пайда болады.

Осылайша, кез келген дерлік функцияны берілген дәлдікпен көпмүше ретінде көрсетуге болады.

Маклаурин қатарындағы (=Макларен, Тейлор 0 нүктесінің маңында) және 1-ші нүктенің маңындағы Тейлордағы қуат функцияларының кейбір жалпы кеңеюлерінің мысалдары. Тейлор және Макларен қатарларындағы негізгі функциялардың кеңеюінің алғашқы мүшелері.

Маклаурин қатарындағы қуат функцияларының кейбір кеңеюлерінің мысалдары (=McLaren, Taylor 0 нүктесіне жақын)

1-тармаққа жақын кейбір кең тараған Тейлор қатарының кеңеюінің мысалдары

Антитуынды және интегралдық

1. Антитуынды. F(x) функциясы X интервалындағы f (x) функциясы үшін антитуынды деп аталады, егер Х-тен кез келген х үшін F"(x)=f(x) теңдігі орындалса.

Т.7.13 (Егер F(x) X интервалындағы f(x) функциясы үшін антитуынды болса, f(x) функциясының шексіз көп антитуындылары бар және бұл қарсы туындылардың барлығы F (x) + C түрінде болады, мұндағы С – ерікті тұрақты (антитуындының негізгі қасиеті).

2. Антитуындылар кестесі. Антитуынды табу дифференциалдаудың кері операциясы екенін ескере отырып, туындылар кестесінен бастап, келесі антитуындылар кестесін аламыз (қарапайымдылық үшін кестеде F(x) антитуындының жалпы түрі емес, бір антитуынды F(x) көрсетілген. x) + C:

	Антитуынды		Антитуынды

Антитуынды және логарифмдік функция

Логарифмдік функция, көрсеткіштік функцияға кері функция. L. f. арқылы белгіленеді

оның х аргументінің мәніне сәйкес келетін у мәні х санының натурал логарифмі деп аталады. Анықтама бойынша (1) қатынас эквивалент болып табылады

(e - Непер саны). Кез келген нақты у үшін ey > 0 болғандықтан, онда L.f. x > 0 үшін ғана анықталады. Жалпы мағынада L. f. функцияны шақырыңыз

антитуынды интегралдық логарифм

мұндағы a > 0 (a? 1) – логарифмдердің ерікті негізі. Дегенмен, математикалық талдауда InX функциясы ерекше маңызға ие; logaX функциясы оған мына формула арқылы азайтылады:

мұндағы M = 1/In a. L. f. - негізгі элементар функциялардың бірі; оның графигі (1-сурет) логарифмика деп аталады. L. f-тің негізгі қасиеттері. көрсеткіштік функцияның және логарифмдердің сәйкес қасиеттерінен шығу; мысалы, L. f. функционалдық теңдеуді қанағаттандырады

Үшін - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Көптеген интегралдар сызықтық функциялар арқылы өрнектеледі; Мысалы

L. f. математикалық талдауда және оны қолдануда үнемі орын алады.

L. f. 17 ғасырдағы математиктерге жақсы белгілі болды. Алғаш рет L. f. арқылы өрнектелген айнымалы шамалар арасындағы тәуелділікті Дж.Напье (1614) қарастырды. Ол сандар мен олардың логарифмдері арасындағы байланысты параллель түзулер бойымен қозғалатын екі нүктені пайдаланып көрсетті (2-сурет). Олардың бірі (Y) С-ден бастап бірқалыпты қозғалады, ал екіншісі (X) А-дан бастап, В-ға дейінгі қашықтығына пропорционал жылдамдықпен қозғалады. Егер SU = y, XB = x қойсақ, онда сәйкес бұл анықтама,

dx/dy = - kx, қайдан.

L. f. күрделі жазықтықта z аргументінің барлық мәндері үшін анықталған көп мәнді (шексіз мәнді) функция болып табылады? 0 Lnz арқылы белгіленеді. Осы функцияның бір мәнді тармағы ретінде анықталған

Inz = In?z?+ i arg z,

мұндағы arg z – сызықтық функцияның негізгі мәні деп аталатын z комплекс санының аргументі. Бізде бар

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

L. f барлық мағыналары. теріс үшін: нақты z - күрделі сандар. Бірінші қанағаттанарлық теориясы L. f. күрделі жазықтықта анықтамадан шыққан Л.Эйлер (1749) берген