განვითარების მეთოდები

სხვადასხვა სიმძლავრის მქონე რიცხვების ნამრავლი. ხარისხი და მისი თვისებები. ამომწურავი სახელმძღვანელო (2020). გრადუსების ძირითადი თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

წინა სტატიაში ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის მონომები. ამ მასალაში ჩვენ გავაანალიზებთ, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ მაგალითები და პრობლემები, რომლებშიც ისინი გამოიყენება. აქ განვიხილავთ ისეთ მოქმედებებს, როგორიცაა გამოკლება, შეკრება, გამრავლება, მონომების გაყოფა და მათი ბუნებრივი მაჩვენებლის ხარისხზე აყვანა. ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ არის განსაზღვრული ასეთი ოპერაციები, მივუთითებთ მათი განხორციელების ძირითად წესებს და რა უნდა იყოს შედეგი. ყველა თეორიული დებულება, ჩვეულებისამებრ, ილუსტრირებული იქნება ამოცანების მაგალითებით გადაწყვეტილებების აღწერით.

ყველაზე მოსახერხებელია მონომების სტანდარტული აღნიშვნით მუშაობა, ამიტომ წარმოგიდგენთ ყველა გამონათქვამს, რომელიც გამოყენებული იქნება სტატიაში სტანდარტული ფორმით. თუ ისინი თავდაპირველად განსხვავებულად არის დაყენებული, რეკომენდირებულია პირველ რიგში მიიყვანოთ ისინი ზოგადად მიღებულ ფორმაში.

მონომების შეკრებისა და გამოკლების წესები

უმარტივესი მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მონომებით, არის გამოკლება და შეკრება. ზოგად შემთხვევაში, ამ მოქმედებების შედეგი იქნება მრავალწევრი (მონომილი შესაძლებელია ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევაში).

როდესაც ვამატებთ ან ვაკლებთ მონომებს, ჯერ ვწერთ შესაბამის ჯამს და განსხვავებას ზოგადად მიღებული ფორმით, რის შემდეგაც ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას. თუ არის მსგავსი ტერმინები, უნდა იყოს მითითებული, ფრჩხილები უნდა გაიხსნას. ავხსნათ მაგალითით.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:დაამატეთ მონომები − 3 · x და 2, 72 · x 3 · y 5 · z.

გამოსავალი

ჩამოვწეროთ ორიგინალური გამონათქვამების ჯამი. დაამატე ფრჩხილები და მათ შორის დადეთ პლუს ნიშანი. ჩვენ მივიღებთ შემდეგს:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

როდესაც ფრჩხილებს გავაფართოვებთ, მივიღებთ - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. ეს არის მრავალწევრი, დაწერილი სტანდარტული ფორმით, რომელიც იქნება ამ მონომების დამატების შედეგი.

პასუხი:(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

თუ გვაქვს სამი, ოთხი ან მეტი ტერმინი მოცემული, ამ მოქმედებას ანალოგიურად ვასრულებთ.

მაგალითი 2

მდგომარეობა:შეასრულეთ მოცემული მოქმედებები მრავალწევრებით სწორი თანმიმდევრობით

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

გამოსავალი

დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნით.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებული გამოხატულება შეიძლება გამარტივდეს მსგავსი ტერმინების შემცირებით:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

გვაქვს მრავალწევრი, რომელიც იქნება ამ მოქმედების შედეგი.

პასუხი: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

პრინციპში შეგვიძლია ორი მონომის შეკრება და გამოკლება, გარკვეული შეზღუდვებით, ისე, რომ მივიღოთ მონომი. ამისათვის საჭიროა დაიცვან გარკვეული პირობები ტერმინებთან და გამოკლებულ მონომებთან დაკავშირებით. ჩვენ აღვწერთ, თუ როგორ კეთდება ეს ცალკე სტატიაში.

მონომების გამრავლების წესები

გამრავლების მოქმედება არ აწესებს რაიმე შეზღუდვას მულტიპლიკატორებზე. გასამრავლებელი მონომები არ უნდა აკმაყოფილებდეს დამატებით პირობებს, რათა შედეგი იყოს მონომი.

მონომების გამრავლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

ჩაწერეთ ნაჭერი სწორად.
გააფართოვეთ ფრჩხილები შედეგად გამოსახულებაში.
დაჯგუფება, თუ შესაძლებელია, ფაქტორები იგივე ცვლადებით და რიცხვითი ფაქტორები ცალ-ცალკე.
შეასრულეთ საჭირო მოქმედებები რიცხვებით და გამოიყენეთ იგივე საფუძვლებით ძალაუფლების გამრავლების თვისება დარჩენილ ფაქტორებზე.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:გავამრავლოთ მონომები 2 · x 4 · y · z და - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

გამოსავალი

დავიწყოთ ნაწარმოების შემადგენლობით.

ვხსნით მასში ფრჩხილებს და ვიღებთ შემდეგს:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

ჩვენ მხოლოდ უნდა გავამრავლოთ რიცხვები პირველ ფრჩხილებში და გამოვიყენოთ power თვისება მეორეზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

პასუხი: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

თუ ჩვენ გვაქვს სამი ან მეტი მრავალწევრი პირობით, ვამრავლებთ მათ ზუსტად იგივე ალგორითმის გამოყენებით. ცალკე მასალაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ მონომების გამრავლების საკითხს.

მონომის ძალაუფლებაზე აყვანის წესები

ჩვენ ვიცით, რომ გარკვეული რაოდენობის იდენტური ფაქტორების ნამრავლს ეწოდება ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით. მათი რიცხვი მითითებულია ინდიკატორის ნომრით. ამ განსაზღვრების მიხედვით, მონომის ხარისხზე აყვანა უდრის მითითებული რაოდენობის იდენტური მონომების გამრავლებას. ვნახოთ, როგორ კეთდება.

მაგალითი 4

მდგომარეობა:აწიეთ მონომი − 2 · a · b 4 3-ის ხარისხზე.

გამოსავალი

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ სიმძლავრე 3 მონომის გამრავლებით − 2 · a · b 4 . ჩავწეროთ და მივიღოთ სასურველი პასუხი:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

პასუხი:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

მაგრამ რა შეიძლება ითქვას, როცა ხარისხს დიდი მაჩვენებელი აქვს? მულტიპლიკატორების დიდი რაოდენობის ჩაწერა მოუხერხებელია. შემდეგ, ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ხარისხის თვისებები, კერძოდ, პროდუქტის ხარისხის თვისება და ხარისხის თვისება ხარისხში.

მოდით გადავჭრათ ზემოთ მოყვანილი პრობლემა მითითებული გზით.

მაგალითი 5

მდგომარეობა:აწიეთ − 2 · a · b 4 მესამე ხარისხზე.

გამოსავალი

ხარისხში ხარისხის საკუთრების ცოდნით, შეგვიძლია გადავიდეთ შემდეგი ფორმის გამოხატვაზე:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

ამის შემდეგ, ჩვენ ავწევთ სიმძლავრეზე - 2 და ვიყენებთ მაჩვენებლის თვისებას:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

პასუხი:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

ჩვენ ასევე მივუძღვენით ცალკე სტატიას მონომის ამაღლებას ძალაუფლებაზე.

მონომების გაყოფის წესები

ბოლო მოქმედება მონომებთან, რომელსაც გავაანალიზებთ ამ მასალაში, არის მონომის დაყოფა მონომებზე. შედეგად უნდა მივიღოთ რაციონალური (ალგებრული) წილადი (ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მონომის მიღება). მოდით, დაუყოვნებლივ განვმარტოთ, რომ გაყოფა ნულოვანი მონომით არ არის განსაზღვრული, რადგან გაყოფა 0-ზე არ არის განსაზღვრული.

გაყოფის შესასრულებლად უნდა ჩავწეროთ მითითებული მონომები წილადის სახით და შეძლებისდაგვარად შევამციროთ.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:გაყავით მონომი − 9 x 4 y 3 z 7 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2-ზე.

გამოსავალი

დავიწყოთ მონომების წილადის სახით ჩაწერით.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

ეს ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. ამის შემდეგ მივიღებთ:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

პასუხი:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

ცალკეულ სტატიაში მოცემულია პირობები, რომლებშიც მონომების გაყოფის შედეგად ვიღებთ მონომს.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აროდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება:

ვარa n = a m + n.

2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n b n c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n / b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(am) n = a m n .

თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

Მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:

4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდით ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.რიცხვის ხარისხი არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ.

Მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, თქვენ გჭირდებათ ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს.

Მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად მაგრამხარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა მაგრამ.

მათემატიკაში ხარისხის ცნება შემოღებულია უკვე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილზე. და მომავალში, მათემატიკის შესწავლის განმავლობაში, ეს კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა ფორმით. ხარისხი საკმაოდ რთული თემაა, რომელიც მოითხოვს ღირებულებების დამახსოვრებას და სწორად და სწრაფად დათვლის უნარს. მათემატიკის ხარისხებთან უფრო სწრაფი და უკეთესი მუშაობისთვის, მათ მიიღეს ხარისხის თვისებები. ისინი ხელს უწყობენ დიდი გამოთვლების შემცირებას, უზარმაზარი მაგალითის გარკვეულ რიცხვად გადაქცევას. ამდენი თვისება არ არის და ყველა მათგანი ადვილად დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. აქედან გამომდინარე, სტატიაში განხილულია ხარისხის ძირითადი თვისებები, ასევე სად გამოიყენება ისინი.

ხარისხის თვისებები

ჩვენ განვიხილავთ ხარისხის 12 თვისებას, მათ შორის ერთიდაიგივე ფუძის მქონე ძალაუფლების თვისებებს და მოვიყვანთ მაგალითს თითოეული თვისებისთვის. თითოეული ეს თვისება დაგეხმარებათ გადაჭრათ პრობლემები ხარისხით უფრო სწრაფად, ასევე დაზოგოთ მრავალი გამოთვლითი შეცდომისგან.

1-ლი ქონება.

ბევრი ადამიანი ხშირად ივიწყებს ამ თვისებას, უშვებს შეცდომებს, ნულოვანი ხარისხით რიცხვს ნულის სახით წარმოადგენს.

მე-2 ქონება.

მე-3 ქონება.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ თვისების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების გამრავლებისას, ის არ მუშაობს ჯამით! და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს და შემდეგი თვისებები ვრცელდება მხოლოდ იმავე ბაზის მქონე ძალებზე.

მე-4 ქონება.

თუ მნიშვნელში რიცხვი ამაღლებულია უარყოფით ხარისხზე, მაშინ გამოკლებისას მნიშვნელის ხარისხი აღებულია ფრჩხილებში, რათა სწორად შეიცვალოს ნიშანი შემდგომი გამოთვლებით.

ქონება მუშაობს მხოლოდ გაყოფისას და არა გამოკლებისას!

მე-5 ქონება.

მე-6 ქონება.

ეს თვისება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპიროდ. ერთეული, რომელიც გარკვეულწილად იყოფა რიცხვზე, არის ეს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე.

მე-7 ქონება.

ეს თვისება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯამზე და განსხვავებაზე! ჯამის ან სხვაობის ხარისხზე გაზრდისას გამოიყენება გამრავლების შემოკლებული ფორმულები და არა სიმძლავრის თვისებები.

მე-8 ქონება.

მე-9 ქონება.

ეს თვისება მუშაობს ნებისმიერ წილად ხარისხზე ერთის ტოლი მრიცხველით, ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ფესვის ხარისხი შეიცვლება ხარისხის მნიშვნელის მიხედვით.

ასევე, ეს ქონება ხშირად გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით. რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრის ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ეს რიცხვი ერთის ხარისხში გაყოფილი ფესვის ხარისხზე. ეს თვისება ძალიან სასარგებლოა იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვის ფესვი არ არის ამოღებული.

მე-10 ქონება.

ეს ქონება მუშაობს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვით და მეორე ხარისხით. თუ ფესვის ხარისხი და ამ ფესვის ამაღლების ხარისხი ერთნაირია, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება.

მე-11 ქონება.

თქვენ უნდა შეძლოთ ამ თვისების დროულად დანახვა მისი ამოხსნისას, რათა თავი დააღწიოთ თავს უზარმაზარი გათვლებისგან.

მე-12 ქონება.

თითოეული ეს თვისება შეგხვდებათ არაერთხელ დავალებაში, ის შეიძლება იყოს სუფთა სახით, ან შეიძლება მოითხოვოს გარკვეული ტრანსფორმაციები და სხვა ფორმულების გამოყენება. ამიტომ სწორი ამოხსნისთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ თვისებების ცოდნა, საჭიროა ივარჯიშოთ და დააკავშიროთ დანარჩენი მათემატიკური ცოდნა.

ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები

ისინი აქტიურად გამოიყენება ალგებრასა და გეომეტრიაში. ცალკე, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკის ხარისხს. მათი დახმარებით იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები, ასევე ძლიერებები ხშირად ართულებს მათემატიკის სხვა სექციებთან დაკავშირებულ განტოლებებსა და მაგალითებს. ექსპონენტები ხელს უწყობენ დიდი და გრძელი გამოთვლების თავიდან აცილებას, უფრო ადვილია ექსპონენტების შემცირება და გამოთვლა. მაგრამ დიდი სიმძლავრეებით, ან დიდი რიცხვების სიმძლავრეებით მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ ხარისხის თვისებები, არამედ კომპეტენტურად იმუშაოთ საფუძვლებთან, შეძლოთ მათი დაშლა, რათა თქვენი დავალება გაგიადვილოთ. მოხერხებულობისთვის, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ სიძლიერეზე აყვანილი რიცხვების მნიშვნელობა. ეს შეამცირებს თქვენს დროს გადაჭრის დროს ხანგრძლივი გამოთვლების საჭიროების აღმოფხვრის გზით.

ხარისხის ცნება განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ლოგარითმებში. ვინაიდან ლოგარითმი, არსებითად, არის რიცხვის ძალა.

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ძალაუფლების გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია. მათ არ შეუძლიათ ხარისხების თვისებების გამოყენება, ისინი იშლება სპეციალური წესების მიხედვით, მაგრამ ყოველ შემოკლებულ გამრავლების ფორმულაში უცვლელად არის გრადუსები.

დიპლომები ასევე აქტიურად გამოიყენება ფიზიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ყველა თარგმანი SI სისტემაში ხდება გრადუსების გამოყენებით, ხოლო მომავალში, პრობლემების გადაჭრისას, გამოიყენება ხარისხის თვისებები. კომპიუტერულ მეცნიერებაში აქტიურად გამოიყენება ორი ძალა, რიცხვების დათვლისა და აღქმის გასამარტივებლად. შემდგომი გამოთვლები საზომი ერთეულების გარდაქმნაზე ან ამოცანების გამოთვლებზე, ისევე როგორც ფიზიკაში, ხდება ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

ხარისხები ასევე ძალიან სასარგებლოა ასტრონომიაში, სადაც იშვიათად შეგიძლიათ იპოვოთ ხარისხის თვისებების გამოყენება, მაგრამ თავად გრადუსები აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა რაოდენობისა და მანძილების ჩაწერის შესამცირებლად.

ხარისხები გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც, ფართობების, მოცულობების, მანძილების გაანგარიშებისას.

ხარისხების დახმარებით, ძალიან დიდი და ძალიან მცირე მნიშვნელობები იწერება მეცნიერების ნებისმიერ დარგში.

ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები

ხარისხის თვისებებს განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ზუსტად ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობაში. ეს ამოცანები ძალიან ხშირია, როგორც სკოლის კურსზე, ასევე გამოცდებზე. ყველა მათგანი მოგვარებულია ხარისხის თვისებების გამოყენებით. უცნობი ყოველთვის თავად ხარისხშია, ამიტომ, ყველა თვისების ცოდნით, ასეთი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა არ იქნება რთული.

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი გაცვლიან, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.

მაგრამ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები.

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული ძალა ბაზით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.

მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:

აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:

ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

შევაჯამოთ:

I. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული შემთხვევაში. თუ, მაშინ.

II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .

III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულის უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:

ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ ამოხსნით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.

იმის გასაგებად რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.

ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .

თურმე რომ. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .

ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:

მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

- ნატურალური რიცხვი;
არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 პრაქტიკის მაგალითი

ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი

1. არ დაივიწყოთ გრადუსების ჩვეულებრივი თვისებები:

2. . აქვე გავიხსენებთ, რომ დაგვავიწყდა ხარისხების ცხრილის სწავლა:

ბოლოს და ბოლოს - ეს ან. გამოსავალი ავტომატურად მოიძებნება: .

კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა

მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე;

...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;

...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:

ახლა შეხედე ქულას. ის რამეს გახსენებს? გავიხსენებთ კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულას:

Ამ შემთხვევაში,

გამოდის, რომ:

პასუხი: .

2. წილადები მაჩვენებლებში ერთსა და იმავე ფორმაზე მივყავართ: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:

პასუხი: 16

3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

— ხარისხის საფუძველი;
- ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:

(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

- ნატურალური რიცხვი;
არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხის თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

Განმარტებით:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოხატვის გამარტივება.

გამოსავალი : .

მაგალითი : გამოხატვის გამარტივება.

გამოსავალი : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაწყოთ ასე:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს ასე არ არის, ნამდვილად.

ძალა უარყოფითი ბაზისით.

ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.

და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:

თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალითში 5), ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:

გადაწყვეტილებები :

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას წესი 3. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოიყურება:

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!მისი შეცვლა შეუძლებელია ჩვენთვის მხოლოდ ერთი უსიამოვნო მინუსის შეცვლით!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი მთელი რიცხვის უარყოფითი ინდიკატორით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

პასუხები:

გახსოვდეთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
წილადებს მივყავართ ერთი და იგივე ფორმამდე: ან ორივე ათწილადი, ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხის თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!

გაკვეთილის შინაარსი

რა არის დიპლომი?

ხარისხირამდენიმე იდენტური ფაქტორის ნამრავლს უწოდებენ. Მაგალითად:

2×2×2

ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის 8

2 x 2 x 2 = 8

ამ განტოლების მარცხენა მხარე შეიძლება უფრო მოკლე იყოს - ჯერ ჩაწერეთ განმეორებითი ფაქტორი და მიუთითეთ მასზე რამდენჯერ მეორდება. განმეორებითი მამრავლი ამ შემთხვევაში არის 2. ის მეორდება სამჯერ. მაშასადამე, დიუსზე ვწერთ სამეულს:

2 3 = 8

ეს გამოთქმა ასე იკითხება: ორიდან მესამე ხარისხამდე უდრის რვას ან " 2-ის მესამე ხარისხი არის 8.

უფრო ხშირად გამოიყენება ერთი და იგივე ფაქტორების გამრავლების წერის მოკლე ფორმა. მაშასადამე, უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ რომელიმე რიცხვზე სხვა რიცხვია ჩაწერილი, მაშინ ეს არის რამდენიმე იდენტური ფაქტორის გამრავლება.

მაგალითად, თუ მოცემულია გამოთქმა 5 3, მაშინ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ეს გამოთქმა უდრის 5 × 5 × 5 ჩაწერას.

რიცხვს, რომელიც მეორდება, ეწოდება ხარისხის საფუძველი. გამოსახულებაში 5 3 ხარისხის საფუძველია რიცხვი 5.

და რიცხვი, რომელიც 5 რიცხვის ზემოთ არის ჩაწერილი, ეწოდება ექსპონენტი. გამოხატულებაში 5 3 მაჩვენებლის მაჩვენებელია რიცხვი 3. მაჩვენებელი გვიჩვენებს რამდენჯერ მეორდება ხარისხის ფუძე. ჩვენს შემთხვევაში, ბაზის 5 მეორდება სამჯერ.

იდენტური ფაქტორების გამრავლების ოპერაცია ეწოდება ექსპონენტაცია.

მაგალითად, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ ოთხი იდენტური ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს, მაშინ ამბობენ, რომ ნომერი 2 აყვანილია მეოთხე ძალამდე:

ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 2 მეოთხე ხარისხში არის რიცხვი 16.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ ვუყურებთ გრადუსი ბუნებრივი მაჩვენებლით. ეს არის ერთგვარი ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი. შეგახსენებთ, რომ ნატურალური რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც მეტია ნულზე. მაგალითად, 1, 2, 3 და ასე შემდეგ.

ზოგადად, ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით ასეთია:

ხარისხი აბუნებრივი მაჩვენებლით ნფორმის გამოხატულებაა a n, რომელიც უდრის პროდუქტს ნმამრავლები, რომელთაგან თითოეული უდრის ა

მაგალითები:

სიფრთხილე გმართებთ რიცხვის ხარისხამდე აწევისას. ხშირად, უყურადღებობის გამო, ადამიანი ამრავლებს ხარისხის საფუძველს ექსპონენტზე.

მაგალითად, რიცხვი 5 მეორე ხარისხზე არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 5-ს. ეს ნამრავლი უდრის 25-ს.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნებურად გავამრავლეთ ფუძე 5 მაჩვენებელ 2-ზე

იყო შეცდომა, რადგან რიცხვი 5 მეორე ხარისხში არ არის 10-ის ტოლი.

გარდა ამისა, უნდა აღინიშნოს, რომ რიცხვის სიძლიერე 1-ის მაჩვენებლით არის თავად რიცხვი:

მაგალითად, რიცხვი 5 პირველ ხარისხში არის თავად ნომერი 5.

შესაბამისად, თუ რიცხვს არ აქვს მაჩვენებელი, მაშინ უნდა ვივარაუდოთ, რომ მაჩვენებელი ერთის ტოლია.

მაგალითად, რიცხვები 1, 2, 3 მოცემულია მაჩვენებლის გარეშე, ამიტომ მათი მაჩვენებლები ერთის ტოლი იქნება. თითოეული ეს რიცხვი შეიძლება დაიწეროს 1-ის მაჩვენებლით

და თუ 0-ს ამაღლებ რომელიმე ხარისხზე, მიიღებ 0-ს. მართლაც, რამდენჯერაც არ უნდა გამრავლდეს არაფერი თავისთავად, არაფერი გამოვა. მაგალითები:

და გამოხატვას 0 0 აზრი არ აქვს. მაგრამ მათემატიკის ზოგიერთ ფილიალში, კერძოდ ანალიზსა და სიმრავლეების თეორიაში, გამოხატულება 0 0 შეიძლება იყოს აზრი.

ტრენინგისთვის ჩვენ მოვაგვარებთ რიცხვების ხარისხზე აყვანის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1აწიეთ რიცხვი 3 მეორე ხარისხზე.

რიცხვი 3 მეორე ხარისხში არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 3-ს

3 2 = 3 × 3 = 9

მაგალითი 2აწიეთ ნომერი 2 მეოთხე ხარისხზე.

რიცხვი 2 მეოთხე ხარისხამდე არის ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

მაგალითი 3აწიეთ ნომერი 2 მესამე ხარისხზე.

რიცხვი 2 მესამე ხარისხამდე არის სამი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

რიცხვი 10-ის გაძლიერება

10 რიცხვის ხარისხზე ასამაღლებლად საკმარისია ერთეულის შემდეგ ნულების რიცხვის დამატება, მაჩვენებლის ტოლი.

მაგალითად, ავწიოთ რიცხვი 10 მეორე ხარისხზე. პირველ რიგში, ჩვენ თვითონ ვწერთ რიცხვს 10 და ინდიკატორად მივუთითებთ რიცხვს 2

10 2

ახლა ვსვამთ ტოლობის ნიშანს, ვწერთ ერთს და ამის შემდეგ ვწერთ ორ ნულს, რადგან ნულების რაოდენობა უნდა იყოს მაჩვენებლის ტოლი.

10 2 = 100

ასე რომ, რიცხვი 10 მეორე ხარისხზე არის რიცხვი 100. ეს გამოწვეულია იმით, რომ რიცხვი 10 მეორე ხარისხზე არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 10-ს.

10 2 = 10 × 10 = 100

მაგალითი 2. ავწიოთ რიცხვი 10 მესამე ხარისხზე.

ამ შემთხვევაში, ერთის შემდეგ იქნება სამი ნული:

10 3 = 1000

მაგალითი 3. ავიყვანოთ რიცხვი 10 მეოთხე ხარისხზე.

ამ შემთხვევაში, ერთის შემდეგ იქნება ოთხი ნული:

10 4 = 10000

მაგალითი 4. ავიყვანოთ რიცხვი 10 პირველ ხარისხზე.

ამ შემთხვევაში, იქნება ერთი ნული ერთის შემდეგ:

10 1 = 10

10, 100, 1000 რიცხვების წარმოდგენა 10 ფუძის მქონე ხარისხად

10, 100, 1000 და 10000 რიცხვების წარმოსადგენად ხარისხად 10 ფუძით, თქვენ უნდა დაწეროთ ფუძე 10 და მიუთითოთ რიცხვი, რომელიც ტოლია თავდაპირველ რიცხვში ნულების რიცხვის მაჩვენებლად.

გამოვსახოთ რიცხვი 10, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით. ვხედავთ, რომ მას აქვს ერთი ნული. ასე რომ, რიცხვი 10, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით, წარმოდგენილი იქნება როგორც 10 1

10 = 10 1

მაგალითი 2. გამოვსახოთ რიცხვი 100, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით. ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 100 შეიცავს ორ ნულს. ასე რომ, რიცხვი 100, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით, წარმოდგენილი იქნება როგორც 10 2

100 = 10 2

მაგალითი 3. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 1000, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით.

1 000 = 10 3

მაგალითი 4. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 10000, როგორც სიმძლავრე 10 ფუძით.

10 000 = 10 4

უარყოფითი რიცხვის გაძლიერება

უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანისას ის უნდა იყოს ჩასმული ფრჩხილებში.

მაგალითად, ავწიოთ უარყოფითი რიცხვი −2 მეორე ხარისხზე. რიცხვი −2 მეორე ხარისხამდე არის ორი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

რიცხვი -2 რომ არ ჩავსვათ ფრჩხილებში, გამოვთვლით გამოთქმას -2 2, რომელიც არ უდრის 4 . გამოთქმა -2² იქნება -4-ის ტოლი. იმის გასაგებად, თუ რატომ, შევეხოთ რამდენიმე პუნქტს.

როდესაც დადებითი რიცხვის წინ მინუსს ვდებთ, ამით ვასრულებთ საპირისპირო მნიშვნელობის აღების ოპერაცია.

ვთქვათ, მოცემულია რიცხვი 2 და თქვენ უნდა იპოვოთ მისი საპირისპირო რიცხვი. ვიცით, რომ 2-ის საპირისპირო არის −2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 2-ის საპირისპირო რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ამ რიცხვის წინ მინუსი დავაყენოთ. რიცხვის წინ მინუსის ჩასმა მათემატიკაში უკვე სრულფასოვან ოპერაციად ითვლება. ამ ოპერაციას, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, საპირისპირო მნიშვნელობის აღების ოპერაციას უწოდებენ.

-2 2 გამოხატვის შემთხვევაში ხდება ორი ოპერაცია: საპირისპირო მნიშვნელობის აღების ოპერაცია და გაძლიერება. სიმძლავრემდე აწევა უფრო პრიორიტეტული ოპერაციაა, ვიდრე საპირისპირო მნიშვნელობის მიღება.

აქედან გამომდინარე, გამოხატულება −2 2 გამოითვლება ორ ეტაპად. პირველ რიგში, შესრულებულია ექსპონენტაციის ოპერაცია. ამ შემთხვევაში დადებითი ნომერი 2 ავიდა მეორე ხარისხში.

შემდეგ მიიღეს საპირისპირო მნიშვნელობა. ეს საპირისპირო მნიშვნელობა იქნა ნაპოვნი 4-ისთვის. ხოლო 4-ის საპირისპირო მნიშვნელობა არის -4

−2 2 = −4

ფრჩხილებს აქვს შესრულების უმაღლესი უპირატესობა. მაშასადამე, (−2) 2 გამოხატვის გამოთვლის შემთხვევაში ჯერ იღებენ საპირისპირო მნიშვნელობას, შემდეგ კი უარყოფითი რიცხვი −2 ამაღლებულია მეორე ხარისხში. შედეგი არის დადებითი პასუხი 4, რადგან უარყოფითი რიცხვების ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი.

მაგალითი 2. აწიეთ რიცხვი −2 მესამე ხარისხამდე.

რიცხვი −2 მესამე ხარისხამდე არის სამი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

მაგალითი 3. ასწიეთ რიცხვი −2 მეოთხე ხარისხამდე.

რიცხვი −2 მეოთხე ხარისხამდე არის ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული ტოლია (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

ადვილი მისახვედრია, რომ უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანისას შეიძლება მივიღოთ ან დადებითი ან უარყოფითი პასუხი. პასუხის ნიშანი დამოკიდებულია საწყისი ხარისხის მაჩვენებელზე.

თუ მაჩვენებელი ლუწია, მაშინ პასუხი არის დიახ. თუ მაჩვენებელი კენტია, პასუხი უარყოფითია. ეს ვაჩვენოთ −3 რიცხვის მაგალითზე

პირველ და მესამე შემთხვევაში მაჩვენებელი იყო კენტინომერი, ასე რომ პასუხი გახდა უარყოფითი.

მეორე და მეოთხე შემთხვევაში მაჩვენებელი იყო თუნდაცნომერი, ასე რომ პასუხი გახდა დადებითი.

მაგალითი 7აწიეთ რიცხვი -5 მესამე ხარისხზე.

რიცხვი -5 მესამე ხარისხამდე არის სამი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის -5-ს. მაჩვენებელი 3 არის კენტი რიცხვი, ამიტომ წინასწარ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პასუხი უარყოფითი იქნება:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

მაგალითი 8აწიეთ რიცხვი -4 მეოთხე ხარისხამდე.

რიცხვი -4 მეოთხე ხარისხამდე არის ოთხი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის -4-ს. ამ შემთხვევაში, მაჩვენებელი 4 არის თანაბარი, ასე რომ, წინასწარ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პასუხი დადებითი იქნება:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

გამოხატვის მნიშვნელობების მოძიება

გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნისას, რომლებიც არ შეიცავს ფრჩხილებს, ჯერ შესრულდება გაძლიერება, შემდეგ გამრავლება და გაყოფა მათი თანმიმდევრობით, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება მათი თანმიმდევრობით.

მაგალითი 1. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 + 5 2

პირველ რიგში, ექსპონენტაცია ხორციელდება. ამ შემთხვევაში რიცხვი 5 ამაღლებულია მეორე ხარისხზე - გამოდის 25. შემდეგ ეს შედეგი ემატება 2 რიცხვს.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

მაგალითი 10. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −6 2 × (−12)

პირველ რიგში, ექსპონენტაცია ხორციელდება. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი −6 არ არის ფრჩხილებში, ამიტომ რიცხვი 6 ამაღლდება მეორე ხარისხზე, შემდეგ მინუსი დაიდება შედეგის წინ:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

ჩვენ ვასრულებთ მაგალითს −36-ზე (−12)-ზე გამრავლებით.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

მაგალითი 11. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −3 × 2 2

პირველ რიგში, ექსპონენტაცია ხორციელდება. შემდეგ შედეგი მრავლდება რიცხვით -3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

თუ გამოთქმა შეიცავს ფრჩხილებს, მაშინ ჯერ უნდა შეასრულოთ მოქმედებები ამ ფრჩხილებში, შემდეგ გაძლიერება, შემდეგ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება.

მაგალითი 12. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

ჯერ ფრჩხილები გავაკეთოთ. ფრჩხილებში ვიყენებთ ადრე ნასწავლ წესებს, კერძოდ, ჯერ ავწიოთ რიცხვი 3 მეორე ხარისხზე, შემდეგ ვაწარმოოთ გამრავლება 1 × 3, შემდეგ დავამატოთ 3 რიცხვის სიმძლავრეზე აწევის და 1 × 3-ის გამრავლების შედეგები. შემდეგ გამოკლება და შეკრება ხდება მათი გამოჩენის თანმიმდევრობით. მოდით მოვაწყოთ მოქმედების შესრულების შემდეგი თანმიმდევრობა თავდაპირველ გამონათქვამზე:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

მაგალითი 13. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 × 5 3 + 5 × 2 3

ჯერ ციფრებს ვზრდით ხარისხზე, შემდეგ ვასრულებთ გამრავლებას და ვამატებთ შედეგებს:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

ძალაუფლების იდენტობის გარდაქმნები

სხვადასხვა იდენტური გარდაქმნები შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლებაზე, რითაც გამარტივდება ისინი.

დავუშვათ, რომ საჭირო იყო გამოთვლა (2 3) 2 . ამ მაგალითში, ორიდან მესამე ხარისხამდე ამაღლებულია მეორე ხარისხზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ხარისხი ამაღლებულია სხვა ხარისხით.

(2 3) 2 არის ორი სიმძლავრის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2 3-ს

უფრო მეტიც, თითოეული ეს ძალა არის სამი ფაქტორის პროდუქტი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს

მივიღეთ ნამრავლი 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, რაც უდრის 64-ს. ასე რომ, გამოსახულების მნიშვნელობა (2 3) 2 ან ტოლია 64-ის

ეს მაგალითი შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს. ამისთვის გამოთქმის (2 3) 2 ინდიკატორები შეიძლება გამრავლდეს და ეს ნამრავლი ჩაიწეროს 2 ფუძეზე.

მივიღე 26. ორიდან მეექვსე ხარისხამდე არის ექვსი ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს. ეს ნამრავლი უდრის 64-ს.

ეს თვისება მუშაობს, რადგან 2 3 არის 2 × 2 × 2-ის ნამრავლი, რომელიც თავის მხრივ ორჯერ მეორდება. შემდეგ გამოდის, რომ ბაზა 2 მეორდება ექვსჯერ. აქედან შეგვიძლია დავწეროთ, რომ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 არის 2 6

ზოგადად, ნებისმიერი მიზეზის გამო აინდიკატორებით მდა ნ, მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

(a n)m = a n × m

ამ იდენტურ ტრანსფორმაციას ე.წ ექსპონენტაცია. მისი წაკითხვა შეიძლება ასე: ”როდესაც სიმძლავრე ძლიერდება, ბაზა უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება” .

ინდიკატორების გამრავლების შემდეგ, თქვენ მიიღებთ სხვა ხარისხს, რომლის ღირებულებაც შეგიძლიათ იპოვოთ.

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა (3 2) 2

ამ მაგალითში საფუძველი არის 3, ხოლო რიცხვები 2 და 2 არის მაჩვენებლები. გამოვიყენოთ გაძლიერების წესი. ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს უცვლელად და ვამრავლებთ ინდიკატორებს:

მივიღე 3 4. და რიცხვი 3 მეოთხე ხარისხში არის 81

მოდით შევხედოთ დანარჩენ გარდაქმნებს.

სიმძლავრის გამრავლება

გრადუსების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ თითოეული ხარისხი და გაამრავლოთ შედეგები.

მაგალითად, გავამრავლოთ 2 2 3 3-ზე.

2 2 არის ნომერი 4 და 3 3 არის ნომერი 27 . ვამრავლებთ რიცხვებს 4 და 27, მივიღებთ 108-ს

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

ამ მაგალითში ძალაუფლების საფუძვლები განსხვავებული იყო. თუ ფუძეები ერთი და იგივეა, მაშინ შეიძლება დაიწეროს ერთი ფუძე და ინდიკატორად ჩაწეროთ საწყისი გრადუსების ინდიკატორების ჯამი.

მაგალითად, გაამრავლეთ 2 2 2 3-ზე

ამ მაგალითში, ექსპონენტებს აქვთ იგივე საფუძველი. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაწეროთ ერთი ფუძე 2 და ჩაწეროთ 2 2 და 2 3 მაჩვენებლების ჯამი, როგორც მაჩვენებელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დატოვეთ საფუძველი უცვლელი და დაამატეთ ორიგინალური გრადუსების მაჩვენებლები. ეს ასე გამოიყურება:

მივიღე 25. ნომერი 2 მეხუთე ხარისხამდე არის 32

ეს თვისება მუშაობს, რადგან 2 2 არის 2 × 2-ის ნამრავლი და 2 3 არის 2 × 2 × 2-ის ნამრავლი. შემდეგ მიიღება ხუთი იდენტური ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს. ეს პროდუქტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 5

ზოგადად, ნებისმიერი ადა ინდიკატორები მდა ნმოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

ამ იდენტურ ტრანსფორმაციას ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება. მისი წაკითხვა შეიძლება ასე: პძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები. .

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ტრანსფორმაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი რაოდენობის გრადუსზე. მთავარი ის არის, რომ ბაზა იგივეა.

მაგალითად, ვიპოვოთ 2 1 × 2 2 × 2 3 გამოხატვის მნიშვნელობა. ფონდი 2

ზოგიერთ პრობლემაში შესაძლოა საკმარისი იყოს შესაბამისი ტრანსფორმაციის შესრულება საბოლოო ხარისხის გამოთვლის გარეშე. ეს, რა თქმა უნდა, ძალიან მოსახერხებელია, რადგან არც ისე ადვილია დიდი სიმძლავრის გამოთვლა.

მაგალითი 1. სიმძლავრის სახით გამოხატეთ გამოხატულება 5 8 × 25

ამ პრობლემაში, თქვენ უნდა გააკეთოთ ის ისე, რომ 5 8 × 25 გამოხატვის ნაცვლად, ერთი ხარისხი მიიღება.

რიცხვი 25 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 5 2 . შემდეგ ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს:

ამ გამონათქვამში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხის ძირითადი თვისება - დატოვეთ 5 ბაზა უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები 8 და 2:

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

მაგალითი 2. სიმძლავრის სახით გამოხატეთ გამოხატულება 2 9 × 32

რიცხვი 32 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 5 . შემდეგ მივიღებთ გამოხატვას 2 9 × 2 5 . შემდეგი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხის საბაზისო თვისება - დატოვეთ საფუძველი 2 უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები 9 და 5. ეს გამოიწვევს შემდეგ გადაწყვეტას:

მაგალითი 3. გამოთვალეთ 3 × 3 პროდუქტი ძირითადი სიმძლავრის თვისების გამოყენებით.

ყველამ კარგად იცის, რომ სამჯერ სამი უდრის ცხრას, მაგრამ ამოცანა მოითხოვს ხარისხის ძირითადი თვისების გამოყენებას ამოხსნის პროცესში. Როგორ გავაკეთო ეს?

შეგახსენებთ, რომ თუ რიცხვი მოცემულია ინდიკატორის გარეშე, მაშინ მაჩვენებელი უნდა ჩაითვალოს ერთის ტოლი. ასე რომ, 3 და 3 ფაქტორები შეიძლება დაიწეროს როგორც 3 1 და 3 1

3 1 × 3 1

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ხარისხის ძირითად თვისებას. ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს 3 უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს 1 და 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

მაგალითი 4. გამოთვალეთ პროდუქტი 2 × 2 × 3 2 × 3 3 ძირითადი სიმძლავრის თვისების გამოყენებით.

ჩვენ ვცვლით პროდუქტს 2 × 2 2 1 × 2 1-ით, შემდეგ 2 1 + 1-ით და შემდეგ 2 2-ით. 3 2 × 3 3-ის ნამრავლი იცვლება 3 2 + 3-ით და შემდეგ 3 5-ით

მაგალითი 5. შეასრულეთ გამრავლება x × x

ეს არის ორი იდენტური ანბანური ფაქტორი ინდიკატორებით 1. სიცხადისთვის ჩვენ ჩამოვწერთ ამ ინდიკატორებს. შემდგომი ბაზა xდატოვე უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები:

დაფაზე ყოფნისას არ უნდა ჩაიწეროს ძალაუფლების გამრავლება იმავე ფუძეებით ისე დეტალურად, როგორც აქ კეთდება. ასეთი გამოთვლები უნდა გაკეთდეს გონებაში. დეტალური ჩანაწერი დიდი ალბათობით გააღიზიანებს მასწავლებელს და ის ამისთვის ნიშანს დააკლებს. აქ მოცემულია დეტალური ჩანაწერი, რათა მასალა მაქსიმალურად ხელმისაწვდომი იყოს გასაგებად.

ამ მაგალითის გამოსავალი ასე უნდა დაიწეროს:

მაგალითი 6. შეასრულეთ გამრავლება x 2 × x

მეორე ფაქტორის ინდექსი ერთის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ სიცხადისთვის. შემდეგი, ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

მაგალითი 7. შეასრულეთ გამრავლება წ 3 წ 2 წ

მესამე ფაქტორის ინდექსი ერთის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ სიცხადისთვის. შემდეგი, ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

მაგალითი 8. შეასრულეთ გამრავლება aa 3 a 2 a 5

პირველი ფაქტორის ინდექსი ერთის ტოლია. მოდით ჩამოვწეროთ სიცხადისთვის. შემდეგი, ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

მაგალითი 9. გამოხატეთ 3 8-ის სიმძლავრე, როგორც ძალაუფლების ნამრავლი იმავე ფუძით.

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა გააკეთოთ ძალაუფლების ნამრავლი, რომლის ფუძეები უდრის 3-ს, ხოლო მაჩვენებლების ჯამი იქნება 8-ის ტოლი. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ინდიკატორი. ჩვენ წარმოვადგენთ 3 8 ხარისხს 3 5 და 3 3 ხარისხების ნამრავლად

ამ მაგალითში ჩვენ კვლავ ვეყრდნობოდით ხარისხის ძირითად თვისებას. ბოლოს და ბოლოს, გამონათქვამი 3 5 × 3 3 შეიძლება დაიწეროს როგორც 3 5 + 3, საიდანაც 3 8 .

რა თქმა უნდა, შესაძლებელი იყო სიმძლავრის 3 8 წარმოდგენა, როგორც სხვა ძალების პროდუქტი. მაგალითად, სახით 3 7 × 3 1, რადგან ეს პროდუქტი ასევე არის 3 8

ხარისხის წარმოდგენა, როგორც ძალაუფლების პროდუქტი ერთი და იგივე ბაზისით, ძირითადად შემოქმედებითი სამუშაოა. ასე რომ, ნუ შეგეშინდებათ ექსპერიმენტების.

მაგალითი 10. წარადგინეთ ხარისხი x 12, როგორც სიმძლავრის სხვადასხვა პროდუქტი ბაზებით x .

გამოვიყენოთ ხარისხის მთავარი თვისება. წარმოიდგინე x 12 როგორც პროდუქტები ბაზებით x, და რომლის მაჩვენებლების ჯამი უდრის 12-ს

სიცხადისთვის დაფიქსირდა კონსტრუქციები ინდიკატორთა ჯამებით. უმეტეს შემთხვევაში, მათი გამოტოვება შესაძლებელია. შემდეგ მივიღებთ კომპაქტურ გადაწყვეტას:

პროდუქტის ექსპონენტაცია

პროდუქტის სიმძლავრემდე ასამაღლებლად, თქვენ უნდა ააწიოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მითითებულ სიმძლავრემდე და გაამრავლოთ შედეგები.

მაგალითად, ავიყვანოთ პროდუქტი 2 × 3 მეორე ხარისხზე. ჩვენ ვიღებთ ამ პროდუქტს ფრჩხილებში და ვაჩვენებთ 2-ს, როგორც ინდიკატორს

ახლა მოდით ავიყვანოთ 2 × 3 პროდუქტის თითოეული კოეფიციენტი მეორე ხარისხზე და გავამრავლოთ შედეგები:

ამ წესის მოქმედების პრინციპი ემყარება იმ ხარისხის განსაზღვრას, რომელიც თავიდანვე იქნა მოცემული.

პროდუქტის 2 × 3 მეორე ხარისხზე აწევა ნიშნავს ამ პროდუქტის ორჯერ გამეორებას. და თუ ორჯერ გაიმეორეთ, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი:

2×3×2×3

ფაქტორების ადგილების პერმუტაციიდან პროდუქტი არ იცვლება. ეს საშუალებას გაძლევთ დააჯგუფოთ იგივე მულტიპლიკატორები:

2×2×3×3

განმეორებადი მულტიპლიკატორები შეიძლება შეიცვალოს მოკლე ჩანაწერებით - ბაზები ექსპონენტებით. 2 × 2 პროდუქტი შეიძლება შეიცვალოს 2 2-ით, ხოლო 3 × 3 პროდუქტი შეიძლება შეიცვალოს 3 2-ით. შემდეგ გამოხატულება 2 × 2 × 3 × 3 იქცევა გამოხატულებაში 2 2 × 3 2 .

დაე იყოს აბორიგინალური ნამუშევარი. ამ პროდუქტის ძალაზე აყვანა ნ, ცალკე უნდა წამოწიოთ ფაქტორები ადა ბმითითებულ ხარისხში ნ

ეს ქონება მოქმედებს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებზე. ასევე მოქმედებს შემდეგი გამონათქვამები:

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (2 × 3 × 4) 2

ამ მაგალითში თქვენ უნდა გაზარდოთ პროდუქტი 2 × 3 × 4 მეორე სიმძლავრისკენ. ამისათვის თქვენ უნდა გაზარდოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მეორე ხარისხზე და გაამრავლოთ შედეგები:

მაგალითი 3. აწიეთ პროდუქტი მესამე ძალამდე a×b×c

ჩვენ ვამაგრებთ ამ პროდუქტს ფრჩხილებში და ინდიკატორად მივუთითებთ რიცხვს 3

მაგალითი 4. აწიეთ პროდუქტი მესამე ხარისხზე 3 xyz

ჩვენ ვამაგრებთ ამ პროდუქტს ფრჩხილებში და აღვნიშნავთ 3-ს, როგორც ინდიკატორს

(3xyz) 3

მოდით ავიყვანოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მესამე ხარისხზე:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 წ 3 ზ 3

რიცხვი 3 მესამე ხარისხამდე უდრის რიცხვს 27. დანარჩენს უცვლელად ვტოვებთ:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 წ 3 ზ 3 = 27x 3 წ 3 ზ 3

ზოგიერთ მაგალითში, ძალაუფლების გამრავლება იგივე მაჩვენებლებით შეიძლება შეიცვალოს იმავე მაჩვენებლის მქონე ფუძეების ნამრავლით.

მაგალითად, გამოვთვალოთ 5 2 × 3 2 გამოხატვის მნიშვნელობა. აწიეთ თითოეული რიცხვი მეორე ხარისხზე და გაამრავლეთ შედეგები:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ გამოთვალოთ თითოეული ხარისხი ცალკე. სამაგიეროდ, სიმძლავრეების ეს ნამრავლი შეიძლება შეიცვალოს ნამრავლით ერთი მაჩვენებლით (5 × 3) 2 . შემდეგი, გამოთვალეთ მნიშვნელობა ფრჩხილებში და გაზარდეთ შედეგი მეორე ხარისხზე:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

ამ შემთხვევაში კვლავ გამოიყენეს პროდუქტის ექსპონენტაციის წესი. ბოლოს და ბოლოს, თუ (a x b)ნ = a n × b n , მაშინ a n × b n = (a × b) n. ანუ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარე შებრუნებულია.

ექსპონენტაცია

ჩვენ განვიხილეთ ეს ტრანსფორმაცია, როგორც მაგალითი, როდესაც ვცდილობდით გაგვეგო ხარისხების იდენტური გარდაქმნების არსი.

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება:

(a n)m = a n × m

მაგალითად, გამოთქმა (2 3) 2 არის სიმძლავრის ძლიერებამდე აწევა - ორი მესამე ხარისხზე ამაღლებულია მეორე ხარისხზე. ამ გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად, ბაზისი შეიძლება დარჩეს უცვლელი, ხოლო ექსპონენტები შეიძლება გამრავლდეს:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

ეს წესი ეფუძნება წინა წესებს: პროდუქტის გაძლიერებას და ხარისხის ძირითად თვისებას.

დავუბრუნდეთ გამოთქმას (2 3) 2 . 2 3 ფრჩხილებში გამოსახვა არის სამი იდენტური ფაქტორის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს. შემდეგ გამოსახულებაში (2 3) 2, ფრჩხილებში არსებული სიმძლავრე შეიძლება შეიცვალოს ნამრავლით 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

და ეს არის პროდუქტის ექსპონენტაცია, რომელიც ადრე შევისწავლეთ. შეგახსენებთ, რომ პროდუქტის სიმძლავრემდე ასამაღლებლად, თქვენ უნდა გაზარდოთ ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მითითებულ სიმძლავრემდე და გაამრავლოთ შედეგები:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

ახლა საქმე გვაქვს ხარისხის ძირითად თვისებასთან. ჩვენ ვტოვებთ ბაზას უცვლელად და ვამატებთ ინდიკატორებს:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

როგორც ადრე, მივიღეთ 26. ამ ხარისხის ღირებულებაა 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

პროდუქტი, რომლის ფაქტორებიც ასევე ძალაუფლებაა, ასევე შეიძლება გაიზარდოს სიმძლავრემდე.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა (2 2 × 3 2) 3 . აქ, თითოეული მულტიპლიკატორის ინდიკატორები უნდა გამრავლდეს მთლიან ინდიკატორზე 3. შემდეგი, იპოვნეთ თითოეული ხარისხის მნიშვნელობა და გამოთვალეთ პროდუქტი:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

დაახლოებით იგივე ხდება პროდუქტის სიმძლავრის ამაღლებისას. ჩვენ ვთქვით, რომ პროდუქტის სიმძლავრემდე აყვანისას, ამ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია მითითებულ სიმძლავრემდე.

მაგალითად, 2 × 4 ნამრავლის მესამე ხარისხზე ასამაღლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ შემდეგი გამოხატულება:

მაგრამ ადრე ითქვა, რომ თუ რიცხვი მოცემულია ინდიკატორის გარეშე, მაშინ მაჩვენებელი უნდა ჩაითვალოს ერთის ტოლი. გამოდის, რომ 2 × 4 ნამრავლის ფაქტორებს თავდაპირველად აქვთ 1-ის ტოლი მაჩვენებლები. ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება 2 1 × 4 1 ამაღლდა მესამე ხარისხზე. და ეს არის ხარისხის ამაღლება ძალაუფლებამდე.

გადავიწეროთ ამონახსნი სიმძლავრის წესის გამოყენებით. იგივე შედეგი უნდა მივიღოთ:

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა (3 3) 2

ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს უცვლელად და ვამრავლებთ ინდიკატორებს:

მივიღე 3 6. რიცხვი 3 მეექვსე ხარისხში არის რიცხვი 729

მაგალითი 3xy)³

მაგალითი 4. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოხატვაში ( აბკ)⁵

მოდით ავიყვანოთ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მეხუთე ხარისხზე:

მაგალითი 5ნაჯახი) 3

მოდით ავიყვანოთ პროდუქტის თითოეული ფაქტორი მესამე ხარისხზე:

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვი −2 გაიზარდა მესამე ხარისხში, იგი აღებულია ფრჩხილებში.

მაგალითი 6. შეასრულეთ ექსპონენცია გამოხატულებაში (10 xy) 2

მაგალითი 7. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოსახულებაში (−5 x) 3

მაგალითი 8. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოსახულებაში (−3 წ) 4

მაგალითი 9. შეასრულეთ ექსპონენტაცია გამოსახულებაში (−2 აბქს)⁴

მაგალითი 10. გამოხატვის გამარტივება x 5×( x 2) 3

ხარისხი x 5 ამ დროისთვის უცვლელი დარჩება და გამოხატულებაში ( x 2) 3 შეასრულეთ სიმძლავრეზე სიმძლავრე:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

ახლა გავაკეთოთ გამრავლება x 5 × x 6. ამისთვის ვიყენებთ ხარისხის ძირითად თვისებას - ფუძეს xდატოვე უცვლელი და დაამატეთ ინდიკატორები:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

მაგალითი 9. იპოვეთ 4 3 × 2 2 გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის ძირითადი თვისების გამოყენებით.

ხარისხის ძირითადი თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ საწყისი გრადუსების საფუძვლები იგივეა. ამ მაგალითში, საფუძვლები განსხვავებულია, ამიტომ, დასაწყისისთვის, ორიგინალური გამონათქვამი ოდნავ უნდა შეიცვალოს, კერძოდ, რომ გრადუსების საფუძვლები გახდეს იგივე.

მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ 4 3-ის სიმძლავრეს. ამ ხარისხის საფუძველია რიცხვი 4, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 2 . შემდეგ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს (2 2) 3 × 2 2 ფორმას. გამოსახულებაში (2 2) 3 ხარისხზე გაზომვით მივიღებთ 2 6-ს. შემდეგ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს 2 6 × 2 2 ფორმას, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს ხარისხის ძირითადი თვისების გამოყენებით.

მოდით დავწეროთ ამ მაგალითის ამოხსნა:

უფლებამოსილებების დაყოფა

სიმძლავრის გაყოფის შესასრულებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ თითოეული სიმძლავრის მნიშვნელობა, შემდეგ შეასრულოთ ჩვეულებრივი რიცხვების დაყოფა.

მაგალითად, გავყოთ 4 3 2 2-ზე.

გამოთვალეთ 4 3, მივიღებთ 64-ს. ვიანგარიშებთ 2 2-ს, მივიღებთ 4-ს. ახლა ვყოფთ 64-ს 4-ზე, მივიღებთ 16-ს.

თუ ფუძის გრადუსების გაყოფისას ისინი ერთნაირი აღმოჩნდებიან, მაშინ ფუძე შეიძლება დარჩეს უცვლელი, ხოლო გამყოფის მაჩვენებლის გამოკლება დივიდენდის მაჩვენებელს.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა 2 3: 2 2

ჩვენ ვტოვებთ საფუძველს 2 უცვლელად და გამოვაკლებთ გამყოფის მაჩვენებელს დივიდენდის მაჩვენებელს:

ასე რომ, გამოხატვის 2 3: 2 2 მნიშვნელობა არის 2.

ეს თვისება ეფუძნება ძალაუფლების გამრავლებას იმავე ფუძეებით, ან, როგორც ვამბობდით, ხარისხის ძირითად თვისებას.

დავუბრუნდეთ წინა მაგალითს 2 3: 2 2 . აქ დივიდენდი არის 2 3 და გამყოფი არის 2 2.

ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას, რომელიც გამყოფზე გამრავლების შედეგად მიიღება დივიდენდი.

ჩვენს შემთხვევაში, 2 3-ის 2 2-ზე გაყოფა ნიშნავს სიმძლავრის პოვნას, რომელიც გამყოფზე 2 2-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 2 3-ს. რა სიმძლავრე შეიძლება გავამრავლოთ 2 2-ზე, რომ მივიღოთ 2 3? ცხადია, მხოლოდ ხარისხი 2 1 . ხარისხის ძირითადი თვისებიდან გვაქვს:

თქვენ შეგიძლიათ დაადასტუროთ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3: 2 2 არის 2 1, გამოხატვის 2 3: 2 2 პირდაპირ შეფასებით. ამისათვის ჯერ ვიპოვით 2 3 ხარისხის მნიშვნელობას, მივიღებთ 8-ს. შემდეგ ვიპოვით 2 2 ხარისხის მნიშვნელობას, მივიღებთ 4-ს. გავყოთ 8 4-ზე, მივიღებთ 2 ან 2 1 , ვინაიდან 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

ამრიგად, ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

შეიძლება ასევე მოხდეს, რომ არა მხოლოდ ბაზები, არამედ ინდიკატორებიც ერთნაირი იყოს. ამ შემთხვევაში პასუხი ერთი იქნება.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა 2 2: 2 2 . მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ხარისხის მნიშვნელობა და შევასრულოთ მიღებული რიცხვების გაყოფა:

მაგალითი 2 2: 2 2 ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე საფუძვლებით გრადუსების გაყოფის წესი. შედეგი არის რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრისკენ, რადგან სხვაობა 2 2 და 2 2 მაჩვენებლებს შორის არის ნული:

რატომ უდრის რიცხვი 2 ნულოვან გრადუსამდე ერთს, ზემოთ გავარკვიეთ. თუ თქვენ გამოთვალეთ 2 2: 2 2 ჩვეულებრივი გზით, გრადუსების გაყოფის წესის გამოყენების გარეშე, მიიღებთ ერთს.

მაგალითი 2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა 4 12: 4 10

ვტოვებთ 4-ს უცვლელად და გამოვაკლებთ გამყოფის მაჩვენებელს დივიდენდის მაჩვენებელს:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

მაგალითი 3. პირადი შეტყობინების გაგზავნა x 3: xროგორც ხარისხი ფუძით x

გამოვიყენოთ ხარისხების დაყოფის წესი. ბაზა xდატოვე უცვლელი და გამოაკელი გამყოფის მაჩვენებელი დივიდენდის მაჩვენებელს. გამყოფის მაჩვენებელი უდრის ერთს. სიცხადისთვის, მოდით დავწეროთ:

მაგალითი 4. პირადი შეტყობინების გაგზავნა x 3: x 2, როგორც ძალა ბაზით x

გამოვიყენოთ ხარისხების დაყოფის წესი. ბაზა x

გრადუსების დაყოფა შეიძლება დაიწეროს წილადად. ასე რომ, წინა მაგალითი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება დაიწეროს გაფართოებული ფორმით, კერძოდ, იდენტური ფაქტორების ნამრავლების სახით. ხარისხი x 3 შეიძლება დაიწეროს როგორც x × x × xდა ხარისხი x 2 როგორც x × x. შემდეგ მშენებლობა x 3 − 2 შეიძლება გამოტოვოთ და გამოიყენოთ წილადის შემცირება. მრიცხველში და მნიშვნელში შესაძლებელი იქნება თითოეულის ორი ფაქტორის შემცირება x. შედეგი იქნება ერთი მულტიპლიკატორი x

ან კიდევ უფრო მოკლე:

ასევე, სასარგებლოა ძალებისგან შემდგარი ფრაქციების სწრაფად შემცირება. მაგალითად, წილადი შეიძლება შემცირდეს x 2. წილადის შესამცირებლად x 2 თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი x 2

ხარისხების დაყოფა არ შეიძლება დეტალურად იყოს აღწერილი. ზემოაღნიშნული აბრევიატურა შეიძლება უფრო მოკლე იყოს:

ან კიდევ უფრო მოკლე:

მაგალითი 5. განახორციელეთ გაყოფა x 12 : x 3

გამოვიყენოთ ხარისხების დაყოფის წესი. ბაზა xდატოვე უცვლელი და გამოაკელი გამყოფის მაჩვენებელი დივიდენდის მაჩვენებელს:

ამოხსნას ვწერთ წილადის შემცირების გამოყენებით. უფლებამოსილებების დაყოფა x 12 : x 3 დაიწერება როგორც . შემდეგი, ჩვენ ვამცირებთ ამ წილადს x 3 .

მაგალითი 6. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

მრიცხველში ვასრულებთ ძალაუფლების გამრავლებას იმავე საფუძვლებით:

ახლა ჩვენ ვიყენებთ უფლებათა გაყოფის წესს იგივე საფუძვლებით. ჩვენ ვტოვებთ ფუძე 7-ს უცვლელად და გამოვაკლებთ გამყოფის მაჩვენებელს დივიდენდის მაჩვენებელს:

ჩვენ ვასრულებთ მაგალითს 7 2-ის სიმძლავრის გამოთვლით

მაგალითი 7. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

შევასრულოთ მრიცხველში მაჩვენებლები. თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს გამონათქვამით (2 3) 4

ახლა შევასრულოთ ხარისხების გამრავლება მრიცხველში იგივე საფუძვლებით.