Հեքիաթներ

Եթե շրջանագծի երկու ակորդները հատվում են, ապա մի ակորդի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս ակորդի հատվածների արտադրյալին։ Ինչ է շրջանագծի ակորդը երկրաչափության մեջ, դրա սահմանումը և հատկությունները Շրջանակների մասին բոլոր թեորեմները

Ակորդը հունարեն նշանակում է «լար»: Այս հայեցակարգը լայնորեն կիրառվում է գիտության տարբեր բնագավառներում՝ մաթեմատիկայի, կենսաբանության և այլ ոլորտներում:

Երկրաչափության մեջ տերմինի սահմանումը կլինի հետևյալը. սա ուղիղ գծի հատված է, որը միացնում է նույն շրջանի երկու կամայական կետեր: Եթե այդպիսի հատվածը հատում է կենտրոնըկոր, այն կոչվում է շրջագծված շրջանագծի տրամագիծ:

հետ շփման մեջ

Ինչպես կառուցել երկրաչափական ակորդ

Այս հատվածը կառուցելու համար նախ պետք է շրջանագիծ գծել: Նշեք երկու կամայական կետեր, որոնց միջով գծվում է հատվածային գիծ: Ուղիղ գծի հատվածը, որը գտնվում է շրջանագծի հետ հատման կետերի միջև, կոչվում է ակորդ։

Եթե նման առանցքը կիսեք կիսով չափ և այս կետից ուղղահայաց գիծ գծեք, այն կանցնի շրջանագծի կենտրոնով։ Դուք կարող եք իրականացնել հակառակ գործողությունը. շրջանագծի կենտրոնից գծեք ակորդին ուղղահայաց շառավիղ: Այս դեպքում շառավիղը այն կբաժանի երկու նույնական կեսերի:

Եթե դիտարկենք կորի այն մասերը, որոնք սահմանափակված են երկու զուգահեռ հավասար հատվածներով, ապա այս կորերը նույնպես հավասար կլինեն միմյանց.

Հատկություններ

Կան մի շարք նախշեր, միացնելով ակորդները և շրջանագծի կենտրոնը.

Կապը շառավիղի և տրամագծի հետ

Վերոնշյալ մաթեմատիկական հասկացությունները փոխկապակցված են հետևյալ օրենքներով.

Ակորդ և շառավիղ

Այս հասկացությունների միջև գոյություն ունեն հետևյալ կապերը.

Հարաբերություններ ներգծված անկյուններով

Շրջանակով ներգծված անկյունները ենթարկվում են հետևյալ կանոններին.

Arc փոխազդեցություններ

Եթե երկու հատվածները թեքում են կորի հատվածները, որոնք չափերով հավասար են, ապա այդպիսի առանցքները հավասար են միմյանց: Այս կանոնից բխում են հետևյալ օրինաչափությունները.

Ակորդը, որը ուղիղ կես շրջան է անցնում, նրա տրամագիծն է։ Եթե նույն շրջանի երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց, ապա այդ հատվածների միջև պարփակված աղեղները նույնպես հավասար կլինեն։ Այնուամենայնիվ, չպետք է շփոթել ներփակված կամարները նույն գծերով ձգվողների հետ:

Մաս 3. Շրջանակներ

Ի. Տեղեկատվական նյութեր.

Ի. Տանգենսների, ակորդների և սեկանտների հատկությունները. Արձանագրված և կենտրոնական անկյուններ:

Շրջանակ և շրջան

1. Եթե շրջանագծից դուրս ընկած մի կետից դրան գծենք երկու շոշափող, ապա

ա) հատվածների երկարությունները տվյալ կետից մինչև շփման կետերը հավասար են.

բ) շրջանագծի կենտրոնով անցնող յուրաքանչյուր շոշափողի և սեկանտի միջև անկյունները հավասար են:

2. Եթե շրջանագծից դուրս ընկած մի կետից դրան գծում ենք շոշափող և սեկանտ, ապա տանգենսի քառակուսին հավասար է կտրվածքի և դրա արտաքին մասի արտադրյալին.

3. Եթե մի կետում հատվում են երկու ակորդներ, ապա մի ակորդի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուսի հատվածների արտադրյալին։

4. Շրջագիծ C=2πR;

5. Աղեղի երկարությունը Լ =πRn/180˚

6. Շրջանակի մակերեսը S=πR 2

7. Ոլորտի տարածք Ս գ=πR 2 n/360

Ներգծված անկյան աստիճանի չափը հավասար է աղեղի աստիճանի չափման կեսին, որի վրա այն հենվում է:

Թեորեմ 1.Շրջանակի վրա ընդհանուր կետ ունեցող շոշափողի և ակորդի միջև անկյան չափը հավասար է նրա կողմերի միջև պարփակված աղեղի աստիճանի կեսին

Թեորեմ 2(շոշափողի և սեկանտի մասին): Եթե շոշափողն ու հատվածը M կետից գծված են շրջան, ապա M կետից մինչև շոշափման կետ շոշափող հատվածի քառակուսին հավասար է M կետից մինչև դրա կետերը հատվածների երկարությունների արտադրյալին: խաչմերուկը շրջանագծի հետ:

Թեորեմ 3. Եթե շրջանագծի երկու ակորդները հատվում են, ապա մի ակորդի հատվածների երկարությունների արտադրյալը հավասար է մյուս ակորդի հատվածների երկարությունների արտադրյալին, այսինքն՝ եթե AB և CD ակորդները հատվում են M կետում, ապա AB MV = CM MD:

Շրջանակային ակորդների հատկությունները.

Ակորդին ուղղահայաց տրամագիծը կիսում է այն կիսով չափ։ Հակառակը՝ լարի միջով անցնող տրամագիծը ուղղահայաց է դրան։

Շրջանակի հավասար ակորդները գտնվում են շրջանագծի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա։ Եվ հակառակը՝ հավասար ակորդները գտնվում են շրջանագծի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա։

Զուգահեռ ակորդների միջև պարփակված շրջանագծի կամարները հավասար են:

այն շրջանակները, որոնք այս կետում ունեն ընդհանուր կետ և ընդհանուր շոշափող, կոչվում են շոշափող: Եթե շրջանագծերը գտնվում են ընդհանուր շոշափողի մի կողմում, ապա դրանք կոչվում են ներքին շոշափող, իսկ եթե շոշափողի հակառակ կողմերում, ապա կոչվում են: արտաքին շոշափող.

II. Լրացուցիչ նյութեր

Որոշ անկյունների հատկություններ.

Թեորեմ.

1) Անկյունը (ABC), որի գագաթն ընկած է շրջանագծի ներսում, երկու աղեղների (AC և DE) կիսագումարն է, որոնցից մեկը գտնվում է իր կողմերի միջև, իսկ մյուսը` կողմերի ընդարձակման միջև:

2) անկյունը (ABC), որի գագաթը գտնվում է շրջանագծից դուրս, իսկ կողմերը հատվում են շրջանագծի հետ, իր կողմերի միջև պարփակված երկու աղեղների (AC և ED) կիսատ տարբերությունն է։

Ապացույց .

Գծելով AD ակորդը (երկու գծագրերի վրա) ստանում ենք ԴԱՎԴ,

համեմատ, որի նկատմամբ դիտարկվող անկյունը ABCծառայում է որպես արտաքին, երբ նրա գագաթը գտնվում է շրջանագծի ներսում, և ներքին, երբ նրա գագաթը գտնվում է շրջանագծից դուրս: Հետևաբար, առաջին դեպքում. ; երկրորդ դեպքում.

Բայց ADC և DAE անկյունները, ինչպես ներգծվածները, չափվում են կես աղեղներով

AC և DE; հետևաբար, ABC անկյունը չափվում է. առաջին դեպքում՝ ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE գումարով, որը հավասար է 1 / 2 (ﮟ AC +ﮞ DE),իսկ երկրորդ դեպքում տարբերությունը 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE է, որը հավասար է 1/2 (ﬞ AC-ﬞ DE):

Թեորեմ. Շոշափողով և ակորդով ձևավորված անկյունը (ACD) չափվում է դրա մեջ պարունակվող աղեղի կեսով:

Նախ ենթադրենք, որ ակորդ CD-ն անցնում է O կենտրոնով, այսինքն. որ ակորդը տրամագիծ է։ Այնուհետեւ անկյունը ACԴ- ուղիղ և, հետևաբար, հավասար է 90°-ի: Բայց CmD աղեղի կեսը նույնպես հավասար է 90°-ի, քանի որ ամբողջ աղեղը CmD-ը, որը կազմում է կիսաշրջան, պարունակում է 180°: Սա նշանակում է, որ թեորեմը ճիշտ է տվյալ դեպքում։

Հիմա վերցնենք ընդհանուր դեպքը, երբ ակորդի CD-ն չի անցնում կենտրոնով։ Այնուհետև գծելով CE տրամագիծը, կունենանք.

U ACE նպատակը, որը կազմված է շոշափողով և տրամագծով, չափվում է, ինչպես ապացուցված է, CDE աղեղի կեսով. DCE անկյունը, որպես մակագրված, չափվում է CnED աղեղի կեսով. ապացույցի միակ տարբերությունն այն է, որ այս անկյունը չպետք է դիտարկել որպես տարբերություն, այլ որպես ALL անկյան և ECD սուր անկյան գումար:

Համաչափ գծեր շրջանագծի մեջ

Թեորեմ.Եթե որոշ ակորդ (AB) և տրամագիծ (CD) գծված են շրջանագծի ներսում վերցված կետի միջով (M), ապա ակորդի հատվածների արտադրյալը (AM MB) հավասար է տրամագծի հատվածների արտադրյալին (MB MC):

Ապացույց.

Պ
Նկարելով երկու օժանդակ ակորդներ AC և BD, մենք ստանում ենք երկու եռանկյուն AMC և MBD (նկարում ծածկված են գծիկներով), որոնք նման են, քանի որ դրանց A և D անկյունները հավասար են, ինչպես ներգծվածները, հիմնված նույն աղեղի վրա BC, անկյունները: C-ն և B-ն, ինչպես մակագրված է, հավասար են նույն AD-ի վրա հիմնված: Եռանկյունների նմանությունից հետևում ենք.

AM՝ MD=MS՝ MV, որտեղից AM MV=MD MS:

Հետևանք.Եթե որևէ թվով ակորդներ (AB, EF, KL,...) գծվում են շրջանագծի ներսում վերցված կետի միջով (M), ապա յուրաքանչյուր ակորդի հատվածների արտադրյալը հաստատուն թիվ է բոլոր ակորդների համար, քանի որ յուրաքանչյուր լարերի համար սա. արտադրյալը հավասար է վերցված M կետով անցնող CD տրամագծով հատվածների արտադրյալին։

Թեորեմ.Եթե շրջանագծից դուրս վերցված (M) կետից դրան գծվում են ինչ-որ հատված (MA) և տանգենս (MS), ապա կտրվածքի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հավասար է տանգենսի քառակուսուն (ենթադրվում է, որ. հատվածը սահմանափակվում է հատման երկրորդ կետով, իսկ շոշափողը՝ շփման կետով):

Ապացույց.

Նկարենք AC և BC օժանդակ ակորդներ; այնուհետև մենք ստանում ենք երկու եռանկյուն MAC և MVS (նկարում ծածկված են գծիկներով), որոնք նման են, քանի որ ունեն ընդհանուր M անկյուն, իսկ MCW և CAB անկյունները հավասար են, քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրը չափվում է BC աղեղի կեսով: ԴMAS-ում վերցնենք MA և MC կողմերը. ∆MVS-ում նմանատիպ կողմերը կլինեն MC և MV; հետևաբար MA. MS = MS: MV, որտեղից MA MV = MS 2:

Հետևանք.Եթե շրջանագծից դուրս վերցված մի կետից (M) դեպի այն ձգվում է ցանկացած թվով սեկանտներ (MA, MD, ME,...), ապա յուրաքանչյուր սեկանտի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հաստատուն թիվ է բոլոր սեկանտների համար, քանի որ յուրաքանչյուր սեկանտի համար արտադրյալը հավասար է M կետից գծված շոշափողի քառակուսուն (MC 2):

III. Ներածական առաջադրանքներ.

Առաջադրանք 1.

IN 60° սուր անկյան տակ հավասարաչափ տրապեզոիդի կողային կողմը հավասար է , իսկ փոքր հիմքը հավասար է . Գտե՛ք այս trapezoid-ով շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:

Լուծում

1) Շրջանակի շառավիղը, որը շրջագծված է տրապիզոնի շուրջը, նույնն է, ինչ եռանկյունիով շրջագծված շրջանագծի շառավիղը, որի գագաթները տրապիզոնի ցանկացած երեք գագաթներ են: Գտե՛ք եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի R շառավիղը ABD.

2) Ա Բ Գ Դհավասարաչափ տրապիզոիդ է, հետևաբար Ա.Կ. = Մ.Դ., Կ.Մ. =.

∆-ում ԱԲԿ Ա.Կ. = ԱԲ cos A = · cos 60° = . Նշանակում է,
ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = .

Բ.Կ. = ԱԲմեղք Ա = · = .

3) Δ-ում կոսինուսների թեորեմով ABD ԲԴ 2 = ԱԲ 2 + ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ 2 – 2ԱԲ · ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ cos Ա.

ԲԴ 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
ԲԴ = .

4) S(∆ ABD) = ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ · Բ.Կ.; S(∆ ABD) = · · 3 = .

Առաջադրանք 2.

Հավասարակողմ եռանկյան մեջ ABCգծագրված է շրջան և գծված հատված Ն.Մ.,

Մ A.C., Ն Ք.ա., որը դիպչում է դրան և զուգահեռ է կողքին ԱԲ.

Որոշեք տրապեզոիդի պարագիծը AMNB, եթե հատվածի երկարությունը MNհավասար է 6.

Լուծում.

1) ∆ABC– հավասարակողմ, կետ Օ– միջնագծերի հատման կետ (կիսեկտորներ, բարձրություններ), ինչը նշանակում է CO : Օ.Դ. = 2 : 1.

2) MN- շրջանագծին շոշափող, Պ– շփման կետ, ինչը նշանակում է Օ.Դ. =
= OP, Հետո CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ ՏԱՔՍԻ, որը նշանակում է ∆ CMN- հավասարակողմ ՍՄ. = CN = MN = = 6; Պ.

Եվ

3) BN = Կ.Բ. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = Ա.Մ. + MN + BN + ԱԲ = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Շրջանի շուրջ նկարագրված է հավասարաչափ տրապիզոիդ, որի միջին գիծը հավասար է 5-ի, իսկ հիմքում գտնվող սուր անկյան սինուսը հավասար է 0,8-ի։ Գտեք տրապեզոիդի տարածքը:

Լուծում.Քանի որ շրջանագիծը մակագրված է քառանկյունի, ապա Ք.ա. + ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = ԱԲ + CD. Այս քառանկյունը հավասարաչափ trapezoid է, ինչը նշանակում է Ք.ա. + ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = 2ԱԲ.

FP– trapezoid-ի միջին գիծը, որը նշանակում է Ք.ա. + ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = 2FP.

Հետո ԱԲ = CD = FP = 5.

∆ԱԲԿ- ուղղանկյուն, Բ.Կ. = ԱԲմեղք Ա; Բ.Կ.= 5 · 0,8 = 4:

Ս ( Ա Բ Գ Դ) = FP · Բ.Կ.= 5 · 4 = 20:

Պատասխանել: 20.

ABC եռանկյան շրջանագիծը դիպչում է BC կողմին K կետում, իսկ շրջանագիծը դիպչում է BC կողմին L կետում: Ապացուցեք, որ CK=BL=(a+b+c)/2

Ապացույց. թող M և N լինեն AB և BC կողմերով ներգծված շրջանագծի շոշափող կետերը: Հետո BK+AN=BM+AM=AB, ուրեմն CK+CN= a+b-c:

Թող P և Q լինեն շրջանագծի շոշափման կետերը AB և BC կողմերի երկարացումներով: Այնուհետև AP=AB+BP=AB+BL և AQ=AC+CQ=AC+CL: Հետևաբար AP+AQ=a+b+c. Հետեւաբար, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2:

ա) ABC եռանկյան B անկյան կիսադիրի շարունակությունը M կետում հատում է շրջագծված շրջանագիծը: O-ն ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է: O B-ը AC կողմին շոշափող շրջանագծի կենտրոնն է: Ապացուցեք, որ A, C, O և O B կետերը գտնվում են M կենտրոնով շրջանագծի վրա:

Դ
ապացույց: Որովհետև

բ) O կետը, որը ընկած է ABC եռանկյան ներսում, ունի այն հատկությունը, որ AO, BO, CO ուղիղները անցնում են BCO, ACO, ABO եռանկյունների շրջագծված շրջանագծերի կենտրոններով: Ապացուցեք, որ O-ն ABC եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է

Ապացույց. Թող P լինի ACO եռանկյան շրջկենտրոնը: Հետո

IV. Լրացուցիչ առաջադրանքներ

Թիվ 1. Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուզային շոշափող շրջանագիծը և նրա ոտքերի երկարացումները ունեն R շառավիղ: Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը

Ռ լուծում՝ HOGB - քառակուսի R կողքով

1) ∆OAH =∆OAF ոտքի երկայնքով և հիպոթենուս =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

Թիվ 2. C և D կետերը ընկած են AB տրամագծով շրջանագծի վրա: AC ∩ BD = P, և AD ∩ BC = Q: Ապացուցեք, որ AB և PQ ուղիղները ուղղահայաց են

Ապացույց՝ Ա D – տրամագիծ => ներգծված անկյուն ADB=90 o (ըստ տրամագծի)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP 2 կողմից նման է ∆QNA-ին և նրանց միջև անկյունը => QN ուղղահայաց է AB-ին:

Թիվ 3. ABCD զուգահեռագրում AC անկյունագիծն ավելի մեծ է, քան BD անկյունագիծը; M-ը AC անկյունագծով կետ է, BDCM-ը՝ ցիկլային քառանկյուն: Ապացուցեք, որ BD ուղիղը ընդհանուր շոշափում է ABM և ADM եռանկյունների շրջանագծին:

Պ
O բերանը AC և ВD անկյունագծերի հատման կետն է: Ապա MO · OC=BO · ՕԴ. Մինչդեռ OS = OA և VO = ВD, ապա MO · OA=VO 2 և MO · OA=DO 2. Այս հավասարությունները նշանակում են, որ OB-ը շոշափում է ADM եռանկյան շրջանագծին

Թիվ 4. Ն ABC հավասարաչափ եռանկյան AB հիմքում վերցված է E կետը, իսկ M և N կետերում CE հատվածին դիպչող շրջանակները մակագրվում են ACE և ABE եռանկյունների: Գտե՛ք MN հատվածի երկարությունը, եթե հայտնի են AE և BE երկարությունները:

Ըստ ներածական խնդրի 4 CM=(AC+CE-AE)/2 և CN=(BC+CE-BE)/2։ Հաշվի առնելով, որ AC=BC, մենք ստանում ենք MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

Թիվ 5. ABC եռանկյան կողմերի երկարությունները կազմում են թվաբանական առաջընթաց, և ա

Թող M լինի AC կողմի միջնակետը, N՝ BC կողմի հետ ներգծված շրջանագծի շոշափման կետը: Այնուհետեւ BN=р–b (ներածական խնդիր 4), հետեւաբար BN=AM, քանի որ p=3b/2 ըստ պայմանի. Բացի այդ,

Վ .Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Թիվ 1. Քառանկյուն ABCD-ն ունի այն հատկությունը, որ կա մի շրջան, որը գրված է BAD անկյան տակ և շոշափում է BC և CD կողմերի երկարացումներին: Ապացուցեք, որ AB+BC=AD+DC:

Թիվ 2. R և r շառավիղներով շրջանակներին ընդհանուր ներքին շոշափողը հատում է նրանց ընդհանուր արտաքին շոշափողները A և B կետերում և դիպչում C կետի շրջանագծերից մեկին: Ապացուցեք, որ AC∙CB=Rr

Թիվ 3. ABC եռանկյան մեջ C անկյունն ուղղանկյուն է: Ապացուցեք, որ r =(a+b-c)/2 և r c =(a+b+c)/2

Թիվ 4. Երկու շրջանագիծ հատվում են A և B կետերում; MN-ը նրանց ընդհանուր շոշափողն է: Ապացուցեք, որ AB ուղիղը կիսում է MN հատվածը կիսով չափ:

Թիվ 5. ABC եռանկյան անկյունների կիսատների շարունակությունները հատում են շրջագծված շրջանագիծը A 1, B 1, C 1 կետերում: M - կիսադիրների հատման կետ: Ապացուցեք, որ.

ա) MA·MC/MB 1 =2r;

բ) MA 1 ·MC 1 /MB=R

Թիվ 6. Շրջանագծի մեկ կետից գծված երկու շոշափող անկյունը հավասար է 23°15`-ի: Հաշվել աղեղները շոշափող կետերի միջև

Թիվ 7. Հաշվի՛ր շոշափողի և ակորդի գոյացած անկյունը, եթե ակորդը շրջանագիծը բաժանում է երկու մասի 3։7 հարաբերությամբ։

VI. Վերահսկիչ առաջադրանքներ.

Տարբերակ 1.

M կետը գտնվում է O կենտրոնով շրջանագծից դուրս: M կետից գծված է երեք հատված. առաջինը հատում է շրջանագիծը B և A կետերում (M-B-A), երկրորդը D և C կետերում (M-D-C), իսկ երրորդը հատում է շրջանագիծը: F և E կետերում (M-F-E) և անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, AB = 4, BM = 5, FM = 3:

Ապացուցեք, որ եթե AB = CD, ապա AME և CME անկյունները հավասար են:

Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը։

Գտե՛ք M կետից շրջանագիծ գծված շոշափողի երկարությունը:

Գտեք AEB անկյունը:

Տարբերակ 2.

AB-ը O կենտրոնով շրջանագծի տրամագիծն է: EF ակորդը հատում է տրամագիծը K կետում (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5:

Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը։

Գտե՛ք շրջանագծի կենտրոնից մինչև BF ակորդը հեռավորությունը:

Գտեք սուր անկյունը AB տրամագծի և EF ակորդի միջև:

Ինչի՞ն է հավասար FM ակորդը, եթե EM-ը զուգահեռ է AB-ին:

Տարբերակ 3. ABC ուղղանկյուն եռանկյունում (

Տարբերակ 4.

AB-ն O կենտրոնով շրջանագծի տրամագիծն է: Այս շրջանագծի շառավիղը 4 է, O 1-ը OA-ի միջինն է: O 1 կետում կենտրոնով շրջանագիծ է գծվում, որը շոշափում է A կետի ավելի մեծ շրջանագծին: Ավելի մեծ շրջանագծի CD ակորդը ուղղահայաց է AB-ին և հատում է AB-ը K կետում: E և F-ը CD-ի հատման կետերն են: փոքր շրջանը (C-E-K-F-D), AK=3.

Գտե՛ք AE և AC ակորդները։

Գտե՛ք աղեղի AF աստիճանի չափը և դրա երկարությունը:

Գտեք EF ակորդով կտրված փոքր շրջանի հատվածի մակերեսը:

Գտե՛ք ACE եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:

Նախ, եկեք հասկանանք շրջանագծի և շրջանագծի տարբերությունը: Այս տարբերությունը տեսնելու համար բավական է դիտարկել, թե որոնք են երկու թվերն էլ։ Սրանք անսահման թվով կետեր են հարթության վրա, որոնք գտնվում են մեկ կենտրոնական կետից հավասար հեռավորության վրա: Բայց, եթե շրջանակը նույնպես բաղկացած է ներքին տարածությունից, ապա այն չի պատկանում շրջանագծին։ Ստացվում է, որ շրջանագիծը և՛ շրջանագիծ է, որը սահմանափակում է այն (շրջանակ(r)), և՛ անթիվ թվով կետեր, որոնք գտնվում են շրջանագծի ներսում:

Շրջանակի վրա ընկած ցանկացած L կետի համար կիրառվում է OL=R հավասարությունը: (OL հատվածի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին):

Շրջանակի վրա երկու կետ միացնող հատվածն իրն է ակորդ.

Շրջանակի կենտրոնով ուղիղ անցնող ակորդն է տրամագիծըայս շրջանակը (D): Տրամագիծը կարելի է հաշվարկել բանաձևով՝ D=2R

Շրջագիծհաշվարկված բանաձևով՝ C=2\pi R

Շրջանի տարածքը S=\pi R^(2)

Շրջանակի աղեղկոչվում է նրա այն հատվածը, որը գտնվում է նրա երկու կետերի միջև։ Այս երկու կետերը սահմանում են շրջանագծի երկու կամար: Աքորդի CD-ն ունի երկու աղեղ՝ CMD և CLD: Նույնական ակորդներն ունեն հավասար աղեղներ:

Կենտրոնական անկյունԱյն անկյունը, որը գտնվում է երկու շառավիղների միջև, կոչվում է:

Աղեղի երկարությունըկարելի է գտնել բանաձևով.

Օգտագործելով աստիճանի չափում. CD = \frac(\pi R \ալֆա ^(\circ))(180^(\circ))
Ռադիանի չափման միջոցով՝ CD = \alpha R

Տրամագիծը, որն ուղղահայաց է ակորդին, կիսով չափ կիսում է ակորդը և դրանով սեղմված աղեղները։

Եթե շրջանագծի AB և CD ակորդները հատվում են N կետում, ապա N կետով բաժանված ակորդների հատվածների արտադրյալները հավասար են միմյանց։

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Շոշափող շրջանին

Շոշափող շրջանինԸնդունված է անվանել ուղիղ գիծ, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ։

Եթե ուղիղն ունի երկու ընդհանուր կետ, այն կոչվում է հատված.

Եթե շառավիղը գծեք շոշափող կետին, այն ուղղահայաց կլինի շրջանագծի շոշափողին:

Եկեք այս կետից գծենք մեր շրջանագծի երկու շոշափող: Ստացվում է, որ շոշափող հատվածները հավասար կլինեն միմյանց, իսկ շրջանագծի կենտրոնը կտեղակայվի այս կետում գագաթով անկյան կիսադիրի վրա:

AC = CB

Այժմ եկեք մեր կետից գծենք շրջանագծի շոշափող և հատված: Ստացվում է, որ շոշափող հատվածի երկարության քառակուսին հավասար կլինի ամբողջ հատվածի և դրա արտաքին մասի արտադրյալին:

AC^(2) = CD \cdot BC

Կարելի է եզրակացնել. առաջին հատվածի մի ամբողջ հատվածի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հավասար է երկրորդ հատվածի և նրա արտաքին մասի մի ամբողջ հատվածի արտադրյալին։

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Անկյունները շրջանագծի մեջ

Կենտրոնական անկյան և աղեղի չափերը, որոնց վրա այն հենվում է, հավասար են։

\անկյուն COD = \գավաթ CD = \ալֆա ^(\circ)

Ներգրված անկյունանկյուն է, որի գագաթը շրջանագծի վրա է, իսկ կողմերը պարունակում են ակորդներ։

Դուք կարող եք այն հաշվարկել՝ իմանալով աղեղի չափը, քանի որ այն հավասար է այս աղեղի կեսին։

\ անկյուն AOB = 2 \անկյուն ԱԶԲ

Հիմք ընդունելով տրամագիծը, ներգծված անկյունը, ուղիղ անկյունը:

\անկյուն CBD = \անկյուն CED = \անկյուն CAD = 90^ (\circ)

Ներգրված անկյունները, որոնք թեքում են նույն աղեղը, նույնական են:

Մեկ ակորդի վրա հենվող ներգծված անկյունները նույնական են կամ դրանց գումարը հավասար է 180^ (\circ) ։

\անկյուն ADB + \անկյուն AKB = 180^ (\circ)

\անկյուն ADB = \անկյուն AEB = \անկյուն AFB

Նույն շրջանագծի վրա գտնվում են նույնական անկյուններով և տրված հիմքով եռանկյունների գագաթները։

Շրջանակի ներսում գագաթ ունեցող անկյունը, որը գտնվում է երկու ակորդների միջև, նույնական է շրջանագծի կամարների անկյունային արժեքների գումարի կեսին, որոնք պարունակվում են տվյալ և ուղղահայաց անկյուններում:

\անկյուն DMC = \անկյուն ADM + \անկյուն DAM = \frac(1)(2) \ձախ (\բաժակ DmC + \գավաթ AlB \աջ)

Շրջանակից դուրս գտնվող գագաթով անկյունը, որը գտնվում է երկու հատվածների միջև, նույնական է անկյան ներսում պարունակվող շրջանագծի կամարների անկյունային արժեքների տարբերության կեսին:

\անկյուն M = \անկյուն CBD - \անկյուն ACB = \frac(1)(2) \ձախ (\cup DmC - \cup AlB \աջ)

Արձանագրված շրջան

Արձանագրված շրջանբազմանկյան կողմերին շոշափող շրջանագիծ է:

Այն կետում, որտեղ հատվում են բազմանկյան անկյունները, գտնվում է նրա կենտրոնը:

Շրջանակ չի կարող գրվել յուրաքանչյուր բազմանկյունում:

Ներգրված շրջանով բազմանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով.

S = pr,

p-ը բազմանկյունի կիսաշրջագիծն է,

r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է:

Հետևում է, որ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է.

r = \frac(S)(p)

Հակառակ կողմերի երկարությունների գումարները նույնական կլինեն, եթե շրջանագիծը մակագրված է ուռուցիկ քառանկյունի: Եվ հակառակը. շրջանագիծը տեղավորվում է ուռուցիկ քառանկյունի մեջ, եթե հակառակ կողմերի երկարությունների գումարները նույնական են:

AB + DC = AD + BC

Եռանկյուններից ցանկացածում հնարավոր է մակագրել շրջան։ Միայն մեկ եզակի. Այն կետում, որտեղ հատվում են պատկերի ներքին անկյունների կիսադիրները, ընկած կլինի այս գծագրված շրջանագծի կենտրոնը:

Ներգծված շրջանագծի շառավիղը հաշվարկվում է բանաձևով.

r = \frac(S)(p) ,

որտեղ p = \frac(a + b + c) (2)

Շրջանակ

Եթե բազմանկյունի յուրաքանչյուր գագաթով շրջան է անցնում, ապա այդպիսի շրջան սովորաբար կոչվում է նկարագրված է բազմանկյունի մասին.

Այս նկարի կողմերի ուղղահայաց կիսորդների հատման կետում կլինի շրջանագծի կենտրոնը:

Շառավիղը կարելի է գտնել՝ այն հաշվարկելով որպես շրջանագծի շառավիղ, որը շրջագծված է բազմանկյան ցանկացած 3 գագաթներով սահմանված եռանկյունու շուրջ։

Կա հետևյալ պայմանը. շրջանագիծը կարելի է նկարագրել քառանկյան շուրջ միայն այն դեպքում, եթե նրա հակառակ անկյունների գումարը հավասար է 180^( \circ) ։

\ անկյուն A + \ անկյուն C = \անկյուն B + \անկյուն D = 180^ (\ շրջան)

Ցանկացած եռանկյունու շուրջ կարող եք նկարագրել շրջան և միայն մեկը: Նման շրջանագծի կենտրոնը կգտնվի այն կետում, որտեղ հատվում են եռանկյան կողմերի ուղղահայաց կիսորդները:

Սահմանված շրջանագծի շառավիղը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c եռանկյան կողմերի երկարություններն են,

S-ը եռանկյան մակերեսն է։

Պտղոմեոսի թեորեմ

Վերջապես, հաշվի առեք Պտղոմեոսի թեորեմը.

Պտղոմեոսի թեորեմն ասում է, որ անկյունագծերի արտադրյալը նույնական է ցիկլային քառանկյունի հակառակ կողմերի արտադրյալների գումարին։

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Երկրաչափության վերաբերյալ տեսական տեղեկատու նյութեր՝ մաթեմատիկայի դասախոսի առաջադրանքները կատարելու համար։ Օգնել ուսանողներին լուծել խնդիրները:

1) թեմա շրջանագծի մեջ ներգծված անկյան մասին:

ԹեորեմՇրջանակով ներգծված անկյունը հավասար է աղեղի աստիճանի չափի կեսին, որի վրա այն հենվում է (կամ այս աղեղին համապատասխանող կենտրոնական անկյան կեսին), այսինքն. .

2) Եզրակացություններ շրջանագծով ներգծված անկյան մասին թեորեմից.

2.1) Մեկ աղեղով ամրացված անկյունների հատկությունը.

Թեորեմ. եթե ներգծված անկյունները հենված են մեկ աղեղով, ապա դրանք հավասար են (եթե դրանք ամրացված են լրացուցիչ աղեղներով, դրանց գումարը հավասար է

2.2) տրամագծով թեքված անկյան հատկություն.

Թեորեմ. Շրջանակի մեջ ներգծված անկյունը տրամագծով տրամագծով էթակվում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն ճիշտ է:

AC տրամագիծը

3) շոշափող հատվածների հատկություն. Անկյունով մակագրված շրջան։

Թեորեմ 1:եթե շրջանագծի վրա չպառկած մի կետից դրան գծված են երկու շոշափողներ, ապա դրանց հատվածները հավասար են, այսինքն. PB=PC.

Թեորեմ 2:Եթե շրջանագիծը մակագրված է անկյան տակ, ապա նրա կենտրոնը գտնվում է այս անկյան կիսագծի վրա, այսինքն PO բիսեկտոր.

4) սեկանտների ներքին խաչմերուկում ակորդների հատվածների հատկությունը.
Թեորեմ 1:մի ակորդի հատվածների արտադրյալը հավասար է մեկ այլ ակորդի հատվածների արտադրյալին, այսինքն

Թեորեմ 2. ակորդների միջև անկյունը հավասար է այն աղեղների գումարի կեսին, որոնք այս ակորդները կազմում են շրջանագծի վրա, այսինքն.

Նախադիտում:

Դաս թեմայի շուրջ.

«Թեորեմը հատվող ակորդների հատվածների արտադրյալի վերաբերյալ»

Թեմա՝ երկրաչափություն

Դաս: 8

ուսուցիչ բ. Հերատ Լյուդմիլա Վասիլևնա

Դպրոց MOBU «Դրուժբինսկայայի միջնակարգ դպրոց» Սոլ-Իլեցկի շրջան, Օրենբուրգի մարզ

Դասի տեսակը. Դաս նոր գիտելիքների «բացահայտման».

Աշխատանքի ձևերը. անհատական, ճակատային, խմբակային:

Դասավանդման մեթոդներ.բանավոր, տեսողական, գործնական, խնդրահարույց:

Սարքավորումներ: համակարգչային դասարան, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր,

Ձեռնարկներ (բացիկներ), շնորհանդես.

Դասի նպատակները.

կրթական- ուսումնասիրել թեորեմը հատվող ակորդների արտադրյալի մասին և ցույց տալ դրա կիրառությունը խնդիրների լուծման մեջ:

Բարելավել ներգծված անկյունի թեորեմի և դրա հետևանքների միջոցով խնդիրներ լուծելու հմտությունները:

զարգացող - զարգացնել ուսանողների ստեղծագործական և մտավոր գործունեությունը դասարանում. զարգացնել դպրոցականների անհատականության ինտելեկտուալ որակները, ինչպիսիք են անկախությունը, ճկունությունը, գնահատող գործողություններ կատարելու կարողությունը և ընդհանրացումը. նպաստել թիմային աշխատանքի և ինքնուրույն աշխատանքի հմտությունների ձևավորմանը. զարգացնել ձեր մտքերը հստակ և հստակ արտահայտելու ունակությունը.
կրթական – աշակերտների մեջ հետաքրքրություն սերմանել առարկայի նկատմամբ տեղեկատվական տեխնոլոգիաների կիրառմամբ (օգտագործելով համակարգիչ); զարգացնել մաթեմատիկական նշումները ճշգրիտ և գրագետ կատարելու և խնդրի համար նկար նկարելու կարողությունը:

Ուսումնական գործունեությունն ուղղված է դասավանդման աշխատանքի արդյունավետության և արդյունավետության բարձրացմանը՝ ուսանողներին պաշտոնից տեղափոխելու միջոցովօբյեկտ ուսուցչի գործունեությունը պաշտոնումդասավանդման առարկա , նպաստում է յուրաքանչյուր երեխայի ներուժի զարգացմանը, նրան բնորոշ հնարավորությունների բացահայտմանը։

Սուբյեկտիվության կրթությունը (զարգացումը) հնարավոր է միայն գործունեության մեջորի մեջ ներգրավված է առարկան, որի մեջ նաինքը՝ ա) նպատակներ է դնում. բ) կենտրոնացնում է կամային ջանքերը նպատակին հասնելու համար. գ) անդրադառնում է իր աշխատանքի առաջընթացին և արդյունքներին. Անդրադարձը հզոր գործիք է անձնական ինքնազարգացման համար(անձնական ինքնակառուցում):

Ուսանողների սուբյեկտիվության զարգացման խնդիրըԱյս խնդիրը ոչ մի չափով չի կարող լուծվել միանվագ միջոցներով։ Այս որակը զարգանում էհետևողականորեն պայմանավորված ուսանողի կրթական և ճանաչողական ընդգրկմամբգործունեություն (իդեալական՝ ամեն դասին), որը նա կատարում էինքն իրեն՝ կիրառելով իր սեփական ջանքերով, կատարելովնրանց ինքնուրույն, արտաքին նվազագույն օգնությամբ, բոլոր գործողություններն իրենց տրամաբանական հաջորդականությամբ: Դասը տալիս է ուսանողների արտացոլումը աշխատանքի բոլոր 4 փուլերի և արդյունքների վերաբերյալ՝ լիովին բավարարելով պահանջներըգործունեության մոտեցումկրթության մեջ։

Առաջարկվող դասի ձևավորման և համակարգչային տեխնոլոգիաների կիրառման միջոցով հետապնդվում են զարգացման հետևյալ նպատակները.

Ինտելեկտուալ մշակույթ;
Տեղեկատվական մշակույթ;
Ինքնակազմակերպման մշակույթներ;
Հետազոտական մշակույթ;

Ուսանողների գործունեությունը պետք է կազմակերպվի այնպես, որ ուսանողներին ապահովի ներքին նպատակներ և շարժառիթներ. Որոնման անհրաժեշտությունը վերապատրաստման և կրթության կարևորագույն խնդիրն է, դրա համար անհրաժեշտ է ստեղծել հաջողության իրավիճակներ, որոնման իրավիճակներ, որոնք առաջացնում են դրական հույզեր:

Դասի պլան

1. Ներգրված անկյունի թեորեմի ապացույց (3 դեպք); աշխատել քարտերի հետ

Խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով պատրաստի գծագրեր:

2. Աշխատեք զույգերով:

3. Հատվող ակորդների հատվածների արտադրյալի թեորեմի ուսումնասիրություն.

4. Խնդիրների լուծում՝ թեորեմը համախմբելու համար:

Դասերի ժամանակ.

Ուսանողների գիտելիքների թարմացում ուսումնասիրվող թեմայի վերաբերյալ.

Երեք աշակերտ հրավիրվում են գրատախտակ՝ թեորեմներն ապացուցելու, երկու ուսանող ստանում են առաջադրանքների քարտեր, մնացած ուսանողները լուծում են պատրաստի գծագրերի խնդիրները: Թեորեմների ապացույցը լսում է ամբողջ դասարանը այն բանից հետո, երբ սովորողները լուծում են պատրաստի գծագրերի խնդիրները:

Քարտ թիվ 1...

1. Տեղադրեք բաց թողնված բառերը «Անկյունը կոչվում է ներգծված անկյուն, եթե նրա գագաթը գտնվում է …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Գտե՛ք և գրե՛ք նկարում ներկայացված ներգծված անկյունները.

3. Գտեք նկարում ներկայացված ABC անկյան աստիճանի չափը, եթե աղեղի աստիճանի չափը ABC = 270:.

Քարտ թիվ 2.

1. Լրացրո՛ւ բաց թողնված բառերը. «Նկարագրված անկյունը չափվում է …………..»: