भागों द्वारा एकीकरण. समाधान के उदाहरण

फिर से हैलो। आज के पाठ में हम सीखेंगे कि भागों द्वारा कैसे एकीकृत किया जाए। भागों द्वारा एकीकरण की विधि अभिन्न कलन की आधारशिलाओं में से एक है। परीक्षण या परीक्षा के दौरान, छात्रों को लगभग हमेशा निम्नलिखित प्रकार के इंटीग्रल को हल करने के लिए कहा जाता है: सबसे सरल इंटीग्रल (लेख देखें)या एक चर को प्रतिस्थापित करके एक अभिन्न (लेख देखें)या इंटीग्रल अभी चालू है भागों विधि द्वारा एकीकरण.

हमेशा की तरह, आपके पास ये चीज़ें होनी चाहिए: अभिन्नों की तालिकाऔर व्युत्पन्न तालिका. यदि आपके पास अभी भी वे नहीं हैं, तो कृपया मेरी वेबसाइट के भंडारण कक्ष पर जाएँ: गणितीय सूत्र और तालिकाएँ. मैं दोहराते नहीं थकूंगा - सब कुछ प्रिंट कर लेना बेहतर है। मैं सभी सामग्री को लगातार, सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा; भागों को एकीकृत करने में कोई विशेष कठिनाइयां नहीं हैं।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि किस समस्या का समाधान करती है? भागों द्वारा एकीकरण की विधि एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या का समाधान करती है; यह आपको कुछ कार्यों को एकीकृत करने की अनुमति देती है जो तालिका में नहीं हैं, कामकार्य, और कुछ मामलों में - भागफल भी। जैसा कि हमें याद है, कोई सुविधाजनक फॉर्मूला नहीं है: . लेकिन यह एक है: - व्यक्तिगत रूप से भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र। मुझे पता है, मुझे पता है, आप अकेले हैं - हम पूरे पाठ में उसके साथ काम करेंगे (यह अब आसान है)।

और तुरंत स्टूडियो को सूची। निम्नलिखित प्रकार के अभिन्न अंग भागों द्वारा लिए जाते हैं:

1) , , - लघुगणक, लघुगणक को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

2) ,किसी बहुपद से गुणा किया गया एक घातांकीय फलन है। इसमें अभिन्न भी शामिल हैं जैसे - एक घातांकीय फलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है, लेकिन व्यवहार में यह 97 प्रतिशत है, अभिन्न के अंतर्गत एक अच्छा अक्षर "ई" है। ... लेख कुछ हद तक गीतात्मक निकला, अरे हाँ... वसंत आ गया है।

3) , , त्रिकोणमितीय फलन को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

4) , - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन ("मेहराब"), "मेहराब" को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

कुछ भिन्नों को भागों में भी लिया जाता है; हम तदनुरूप उदाहरणों पर भी विस्तार से विचार करेंगे।

लघुगणक के समाकलन

उदाहरण 1

क्लासिक. समय-समय पर यह अभिन्न अंग तालिकाओं में पाया जा सकता है, लेकिन तैयार उत्तर का उपयोग करना उचित नहीं है, क्योंकि शिक्षक के पास वसंत विटामिन की कमी है और वह भारी शपथ लेगा। चूँकि विचाराधीन अभिन्न किसी भी तरह से सारणीबद्ध नहीं है - इसे भागों में लिया गया है। हमने निर्णय किया:

हम मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करते हैं।

हम भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करते हैं:

सूत्र को बाएँ से दाएँ लागू किया जाता है

हम बायीं ओर देखते हैं: . जाहिर है, हमारे उदाहरण में (और अन्य सभी में जिन पर हम विचार करेंगे), कुछ को इस रूप में नामित करने की आवश्यकता है, और कुछ को इस रूप में नामित करने की आवश्यकता है।

विचाराधीन प्रकार के अभिन्नों में, लघुगणक को हमेशा दर्शाया जाता है।

तकनीकी रूप से, समाधान का डिज़ाइन निम्नानुसार लागू किया गया है; हम कॉलम में लिखते हैं:

अर्थात्, हमने लघुगणक को द्वारा, और द्वारा निरूपित किया - शेष भागएकीकृत अभिव्यक्ति.

अगला चरण: अंतर खोजें:

एक अंतर लगभग व्युत्पन्न के समान है; हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि इसे पिछले पाठों में कैसे खोजा जाए।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं। फ़ंक्शन ढूंढने के लिए आपको एकीकृत करने की आवश्यकता है दाहिनी ओरनिम्न समानता:

अब हम अपना समाधान खोलते हैं और सूत्र के दाईं ओर का निर्माण करते हैं:।
वैसे, यहां कुछ नोट्स के साथ अंतिम समाधान का एक नमूना है:

कार्य में एकमात्र बिंदु यह है कि मैंने तुरंत स्वैप किया और, क्योंकि लघुगणक से पहले कारक लिखने की प्रथा है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, भागों द्वारा एकीकरण के फार्मूले को लागू करने से हमारा समाधान अनिवार्य रूप से दो सरल अभिन्नों तक सीमित हो गया है।

कृपया ध्यान दें कि कुछ मामलों में एकदम बादसूत्र के अनुप्रयोग में, शेष अभिन्न के अंतर्गत एक सरलीकरण आवश्यक रूप से किया जाता है - विचाराधीन उदाहरण में, हमने समाकलन को घटाकर "x" कर दिया है।

की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, आपको उत्तर का व्युत्पन्न लेना होगा:

मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि इंटीग्रल को सही ढंग से हल किया गया है।

परीक्षण के दौरान, हमने उत्पाद विभेदन नियम का उपयोग किया: . और यह कोई संयोग नहीं है.

भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र और सूत्र - ये दो परस्पर विपरीत नियम हैं।

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

समाकलन एक लघुगणक और एक बहुपद का गुणनफल है।
आइये निर्णय करें.

मैं एक बार फिर नियम को लागू करने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा; भविष्य में, उदाहरण अधिक संक्षेप में प्रस्तुत किए जाएंगे, और यदि आपको इसे स्वयं हल करने में कठिनाई होती है, तो आपको पाठ के पहले दो उदाहरणों पर वापस जाना होगा .

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लघुगणक को निरूपित करना आवश्यक है (तथ्य यह है कि यह एक शक्ति है इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)। हम द्वारा निरूपित करते हैं शेष भागएकीकृत अभिव्यक्ति.

हम कॉलम में लिखते हैं:

सबसे पहले हम अंतर पाते हैं:

यहां हम एक जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं . यह कोई संयोग नहीं है कि विषय के पहले पाठ में ही अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरणमैंने इस तथ्य पर ध्यान केंद्रित किया कि इंटीग्रल में महारत हासिल करने के लिए, डेरिवेटिव पर "अपना हाथ डालना" आवश्यक है। आपको डेरिवेटिव से एक से अधिक बार निपटना होगा।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं, इसके लिए हम एकीकृत करते हैं दाहिनी ओरनिम्न समानता:

एकीकरण के लिए हमने सबसे सरल सारणीबद्ध सूत्र का उपयोग किया

अब फॉर्मूला लागू करने के लिए सब कुछ तैयार है . तारांकन के साथ खोलें और दाईं ओर के अनुसार समाधान का "निर्माण" करें:

अभिन्न के अंतर्गत हमारे पास फिर से लघुगणक के लिए एक बहुपद है! इसलिए, समाधान फिर से बाधित हो जाता है और भागों द्वारा एकीकरण का नियम दूसरी बार लागू किया जाता है। यह मत भूलो कि समान स्थितियों में हमेशा लघुगणक दर्शाया जाता है।

यह अच्छा होगा यदि अब तक आप जान गए हों कि मौखिक रूप से सरलतम समाकलन और अवकलज कैसे खोजें।

(1) संकेतों को लेकर भ्रमित न हों! अक्सर यहां माइनस खो जाता है, यह भी ध्यान दें कि माइनस का क्या मतलब है सेवा में, सभी ग्ब्रैकेट , और इन कोष्ठकों को सही ढंग से विस्तारित करने की आवश्यकता है।

(2) कोष्ठक खोलें। हम अंतिम समाकलन को सरल बनाते हैं।

(3) हम अंतिम अभिन्न अंग लेते हैं।

(4) उत्तर "कंघी करना"।

भागों द्वारा एकीकरण के नियम को दो बार (या तीन बार भी) लागू करने की आवश्यकता बहुत कम ही उत्पन्न होती है।

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण:

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

इस उदाहरण को वेरिएबल को बदलकर (या इसे अंतर चिह्न के नीचे प्रतिस्थापित करके) हल किया जाता है! क्यों नहीं - आप इसे भागों में लेने का प्रयास कर सकते हैं, यह एक मज़ेदार चीज़ बन जाएगी।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

लेकिन यह अभिन्न अंग भागों (वादा किया गया अंश) द्वारा एकीकृत है।

ये उदाहरण हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं, पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

ऐसा लगता है कि उदाहरण 3 और 4 में इंटीग्रैंड समान हैं, लेकिन समाधान के तरीके अलग हैं! इंटीग्रल में महारत हासिल करने में यह मुख्य कठिनाई है - यदि आप इंटीग्रल को हल करने के लिए गलत तरीका चुनते हैं, तो आप वास्तविक पहेली की तरह, इसके साथ घंटों तक छेड़छाड़ कर सकते हैं। इसलिए, जितना अधिक आप विभिन्न इंटीग्रल को हल करेंगे, परीक्षण और परीक्षा उतनी ही बेहतर, आसान होगी। इसके अलावा, दूसरे वर्ष में विभेदक समीकरण होंगे, और इंटीग्रल और डेरिवेटिव को हल करने में अनुभव के बिना वहां कुछ नहीं करना है।

लघुगणक के संदर्भ में, यह संभवतः पर्याप्त से अधिक है। एक तरफ, मुझे यह भी याद है कि इंजीनियरिंग के छात्र महिला स्तनों को कॉल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करते हैं =)। वैसे, मुख्य प्रारंभिक कार्यों के ग्राफ़ को दिल से जानना उपयोगी है: साइन, कोसाइन, आर्कटेंजेंट, घातांक, तीसरे, चौथे डिग्री के बहुपद, आदि। नहीं, बिल्कुल, ग्लोब पर एक कंडोम
मैं इसे आगे नहीं बढ़ाऊंगा, लेकिन अब आप अनुभाग से बहुत कुछ याद रखेंगे चार्ट और फ़ंक्शन =).

एक घातांक के समाकलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

एक परिचित एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं:

यदि आपको इंटीग्रल से कठिनाई हो रही है, तो आपको लेख पर वापस लौटना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि.

एकमात्र अन्य चीज़ जो आप कर सकते हैं वह है उत्तर में बदलाव करना:

लेकिन अगर आपकी गणना तकनीक बहुत अच्छी नहीं है, तो सबसे लाभदायक विकल्प इसे उत्तर के रूप में छोड़ देना है या और भी

अर्थात्, अंतिम समाकलन लेने पर उदाहरण हल हो गया माना जाता है। यह कोई गलती नहीं होगी; यह दूसरी बात है कि शिक्षक आपसे उत्तर को सरल बनाने के लिए कह सकते हैं।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यह अभिन्न अंग भागों द्वारा दो बार एकीकृत होता है। संकेतों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए - उनमें भ्रमित होना आसान है, हम यह भी याद रखते हैं कि यह एक जटिल कार्य है।

प्रदर्शक के बारे में कहने के लिए और कुछ नहीं है। मैं केवल यह जोड़ सकता हूं कि घातांक और प्राकृतिक लघुगणक परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं, यह मैं उच्च गणित के मनोरंजक ग्राफ़ के विषय पर हूं =) रुकें, रुकें, चिंता न करें, व्याख्याता शांत है।

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: क्योंकि सदैव एक बहुपद को दर्शाता है

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

हम्म्म...और टिप्पणी करने के लिए कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं को हल करने का एक उदाहरण है

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

भिन्न के साथ एक और उदाहरण. जैसा कि पिछले दो उदाहरणों में है, यह एक बहुपद को दर्शाता है।

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

यदि आपको अभिन्न को खोजने में कोई कठिनाई या गलतफहमी है, तो मैं पाठ में भाग लेने की सलाह देता हूं त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन.

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

संकेत: भागों द्वारा एकीकरण विधि का उपयोग करने से पहले, आपको कुछ त्रिकोणमितीय सूत्र लागू करना चाहिए जो दो त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को एक फ़ंक्शन में बदल देता है। सूत्र का उपयोग भागों द्वारा एकीकरण की विधि को लागू करते समय भी किया जा सकता है, जो भी आपके लिए अधिक सुविधाजनक हो।

शायद इस पैराग्राफ में बस इतना ही है। किसी कारण से मुझे भौतिकी और गणित भजन की एक पंक्ति याद आ गई "और साइन ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष के साथ लहर के बाद लहर चलाता है"...

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन।
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: हमेशा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाता है.

मैं आपको याद दिला दूं कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों में आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट शामिल हैं। रिकार्ड की संक्षिप्तता के लिए मैं उन्हें "मेहराब" कहूंगा

जटिल अभिन्न अंग

यह लेख अनिश्चितकालीन अभिन्नों के विषय को समाप्त करता है, और इसमें ऐसे अभिन्न अंग शामिल हैं जो मुझे काफी जटिल लगते हैं। यह पाठ उन आगंतुकों के बार-बार अनुरोध पर बनाया गया था जिन्होंने इच्छा व्यक्त की थी कि साइट पर अधिक कठिन उदाहरणों का विश्लेषण किया जाए।

यह माना जाता है कि इस पाठ का पाठक अच्छी तरह से तैयार है और जानता है कि बुनियादी एकीकरण तकनीकों को कैसे लागू किया जाए। नौसिखिया और जो लोग इंटीग्रल में बहुत आश्वस्त नहीं हैं, उन्हें पहले पाठ का संदर्भ लेना चाहिए - अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरण, जहां आप लगभग शुरू से ही विषय पर महारत हासिल कर सकते हैं। अधिक अनुभवी छात्र एकीकरण की तकनीकों और तरीकों से परिचित हो सकते हैं जिनका अभी तक मेरे लेखों में सामना नहीं हुआ है।

किन अभिन्नों पर विचार किया जाएगा?

सबसे पहले हम जड़ों के साथ अभिन्नों पर विचार करेंगे, जिसके समाधान के लिए हम क्रमिक रूप से उपयोग करते हैं परिवर्तनशील प्रतिस्थापनऔर भागों द्वारा एकीकरण. अर्थात्, एक उदाहरण में दो तकनीकों को एक साथ संयोजित किया जाता है। और भी अधिक।

फिर हम दिलचस्प और मौलिक से परिचित होंगे अपने आप में अभिन्न को कम करने की विधि. बहुत से अभिन्न अंग इस प्रकार हल किये जाते हैं।

कार्यक्रम का तीसरा अंक जटिल अंशों का अभिन्न अंग होगा, जो पिछले लेखों में कैश डेस्क से आगे निकल गया था।

चौथा, त्रिकोणमितीय फलनों से अतिरिक्त समाकलनों का विश्लेषण किया जाएगा। विशेष रूप से, ऐसी विधियाँ हैं जो समय लेने वाली सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से बचती हैं।

(2) इंटीग्रैंड फ़ंक्शन में, हम अंश को हर से विभाजित करते हैं।

(3) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हैं। अंतिम अभिन्न में तुरंत फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के नीचे रखें.

(4) हम शेष अभिन्न अंग लेते हैं। ध्यान दें कि लघुगणक में आप मापांक के बजाय कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि।

(5) हम प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से "ते" व्यक्त करते हुए, उलटा प्रतिस्थापन करते हैं:

मसोकिस्टिक छात्र उत्तर में अंतर कर सकते हैं और मूल इंटीग्रैंड प्राप्त कर सकते हैं, जैसा कि मैंने अभी किया। नहीं, नहीं, मैंने सही अर्थों में जाँच की है =)

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान के दौरान हमें दो से अधिक समाधान विधियों का भी उपयोग करना पड़ा, इसलिए ऐसे अभिन्नों से निपटने के लिए आपको आत्मविश्वासपूर्ण एकीकरण कौशल और काफी अनुभव की आवश्यकता होती है।

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वर्गमूल अधिक सामान्य है; इसे स्वयं हल करने के लिए यहां तीन उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

ये उदाहरण एक ही प्रकार के हैं, इसलिए लेख के अंत में पूरा समाधान केवल उदाहरण 2 के लिए होगा; उदाहरण 3-4 में समान उत्तर हैं। मेरे विचार से, निर्णयों की शुरुआत में किस प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाए, यह स्पष्ट है। मैंने एक ही प्रकार के उदाहरण क्यों चुने? अक्सर अपनी भूमिका में पाए जाते हैं. अधिक बार, शायद, बस कुछ ऐसा ही .

लेकिन हमेशा नहीं, जब आर्कटेंजेंट, साइन, कोसाइन, घातांक और अन्य कार्यों के तहत एक रैखिक फ़ंक्शन की जड़ होती है, तो आपको एक साथ कई तरीकों का उपयोग करना होगा। कई मामलों में, "आसानी से निकलना" संभव है, अर्थात, प्रतिस्थापन के तुरंत बाद, एक सरल अभिन्न अंग प्राप्त होता है, जिसे आसानी से लिया जा सकता है। ऊपर प्रस्तावित कार्यों में सबसे आसान उदाहरण 4 है, जिसमें प्रतिस्थापन के बाद अपेक्षाकृत सरल समाकलन प्राप्त होता है।

स्वयं में अभिन्न को कम करके

एक मजाकिया और सुंदर तरीका. आइए इस शैली के क्लासिक्स पर एक नज़र डालें:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

मूल के नीचे एक द्विघात द्विपद है, और इस उदाहरण को एकीकृत करने का प्रयास चायदानी को घंटों तक सिरदर्द दे सकता है। इस तरह के एक अभिन्न अंग को भागों में लिया जाता है और अपने आप में कम कर दिया जाता है। सिद्धांततः, यह कठिन नहीं है। यदि आप जानते हैं कैसे.

आइए विचाराधीन अभिन्न को लैटिन अक्षर से निरूपित करें और समाधान शुरू करें:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

(1) टर्म-दर-टर्म विभाजन के लिए इंटीग्रैंड फ़ंक्शन तैयार करें।

(2) हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को पद से विभाजित करते हैं। यह हर किसी के लिए स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन मैं इसका अधिक विस्तार से वर्णन करूंगा:

(3) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हैं।

(4) अंतिम अभिन्न अंग ("लंबा" लघुगणक) लें।

आइए अब समाधान की शुरुआत पर नजर डालें:

और अंत में:

क्या हुआ? हमारे जोड़-तोड़ के परिणामस्वरूप, अभिन्न अंग अपने आप में सिमट गया!

आइए शुरुआत और अंत को बराबर करें:

चिह्न परिवर्तन के साथ बाईं ओर जाएँ:

और हम दोनों को दाईं ओर ले जाते हैं। नतीजतन:

स्पष्ट रूप से कहें तो स्थिरांक को पहले ही जोड़ा जाना चाहिए था, लेकिन मैंने इसे अंत में जोड़ा। मैं दृढ़तापूर्वक यह पढ़ने की अनुशंसा करता हूं कि यहां कठोरता क्या है:

टिप्पणी: अधिक सख्ती से, समाधान का अंतिम चरण इस तरह दिखता है:

इस प्रकार:

स्थिरांक को पुनः नामित किया जा सकता है। इसे पुनः नामित क्यों किया जा सकता है? क्योंकि वह अब भी इसे स्वीकार करता है कोईमान, और इस अर्थ में स्थिरांक और के बीच कोई अंतर नहीं है।
नतीजतन:

निरंतर पुनर्मूल्यांकन के साथ एक समान चाल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है विभेदक समीकरण. और वहां मैं सख्ती बरतूंगा. और यहां मैं ऐसी स्वतंत्रता की अनुमति केवल इसलिए देता हूं ताकि आप अनावश्यक चीजों में भ्रमित न हों और एकीकरण पद्धति पर ही ध्यान केंद्रित कर सकें।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

स्वतंत्र समाधान के लिए एक और विशिष्ट अभिन्न अंग। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। पिछले उदाहरण के उत्तर से अंतर होगा!

यदि वर्गमूल के नीचे एक वर्ग त्रिपद है, तो किसी भी स्थिति में समाधान दो विश्लेषण किए गए उदाहरणों तक पहुंच जाता है।

उदाहरण के लिए, अभिन्न पर विचार करें . सबसे पहले आपको बस इतना करना है एक पूर्ण वर्ग चुनें:
.
इसके बाद, एक रैखिक प्रतिस्थापन किया जाता है, जो "बिना किसी परिणाम के" करता है:
, जिसके परिणामस्वरूप अभिन्न . कुछ परिचित, सही?

या यह उदाहरण, एक द्विघात द्विपद के साथ:
एक पूर्ण वर्ग चुनें:
और, रैखिक प्रतिस्थापन के बाद, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं, जिसे पहले से चर्चा किए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके भी हल किया जाता है।

आइए दो और विशिष्ट उदाहरण देखें कि किसी अभिन्न अंग को कैसे कम किया जाए:
- साइन द्वारा गुणा किए गए घातांक का अभिन्न अंग;
- कोसाइन द्वारा गुणा किए गए घातांक का अभिन्न अंग।

भागों द्वारा सूचीबद्ध अभिन्नों में आपको दो बार एकीकृत करना होगा:

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

इंटीग्रैंड साइन द्वारा गुणा किया गया घातांक है।

हम भागों द्वारा दो बार एकीकृत करते हैं और अभिन्न को स्वयं में कम करते हैं:

भागों द्वारा दोहरे एकीकरण के परिणामस्वरूप, अभिन्न अंग अपने आप में सिमट गया। हम समाधान की शुरुआत और अंत को बराबर करते हैं:

हम इसे चिह्न परिवर्तन के साथ बाईं ओर ले जाते हैं और अपना अभिन्न अंग व्यक्त करते हैं:

तैयार। उसी समय, दाहिनी ओर कंघी करने की सलाह दी जाती है, अर्थात। घातांक को कोष्ठक से बाहर निकालें, और ज्या और कोज्या को कोष्ठक में "सुंदर" क्रम में रखें।

अब आइए उदाहरण की शुरुआत में, या अधिक सटीक रूप से, भागों द्वारा एकीकरण पर वापस जाएं:

हमने प्रतिपादक को इस प्रकार नामित किया है। सवाल उठता है: क्या यह वह प्रतिपादक है जिसे हमेशा द्वारा दर्शाया जाना चाहिए? आवश्यक नहीं। वास्तव में, अभिन्न माना जाता है मूलरूप में कोई फर्क नहीं पड़ता, हमारा मतलब क्या है , हम दूसरे रास्ते से जा सकते थे:

ऐसा क्यों संभव है? चूँकि घातांक अपने आप में बदल जाता है (विभेदीकरण और एकीकरण दोनों के दौरान), साइन और कोसाइन परस्पर एक दूसरे में बदल जाते हैं (फिर से, दोनों भेदभाव और एकीकरण के दौरान)।

अर्थात्, हम एक त्रिकोणमितीय फलन को भी निरूपित कर सकते हैं। लेकिन, विचार किए गए उदाहरण में, यह कम तर्कसंगत है, क्योंकि भिन्न दिखाई देंगे। यदि आप चाहें, तो आप दूसरी विधि का उपयोग करके इस उदाहरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं; उत्तर मेल खाने चाहिए।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। निर्णय लेने से पहले, इस बारे में सोचें कि इस मामले में घातांकीय या त्रिकोणमितीय फलन के रूप में क्या नामित करना अधिक लाभप्रद है? पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

और, निःसंदेह, यह न भूलें कि इस पाठ के अधिकांश उत्तरों को विभेदन द्वारा जांचना काफी आसान है!

जिन उदाहरणों पर विचार किया गया वे सबसे जटिल नहीं थे। व्यवहार में, अभिन्न अधिक सामान्य होते हैं जहां स्थिरांक घातांक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क दोनों में होता है, उदाहरण के लिए:। ऐसे समग्र में अनेक लोग भ्रमित हो जायेंगे और मैं स्वयं भी प्रायः भ्रमित हो जाता हूँ। तथ्य यह है कि समाधान में अंश दिखाई देने की उच्च संभावना है, और लापरवाही से कुछ खोना बहुत आसान है। इसके अलावा, संकेतों में त्रुटि की उच्च संभावना है; ध्यान दें कि घातांक में ऋण चिह्न है, और यह अतिरिक्त कठिनाई का परिचय देता है।

अंतिम चरण में, परिणाम अक्सर कुछ इस प्रकार होता है:

समाधान के अंत में भी, आपको बेहद सावधान रहना चाहिए और भिन्नों को सही ढंग से समझना चाहिए:

जटिल भिन्नों का एकीकरण

हम धीरे-धीरे पाठ के भूमध्य रेखा के पास पहुँच रहे हैं और भिन्नों के अभिन्नों पर विचार करना शुरू कर रहे हैं। फिर, उनमें से सभी अत्यधिक जटिल नहीं हैं, बात बस इतनी है कि किसी न किसी कारण से अन्य लेखों में उदाहरण थोड़े "विषय से हटकर" थे।

जड़ों के विषय को जारी रखना

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

मूल के नीचे हर में एक द्विघात त्रिपद और मूल के बाहर "X" के रूप में एक "उपांग" होता है। इस प्रकार के अभिन्न अंग को मानक प्रतिस्थापन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

हमने निर्णय किया:

यहाँ प्रतिस्थापन सरल है:

आइए प्रतिस्थापन के बाद के जीवन पर नजर डालें:

(1) प्रतिस्थापन के बाद, हम मूल के अंतर्गत पदों को एक सामान्य हर में घटा देते हैं।
(2) हम इसे जड़ के नीचे से निकालते हैं।
(3) अंश और हर को कम किया जाता है। साथ ही, मूल के अंतर्गत, मैंने शर्तों को सुविधाजनक क्रम में पुनर्व्यवस्थित किया। कुछ अनुभव के साथ, टिप्पणी की गई क्रियाओं को मौखिक रूप से निष्पादित करके चरण (1), (2) को छोड़ा जा सकता है।
(4) परिणामी अभिन्न, जैसा कि आपको पाठ से याद है कुछ भिन्नों को एकीकृत करना, निर्णय लिया जा रहा है पूर्ण वर्ग निष्कर्षण विधि. एक पूर्ण वर्ग चुनें.
(5) एकीकरण से हमें एक सामान्य "लंबा" लघुगणक प्राप्त होता है।
(6) हम रिवर्स रिप्लेसमेंट करते हैं। यदि प्रारंभ में , तो पीछे : .
(7) अंतिम क्रिया का उद्देश्य परिणाम को सीधा करना है: जड़ के नीचे हम फिर से शब्दों को एक सामान्य विभाजक में लाते हैं और उन्हें जड़ के नीचे से निकालते हैं।

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यहां अकेले "X" में एक स्थिरांक जोड़ा गया है, और प्रतिस्थापन लगभग समान है:

केवल एक चीज जो आपको अतिरिक्त रूप से करने की ज़रूरत है वह है किए जा रहे प्रतिस्थापन से "x" को व्यक्त करना:

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

कभी-कभी ऐसे समाकलन में मूल के नीचे एक द्विघात द्विपद हो सकता है, इससे समाधान की विधि नहीं बदलती, यह और भी सरल हो जाएगी। फर्क महसूस करो:

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उदाहरण 11 बिल्कुल वैसा ही है द्विपद अभिन्नजिसके समाधान विधि पर कक्षा में चर्चा की गई अपरिमेय कार्यों का अभिन्न अंग.

घात की दूसरी डिग्री के एक अविभाज्य बहुपद का समाकलन

(हर में बहुपद)

एक अधिक दुर्लभ प्रकार का अभिन्न, लेकिन फिर भी व्यावहारिक उदाहरणों में इसका सामना किया जाता है।

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

लेकिन चलिए भाग्यशाली संख्या 13 वाले उदाहरण पर लौटते हैं (ईमानदारी से कहूं तो, मैंने सही अनुमान नहीं लगाया)। यह अभिन्न अंग भी उनमें से एक है जिसे यदि आप हल करना नहीं जानते तो यह काफी निराशाजनक हो सकता है।

समाधान कृत्रिम परिवर्तन से शुरू होता है:

मुझे लगता है कि हर कोई पहले से ही समझता है कि अंश को हर से कैसे विभाजित किया जाए।

परिणामी अभिन्न को भागों में लिया गया है:

एक अभिन्न अंग के रूप में हम (-प्राकृत संख्या) प्राप्त करते हैं आवर्तीकटौती सूत्र:
, कहाँ - एक डिग्री कम का अभिन्न अंग।

आइए हम हल किए गए अभिन्न अंग के लिए इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें।
इस मामले में: , , हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर समान हैं।

उदाहरण 14

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। नमूना समाधान उपरोक्त सूत्र का लगातार दो बार उपयोग करता है।

यदि डिग्री के अंतर्गत है अभाज्यवर्ग त्रिपद, तो पूर्ण वर्ग को अलग करके समाधान को द्विपद में घटा दिया जाता है, उदाहरण के लिए:

यदि अंश में एक अतिरिक्त बहुपद हो तो क्या होगा? इस मामले में, अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग किया जाता है, और इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को अंशों के योग में विस्तारित किया जाता है। लेकिन मेरे व्यवहार में ऐसा एक उदाहरण है कभी नहीं मिले, इसलिए मैं लेख में इस मामले को भूल गया भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों का समाकलन, मैं इसे अब छोड़ दूँगा। यदि आप अभी भी इस तरह के अभिन्न अंग का सामना करते हैं, तो पाठ्यपुस्तक को देखें - वहां सब कुछ सरल है। मुझे नहीं लगता कि ऐसी सामग्री (यहां तक ​​कि साधारण सामग्री) को भी शामिल करना उचित है, जिसके मिलने की संभावना शून्य हो जाती है।

जटिल त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करना

अधिकांश उदाहरणों के लिए विशेषण "जटिल" फिर से काफी हद तक सशर्त है। आइए उच्च घात वाली स्पर्शरेखाओं और कोटैंजेंटों से शुरुआत करें। प्रयुक्त समाधान विधियों के दृष्टिकोण से, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट लगभग एक ही चीज़ हैं, इसलिए मैं स्पर्शरेखा के बारे में अधिक बात करूंगा, जिसका अर्थ है कि अभिन्न को हल करने के लिए प्रदर्शित विधि कोटैंजेंट के लिए भी मान्य है।

उपरोक्त पाठ में हमने देखा सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनत्रिकोणमितीय फलनों के एक निश्चित प्रकार के समाकलन को हल करने के लिए। सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का नुकसान यह है कि इसके उपयोग के परिणामस्वरूप अक्सर कठिन गणनाओं के साथ बोझिल अभिन्न अंग बनते हैं। और कुछ मामलों में, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से बचा जा सकता है!

आइए एक और विहित उदाहरण पर विचार करें, साइन द्वारा विभाजित एक का अभिन्न अंग:

उदाहरण 17

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यहां आप सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन एक अधिक तर्कसंगत तरीका भी है। मैं प्रत्येक चरण के लिए टिप्पणियों के साथ संपूर्ण समाधान प्रदान करूंगा:

(1) हम दोहरे कोण की ज्या के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं।
(2) हम एक कृत्रिम परिवर्तन करते हैं: हर में भाग दें और से गुणा करें।
(3) हर में प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम भिन्न को स्पर्शरेखा में बदलते हैं।
(4) हम फ़ंक्शन को विभेदक चिह्न के अंतर्गत लाते हैं।
(5) अखण्ड लीजिए ।

आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 18

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

ध्यान दें: सबसे पहला कदम कटौती सूत्र का उपयोग करना होना चाहिए और पिछले उदाहरण के समान कार्य सावधानीपूर्वक करें।

उदाहरण 19

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

खैर, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण है.

पाठ के अंत में संपूर्ण समाधान और उत्तर।

मुझे लगता है कि अब किसी को इंटीग्रल से कोई समस्या नहीं होगी:
और इसी तरह।

विधि का विचार क्या है? विचार केवल स्पर्शरेखाओं और स्पर्शरेखा व्युत्पन्न को एकीकृत में व्यवस्थित करने के लिए परिवर्तनों और त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना है। यानी हम बदलने की बात कर रहे हैं: . उदाहरण 17-19 में हमने वास्तव में इस प्रतिस्थापन का उपयोग किया था, लेकिन अभिन्न अंग इतने सरल थे कि हमें एक समतुल्य क्रिया के साथ काम मिला - अंतर चिह्न के तहत फ़ंक्शन को शामिल करना।

इसी तरह का तर्क, जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, कोटैंजेंट के लिए किया जा सकता है।

उपरोक्त प्रतिस्थापन को लागू करने के लिए एक औपचारिक शर्त भी है:

कोसाइन और साइन की घातों का योग एक ऋणात्मक पूर्णांक EVEN संख्या है, उदाहरण के लिए:

अभिन्न के लिए - एक ऋणात्मक पूर्णांक EVEN संख्या।

! टिप्पणी : यदि इंटीग्रैंड में केवल एक साइन या केवल एक कोसाइन होता है, तो इंटीग्रल को एक नकारात्मक विषम डिग्री के लिए भी लिया जाता है (सबसे सरल मामले उदाहरण संख्या 17, 18 में हैं)।

आइए इस नियम पर आधारित कुछ और सार्थक कार्यों पर नजर डालें:

उदाहरण 20

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

साइन और कोसाइन की शक्तियों का योग: 2 - 6 = -4 एक नकारात्मक पूर्णांक EVEN संख्या है, जिसका अर्थ है कि अभिन्न को स्पर्शरेखा और उसके व्युत्पन्न में घटाया जा सकता है:

(1) आइए हर को रूपांतरित करें।
(2) सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।
(3) आइए हर को रूपांतरित करें।
(4) हम सूत्र का उपयोग करते हैं .
(5) हम फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के अंतर्गत लाते हैं।
(6) हम प्रतिस्थापन करते हैं। अधिक अनुभवी छात्र प्रतिस्थापन नहीं कर सकते हैं, लेकिन स्पर्शरेखा को एक अक्षर से बदलना अभी भी बेहतर है - भ्रमित होने का जोखिम कम है।

उदाहरण 21

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

वहीं रुको, चैंपियनशिप राउंड शुरू होने वाले हैं =)

अक्सर इंटीग्रैंड में एक "हॉजपॉज" होता है:

उदाहरण 22

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

इस अभिन्न में प्रारंभ में एक स्पर्शरेखा होती है, जो तुरंत पहले से ही परिचित विचार की ओर ले जाती है:

मैं कृत्रिम परिवर्तन को आरंभ में और शेष चरणों को बिना किसी टिप्पणी के छोड़ दूँगा, क्योंकि सब कुछ पहले ही ऊपर चर्चा की जा चुकी है।

आपके स्वयं के समाधान के लिए कुछ रचनात्मक उदाहरण:

उदाहरण 23

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

उदाहरण 24

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

हां, उनमें, निश्चित रूप से, आप साइन और कोसाइन की शक्तियों को कम कर सकते हैं, और एक सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि स्पर्शरेखा के माध्यम से किया जाता है तो समाधान अधिक कुशल और छोटा होगा। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। अभिन्नों की तालिका. सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)।
पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।	पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।
एक इंटीग्रल जो पावर फ़ंक्शन के इंटीग्रल को कम कर देता है यदि x को अंतर चिह्न के तहत संचालित किया जाता है।
	एक घातांक का अभिन्न अंग, जहां a एक स्थिर संख्या है।
एक जटिल घातांकीय फलन का अभिन्न अंग।	एक घातांकीय फलन का अभिन्न अंग.
प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग।	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।	एक अभिन्न, जहां अंश में x को अंतर चिह्न के नीचे रखा जाता है (चिह्न के नीचे स्थिरांक को या तो जोड़ा या घटाया जा सकता है), अंततः प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग के समान होता है।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।
कोसाइन अभिन्न.	साइन इंटीग्रल.
स्पर्शरेखा के बराबर अभिन्न.	कोटैंजेंट के बराबर अभिन्न।
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर अभिन्न
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।	आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।
सहसंयोजक के बराबर समाकलन.	इंटीग्रल सेकेंट के बराबर।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कोसेसेंट के बराबर इंटीग्रल।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल।
हाइपरबोलिक साइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।
अतिपरवलयिक स्पर्शज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट के बराबर इंटीग्रल।
अतिशयोक्तिपूर्ण सेकेंट के बराबर अभिन्न।	अतिपरवलयिक सहसंयोजक के बराबर समाकलन.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। एकीकरण नियम.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एकीकरण के नियम।
किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) को एक स्थिरांक द्वारा एकीकृत करना:
कार्यों का योग एकीकृत करना:
अनिश्चितकालीन अभिन्न:
भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र निश्चित अभिन्न:
न्यूटन-लीबनिज सूत्र निश्चित अभिन्न:	जहाँ F(a),F(b) क्रमशः बिंदु b और a पर प्रतिअवकलन के मान हैं।

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न। उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

यदि x एक स्वतंत्र चर है, तो:

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न।"तालिका व्युत्पन्न" - हाँ, दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर उन्हें इसी प्रकार खोजा जाता है
	एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न
	प्रतिपादक की व्युत्पत्ति
एक जटिल घातीय फलन का व्युत्पन्न	घातीय फलन का व्युत्पन्न
लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न	प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
	किसी फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
साइन का व्युत्पन्न	कोसाइन का व्युत्पन्न
सहसंयोजक का व्युत्पन्न	सेकेंट का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
स्पर्शरेखा व्युत्पन्न	कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
अतिपरवलयिक छेदक का व्युत्पन्न	अतिपरवलयिक सहसंयोजक का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम. उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.
किसी स्थिरांक द्वारा किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) का व्युत्पन्न:
योग का व्युत्पन्न (कार्य):
उत्पाद का व्युत्पन्न (कार्य):
भागफल का व्युत्पन्न (कार्यों का):
एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

लघुगणक के गुण. लघुगणक के लिए मूल सूत्र. दशमलव (एलजी) और प्राकृतिक लघुगणक (एलएन)।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान
आइए दिखाते हैं कि a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को घातांकीय कैसे बनाया जा सकता है। चूँकि e x के रूप का एक फलन घातांकीय कहलाता है
a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को दस की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है

प्राकृतिक लघुगणक ln (आधार e का लघुगणक = 2.718281828459045...) ln(e)=1; एलएन(1)=0

टेलर श्रृंखला. किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार।

इससे पता चलता है कि बहुमत व्यावहारिक रूप से सामना करना पड़ागणितीय कार्यों को किसी निश्चित बिंदु के आसपास किसी भी सटीकता के साथ बढ़ते क्रम में एक चर की शक्तियों वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बिंदु x=1 के आसपास:

श्रृंखला का उपयोग करते समय कहा जाता है टेलर की पंक्तियाँबीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों वाले मिश्रित कार्यों को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। श्रृंखला का उपयोग करके, आप अक्सर जल्दी से भेदभाव और एकीकरण कर सकते हैं।

बिंदु a के पड़ोस में टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

1) , जहां f(x) एक फ़ंक्शन है जिसमें x = a पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं। आर एन - टेलर श्रृंखला में शेष पद अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

2)

श्रृंखला का k-वें गुणांक (x k पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3) टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला मैकलॉरिन (=मैकलारेन) श्रृंखला है (विस्तार बिंदु a=0 के आसपास होता है)

a=0 पर

श्रृंखला के सदस्यों का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जाता है

टेलर श्रृंखला का उपयोग करने की शर्तें।

1. फ़ंक्शन f(x) को अंतराल (-R;R) पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके लिए टेलर (मैकलॉरिन (=मैकलारेन)) सूत्र में शेष पद फ़ंक्शन निर्दिष्ट अंतराल (-R;R) पर k →∞ के रूप में शून्य हो जाता है।

2. यह आवश्यक है कि जिस बिंदु के आसपास हम टेलर श्रृंखला का निर्माण करने जा रहे हैं, उस बिंदु पर किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हों।

टेलर श्रृंखला के गुण.

यदि f एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है, तो इसकी टेलर श्रृंखला f की परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर a के कुछ पड़ोस में f में परिवर्तित हो जाती है।

ऐसे अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न कार्य हैं जिनकी टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन साथ ही ए के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए:

टेलर श्रृंखला का उपयोग बहुपदों द्वारा किसी फ़ंक्शन के सन्निकटन में किया जाता है (अनुमान एक वैज्ञानिक विधि है जिसमें कुछ वस्तुओं को दूसरों के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, एक अर्थ में या मूल के करीब, लेकिन सरल)। विशेष रूप से, रैखिककरण ((रैखिक से - रैखिक), बंद गैर-रेखीय प्रणालियों के अनुमानित प्रतिनिधित्व के तरीकों में से एक, जिसमें एक गैर-रेखीय प्रणाली के अध्ययन को एक रैखिक प्रणाली के विश्लेषण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, कुछ अर्थों में मूल के बराबर .) टेलर श्रृंखला में विस्तार करके और पहले क्रम से ऊपर के सभी पदों को काटकर समीकरण बनते हैं।

इस प्रकार, लगभग किसी भी फ़ंक्शन को दी गई सटीकता के साथ बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=मैकलारेन, टेलर बिंदु 0 के आसपास) और टेलर बिंदु 1 के आसपास। टेलर और मैकलारेन श्रृंखला में मुख्य कार्यों के विस्तार की पहली शर्तें।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=बिंदु 0 के आसपास मैकलेरन, टेलर)

बिंदु 1 के आसपास कुछ सामान्य टेलर श्रृंखला विस्तार के उदाहरण

प्रतिव्युत्पन्न और अभिन्न

1. प्रतिअवकलन। फ़ंक्शन F(x) को अंतराल

T.7.13 (यदि F(x) अंतराल जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है (प्रतिअवकलन का मुख्य गुण)।

2. प्रतिअवकलजों की तालिका। इस बात पर विचार करते हुए कि एक प्रतिअवकलन खोजना विभेदन का व्युत्क्रम संचालन है, और व्युत्पन्न की तालिका से शुरू करते हुए, हम प्रतिअवकलन की निम्नलिखित तालिका प्राप्त करते हैं (सरलता के लिए, तालिका एक प्रतिअवकलन F(x) दिखाती है, न कि प्रतिअवकलन F(x) का सामान्य रूप एक्स) + सी:

	antiderivative		antiderivative

प्रतिव्युत्पन्न और लघुगणकीय कार्य

लघुगणकीय फलन, घातीय फलन का व्युत्क्रम। एल. एफ. द्वारा चिह्नित

इसका मान y, तर्क x के मान के अनुरूप, संख्या x का प्राकृतिक लघुगणक कहलाता है। परिभाषा के अनुसार, संबंध (1) समतुल्य है

(ई एक नेपर संख्या है)। चूँकि किसी भी वास्तविक y के लिए ey > 0 है, तो L.f. केवल x > 0 के लिए परिभाषित किया गया है। अधिक सामान्य अर्थ में, L. f. फ़ंक्शन को कॉल करें

प्रतिअवकलन घात अभिन्न लघुगणक

जहां a > 0 (a? 1) लघुगणक का एक मनमाना आधार है। हालाँकि, गणितीय विश्लेषण में InX फ़ंक्शन का विशेष महत्व है; logaX फ़ंक्शन को सूत्र का उपयोग करके इसमें घटाया गया है:

जहां एम = 1/ए में। एल. एफ. - मुख्य प्राथमिक कार्यों में से एक; इसका ग्राफ़ (चित्र 1) लघुगणक कहलाता है। एल.एफ. के मूल गुण। घातांकीय फलन और लघुगणक के संगत गुणों से अनुसरण करें; उदाहरण के लिए, एल. एफ. कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है

1 के लिए< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

कई अभिन्न अंग रैखिक कार्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं; उदाहरण के लिए

एल. एफ. गणितीय विश्लेषण और उसके अनुप्रयोगों में निरंतर होता रहता है।

एल. एफ. 17वीं सदी के गणितज्ञों के बीच यह अच्छी तरह से जाना जाता था। पहली बार, एल.एफ. द्वारा व्यक्त चर मात्राओं के बीच निर्भरता पर जे. नेपियर (1614) द्वारा विचार किया गया था। उन्होंने समानांतर रेखाओं के साथ चलते हुए दो बिंदुओं का उपयोग करके संख्याओं और उनके लघुगणक के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व किया (चित्र 2)। उनमें से एक (Y) C से शुरू करके समान रूप से चलता है, और दूसरा (X), A से शुरू करके, B से अपनी दूरी के समानुपाती गति से चलता है। यदि हम SU = y, XB = x रखते हैं, तो, के अनुसार यह परिभाषा,

dx/dy = - kx, कहाँ से।

एल. एफ. जटिल तल पर तर्क z के सभी मानों के लिए परिभाषित एक बहु-मूल्यवान (अनंत-मूल्यवान) फ़ंक्शन है? 0 को Lnz से दर्शाया जाता है। इस फ़ंक्शन की एकल-मूल्यवान शाखा, के रूप में परिभाषित की गई है

Inz = In?z?+ i arg z,

जहाँ arg z सम्मिश्र संख्या z का तर्क है, जिसे रैखिक फलन का मुख्य मान कहा जाता है। हमारे पास है

एलएनजेड = एलएनजेड + 2केपीआई, के = 0, ±1, ±2, ...

L.f के सभी अर्थ. नकारात्मक के लिए: वास्तविक z सम्मिश्र संख्याएँ हैं। एल.एफ. का पहला संतोषजनक सिद्धांत। जटिल तल में एल. यूलर (1749) द्वारा दिया गया था, जो परिभाषा से आगे बढ़े