लॉग इन सूत्र का उपयोग करके एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। चार सूत्र जिनका उपयोग एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए किया जा सकता है। एक समचतुर्भुज के गुण. समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

गणित एक स्कूली विषय है जिसका अध्ययन कक्षा प्रोफ़ाइल की परवाह किए बिना हर कोई करता है। हालाँकि, वह हर किसी की पसंदीदा नहीं हैं। कभी-कभी नाहक. यह विज्ञान छात्रों के सामने लगातार चुनौतियाँ प्रस्तुत करता है जिससे उनके मस्तिष्क का विकास होता है। गणित बच्चों के सोचने के कौशल को जीवित रखने का बहुत अच्छा काम करता है। इसका एक खंड - ज्यामिति - इसका विशेष रूप से अच्छी तरह से मुकाबला करता है।

इसमें जिन विषयों का अध्ययन किया जाता है उनमें से कोई भी ध्यान और सम्मान के योग्य है। ज्यामिति स्थानिक कल्पना विकसित करने का एक तरीका है। एक उदाहरण आकृतियों के क्षेत्रों के बारे में विषय है, विशेष रूप से समचतुर्भुज में। यदि आप विवरण नहीं समझते हैं तो ये पहेलियाँ गतिरोध की ओर ले जा सकती हैं। क्योंकि उत्तर खोजने के विभिन्न दृष्टिकोण संभव हैं। कुछ लोगों के लिए नीचे लिखे सूत्रों के विभिन्न संस्करणों को याद रखना आसान होता है, जबकि अन्य उन्हें पहले से सीखी गई सामग्री से स्वयं प्राप्त करने में सक्षम होते हैं। किसी भी मामले में, कोई निराशाजनक स्थितियाँ नहीं हैं। थोड़ा सा सोचेंगे तो समाधान अवश्य मिलेगा।

सूत्रों को प्राप्त करने के सिद्धांतों और समस्याओं में तर्क के प्रवाह को समझने के लिए इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है। आखिरकार, यह समझने के लिए कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको स्पष्ट रूप से यह समझने की आवश्यकता है कि यह किस प्रकार की आकृति है और इसके गुण क्या हैं।

एक समांतर चतुर्भुज पर विचार करने की सुविधा के लिए, जो जोड़ीदार समानांतर भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है, हम इसे "मूल" के रूप में लेंगे। उसके दो "बच्चे" हैं: एक आयत और एक समचतुर्भुज। ये दोनों समांतर चतुर्भुज हैं। यदि हम समानताएँ जारी रखें, तो यह एक "उपनाम" है। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आप समांतर चतुर्भुज के लिए पहले से अध्ययन किए गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

लेकिन, सभी बच्चों की तरह, रोम्बस का भी अपना कुछ न कुछ होता है। यह इसे "मूल" से थोड़ा अलग बनाता है और इसे एक अलग आंकड़े के रूप में देखने की अनुमति देता है। आख़िरकार, एक आयत एक समचतुर्भुज नहीं है। समानताओं की ओर लौटते हुए - वे भाई-बहन की तरह हैं। उनमें बहुत कुछ समान है, लेकिन फिर भी वे भिन्न हैं। ये अंतर उनके विशेष गुण हैं जिनका उपयोग करने की आवश्यकता है। उनके बारे में जानना और उन्हें समस्याओं के समाधान में लागू न करना अजीब होगा।

यदि हम सादृश्य जारी रखते हैं और एक अन्य आकृति - एक वर्ग, को याद करते हैं, तो यह एक समचतुर्भुज और एक आयत की निरंतरता होगी। यह आंकड़ा दोनों के सभी गुणों को जोड़ता है।

एक समचतुर्भुज के गुण

उनमें से पाँच हैं और वे नीचे सूचीबद्ध हैं। इसके अलावा, उनमें से कुछ समांतर चतुर्भुज के गुणों को दोहराते हैं, जबकि कुछ केवल प्रश्न में आकृति में निहित हैं।

• समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसने एक विशेष आकार ले लिया है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इसकी भुजाएँ जोड़ीवार समान्तर एवं बराबर हैं। इसके अलावा, वे जोड़ियों में समान नहीं हैं, लेकिन बस इतना ही। जैसा कि यह एक वर्ग के लिए होगा.
• इस चतुर्भुज के विकर्ण 90º के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह सुविधाजनक है और समस्याओं को हल करते समय तर्क के प्रवाह को बहुत सरल बनाता है।
• विकर्णों की एक और संपत्ति: उनमें से प्रत्येक को चौराहे के बिंदु से समान खंडों में विभाजित किया गया है।
• एक दूसरे के विपरीत स्थित इस आकृति के कोण बराबर हैं।
• और अंतिम गुण: समचतुर्भुज के विकर्ण कोणों के समद्विभाजक के साथ मेल खाते हैं।

विचारित सूत्रों में अपनाए गए नोटेशन

गणित में, आप सामान्य अक्षर अभिव्यक्तियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करते हैं जिन्हें सूत्र कहा जाता है। वर्गों का विषय कोई अपवाद नहीं है।

उन नोट्स पर आगे बढ़ने के लिए जो आपको बताएंगे कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, आपको उन अक्षरों पर सहमत होने की आवश्यकता है जो आकृति के तत्वों के सभी संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

अब सूत्र लिखने का समय आ गया है।

समस्या डेटा में केवल समचतुर्भुज के विकर्ण शामिल हैं

नियम कहता है कि किसी अज्ञात मात्रा को खोजने के लिए, आपको विकर्णों की लंबाई को गुणा करना होगा, और फिर उत्पाद को आधे में विभाजित करना होगा। विभाजन का परिणाम विकर्णों के माध्यम से समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

इस मामले का सूत्र इस तरह दिखेगा:

मान लीजिए यह फॉर्मूला नंबर 1 है.

समस्या एक समचतुर्भुज का पक्ष और उसकी ऊँचाई बताती है

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको इन दो मात्राओं का गुणनफल ज्ञात करना होगा। यह शायद सबसे सरल फ़ॉर्मूला है. इसके अलावा विषय से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बारे में भी पता चलता है। इस तरह के फॉर्मूले का अध्ययन वहां पहले ही किया जा चुका है।

गणितीय संकेतन:

इस सूत्र की संख्या 2 है.

ज्ञात पक्ष और न्यूनकोण

इस मामले में, आपको समचतुर्भुज के किनारे के आकार को वर्गाकार करने की आवश्यकता है। फिर कोण की ज्या ज्ञात कीजिए। और तीसरी क्रिया के साथ, दो परिणामी मात्राओं के उत्पाद की गणना करें। उत्तर समचतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा।

शाब्दिक अभिव्यक्ति:

इसका क्रमांक 3 है.

दी गई मात्राएँ: अंकित वृत्त की त्रिज्या और न्यूनकोण

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको त्रिज्या का वर्ग ज्ञात करना होगा और इसे 4 से गुणा करना होगा। कोण की ज्या का मान निर्धारित करना होगा। फिर उत्पाद को दूसरी मात्रा से विभाजित करें।

सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

इसे 4 नंबर दिया जाएगा.

समस्या में एक अंकित वृत्त की भुजा और त्रिज्या शामिल है

यह निर्धारित करने के लिए कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इन मात्राओं और संख्या 2 के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होगी।

इस समस्या का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

इसका क्रमांक 5 है।

संभावित कार्यों के उदाहरण

समस्या 1

एक समचतुर्भुज का एक विकर्ण 8 सेमी है, और दूसरा 14 सेमी है। आपको आकृति का क्षेत्रफल और उसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करनी होगी।

समाधान

पहली मात्रा ज्ञात करने के लिए आपको सूत्र 1 की आवश्यकता होगी, जिसमें D 1 = 8, D 2 = 14. फिर क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: (8 * 14) / 2 = 56 (सेमी 2)।

विकर्ण समचतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। उनमें से प्रत्येक निश्चित रूप से आयताकार होगा. इसका उपयोग दूसरे अज्ञात का मूल्य निर्धारित करने के लिए किया जाना चाहिए। समचतुर्भुज का किनारा त्रिभुज का कर्ण बन जाएगा, और पैर विकर्णों के आधे भाग होंगे।

फिर ए 2 = (डी 1/2) 2 + (डी 2/2) 2. सभी मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें मिलता है: a 2 = (8/2) 2 + (14/2) 2 = 16 + 49 = 65. लेकिन यह भुजा का वर्ग है। इसका मतलब है कि हमें 65 का वर्गमूल निकालना होगा। तब भुजा की लंबाई लगभग 8.06 सेमी होगी।

उत्तर: क्षेत्रफल 56 सेमी2 और भुजा 8.06 सेमी है।

समस्या 2

एक समचतुर्भुज की भुजा का मान 5.5 dm के बराबर है, और इसकी ऊँचाई 3.5 dm है। आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

इसका जवाब ढूंढने के लिए आपको फॉर्मूला 2 की जरूरत पड़ेगी. इसमें a = 5.5, H = 3.5 है. फिर, सूत्र में अक्षरों को संख्याओं से बदलने पर, हम पाते हैं कि वांछित मान 5.5 * 3.5 = 19.25 (डीएम 2) है।

उत्तर: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 19.25 dm2 है।

समस्या 3

एक निश्चित समचतुर्भुज का न्यून कोण 60º है, और इसका छोटा विकर्ण 12 सेमी है। आपको इसके क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान

परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको सूत्र संख्या 3 की आवश्यकता होगी। इसमें, के बजाय ए 60 होगा, और मान एअज्ञात।

समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात करने के लिए, आपको ज्या प्रमेय को याद रखना होगा। एक समकोण त्रिभुज में एकर्ण होगा, छोटा पैर विकर्ण के आधे के बराबर है, और कोण आधे में विभाजित है (उस संपत्ति से ज्ञात होता है जहां द्विभाजक का उल्लेख किया गया है)।

फिर साइड एपैर के गुणनफल और कोण की ज्या के बराबर होगा।

पैर की गणना डी/2 = 12/2 = 6 (सेमी) के रूप में की जानी चाहिए। 30º के कोण के लिए साइन (ए/2) इसके मान के बराबर होगा, यानी 1/2।

सरल गणना करने के बाद, हमें समचतुर्भुज की भुजा के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त होता है: a = 3 (सेमी)।

अब क्षेत्रफल 3 2 और 60º की ज्या का गुणनफल है, अर्थात 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (सेमी 2)।

उत्तर: आवश्यक मान (9√3)/2 सेमी 2 है।

परिणाम: सब कुछ संभव है

यहां हमने समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कुछ विकल्पों पर गौर किया। यदि किसी समस्या में यह सीधे तौर पर स्पष्ट नहीं है कि किस फॉर्मूले का उपयोग करना है, तो आपको थोड़ा सोचने और पहले से अध्ययन किए गए विषयों को जोड़ने का प्रयास करने की आवश्यकता है। अन्य विषयों में निश्चित रूप से एक संकेत होगा जो सूत्रों में ज्ञात मात्राओं को जोड़ने में मदद करेगा। और समस्या का समाधान हो जायेगा. मुख्य बात यह याद रखना है कि पहले सीखी गई हर चीज़ का उपयोग किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।

प्रस्तावित कार्यों के अलावा, व्युत्क्रम समस्याएं भी संभव हैं, किसी आकृति के क्षेत्र का उपयोग करते समय आपको समचतुर्भुज के कुछ तत्व के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता होती है। फिर आपको उस समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है जो स्थिति के निकटतम है। और फिर समानता के बाईं ओर एक अज्ञात मात्रा छोड़कर, सूत्र को रूपांतरित करें।

ज्यामिति में समचतुर्भुज एक विशेष आकृति है। इसके विशेष गुणों के लिए धन्यवाद, एक नहीं, बल्कि कई सूत्र हैं जिनका उपयोग एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए किया जा सकता है। ये गुण क्या हैं और इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सबसे सामान्य सूत्र क्या हैं? आइए इसका पता लगाएं।

किस ज्यामितीय आकृति को समचतुर्भुज कहा जाता है?

इससे पहले कि आप यह पता करें कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है, यह पता लगाना उचित है कि यह किस प्रकार की आकृति है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के समय से, एक समचतुर्भुज एक सममित चतुर्भुज है, जिसकी सभी चार भुजाएँ लंबाई में समान और जोड़े में समानांतर हैं।

शब्द की उत्पत्ति

लैटिन की मध्यस्थता के माध्यम से, इस आकृति का नाम ग्रीक से अधिकांश आधुनिक भाषाओं में आया। "रोम्बस" शब्द का "पूर्वज" ग्रीक संज्ञा ῥόμβος (टैम्बोरिन) था। यद्यपि बीसवीं सदी के निवासियों के लिए, जो गोल टैम्बोरिन के आदी हैं, उन्हें किसी अन्य आकार में कल्पना करना मुश्किल है, हेलेन्स के बीच ये संगीत वाद्ययंत्र पारंपरिक रूप से गोल नहीं, बल्कि हीरे के आकार के बनाए जाते थे।

अधिकांश आधुनिक भाषाओं में, इस गणितीय शब्द का प्रयोग लैटिन में किया जाता है: रोम्बस। हालाँकि, अंग्रेजी में, रोम्बस को कभी-कभी डायमंड (हीरा या डायमंड) भी कहा जाता है। इस आकृति को यह उपनाम इसके विशेष आकार के कारण मिला, जो एक कीमती पत्थर की याद दिलाती है। एक नियम के रूप में, एक समान शब्द का उपयोग सभी समचतुर्भुजों के लिए नहीं किया जाता है, बल्कि केवल उन लोगों के लिए किया जाता है जिनमें इसकी दोनों भुजाओं का प्रतिच्छेदन कोण साठ या पैंतालीस डिग्री के बराबर होता है।

इस आंकड़े का पहली बार उल्लेख ग्रीक गणितज्ञ के कार्यों में किया गया था जो नए युग की पहली शताब्दी में रहते थे - अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन।

इस ज्यामितीय आकृति में क्या गुण हैं?

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सबसे पहले आपको यह जानना होगा कि इस ज्यामितीय आकृति में क्या विशेषताएं हैं।

किन स्थितियों में एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है?

जैसा कि आप जानते हैं, प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, लेकिन प्रत्येक समचतुर्भुज एक समचतुर्भुज नहीं है। सटीक रूप से यह बताने के लिए कि प्रस्तुत आकृति वास्तव में एक समचतुर्भुज है, न कि एक साधारण समांतर चतुर्भुज, इसे तीन मुख्य विशेषताओं में से एक के अनुरूप होना चाहिए जो एक समचतुर्भुज को अलग करती है। या तीनों एक साथ.

1. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण नब्बे डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
2. विकर्ण उनके समद्विभाजक के रूप में कार्य करते हुए कोणों को दो भागों में विभाजित करते हैं।
3. न केवल समानांतर, बल्कि आसन्न भुजाओं की भी लंबाई समान होती है। वैसे, यह समचतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज के बीच मुख्य अंतरों में से एक है, क्योंकि दूसरी आकृति में केवल समानांतर भुजाएँ हैं जो लंबाई में बराबर हैं, लेकिन आसन्न नहीं हैं।

किन परिस्थितियों में एक समचतुर्भुज एक वर्ग होता है?

अपने गुणों के अनुसार, कुछ मामलों में एक समचतुर्भुज एक साथ एक वर्ग बन सकता है। इस कथन की स्पष्ट रूप से पुष्टि करने के लिए, बस वर्ग को किसी भी दिशा में पैंतालीस डिग्री तक घुमाएँ। परिणामी आकृति एक समचतुर्भुज होगी, जिसका प्रत्येक कोण नब्बे डिग्री के बराबर है।

इसके अलावा, यह पुष्टि करने के लिए कि वर्ग एक समचतुर्भुज है, आप इन आकृतियों की विशेषताओं की तुलना कर सकते हैं: दोनों ही मामलों में, सभी भुजाएँ समान हैं, और विकर्ण समद्विभाजक हैं और नब्बे डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

किसी समचतुर्भुज के विकर्णों का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

आधुनिक दुनिया में, आप आवश्यक गणनाएँ करने के लिए लगभग सभी सामग्रियाँ इंटरनेट पर पा सकते हैं। इस प्रकार, किसी विशेष आकृति के क्षेत्र की स्वचालित गणना के लिए कार्यक्रमों से सुसज्जित बहुत सारे संसाधन हैं। इसके अलावा, यदि (जैसा कि एक रोम्बस के मामले में) इसके लिए कई सूत्र हैं, तो यह चुनना संभव है कि कौन सा उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है। हालाँकि, सबसे पहले, आपको कंप्यूटर की सहायता के बिना स्वयं एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने और सूत्रों को नेविगेट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। रोम्बस के लिए उनमें से कई हैं, लेकिन उनमें से सबसे प्रसिद्ध चार हैं।

इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे सरल और सबसे सामान्य तरीका यह है कि यदि आपके पास इसके विकर्णों की लंबाई के बारे में जानकारी है। यदि समस्या में यह डेटा है, तो आप क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू कर सकते हैं: S = KM x LN/2 (KM और LN समचतुर्भुज KLMN के विकर्ण हैं)।

आप व्यवहार में इस सूत्र की विश्वसनीयता की जांच कर सकते हैं। मान लीजिए कि एक समचतुर्भुज KLMN के एक विकर्ण की लंबाई KM - 10 सेमी है, और दूसरे LN - 8 सेमी है। फिर हम इन आंकड़ों को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं: S = 10 x 8/ 2 = 40 सेमी 2.

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र

एक और फार्मूला है. जैसा कि ऊपर समचतुर्भुज की परिभाषा में कहा गया है, यह केवल एक चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज भी है, और इसमें इस आकृति की सभी विशेषताएं हैं। इस मामले में, इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, समांतर चतुर्भुज के लिए प्रयुक्त सूत्र का उपयोग करना काफी उचित है: S = KL x Z. इस मामले में, केएल समांतर चतुर्भुज (रम्बस) के किनारे की लंबाई है, और Z है इस तरफ खींची गई ऊँचाई की लंबाई।

कुछ समस्याओं में, भुजा की लंबाई प्रदान नहीं की जाती है, लेकिन समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात होता है। चूँकि इसे खोजने का सूत्र ऊपर बताया गया था, आप इसका उपयोग भुजा की लंबाई जानने के लिए कर सकते हैं। तो, आकृति की परिधि 10 सेमी है। भुजा की लंबाई परिधि सूत्र को उल्टा करके और 10 को 4 से विभाजित करके पाई जा सकती है। परिणाम 2.5 सेमी होगा - यह समचतुर्भुज की भुजा की वांछित लंबाई है।

अब इस संख्या को सूत्र में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करना उचित है, यह जानते हुए कि किनारे पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई भी 2.5 सेमी के बराबर है। आइए अब इन मानों को क्षेत्रफल के लिए उपरोक्त सूत्र में डालने का प्रयास करें समांतर चतुर्भुज इससे पता चलता है कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल S = 2.5 x 2.5 = 6.25 सेमी 2 है।

समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के अन्य तरीके

जो लोग पहले से ही साइन और कोसाइन में महारत हासिल कर चुके हैं, वे समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उनसे युक्त सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। एक उत्कृष्ट उदाहरण निम्नलिखित सूत्र है: एस = केएम 2 x सिन केएलएम। इस मामले में, आकृति का क्षेत्रफल समचतुर्भुज की दोनों भुजाओं के गुणनफल के बराबर है जो उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किया गया है। और चूँकि एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए एक भुजा को तुरंत वर्गाकार करना आसान होता है, जैसा कि सूत्र में दिखाया गया था।

हम व्यवहार में इस योजना की जांच करते हैं, और न केवल एक समचतुर्भुज के लिए, बल्कि एक वर्ग के लिए, जिसमें, जैसा कि आप जानते हैं, सभी समकोण हैं, जिसका अर्थ है कि वे नब्बे डिग्री के बराबर हैं। मान लीजिए कि एक भुजा 15 सेमी है। यह भी ज्ञात है कि 90° के कोण की ज्या एक के बराबर होती है। फिर, सूत्र के अनुसार, S = 15 x 15 x पाप 90° = 255x1 = 255 सेमी 2।

उपरोक्त के अलावा, कुछ मामलों में समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए साइन का उपयोग करते हुए एक अन्य सूत्र का उपयोग किया जाता है: S = 4 x R 2 /Sin KLM। इस अवतार में, एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या का उपयोग किया जाता है। इसे वर्ग की घात तक बढ़ाया जाता है और चार से गुणा किया जाता है। और संपूर्ण परिणाम अंकित आकृति के निकटतम कोण की ज्या से विभाजित होता है।

उदाहरण के तौर पर, गणना की सरलता के लिए, आइए फिर से एक वर्ग लें (इसके कोण की ज्या हमेशा एक के बराबर होगी)। इसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या 4.4 सेमी है। तब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार निकाला जाएगा: S = 4 x 4.4 2 / SIN 90° = 77.44 सेमी 2

समचतुर्भुज की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए उपरोक्त सूत्र अपनी तरह के एकमात्र सूत्र नहीं हैं, लेकिन इन्हें समझना और गणना करना सबसे आसान है।

एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के समान सभी सूत्र लागू होते हैं, जिसमें ऊँचाई और भुजाओं के गुणनफल के माध्यम से क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र भी शामिल है।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों को जानकर भी ज्ञात किया जा सकता है। विकर्ण समचतुर्भुज को चार बिल्कुल समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। यदि हम उन्हें क्रमबद्ध करके एक आयत बनाते हैं, तो इसकी लंबाई और चौड़ाई एक पूर्ण विकर्ण और दूसरे विकर्ण के आधे के बराबर होगी। इसलिए, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल समचतुर्भुज के विकर्णों को दो से कम करके (परिणामस्वरूप आयत के क्षेत्रफल के रूप में) गुणा करके पाया जाता है।

यदि आपके पास केवल एक कोण और एक भुजा है, तो आप विकर्ण को सहायक के रूप में उपयोग कर सकते हैं और इसे ज्ञात कोण के विपरीत खींच सकते हैं। फिर यह समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित कर देगा, जिनका क्षेत्रफल जुड़कर हमें समचतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त होगा। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान भुजा के वर्ग और ज्ञात कोण की ज्या के आधे गुणनफल के बराबर होगा। चूँकि ऐसे दो त्रिभुज हैं, इसलिए गुणांक कम हो जाते हैं, केवल दूसरी घात की भुजा और ज्या रह जाती है:

यदि आप एक समचतुर्भुज के अंदर एक वृत्त अंकित करते हैं, तो इसकी त्रिज्या 90° के कोण पर भुजा से संबंधित होगी, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या का दोगुना, समचतुर्भुज की ऊंचाई के बराबर होगा। पिछले सूत्र में ऊँचाई h=2r के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल S=ha=2ra प्राप्त होता है

यदि, अंकित वृत्त की त्रिज्या के साथ, एक भुजा नहीं, बल्कि एक कोण दिया गया है, तो आपको पहले ऊँचाई खींचकर इस प्रकार भुजा ज्ञात करनी होगी कि दिए गए कोण के साथ एक समकोण त्रिभुज प्राप्त हो सके। फिर सूत्र का उपयोग करके त्रिकोणमितीय संबंधों से पक्ष a पाया जा सकता है . इस अभिव्यक्ति को एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए समान मानक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एक रोम्बस (प्राचीन ग्रीक ῥόμβος से और लैटिन रोम्बस "टैम्बोरिन" से) एक समांतर चतुर्भुज है, जो समान लंबाई की भुजाओं की उपस्थिति की विशेषता है। जब कोण 90 डिग्री (या समकोण) होते हैं, तो ऐसी ज्यामितीय आकृति को वर्ग कहा जाता है। समचतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है, एक प्रकार का चतुर्भुज। यह वर्ग और समांतर चतुर्भुज दोनों हो सकता है।

इस शब्द की उत्पत्ति

आइए इस आकृति के इतिहास के बारे में थोड़ी बात करें, जिससे हमें प्राचीन दुनिया के कुछ रहस्यमय रहस्यों को उजागर करने में मदद मिलेगी। हमारे लिए परिचित शब्द, जो अक्सर स्कूली साहित्य में पाया जाता है, "रोम्बस" की उत्पत्ति प्राचीन ग्रीक शब्द "टैम्बोरिन" से हुई है। प्राचीन ग्रीस में, इन संगीत वाद्ययंत्रों का उत्पादन हीरे या चौकोर आकार में किया जाता था (आधुनिक उपकरणों के विपरीत)। निश्चित रूप से आपने देखा होगा कि कार्ड सूट - हीरे - का आकार समचतुर्भुज है। इस सूट का निर्माण उस समय से हुआ है जब रोजमर्रा की जिंदगी में गोल हीरे का उपयोग नहीं किया जाता था। नतीजतन, रोम्बस सबसे पुरानी ऐतिहासिक आकृति है जिसका आविष्कार पहिये के आगमन से बहुत पहले मानव जाति द्वारा किया गया था।

पहली बार, "रोम्बस" जैसे शब्द का इस्तेमाल हेरॉन और अलेक्जेंड्रिया के पोप जैसी प्रसिद्ध हस्तियों द्वारा किया गया था।

एक समचतुर्भुज के गुण

1. चूँकि एक समचतुर्भुज की भुजाएँ एक दूसरे के विपरीत होती हैं और जोड़े में समानांतर होती हैं, तो समचतुर्भुज निस्संदेह एक समांतर चतुर्भुज (AB || CD, AD || BC) होता है।
2. समचतुर्भुज विकर्ण समकोण (AC ⊥ BD) पर प्रतिच्छेद करते हैं, और इसलिए लंबवत हैं। इसलिए, प्रतिच्छेद विकर्णों को समद्विभाजित करता है।
3. समचतुर्भुज कोणों के समद्विभाजक समचतुर्भुज के विकर्ण होते हैं (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, आदि)।
4. समांतर चतुर्भुज की पहचान से यह पता चलता है कि एक समचतुर्भुज के विकर्णों के सभी वर्गों का योग भुजा के वर्ग की संख्या है, जिसे 4 से गुणा किया जाता है।

हीरे के लक्षण

एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जब यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
2. समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात वे एक दूसरे के लंबवत होते हैं (AC⊥BD)। इससे तीन भुजाओं (भुजाएँ बराबर और 90 डिग्री के कोण पर) का नियम सिद्ध होता है।
3. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण कोणों को समान रूप से विभाजित करते हैं क्योंकि भुजाएँ समान होती हैं।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

1. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उस संख्या के बराबर होता है जो उसके सभी विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
2. चूँकि समचतुर्भुज एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज है, समचतुर्भुज (S) का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज की भुजा और उसकी ऊँचाई (h) का गुणनफल है।
3. इसके अलावा, एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जो समचतुर्भुज के वर्ग पक्ष और कोण की ज्या का गुणनफल है। कोण की ज्या अल्फा है - मूल समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच स्थित कोण।
4. एक सूत्र जो कोण अल्फा के दोगुने और अंकित वृत्त (r) की त्रिज्या का गुणनफल है, सही समाधान के लिए काफी स्वीकार्य माना जाता है।

रोम्बस क्या है? समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

समचतुर्भुज, समतल पर एक आकृति, समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज। समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है, जिसमें या तो दो आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं, या विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, या विकर्ण कोण को समद्विभाजित करता है। समकोण वाला समचतुर्भुज वर्ग कहलाता है।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए क्लासिक सूत्र ऊंचाई के माध्यम से मूल्य की गणना करना है। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल एक भुजा और उस ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

1. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल एक भुजा और इस ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है:

\[एस = ए \सीडॉट एच \]

2. यदि एक समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात हो (एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं) और भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

\[ S = a^(2) \cdot syn(\alpha) \]

3. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी विकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. यदि समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या r और समचतुर्भुज a की भुजा ज्ञात हो, तो इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ एस = 2 \cdot a \cdot R \]

एक समचतुर्भुज के गुण

उपरोक्त चित्र में, \(ABCD\) एक समचतुर्भुज है, \(AC = DB = CD = AD\) । चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं, लेकिन केवल एक समचतुर्भुज में निहित गुण भी होते हैं।

आप किसी भी समचतुर्भुज में एक वृत्त फिट कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। वृत्त त्रिज्यासमचतुर्भुज की आधी ऊंचाई के बराबर:

\[r = \frac( AH )(2) \]

एक समचतुर्भुज के गुण

एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं;

एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

हीरे के लक्षण

एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक समचतुर्भुज है;

एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक हों, एक समचतुर्भुज है।

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